1

Relación de problemas: Tema 7

1.-Una partícula puntual de masa m y carga q incide con una velocidad inicial v0,

paralela al eje x, sobre una zona de inducción magnética B constante, de módulo B y

siguiendo la dirección del eje z. Se observa que en esta región la partícula describe una

trayectoria circular de radio R con una velocidad de módulo constante e igual a v0.

Dicha trayectoria está incluida en un plano paralelo al plano xy. Calcular la carga de la

partícula, supuesto conocidos B, v0, m y R.

0

20 0

0En módulos:

F qv B

mv mvqv B q

R RB

= ×

= → =

��� ������

2.- Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia muy grande de la

Tierra. Calcúlese la velocidad que tendrá el meteorito al impactar sobre la superficie

terrestre, despreciando el rozamiento con la atmósfera. (Tómese el radio de la Tierra

como RT=6·106 m y g=10 m/s

2.)

g = 10 m/s2

RT =6·106 m

2 2

2

0

1 1

2 2

10 2

2

mB cB pB

TmA cA pA A A T

T

mB mA A T A T

E E E

GM mE E E mv mv gR m

R

E E mv gR m v gR

= + =

= + = − = −

= ⇒ − = ⇒ =/ /

41.1 10 /A m sv = ⋅

B

v0

2

3.- Supóngase que en un punto del ecuador de un planeta se observa que si se suelta un

cuerpo cerca de la superficie, el cuerpo se queda flotando. Si el día dura 1 h 24 min 18 s,

¿cuál es la densidad del planeta?

El equilibrio de fuerzas en el cuerpo conduce a:

2

2

211

33

3 3con 6.6732 10

4 4 4

3

g

GMmF m R

R

M MG

R GR

ω

ωρπ ππ

−

/= = /

= = = = ⋅

El tiempo que tarda en dar una vuelta: t=1h 24 min 18s =5058 s

Luego:

23

2 2

2y

3 4 3= 5520 /

4

t

Kg cmt G t G

πω

π πρπ

=

= =

35.52 /g cmρ =

4.- Estímese la densidad media del Sol a partir de los datos siguientes: la constante de

gravitación universal G, la duración del año terrestre y el ángulo subtendido por el disco

solar visto desde la Tierra (≈0,55º).

G = 6.6732·10-11

t = 365·24·60·60 =3.1536·107

s

El equilibrio de fuerzas en la Tierra produce:

2

2

S TT TS

TS

GM MM R

Rω=

3

3

4

2

Ssol

sol

sol TS

M

R

R R sen

ρπ

θ

=

=

3

2 2

3 3 23 3 3

23

23 3 2

3 3 4 pero

44

2 2

3 4 3luego 1280 /

42 2

S S Ssol

TS TSTS

sol

M M M

R R G t Gsen R sen

Kg mt G

sen sen t G

ω πρ θ θπ π

π πρ θ θπ

= = = =

= = =

31.28 /g cmρ =

5.- Un electrón incide con una velocidad v0, en la dirección del eje positivo x y

coincidiendo dicho eje, en una región donde actúa una inducción magnética uniforme B

en la dirección del eje positivo y. Calcúlese el módulo y la dirección del campo eléctrico

que habría que aplicar para que el electrón no variara su trayectoria.

0ˆ

mF qv B qv Bk= × =��� � ��

Luego el campo que habría que aplicar sería:

0ˆE Bkqv= −

��

6.- Dos partículas con cargas iguales y de signo opuesto se mueven en una región libre

de campos con velocidades paralelas entre si, en el mismo sentido y de módulos

diferentes. Las partículas penetran en otra región en la que existe un campo magnético

uniforme, B, cuya dirección es perpendicular al plano de sus trayectorias. Las partículas

se encuentran después de haber girado ángulos φ1 = 90º y φ2 = 150º. Despreciando la

interacción entre las partículas en toda su trayectoria, calcule la relación entre:

a) Sus masas, m2/m1.

b) Los radios de sus orbitas, R2/R1.

c) Los módulos de sus velocidades, v2/v1.

a)

( )

2

2

11

2

1 1 2 2

2 1 2

1 2 1

150 5

90 3

3

5

t

t

q R B m R

qB m m m

m m

m m

ϕω

ϕω

ω ωω ω ω

ωω

∆∆= = =∆∆=

= → =

= → =

4

b)

21 2

1

sin30º 2R

R RR

= → =

c)

2 2 2 2

1 1 1 1

102

3

5

3

v R v

v R v

ωω ⋅ →== =

7.-Considérese dos satélites artificiales B y C en órbitas circulares alrededor de la

Tierra. El radio de la órbita de C es doble que el de B: rC=2rB . Calcular el cociente

entre:

a) Sus aceleraciones.

b) Sus periodos.

c) El módulo de sus velocidades.

2

2

2 2CC B

B

C TC C C

C

B TB B B

B

rr r

r

m MF G m a

r

m MF G m a

r

= → =

= =

= =

a) Dividiendo miembro a miembro:

2

2

2

1

4

1

4

C B B

B C C

C

B

a r r

a r r

a

a

= = =

=

b) Sobre cada satélite actúa una fuerza centrípeta:

5

Cm2

CC

C

vm

r= C C C C

B

a v a r

m

→ =

2

BB

B

vm

r=

1

2

1

2

C C C

B B B

B B B B

C

B

v a r

v a ra v a r

v

v

= =→ =

=

c)

22

2 22

2

2 2

C CC C

C C C C C B

B BB B CB B

B B B

C

B

v rT

r v T r v

T r vv rT

r v

T

T

πω πωπω πω

= → = == =

= → = =

=

8.- Un objeto en la superficie de la Tierra que descansa sobre un plano horizontal sufre

la acción del peso y la reacción normal de dicho plano horizontal. Habitualmente se

consideran iguales ambas fuerzas, sin embargo esto no es así si se tiene en cuenta la

rotación de la Tierra. Calcúlese el error relativo que se comete al despreciar la rotación

de la Tierra. (Tómese el radio de la Tierra como RT=6·106 m y g=10 m/s

2.)

Suponiendo que el cuerpo está en el ecuador.

( )

2

1

2

2

2 1relativo 2

2 1

(sin tener en cuenta la rotación de la Tierra)

2100 0.32%

2 2

T

T

T

N mg m R

N mg

N N m R

N N mg m R

ω

ωεω

= −=

−= ⋅ = =+ −

0.32%relativoε =

2

6

10

6 10

2/

24 60 60

T

T

P N m R

P mg m

R m

rad s

ω

πω

− =

= =

= ⋅ =

⋅ ⋅

6

9.- Calcule el campo eléctrico creado en cualquier punto de su eje por una distribución

de carga lineal, de forma circular, radio a y densidad lineal de carga ρl.

ˆ

ˆ

r zk

r a

dl ad

ρϕ

=

′ ′=′ ′=

�

��

( )( )

( )( ) ( )

2

3 3 32 2 2 20 0 0 2 2

0

ˆ ˆ ˆ21

4 44

LL L

zk ar r a az kE adl d

r r z a z a

π ρρ ρ ρ πϕπε πε πε

′′ −−′ ′= = =

′− + +∫ ∫

� ����

� ��

( )3

2 2 20

ˆ

2

LazkE

z a

ρ

ε⇒ =

+

���

10.- Calcúlese el campo creado por una distribución lineal de carga recta de longitud L y

densidad lineal de carga ρl en cualquier punto que equidiste de sus extremos.

ˆ

ˆ

r

r z k

ρρ=

′ ′=

�

��

( )( ) ( )

22 2

3 3 2 2 22 2 2 20 0 02 2

2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ1

4 4 4

LL L

LL L

L L L

z k dz dz zE

zz z

ρ ρρ ρ ρρ ρ ρρπε πε πε ρ ρρ ρ− − −

′ ′− ′ ′= = =

′+ ′ ′+ +∫ ∫

��

2 2

0

ˆ

42

LL

LE

ρρ

ρπρε +

⇒ =���

7

11.-Una carga de densidad volumétrica constante ρ0 tiene la forma de una plancha de

grosor a. Las caras de la plancha son planos infinitos paralelos al plano xy. Tómese

como origen el punto medio entre las caras y encuéntrese E para todos los puntos.

Compárese los resultados para el caso de un plano infinito de densidad superficial σ.

a)

(punto en el interior)2

az

E xy

≤

E xy+ 0

0

1xyρ

ε=

ɵ0

0

2z

zE k

ρε

= ±��

b)

ɵ ( )

0

0

0

0

En el exterior:

z2

1

12

a

Exy Exy xya

aE k

ρε

ρε

>

+ =

= ±��

Para un plano infinito.

Aplicando Gauss se obtiene:

� ( )0

22

E kσε= ±

���

Comparando las expresiones (1) y (2) se observa que ρoa

juega el mismo papel que σ.

8

12.-Calcular la intensidad del campo gravitatorio, en todos los puntos del espacio,

debido a una esfera maciza, de radio R y masa M, homogénea y con una distribución de

masa con simetría esférica. A partir del resultado anterior, suponer que se pudiera

practicar un túnel que atravesara completamente la Tierra pasando por su centro y se

abandona en una de las bocas del túnel un cuerpo de masa m, cayendo éste sin

rozamiento al interior. Demostrar que el movimiento que realiza el cuerpo será un

movimiento armónico simple. Calcular la frecuencia de las oscilaciones en esta

situación. Despreciar en cualquier caso los posibles rozamientos.

a) Aplicamos la ley de Gauss en dos zonas:

3

2 3

3

(radio de la Tierra)

densidad volúmica de masa

El signo indica que es un campo dirigido al interior de la Tierra

=4

3

4

44 4

3

4

3

.

T

GS V

G

TG

r R

M

R

E dS G dV

E r G r

ME Gr G r r R

R

ρπ

π ρ

π π ρ π

πρ

≤

=

⋅ = −

= −

= − = − ≤

∫ ∫��������

�

4G

r R

E π

>2 4r π= − 3

3

2 2

3

2

4

3

4

3T

G

TG

TG

G R

MRE G G r R

r r

ME G r r R

RM

E G r Rr

ρ π

πρ= − = − >

= − ≤

= − >

9

b)

�3Fuerza recuperadora

Movimientoarmónico simple.

3

3

La fuerza que actúa sobre m es:

T

K

T

T

GM mF r Kr ma

R

Ma G r

R

K

m

GM

R

ω

ω

→

= − = − =

= −

=

=

���

13.-Calcular el campo eléctrico producido en un punto de su eje, por un disco plano de

radio a, cargado con una densidad superficial de carga ρS. Deducir a partir del resultado

cual será el campo eléctrico producido por un plano indefinido cargado con la misma

densidad superficial de carga.

10

( )( )

( )( )

( )( )

12 2 2

33 2 2 2

3 30 0 2 2 2

2

30 0 0 2 2 2

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ1 1

4 4

ˆ ˆE

4

S S

aS

E

dS d d

rr R r zk

R zk

r z

r z

r zkd R dS d d

rz

zkd d

z

π

ϕ ρ

ρ ϕ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ

ρ

ρ ρρ ρ ϕ ρ ρπε περ

ρ ρρ ϕ ρ ρπερ= =′ ′

=′ ′ ′ ′

′ = ′ ′ ′= − = − ′ ′=

= + ′

= + ′

− ′ ′= ==′ ′ ′ ′+ ′

− ′ ′= ′ ′ ′

+ ′∫ ∫

������� ��

���

�������

���

( )( )

( )

( )

( )

3 2 20 00 2 2 2

0

2 2 20

2 20

Por la simetría del campo, la integral en se anula.

ˆ ˆ 1E

2 2

ˆ 1 1E

2

1 1 ˆE2

E

aa

S S

S

S

zk zkdR

zz

zkR

z a z

zR k

z z a

a

R

ρ

ρ

ρ ρρ ρε ε ρρ

ρε

ρε

=′

′

−′ ′= =+ ′+ ′

−= ++

= −+

→ ∞

= ±

∫��� ���

��� ���

��� ���

��� ���

0

ˆ2

S kρε

11

14.-En una región del espacio el potencial electrostático en el S.I. viene dado por la

expresión: 2

3 3 35y

V x yzx

= + − +.

Calcular:

a) La fuerza que actúa sobre una carga puntual de 200 µC localizada en el punto

A(1,2,1) m.

b) El trabajo realizado cuando desplazamos dicha carga desde el punto A al B(-1,3,2) m.

a)

( )

( )

( )

2

2

2

4

3 3 35

200

1,2,1

2 ˆˆ ˆ3 3 3

ˆˆ ˆ 6

ˆˆ ˆ2 10 6

A A

A

A

yV x yz

x

q C

A m

F qE

y yE V i z j y k

xx

E i j k

F i j k N

µ

−

= + − +

=

=

= −∇ = − − − − − −

= − +

= ⋅ − +

��� ����

����

���

�

b)

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

3

3

Trabajo realizado por

nosotros contra el campo.

El campo apunta hacia potenciales decrecientes.

Trabajo realizado por campo eléctrico:

1,2,1 1,3,2

6.2 10

W= 6.2 10

36

5

camp

A B

W q V B V A J

J

V A v

V B v

W

−

−

→ −

= − = − ⋅ =

− ⋅

=

=

( ) ( ) ( )( )o q V B V A= − −

12

15.-Una línea infinita de densidad de carga ρL, se rodea con un cilindro infinitamente

largo de radio ρ0, cuyo eje coincide con ella. La superficie del cilindro posee una

densidad superficial de carga constante σ. ¿Qué valor en particular de σ hará que E =0

para todos los puntos fuera del cilindro cargado? Calcular la diferencia de potencial

entre el cilindro y la línea.

a)

-Campo creado por la línea: Ley de Gauss.

0

2

L

S

Tl l

QE dS E L

λ ρσ ρ

πρε

==

⋅ = →��� ���

L Lρ=0 0

ˆ2

Ll

S

Eρ ρ ρ

ε πρε→ = ∀∫���

�

-Campo creado por el cilindro:

En el interior del cilindro de radio ρo:

00CE ρ ρ= <���

Para ρ ≥ ρo: Ley de Gauss.

0 00

0 0 0

2ˆ2C C

TC

S

ELQ

dS E L Eσ πρ σρπρ ρ ρ ρε ε ε ρ⋅ = → = → = ≥∫

���� �����

�

El campo total (por superposición):

0

0

0

0

0

0

00

0

00 0

0

2

2

Para que para 02

2 2

ˆ

ˆ

0

LT

LT

LT

L L

E

E

E

ρπε ρ

ρπε ρ

ρπε ρ

ρ ρσρ σπ πρ

ρ ρ ρ

σρ ρ ρ ρε ρσρρ ρ ρ ρε ρ

+

→ + = ∀

= − → = −

= <

= ≥

= ≥ ≥

���

���

���

-La diferencia de potencial ente el cilindro y la línea es:

13

( ) ( )

( ) ( )

0 0

00

00 0

00 00

ˆ ˆ2

ln2 2

L

L L

cilindro línea

cilindro línea

V V dV d

d

V V

ρ ρ

ρρ

ρ ρ ρπε ρ

ρ ρρ ρπε ρ πε

− = = − ⋅ =

= − = − = ∞

− = ∞

∫ ∫

∫

Si a la línea le damos un pequeño radio a:

( ) ( ) [ ]0

0

ln ln 02

LV cilindro V línea aρ ρπε

− = − <

Representa el trabajo que hay que realizar para llevar una carga de 1 C desde un punto a

otro (desde la línea al cilindro).

( ) ( ) 0V cilindro V línea− >

Representa el trabajo que hay que realizar para llevar una carga de 1 C desde el cilindro

a la línea contra el campo que crea la línea.

16.- Hallar el campo magnético B producido por una espira cuadrada de lado a recorrida

por una intensidad de corriente I, en un punto cualquiera de su eje.

Lamamos a los vértices A, B, C y D

14

�

�� �

ɵ

ɵ

( ) ɵ0

3

12 2

2 2

Lado AB

El campo sólo tendrá componente k :

y los cuatro lados contribuyen por igual.

44

22

2

z

B

z

A

B B k

dl r kIB

r

dl r dxi

R zk ar zk x i ja

r x i j

ar x z

µπ

=

′× ⋅=

′× = − ×

== − +′

→ = +′ ′

= + +

∫

���

��ɵ���

ɵ

��

��� �

��� �ɵ � � ɵ ɵ

( ) �

( )( )

2

0

2

2 2 2

2

0

12 2 2 2 2

32 2

2 2

32 2 2

2

2

2

dxBuscando en las tablas:

Finalmente queda:

4

4 2 4

2

2

a

z

a

z

azdx j dxk

adl r dx

adx

IB

x

a x a

IaB

a z a z

azk x i j

k

ax z

x a

µπ

µ

π

−

= −

′× ⋅ = −

−=

=+

=+ +

− +′

+ +

+

∫

∫

ɵ

��� �

17.-Hallar el campo magnético producido en cualquier punto del espacio por un

conductor cilíndrico hueco de radios a y b, por el que circula una intensidad I.

15

( )�

( ) ( )

( ) ( )� ( ) ( ) ɵ2 20

2 2

2 2

0

2 20

2 2

2 20

2 2

sólo entre a y b.

Dividimos el espacio en tres regiones:

0

2

= como J 0 0

2

2

2

L SB

IB a

b a

IJ k

b a

a

B dl J dS B

a b

IB a

b a

IB a

b a

b

B

µ ρ ϕπρ

π

ρµ

ρµπρ π ρ

π

µ ρ ϕπρ

ρπρ

⋅ ⋅ =

= −−

=−

<

= → =

≤ ≤

= −−

= −−

>=

∫ ∫

���

��� ������� ��� �� ��� ��

��� ��

�

� �

0

0 0

2 2

I

I IB B

µµ µϕ ϕπρ πρ= =

��� ���

18.- Un cilindro infinito vertical, de radio r2, cargado con una densidad volúmica de

carga homogénea ρv, con su eje pasando por el punto a=(0,d,0) de forma que d > r2, se

encuentra rodeado por una superficie cilíndrica vertical de radio r1, cargada con

densidad superficial de carga homogénea ρs, que está colocada de forma que su eje pasa

por el centro de coordenadas y se cumple d+r2 < r1, según se muestra en la figura.

Calcúlese la diferencia de potencial entre los puntos a situado en (0,d,0) y b de la

superficie cilíndrica exterior, que se encuentra en el plano xy y cuyo vector de posición

forma un ángulo ϕ con el eje x.

En realidad, el cilindro de fuera no interviene en el

problema, que resulta consistir en calcular la diferencia

de potencial entre el centro de una densidad volúmica

de carga cilíndrica e infinita y un punto exterior.

16

El campo de esta distribución de carga es:

0

2

0

2 22

0 0 00 0

ˆ2

ˆ2

ˆLuego: ln2 2 2 2

b a b

a

Va

V aa

r

v V a V a ba

ar

r

Er

r

r rV E d d d r

r

ρ ρ

ρ ρ ρ ρε

ρ ρ ρρε

ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ρε ρε ε

<= >

∆ = − ⋅ = − − = − +

∫ ∫ ∫

��

��

ρb es la distancia del punto b al punto a, como el punto b se encuentra en:

( )22 2 2 2

ˆ ˆcos

cos 2

b b

b b b b b

r i r sen j

r r sen d r d r dsen

ϕ ϕ

ρ ϕ ϕ ϕ

+

= + − = + −

2 22

0

21ln

2 2b baV

a

r d r dsenrV

r

ϕρε

+ −∆ = − +

19.- Calcúlese el campo magnético generado por una plancha plana muy extensa y de

grosor d, paralela al plano xy, por la que circula una densidad de corriente constante J

en dirección positiva del eje x, en cualquier punto del espacio.

0

2

si Z2

2 si Z2

B dl I

B dl BL

dJLd

Id

JL Z

µ⋅ =

⋅ =

>= ≤

∫

∫

�� ���

�� ����

�

17

0

0

ˆ si Z2

ˆ si Z22 Z

dJzj

B Jdz dj

µ

µ

<=

≥

���

20.- Calcúlese la fuerza que ejerce una espira cuadrada de lado L, por la que circula una

intensidad de corriente I, sobre un hilo recto infinito coplanario con la espira, paralelo a

dos de sus lados y que dista una distancia d de ésta, por el que circula una corriente de la

misma intensidad que la de la espira.

0 ˆ2

hilo espira hilo

C

hilo

F Idl B

IB

µ ϕπρ

→ = ×

=

∫�� ��� ��

��

�

Las fuerzas que se generan en la parte de arriba y en la parte de debajo de la espira se

anulan, por lo que no se calculan:

( )( )

0 20 0 0

1 3

0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

2 2 2

L

hilo espira

L

I i Ii I L j jF F F I dlk I dlk

d L d d L d

µ µ µπ π π

→−

= + = × + × = − + + + ∫ ∫

�� ��� ���

20 ˆ1

2hilo espira

I L dF j

d d L

µπ→

= −+

���