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Macchine termiche e frigoriferi Una macchina termica grazie ad una sequenza di trasformazioni termodinamiche di una data sostanza, produce lavoro utilizzabile. Una macchina lavora su di un ciclo di trasformazioni e quindi la variazione di energia interna della sostanza utilizzata è ΔU = 0. Durante un ciclo la sostanza viene posta a contatto con alcuni serbatoi con i quali può scambiare calore. Globalmente dal punto di vista energetico in un ciclo riconosciamo tre quantità 1.  calore assorbito dalla sostanza QH > 0 2.  calore ceduto dalla sostanza QC < 0 3.  lavoro prodotto W. Abbiamo che

ΔU = 0 ⇒ Q - W = 0 ⇒ |QH| - |QC| = W allora |QH| > |QC| ⇒ W > 0

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Tutti i cicli compiuti dalla macchina termica sono uguali, definiamo allora il rendimento η o efficienza termica

€

η =WQH

=QH − QC

QH= 1−

QC

QH

Dato che |QH| > |QC|, η < 1 sempre, per avere η = 1 deve essere |QC| = 0, ciò è impossibile per il 2° principio della termodinamica. Il 2° principio della termodinamica nell’enunciato di Kelvin – Planck per le macchine termiche afferma

Una macchina termica che lavora tra due dati serbatoi non può avere come unico effetto la conversione di tutto il QH dalla sorgente più calda in lavoro, ci deve essere sempre anche uno scambio di calore (QC) con la sorgente a temperatura più bassa, ovvero |QC| ≠ 0

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Una macchina frigorifera assorbe calore da un serbatoio freddo (|QC|) e, utilizzando del lavoro fornito dall’esterno, cede calore al serbatoio più caldo (|QH|). Il rendimento di un frigorifero è il coefficiente di prestazione ξ

€

ξ =QC

W

Dato che |QC| = |QH| - |W|, ξ può essere > 1, ξ non può essere ∞, in questo caso infatti dovrebbe essere W = 0, questo è proibito dal secondo principio della termodinamica secondo l’enunciato di Clausius

Una macchina frigorifera che lavora tra due dati serbatoi non può avere come unico risultato il passaggio di calore dalla sorgente più fredda a quella più calda, è sempre necessario fornire lavoro dall’esterno

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La macchina di Carnot La macchina di Carnot è una particolare macchina che lavora su di un ciclo reversibile composto da quattro trasformazioni

1.  espansione isoterma da A a B 2.  espansione adiabatica da B a C 3.  compressione isoterma da C a D 4.  compressione adiabatica da D a A

Gli scambi di calore avvengono unicamente nelle trasformazioni isoterme, in particolare durante l’espansione il sistema acquista calore Q1 dalla sorgente a T1 (o TH) e nella compressione cede calore Q2 alla sorgente a T2 (o TC). Questo particolare ciclo risulta essere di grande importanza in termodinamica. Infatti esso è il ciclo con il più alto rendimento fra tutti quelli possibili una volta scelti i due serbatoi (teorema di Carnot).

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1.  Espansione isoterma da a a b

2.  Espansione adiabatica da b a c

€

QHa→b =W = nRTH ln

VbVa

> 0

€

Qb→c = 0⇒Wb→c = −ΔUb→c = −ncV TC −TH( )

Analizziamo ora il ciclo di Carnot compiuto da un gas ideale

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3.  Compressione isoterma da c a d

4.  Compressione adiabatica da d ad a

€

QCc→d =Wc→d = nRTC ln

VdVc

< 0

€

Qd→a = 0⇒Wd→a = −ΔUd→a = −ncV TH −TC( )

Pertanto si ha

€

ηC =WQH

= 1−QC

QH= 1−

nRTC ln Vd Vc( )nRTH ln Vb Va( )

= 1−TC ln Vc Vd( )TH ln Vb Va( )

Notiamo che, essendo QC < 0, quando togliamo il modulo dobbiamo invertire i termini del logaritmo Utilizziamo ora le trasformazioni adiabatiche per ricavare il valore del rapporto tra i due logaritmi.

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Trasformazione adiabatica da b a c

€

pbVbγ = pcVc

γ ; pb =nRTHVb

e pc =nRTCVc

⇒ THVbγ−1 = TCVc

γ−1

Trasformazione adiabatica da d ad a

€

paVaγ = pdVd

γ ; pd =nRTCVd

e pa =nRTHVa

⇒ THVaγ−1 = TCVd

γ−1

Dividiamo ora membro a membro le due equazioni trovate

€

THVbγ−1

THVaγ−1 =

TCVcγ−1

TCVdγ−1 ⇒

VbVa

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

γ−1

=VcVd

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

γ−1

⇒VbVa

=VcVd

Essendo uguali gli argomenti dei logaritmi, come conseguenza, avremo che sono uguali anche i logaritmi, per cui troviamo

€

ηC = 1−QC

QH= 1− TC

TH

A.A.2014/15 Fisica 1 8

Il risultato è di grande importanza poiché collega la temperatura dell’isoterma al calore scambiato nella trasformazione isoterma. Quindi possiamo pensare di utilizzare il calore scambiato come misura della temperatura. Inoltre, come vedremo, la relazione trovata tra calori e temperature non dipende dalla sostanza utilizzata per il ciclo di Carnot. Abbiamo così trovato un modo per misurare T che è sempre riproducibile e che ci permette inoltre di fissare lo zero della scala delle temperature. Infatti se QC = 0, allora TC = 0, ovvero se un sistema compie una trasformazione isoterma reversibile in cui non c’è scambio di calore, allora la trasformazione avviene ad una temperatura che è lo zero assoluto. Allo zero assoluto isoterme ed adiabatiche coincidono. Risulta così finalmente definita una scala per la temperatura, che prende il nome di scala termodinamica e la cui unità di misura è il grado Kelvin.

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Dimostriamo ora che i due enunciati del secondo principio della termodinamica sono equivalenti. Proseguiamo per assurdo, ovvero partiamo negando uno dei due enunciati e dimostriamo che è negato anche l’altro, e viceversa. Neghiamo l’enunciato di Kelvin – Planck. Prendiamo una macchina termica che converta in lavoro W tutto il calore assorbito (|QH|) da una sorgente a T1 > T2 ed utilizziamo il lavoro ottenuto per far funzionare tra le due sorgenti a temperatura T1 e T2 un frigorifero che preleva |Q’C| dalla sorgente fredda e cede |Q’H| alla sorgente calda, avremo la situazione in figura

|QH| |Q’H|

W

T1

T2 T2

T1

|Q’C| W + ≡

T2

T1 |Q’H | - |QH|

|Q’C|

€

W = QH

€

W = QH' − QC

'

€

QC' = QH

' − QH

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Abbiamo così costruito un frigorifero che viola il secondo principio nell’enunciato di Clausius. Neghiamo ora Clausius e verifichiamo che neghiamo anche Kelvin – Planck. Prendiamo due macchine che scambiano Q uguali con la sorgente fredda siano uguali, |Q’C| = |QC|

|Q’H| |QH| T1

T2 T2

T1

|QC| W + ≡

T2

T1 |QH | - |Q’H|

W

€

QC' = QH

'

€

W = QH − QC

€

W = QH − QH'

|Q’C|

Abbiamo così realizzato la macchina termica perfetta e violato il secondo principio nell’enunciato di Kelvin-Planck.

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Teorema di Carnot Nessuna macchina che lavori tra due dati serbatoi ha un rendimento superiore a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due serbatoi La dimostrazione procede per assurdo. Prendiamo due macchine, una di Carnot (C) ed una qualunque (M), che lavorini tra gli stessi serbatoi a temperatura TH e TC (TH > TC) . Macchina di Carnot C Macchina qualunque M • assorbe |QH| dal serbatoio caldo • assorbe |Q’H| dal serbatoio caldo • produce il lavoro W • produce il lavoro W • cede il calore |QC| = |QH| - W al • cede il calore |Q’C| = |Q’H| -W serbatoio freddo al serbatoio freddo • rendimento ηC = W/|QH| • rendimento ηΜ = W/|Q’H| Partiamo dall’ipotesi che

ηC < ηΜ

A.A.2014/15 Fisica 1 12

Avremo

€

WQH

<WQH'⇒ QH > QH

' ⇒ QH − QH' > 0

Utilizziamo la macchina reversibile di Carnot come frigorifero alimentato dal lavoro della macchina M, abbiamo così

|Q’H| |QH| T1

T2

|QC| W

|Q’C|

≡

T2

|QH | - |Q’H|

|QC| - |Q’C|

€

W = QH' − QC

' e W = QH − QC ⇒ QH' − QC

' = QH − QC

€

QH − QH' = QC − QC

' > 0

T1

Ho realizzato un motore perfetto e violato il 2o principio (Clausius)

A.A.2014/15 Fisica 1 13

Quindi l’ipotesi da cui siamo partiti è falsa e possiamo affermare che

€

ηC ≥ ηMper ogni macchina M che opera tra gli stessi serbatoi tra cui opera la macchina di Carnot. Ci chiediamo ora se tra tutte le possibili macchine di Carnot che operano tra i serbatoi a T1 e T2, ve ne sia una che ha un rendimento più alto delle altre. Consideriamo due macchine di Carnot (C1 e C2) che lavorano tra i due serbatoi T1 e T2 e seguiamo lo schema della dimostrazione precedente. Utilizziamo la macchina C1 come frigorifero e la C2 come macchina termica, per il teorema di Carnot sarà

€

ηC1 ≥ ηC2Se adesso invertiamo i ruoli e utilizziamo C2 come frigorifero e C1 come macchina termica, otteniamo

€

ηC2 ≥ ηC1

A.A.2014/15 Fisica 1 14

Le ultime due relazioni possono coesistere solo in un caso, ovvero

€

ηC1 = ηC2

Allora tutte le macchine di Carnot che operano tra due dati serbatoi hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dalla lunghezza delle isoterme e dalla sostanza utilizzata per le trasformazioni termodinamiche (Corollario al teorema di Carnot)