Rectas y puntos notables del triángulo

a) Altura (h) y ortocentro (H)

En un triángulo acutángulo (equilátero o isósceles) el ortocentro se encontrará siempre dentro de la circunferencia.

H se ubica dentro del Δ

Cuando trazamos las alturas en un triángulo rectángulo (isósceles o escaleno), dos de ellas se enciman en cada uno de los catetos, por eso al intersecarse el ortocentro queda en el vértice donde se encuentran unidos los dos catetos.

En un triángulo obtusángulo (escaleno), siempre se tiene que prolongar la base, por lo que la intersección de las alturas (ortocentro) quedará fuera del triángulo.

H fuera del ∆

b) Bisectriz (b) y el incentro (I)

Las bisectrices (b1, b2 y b3) dividen cada ángulo interno por la mitad. Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita. Este punto se denomina incentro (I).

Con la actividad de exploración te diste cuenta que el incentro siempre quedará dentro del triángulo, y no depende de qué tipo de triángulo se trate pues cuando se dividen los ángulos siempre es en el interior de éste. La distancia del incentro con cualquiera de los lados es la misma, por eso se puede trazar la circunferencia inscrita y ésta depende de la forma del triángulo; si es equilátero la circunferencia inscrita quedará en el centro.

c) Mediatriz (M) y circuncentro (N)

Las mediatrices (M1, M2 y M3) son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados. Las tres mediatrices concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circuncentro (N).

♦ En un triángulo rectángulo el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.

♦ En un triángulo acutángulo el circuncentro está en el interior del triángulo.

♦ En un triángulo obtusángulo el circuncentro está fuera del triángulo.

Además la circunferencia circunscrita al triángulo siempre contiene los tres vértices de éste.

d) Mediana (m) y baricentro (G)

Las medianas (m1, m2 y m3) unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Concurren en un mismo punto, denominado centro de gravedad del triángulo (G). Este punto, donde se unen las tres medianas, se llama baricentro, es decir, aquí se encuentra el punto de equilibrio. G se ubica siempre dentro del triángulo.

En el baricentro se cumple:

En un triángulo equilátero, los cuatro puntos (ortocentro, incentro, circuncentro y baricentro) siempre se encuentran en el centro del triángulo, a diferencia de todos los demás triángulos.

e) Recta de Euler

Hasta ahora hemos localizado los cuatro puntos notables de un triángulo. Tres de ellos —circuncentro, baricentro y ortocentro— son colineales, es decir, están sobre una línea que los une a la cual se le llama Recta de Euler (se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII).