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CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: una circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos P= (x, y) ∈ ℝ 2 que equidistan de un punto fijo llamado centro C = (h, k). La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio (r) ≔ {P = (x, y) ∈ ℝ 2 / d(C , P) = r } Nota: Área de la circunferencia = πr 2 Longitud de la circunferencia= 2πr ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA Por definición de distancia entre dos puntos se tiene: d(C, P) = √(x − h) 2 + (y − k) 2 =r Elevando al cuadrado ∶ (−) + ( − ) = ; > 0…………….. (1) Ejemplo: Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es C = (−2 , 3)yradio r = 3 Solución:C = (h, k) = (−2 , 3) entonces: ∶ (x + 2) 2 + (y − 3) 2 =9 P B X Y K+r K -r h -r h +r N M A C r x y k 0 h ELEMENTOS 1. Centro: C = (h, k) 2. Radio:r 3. Diámetro: AB 4. Cuerda: MN

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CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: una circunferencia 𝒞 es el lugar geométrico del conjunto de puntos P =(x, y) ∈ ℝ2 que equidistan de un punto fijo llamado centro C = (h, k). La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio (r)

𝒞 ≔ {P = (x, y) ∈ ℝ2 / d(C , P) = r }

Nota: Área de la circunferencia = πr2

Longitud de la circunferencia= 2πr

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA

Por definición de distancia entre dos puntos se tiene:

d(C, P) = √(x − h)2 + (y − k)2 = r Elevando al cuadrado

𝓒 ∶ (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐫𝟐 ; 𝐫 > 0…………….. (1) Ejemplo:

Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es C = (−2 , 3)yradio r = 3 Solución:C = (h, k) = (−2 , 3) entonces:

𝒞 ∶ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 9

• • •

• •

P

B

X

Y

K+r

K -r

h -r h +r

N

M

A C r

x

y

k

0 h

ELEMENTOS

1. Centro: C = (h, k)

2. Radio:r

3. Diámetro: AB̅̅ ̅̅

4. Cuerda: MN̅̅ ̅̅̅

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2. ECUACIÓN CANÓNICA

Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces h = k = 0 entonces

C = (0,0). La ecuación de la circunferencia se reduce a:

𝓒: 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝐫𝟐 𝐫 > 0………….. (2)

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen

de coordenadas y radio r =5

Solución: C = (h, k) = (0 , 0) entonces 𝒞 ≔ x2 + y2 = 25

3. ECUACIÓN GENERAL

Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 − r2 = 0

x2 + y2 − 2hx − 2ky + h2 + k2 − r2 = 0

Donde: D = −2h ; E = −2k ; F = h2 + k2 − r2

𝒞 ∶ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0…………(3)

A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y

F.

Completando cuadrados para x, y se tiene.

[x2 + Dx + (D

2)

2

] + [ y2 + Ey + (E

2)

2

] = (D

2)

2

+ (E

2)

2

− F

(x +D

2)2 + (y +

E

2)2 =

D2 + E2 − 4F

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Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:

Centro: C = (−D

2 , −

E

2) y r2 =

D2 + E2 − 4F

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Analizando el radicando 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅

1. Si𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 > 0 La ecuación (3) representa a una circunferencia

de centroC = (−D

2 , −

E

2) y radior =

1

2√D2 + E2 − 4Fen ℝ2

2. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 = 𝟎 La ecuación (3) representa sólo un punto que es

C = (−D

2 , −

E

2); puesto que r = 0, en ℝ2

3. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 < 0 La ecuación (3) no representa una circunferencia

en ℝ2 porque su radio r =1

2√−1.

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

𝒞: 2x2 + 2y2 + 20y − 150 = 0

Solución: Simplificando la ecuación: 2x2 + 2y2 + 20y − 150 = 0

Setiene x2 + y2 + 10y − 75 = 0

Donde: D = 0, E = 10 y F = −75

Analizando: D2 + E2 − 4F = 02 + 102 − 4(−75) = 0 + 100 + 300 = 400 > 0

Laecuaciondada, representaaunacircunferenciaconcentro

C = (−D

2 , −

E

2) = (0, −5) y r =

1

2√D2 + E2 − 4F ⟹ r =

1

2√400 = 10

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.

𝒞: 3x2 + 3y2 − 12x + 6y + 15 = 0

Solución: Simplificando la ecuación: 3x2 + 3y2 − 12x + 6y + 15 = 0

Setiene: x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0

Donde: D = −4, E = 2 y F = 5

Analizando: D2 + E2 − 4F = −42 + 22 − 4(5) = 16 + 4 − 20 = 0

Laecuaciondada, sólorepresentaalpunto C = (−D

2 , −

E

2) = (2, −1)

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DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA:

1. Si el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas C = (0,0)

Ejemplo: Sea la circunferencia 𝒞: x2 + y2 = 4 , determinar el domino y el

rango

Solución: Dom(𝒞) = Ran(𝒞) = [−2,2]

2. Si el centro de la circunferencia es C = (h, k)

Ejemplo: Sea la circunferencia𝒞 ∶ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 9

Determinar el domino yel rango.

Solución:

C = ( h, k ) = (2, 3)yr = 3

Dom(𝒞) = [h − r ; h + r] = [−1,5]

Ran(𝒞) = [k − r ; k + r] = [0,6]

• 𝑟 0

𝑟

X

Y

X

Y

K+r

K -r

h -r h +r

C

h

k

0

−𝑟

−𝑟

Dom(𝒞) = [−r ; r]

Ran(𝒞) = [−r ; r]

Dom(𝒞) = [h − r ; h + r]

Ran(𝒞) = [k − r ; k + r]

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RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia𝒞 en el punto de tangencia(x0, y0), esta dado por:

LT: (𝐱 − 𝐡)(𝐱𝟎 − 𝐡) + (𝐲 − 𝐤)(𝐲𝟎 − 𝐤) = 𝐫𝟐 Una recta LN tal que LT ⊥ LNrecibe al nombre de recta normal. Ejemplo: Hallar la recta tangente LT a la circunferencia 𝒞: (x − 3)2 + (y − 12)2 = 100, en el punto de tangencia (−5, 6 )

Solución:C = ( h, k ) = (3,12) , r = 10 𝑦 Punto de tangencia = (x0 , y0) = (−5, 6)

LT: (x − h)(x0 − h) + (y − k)(y0 − k) = r2

LT: (x − 3)(−5 − 3) + (y − 12)(6 − 12) = 100

Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es:LT: 4x + 3y + 2 = 0

CASOS PARTICULARES:

1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X de centroC =( 6 , 3)

Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje X se cumple 𝑟 = |k| = |3| =3 La ecuación de la circunferencia es: 𝒞: (x − 6)2 + (y − 3)2 = 9

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, de centro en

C = ( 2 , 3)

Y

C

r = |k|

X

Y

C

r = |h|

X

𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐤𝟐

𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐡𝟐

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Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple

r = |h| = |2| = 2

La ecuación de la circunferencia es𝒞 ∶ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4

3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas

con centro en C = (−3 , −3)

Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se

cumple r = |h|=|k| = |−3| = 3

La ecuación de la circunferencia es:𝒞 ≔ (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9

EJERCICIOS 1) La ecuación de la circunferencia de centro

(𝟓, 𝟔) y que es tangente a la recta 𝟒𝒙 +𝟑𝒚 − 𝟖 = 𝟎, es:

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖 y pasa por los puntos (𝟐, 𝟐) y (𝟖, 𝟎).

3) Hallar el radio y centro de la circunferencia:

C: x2 + y2 + 8x − 10y − 8 = 0

4) Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia

𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎

5) Determinar la suma de los valores de “𝒌”, para que la recta 𝑳: 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒌 = 𝟎, sea tangente a la circunferencia

C: x2 + y2 − 4x + 8y + 10 = 0

6) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas. L1: 3x + 2y − 16 = 0 y L2: 5x − 3y + 5 = 0

7) La ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre la recta 𝑳: 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 =𝟎 y que pasa por los puntos 𝑨 = (𝟔, 𝟒) y 𝑩 = (−𝟒, −𝟔), es:

8) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 +𝟐𝟔 = 𝟎 y que es tangente a la recta 𝑳: 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎.

Y

C

𝑘

r = |ℎ|=|𝑘|

X

𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐡)𝟐 = 𝐡𝟐

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9) La ecuación de la circunferencia de centro (−𝟒, 𝟓) y que pasa por (𝟓, −𝟏), es:

10) La ecuación de la circunferencia de centro (−𝟐, −𝟏) y que es tangente a la recta 𝑳: 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 − 𝟐𝟖 = 𝟎, es:

11) Una circunferencia pasa por los puntos 𝑨 = (−𝟏, −𝟒) y 𝑩 = (𝟐, −𝟏) cuyo centro esta sobre la recta 𝑳: 𝟒𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝟓 = 𝟎. La suma de los componentes del centro es:

12) Hallar la ecuación de la circunferencia

cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta 𝑳: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒 en el punto de tangencia (𝟐, 𝟏)

13) Una recta es tangente a la circunferencia (x − 3)2 + (y − 12)2 = 100 en el punto de

tangencia A = (−5, 6). La pendiente de la

recta tangente es:

14) Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos 𝑨 = (𝟐, −𝟏) y 𝑩 = (𝟐, 𝟕). El dominio de la circunferencia es:

15) Hallar 𝑫𝒐𝒎(𝓒) ∩ 𝑹𝒂𝒏(𝓒) si la circunferencia es tangente a los ejes coordenados con centro 𝑪 = (𝟑, 𝟑)

16) Determine si la recta 3 5 0x y+ − = es

una recta tangente, secante o exterior a la

circunferencia 2 2 2 3 0x y x+ − − =

17) Determine si la recta 3 4 27 0x y+ − = es

una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia

2 2 4 2 20 0x y x y+ − + − =

18) Determine si la recta 10 0x y+ − = es

una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia

2 2 4 2 20 0x y x y+ − + − =

19) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 2 5x y+ = y

pasa por los puntos ( )1, 2 y ( )5,0

20) Hallar la máxima distancia del punto

( )10, 7 a la circunferencia

2 2: 4 2 20 0C x y x y+ − − − =

21) Hallar el radio y centro de la circunferencia

2 2: 4 6 12 0C x y x y+ + − − =

22) Determinar el valor de 0k para que la

recta : 2 3 0L x y k+ + = sea tangente a la

circunferencia de ecuación 2 2: 6 4 0C x y x y+ + + =

23) Hallar la recta tangente a

2 2: 2 0C x y x y+ − + = en el punto

( )3, 1 .

24) Hallar la ecuación de la circunferencia

concéntrica a 2 2 9x y+ = y tangente a la

recta : 2 10 0L x y− + = .

25) Hallar la ecuación de la circunferencia que

pasa por el punto ( )7, 5− y cuyo centro

es el punto de intersección de las rectas

1 : 7 9 10 0IL x y− − = y

2 : 2 5 2 0IL x y− + =

26) Si la recta 3 0x y− + = es tangente a la

circunferencia 2 24 4 8 4x y y+ − = en el

punto ( ),Q a b= , hallar a b+

27) Hallar la ecuación de la circunferencia que

es tangente al eje X en ( )4,0 y que pasa

por el punto ( )7,1

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28) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con

2 24 4 16 20 25 0x y x y+ − + + = y que es

tangente a la recta : 5 12 1 0IL x y− − =

29) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta 03=++ yx .

30) Hallar la ecuación de la circunferencia de

radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:

1 :3 2 24 0L x y− − =

2 : 2 7 9 0L x y+ + =

31) Si el centro de la circunferencia:

017)4(22 =+−+−+ byxayx , es

)1,1( −a . Hallar el radio.

32) Encontrar la ecuación de la circunferencia

C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:

074422 =+−−+ yxyx , y cuyo radio es

r = 4. La ecuación de la circunferencia C1, es:

33) El punto (3,-1) es el centro de una

circunferencia que intercepta a la recta

01852: =+− yxL en una cuerda de 6

unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es.

34) Calcular la ecuación de la circunferencia

que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante.

35) Dada las circunferencias:

010210: 22

1 =−+−+ yxyxC

0222: 22

2 =−+−+ yxyxC

Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2

36) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4).

37) La ecuación de la circunferencia cuyo

centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta 01223: =−+ yxL , es: