Óptica Física Óptica Geométrica - Facultad de Ingeniería ·...
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Difracción de la luz d ~ λ d >> λ Óptica Física Óptica Geométrica
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Difracción de la luz
d ~ λ d >> λ
Óptica Física
Óptica Geométrica
Difracción de la luz
1. Difracción (cercana) de Fresnel
2. Difracción (lejana) de Fraunhofer
(en honor a: Augustin Jean Fresnel, 1788-1827)
(en honor a: Joseph von Fraunhofer, 1787-1826)
Difracción de la luzen una ranura
Fuente de luz
Rendija
Pantalla
z
x
Filtro
Difracción de la luz en una ranura
λ
θ
D
a
Difracción de Fraunhofer:
P
los rayos llegan a P prácticamente paralelos cuando D >>λ
Mínimos de Difracción
λ
θa
aΔr = senθ2
Interferencia destructiva si: Δr = ±λ/2 a
Δr = senθ = ± λ/22Primera franja obscura cuando: senθ = ± λ/a
Mínimos de Difracción
λ
θa
aΔr = senθ4
Interferencia destructiva si: Δr = ±λ/2 a
Δr = senθ = ± λ/24Segunda franja obscura cuando: senθ = ± 2 λ/a
Primera franja obscura cuando: senθ = ± λ/a
λ
a
aΔr = senθ6
si: Δr = ±λ/2
aΔr = senθ = ± λ/26
Segunda franja obscura cuando: senθ = ± 2 λ/aPrimera franja obscura cuando: senθ = ± λ/a
Tercera franja obscura cuando: senθ = ± 3 λ/a
... y en general, se tiene un mínimo (interferencia destructiva) cuando senθ = m
λa
m = ±1, ±2, ±3, ...
θ
¿Qué hay entre dos mínimos?
Rendija
Pantalla
z
x
Máximos locales !
Función Sampling
x
Sa(x) = sen xx
3π2π−π π−2π−3π
Intensidad en la pantalla
λ
a
θθ = 0
θ > 0
EMEp
β’= a senθ = 2β2πλ
Δrβ’
β’/2
Ep
EM
R
β =
Ep=2R sen(β)=EM senβ / β = EM Sa(β) por triángulo rectángulo:
;β= a senθπλ
R=EM /β’= EM /2β... por definición de radián
Intensidad en la pantallaβ = a senθπ
λEp = EM Sa(β)
de donde: Ip = IM Sa2(β)
β3π2π−π π−2π−3π
IM
θ−π/2 π/2
π/2−π/2a<<λ
a~2λ
Intensidad en la pantalla
Ip = IM Sa2(β) = IMsen2β
β2 β = a senθπλ
es decir: Ip(θ) = IM (π a senθ / λ)2
sen2(π a senθ / λ)
Mínimos: senθ = mλa m = ±1, ±2, ±3, ...
Máximos: difíciles de calcular en forma exacta!β ~ ±2,860π; ±4,918π; .....
Difracción de la luz
a ~ λ a >> λ
Óptica Física Óptica Geométrica
Ip(θ) = IM (π a senθ / λ)2
sen2(π a senθ / λ)
Primer mínimo cuando senθ = λa
Experimento de Young(Thomas Young, físico inglés 1773-1829)
Fuente de luz
Rendija
Doblerendija
Pantalla
z
x
Filtro
Difracción con doble rendija
D
θ
r1
r2d
φλ
a
a
... por interferencia: Ιθ(θ) = ΙΜ cos2(φ)
... por difracción: Ιθ(θ) = ΙΜ Sa2(β)
Combinando ambos efectos: Ιθ(θ) = ΙΜ Sa2(β) cos2(φ)
φ =λ
π d senθ
β = λπ a senθ
Ι
φ
Ιθ(θ) = ΙΜ Sa2(β) cos2(φ)
φ
β = λπ a senθ
a = 0
Difracción con múltiples rendijas
λ
d
θ
Ejemplo con N = 6 ranuras
φ = 2π λd senθ (1)
Máximos: Δr = d senθ = mλm = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Δr φλ 2π
Los puntos de máximo no dependen de N !Orden o Modo: m = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Análisis de mínimos para cada modo cuando: a → 0
Primer mínimo:φ1 = 2π/Ν (2)
de (1) y (2): φ1 = 2π λd senθ = 2π/Ν
θ1 = arc sen(λ/Nd) ∼ λ/Nd
Ejemplo con N = 6 ranuras
θ1 ∝ 1/Ν
Segundo mínimo: φ2 = 2π/(Ν/2) = 2 (2π/Ν) = 2φ1
θ2 = arc sen(2 λ/Nd) ∼ 2 λ/Nd ∼ 2 θ1
Segundo mínimo: θ2 = arc sen(2 λ/Nd) ∼ 2 λ/Nd ∼ 2 θ1
Primer mínimo: θ1 = arc sen(λ/Nd) ∼ λ/Nd
Mínimos con N Ranuras
k-ésimo mínimo: θk = arc sen(k λ/Nd) ∼ k λ/Nd ∼ k θ1
:
N = 2
N = 6
Mínimos entre 2 Máximos: k
Máximos: d senθm = mλ
θm = arc sen (mλ/d) θm+1 = arc sen ( (m+1)λ/d )
Δθ = θm+1 − θm = arc sen ( (m+1)λ/d ) - arc sen (mλ/d)
Δθ ∼ (m+1)λ/d - mλ/d = λ/d ... no depende de N !
Mínimos: en Δθ ∼ λ/d k-ésimo mínimo: θk = arc sen(k λ/Nd) ∼ k λ/Nd ∼ k θ1
θk < Δθ
k λ/Nd < λ/d k < N
Mínimos entre 2 Máximos: k < N
N = 2
N = 6
N = 8
Δθ = λ/d
θ1 θ2 θ3
Ιθ(θ) = Ι0 Sa2(β) sen2(Nφ) / sen2(φ)
φ =λ
π d senθβ = λ
π a senθ
En general, se puede demostrar que para N rendijas de ancho a, separadas una distancia d, la Intensidad (en la zona de Fraunhofer) está dada por:
Redes de Difracción(Rejilla con gran número de líneas equidistantes)
USO: mediciones precisas de longitud de onda, comoen Espectrógrafos y Espectrómetros.
d ... Espaciamiento de la rejilla (del orden del μm)
N ... Número de líneas (del orden de miles)
λ
λ’senθ = mλ/d
Máximos
m=0
m=1m=-1
m=2m=-2
Ejemplo de utilización de una Red de Difracción
Dada una red de difracción de 600 líneas por mm,calcular la anchura angular del espectro visible enel primer modo.
SOLUCIÓNm = 1 senθ = λ/d
rojo: λ = 700 nm θr = 24,8°
violeta: λ = 400 nm θv = 13,9°
Δθ = θr - θv = 10,9°
Poder Separador de una Red de Difracción:
Criterio de Rayleigh Lord Rayleigh (1842-1919) propuso que dos líneas espectrales son todavía distinguibles si el máximo de uno coincide con el primer mínimo del otro.
R = λΔλ
Δθ
Máximossenθ = mλ/d θ ~ m λ/d
(θ+Δθ) ~ m (λ+Δλ)/d... de donde: Δθ ~ m Δλ / d (1)
... y como el primer mínimo está en θ1∼λ/Nd (2)
... de (1) y (2) por el criterio de Rayleigh Δθ= θ1
R = λΔλ = Nm
Dispersión de una Red de Difracción: D = dθdλ
d senθ = mλMáximo:
Derivando respecto de λ: d cosθ = mdθdλ
D = dθdλ = d cosθ
m
Mayor Dispersión implica: mejor separación entre longitudes de ondas cercanas
Comparación entre Redes de Difracción
m = 0 m = 1
D; R
D; Ra>R
Da>D; R
Difracción en Abertura Circular
d ~ λ d >> λ
Óptica Física
Óptica Geométrica
La Resolución de una lente (como la usada por un telescopio) mejora al aumentar el diámetro D de la lente (o disminuyendo λ)
• Telescopios de grandes diámetros.• Microscopios ultravioletas.
Mínimos:
D ... Diámetro de la abertura
senθ1 = 1,22 λ/Dsenθ2 = 2,23 λ/Dsenθ3 = 3,24 λ/D
Difracción de Rayos X• Los rayos X fueron descubiertos en 1895 por
Wilhelm Rontgen (1845 – 1923).• Tienen longitudes de onda del orden del
Amstrong [1 Aº = 10-10m] similar al espaciamiento entre moléculas de un cristal.
Película
CristalPantalla
de plomoTubo deRayos X
Holografía
Láser
Objetro
PelículaFotográfica
Holograma
Láser
ImagenReal
ImagenVirtual
