A figura a seguir representa, na linguagemda óptica geométrica, uma lente L de eixo E ecentro C, um objeto O com extremidades A eB, e sua imagem I com extremidades A’ e B’.Suponha que a lente L seja girada de um ân-gulo α em torno de um eixo perpendicular aoplano do papel e fique na posição L* indicadana figura. Responda as questões, na figura aseguir, utilizando os procedimentos e as apro-ximações da óptica geométrica. Faça as cons-truções auxiliares a lápis e apresente o resul-tado final utilizando caneta.a) Indique com a letra F as posições dos focosda lente L.b) Represente, na mesma figura, a nova ima-gem I* do objeto O, gerada pela lente L* , as-sinalando os extremos de I* por A* e por B*.

Resposta

a) Pelas propriedades dos focos objeto e imagemaplicadas para a lente convergente, temos a figu-ra a seguir:

b) Sendo F ∗ os focos da lente na nova posição,temos a figura a seguir:

Um recipiente cilíndrico contém 1,5 L (li-tro) de água à temperatura de 40 Co . Umatampa, colocada sobre a superfície da água,veda o líquido e pode se deslocar vertical-mente sem atrito. Um aquecedor elétrico E,de 1800 W, fornece calor à água. O sistemaestá isolado termicamente de forma que ocalor fornecido à água não se transfere aorecipiente.Devido ao peso da tampa e à pressão at-mosférica externa, a pressão sobre a su-perfície da água permanece com o valorP 1,00 10 Pa0

5= × .

Ligando-se o aquecedor, a água esquenta atéatingir, depois de um intervalo de tempo tA,a temperatura de ebulição (100 Co ). A seguira água passa a evapo-rar, preenchendo a re-gião entre a superfícieda água e a tampa, atéque, depois de maisum intervalo de tempotB, o aquecedor é des-ligado. Neste processo,0,27 mol de água pas-sou ao estado de va-por.

Questão 1

Questão 2

NOTE/ADOTE 1 Pa = 1 pascal = 1N/m2

Calor específico da água: 4.000 J/(oC.kg)

Na temperatura de 100 Co e à pressão de1,00 10 Pa5× , 1 mol de vapor de água ocupa

30L e o calor de vaporização da água vale40.000J/mol.

Massa de 1 mol de água: 18 gramas

Massa específica da água: 1,0 kg/L

Determinea) o intervalo de tempo tA, em segundos, ne-cessário para levar a água até a ebulição.b) o intervalo de tempo tB, em segundos, ne-cessário para evaporar 0,27 mol de água.c) o trabalho τ, em joules, realizado pelo va-por de água durante o processo de ebulição.

Resposta

a) Sendo P a potência fornecida à água peloaquecedor elétrico e Q a quantidade de calor sen-sível absorvida pela água, temos:

tQP

dVcPA = = =∆θ

= ⋅ ⋅ − ⇒1,0 1,5 4 000(100 40)1 800

t 2,0 10 sA2= ⋅

b) Como o calor de vaporização da água vale40 000 J/mol, a quantidade de calor Q’ para que0,27 mol de água passe ao estado de vaporé dada por Q’ 40 000 0,27 1,08 10 J4= ⋅ = ⋅ .Assim, o intervalo de tempo tB será dado por:

tQ’P

1,08 101 800B

4= = ⋅ ⇒ t 6,0 sB =

c) Como 1 mol de vapor d’água ocupa 30 L, a varia-ção de volume ∆V gerada pelo vapor d’água é da-da por ∆V 30 0,27 8,1 8,1 10 m3 3= ⋅ = = ⋅ −L .Assim, o trabalho τ será dado por:τ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒−P V 1,00 10 8,1 100

5 3∆

⇒ τ = ⋅8,1 10 J2

Considere uma bolinha, de pequeno raio,abandonada de uma certa altura, no instantet = 0, a partir do repouso, acima de uma pe-sada placa metálica horizontal. A bolinhaatinge a placa, pela primeira vez, com veloci-dade V = 10 m/s, perde parte de sua energiacinética, volta a subir verticalmente e sofre su-cessivos choques com a placa. O módulo da ve-locidade logo após cada choque vale 80% domódulo da velocidade imediatamente antes dochoque (coeficiente de restituição = 0,80). Aaceleração da gravidade no local é g = 10m/s2.Suponha que o movimento ocorra no vácuo.a) Construa, na figura a seguir, o gráfico davelocidade da bolinha em função do tempo,desde o instante t = 0, em que ela é abando-nada, até o terceiro choque com a placa. Con-sidere positivas as velocidades com sentidopara cima e negativas, as para baixo.b) Determine o módulo V3 da velocidade dabolinha logo após o terceiro choque.c) Analisando atentamente o gráfico construí-do, estime o instante T, a partir do qual a bo-linha pode ser considerada em repouso sobrea placa.

física 2

Questão 3

Resposta

a) Sabendo que a bolinha foi abandonada no vácuo a partir do repouso, o tempo decorrido para a boli-nha atingir a placa pela primeira vez é:V V gt 10 0 10t0 1 1= − ⇒ − = − ⇒ t 1,0 s1 =Após o primeiro choque, o módulo da velocidade da bolinha será |V1| = 0,80 |V| = 8,0 m/s.Como a velocidade V1 na ida é igual (em módulo) à velocidade V’ na volta, o tempo decorrido nestaetapa é dado por:V’ V gt 8,0 8,0 10t1 2 2= − ⇒ − = − ⇒ t 1,6 s2 =Após o segundo choque, o módulo da velocidade da bolinha será |V2 | = 0,80|V’| = 6,4 m/s.Como a velocidade V2 na ida é igual (em módulo) à velocidade V” na volta, o tempo decorrido nessaetapa é dado por:V” V gt 6,4 6,4 10t2 3 3= − ⇒ − = − ⇒ =t 1,3 s3Assim, o gráfico da velocidade da bolinha em função do tempo, desde o instante t = 0 até o terceirochoque com a placa, é mostrado na figura:

b) Após o terceiro choque, o módulo da velocidade da bolinha será dado por:

| | | | | |V 0,80 V” V 0,80 6,43 3= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ | |V 5,1 m/s3 =

c) Admitindo-se que o módulo da variação das velocidades em cada choque seja linear e extrapolandoo gráfico para instantes posteriores, temos a figura a seguir:

física 3

Assim, o instante T estimado a partir do qual abolinha pode ser considerada em repouso sobre aplaca é T = 9,0 s.

Alienígenas desejam observar o nosso plane-ta. Para tanto, enviam à Terra uma nave N,inicialmente ligada a uma nave auxiliar A,ambas de mesma massa. Quando o conjuntode naves se encontra muito distante da Ter-ra, sua energia cinética e sua energia poten-cial gravitacional são muito pequenas, de for-ma que a energia mecânica total do conjuntopode ser considerada nula. Enquanto o con-junto é acelerado pelo campo gravitacional daTerra, sua energia cinética aumenta e suaenergia potencial fica cada vez mais negati-va, conservando a energia total nula. Quandoo conjunto N-A atinge, com velocidade V0 (aser determinada), o ponto P de máxima apro-ximação da Terra, a uma distância R0 de seucentro, um explosivo é acionado, separando Nde A. A nave N passa a percorrer, em torno daTerra, uma órbitacircular de raio R0 ,com velocidade VN(a ser determinada).A nave auxiliar Aadquire uma veloci-dade VA (a ser de-terminada). Supo-nha que a Terra es-teja isolada no es-paço e em repouso.

NOTE/ADOTE

1) A força de atração gravitacional F, entreum corpo de massa m e o planeta Terra, de

massa M, é dada por F GMmR

mg2 R= = .

2) A energia potencial gravitacional EP dosistema formado pelo corpo e pelo planetaTerra, com referencial de potencial zero no

infinito, é dada por: E GMmRP = − .

G: constante universal da gravitação.

R: distância do corpo ao centro da Terra.

gR : aceleração da gravidade à distância Rdo centro da Terra.

Determine, em função de M, G e R0 ,a) a velocidade V0 com que o conjunto atingeo ponto P.b) a velocidade VN , de N, em sua órbita circu-

lar.c) a velocidade VA, de A, logo após se separar

de N.

Resposta

a) Sendo m a massa de cada nave e x o localonde o conjunto de naves se encontra muito dis-tante da Terra, do Princípio da Conservação daEnergia Mecânica, temos:E E E Em

xmP

cP

gP= ⇒ = + ⇒0

⇒ =⋅

+ − ⋅

⇒0

2m V2

GM 2mR

02

0

⇒ V2GMR0

0=

b) A força de atração gravitacional F entre a mas-sa da nave N e a Terra, durante sua órbita circu-lar, atua como resultante centrípeta. Assim, te-mos:

R Fm V

RGMm

Rcp

N2

0 02= ⇒ = ⇒ V

GMRN

0=

c) Sendo o sistema isolado, do Princípio da Con-servação da Quantidade de Movimento, vem:

Q Q 2m V m V m Vantes depois 0 N A= ⇒ = + ⇒

⇒ = + ⇒22GMR

GMR

V0 0

A

⇒ V (2 2 1)GMRA

0= −

Um avião voa horizontalmente sobre o marcom velocidade V constante (a ser determina-da). Um passageiro, sentado próximo ao cen-tro de massa do avião, observa que a superfí-cie do suco de laranja, que está em um coposobre a bandeja fixa ao seu assento, perma-nece paralela ao plano da bandeja. Estandojunto à janela, e olhando numa direção per-pendicular à da trajetória do avião, o passa-geiro nota que a ponta da asa esquerda doavião tangencia a linha do horizonte, como

física 4

Questão 4

Questão 5

mostra a figura A. O piloto anuncia que, devi-do a um problema técnico, o avião fará umacurva de 180o para retornar ao ponto de par-tida. Durante a curva, o avião se inclina paraa esquerda, de um ângulo θ = 30o, sem quehaja alterações no módulo de sua velocidadee na sua altura. O passageiro, olhando sem-pre na direção perpendicular à da velocidadedo avião, observa que a ponta da asa esquer-da permanece durante toda a curva apontan-do para um pequeno rochedo que aflora domar, como representado na figura B. O pas-sageiro tambémnota que a super-fície do suco per-maneceu paralelaà bandeja, e que oavião percorreu atrajetória semi-circular de raio R(a ser determina-do), em 90s. Per-cebe, então, quecom suas obser-vações, e algunsconhecimentos deFísica que adqui-riu no EnsinoMédio, pode esti-mar a altura e avelocidade doavião.

NOTE/ADOTEπ=3; sen30o=0,5; cos30o=0,86;

tg30o=0,6=1/1,7

Aceleração da gravidade: g 10m s 2= ⋅ −

As distâncias envolvidas no problemasão grandes em relação às dimensõesdo avião.

a) Encontre uma relação entre V, R, g e θ,para a situação descrita.b) Estime o valor da velocidade V do avião,em km/h ou m/s.c) Estime o valor da altura H, acima do níveldo mar, em metros, em que o avião estavavoando.

Resposta

As forças que atuam sobre o avião quando ele seinclina de θ =30o em relação ao horizonte são da-das por:

a) Do equilíbrio na vertical e do Princípio Funda-mental da Dinâmica, vem:

F R

F PF sen

mVR

F cos mg

r cp

v

2=

=⇒ =

=

θ

θDividindo-se as equações, temos:

tggR

θ = V 2

b) Como o avião percorre a semi-circunferênciacom velocidade escalar (V) constante, podemosescrever:

VRt

V3R90

R 30 V= ⇒ = ⇒ = ⋅π∆

Substituindo-se na expressão do item anterior, vem:

tg 30V

g 30V0,6

V10 30

o2

=⋅

⇒ =⋅

⇒

⇒ V 180 m/s=

c) Como durante toda a curva a ponta da asaaponta para o rochedo, podemos concluir que ocentro da trajetória percorrida pelo avião está emuma vertical que passa pelo rochedo. Assim, po-demos construir o esquema a seguir:

A altura H é dada por:

tg 30HR

R 30 V

V 180 m s

0,6H

30 180

o =

= ⋅=

⇒ =⋅

⇒/

⇒ H 3 240 m=

física 5

Uma lâmpada L está ligada a uma bateria Bpor 2 fios, F1 e F2 , de mesmo material, de

comprimentos iguais e de diâmetros d e 3d,respectivamente. Ligado aos terminais da ba-teria, há um voltímetro ideal M (com resis-tência interna muito grande), como mostra afigura. Nestas condições a lâmpada está ace-sa, tem resistência R 2,0L = Ω e dissipa umapotência igual a 8,0W. A força eletromotrizda bateria é ε = 9,0V e a resistência do fio F1

é R 1,81 = Ω.

Determine o valor daa) corrente I, em ampères, que percorre o fioF1 .

b) potência P2 , em watts, dissipada no fio

F2 .

c) diferença de potencial VM , em volts, indi-

cada pelo voltímetro M.

Resposta

a) Como a corrente (I) em F1 é a mesma que atra-vessa a lâmpada, temos:

P R I 8,0 2,0 IL2 2= ⇒ = ⇒ I 2,0 A=

b) A resistência elétrica (R2 ) do fio F2 é dada por:

Rd2

R3d2

RR

d4

1 2

2 2

1

2

2=

=

⇒ =

ρπ

ρπ

ρπ

ρ

π 9d4

2

⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ =RR

91,8R

9 R 0,201

2 22 Ω

Assim, a potência P2 é obtida de:

P R I 0,20 2,02 22 2= = ⋅ ⇒ P 0,80 W2 =

c) A resistência total é dada por:

R R R R 1,8 0,20 2,0 4,01 2 L= + + = + + = ΩAssim, temos:

V R I 4,0 2,0M = ⋅ = ⋅ ⇒ V 8,0 VM =

A figura representa uma câmara fechada C,de parede cilíndrica de material condutor, li-gada à terra. Em uma de suas extremidades,há uma película J, de pequena espessura,que pode ser atravessada por partículas.Coincidente com o eixo da câmara, há um fiocondutor F mantido em potencial positivo emrelação à terra. O cilindro está preenchidocom um gás de tal forma que partículas alfa,que penetram em C, através de J, colidemcom moléculas do gás podendo arrancar elé-trons das mesmas. Neste processo, são for-mados íons positivos e igual número de elé-trons livres que se dirigem, respectivamente,para C e para F. O número de pares elé-tron-ion formados é proporcional à energiadepositada na câmara pelas partículas alfa,sendo que para cada 30eV de energia perdidapor uma partícula alfa, um par é criado. Ana-lise a situação em que um número n = 2x104

partículas alfa, cada uma com energia cinéti-ca igual a 4,5MeV, penetram em C, a cadasegundo, e lá perdem toda a sua energia ciné-tica. Considerando que apenas essas partícu-las criam os pares elétron-ion, determine

NOTE/ADOTE1) A carga de um elétron é e = −1,6x10 19− C2) elétron-volt (eV) é uma unidade deenergia3) 1 MeV =106 eV

física 6

Questão 6

Questão 7

a) o número N de elétrons livres produzidosna câmara C a cada segundo.b) a diferença de potencial V entre os pon-tos A e B da figura, sendo a resistênciaR=5x107Ω.

Resposta

a) A energia cinética (Ec) perdida por n partículasalfa, cada uma com energia cinética E = 4,5 MeV, é:

E nE E 2 10 4,5c c4= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅E 9 10 MeV E 9 10 eVc4

c10

Como o número N de elétrons livres produzidos acada segundo é proporcional à energia cinéticaperdida pelas partículas alfa, temos:

Energia Perdida(eV)

Número de ElétronsLivres Produzidos

309 ⋅1010

1N

⇒ N = 3 ⋅109 elétrons livres a cada segundo

b) A diferença de potencial V entre os pontos A eB é dada por:

V R i V RQ

t= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒| |

∆V R N e| |

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒−V 5 10 3 10 1,6 107 9 19

⇒ = ⇒V 0,024 V V 24 mV=

O ímã representado na figura, com larguraL = 0,20 m, cria, entre seus pólos, P1 e P2 ,um campo de indução magnética B, horizon-tal, de intensidade constante e igual a 1,5T.Entre os pólos do ímã, há um fio condutor f,com massa m = 6,0 x 10 3− kg, retilíneo e hori-zontal, em uma direção perpendicular à docampo B. As extremidades do fio, fora da re-gião do ímã, estão apoiadas e podem se mo-ver ao longo de guias condutores, verticais, li-gados a um gerador de corrente G. A partirde um certo instante, o fio f passa a serpercorrido por uma corrente elétrica cons-tante I = 50A.Nessas condições, o fio sofre a ação de umaforça F0 , na direção vertical, que o acelerapara cima. O fio percorre uma distância ver-tical d = 0,12 m, entre os pólos do ímã e, aseguir, se desconecta dos guias, prosseguindoem movimento livre para cima, até atingiruma altura máxima H.

NOTE/ADOTE1) Um fio condutor retilíneo, de comprimento

C, percorrido por uma corrente elétrica I,totalmente inserido em um campo de indu-ção magnética de módulo B, perpendicularà direção do fio, fica sujeito a uma força F,de módulo igual a BIC, perpendicular à di-reção de B e à direção do fio.

2) Aceleração da gravidade g 10m.s 2= −

3) Podem ser desprezados os efeitos de bor-da do campo B, o atrito entre o fio e osguias e a resistência do ar.

Determinea) o valor da força eletromagnética F0 , emnewtons, que age sobre o fio.b) o trabalho total τ, em joules, realizado pelaforça F0 .c) a máxima altura H, em metros, que o fio al-cança, medida a partir de sua posição inicial.

Resposta

a) O valor da força eletromagnética F0 é dado por:F BIL 1,5 50 0,200 = = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ F 15 N0 =

b) Sendo a força magnética F0 constante, temos:τ = ⋅F d0 = 15 ⋅ 0,12 ⇒

⇒ τ = 1,8 J

c) Entre o instante anterior à passagem de cor-rente elétrica pelo fio (repouso) e o instante demáxima altura H (repouso), do Teorema da Ener-gia Cinética, vem:

R C

R P

P

E 0

mgH

1,8 mgH 0

ττ τ ττ

= == += −

⇒ − = ⇒∆

⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒−1,8 6,0 10 10 H 03

⇒ H = 30 m

física 7

Questão 8

Duas pequenas esferas metálicas, A e B, são mantidas em potenciais eletrostáticos constan-tes, respectivamente, positivo e negativo. As linhas cheias do gráfico a seguir representam asintersecções, com o plano do papel, das superfícies equipotenciais esféricas geradas por A,quando não há outros objetos nas proximidades. De forma análoga, as linhas tracejadas re-presentam as intersecções com o plano do papel, das superfícies equipotenciais geradas por B.Os valores dos potenciais elétricos dessas superfícies estão indicados no gráfico. As questõesse referem à situação em que A e B estão na presença uma da outra, nas posições indi-cadas no gráfico, com seus centros no plano do papel.

NOTE/ADOTE Uma esfera com carga Q gera, fora dela, a uma distância r do seu centro,um potencial V e um campo elétrico de módulo E, dados pelas expressões:

V = K (Q/r) E = K (Q/r2) = V/r K = constante; 1 volt / metro = 1 newton / coulomb

a) Trace, com caneta, em toda a extensão do gráfico a seguir, a linha de potencial V = 0,quando as duas esferas estão nas posições indicadas. Identifique claramente essa linhapor V = 0.b) Determine, em volt / metro, utilizando dados do gráfico, os módulos dos campos elétricosEPA e EPB criados, no ponto P, respectivamente, pelas esferas A e B.

c) Represente, em uma escala conveniente, no gráfico, com origem no ponto P, os vetores EPA ,

EPB e o vetor campo elétrico EP resultante em P. Determine, a partir desta construção gráfi-

ca, o módulo de EP , em volt / metro.d) Estime o módulo do valor do trabalho τ, em joules, realizado quando uma pequena car-ga q = 2,0nC é levada do ponto P ao ponto S, indicados no gráfico.(2,0nC = 2,0 nanocoulombs = 2,0 × 10 9− C).

física 8

Questão 9

Resposta

a) O lugar geométrico dos pontos que tem potencial V = 0 é dado por:

b) Do gráfico, temos:

As distâncias rA e rB podem ser estimadas por:r 0,07 0,03 r 0,04 mA A= − ⇒ =r 0,11 0,03 r 0,08 mB B= − ⇒ =Assim, os módulos dos campos elétricos no ponto P gerados pelas esferas A e B são dados por:

EVr

2500,04PA

PA

A= = + ⇒

| | | |E 6 250

VmPA =

física 9

EVr

2500,08PB

PB

B= = − ⇒

| | | |E 3125

VmPB =

c) Sendo o campo elétrico perpendicular às superfícies equipotenciais, EPA = 2 EPB e EP == EPA +EPB , podemos construir a figura a seguir:

Da análise da construção, respeitando-se a escala adotada, temos, aproximadamente:

EP = 2,5 EPB ⇒EP = 2,5 ⋅ 3 125 ⇒ EP = 7,8 ⋅103 Vm

d) O trabalho (τ) realizado pela força elétrica para levar uma carga do ponto P ao ponto S é dado por:

τ = − ⇒q(V V )P S τ = ⋅ + − − − +−2,0 10 [( 250 250) ( 5009 150)] ⇒ τ = ⋅ −7,0 10 J7

Obs.: Na verdade, temos:

E KQ V

r= =| | | |

r 2

física 10

Uma onda sonora plana se propaga, em umacerta região do espaço, com velocidadeV=340m/s, na direção e sentido do eixo y,sendo refletida por uma parede plana per-pendicular à direção de propagação e locali-zada à direita da região representada no grá-fico a seguir. As curvas I e R desse gráfico re-presentam, respectivamente, para as ondas

sonoras incidente e refletida, a diferença en-tre a pressão P e a pressão atmosférica P0 ,(P − P0), em função da coordenada y, no ins-tante t=0. As flechas indicam o sentido depropagação dessas ondas.a) Determine a freqüência f da onda incidente.b) Represente, com caneta, no gráfico aseguir, a curva de P − P0 , em função de y, noinstante t=0, para a onda sonora resultanteda superposição, nesta região do espaço, dasondas incidente e refletida. (Represente aomenos um ciclo completo).

Questão 10

c) Uma pessoa cami-nhando lentamente aolongo da direção y per-cebe, com um de seusouvidos (o outro está ta-pado), que em algumasposições o som tem in-tensidade máxima e emoutras tem intensidadenula. Determine umaposição y0 e outra ym ,do ouvido, onde o somtem intensidade nula emáxima, respectiva-mente. Encontre, para aonda resultante, o valorda amplitude Am , deP − P0 , em pascals, naposição ym .

Resposta

a) Sendo λ = 2 m a distância entre dois máximos ou dois mínimos do gráfico, da Equação Fundamentalda Ondulatória, vem:

v f 340 2f= ⇒ = ⇒λ f 170 Hz=

b) Do Princípio da Superposição, a onda resultante da interferência entre I e R para t = 0 é dada por:

c) Como os máximos de intensidade correspondem a uma máxima diferença em módulo, entre P e P0(ordenada máxima em módulo do gráfico), e os nulos correspondem a P − P0 = 0 (ordenada nula dográfico), temos:

física 11

Posições de intensidade nula:

y0 = −0,5 m ou y0 = 0,5 m ou y0 = 1,5 m ou y0 = 2,5 m

Posições de intensidade máxima:

ym = 0 ou ym = 1,0 m ou ym = 2,0 m ou ym = 3,0 m

Da figura, temos que a amplitude da onda resultante é Am = 1,4 Pa .

física 12