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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-02-11 4ª

2014-02-06

Contenido

✓Difusión de momentum

✓Flujo laminar

✓…

Coeficiente de Difusión Molecular μ.

# A partir de la Teoría Cinética de los Gases;

# Modelos empíricos.

2013-09-17

2013-09-19 ocurrió el primer examen

Fuerza motriz de largo alcance; coeficiente de transferencia de masa kg

Expresiones de composición y velocidad

Coeficiente de difusión.

kg

A

1 23

AB 2

ABB

2 1 KT 1 1D

3 P md

Los objetivos que se persiguen con esta parte son:

i) Explicar cualitativamente el significado físico de transferencia de

momentum;

ii) Obtener un modelo matemático de la viscosidad de un gas,

aplicando algunos conceptos de la Teoría Cinética de los Gases.

1 W. J. Thompson, Introduction to Transport Phenomena, Prentice Hall, 2000. 2 R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, Trasnport Phenomena, 2ª. Edición

Coeficiente de transferencia de momentum μ de gases

Teoría cinética de los gases1,2

Considere un elemento de control representado por la siguiente figura:

Restricciones (Características)

1) Gas puro;

2) Esferas rígidas, no manifiesta efectos

electrostáticos (interacción), con un

diámetro d;

3) Hay n moléculas por unidad de

volumen,

Esquema

4) El número n es pequeño, es decir que se tiene una baja concentración

de moléculas (sistema diluido); consecuentemente, la distancia promedio

que hay entre las moléculas es considerablemente mayor que el diámetro

d de ellas;

5) La distancia promedio que recorren las moléculas entre dos choques

consecutivos (trayectoria libre media, λ) es mucho mayor que el

diámetro promedio de ellas;

6) Las moléculas tienen un movimiento al azar (no hay trayectoria

preferencial);

Restricciones (continua)

7) La trayectoria libre media de las moléculas λ (distancia

promedio que recorrer dos moléculas para chocar entre sí) es

mucho menor que la distancia que deben recorrer para chocar con

el recipiente que las contiene; entonces, se tiene:

Cuando se cumplen las restricciones antes mencionadas, se puede aplicar

la Teoría Cinética de los Gases , en particular las expresiones siguientes

(pildoras):

Trayectoria libre media de las moléculas λ:

nK 1L

Donde, Kn es el número de Knudsen; y L es una longitud característica

del sistema (vg. el radio del tubo que contiene a las moléculas).

2

1

2 d n

L

De la Teoría Cinética de los Gases (continuan las pildoras):

La velocidad promedio de las moléculas ū, calculada tomando como

referencia la velocidad del fluido v, es:

La distancia que recorren las moléculas que llegan a un plano y

después de haber chocado con otra molécula es:

8KTu

m

K es la constante de Boltzman; T es la temperatura absoluta; m es la

masa de la molécula que se transporta (peso molecular).

La frecuencia con la que las moléculas chocan (atraviesan) algún

plano y por unidad de área Z (número de moléculas/área x tiempo) es:

1Z nu

4

2a

3

2

moléculaZ

tL

L

ut

a L

Ahora se pueden alcanzar los objetivos que se persiguen:

i) Explicar cualitativamente el significado físico de transferencia de

momentum;

ii) Obtener un modelo matemático de la viscosidad de un gas,

Considerando. i) el elemento de control que se ilustra en la figura

siguiente; y ii) las restricciones antes mencionadas y las que se indican

enseguida:

8) Las moléculas que contiene el sistema se mueven chocando al azar

unas con otras;

9) Son de interés las moléculas que chocan otras moléculas en los

planos y-a y y+a y que como resultado de ello cruzan el plano y. 9

Considerando el gas que fluye paralelo al eje-x y que tiene un

gradiente de velocidad (rapidez de deformación), como se muestra en la

figura: xdv

dy

gradiente: 2 1x x

y yx

2 1

v vdv

dy y y

Es importante mencionar que se asume que: a) las ecuaciones

provenientes de la Teoría Cinética de los Gases, antes consideradas

pueden aplicarse en condiciones de no-equilibrio como son las que

prevalecen en los procesos de transporte; y b) que las velocidades de las

moléculas se calculan tomando como referencia la velocidad promedio

del fluido, en la región en la cual las moléculas de interés tuvieron su

última colisión.

Paréntesis… diferencia entre flujo y flux…

flujo másico: masa M

Ftiempo t

flux másico: 2

masa MN

tiempo área tL

En la definición de flux se considera el área transversal de flujo…

flujo de momentum: masa velocidad ML

tiempo t

flux de momentum: 2

masa velocidad ML

tiempo área tL t

= 2 2 2

ML M L masa Fuerzaaceleración esfuerzo

área áreatL t L t

El flux de momentum en el plano-y se puede expresar en términos de

las moléculas que vienen de los planos (y+a) y (y-a), y que cruzan el

plano-y…

x xy a y a

Zmv Zmv

=

x 2 2y a

M L 1 L 1 1 1Zmv M masa velocidad

t t t área tiempotL L

Como: ; ; 2

molécula M LZ m u

molécula ttL

=

xy a

1 1momentum flux de momentum

área tiempZmv

o

=

x 2y a

1 1masa aceleración fuerza

áre

1 L 1Zmv M

t rt a á eaL

xy a

1fuerza esfuerzo

áreflux momentmv

aumZ

Esta ecuación implica que todas las moléculas que cruzan el plano-y

tienen una velocidad que es representativa de la región en la cual

chocaron la última vez, y que el perfil de velocidad vx(y) es lineal en una

distancia que es varias veces mayor que la trayectoria libre media de las

moléculas que participan en el análisis… incluir Figura 2.1 Churchil

x xy a y a

Zmv Zmv

De acuerdo con lo anterior:

como: 2

a3x

x xy a y

dvv v a

dy

xx x

y a y

dv2v v

3 dy

x

x xy a y

dv2v v

3 dy

como:

1Z nu

4

xyx

dv1nmu

3 dy como: x

yx

dv

dy

1nmu

3

como: ; 2

1 8KTu

m2 d n

2 3 2

2 m T

3 d

De acuerdo con este modelo, la viscosidad de un fluido que cumple

con las restricciones (características) asumidas (esferas rígidas…) puede

conocerse (predecirse) si se conocen el peso molecular m, diámetro d y

la temperatura T de las moléculas de fluido;

Este modelo describe cualitativamente el comportamiento de algunos

fluidos; pero tiene la virtud de señalar parámetros que determinan la μ;

Se han construido mas modelos, incorporando otras principios

teóricos y empíricos, como la función de energía potencial Lennard-

Jones… consultar BSL…

El enfoque empírico es el que mas se aplica para describir la μ, lo cual

explica porque hay tantos modelos (Newton, Bingham, Ellis…)…

consultar BSL, Thompson, Introduction to Transport Phenomena,

Brodkey and Hersey, Transport Phenomena. A Unified Approach…

Como: 2 3 2

2 m T

3 d

✓Difusión de momentum… la viscosidad es la propiedad de transporte

que determina la transferencia de momentum…

✓Para explicar la afirmación anterior, considere el experimento

siguiente: un fluido esta contenido entre dos placas rectangulares, las

cuales tienen un área A y están a una distancia constante h una de la

otra.

✓Se quiere estudiar el comportamiento del fluido cuando la placa

superior se mueve a una velocidad constante U, observando

experimentalmente las siguientes etapas del proceso:

1. Inicialmente (t < 0), no hay movimiento en el sistema;

2. En un instante dado (t=0), a la placa superior se le aplica una fuerza

tangencial constante F, es decir, que la placa recibe un esfuerzo cortante

τ = F/A;

3. La aplicación de τ se mantiene por un tiempo relativamente largo (0<t

<∞), y se observa un perfil de velocidad no-lineal;

4. La aplicación de τ se mantiene por un tiempo muy largo (t →∞), y se

observa un perfil de velocidad lineal.

Esquema

1. Inicialmente (t < 0), no hay movimiento en el sistema, Figura (a);

2. En un instante dado (t=0), a la placa superior se le aplica una fuerza

tangencial constante F, es decir, que la placa recibe un esfuerzo cortante τ =

F/A, Figura (b);

3. La aplicación de τ se mantiene por un tiempo relativamente largo (0<t <∞), y

se observa un perfil de velocidad no-lineal, Figura (c );

4. La aplicación de τ se mantiene por un tiempo muy largo (t →∞), y se observa

un perfil de velocidad lineal, Figura (d ).

z = 0

z = h

t < 0

Figura (a) z = 0

z = h

Figura (b)

t = 0

z = h

Figura (c) z = 0

0<t <∞ z = 0

z = h

Figura (d)

t →∞

Como se asumió, experimentalmente se determinaron los perfiles de

velocidad a diferentes tiempos de la prueba, mismos que se muestran en

las figuras (a-d):

z = 0

z = h

t < 0

Figura (a) z = 0

z = h

Figura (b)

t = 0

z = h

Figura (c) z = 0

0<t <∞ z = 0

z = h

Figura (d)

t →∞

Para explicar cualitativamente (después, se construirá y resolverá el modelo

matemático correspondiente) los resultados del experimento antes descrito, se

hacen las siguientes consideraciones:

El fluido en su conjunto esta constituido por paquetes de fluido, que tienen

características tales que se les puede aplicar la hipótesis del medio continuo.

En este caso, el transporte de momentum es por difusión molecular (después

se revisará el transporte por convección), el cual implica la interacción entre

paquetes de fluido que tienen velocidades diferentes… el paquete con velocidad

mayor transfiere momentum al paquete que tiene menor velocidad (gradiente de

velocidad)…

Los paquetes de fluido se organizan en capas de fluido, y esas capas (placas

de fluido) se mueven lenta y paralelamente tanto las placas como entre ellas.

y

x

u2

u1

u2>u1 F U

h

La placa superior esta mojada con el fluido, es decir que la placa tiene

pegada una capa de fluido pegada a ella; y, debido a la condición de no-

deslizamiento, la capa que moja a la placa y ésta tienen la misma

velocidad;

En la Figura (a) se representa la etapa 1 del proceso, cuando t < 0,

nada se mueve, y ello se debe a que no se ha aplicado ningún esfuerzo

cortante sobre la placa superior, por lo tanto no hay manera que el fluido

se deforme ni que haya ningún perfil de velocidad;

Huecos o irregularidades del sólido

Paquetes de fluido atrapados en los huecos del sólido

z = 0

z = h

t < 0

Figura (a)

En la Figura (b) se representa la etapa 2 del proceso, cuando t = 0,

entonces solamente se mueven la placa superior y la capa de fluido que

la moja (no-deslizamiento), ambas con la misma velocidad, el resto del

fluido no ha tenido tiempo de percibir (sufrir) el efecto de la

transferencia de momentum, por lo tanto el perfil de velocidad en el

fluido es plano, con velocidad igual a cero;

z = 0

z = h

Figura (b)

t = 0

En la Figura (c) se representa la etapa 3 del proceso, cuando 0<t<∞; se

observó que se mueven la placa superior, la capa de fluido que la moja y

algunas capas de fluido, las cuales tienen una velocidad menor la que esta

colocada inmediatamente arriba de ella, pero mayor que la capa debajo de

ella;

esto es así porque paquetes de fluido que pertenecen a las capas que tienen

mayor velocidad interaccionan con paquetes de fluido de capas con menor

velocidad, y el efecto neto de este intercambio es la transferencia de

momentum de las capas con mayor velocidad a las capas con menor velocidad;

el resto del fluido puede ser que no haya tenido tiempo de percibir (sufrir) el

efecto de la transferencia de momentum; consecuentemente; el perfil de

velocidad del fluido no es plano, ni lineal;

y

x

u2

u1

u2>u1

z = h

Figura (c) z = 0

0<t <∞

En la Figura (d) se representa la etapa 4 del proceso, cuando t→∞; se

observó que se mueven la placa superior, la capa de fluido que la moja y las

demás capas de fluido tienen una velocidad menor la que esta colocada

inmediatamente arriba de ella, pero mayor que la capa debajo de ella;

Esto es así porque paquetes de fluido que pertenecen a las capas que tienen

mayor velocidad interaccionan con paquetes de fluido de capas con menor

velocidad, y el efecto neto de este intercambio es la transferencia de

momentum de las capas con mayor velocidad a las capas con menor velocidad;

Todo el fluido ya tuvo tiempo de percibir (sufrir) el efecto de la transferencia

de momentum; y el perfil de velocidad del fluido es lineal… el perfil lineal será

explicado mediante el modelo matemático correspondiente a este caso.

y

x

u2

u1

u2>u1

z = 0

z = h

Figura (d)

t →∞

✓Polvos… son sólidos que tienen tamaño relativamente pequeño;

✓Cuando se les aplica cierto esfuerzo, las partículas de polvo pueden

fluir, es decir que en su conjunto pueden moverse y reorientarse; sin

embargo, en cuanto cesa la aplicación del esfuerzo, las partículas de

polvo recobran su características (estructura) de sólido, y por ello a

los polvos no se les considera como fluidos.

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Transferencia de Momentum

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Fin de 2014-02-11 4ª