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Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
( ) ( )( ) ( )
( ) '''
1
4
12 2
2'dy
dy
d
yyVy
ycVyC
yy
b
bl
∫−∞∞
Γ
−+−
Γ=
∞
��
πβα
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Método de resolução da equação integro-diferencial
da linha sustentadora através da sua transformação
num sistema de equações algébrico
- Asas simétricas, sem diedro e sem flecha
Aerodinâmica I
• Substituição de variável independente
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
( )θy2
cos =
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )
( )θ
θ
θ
db
dy
b
y
2
sen
2cos
−=
=
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
''cos'cos
2
4
12
0'θ
θθθπθβ
θθ
θθα
π
dd
d
bVcVCl
∫Γ
−+−
Γ=
∞∞∞
��
Aerodinâmica I
• A circulação tem de ser nula nas extremidades
e simétrica
Nestas condições, o desenvolvimento em
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
πθθ == e0 ( ) ( )θπθ −Γ=Γ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Nestas condições, o desenvolvimento em
série de é dado por
• Os termos com cosseno são eliminados pelas
condições na extremidade e os valores de n
par pela condição de simetria
( ) ( )∑∞
=
Γ=Γ,...3,1
senn
n nθθ
( )θΓ
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• O primeiro termo da série corresponde a
uma distribução de circulação elíptica
22 y
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
12
22
1
=
+
Γ
Γ
b
y
ou seja
( ) ( ) ( )2
1
2
11
21cos1sen
−Γ=−Γ=Γ=Γ
b
yθθθ
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
( ) ( )( )( ) ''cos
cos'cos
2
4
1
0θθ
θθπω
π
dnnb
ni ∫ ∑∞
Γ−
=
• Determinação da velocidade descendente
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( ) ( )( )( ) ''cos
cos'cos4 0,...3,1θθπ b n
ni ∫ ∑=−
• Para uma série com 1 termo
( )( )∑
∞
=
Γ=,...3,1
sensen2
1
n
ni nnb
θθ
ω
bi
2
1Γ=ω
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Equação da linha sustentadora
∞∞
ieff ααα +=
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )θ
θ
θβθθ
θ
θαsen2
sensen2,...3,1
'
,...3,1
∞
∞
=
∞
∞
=
∑∑ Γ
+−
Γ
=
∞Vb
nn
cVC
nn
n
l
n
n
��
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )θβθαθ
θ
θθ
θ+=
+Γ
∞∞
∞
=∞
∑sen2
sensen2'
,...3,1 Vb
nn
cVC
n
ln
n ��
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Escolhendo um número finito (N) de termos
da série chegamos a um sistema de equações
algébrico, que satisfaz
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
algébrico, que satisfaz
em N pontos do intervalo com2
0π
θ ≤< i
NicomN
ii ,...,2,1,2
==π
θ
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )ii
i
i
iil
i
N
n
nVb
nn
cVC
nθβθα
θ
θ
θθ
θ+=
+Γ
∞∞
−+
=∞
∑sen2
sensen2'
121
,...3,1
��
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Exemplo para N=3
( ) ( ) ( ) ( )5sen3sensen 531 θθθθ Γ+Γ+Γ=Γ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( ) ( ) ( ) ( )
2,
3,
6
5sen3sensen
321
531
πθ
πθ
πθ
θθθθ
===
Γ+Γ+Γ=Γ
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
+
+
+
=
Γ
Γ
Γ
33
22
11
5
3
1
333231
232221
131211
θβθα
θβθα
θβθα
AAA
AAA
AAA
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Exemplo para N=3
( ) ( ) ( ) ( )5sen3sensen 531
πππ
θθθθ Γ+Γ+Γ=Γ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )6sen2
65sen5
66
65sen2
sen2
121sen121121sen2
'13
'
π
π
ππ
π
θ
θ
θθ
θ
∞∞
∞∞
+=
−+−++
−+=
∞
∞
VbcVCA
Vb
jj
cVC
jA
l
i
i
iil
iij
��
��
2,
3,
6321
πθ
πθ
πθ ===
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,
pode-se calcular a força de sustentação, L,
e a força de resistência induzida, Di
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
e a força de resistência induzida, Di
( ) ( )∫
≠⇐
=⇐=
ππ
θθθ0
0
2sensen
nm
nmdnm
( ) ( )∫ ∑
Γ=
∞
=
∞
π
θθθρ0
,...3,1
sen2
sen db
nVLn
n
�
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,
pode-se calcular a força de sustentação, L,
e a força de resistência induzida, Di
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
e a força de resistência induzida, Di
• A força de sustentação depende apenas do
primeiro termo da série. Obviamente, isto não
quer dizer que basta utilizar 1 termo da série
para calcular o valor exacto de L
14
Γ= ∞VbL�
ρπ
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,
pode-se calcular a força de sustentação, L,
e a força de resistência induzida, Di
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
e a força de resistência induzida, Di
( ) ( )∫ ∑∑
Γ
Γ=
∞
=
∞
=
π
θθθρ0
,...3,1,...3,1
sensen4
1dnnnD
n
n
n
ni
∑∞
=
Γ=,...3,1
2
8 n
ni nD ρπ
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,
pode-se calcular a força de sustentação, L,
e a força de resistência induzida, Di
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
e a força de resistência induzida, Di
( )
2
,...5,3 1
2
1 18
∑∞
=
Γ
Γ=
+Γ=
n
n
i
n
D
δ
δρπ
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,
pode-se calcular a força de sustentação, L,
e a força de resistência induzida, Di
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )δρ
π+=
∞
1
2
22
2
bV
LDi
�
∞
=ΓVb
L�
πρ
41
e a força de resistência induzida, Di
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
• Coeficiente de sustentação e coeficiente
de resistência induzida
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )δπρ
π
ρ
+Λ
==
ΓΛ==
∞
∞∞
121
221
2
2
1
2
LiD
L
C
SV
DC
VbSV
LC
i �
�
�
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Método de Glauert
( )δπρ
+Λ
==
∞
121
2
2
LiD
C
SV
DC
i �
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• O coeficiente de resistência induzida é
proporcional ao quadrado do coeficiente
de sustentação e tende para zero quando o
alongamento, Λ, tende para infinito,
ou seja ∞→b
∞
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• O coeficiente de resistência induzida é dado por
( )2
2
∑∞
Γ
=+==CD
δδ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Por definição , logo a resistência induzida
mínima corresponde a , ou seja
0≥δ0=δ
1para0 >=Γ nn
( ),...5,3 1
2
2com1
21∑
∞
=∞
Γ
Γ=+
Λ==
n
nLiD n
C
SV
DC
iδδ
πρ�
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
2
• Série com 1 termo corresponde a uma distribuição
de circulação elíptica
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( ) ( ) ( )2
1
2
11
21cos1sen
−Γ=−Γ=Γ=Γ
b
yθθθ
• A velocidade induzida, ωi, é constante ao longo da
envergadura e igual a
bi
2
1Γ=ω
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• As forças e coeficientes de sustentação
e de resistência induzida são dados por
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Λ==
ΓΛ=Γ=
∞
∞
∞
πρπ
πρ
π
2
22
2
11
,
2
2,
4
LDi
L
CC
bV
LD
VbCVbL
i�
�
�
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• O ângulo de ataque induzido é constante
ao longo da envergadura
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Se admitirmos que a asa não tem torção o
ângulo de ataque geométrico é constante
ao longo da envergadura, pelo que
é independente de y
Λ=
Γ=
∞π
α Li
C
Vb�
2
1
ieff ααα −=
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• O coeficiente de sustentação da asa, CL,
pode ser calculado de
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Para uma asa com distribuição de circulação
eliptica sem torção e com o
mesmo perfil ao longo da envergadura, temos
l
b
blL Cdyb
CC == ∫−2
2
1
( )ect=iα ( )ect=α
∫−=2
2
1 b
blL dyC
bC
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
lL CC =• Quando , podemos escrever
ieff ααα +=
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
ieff ααα +=
como
ou seja
( )βα
π
+
Λ+
=
∞
11
1
'
l
L
C
C
Λ+−=
∞π
βα L
l
L C
C
C'
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• A razão entre os declives da variação do coeficiente
de sustentação com o ângulo de ataque da asa
finita e da sua secção (perfil) é dada por
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
finita e da sua secção (perfil) é dada por
• Se admitirmos
Λ+
=∞∞
π
''
'
1
1
ll
L
CC
C
2temos2
'
''
+Λ
Λ=≅
∞
∞
l
Ll
C
CC π
Aerodinâmica I
0.8
0.9
1
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
2'
'
+Λ
Λ=
∞l
L
C
C
'
'
∞l
L
C
C
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Λ
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• Uma distribuição de circulação elíptica pode ser
obtida para uma asa sem torção com secção
constante ao longo da curvatura
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
( )( )
( ) ( )θθ
βθ
θα
sen
2
sen2 1
'
1
r
l
cc
VbcVC
=
Γ+−
Γ=
∞∞∞
��
em que a corda no plano de simetria (root chord), cr ,
está relacionada com a sustentação pretendida e as
características geométricas da asa (espessura e
curvatura do perfil)
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
• Uma asa elíptica em planta tem uma
construção mais difícil do que uma asa
rectangular em planta
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Uma asa com afilamento pode aproximar
uma distribuição de circulação elíptica
com uma construção mais simples
• Afilamento (taper ratio) é a razão entre
a corda na extremidade da asa
(tip chord, ct) e no plano de simetria
(root chord, cr)
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
2
,...5,3 1
e ∑∞
=
Γ
Γ=Λ=
n
nnAR δ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
,...5,3 1= n
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Asa de resistência induzida mínima
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
• O coeficiente de sustentação da asa finita depende
do alongamento e do coeficiente de sustentação
das secções da asa (perfis)
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Introdução dos efeitos da viscosidade
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
das secções da asa (perfis)
• Se forem determinados em fluido real os
efeitos da viscosidade estão incluidos na
determinação do coeficiente de sustentação da asa
( ) ( ) ( ) ( )( )yyyCyC effll βα +=∞
'
βe'
∞lC
( )∫−=2
2
1 b
blL dyyC
bC
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Introdução dos efeitos da viscosidade
• O coeficiente de resistência das secções da asa
(perfis) em fluido real não é nulo, pelo que
( )2
C
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
com
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
−
−
=
=
2
2
2
2
*
1
1
b
bd
perfild
b
bdperfild
dyyCb
C
dyyCb
C
pressão
watrito
δ
τ
( ) ( )δπ
+Λ
++=+= 12
L
perfilddDdD
CCCCCC
pressãoatritoiperfil
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Introdução dos efeitos da viscosidade
CCC +=
• Na realidade, temos apenas resistência de atrito
e de pressão
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
pressãoatrito DDD CCC +=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )δπ
δπ δ
τ
+Λ
+=+Λ
+=
==
∫
∫
−
−
11
1
1
22
2
2
2
2
*
Lb
bd
L
perfildD
b
bdperfildD
CdyyC
b
CCC
dyyCb
CC
pressãopressão
watritoatrito
em que
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Fórmulas de Transformação de Prandtl
• As fórmulas de transformação de Prandtl permitem
transformar curvas CD(CL) e CL(α) obtidas
(experimentalmente ou numericamente) para um
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
(experimentalmente ou numericamente) para um
alongamento Λ1, para curvas referentes a asas de
alongamento diferente, mas com o mesmo perfil
- Admite-se que os efeitos da extremidade são
exclusivamente função do alongamento, Λ, e que
a resistência e ângulo de ataque induzidos
correspondem aos valores obtidos para uma
distribuição de circulação elíptica
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Fórmulas de Transformação de Prandtl
Λπ
2
LC
C
• Hipóteses assumidas:
- O coeficiente de resistência induzida é igual a
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Λπ
ΛπLC
perfildl CC e,' β∞
- O ângulo de ataque induzido é igual a
- O coeficiente de resistência é obtido pela soma
dos coeficientes de resistência de perfil e induzido
- Assume-se que são independentes de Λ
-O coeficiente de sustentação das secções da asa é
independente de y e igual a CL
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Fórmulas de Transformação de Prandtl
Λ+=+=
π
2
LdDdD
CCCCC
perfiliperfil
• CD em função de CL:
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
ΛπdDdD perfiliperfil
Λ−
Λ+=
Λ+
Λ−=
Λ+=
Λ+=
12
2
2
2
1
2
2
2
1
2
11112
21
πππ
ππ
LD
LLDD
LdD
LdD
CC
CCCC
CCC
CCC
perfilperfil
• Para duas asas de alongamento diferente com o
mesmo CL
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Fórmulas de Transformação de Prandtl
• CD em função de CL:
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Fórmulas de Transformação de Prandtl
Λ+−=⇔+=
πβαααα LL
ieff
C
C
C'
• α em função de CL:
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Λ+−=⇔+=
∞π
βααααl
ieffC
'
Λ−
Λ+=
Λ+
Λ−=
Λ+−=
Λ+−=
∞∞
12
1
21
12
2
'2
1
'1
11
πα
ππαα
πβα
πβα
LLL
L
l
LL
l
L
CCC
C
C
CC
C
C
• Para duas asas de alongamento diferente com o
mesmo CL
Aerodinâmica I
Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora
Fórmulas de Transformação de Prandtl
• α em função de CL:
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