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Aerodinâmica I Asas Finitas Teoria da Linha Sustentadora Método de Glauert () ( ) () () () ' ' ' 1 4 1 2 2 2 ' dy dy d y y V y y c V y C y y b b l - Γ - + - Γ = π β α Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial • Método de resolução da equação integro-diferencial da linha sustentadora através da sua transformação num sistema de equações algébrico - Asas simétricas, sem diedro e sem flecha Aerodinâmica I • Substituição de variável independente Asas Finitas Teoria da Linha Sustentadora Método de Glauert ( ) θ y 2 cos = Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial ( ) () θ θ θ d b dy b y 2 sen 2 cos - = = () ( ) () () () ( ) () ( ) ' ' cos ' cos 2 4 1 2 0 ' θ θ θ θ π θ β θ θ θ θ α π d d d b V c V C l Γ - + - Γ =

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Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

( ) ( )( ) ( )

( ) '''

1

4

12 2

2'dy

dy

d

yyVy

ycVyC

yy

b

bl

∫−∞∞

Γ

−+−

Γ=

��

πβα

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• Método de resolução da equação integro-diferencial

da linha sustentadora através da sua transformação

num sistema de equações algébrico

- Asas simétricas, sem diedro e sem flecha

Aerodinâmica I

• Substituição de variável independente

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

( )θy2

cos =

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( )

( )θ

θ

θ

db

dy

b

y

2

sen

2cos

−=

=

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

''cos'cos

2

4

12

0'θ

θθθπθβ

θθ

θθα

π

dd

d

bVcVCl

∫Γ

−+−

Γ=

∞∞∞

��

Aerodinâmica I

• A circulação tem de ser nula nas extremidades

e simétrica

Nestas condições, o desenvolvimento em

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

πθθ == e0 ( ) ( )θπθ −Γ=Γ

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Nestas condições, o desenvolvimento em

série de é dado por

• Os termos com cosseno são eliminados pelas

condições na extremidade e os valores de n

par pela condição de simetria

( ) ( )∑∞

=

Γ=Γ,...3,1

senn

n nθθ

( )θΓ

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• O primeiro termo da série corresponde a

uma distribução de circulação elíptica

22 y

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

12

22

1

=

+

Γ

Γ

b

y

ou seja

( ) ( ) ( )2

1

2

11

21cos1sen

−Γ=−Γ=Γ=Γ

b

yθθθ

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

( ) ( )( )( ) ''cos

cos'cos

2

4

1

0θθ

θθπω

π

dnnb

ni ∫ ∑∞

Γ−

=

• Determinação da velocidade descendente

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( ) ( )( )( ) ''cos

cos'cos4 0,...3,1θθπ b n

ni ∫ ∑=−

• Para uma série com 1 termo

( )( )∑

=

Γ=,...3,1

sensen2

1

n

ni nnb

θθ

ω

bi

2

1Γ=ω

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Equação da linha sustentadora

∞∞

ieff ααα +=

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )θ

θ

θβθθ

θ

θαsen2

sensen2,...3,1

'

,...3,1

=

=

∑∑ Γ

+−

Γ

=

∞Vb

nn

cVC

nn

n

l

n

n

��

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )θβθαθ

θ

θθ

θ+=

∞∞

=∞

∑sen2

sensen2'

,...3,1 Vb

nn

cVC

n

ln

n ��

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Escolhendo um número finito (N) de termos

da série chegamos a um sistema de equações

algébrico, que satisfaz

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

algébrico, que satisfaz

em N pontos do intervalo com2

θ ≤< i

NicomN

ii ,...,2,1,2

==π

θ

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )ii

i

i

iil

i

N

n

nVb

nn

cVC

nθβθα

θ

θ

θθ

θ+=

∞∞

−+

=∞

∑sen2

sensen2'

121

,...3,1

��

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Exemplo para N=3

( ) ( ) ( ) ( )5sen3sensen 531 θθθθ Γ+Γ+Γ=Γ

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( ) ( ) ( ) ( )

2,

3,

6

5sen3sensen

321

531

πθ

πθ

πθ

θθθθ

===

Γ+Γ+Γ=Γ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

+

+

+

=

Γ

Γ

Γ

33

22

11

5

3

1

333231

232221

131211

θβθα

θβθα

θβθα

AAA

AAA

AAA

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Exemplo para N=3

( ) ( ) ( ) ( )5sen3sensen 531

πππ

θθθθ Γ+Γ+Γ=Γ

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )6sen2

65sen5

66

65sen2

sen2

121sen121121sen2

'13

'

π

π

ππ

π

θ

θ

θθ

θ

∞∞

∞∞

+=

−+−++

−+=

VbcVCA

Vb

jj

cVC

jA

l

i

i

iil

iij

��

��

2,

3,

6321

πθ

πθ

πθ ===

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,

pode-se calcular a força de sustentação, L,

e a força de resistência induzida, Di

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

e a força de resistência induzida, Di

( ) ( )∫

≠⇐

=⇐=

ππ

θθθ0

0

2sensen

nm

nmdnm

( ) ( )∫ ∑

Γ=

=

π

θθθρ0

,...3,1

sen2

sen db

nVLn

n

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,

pode-se calcular a força de sustentação, L,

e a força de resistência induzida, Di

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

e a força de resistência induzida, Di

• A força de sustentação depende apenas do

primeiro termo da série. Obviamente, isto não

quer dizer que basta utilizar 1 termo da série

para calcular o valor exacto de L

14

Γ= ∞VbL�

ρπ

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,

pode-se calcular a força de sustentação, L,

e a força de resistência induzida, Di

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

e a força de resistência induzida, Di

( ) ( )∫ ∑∑

Γ

Γ=

=

=

π

θθθρ0

,...3,1,...3,1

sensen4

1dnnnD

n

n

n

ni

∑∞

=

Γ=,...3,1

2

8 n

ni nD ρπ

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,

pode-se calcular a força de sustentação, L,

e a força de resistência induzida, Di

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

e a força de resistência induzida, Di

( )

2

,...5,3 1

2

1 18

∑∞

=

Γ

Γ=

+Γ=

n

n

i

n

D

δ

δρπ

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Conhecidos os coeficientes da série, Γn,

pode-se calcular a força de sustentação, L,

e a força de resistência induzida, Di

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( )δρ

π+=

1

2

22

2

bV

LDi

=ΓVb

L�

πρ

41

e a força de resistência induzida, Di

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

• Coeficiente de sustentação e coeficiente

de resistência induzida

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( )δπρ

π

ρ

==

ΓΛ==

∞∞

121

221

2

2

1

2

LiD

L

C

SV

DC

VbSV

LC

i �

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Método de Glauert

( )δπρ

==

121

2

2

LiD

C

SV

DC

i �

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• O coeficiente de resistência induzida é

proporcional ao quadrado do coeficiente

de sustentação e tende para zero quando o

alongamento, Λ, tende para infinito,

ou seja ∞→b

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• O coeficiente de resistência induzida é dado por

( )2

2

∑∞

Γ

=+==CD

δδ

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• Por definição , logo a resistência induzida

mínima corresponde a , ou seja

0≥δ0=δ

1para0 >=Γ nn

( ),...5,3 1

2

2com1

21∑

=∞

Γ

Γ=+

Λ==

n

nLiD n

C

SV

DC

iδδ

πρ�

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

2

• Série com 1 termo corresponde a uma distribuição

de circulação elíptica

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( ) ( ) ( )2

1

2

11

21cos1sen

−Γ=−Γ=Γ=Γ

b

yθθθ

• A velocidade induzida, ωi, é constante ao longo da

envergadura e igual a

bi

2

1Γ=ω

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• As forças e coeficientes de sustentação

e de resistência induzida são dados por

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Λ==

ΓΛ=Γ=

πρπ

πρ

π

2

22

2

11

,

2

2,

4

LDi

L

CC

bV

LD

VbCVbL

i�

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• O ângulo de ataque induzido é constante

ao longo da envergadura

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• Se admitirmos que a asa não tem torção o

ângulo de ataque geométrico é constante

ao longo da envergadura, pelo que

é independente de y

Λ=

Γ=

∞π

α Li

C

Vb�

2

1

ieff ααα −=

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• O coeficiente de sustentação da asa, CL,

pode ser calculado de

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• Para uma asa com distribuição de circulação

eliptica sem torção e com o

mesmo perfil ao longo da envergadura, temos

l

b

blL Cdyb

CC == ∫−2

2

1

( )ect=iα ( )ect=α

∫−=2

2

1 b

blL dyC

bC

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

lL CC =• Quando , podemos escrever

ieff ααα +=

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

ieff ααα +=

como

ou seja

( )βα

π

+

Λ+

=

11

1

'

l

L

C

C

Λ+−=

∞π

βα L

l

L C

C

C'

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• A razão entre os declives da variação do coeficiente

de sustentação com o ângulo de ataque da asa

finita e da sua secção (perfil) é dada por

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

finita e da sua secção (perfil) é dada por

• Se admitirmos

Λ+

=∞∞

π

''

'

1

1

ll

L

CC

C

2temos2

'

''

Λ=≅

l

Ll

C

CC π

Aerodinâmica I

0.8

0.9

1

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

2'

'

Λ=

∞l

L

C

C

'

'

∞l

L

C

C

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Λ

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• Uma distribuição de circulação elíptica pode ser

obtida para uma asa sem torção com secção

constante ao longo da curvatura

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

( )( )

( ) ( )θθ

βθ

θα

sen

2

sen2 1

'

1

r

l

cc

VbcVC

=

Γ+−

Γ=

∞∞∞

��

em que a corda no plano de simetria (root chord), cr ,

está relacionada com a sustentação pretendida e as

características geométricas da asa (espessura e

curvatura do perfil)

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

• Uma asa elíptica em planta tem uma

construção mais difícil do que uma asa

rectangular em planta

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

• Uma asa com afilamento pode aproximar

uma distribuição de circulação elíptica

com uma construção mais simples

• Afilamento (taper ratio) é a razão entre

a corda na extremidade da asa

(tip chord, ct) e no plano de simetria

(root chord, cr)

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

2

,...5,3 1

e ∑∞

=

Γ

Γ=Λ=

n

nnAR δ

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

,...5,3 1= n

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Asa de resistência induzida mínima

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Aerodinâmica I

• O coeficiente de sustentação da asa finita depende

do alongamento e do coeficiente de sustentação

das secções da asa (perfis)

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Introdução dos efeitos da viscosidade

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

das secções da asa (perfis)

• Se forem determinados em fluido real os

efeitos da viscosidade estão incluidos na

determinação do coeficiente de sustentação da asa

( ) ( ) ( ) ( )( )yyyCyC effll βα +=∞

'

βe'

∞lC

( )∫−=2

2

1 b

blL dyyC

bC

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Introdução dos efeitos da viscosidade

• O coeficiente de resistência das secções da asa

(perfis) em fluido real não é nulo, pelo que

( )2

C

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

com

( ) ( )

( ) ( )∫

=

=

2

2

2

2

*

1

1

b

bd

perfild

b

bdperfild

dyyCb

C

dyyCb

C

pressão

watrito

δ

τ

( ) ( )δπ

++=+= 12

L

perfilddDdD

CCCCCC

pressãoatritoiperfil

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Introdução dos efeitos da viscosidade

CCC +=

• Na realidade, temos apenas resistência de atrito

e de pressão

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

pressãoatrito DDD CCC +=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )δπ

δπ δ

τ

+=+Λ

+=

==

11

1

1

22

2

2

2

2

*

Lb

bd

L

perfildD

b

bdperfildD

CdyyC

b

CCC

dyyCb

CC

pressãopressão

watritoatrito

em que

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Fórmulas de Transformação de Prandtl

• As fórmulas de transformação de Prandtl permitem

transformar curvas CD(CL) e CL(α) obtidas

(experimentalmente ou numericamente) para um

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

(experimentalmente ou numericamente) para um

alongamento Λ1, para curvas referentes a asas de

alongamento diferente, mas com o mesmo perfil

- Admite-se que os efeitos da extremidade são

exclusivamente função do alongamento, Λ, e que

a resistência e ângulo de ataque induzidos

correspondem aos valores obtidos para uma

distribuição de circulação elíptica

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Fórmulas de Transformação de Prandtl

Λπ

2

LC

C

• Hipóteses assumidas:

- O coeficiente de resistência induzida é igual a

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Λπ

ΛπLC

perfildl CC e,' β∞

- O ângulo de ataque induzido é igual a

- O coeficiente de resistência é obtido pela soma

dos coeficientes de resistência de perfil e induzido

- Assume-se que são independentes de Λ

-O coeficiente de sustentação das secções da asa é

independente de y e igual a CL

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Fórmulas de Transformação de Prandtl

Λ+=+=

π

2

LdDdD

CCCCC

perfiliperfil

• CD em função de CL:

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

ΛπdDdD perfiliperfil

Λ−

Λ+=

Λ+

Λ−=

Λ+=

Λ+=

12

2

2

2

1

2

2

2

1

2

11112

21

πππ

ππ

LD

LLDD

LdD

LdD

CC

CCCC

CCC

CCC

perfilperfil

• Para duas asas de alongamento diferente com o

mesmo CL

Aerodinâmica I

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Fórmulas de Transformação de Prandtl

• CD em função de CL:

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Aerodinâmica I

Asas FinitasTeoria da Linha Sustentadora

Fórmulas de Transformação de Prandtl

Λ+−=⇔+=

πβαααα LL

ieff

C

C

C'

• α em função de CL:

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Λ+−=⇔+=

∞π

βααααl

ieffC

'

Λ−

Λ+=

Λ+

Λ−=

Λ+−=

Λ+−=

∞∞

12

1

21

12

2

'2

1

'1

11

πα

ππαα

πβα

πβα

LLL

L

l

LL

l

L

CCC

C

C

CC

C

C

• Para duas asas de alongamento diferente com o

mesmo CL

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Fórmulas de Transformação de Prandtl

• α em função de CL:

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