Aula 2Óptica geométrica

(reflexão e refração)

F-428: Física Geral IV

1

A frente de ondaé o lugar geométrico dos pontos onde

Frente de onda plana:

Ondas eletromagnéticas planas no vácuo

E(r,t) = E0 sen (k .r −−−− wt)

k .r − ω t = constante

kx − ω t = constante parak = k x̂̂

O vetor de propagação k definirá a direção e sentido do raio associado na óptica geométrica.

2

Ondas eletromagnéticas em meios materiaisNo vácuo

Em meios materiais

Em geral

t

tt ∆+

tt ∆+ 2

tt ∆+ 3

raiosfrentes de onda

Permissividade de um meio linear:ε = ε0 (1 + χe) , P = χeε0 E (polarização)Permeabilidade de um meio linear:µ = µ0 (1 + χm) , M = χm H (magnetização)

� µ (r) ε (r)v(r) = 1

Índice de refração: µ ε���� µ0 ε0

= > 1 (em geral, depende de λ)

c > v

00

1εµ

=c

εµ1=v

v

cn ≡

3

Óptica geométricaReflexão e refração

1v

2v

Índice de refração

http

://ww

w.p

hy.n

tnu

.edu

.tw/n

tnu

java/viewto

pic.p

hp

?t=32

Óptica geométrica: propagação retilínea da luz em meios isotrópicos, homogêneos e lineares pode ser descrita em termos de raios ou feixes.

Distâncias d envolvidas » λ .

> 1 (não vale quando há dispersão anômala)

raio refletidoraio incidente

raiorefratado

plano de incidência

definido pela normal à interface e pelos vetores k

krki

kt

θθθθ t

θθθθrθθθθi

n1n2

^̂n

^̂n

v

cn ≡

4

reflexão especular

Lei da reflexão

θi θr

riθθ =

AD

tv

AD

BDi

1sen ==θAD

tv

AD

ACr

1sen ==θ

5

Grécia antiga

especular x difusaTipos de reflexão

6

reflexão especular IR 5 µm em lago de hidrocarbonetos (metano, etano e propano) em Titan(satélite de Saturno) http://en.wikipedia.org/wiki/Lakes_of_Titan

Sahl 984, Snell 1621 (não publicado), Descartes 1637 (c = ∞), Fermat 1661 (princípio de Fermat:percurso de tempo mínimo)

1v

2vonde

θi

θt

i

iv

cn ≡

2211 sensen θθ nn =

Lei da refração

7

AD

tv

AD

BD ii

==θsen

AD

tv

AD

AE tt ==θsen

iθθ =

1

tθθ =

2

Derivação através de tratamento ondulatório

n1 senθi = n2 senθt

raio ou feixe incidente: Ei (r,t) = Ei0 sen (ki .r −−−− ω t)

raio ou feixe refletido: Er (r,t) = Er0 sen (kr .r −−−− ω t)

raio ou feixe refratado / transmitido: Et (r,t) = Et0 sen (kt .r −−−− ω t)

Na interface de separação z = 0: r = r⊥+ r|||||||| , Ei (r,t) + Er (r,t) = Et (r,t)como deve valer ∀∀∀∀(r com z = 0,t) Ei

0 + Er0 = Et

0 , ki .r = kr .r = kt .r

Como (ki , kr , kt , r|||||||| , ) estão no mesmo plano (plano de incidência)

ki sen θi = kr sen θr = kt sen θt

Mas ki = kr = ω/v1 = ω n1/c , kt = ω/v2 = ω n2/c krki

kt

θθθθ t

θθθθrθθθθi

n1n2

refletidoincidente

refratado

θi = θr

Amplitudes determinadas pela continuidade de ε E|||||||| , B|||||||| , E⊥ e B⊥/µ .

r⊥ r||||||||

^̂n

^̂n

Leis da reflexão e da refração

8

21 nn >12

21

θθ << nn

12

12

sensen θθn

n=

Lei da refração (Snell-Descartes)

9

12

21

θθ << nn

12

12

sensen θθn

n=

Lei da refração (Snell-Descartes)

12

21

θθ >> nn

10

Curiosidades

vidro com mesmo ndo tetracloroetileno (C 2Cl4):não há reflexão e/ou refração(vidro imerso se torna invisível)

por que o homem invisível seria cego?

metamateriais (índice de refração n < 0)microondas em Fe, Ni, Co na presença de campo magné tico

J. B. Pendry, D. R. Smith, Phys. Today 57(6), 37 (2004).

http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noti cia.php?artigo=indice-negativo-refracao-metais

numa piscina preenchida com líquido de n < 0 seria possível ver o canto oculto

Refração

11

Reflexão interna total e ondas evanescentes: Feynma n Lectures on Physics, vol.II, seção 33-6

ondas evanescentes com decaimento exponencial em distâncias da ordem de λλλλ da interface ar-água

Reflexão interna total

12

Se a incidência se dá de um meio mais refringente para outro menos refringente, ou seja, , há um ângulo crítico acima do qual só há reflexão.

21 nn >

n1

n2

n1 > n2

θθθθc

θθθθ1

θθθθ2

÷

÷

= −

1

21senn

nc

θ

2212

sensen nnnc == πθ

2211 sensen θθ nn =

Reflexão interna total

13

Aplicação: fibras ópticas

Reflexão interna total

14

vava nn 22 >→> ωω

Dependência com λ ou ω: )(ωnn =luz branca

Em geral,

12

211

θθ <<≈

i

ii nn

E(r,t) = ∑ E(k) sen (k .r −−−− ωt)k (ω)

)()(se 2121 ωωωω nn >⇒>

12

12 sensen θθ

i

ii

n

n=Dispersão cromática

15

)()(se 2121 ωωωω nn >⇒>Em geral,

12

21 1

θθ >≈>

i

ii nn

vava nn 22 >→> ωω12

211

θθ <<≈

i

ii nn

vava nn 11 >→> ωω

luz brancak (ω)

Dependência com λ ou ω: )(ωnn = E(r,t) = ∑ E(k) sen (k .r −−−− ωt)

12

12 sensen θθ

i

ii

n

n=Dispersão cromática

16

Formação do arco-íris

~ 42°

Dispersão cromática

17

arco-íris principal

arco-íris secundário

Formação do arco-íris

Dispersão cromática

18

Cachoeira da Fumaça – Jalapão, TO – julho/2011

arco-íris principal

arco-íris secundário

Formação do arco-íris

Dispersão cromática

19

Arco-íris: faixa escura de Alexandre (de Aphrodisias)

http:www.flickr.com/photos/28255146@N00/9804840606

http://www.coffeeshopphysics.com/articles/2011-10/3 0_the_discovery_of_rainbows /

http://www.nature.com/scientificamerican/journal/v2 36/n4/pdf/scientificamerican0477-116.pdf

Dispersão cromática

20

A luz refletida por uma interfaceé totalmente polarizada na direção perpendicular ao plano de incidência quando ocorre

Então

: ângulo de Brewster

n2

n1

θθθθr

θθθθt

•

θθθθi ====θθθθB

=+2

πθθ tB=+2

πθθ tr

1

21tgn

nBi

−=≡ θθ

Polarização por reflexão

÷

−= ii nn θπθ

2sensen 21

1

2tgn

ni

=θB

θ21

Espalhamento= absorção + reirradiação

Terra: céu azul, crepúsculo vermelho Marte : céu vermelho, crepúsculo azul

Composição da atmosfera terrestre: 78% N 2 , 21% O2 (ressonância em UV)

Composição da atmosfera marciana: 96% CO 2 , 2,1% Ar , 1,9% N2 (ressonância em IR)

onda incidente não polarizada pode ser decomposta em duas componentes ortogonais

onda espalhada é parcialmente polarizada

não há E vertical

não há E horizontal

Polarização por espalhamento

k e E devem ser ortogonais

k

k

22

Lentes: refração de radiação por diversas interfaces

Curiosidade: lente gravitacional

Cruz de Einstein

Miragem astronômica: imagem quadruplicada do quasar QSO 2237+0305 localizado atrás da lente de Huchra ZW 2237+030

http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_Cross

prismas comolente convergente

prismas como lente divergente

Refração da luz: aplicações

23

24

Miragem de refração (virtual)

2211 sinsin θθ nn =

25

Miragem de refração (virtual)

26

Miragem de refração (virtual)

Miragem de imagem (real)

27

http://courses.umass.edu/plecprep/optics/6a2035.html 28

Miragem de imagem (real)

http://www.optigone.com/m2000.htm

29

Miragem de imagem (real)

• Óptica geométrica: d » λ , ondas planas descritas como feixes/ raios em meios isotrópicos, homogêneos e lineares.

• Lei da reflexão:

• Lei da refração (Snell-Descartes):

• Reflexão interna total (ângulo crítico):

• Polarização por reflexão (ângulo de Brewster):

θi = θr

21 θθ 2 senn1 senn =

÷

÷

= − 21sen

n

ncθ

÷

÷

= −

1

21tgn

nB

θiθ =

30

221 2sensen nnn c

==π

θ

÷

− iθπ

221 sensen nn i

=θ

1

Resumo da 2ª aula

Problema 7 (Cap.33; Ex.53)

Na Fig. 33-57 um raio incide em uma das faces de um prisma triangular de vidro imersono ar. O ângulo de incidência é escolhido de tal forma que o raio emergente faz omesmo ângulo com a normal à outra face. Mostre que o índice de refração n do vidroé dado por:

n=sen

12(ψ +Φ )

sen12(Φ )

Onde é o ângulo do vértice superior do prisma e é o ângulo de desvio, definidocomo o ângulo entre o raio emergente e o raio incidente. (Nessas condições, o ângulo dedesvio tem o menor valor possível, que é denominado ângulo de desvio mínimo).

θ

ψ

θ

Φ

No ar n = 1

senθ=n senα→n=senθsenα

Do triângulo temos:

θ=α+ψ2

→θ=ϕ2+

ψ2

β+ ψ/2+β+ ψ/2+ Φ=180º→α=ϕ2

α+ ψ/2+β=90→β=90 α ψ/2

Substituindo temos:

Problema 7 (Cap.33; Ex.55)

n=sen

12(ψ +Φ )

sen12(Φ )

Φ

Φ

Ondas eletromagnéticas

Problema 8 (Cap.33; Ex.55)

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cmabaixo dasuperfície de uma piscina. Calcule o diâmetro docírculo, na superfície, através do qual a luz emergeda água.

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfíciede uma piscina.Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.

d

R

h

( ) 2/122 Rdh

m0,8d

+==

ararcOH nnn =°=θ 90sensen2

1/222 )R(dR

hR

752,033,11

sen2

+==≈==θ

OH

arc n

n

)565,01(R),80(565,0R)R(d565,0 22222 −=→=+

cm182D

m1,8242RD;m0,912R832,0R2

≈≈=≈→≈

Na Figura, um raio luminoso que estava se propagando inicialmente no ar incide emum material 2 com um índice de refração n2 = 1,5. Abaixo do material está o material3, com um índice de refração n3. O raio incide na interface ar – material com oângulo de Brewster para essa interface e incide na interface material 2 – material 3com o ângulo de Brewster para essa interface. Qual é o valor de n3?

Problema 9 (Cap.33; Ex.66)

θ1

θ2

β

(ar)

n2

n3

Pela definição do ângulo de Brewsternas duas interfaces:

1

321

2

32

1

21

)tan()tan( :seja ou

)tan(;)tan(

n

n

n

n

n

n

=×

==

θθ

θθ

)(ar também1 :ou;1 : logo

)tan(

1)tan(

2 :mas

31

3

1212

==

=→−=

nn

n

θθθπθ

θ2

1n