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Processamento Digital de Sinais

Filtros DigitaisFabrıcio Simoes

IFBA/GPSC – p. 1/28

Filtro Digital Ideal


Filtro Passa-Baixa Ideal

Hd(ω) =

{

e−jωno , |ω| ≤ ωc;

0, ωc ≤ |ω| ≤ π;

Respota ao Impulso do Filtro:

hLP [n − no] =ωc

πsinc(ωc(n − no))


Filtro Passa Baixa Ideal

Resposta ao Impulso para no = 0

−10 −5 0 5 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Amostras (n)


Projeto de Filtros Digitais

Critério:

Encontrar um filtro realizavel (causal) de baixa ordem e resposta emfrequencia Hd(ω) proxima a resposta desejada

D(ω) = A(ω)ejθ(ω).

Para se obter um filtro causal, somente deve serespecificado A(ω) ou θ(ω).


Filtro Desejado

Exemplo:

A(ω) =

{

1, |ω| ≤ ωc;

0, ωc ≤ |ω| ≤ π;

Solução: Fazendo no grande, h[n] ∼= 0 para n < 0. A partenegativa de h[n] pode ser truncada.


Resposta ao Impulso Truncada

−5 0 5 10 15 20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amostras (n)

Val

or


Especificações do Filtro


Atraso de Grupo

wp ws

τ(ω)

ω

τ(ω) = −dθ(ω)

dω

A função τ(ω) tem que ser constante para evitar distorçãodo sinal. Então, θ(ω) deve ser uma função linear de ω.


Filtros Digitais Práticos

Filtros de Primeira OrdemFabrıcio Simoes


Filtro Passa-Baixa

Hd(ω) =1

ejω − a=

1

pe−jφ, z = ejω

Re

Im

e^jw1e^jw2

xa

ω ↑, p ↑IFBA/GPSC – p. 11/28

Filtro Passa-Alta

H(z) =1

z + a,Hd(ω) =

1

ejω − (−a)=

1

pe−jφ

ω pRe

Im

−a

e^jw2

e^jw1


Filtro Passa-Tudo

H(z) =1

z,Hd(ω) =

1

ejω

Re

Im

e^jw1

x

e^jw2


Filtro Passa-Baixa Eficiente

Introduzindo zero na resposta em frequência H(z) paraaumentar a eficiência do filtro.

H(z) =z − b

z − a,Hd(ω) =

ejω − b

ejω − a=

p

qej(ϕ−φ)

Re

Im

e^jw1

xo

e^jw2


Filtro Passa-Baixa Eficiente

H(z) = boz + 1

z − a

bo é escolhido para Hd(ω = 0) = H(1) = 1, portanto:

H(z) =1 − a

2

z + 1

z − a

Frequencia de corte: |Hd(ωp)|2 = 0, 5.


Frequência de Corte do Filtro

|Hd(ωp)| = Hd(ωp)H∗

d(ωp)

|Hd(ωp)| =1 − a

2

ejωp + 1

ejωp − a.1 − a

2

e−jωp + 1

e−jωp − a=

1

2

ωp = arccos

(

2a

1 + a2

)

Para um pólo muito próximo de 1 (círculo unitário),

ωp∼= β = 1 − a


Filtro Passa-Alta Eficiente

H(z) = boz − 1

z + a=

1 + a

2

z − 1

z + a

bo é escolhido de forma que Hd(π) = H(−1) = 1.

Re

Im

e^jw1e^jw2

x o


Frequência de Corte do Filtro

ωp∼= β = 1 − a


Filtros Ótimos de Primeira Ordem

1. Filtro Passa-Baixa

H(z) =1 − a

2

(

z + 1

z − a

)

2. Filtro Passa-Alta

H(z) =1 + a

2

(

z − 1

z + a

)

3. Filtro Passa-Tudo

H(z) =

(

1

z

)


Exercício

Dado o sinal

x(t) = sen7t + sen500t,

com sinal intereferente de frequência igual a 500Hz.

fmax = 500rad/s ⇒ fa ≥ 1000rad/s

T = 2π/2000 = 3, 14ms

sinal discreto: x(nT ) = sen7nT + sen500nT


Procedimento de Projeto

Projeto do Filtro: É necessário normalizar as informaçõesde frequência, multiplicando-as por T .

freq. 7 rad/s → 21, 98 × 10−3

freq. 500 rad/s → 1, 57

Fórmula aproximada da frequência de corte

ωp∼= 1 − a


Projeto - Continuação

1. Cálculo de H(z)

H(z) = boz + 1

z − a

2. Determinando a Equação de Diferenças.Chamando bo = c,

cx(n) + cx(n − 1) = y(n) − ay(n − 1)


Filtros Digitais Práticos

Filtros de Segunda OrdemFabrıcio Simoes


Filtro Notch

H(z) =(z − ejωo)(z − e−jωo)

(z − aejωo)(z − ae−jωo)

1. Zeros na frequencia ωo;

2. Pólos próximos do zero;


Resposta em Frequência do FiltroNotch

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

−50

0

50

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (

degr

ees)

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

−40

−20

0


Mag

nitu

de (

dB)

Gráfico obtido no MatLab com o comando freqz e coeficientesb = [1 − 1.98 1] e a = [1 − 1.88 0.9]


Filter Comb

É um filtro Notch com um número de zeros espaçadosigualmente. Por exemplo:

H(z) =z − 1

z − a

(z − ejωo)(z − e−jωo)

(z − aejωo)(z − ae−jωo)

z + 1

z + a

É facilmente obtido, substituindo z por zM , onde M é uminteiro positivo.zM − a tem raízes do tipo

z = a1/Mej2kπ/M ,

para k = 0,±1,±2, . . .


Resposta em Frequência do FiltroComb

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−50

0

50

100


Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−30

−20

−10

0

10


Mag

nitu

de (

dB)

H(z) =z6 − 1

z6 − 0, 8IFBA/GPSC – p. 27/28

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