Projeto PneumoMODModelos Matemáticos para a Epidemiologia

Cientista orientadora – Erida Gjini

Augusto FrancoCristina ViegasPaula PereiraSusana Camilo

• β: taxa de transmissão por unidade de tempo• : taxa de remoção por unidade de tempo

ϒ = taxa média de remoção da infecçãoperíodo infeccioso médioS(t)+I(t)=N

1º objetivo do projeto: estudar os equilíbrios no modelo SIS com demografia

Nos modelos atrás descritos, não foi considerada a demografia. Nos casos em que a dinâmica da epidemia se prolonga no tempo, as taxas de nascimento e morte devem ser consideradas, obtendo-se as equações seguintes:

dS SIN I SNdt

dI SI I INdt

: taxa de nascimento e de morte(per capita)

Dividindo por N, para trabalhar com proporções, e sendo e , obtemos as equações

ds si i sdt

di si i idt

ss N Ii N

Determinemos os valores de equilíbrio, ou seja, as soluções das equações

0 e 0ds didt dt

De conclui-se que ,ou seja, S I N 1s i 1i s

0 0 (1 ) (1 ) 0

(1 ) (1 ) (1 ) 0 (1 )( ) 0

1 0 1

ds si i s s s s sdt

s s s s s s

s s s s

Estes valores de s também satisfazem a equação . São, portanto, as soluções de «equilíbrio».

Vamos ver, para estes valores, em que condições é que o equilíbrio é estável.

0didt

2 2

(1 ) (1 )

( )

ds si i s s s s sdt

s s s s s s

Seja .

Tem-se

Para s=1,

O equilíbrio é estável se ,ou seja, se

Trata-se de uma situação de equilíbrio sem doença pois, se s=1, tem-se S=N e, portanto, I=0

2( ) ( )f s s s

2df sds

2dfds

0

Já vimos que

Para , tem-se

O equilíbrio é estável se ,ou seja, se

Então, para , o equilíbrio é estável se , sendo este equilíbrio um equilíbrio endémico.

2 2 2dfds

0

s

2df sds

s

• O quociente é habitualmente designado por e representa o número

médio de novos infetados gerado por um indivíduo doente, numa população

inteiramente suscetível.

Concluímos então que equilíbrio endémico é estável se

0R

0 1R

2º objetivo do projeto:Estender o modelo SIS com demografia (nascimento e morte) para infecção com dois tipos do mesmo patogénio (co-colonização) e interpretar o parâmetro k (coeficiente de competição).

ʎS kʎI1

ϒ

Equações da dinâmica

k = coeficiente de competição (é natural que k seja um número menor do que 1, pois a taxa de infeção por um segundo serotipo deve ser inferior; valores elevados de k sugerem co-colonização elevada)

2121 SII

NIISN

dtdS

NI S 111

211 IkIIN

IIdtdI

2212 I I

NIIk

dtdI

I1(t) = número de indivíduos infetados com um serotipoI2(t)= número de indivíduos infetados com os dois serotipos

I=I1+I2

Dividindo as equações por N:

siiiisdtds 2121

21111211 i i s iikiii

dtdi

222112 i i iiik

dtdi

3º objetivo: trabalhar com dados reais relativos à co-colonização (dois serotipos de pneumococo)

Dados retirados dos artigos:

0 02

0 0

( 1)11 ( 1)

k R RiR k R

A partir dos dados, estimámos os valores de Ro , e K(considerando a taxa mensal de remoção ,):

Idades (meses)

Prevalência total

Prevalência da co-colonização R0 k

Inglaterra <60 48,4% ----- 1,9 ----- 0,033 1,4

Dinamarca 12 - 72 56,5% 9% 2,3 0.076 0,023 1,7

Portugal 18-71 64% 17,3% 2,8 0,117 0,022 2,0

Noruega Média 45 78% 13,8% 4,5 0,046 0,022 3,2