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PROBLEMAS Y CUESTIONES Tema 6 *6.1 Las funciones de espín α y β forman un conjunto completo de funciones de espín, de modo que cualquier función de espín monoelectrónica puede escribirse como una combinación lineal de ellas. Se pide:

a) Teniendo en cuenta las expresiones βα h21ˆ =xS y αβ h

21ˆ =xS , obtener dos

funciones propias normalizadas del operador xS con valores propios 2/h y 2/h− .

b) Teniendo en cuenta que βα hiS y 21ˆ = y αβ hiS y 2

1ˆ −= , obtener dos funciones

propias normalizadas del operador yS con valores propios 2/h y 2/h− . c) Supóngase que una medida de zS para el electrón da el valor 2/h ; si inmediatamente después se realiza una medida de xS , ¿Cuáles son las probabilidades de que se obtenga 2/h y 2/h− ?

Solución.- a) )(2

11 βαϕ += y )(

21

2 βαϕ −= . c) 1/2 y 1/2.

6.2 Sean 1ψ y 2ψ las funciones para la partícula en la caja monodimensional de longitud unidad, correspondientes a n = 1 y n =2, respectivamente. Si hay un electrón en cada uno de estos “orbitales”, la parte espacial del triplete y del singlete son, respectivamente, ( )1 22 1)2/1( ψψψψψ −=A y ( )1 22 1)2/1( ψψψψψ +=S . Imagínese que la partícula 1 está dentro de un intervalo dx alrededor de x = 0.25 y la partícula 2 está dentro de un intervalo dx alrededor de x = 0.255. Mostrar que la función de onda )255.0,25.0( 21 == xxAψ es muy pequeña, mientras que

)255.0,25.0( 21 == xxSψ es grande. Justificar el resultado en base al principio de exclusión de Pauli.

6.3 Calcular las integrales: a) ΣΣ |ˆ| 2S , b) ΣΣ |ˆ| xS y c) ΣΣ |ˆ| zS . Siendo

2/)( βα +=Σ Comprueba que Σ es función propia de 2S y de xS , pero no lo es de zS .

Dato.- βα h21ˆ =xS y αβ h

21ˆ =xS

Solución.- a) 4/3 2h , b) 2/h y c) 0. *6.4 Muestra que si los orbitales espaciales 1φ y 2φ son ortogonales, las seis funciones de onda determinantales, || 2 1φφ , || 2 1φφ , |||| 2 12 1 φφφφ + , |||| 2 12 1 φφφφ − , || 1 1φφ y

|| 2 2φφ , son mutuamente ortogonales. 6.5 Hallar los valores propios de zS para las funciones || 2 1φφ y || 1 1φφ . Solución.- h y , 0 respectivamente. 6.6 Demuestra que las tres funciones de espín diferentes del estado triplete, αα, ββ y αβ+βα, son linealmente independientes. *6.7 ¿Son ortogonales las funciones |1 1| ss y |2 1||2 1| ssss − si se cumpliera

02|1 ≠ss ? Repite para el caso |1 1| ss y |2 1||2 1| ssss + . Solución.- a) No, b) Si.

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6.8 En unidades atómicas ( 1=h ) se tiene zz SSSSS ˆˆˆˆˆ 22 −+= −+ . Para un sistema de N

partículas: ∑=

=N

izz iSS

1)(ˆˆ , ∑

=

=N

ixx iSS

1)(ˆˆ y ∑

=

=N

iyy iSS

1)(ˆˆ . Comprueba que la función de

espín para un sistema de 3 electrones, βαααβαααβψ −−= 2 , es función propia de los operadores 2S y zS con valores propios 2/1=S y 2/1=SM .

Dato.- 0ˆˆ == −+ βα SS y en u.a. αβ =+S , βα =−S . *6.9 Si para un sistema de dos electrones tenemos en cuenta que zz SSSSS ˆˆˆˆˆ 22 h−+= −+ , donde )2(ˆ)1(ˆˆ

zzz SSS += y )2(ˆ)1(ˆˆ±±± += SSS , comprobar que las funciones de espín

simétricas/antisimétricas son funciones propias de 2S con valores propios 0/2 2h , respectivamente. 6.10 Demuestra que a pesar de que α y β no son funciones propias de xS (ni de yS ), en

cambio sí que lo son de 2ˆxS (y de 2ˆ

yS ). 6.11 Demuestra que la función de onda, representada por el determinante

|11 1 1| 21 scscss + , para un átomo de tres electrones, es idénticamente nula. 6.12 La parte de espín de las funciones de onda para el primer estado excitado del átomo de helio puede ser )2()1( ααψ =a , )2()1()2()1( αββαψ +=b y )2()1( ββψ =c .

Puesto que ψψ hSz MS =ˆ , ¿Cuáles son los valores de MS para las tres funciones de espín anteriores? Solución.- 1, 0, -1 (respectivamente). 6.13 Dados las funciones de onda determinantales D1 = || 2 1φφ y D 2 = || 2 1φφ , se pide: a) Evaluar la integral 21 DD si los orbitales de base están normalizados pero no son

ortogonales (es decir, 01221 ≠Δ== φφφφ )

b) Comprueba que 02121 =+− DDDD .

Solución.- a) 221 Δ−=DD

6.14 Para un estado excitado del átomo de Litio, se propone la siguiente función de onda:

)3(3)2(3)1(3)3(2)2(2)1(2)3(1)2(1)1(1

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sssssssss

=ψ

Donde 1s, 2s y 3s son funciones propias del hamiltoniano monoelectrónico 2+Li . Se pide: a) ¿Satisface ψ el principio de exclusión de Pauli? b) Escribe el hamiltoniano exacto H , en unidades atómicas, para el átomo de Litio. c) ¿Es ψ una función propia del hamiltoniano exacto del Litio? d) Si despreciamos los términos de repulsión electrónica en H (hamiltoniano exacto del átomo de Litio), ¿qué energía, en unidades atómicas, se asocia a la función ψ ? e) ¿Qué componente z del espín y del momento angular orbital (en u.a.) debe esperarse para el átomo de Litio en este estado? Solución.- a) Si, c) No, d) -6,125 u.a., e) -3/2 u.a. y 0 (respectivamente).

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*6.15 Un estado atómico al que corresponde el término 33D está descrito por la función

de onda ψ . ¿Cuál es el valor de a en cada una de las expresiones ψψ aA =ˆ , cuando el operador A viene dado por cada una de las posibilidades: a) 2L , b) 2S , c) 2J d) zL , e) zS y f) zJ ? Nota.- Asume que es válido el acoplamiento SL − . Si hay más de una posibilidad indícalas todas. Solución.- a) 26h , b) 22h , c) 212h , d) h)2 ,1 ,0 ,1 ,2( −− , e) h)1 ,0 ,1(− , f) h)3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3( −−− *6.16 ¿Cuántos estados existen para cada uno de los siguientes términos multipletes: a) D3 , b) F5 ?

Solución.- a) 15, b) 35 *6.17 Para una configuración electrónica determinada, ¿son posibles todos los términos siguientes: 2/3

2P , 2/12P y 0

1S ? Razona la respuesta. *6.18 ¿Qué valores de J pueden surgir en los términos siguientes: S1 , P2 , P3 , D3 ,

D2 , D1 y D4 ? ¿Cuántos estados (distinguidos por los posibles valores de MJ) pueden darse en cada uno de los casos?