MECÁNICA. PROBLEMAS RESULETOS 5

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El objetivo fundamental de esta colección de problemas de mecánica es facilitar la adquisición yconsolidación de los conceptos y métodos básicos de trabajo en mecánica de los sólidos rígidos.

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11 vBIBll 2122 vGD GDGGI1llr r ra a aB A BA +r r ra a aB G BG +4 Dinmica plana 1354. PROBLEMAS DE DINMICA PLANA4.1. Problemas resueltos1.- La rueda y las barras del dispositivo que se ilustrason homogneas y se mueven en un plano vertical.La barra 1 tiene una masa 2m; la barra 2 tiene masam; la rueda, tambin de masa m, gira con velocidadangular y aceleracin angular conocidas, bajo laaccin de un par de valor M dado. En el instante dela figura, el ngulo en B es recto y la lnea GD pasapor A. Hallar, para este instante:a) Velocidad angular y aceleracin angular de1 1 la barra 1.b)Componentes de la reaccin en A (utilcese elmnimo nmero de ecuaciones).(Datos: AB = BG = GC = GD = ).SOLUCINa) Para determinar la velocidad angular determinaremos1el CIR de la barra 1. Es inmediato ver que este CIR est en elpunto A en el instante considerado. Por tanto, tendremosPara determinar la aceleracin angular utilizaremos el punto B ya que es un punto de enlace (o seacomn a la rueda y a la barra 1) y expresaremos su aceleracin sucesivamente como punto de la ruedaycomopuntodela barra, es decir:

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en lasleyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin deejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la UninEuropea. + + + l ll ll ll l12 222212222 22 2( ) 122 1 2 +( ) 222 2 2 + ( ) M I ma d M IB G G A t + AxlAI MxA l l( )F m a B mgy Ayy + 0 0A (1)y136 Mecnica. ProblemasLos diagramas adjuntos expresan geomtricamente las frmulas que acabamos de escribir. Ntese laimportancia de atribuir sentidos positivos a las aceleraciones angulares, con objeto de poder trazar lasaceleracionestangencialesconelsentidocorrecto.Utilizandolabaseindicadaenelenunciadoeigualando las componentes de las dos expresiones de la aceleracin de B, quedarResolviendo este sistema se obtiene b)Ahorayaestamosencondicionesdeefectuarelanlisisdinmico.Trazamos el diagrama de sistema libre para el disco, como se muestra enla figura adjunta. Advirtase que Apuede determinarse directamente -oxsea , con una nica ecuacin-aplicando el teorema del momento cinticoen el punto B, ya que al tomar momentos en B no aparecern las fuerzasincgnitas que pasan por este punto. Pero el teorema debe utilizarse en suforma general, no la simplificada, puesto que para el punto B no se cumpleningunacondicinsimplificadora.Tomandoelsentidopositivoqueseindica a continuacin para los momentos, nos quedar

Por tanto, la fuerza AvaldrxHallando la suma de fuerzasEstaecuacinmuestraqueelmeroanlisisdeldisconopermitehallarA ,quedependedelvalory desconocido B .Para determinar este ltimo estudiaremos la barra 1, cuyo diagrama de sistema libreyse acompaa. El teorema del momento cintico en G, con el sentido positivo que se seala, nos da los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. ( ) M BG y I IG G l1By IG1lA mgIyG +1l4 Dinmica plana 137

El signo menos de obedece a que el sentido positivo elegido para los1momentos-o sea para la rotacin-es el antihorario y, en el apartadoanterior, se ha elegido para el sentido horario, que es el contrario del1actual. Con ello resultaY sustituyendo en (1) tendremosen donde deben substituirse I y por sus valores.G 12.- La placa plana, homognea y rectangular de lafigura,cuyocentrodemasaseselpuntoG,estarticulada en B a la barra AB y se apoya en C en labarraCD.Dichasbarras,deiguallongitudsemantienenparalelasentresmedianteunabarravertical articulada con ambas. El peso de las barrasesdespreciablefrentealdelaplaca.Suponiendoquestapartedelreposoenlaposicinenque=0, determinar:a) Velocidad lineal del bloque cuando =30.b)AceleracinangulardelabarraABpara=30.c)ReaccionessobreelbloqueenByCenelmismo instante.SOLUCINa) El slido en cuestin describe un movimiento de traslacin curvilnea consecuencia del movimientoparalelode las dos barras que lo sostienen. El hecho de que se trate de un movimiento de traslacinpermanente implica que la velocidad angular y la aceleracin angular del bloque sern nulas en todoinstante, y que, por tanto, la velocidad y aceleracin de todos sus puntos ser la misma.Porotraparte,elhechodequenoexistanfuerzasdisipativaspermiteaplicarelteoremadeconservacin de la energa entre la posicin inicial y una posicin genrica cualquiera, de manera quelas disminucin de energia potencial implica un incremento igual de la energia cintica (la cual es nulaen la posicin inicial por partir del reposo), es decir: los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. U T U mgl sen T mvG122v gG 2l sen v gBl l2 sen&&cos ddtddddgl138 Mecnica. ProblemasLa disminucin de la energa potencial puede calcularse fcilmente a partir del descenso del centro demasas:El incremento de energa cintica es su valor final por partir del reposo, en consecuencia:e igualando ambas expresiones se deduce queEl hecho de tratarse de un movimiento de traslacin implica, como ya se ha dicho, que todos los puntosde la placa tienen la misma velocidad. Concretamente, el punto B tiene la misma velocidad que G y, portanto, la velocidad angular de la barra AB es:Al haber encontrado una expresin genrica para la velocidad angular, sta puede derivarse para hallarla aceleracin angular, que resultar:Para hallar las reacciones en los apoyos, ser necesario analizar las fuerzas que actan sobre la placa.Por tratarse de un slido en movimiento plano, no se producirn fuerzas en la direccin ortogonal al los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. 0r ra aG B( )r r ra a BA ABggG B +

1]11 2232 3&sen coscosrrF maG()( )( )B C mgB mg mgxy+ 3 12 3 22sen coscos M IG G 0( ) ( ) bB h B Cy x+ 0 34 Dinmica plana 139plano del movimiento. En B aparecer una reaccin de mdulo y direccin desconocida que dar lugar,por tanto, a dos componentes. En el apoyo C, por tratarse de un apoyo sobre una ranura lisa, se poduciruna reaccin de mdulo desconocido y de direccin perpendicular a la ranura. En el centro de masasactuar el peso de la placa.Una vez identificadas las acciones que se ejercen sobre el slido, para aplicar los teoremas vectorialesser necesario calcular la aceleracin lineal de centro de masas y la aceleracin angular de la placa. Portratarse de un movimiento de traslacin permanente, sta ltima ser nula; en consecuencia:Elhechodequeelmovimientoseadetraslacinpermanentepermite,asimismo,afirmarquelaaceleracin de todos los puntos de la placa es la misma, por tanto:Como el punto B pertenece, simultneamente, a la placa y a la barra AB se podr escribir:Conocidoslosvaloresdelasaceleraciones,linealdeGyangulardelaplaca,sepodrnaplicarlosteoremas vectoriales para el caso actual de movimiento plano.Teorema de la cantidad de movimiento:da lugar a las ecuaciones:Teorema del momento cintico:que proporciona la ecuacin escalarDe la ecuacin (2) se obtiene directamente los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. B mgy 32sen B mgbhC mgbhx +

_,

_,

3232sen cos sensen cos sen r r rlrlra a a i iA O AO + + 01 1 ( ) M I mg mA A ll21322140 Mecnica. Problemasy resolviendo el sistema constituido por las ecuaciones (1) y (3) se llega a:3.- Dos barras homogneas, de masa m cada una, estn situadasen un plano vertical y articuladas tal como se indica. La figurarepresentaelinstanteinicial,enelcuallabarraOAestenposicin vertical mientras que la AB est horizontal. El sistemaseponeenmovimientoenestaposicincon =0y1 2conocidas. Determi-nar, en el instante considerado:a) Aceleraciones angulares de las barras.b) Reaccin horizontal Asobre la barra 2xSOLUCINa) En el diagrama adjunto se sealan los sentidos positivos paralasaceleracionesangulares.Esevidentequeutilizandolabaseindicada podemos escribirAnalicemoslabarra2cuyodiagramadesistemalibreseacompaa.Parahallar aplicaremoselteoremadelmomento2cinticoenA.ComopasaporelcentrodemasaGde2,elteoremaadoptarlaformasimplificada.Tomandoparalosmomentos el sentido positivo que se seala, tendremos

y por tanto los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. 232 glr r ra a aG A GA +aGx 1 222ll( )F ma mx Gx

_,Ax 1 222ll( ) M I mO O Axl l1321Ax 1822ml 1 22384 Dinmica plana 141b) Antes de aplicar el teorema de la cantidad de movimiento para2 calcularemos, que valey por tanto su componente x serPor tanto, la suma de fuerzas para la barra 2, teniendo en cuenta el diagrama desistema libre que se acompaa, valdrLa presencia de dos incgnitas indica que es menester una nueva ecuacin parahallar A. La suministrar el anlisis de la barra 1, cuyo diagrama de cuerpo librexse da. Advirtase que, por el principio de accin y reaccin, la fuerza en A tienelasmismascomponentesqueeneldiagramaparalabarra2,peroensentidocontrario. Tomando para los momentos el sentido positivo que se seala, tendremos Ahora es inmediato resolver el sistema formado por las dos ltimas ecuaciones, y resultar De paso, es inmediato calcular, aunque no se pide en el enunciado, que el valor para es 1 los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. rrF maM IGG G 142 Mecnica. Problemas4.-Unbloquehomogneo,demasam,estsoportadodelmodoqueseindica,medianteunossoportesyrodilloscuyamasaesdespreciable.Enuninstantedeterminado,elsoporteBcederepentinamente.Encontrareneste momento los valores de la reaccin en Ayde la aceleracin del punto A.SOLUCINEl cuerpo est inicialmente en reposo, pero enel momento en que el soporte B cede, el cuerpoadquiere una aceleracin angular desconocida yquenosepuedecalcularpormtodoscinemticos.Serequiere,pues,enestecaso,elusodelasrelaciones dinmicas. En este instante, las acciones que tienen lugar sobre el cuerpo son el peso y lafuerza de contacto de A con el suelo, que, siendo la masa de los rodillos despreciable, tiene direccinvertical. As, el diagrama del slido libre para el cuerpo es:Como se ve, la nica incgnita presente