Problemas propuestos de electromagnetismo

download Problemas propuestos de electromagnetismo

of 24

  • date post

    24-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    65
  • download

    8

Embed Size (px)

description

Problemas de electromagnetismo propuestos.

Transcript of Problemas propuestos de electromagnetismo

  • Problemes dElectromagnetisme. Full 1

    1.1. Donat el camp escalar (x, y, z) = xy sin(yz) + z2e2x, trobeu les seves derivades parcials respecte dex, y i z. Calculeu el seu gradient.

    1.2. Si ~r es el vector de posicio dun punt respecte de lorigen de coordenades i ~A un vector constant,demostreu que ~( ~A ~r) = ~A.

    1.3. El vector ~R = ~r ~r1 es dirigeix del punt P1(x1, y1, z1) al P (x, y, z). Si el punt P1 es fix i P variabledemostreu que el gradient de 1/R val

    ~ 1|~r ~r1|

    = ~r ~r1|~r ~r1|3

    = ~R

    R3.

    Si el punt P es fix i P1 variable demostreu que el gradient de 1/R val

    ~11

    |~r ~r1|=

    ~r ~r1|~r ~r1|3

    =~R

    R3.

    1.4. Demostreu que ~f es un vector perpendicular a la superfcie f(x, y, z) = K, a on K es una constant.Trobeu el vector perpendicular a la superfcie x2 + y2 + z2 = 9 (esfera) en el punt (2,1, 2), i a lasuperfcie z = x2 + y2 3 (paraboloide de revolucio) en el mateix punt. Calculeu langle que formenles dues superfcies anteriors en el punt (2,1, 2).

    1.5. Avalueu2y ~ex ~n dS

    sobre la superfcie dun cub de costat a centrat en la posicio (a/2, a/2, a/2).

    1.6. Demostreu que ~ ~r = 3 i calculeu quant val el flux de ~r a traves duna superfcie esferica de radi R.

    1.7. Amb la definicio de divergencia

    ~ ~A limV0

    1V

    S~A ~ndS

    i fent la integral en un paralleleppede diferencial fixat pels plans: x = x0 dx, y = y0 dy, z = z0 dz,demostreu lexpressio de la divergencia dun camp en el punt (x0, y0, z0), en coordenades rectangulars.

    1.8. La forca sobre una partcula que segueix una trajectoria ellptica 4x2 + y2 = 16, es

    ~f = xy ~ex + x2 ~ey + y2 ~ez.

    Calculeu lenergia adquirida per la partcula al recorrer la trajectoria entre les punts (2, 0, 0) i (0, 4, 0),amb x 0.

    1.9. Demostreu que ~ (~ ~a) = 0 i que ~ ~f = 0.

    1.10. Demostreu que el camp

    ~F (x, y, z) = (2xy + z3)~ex + x2~ey + 3xz2~ez

    es conservatiu. Quin es el potencial associat?

    1.11. Sigui una circumferencia de radi R centrada en lorigen i en el pla z = 0. Calculeu la integral de lniadel gradient de la funcio (expressada en coordenades cilndriques)

    f = sin+ 2 cos

    en la lnia recta que va del punt (0,R, 0) a (0, R, 0). Repetiu el calcul si el cam es la semicircum-ferencia amb x > 0 que uneix el mateixos punts.

    1

  • 1.12. Siguin els camps vectorials

    ~A1(x, y, z) = a~ex + b~ey + c~ez~A2(, , z) = a~e + b~e + c~ez~A3(r, , ) = a~er + b~e + c~e

    on a, b i c son constants. Son aquests camps vectorials constants en lespai? Trobeu la divergencia i elrotacional de tots ells.

    1.13. Demostreu que el diferencial de longitud en coordenades cilndriques es pot escriure

    d~l = d~e + d~e + dz ~ez.

    Amb lajuda daquesta expressio i tenint en compte que df = ~f d~l, trobeu el gradient en coordenadescilndriques.

    1.14. Considereu el camp vectorial ~A = yz~ex + xz~ey + z2~ez per comprovar el teorema de la divergenciautilitzant el cilindre definit per les superfcies

    x2 + y2 = 4, z = 3, z = 0.

    Feu-ho en coordenades cartesianes i cilndriques. Si la base inferior estigues situada a z = 3, quinseria el flux d ~A a traves de la superfcie del cilindre? Per que?

    1.15. Un fluid gira al voltant de leix z. Si la velocitat angular es constant, trobeu el valor del rotacionalde ~v. Quin sera el valor de ~ ~v si = K/2 (K es una constant)?

    *1.16. Amb la definicio de divergencia

    ~ ~A limV0

    1V

    S~A ~ndS

    i fent la integral en una superfcie diferencial fixada per les superfcies: = 0 d, = 0 d,z = z0 dz, demostreu lexpressio de la divergencia dun camp en el punt (0, 0, z0), en coordenadescilndriques.

    *1.17. Idem que el problema anterior pero en coordenades esferiques.

    *1.18. Amb la definicio de rotacional

    (~ ~A) ~e limS0

    1S

    C

    ~A d~l

    i fent la integral en el circuit tancat fixat per les 4 lnies: (r, 0 d, 0) i (r0 dr, , 0), demostreulexpressio de la component ~e dun camp en el punt (r0, 0, 0), en coordenades esferiques.

    1.19. Trobeu el gradient de f(r, , ) = Ar cos sin2 , i comproveu si compleix lequacio de Laplace(2f = 0).

    **1.20. Sigui la superfcie donada pel tros de pla 2x+3y+6z = 12 situat en el primer octant (x, y i z positius).

    (a) Trobeu els punts de tall del pla amb els eixos x, y i z.(b) Trobeu lequacio de la recta que dona la interseccio amb el pla z = 0.(c) Calculeu el vector unitari (~n) perpendicular al pla.(d) Demostreu que un diferencial de superfcie ( dS) del pla es pot escriure

    dS = dxdy~n ~ez

    (e) Avalueu la integral del vector ~A(x, y, z) = 6z~ex 4~ey + y~ez sobre aquesta superfcie~A ~ndS

    2

  • Problemes dElectromagnetisme. Full 2

    2.1. Calculeu la carrega total de cadascuna de les seguents distribucions de carrega

    (a) Densitat de carrega lineal uniformement distribuda en un anell de radi a.(b) Densitat de carrega superficial uniformement distribuda en un disc circular de radi a.(c) Densitat de carrega volumica uniformement distribuda en una esfera de radi a.(d) Densitat de carrega lineal (z) distribuda sobre leix z des de a

    (z) =0

    1 + z2/K2.

    (e) Densitat volumica de carrega (r) corresponent al nuvol electronic de latom dhidrogen

    (r) =q

    a30e2r/a0 ,

    a on a0 es el radi de Bohr i q la carrega de lelectro.

    2.2. Calculeu el camp electric que sera suficient per equilibrar el pes (forca gravitatoria) dun electro. Siaquest camp electric fos produt per un segon electro situat sota el primer, quina hauria de ser ladistancia entre els dos?Dades: me = 9, 1 1031kg; qe = 1, 6 1019C.

    *2.3. Una carrega Q esta situada en (a, 0, 0) i una altra 2Q en (a, 0, 0) .

    (a) Calculeu el camp en qualsevol punt del pla xy.(b) Existeix algun punt en que el camp electric sanulli?(c) Que passa quan r ?(d) Calculeu el potencial en qualsevol punt del pla xy.

    (e) Dibuixeu les lnies d ~E i les superfcies equipotencials.

    2.4. Una carrega Q esta distribuda uniformement en una superfcie semiesferica de radi a. Trobeu el campelectric en el centre de la semiesfera.

    2.5. Calculeu el camp electric i el potencial que crea sobre leix z un anell de radi a situat en el pla (x, y) icentrat en lorigen, si la seva densitat de carrega es constant. Que passa quan z a?

    2.6. Un disc de plastic de radi R te una carrega repartida uniformement en la seva superfcie amb densitatsuperficial de carrega . Calculeu el camp electric en un punt de leix del disc que dista x del seucentre.

    2.7. Calculeu el camp electric que crea un pla infinit amb densitat superficial (constant) per integraciodirecta.

    *2.8. Una lnia de longitud l esta uniformement carregada amb C/m. Considereu una perpendiculara la lnia i un punt P sobre la perpendicular, a una distancia d de la lnia. Langle que forma laperpendicular amb la recta que uneix P amb un extrem de la lnia es 1, amb laltre extrem es 2.

    (a) Trobeu ~E a P en funcio de d i dels angles 1 i 2.(b) Obteniu el resultat anterior per a l.(c) Si d=0, es a dir, P esta sobre la mateixa lnia carregada, a una distancia Xp de lextrem superior

    daquesta, quin sera ~E?(d) Suposeu ara que P esta en la prolongacio de la lnia, a una distancia d de lextrem mes proper.

    Trobeu ~E.

    2.9. Calculeu el camp electric que crea un pla infinit amb densitat superficial (constant) utilitzant elteorema de Gauss.

    2.10. Calculeu el camp electric a tot lespai creat per dues plaques infinites paralleles

    (a) Si totes dues tenen la mateixa densitat de carrega constant.(b) Si les densitats de carrega de cada placa son i respectivament.

    2.11. Una lnia de carrega de longitud l i amb densitat = constant, esta sobre leix z amb els extrems enz = z0 i z = z0 + l. Calculeu la forca total exercida sobre tota la lnia per una distribucio de carregaesferica i uniforme centrada a lorigen i radi a < z0.

    3

  • 2.12. Calculeu ~E i creat per les seguents distribucions de carrega en tots els punts de lespai:

    (a) Esfera buida de radi a i densitat de carrega constant.(b) Esfera de radi a i densitat volumica = Kr2.

    2.13. Un cub es un cos amb un alt grau de simetria. Es pot fer servir el teorema de Gauss per trobarfacilment el camp electric creat per una distribucio de carrega cubica uniforme? Escriviu la integralper a la cara perpendicular a ~ex per mostrar-ho explcitament.

    2.14. Considereu dos conductors cilndrics, coaxials i infinitament llargs, un de radi a i laltre de radi b (b > a).El cilindre intern pot ser masss o buit, tant se val. Suposeu que el cilindre intern esta carregat ambuna densitat superficial de carrega i lextern amb . Trobeu ~E a tot lespai, mitjancant el teoremade Gauss en coordenades cilndriques.

    2.15. Una esfera de radi R2, amb densitat de carrega constant, te una esfera buida de radi R1 al seuinterior. La distancia entre els centres es d. Calculeu el camp ~E dins lesfera buida.

    2.16. Calculeu el camp electric i la diferencia de potencial respecte del seu centre, [ = (r) (0)] duncilindre infinitament llarg de radi a i densitat de carrega constant.

    *2.17. Dos fils infinits rectilinis i uniformes separats una distancia d = 2a estan carregats amb una densitatde carrega constant, i respectivament. Demostreu que el potencial en tots els punts de lespai es

    =

    20lnr2r1,

    a on r2 es la distancia del punt a la lnia amb i r1 la corresponent a . Quines son les superfciesequipotencials?

    *2.18. Un pla infinit parallel al pla yz esta carregat uniformement amb una densitat de carrega . Recobrintla part dreta del pla hi ha una capa de gruix d carregada uniformement amb una densitat volumica tambe uniforme. Trobeu el camp electric i el potencial a tot lespai, prenent com a origen de potencialel centre de la capa de gruix d.