PROBLEMAS PROPUESTOS DE OSCILACIONES

1. La posición de un cuerpo puede describirse mediante x =A cos(ωt + δ). La frecuencia angular ω, la posición inicial x0 y la velocidad v0 son conocidas. Encuentre la amplitud A y la constante

de fase δ en términos de ω, x0 y v0. Solución: 𝐴𝐴 = �𝑥𝑥02 + 𝑣𝑣02

𝜔𝜔2

2. Una partícula ejecuta movimiento armónico simple. Su desplazamiento es x = A cos(ωt + δ), donde, como es usual, la amplitud A es una constante positiva. En t = 0, la partícula está en el origen y se mueve en la dirección x positiva. ¿Cuál es la elección adecuada de la constante de fase δ en este caso? Solución: δ = 3π/2. 3. La frecuencia de una masa unida a un resorte es de 3,0 Hz. En el tiempo t = 0, la masa tiene un desplazamiento inicial de 0,20 m y una velocidad inicial de 4,0 m/s. a) ¿Cuál es la posición de la masa como función del tiempo? Solución: x = 0,929 cos(6π t – 0,815) b) ¿Cuándo llegará por primera vez la masa a un punto de retorno? ¿Cuál será su aceleración en dicho tiempo? Solución: 0,043 s; -103 m/s2. 4. El cable de levantamiento de una torre está hecho de acero, con un diámetro de 5,0 cm. Su longitud desde el suelo hasta la carga es de 160 m. Si se considera como un resorte ¿Cuál es su constante de resorte efectiva? ¿Cuál es la frecuencia de oscilación cuando una masa de 7,1·103 kg se une al extremo inferior del cable y se le permite oscilar arriba y abajo? La masa del cable no se considera. Solución: 2,8·106 N/m; 3,16 Hz.

5. Un monitor de grosor es un instrumento de laboratorio que se utiliza para determinar el grosor de una película delgada que se deposita sobre la superficie de un cristal de cuarzo. El cristal puede tratarse como un sistema resorte-masa con k = 6,0·105 N/m y m = 0,50 g. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación de este sistema? Esta frecuencia cambia ligeramente conforme se agrega masa al cristal. Si la frecuencia disminuye 0,010%, ¿Cuánta masa se ha depositado? Si el área del cristal es de 2,0 cm2 y la densidad de masa del material de la película es de 7,5 g/cm2, ¿Cuál es el grosor de la película depositada? Solución: 5,51·103 Hz; 1,0·10-4 g; 6,7·10-6 cm.

6. Una masa m se desliza sobre un plano sin fricción inclinado a un ángulo θ con la horizontal. La masa se une a un resorte, de constante k, paralelo al plano ¿Cuánto se estira el resorte en el equilibrio? ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones de la masa arriba y abajo sobre el plano?

Solución: 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘

; 12𝜋𝜋�𝑘𝑘𝑚𝑚

7. Dos masas m1 y m2 se unen mediante un resorte con constante de resorte k. Demuestre que la frecuencia de vibración de estas masas a lo largo de la línea que las conecta es

𝜔𝜔 = �𝑘𝑘(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2

𝑚𝑚1𝑚𝑚2

(Sugerencia: El centro de masa permanece en reposo.) 8. Un reloj de péndulo, controlado por un péndulo de 0,9932 m de largo, mantiene bien el tiempo en Nueva York (g = 9,803 m/s2). a) Si este reloj se lleva a Austin, Texas (g = 9,793 m/s2), ¿Cuántos minutos por día se retrasará? b) Con la finalidad de ajustar el reloj, ¿En cuántos milímetros debe acortarse el péndulo? Solución: a) 0,73 min/día; b) 1 mm. 9. Para probar que la aceleración de la gravedad es la misma para un trozo de hierro y un trozo de latón, un experimentador toma un péndulo de 1,800 m de largo con una lenteja de hierro y otro péndulo de la misma longitud con una lenteja de latón y los pone a balancear al unísono. Después de balancear durante 12,00 min, los dos péndulos no están más que un cuarto de balanceo (en una ruta) fuera de paso. ¿Cuál es la diferencia más grande entre los valores de g para el hierro y el latón consistente con estos datos? Exprese su respuesta como una diferencia fraccional. Solución: 9,8·10-3 m/s2. 10. Se taladra un orificio en la marca de 30 cm de un metro que se cuelga sobre una pared mediante un clavo que pasa a través de este orificio. Si al metro se le da un empujón, de modo que se balancee en torno del clavo, ¿Cuál es el periodo del movimiento? Solución: 1,6 s. 11. Un péndulo físico consiste de una barra sin masa de longitud 2L que rota alrededor de un eje que pasa por su centro. Una masa m1 se une al extremo inferior de la barra y a una masa menor m2 en el extremo superior. ¿Cuál es el periodo de este péndulo?

Solución: 2𝜋𝜋�𝐿𝐿𝑚𝑚�𝑚𝑚1+𝑚𝑚2𝑚𝑚1−𝑚𝑚2

�

12. Un péndulo físico consiste en un largo cono delgado suspendido en su ápice. La altura del

cono es L ¿Cuál es el periodo de este péndulo? Solución: 2𝜋𝜋�4𝐿𝐿5𝑚𝑚

13. Cuando un columpio en movimiento no es impulsado, la amplitud angular de oscilación disminuye debido al aire y otra fricción. El movimiento de un columpio de 3,0 m disminuye en amplitud de 12° a 10° después de cinco ciclos completos. ¿Cuál es Q del sistema? Si el pasajero y el asiento se tratan como una masa puntual con m = 25 kg, ¿A qué ritmo promedio se disipa energía mecánica? Solución: 92; 0,32 W. 14. Con la litografía de haz de electrones, los ingenieros intentan fabricar osciladores de sistemas nanoelectromecánicos (NEMS) con frecuencias tan altas como 100 GHz (para comunicaciones y computadores de rapidez superior). Si la masa equivalente de tal oscilador es de 1,0·10-18 g y se necesita una amplitud mínima de 0,10 nm para detectar una fuerza armónica aplicada de 1,0·10-10 N de amplitud, ¿cuál debe ser el Q mínimo de tal oscilador? Solución: 395. 15. En una sierra caladora eléctrica, el movimiento de rotación del motor eléctrico se convierte en un movimiento de ida y vuelta de la segueta mediante un mecanismo similar al que se muestra en la figura. Suponga que la espiga de la rueda giratoria se mueve alrededor de un círculo de 3,0 cm de diámetro a 4.000 rev/min, y por consiguiente mueve el brazo ranurado al que se atornilla la segueta ¿Cuáles son la amplitud y frecuencia del movimiento armónico simple de ida y vuelta de la segueta? Solución: 1,5 cm; 66,7 Hz.

16. Suponga que dos partículas realizan movimiento armónico simple a lo largo del eje x, con un periodo de 8,0 s. La primera partícula se mueve de acuerdo con la ecuación

𝑥𝑥 = 0,30 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝜋𝜋𝜋𝜋4�

y la segunda de acuerdo con la ecuación

𝑥𝑥′ = 0,30 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜋𝜋𝜋𝜋4�

donde la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos. a) ¿Cuándo alcanza el punto medio la primera partícula? ¿Cuándo alcanza el punto de retorno? Dibuje un diagrama que muestre a la partícula y su satélite en estos tiempos. Solución: Punto medio en 2 s, 6 s, 10 s,… Punto de regreso en 0 s, 4 s, 8 s,… b) ¿Cuándo alcanza el punto medio la segunda partícula? ¿Cuándo alcanza el punto de retorno? Dibuje un diagrama que muestre a la partícula y su satélite en estos tiempos. Solución: Punto medio en 0 s, 4 s, 8 s,… Punto de regreso en 2 s, 6 s, 10 s,… c) Mediante algún argumento, establezca que, siempre que la primera partícula pase a través de un punto sobre el eje x, la segunda partícula pasará a través de este mismo punto 2,0 s después.

17. El movimiento del pistón en el motor de un automóvil es aproximadamente armónico simple. Suponga que el pistón viaja de ida y vuelta sobre una distancia de 8,50 cm y tiene una masa de 1,2 kg. ¿Cuáles son su aceleración y rapidez máximas cuando el motor funciona a 6.000 rev/min? ¿Cuál es la fuerza máxima sobre el pistón en ese caso? Solución: 26,7 m/s; 1,68·104 m/s2; 2,0·104 N. 18. Un oscilador armónico simple tiene una frecuencia de 1,5 Hz. ¿Qué ocurrirá con la frecuencia si el resorte se corta por el centro y ambas mitades se unen a la masa de modo que los dos resortes actúan conjuntamente (en paralelo)? Solución: 2,12 Hz. 19. Las sogas utilizadas por los montañistas son bastante elásticas y se comportan como resortes. Una soga de 10 m tiene una constante de resorte k = 4,9·103 N/m. Suponga que un montañista de 80 kg cuelga de esta soga, que se estira verticalmente hada abajo. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación arriba y abajo del montañista? Solución: 1,25 Hz. 20. Un oscilador armónico simple consiste en una masa de 3,0 kg unida a un resorte horizontal con k = 6,0·102 N/m y que se mueve sobre una pista horizontal sin fricción. Inicialmente, la masa se libera desde el reposo a una distancia de 0,25 m del punto de equilibrio ¿Cuál es la energía de este oscilador armónico? ¿Cuál es la máxima rapidez que alcanza cuando pasa a través del punto de equilibrio? 21. Un péndulo físico consiste en una lenteja esférica uniforme de masa M y radio R suspendida de una cuerda sin masa, de longitud L. Considerando el tamaño de la lenteja, demuestre que el periodo de oscilaciones pequeñas de este péndulo es

𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�25𝑅𝑅

2 + (𝑅𝑅 + 𝐿𝐿)2

𝑔𝑔(𝑅𝑅 + 𝐿𝐿)

22. Un columpio de 2,0 m de largo cuelga de una rama horizontal de un árbol. ¿Con qué frecuencia debe mecer la rama para acumular oscilaciones del péndulo por resonancia? Solución: 0,35 Hz. 23. La posición de una partícula viene dada por x = (7 cm) cos 6πt, donde t viene dado en segundos. Determinar (a) la frecuencia, (b) el periodo y (c) la amplitud del movimiento de la partícula. (d) ¿Cuál es el primer instante después de t = 0 en el que la partícula está en su posición de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante? Solución: (a) 3,00 Hz; (b) 0,333 s; (c) 7,0 cm; (d) 0,0833 s en la dirección – x. 24. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad constante de 80 cm/s. Hallar (a) la frecuencia y el periodo del movimiento de la componente x de su posición. (b) Escribir una ecuación para la componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0. Solución: (a) 0,32 Hz y 3,1 s; (b) x = (40 cm) cos[(2,0 s-1)t + (π/2)]

25. Un objeto de 1,5 kg oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de constante de fuerza k = 500 N/m. Su velocidad máxima es 70 cm/s. (a) ¿Cuál es la energía total? (b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? Solución: (a) 0,368 J; (b) 3,83 cm. 26. Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle horizontal oscila con una amplitud A = 10 cm y una frecuencia f = 2,4 Hz. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle? (b) ¿Cuál es el periodo del movimiento? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? (d) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto? Solución: (a) 0,68 kN/m; (b) 0,42 s; (c) 1,5 m/s; (d) 23 m/s2. 27. La figura muestra el péndulo de un reloj. La barra uniforme de longitud L = 2,0 m tiene una masa m = 0,8 kg. Sujeto a la barra hay un disco de masa M = 1,2 kg y radio = 0,15 m. El reloj se ha construido de modo que funcione con total precisión si el periodo del péndulo es exactamente 3,50 s. (a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el periodo del péndulo sea 2,5 s? (b) Supongamos que el reloj de péndulo se atrasa 5,0 min por día. ¿A qué distancia y en qué sentido debe desplazarse el disco para conseguir que el reloj marque correctamente el tiempo? Solución: (a) d = 1,64 m; (b) 2,31 cm.

28. Para medir indirectamente la viscosidad de ciertos aceites, se puede determinar el tiempo que tardan en decaer las oscilaciones de un oscilador inmerso en dicho fluido, cuando se conocen previamente las propiedades del oscilador. Puesto que la velocidad del oscilador es más bien pequeña, no habrá turbulencia y la fuerza de arrastre del fluido sobre una esfera de radio a que se mueve a velocidad v es Froz = 6πaηv, donde η es la viscosidad del fluido. Supongamos que el oscilador está formado por un muelle de constante elástica 350 N/cm y una esfera de oro de 6 cm de radio que cuelga del muelle. (a) ¿Cuál es la viscosidad del fluido si la constante de tiempo es de 2,8 s? (b} ¿Cuánto vale el factor Q? Solución: (a) 5,5 Pa·s; (b) 125. 29. Determinar la frecuencia de resonancia de cada uno de los tres sistemas indicados en la figura. Solución: (a) 1,0 Hz; (b) 2,0 Hz; (c) 0,35 Hz.

30. Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k = 400 N/m. La constante de amortiguamiento es b = 2,00 kg/s. Está forzado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular ω = 10 rad/s. (a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? (b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿A qué frecuencia se producirá la resonancia? (c) Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia. (d) ¿Cuál es la anchura Δω de la curva de resonancia? Solución: (a) 4,98 cm; (b) 14,1 rad/s; (c) 35,4 cm; (d) 1,00 rad/s.