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Práctico

Lenguajes formales

Los ejercicios 1 a 3 figuran en el libro Metalógica. Introducción a la metateoría de la

lógica clásica de primer orden, de Geoffrey Hunter.

1. El lenguaje W se define de la siguiente forma:

Alfabeto: { Δ, }

Fórmulas: cualquier cadena finita de símbolos del alfabeto W que comience

con “Δ” es una fórmula.

¿Es W un lenguaje formal?

2. El lenguaje X se define de la siguiente forma:

Alfabeto: {a, b, c, d, e, f, g}

Fórmulas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto de X que dé lugar a una palabra del castellano es una fórmula.

¿Es X un lenguaje formal?

3. El lenguaje Y se define de la siguiente forma:

Alfabeto: {a, b, c, d, e, f, g}

Fórmulas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto de Y que no dé lugar a una palabra del castellano es una fórmula.

¿Es Y un lenguaje formal?

4. Considere un lenguaje cuyo alfabeto quede determinado así:

Alfabeto: { |, ||, |||, |||| }

Sean fórmulas aquellas cadenas finitas tales que sus símbolos contiguos difieren

solo en una barra.

(a) Muestre que hay fórmulas de cualquier longitud mayor que 1.

2

(b) Muestre que todas las fórmulas de cinco símbolos que contienen todos los

símbolos del alfabeto tienen repetido el primero o el último símbolo.

5. Suponga que: (i) se define un lenguaje con un alfabeto finito, (ii) se establece

que una cadena finita determinada es fórmula, (iii) se establece que serán

fórmulas todas las cadenas que se obtengan agregando dos símbolos

diferentes (siempre los mismos) al final de una fórmula ya disponible en

cualquier orden, y (iv) todas las fórmulas pueden obtenerse por este

procedimiento a partir de la cadena finita dada.

(a) Muestre que si existe una fórmula de 5 símbolos, no puede existir una

fórmula de 16.

(b) Suponga que hay una fórmula de 5 símbolos. ¿Cuántas fórmulas de 6, 7,

8 y 9 símbolos hay cuyo segmento inicial sea idéntico al de la fórmula

dada.

6. Suponga que se define un lenguaje con un alfabeto finito, se establece que una

cadena finita determinada es fórmula y que serán fórmulas todas las

cadenas que se obtengan agregando dos símbolos al final de una fórmula ya

disponible o las cadenas que se obtengan eliminando 4 símbolos del

principio de una fórmula ya disponible (si tiene 5 o más símbolos), y que

todas las fórmulas pueden obtenerse por ese procedimiento. Suponga

además que “aabbccc” es una fórmula.

¿Podría ser “ccccmm” fórmula?

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Anexo.

En el maravilloso libro Gödel, Escher, Bach – Un eterno y grácil bucle, de Douglas R. Hofstadter (un libro que explora, entre otras cosas, las relaciones entre sistemas formales, autorreferencia y consciencia), aparece un acertijo que desde entonces se ha hecho famoso. Compartimos aquí su enunciado (textualmente como lo presenta el autor en el capítulo 1 del libro), el que será seguido por algunos comentarios nuestros y finalmente, por su solución.

El acertijo MU

Sistemas formales

Una de las nociones centrales de este libro es la de sistema formal. El tipo

de sistema formal que utilizo fue creado por el lógico norteamericano Emil

Post durante la década de los ´20, y es denominado a menudo “sistema de

producción de Post”. Este capítulo expone un sistema formal; espero que,

además, el lector sienta el deseo de ampliar aunque sea mínimamente esta

noción: así, a fin de provocar su curiosidad, he planteado un modesto

acertijo.

“¿Puede usted producir MU?”, es el desafío. Para comenzar se deberá

disponer de una cadena (se trata de una cadena de letras). 1

Para interrumpir el suspense, digamos que esa cadena será MI. Serán

establecidas determinadas reglas, cuya aplicación permitirá transformar

una cadena en otra distinta. Si alguna de tales reglas es utilizable en cierto

momento, y se desea aplicar, no hay inconveniente en hacerlo, pero no

habrá nada que indique qué regla es la adecuada en caso de que sean varias

las utilizables. Es necesario optar y en ello consiste la práctica del juego a

través del cual todo sistema formal puede llegar a asemejarse a un arte.

“Requisito de formalidad”, podemos llamar a esta limitación, que

probablemente no deba ser subrayada en el transcurso de este capítulo; sin

embargo, y por extraño que parezca, predigo que cuando juegue con

algunos sistemas formales de los capítulos siguientes, el lector descubrirá

1 Para referirnos a las cadenas, emplearemos las siguientes convenciones: si aparecen en la misma

tipografía que el resto del texto, serán señaladas mediante comillas simples o dobles. La puntuación que

corresponda a la frase, y no a la cadena de que se hable, estará ubicada fuera de las comillas, como es

lógico. Por ejemplo, la primera letra de esta oración es “P”, mientras que la primera de `esta oración´ es

`e´. Sin embargo cuando la cadena aparezca en otra tipografía (a saber, en souvenir), no se usarán

comillas, a menos que sea imprescindible por razones de claridad. Por ejemplo, la primera letra de otra

es o.

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que está violando repetidas veces el REQUISITO de FORMALIDAD, excepto

si ha trabajado anteriormente con sistemas formales.

Lo primero por decir de nuestro sistema formal –el sistema MIU- es

que emplea solo tres letras del alfabeto: M, I, U. Esto significa que las

cadenas del sistema MIU estarían formadas exclusivamente por esas tres

letras. Las que le siguen son algunas de las cadenas del sistema:

MU

UIM

MUUMUU

UIIUMIUUIMUIIUMIUUIMUIIU

Pese a que todas las precedentes son cadenas legítimas, aun no están

“en poder” del jugador. En realidad, la única que este posee hasta ahora es

MI. Solo mediante la aplicación de las reglas, que a continuación enuncio,

podrá ampliar el lector su colección privada. He aquí la primera regla:

REGLA I: Si se tiene una cadena cuya última letra sea I, se le puede agregar

una U al final.

Dicho sea de paso, por si no se ha advertido, al decir “cadena” se da por

sentado que las letras están situadas en un orden establecido. Por ejemplo,

MI e IM son dos cadenas diferentes. Una cadena de símbolos no es

precisamente un “saco” de símbolos, donde el orden interno sería

indiferente.

He aquí la segunda regla:

REGLA II: Supongamos que se tenga Mx. En tal caso, puede agregarse Mxx a

la colección.

Unos pocos ejemplos ilustrarán esto.

Dado MIU, se puede obtener MIUIU.

Dado MUM, se puede obtener MUMUM.

Dado MU, se puede obtener MUU.

En consecuencia, la letra `x´ simplemente representa cualquier cadena, pero

una vez que se ha decidido cuál es la cadena representada, es preciso

ajustarse a tal decisión (hasta que se vuelva a aplicar al regla: entonces será

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posible decidir otra cosa). Observemos el tercero de los ejemplos

anteriores, que muestra cómo, una vez que se tiene MU, se puede

incorporar otra cadena a la colección, ¡pero primero es necesario tener MU!

Quisiera hacer un último comentario acerca de la letra `x´: el modo en que

esta o integra el sistema formal no es el mismo que caracteriza a `M´, `I´ y

`U´. Nos resulta útil contar con alguna manera de referirnos en general,

simbólicamente, a las cadenas del sistema, y esa es la función de `x´:

representar cadenas arbitrarias. Si alguien suma a su “colección” una

cadena una `x´, está cometiendo un error, porque las cadenas del sistema

MIU nunca pueden incluir `x´.

REGLA III: Si en una de las cadenas de la colección aparece la secuencia III,

puede elaborarse una nueva cadena sustituyendo III por U.

Dado UMIIIMU, se puede elaborar UMUMU.

Dado MIIII, se puede elaborar MIU (también MUI).

Dado IIMII, la aplicación de esta regla no permite ninguna transformación

(las tres III deben ser consecutivas2).

Dado MIII, se elabora MU.

Bajo ninguna circunstancia ha de pensarse en emplear la regla en sentido

inverso, como en el ejemplo siguiente:

Dado MU, obtener MIII. Erróneo.

Las reglas son unidireccionales.

He aquí la última:

REGLA IV: Si aparece UU en el interior de una de las cadenas, está permitida

su eliminación.

Dado UUU, se obtiene U.

Dado MUUUIII, se obtiene MUI.

Eso es todo; a continuación, hay que tratar de obtener MU. No hay que

preocuparse si no se lo consigue: lo principal es hacer un pequeño intento, a

fin de tomarle el gusto a este acertijo. Diviértase el lector.

2 Esto debe ser un error, aparentemente, lo que corresponde es “Las tres I deben ser consecutivas”.

(M.M.)

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Comentarios

Hofstadter habla aquí de sistemas formales. En un sistema formal, tenemos

la posibilidad de la derivación. Dada alguna fórmula del lenguaje formal, la

aplicación de ciertas reglas, nos permite hallar otra u otras fórmulas que se

derivan de la dada por aplicación de las reglas. Más adelante en el curso

veremos un sistema formal adecuado a la lógica proposicional. Obsérvese,

sin embargo, que es posible considerar las reglas de Hofstadter como dando

un lenguaje formal. Nos dio el alfabeto, que consta de las letras “M”, “I”, “U”;

nos dijo que “MI” es una fórmula, y nos da cuatro reglas por las que se

pueden obtener fórmulas. Si suponemos que esas cuatro reglas agotan las

posibilidades que tenemos para construir fórmulas, tenemos determinado

un lenguaje formal. El acertijo, bajo este marco, quedaría replanteado así:

¿Es “MU” una fórmula del lenguaje?

Solución del acertijo

Podemos intentar generar cadenas partiendo de “MI” aplicando las reglas.

Eso nos dará una idea de cómo funcionan en la construcción de fórmulas,

nos dará un cierto “sentido” del lenguaje. Pero por más que trabajemos así,

nunca llegaremos a obtener la cadena “MU”, porque ello es imposible. Para

demostrarlo, es imprescindible razonar sobre el lenguaje, debemos

considerar cuestiones estructurales que no son “expresables” en el propio

lenguaje MIU, que dicho sea de paso, no expresa nada en tanto no se le

asigne una semántica, y parece ser que si se le asigna una, su riqueza

expresiva no será mucha en ningún caso.

La solución es la siguiente: Partimos de la fórmula MI, y debemos arribar a

la fórmula MU. Ahora bien, para eso debemos eliminar todas las “I”. La

forma de eliminar todas las “I” sería por aplicación de la regla III, porque

ninguna otra regla nos permite eliminar ese símbolo. Pero para aplicar la

regla III una o repetidas veces eliminando todas las “I”, debemos tener una

cantidad múltiplo de 3 de “I”. Ahora bien, empezamos teniendo una cadena

que tiene una “I”, y 1 no es múltiplo de 3. Pero un número que no es

múltiplo de 3, da un número que no es múltiplo de 3 al duplicarlo, como

haríamos aplicando la regla 2. De manera que la aplicación de la regla 2

nunca nos daría un múltiplo de 3 de “I” si previamente no tenemos un

múltiplo de 3 de “I”. Las otras reglas no alteran el número de “I” que

tenemos en la cadena. Por lo tanto, no hay manera, partiendo de una cadena

que tiene un número que no es múltiplo de 3 de “I”, como “MI”, de obtener

una cadena que tiene una cantidad que es múltiplo de 3 de “I” como “MU” (0

es múltiplo de 3). Se concluye entonces que “MU” no pertenece al lenguaje

formal.