Raul E Gutierrez de Pi´ nerez R.˜ · Lenguajes formales y automatas´ Raul E Gutierrez de Pi´...

Lenguajes formales y automatas

Raul E Gutierrez de Pinerez [email protected]

Raul E Gutierrez de Pinerez R

Marzo, 2014

Lenguajes formales Raul E Gutierrez de Pinerez R

El alfabetoUn alfabeto es un conjunto finito no vacıo cuyos elementos se llamansımbolos.

Sea Σ = {a, b} el alfabeto que consta de los sımbolos a y b. Lassiguientes son cadenas sobre Σ: aba, abaabaaa, aaaab.El alfabeto binario Σ = {0, 1} son las cadenas sobre Σ que sedefinen como secuencias finitas de ceros y unos.Las cadenas son secuencias ordenadas y finitas de sımbolos.Por ejemplo, w = aaab 6= w1 = baaa.Sea Σ = {a, b, c, . . . , x, y, z} el alfabeto del idioma castellano.El alfabeto utilizado por muchos lenguajes de programacion.Sea Σ = {a, b, c} entonces podemos formar todas las cadenassobre Σ incluyendo la cadena vacıa.


Notacion de alfabetos, cadenas y lenguajes

Si bien un alfabeto Σ es un conjunto finito, Σ∗ es siempre unconjunto infinito (enumerable).Hay que distinguir entre los siguientes cuatro objetos, que sondiferentes entre sı: ∅, ε, {∅}, {ε}


Alfabetos

Operaciones con alfabetos

Si Σ es un alfabeto, σ ∈ Σ denota que σ es un sımbolo de Σ, portanto, si

Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

se puede decir que 0 ∈ Σ

Un alfabeto es simplemente un conjunto finito no vacıo que cumplelas siguientes propiedades, Dados Σ1 y Σ2 alfabetos

Entonces Σ1 ∪ Σ2 tambien es un alfabeto.Σ1 ∩ Σ2,Σ1 − Σ2 y Σ2 − Σ1 tambien son alfabetos.


Conjunto Universal

El conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto Σ, incluyendo lacadena vacıa, se denota por Σ∗

Sea Σ = {0, 1}Σ∗ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 100, 010, 110, . . .}Sea Σ = {a, b, c}, entoncesΣ∗ = {ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab, abc, baa, . . .}Sea Σ = {a, b}, entoncesΣ∗ = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, baa, . . .}


Concatenacion de cadenas

Cadenas

Dado un alfabeto Σ y dos cadenas u, v ∈ Σ∗, la concatenacion de u yv se denota como u · v o simplemente uv y se define ası:

1 Si v = ε, entonces u · ε = ε · u = u, es decir, la concatenacion decualquier cadena u con la cadena vacıa, a izquierda o derecha,es igual a u.

2 Si u = a1a2 . . . an, v = b1b2 . . . bm, entonces

u · v = a1a2 . . . anb1b2 . . . bm

Es decir, u · v es la cadena formada de escribir los sımbolos de uy a continuacion los sımbolos de v.


Potencia de una cadena

Dada w ∈ Σ∗ y n ∈ N, se define wn de la siguiente forma

wn =

ε si n = 0uu . . . u︸︷︷︸n−veces

si n ≥ 1

Potencia de una cadena de manera recursivaLa potencia de una cadena se define como w ∈ Σ∗ para n ∈ N

wn =

{ε, si n = 0wwn−1, si n > 0

Ejemplo. Sea una cadena w = acc sobre Σ = {a, c} entoncespodemos obtener w3 = ww2 = wwww0 = accaccaccε = (acc)3


Inversa de una cadena

Longitud de una cadena

La longitud de una cadena w ∈ Σ∗ se denota |w| y se define como elnumero de sımbolos de w (contando los sımbolos repetidos), esdecir:

|w| ={

0, si w = εn, si w = a1a2 . . . an

|aba| = 3, |baaa| = 4

Reflexion o inversa de una cadena

La reflexion o inversa de una cadena w ∈ Σ∗ se denota como wI y sedefine ası:

wI =

{ε, si w = εan . . . a2a1, si w = a1a2 . . . an


Inversa de una cadena de manera recursiva

La Inversa de una cadena Sea u ∈ Σ∗ entonces u−1 es la inversa.

wI =

{w si w = εyIa si w = ay, a ∈ Σ, y ∈ Σ∗

Sea x=’able’ entonces obtener xI

xI = (able)I = (ble)Ia= (le)Iba= (e)I lba= (ε)Ielba

= εelba= elba

Sea la concatenacion de las cadenas “ab” y “cd” que forma“abcd” sobre un alfabeto. Sabemos que (abcd)I = dcba, por tantodcba = (cd)I(ab)I . Por lo tanto, si w e y son cadenas y si x = wy,entonces xI = (wy)I = yIwI

En general, (xI)I = x, para demostrar, suponga quex = a1a2 . . . an.


Sufijos y prefijos

Cadena

Definicion formal: Una cadena v es una subcadena o subpalabra deu si existen x, y tales que u = xvy. Notese que x o y pueden ser ε ypor lo tanto, la cadena vacıa es una subcadena de cualquier cadena.

Un prefijo de u es una cadena v tal que u = vw para algunacadena w ∈ Σ∗. Se dice que v es un prefijo propio si v 6= u.Un sufijo de u es una cadena de v tal que u = wv para algunacadena w ∈ Σ∗. Se dice que v es un sufijo propio si v 6= u.


Ejemplo de cadenas que son sufijos y prefijos

Sea Σ = {a, b, c, d} y u = bcbaadb

Prefijos de uεbbcbcbbcbabcbaabcbaadbcbaadb

Sufijos de uεbdbadbaadbbaadbcbaadbbcbaadb


La concatenacion como una operacion binaria

Operacion binaria

Una operacion binaria en un conjunto A es una funcionf : A×A→ A, esta debera satisfacer las siguientes propiedades:

1 La operacion binaria debera estar definida para cada parordenado de A, es decir, f asigna a UN elemento f(a, b) de A acada par ordenado (a, b) de elementos de A.

2 Como una operacion binaria es una funcion, solo un elementode A se asigna a cada par (a, b).

Sea A = Z, se define a ∗ b como a+ b. Entonces, ∗ es unaoperacion binaria en Z.Sea A = Z+, se define a ∗ b como a− b. Entonces ∗ no es unaoperacion binaria ya que no asigna un elemento de A acualquier par ordenado de elementos de A.


Concatenacion de cadenas como una operacion binaria

Concatenacion

La operacion de la concatenacion · es una operacion binariaentre cadenas de un alfabeto Σ, esto es:

· : Σ∗ × Σ∗ → Σ∗

Sean u, v ∈ Σ∗ y se denota por u · v o simplemente uv.

| uv |=| u | + | v |

Dado el alfabeto Σ y dos cadena w, u ∈ Σ∗

Entonces w · ε = ε · w = w.Si u = a1a2a3 . . . an, w = b1b2b3 . . . bm, entonces,

u · w = a1a2a3 . . . anb1b2b3 . . . bm

Por tanto | u · w |= n+m

La concatenacion de cadenas es asociativa. Es decir, siu, v, w ∈ Σ∗, entonces:

(uv)w = u(vw)


Semigrupos

Semigrupo

Sea (Σ∗, ·) es un semigrupo el cual es un conjunto no vacıo Σ∗ juntocon una operacion binaria asociativa · definida en Σ∗.

El conjunto P (S), donde S es un conjunto, junto con la operacionde la union (P (S),∪) es un semigrupo y es tambien unsemigrupo conmutativo.

∗ : P (S)× P (S)→ P (S)

Sea S = {a, b} entonces {a, b} ∪ (∅ ∪ {b}) = ({a, b} ∪ ∅) ∪ {b}El semigrupo (Σ∗, ·) no es un semigrupo cunmutativo porquepara u,w ∈ Σ∗ no se cumple que u · w = w · u.Sea w = ac, w1 = ab y w2 = bb tal que w,w1, w2 ∈ Σ∗ entonces

w(w1w2) = (ww1)w2

ac(abbb) = (acab)bb

acabbb = acabbb


Monoide

Monoide

Un monoide es un semigrupo (S, ∗) que tiene identico.

El semigrupo P (S) con la operacion de la union tiene comoidentico a ∅ ya que

∅ ∗A = ∅ ∪A = A = A ∪ ∅

Sea (Σ∗, ·, ε) un monoide con las siguientes propiedades:1 Es una operacion binaria, es decir la concatenacion es cerrada.∀x, y ∈ Σ∗, entonces x · y ∈ Σ∗.

2 La concatenacion es un semigrupo (Σ∗, ·) y por tanto · esasociativa ∀x, y, z ∈ Σ∗, (xy)z = x(yz)

3 La cadena vacıa ε es la identica para la concatenacion: ∀x ∈ Σ∗,ε · x = x · ε = x


Lenguajes

Lenguaje

Un lenguaje es un conjunto de palabras o cadenas. Un lenguaje Lsobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ∗ y si L = Σ∗ es ellenguaje de todas las cadenas sobre Σ.

Sea L = ∅ el lenguaje vacıo∅ ⊆ L ⊆ Σ∗

Σ = {a, b, c}. L = {a, aba, aca}Σ = {a, b, c}. L = {a, aa, aaa} = {an : n ≥ 1}Σ = {a, b, c}. L = {ε, aa, aba, ab2a, ab3a} = {abna : n ≥ 0} ∪ {ε}Σ = {a, b, c}. L = {w ∈ Σ∗: w no contiene el sımbolo c}. Porejemplo, abbaab ∈ L pero abbcaa /∈ L.Sobre Σ = {0, 1, 2} el lenguaje de las cadenas que tienen igualnumero de ceros, unos y dos’s en cualquier orden.


Operaciones entre lenguajes

Operaciones entre lenguajes; Sean A,B lenguajes sobre Σentonces A ∩B, A ∪B, A−B operaciones de conjuntos.Las operaciones linguısticas son la concatenacion, potencia,inverso y clausura.Sean A,B lenguajes sobre Σ entonces,

A ∪B = {x|x : x ∈ A o x ∈ B}

{a} ∪ {b} = {a, b}{a, ab} ∪ {ab, aab, aaabb} = {a, ab, aab, aaabb}



Sean A,B lenguajes sobre Σ entonces,

A ∩B = {x|x : x ∈ A y x ∈ B}

{a, ab} ∩ {ab, aab} = {ab}{a, aab} ∩ {a, ab, aab, aaabb} = {a, aab}{ε} ∩ {a, ab, aab, aaabb} = ∅Complemento en Σ∗:

∼ A = {x ∈ Σ∗|x /∈ A}∼ A = Σ∗ −A

A ={ Cadenas de longitud par} sobre Σ = {a, b}, entonces∼ A={cadenas de longitud impar}.



Sean A,B lenguajes sobre Σ entonces,

A−B = {x|x : x ∈ A y x /∈ B}

Sea B: El lenguaje de todas las cadenas de ceros de cualquierlongitud. Entonces:Sea A = {0, 1}∗ y B = {0}∗ entoncesA−B = {0, 1}∗ − {0}∗ = 0∗1(0 ∪ 1)∗

A−B es el lenguaje de todas las cadenas de unos y ceros conalmenos un uno.


Lenguajes

Lenguaje Universal

Si Σ 6= ∅, entonces Σ∗ es el conjunto de todas las cadenas sobre Σ.Se le llama lenguaje universal.

Σ∗ es un conjunto infinito de cadenas de longitud finita sobre Σ.

TeoremaSean A y B dos lenguajes sobre el alfabeto Σ. Entonces A = B si ysolo si A ⊆ B y B ⊆ A.

⇒) Suponiendo que A = B, entonces si x ∈ A, como A = Bentonces x ∈ B por tanto A ⊆ B de la misma forma si x ∈ Bentonces como A = B entonces x ∈ A por lo tanto B ⊆ A.⇐) Se demuestra que si A ⊆ B y B ⊆ A entonces A = B.


Lenguajes

Sea el lenguaje del conjunto de cadenas con igual numero deceros y unos.

L1 = {ε, 01, 10, 0011, 0101, 1001, 000111, . . .}

y seaL = {anbn : n ≥ 0} ⊂ L1 ⊂ {0, 1}∗

La concatenacion de lenguajes de dos lenguajes A y B sobre Σ,notada por A.B o simplemente AB.AB = {uv : u ∈ A, v ∈ B}A · ∅ = ∅ ·A = ∅

A · ∅ = {uw : u ∈ A,w ∈ ∅} = ∅


Lenguajes

A · {ε} = {ε} ·A = A

A · {ε} = {uw : u ∈ A,w ∈ {ε}} = {u : u ∈ A} = A

Las propiedad distributiva generalizada de la concatenacion conrespecto a la union.

A ·⋃i∈I

Bi =⋃i∈I

(A ·Bi)

x ∈ A ·⋃i∈I

Bi ⇐⇒ x = u · v, u ∈ A, v ∈⋃i∈I

Bi

⇐⇒ x = u · v, u ∈ A, v ∈ Bj ,

∃j ∈ I⇐⇒ x ∈ A ·Bj ,∃j ∈ I

⇐⇒ x ∈⋃i∈I

(A ·Bi)


Lenguajes

Ejemplo. Sean A = {ab}, B1 = {a, b}, y B2 = {abb, b}

A ·⋃i∈I

Bi =⋃i∈I

(A ·Bi)

A ·⋃

i∈I=2

Bi = A · (B1 ∪B2)

A ·⋃

i∈I=2

Bi = {ab} · ({a, b} ∪ {abb, b})

{ab} · ({a, b} ∪ {abb, b}) = ({ab} · ({a, b}) ∪ ({ab} · {abb, b})

De igual forma se puede demostrar que:(⋃i∈I

Bi

)·A =

⋃i∈I

(Bi ·A)


Lenguajes

La concatenacion no es distributiva con respecto a la interseccion, esdecir, no se cumple que A · (B ∩ C) = A ·B ∩A · C. Contraejemplo:Sea A = {a, ε}, B = {ε}, C = {a} se tiene:

A · (B ∩ C) = {a, ε} · ∅ = ∅

Por otro lado,

A ·B ∩A · C = {a, ε} · {ε} ∩ {a, ε} · {a}= {a, ε} ∩ { a2, a} = a


Lenguajes

Potencia del lenguaje

Potencia del lenguaje Dado un lenguaje A sobre Σ y (A ⊆ Σ∗) yn ∈ N, se define

An =

{{ε}, si n = 0A ·An−1, si n ≥ 1

Ejemplo. Sea A = {ab} sobre un alfabeto Σ = {a, b}, entonces:A0 = {ε}A1 = A = { ab}A2 = A ·A1 = { abab}A3 = A ·A2 = { ababab}


Cerradura de Kleene

Def. formal de Cerradura de Kleene

La cerradura de Kleene de un lenguaje A ⊆ Σ∗ es la union de laspotencias: se denota por A∗

A∗ =⋃i≥0

Ai = A0 ∪A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An

Observacion: A∗ se puede describir de la siguiente manera:

A∗ = {u1u2 . . . un : ui ∈ A,n ≥ 0}

Es el conjunto de todas las concatenaciones de la cadena A,incluyendo εla cerradura positiva se denota por A+

A+ =⋃i≥1

Ai = A1 ∪A2 ∪A3 ∪ . . . ∪An


Cerradura de Kleene

Observe que A∗ = A+ ∪ {ε} y A∗ = A+ si y solamente si ε ∈ AA+ = A∗ ·A = A ·A∗

A ·A∗ = A · (A0 ∪A1 ∪A2 ∪ . . .)= (A1 ∪A2 ∪A3 ∪ . . .)= A+

Se demuestra lo mismo que A+ = A∗ ·A


Cerradura de Kleene

A∗ ·A∗ = A∗

1 ⇒), Sea un x ∈ A∗ ·A∗, entonces x = u · v, con u ∈ A∗ y v ∈ A∗Por tanto x = u · v, con u = u1u2 . . . un, ui ∈ A, n ≥ 0 yv = v1v2 . . . vm, vi ∈ A, m ≥ 0 De donde

x = u · v = u1u2 . . . un · v1v2 . . . vm

con ui ∈ A, vi ∈ A, por lo tanto x, es una concatenacion den+m cadenas de A, ası que x ∈ A∗.

2 ⇐) Recıprocamente, si x ∈ A∗, entonces x = x · ε ∈ A∗ ·A∗.Esto prueba la igualdad de los conjuntos A∗ ·A∗ y A∗.


Cerradura de Kleene

(A∗)n = A∗, para todo n ≥ 1

(A∗)∗ = A∗

A+ ·A+ ⊆ A+

Contraejemplo de A+ ·A+ = A+. Sea Σ = {a, b}, A = {a} setiene que

A+ = (A1 ∪A2 ∪A3 ∪ . . .)= {a} ∪ {aa} ∪ {aaa . . .}= {an : n ≥ 1}

Por otro lado,

A+ ·A+ = {a, a2, a3, . . .} · {a, a2, a3, . . .}= {a2, a3, . . .}= {an : n ≥ 2}


Cerradura de Kleene

(A∗)+ = A∗

(A∗)+ = (A∗)1 ∪ (A∗)2 ∪ (A∗)3 ∪ . . .= A∗ ∪A∗ ∪A∗ . . .= A∗

(A+)∗ = A∗

(A+)∗ = (A+)0 ∪ (A+)1 ∪ (A+)2 ∪ . . .= {ε} ∪A+ ∪A+A+ ∪ . . .= A∗ ∪ (conjuntos contenidos en A+ )

= A∗

(A+)+ = A+

(A+)+ = (A+)1 ∪ (A+)2 ∪ (A+)3 ∪ . . .= (A+)1 ∪ (conjuntos contenidos en A+)

= A+


Operaciones claves

Operaciones claves en los lenguajes:

A∗ ⊆ Σ∗ A+ ⊆ Σ+

A+ ⊆ A∗

{ε}∗ = {ε} = {ε}+

∅0 = {ε}∅n = ∅, n ≥ 1

∅∗ = {ε} ∅+ = ∅


Inverso de un lenguaje

Inverso de un lenguaje

Sea A sobre Σ, se define AI como:

AI = {uI : u ∈ A}

Sean A y B lenguajes sobre Σ tal que (A,B ⊆ Σ∗)

(A.B)I = BI .AI

x ∈ (A ·B)I ⇐⇒ x = uI ,donde, u ∈ A ·B⇐⇒ x = uI , donde, u = vw, v ∈ A,w ∈ B

⇐⇒ x = (vw)I , donde, v ∈ A,w ∈ B

⇐⇒ x = wIvI , donde, v ∈ A,w ∈ B

⇐⇒ x = BIAI


Propiedades del inverso de un lenguaje

Sean A y B lenguajes sobre Σ tal que (A,B ⊆ Σ∗)

(A ∪B)I = AI ∪BI

(A ∩B)I = AI ∩BI

(AI)I = A

(A∗)I = (AI)∗

(A+)I = (AI)+


Lenguajes regulares

Los lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ se definenrecursivamente como:

∅, {ε} y {a}, a ∈ Σ son lenguajes regulares.si A y B son lenguajes regulares, tambien lo son:

A ∪B (Union)A ·B (Concatenacion)A∗(Cerradura de Kleene)

Ejemplo 1. Dado Σ = {a, b} el lenguaje A de todas las palabrasque tienen exactamente una a: A = {b}∗ · {a} · {b}∗Ejemplo 2. Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con b:B = {b} · {(a ∪ b)}∗Ejemplo 3. Lenguaje de todas las cadenas que contienen lacadena ba: C = {(a ∪ b)}∗ · {ba} · {(a ∪ b)}∗


Propiedades de clausura

Teorema

Si L,L1 y L2 son lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ, tambien loson:

1 L1 ∪ L2

2 L1L2

3 L+

4 L = Σ∗ − L5 L∗

6 L1 ∩ L2

7 L1 − L2

8 L14L2

ObservacionUn sublenguaje (subconjunto) de un lenguaje regular no esnecesariamente regular, es decir, la familia de los lenguajesregulares no es cerrada para subconjuntos.


Propiedades de clausura

ObservacionUn lenguaje regular puede contener sublenguajes No-regulares.Sea L = {anbn} es un sublenguaje del lenguaje regular a∗b∗

Todo lenguaje finito es regular y la union finita de lenguajesregulares es regular.La union infinita de lenguajes no necesariamente es regular.

L = {anbn : n ≥ 1} =⋃i≥1

{aibi}

Donde cada {aibi} regular, pero L No lo es.


Definicion formal de expresiones regulares

Las expresiones regulares sobre un alfabeto Σ se definenrecursivamente como:

∅, ε y a, a ∈ Σ son expresiones regulares.si A y B son expresiones regulares, tambien lo son:

A ∪B (Union)A ·B (Concatenacion)A∗(Cerradura de Kleene)

Son expresiones regulares aab∗, ab+, (aaba∗)+

Sea el conjunto {ε, aa, aba, ab2a, ab3a, ab4a, } entonces {ε} ∪ ab∗aes una expresion regular.Expresion regular de todas las cadenas impares sobre Σ = {a, b}

a(aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗ ∪ b(aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗


Expresiones regulares

TeoremaSean r, s y t expresiones regulares sobre Σ, entonces:1. r ∪ s = s ∪ r2. r ∪ ∅ = r = ∅ ∪ r3. r ∪ r = r4. (r ∪ s) ∪ t = r ∪ (s ∪ t)5. rε = r = εr6. r∅ = ∅ = ∅r7. (rs)t = r(st)8. r(s ∪ t) = rs ∪ rt y (r ∪ s)t = rt ∪ st9. r∗ = r∗∗ = r∗r∗ = (ε ∪ r)∗ = r∗(r ∪ ε) = (r ∪ ε)r∗ = ε ∪ rr∗10. (r ∪ s)∗ = (r∗ ∪ s∗)∗ = (r∗s∗)∗ = (r∗s)∗r∗ = r∗(sr∗)∗

11. r(sr)∗ = (rs)∗r12. (r∗s)∗ = ε ∪ (r ∪ s)∗s13. (rs∗)∗ = ε ∪ r(r ∪ s)∗14. s(r ∪ ε)∗(r ∪ ε) ∪ s = sr∗

15. rr∗ = r∗r


Ejemplos expresiones regulares

Ejemplo 1. Muestre que si r = s∗t implica que r = sr ∪ t

r = s∗t = (ε ∪ s+)t ya que s∗ = ε ∪ s+

= (ε ∪ ss∗)t= εt ∪ s s∗t︸︷︷︸

r

= t ∪ sr= sr ∪ t

Ejemplo 2. Probar que (b ∪ aa∗b) ∪ (b ∪ aa∗b)(a ∪ ba∗b)∗(a ∪ ba∗b) ya∗b(a ∪ ba∗b)∗ son equivalentes.


Ejemplos expresiones regulares

Ejemplo 3. ¿Las siguientes expresiones regulares representan elmismo lenguaje?

(a∗b)∗ y ε ∪ (a ∪ b)∗b

Ejemplo 4. Demostrar que r(sr)∗ = (rs)∗r⇒) Sea w ∈ r(sr)∗, entoncesw = r0(s1r1)(s2r2) . . . (snrn), para n ≥ 0

w = r0(s1r1)(s2r2) . . . (snrn)

w = (r0s1)(r1s2)(r2s3) . . . (rn−1sn)rn

Por lo tanto, r(sr)∗ ⊆ (rs)∗r⇐)

Sea w ∈ (rs)∗r, entoncesw = (r0s0)(r1s1) . . . (rn−1sn−1)rn, para n ≥ 0


Encontrar las expresiones regulares de los siguientes lenguajes

Ejemplo 5. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras quecomienzan con b y terminan con a.

b(a ∪ b)∗a

Ejemplo 6. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienenexactamente dos a’s

b∗ab∗ab∗


Ejercicios resueltos de expresiones regulares

Ejemplo 7. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen unnumero par de sımbolos (palabras de longitud par)

(aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗

Ejemplo 8. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen unnumero impar de sımbolos (palabras de longitud impar)

a(aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗ ∪ b(aa ∪ ab ∪ ba ∪ bb)∗

Ejemplo 9. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen unnumero par de a’s.

b∗(ab∗a)∗b∗


Ejercicios resueltos de expresiones regulares

Ejemplo 10. Sobre Σ = {0, 1} lenguaje de todas las cadenas quetienen exactamente dos ceros:

1∗01∗01∗

Ejemplo 11. Sobre Σ = {0, 1} lenguaje de todas las cadenas cuyopenultimo sımbolo, de izquierda a derecha, es un 0.

(0 ∪ 1)∗0(0 ∪ 1)


Expresiones regulares en la computacion

Las expresiones regulares sirven para la construccion deanalizadores lexicos.

http://regexpal.com/ es un testeador de expresionesregulares en java.

Representa palabras que comienzan por una letra mayusculaseguida de un espacio en blanco y de dos letras mayusculas.Ejemplo, reconocerıa Ithaca NY. Por ejemplo, Palo Alto CA nola reconocerıa.


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Introduccion a los automatas finitos


Automatas finitos

Son maquinas abstractas que procesan cadenas, las cuales sonaceptadas o rechazadas.

El automata posee unidad de control que inicialmente escanea olee la casilla desde el extremo izquierdo de la cinta. Tiene unosestados o configuraciones internas.


Funcion de transicion

Sea un automata M = (Q,Σ, q0, T, δ)


Lenguaje aceptado por un automata


Automatas finitos (FSAs: Finite State-Automata)

Los automatas finitos se dividen en automatas finitos deterministas(AFD) (es funcion) y en automatas finitos no deterministas (AFN)(esuna relacion).

Automata finito determinista

Sea M = (Q,Σ, q0, T, δ) un AFD entonces:Σ: es el alfabeto de entrada.Q: es el conjunto de estadosq0:Estado inicialT : Conjunto de estados finales.δ : Q× Σ −→ Q determina un unico estado siguiente para el parδ(qi, γ) correspondiente al estado actual y la entrada.

Un AFD puede ser representado por un grafo dirigido y etiquetado.


Ejemplos automatas finitos deterministas

Ejemplo 1. Disenar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca ellenguajeL = a∗ = {ε, a, a2, a3, . . .}



Ejemplo 2. Disenar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca ellenguajeL = a+ = {a, a2, a3, . . .}



Ejemplo 3. Disenar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca ellenguaje de todas las cadenas que tienen un numero par de sımbolos

Ejemplo 4. AFD que reconoce a+b+



Ejemplo 5. El diagrama y tabla de transicion en cierta formadeterminan si es un automata finito determinista o no determinista.Sea Σ = {a, b}, Q = {q0, q1, q2}q0 : estado inicialT = {q0, q2} estados finales o de aceptacion.

Es importante anotar que en la tabla de transicion por cada pareja(qi, γ) hay un solo estado qj por eso δ es una funcion de transicion.el lenguaje que reconoce este AFD es:

a∗(b(a+ ba+ bb)∗b) + a∗

Ahora como el estado inicial es un estado final este AFD reconoce εLenguajes formales Raul E Gutierrez de Pinerez R


Ejemplo 6. Disenar el AF sobre Σ = {0, 1} que reconozca en binarioel lenguaje de todos los multiplos de 2.


Automatas finitos No determinısticos

Automatas finitos No determinısticos

Sea M = (Q,Σ, q0, T,4) un AFN entonces:Σ: es el alfabeto de entrada.Q: es el conjunto de estadosq0:Estado inicialT : Conjunto de estados finales.4: es una relacion tal que:

(Q× Σ)→ 2Q

Donde 2Q denota el conjunto potencia de Q o el conjunto detodos los subconjuntos de Q.

2Q = {A|A ⊆ Q}


Ejemplos Automatas finitos No determinısticos

Ejemplo 1. Disenar el AFN sobre Σ = {a, b} que reconozca ellenguaje regular a∗b ∪ ab∗



Ejemplo 2. Disenar el AFN sobre Σ = {a, b} que reconozca ellenguaje(ab ∪ aba)∗



Ejemplo 3. Disenar el AF sobre Σ = {0, 1} que reconozca ellenguaje de todas las cadenas que terminan en 01



Ejemplo 4. Obetener la expresion regular del siguiente AFN sobreΣ = {a, b}.

(a∗b∗)∗(aa ∪ bb)(a∗b∗)∗


Equivalencia de AFN y AFD

Teorema

Sea M = (Q,Σ, q0, T,4) un AFN. Entonces existe un AFDM ′ = (Q′,Σ′, q′0, T

′, δ) tal que L(M) = L(M ′).El conjunto q0 se corresponde con q′0El conjunto de estados finales T ′ de Q′ se corresponde con losconjuntos de estados de Q que contienen un estado de TEl conjunto de estados de Q′ se corresponde con el conjunto deestados de Q que se vaya formando mediante el analisis de unacadena sobre M


Equivalencia entre automatas

Automatas equivalentes

Dos AFD son equivalentes M1 y M2 son equivalentes siL(M1) = L(M2).

Sean M1 y M2 sobre el alfabeto∑

= {a},

L(M1) = L(M2) = a∗


Ejemplos equivalencia de AFN y AFD

Ejemplo 1. Consideremos el AFN M que acepta a ∪ (ab)+

Para este AFN se tiene:

4(q0, a) = {q1, q2} 4(q0, b) = ∅4({q1, q2}, a) = ∅ 4({q1, q2}, b) = {q3}4(∅, b) = 4(∅, b) = ∅ 4(q3, a) = {q2}

4(q3, b) = ∅ 4(q2, a) = ∅4(q2, b) = {q3}



Entonces se verifica que la regla de transicion es una funcion. Portanto, M ′ = (Q′,Σ′, q′0, T

′, δ) donde:

Q′ = {∅, {q0}, {q2}, {q3}, {q1, q2}}Σ′ = Σ

s′ = {q0}T ′ = {{q3}, {q1, q2}}

y δ viene dada por la siguiente tabla:



Ejemplo 2. Consideremos el AFN M que acepta (0 ∪ 1)∗0(0 ∪ 1)

Caso desfavorable para la construccion de subconjuntos

Crecimiento exponencial del numero de estados para el AFD.Lenguajes formales Raul E Gutierrez de Pinerez R

Interseccion entre lenguajes regulares

Teorema

Si L1 y L2 son lenguajes regulares, tambien lo es L1 ∩ L2.

Sean L1 = L(M1) y L2 = L(M2) donde: M1 = (Q1,Σ1, q1, T1, δ1) yM2 = (Q2,Σ2, q2, T2, δ2) Entonces construimos:

M = (Q1 ×Q2,Σ1 ∪ Σ2, (q1, q2), T1 × T2, δ)

donde

δ : Q1 ×Q2 × Σ → Q1 ×Q2

δ((qi, qj), a) = (δ1(qi, a), δ2(qj , a))

Esta funcion satisface:

L(M) = L(M1) ∩ L(M2)


Ejemplo interseccion de lenguajes

Ejemplo. Construir el AFD que acepte el lenguaje L de todas laspalabras sobre Σ = {a, b} que tienen un numero par de a’s y unnumero par de b’s.

Entonces el lenguaje L(M) = L(M1) ∩ L(M2) tiene cuatro estados:Q1 ×Q2 = {(q1, q2), (q1, q4), (q3, q2), (q3, q2)}T1 × T2 = {(q1, q2)}


Ejemplo interseccion de lenguajes

Entonces δ se define como:

δ((q1, q2), a) = (δ1(q1, a), δ2(q2, a)) = (q3, q2)

δ((q1, q2), b) = (δ1(q1, b), δ2(q2, b)) = (q1, q4)

δ((q1, q4), a) = (δ1(q1, a), δ2(q4, a)) = (q3, q4)

δ((q1, q4), b) = (δ1(q1, b), δ2(q4, b)) = (q1, q2)

δ((q3, q2), a) = (δ1(q3, a), δ2(q2, a)) = (q1, q2)

δ((q3, q2), b) = (δ1(q3, b), δ2(q2, b)) = (q3, q4)

δ((q3, q4), a) = (δ1(q3, a), δ2(q4, a)) = (q1, q4)

δ((q3, q4), b) = (δ1(q3, b), δ2(q4, b)) = (q3, q2)


Toerema de Kleene

Automatas con ε-transiciones

Automatas con ε-transiciones: Un automata conε-transiciones es un AFN M = (Q,Σ, q0, T,4) en el que la relacionde transicion esta definida ası:4 : Q× (Σ ∪ ε) −→ 2Q

La ε-transicion permite al automata cambiar internamente de estadosin consumir el sımbolo leıdo sobre la cinta.Donde 2Q denota el conjunto potencia de Q o el conjunto de todoslos subconjuntos de Q.

2Q = {A|A ⊆ Q}


Ejemplos

Ejemplo 1. Se puede representar el lenguaje de la expresion regulara∗ sin necesidad de colocar el estado inicial como estado final.


Ejemplos

Ejemplo 2. Sea el siguiente AFN-ε

La ε-transicion en el AFN permite que se reconozcan cadenas como:w=aaabw=abbbbaaaw=aw=b

Expresion regular del automta

a∗b ∪ ab∗a∗


Ejemplos

Ejemplo 3. Construir un AFN-ε que reconozca sobre Σ = {a, b, c}, ellenguaje L = a∗b∗c∗

El siguiente AFN reconoce el mismo lenguaje que reconoce el AFN-εanterior.


Teorema de Kleene

Teorema

Teorema de Kleene. Un lenguaje regular si y solo si es aceptadopor un automata finito (AFD o AFN o AFN-ε)

Construccion de automatas finitos a partir de expresionesregulares.Construccion de expresiones regulares a partir de automatas:

1 Lema de Arden (Ecuaciones de Lenguaje)2 Conversion de AFN a expresiones regulares por eliminacion de

estados.


Automatas finitos y lenguajes regulares

Teorema

Dado un AFN-ε M = (Q,Σ, q0, T,4), se puede construir un AFN M ′

equivalente a M , es decir L(M) = L(M ′).

Teorema

Un lenguaje regular si y solo si es aceptado por un automata finito(AFD o AFN o AFN-ε)



Teorema

Para toda expresion regular R se puede construir un AFN-ε M talque L(R) = L(M).

Paso Basico

EL automata

acepta el lenguaje vacıo ∅



EL automata

acepta el lenguaje {ε}EL automata

acepta el lenguaje {a}



PASO INDUCTIVO1. Existe un automata que acepta R ∪ S

Sean M1 = (Q1,Σ1, s1, T1,41) y M2 = (Q2,Σ2, s2, T2,42) para elnuevo M = (Q,Σ, s, T,4) tenemos que:

1 Σ = Σ1 ∪ Σ2

2 En T se agrega un estado s′ si y solo si

4 = 41 ∪42 ∪ {(s, ε, s1), (s, ε, s2)} ∪{(T1, ε, s′), (T2, ε, s′)}

s′ es un estado final NUEVO.3 Q = Q1 ∪Q2 ∪ {s} ∪ {s′} donde s es el nuevo estado inicial.



Por ejemplo se construye ab ∪ ba.

Ejemplo. Sobre Σ = {a, b} el lenguaje de todas las palabras sobre Σque tienen un n



2. Automata que acepta R · S

Sean M1 = (Q1,Σ1, s1, T1,41) y M2 = (Q2,Σ2, s2, T2,42) para elnuevo AFN M = (Q,Σ, s, T,4) que acepta L(M1) · L(M2) tenemosque:

1 Q = Q1 ∪Q2

2 s1 = s

3 T = T24 = 41 ∪42 ∪ (T1 × {ε} × s2)


3. Automata que reconoce R∗

Sean M1 = (Q1,Σ1, s1, T1,41) entonces el nuevo AFNM = (Q,Σ, s, T,4) que acepta L(M) = (L(M1))∗ viene dado por

1 Q = Q1 ∪ {s} ∪ {s′}, donde s′ es un nuevo estado final.2 T = {s′}3 4 = 41 ∪ {(s, ε, s1), (s, ε, s′)} ∪ (T1 × {ε} × s′) ∪ (T1 × {ε} × s1)


Ecuaciones de lenguaje

Ecuacion del lenguaje

Sea Σ un alfabeto y sean E y A subconjuntos de Σ∗, entonces laecuacion del lenguaje X = E ∪A ·X admite la solicion X = A∗ · Ecualquier otra solucion Y debera contener A ·X, ademas ε /∈ A,X = A∗ · E es la unica solucion.


Ejemplos ecuaciones de lenguaje

Ejemplo 1. Encontrar la expresion del siguiente AFD.

Entones el sistema de ecuaciones a resolver:

x0 = ax1

x1 = ax2 + bx4

x2 = ax3 + bx4

x3 = ax3 + bx4 + ε

x4 = bx4 + ε


Ejemplos ecuaciones de lenguaje

Ejemplo 2. Encontrar la expresion regular del siguiente AFD usandoel lema del Arden:

El siguiente es el sistema de ecuaciones a resolver:

x0 = ax0 + bx1 + ε

x1 = ax1 + bx2

x2 = (a ∪ b)x1 + ε



TeoremaSean n ≥ 2 considere el sistema de ecuaciones cuyas incognitasx1, x2, . . . , xn dado por:

x1 = E1 ∪A11x1 ∪A12x2 ∪ . . . ∪A1,nxn

x2 = E2 ∪A21x1 ∪A22x2 ∪ . . . ∪A2,nxn...

xn−1 = En−1 ∪A(n−1)1x1 ∪ . . . ∪A(n−1),nxn

xn = En ∪An1x1 ∪An2x2 ∪ . . . ∪An,nxn

Entonces el sistema tiene una unica solucion:En ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ε /∈ Ai



Entonces el nuevo sistema se obtiene hasta n− 1:

x1 = E1 ∪ A11x1 ∪ A12x2 ∪ . . . ∪ A1,(n−1)xn−1

x2 = E2 ∪ A21x1 ∪ A22x2 ∪ . . . ∪ A2,(n−1)xn−1

...xn−1 = En−1 ∪ A(n−1)1x1 ∪ . . . ∪ A(n−1),(n−1)xn−1

Entonces Ei y Aij se definen como:

Ei = Ei ∪ (AinA∗nnEn), i = 1, . . . , n− 1

Aij = Aij ∪ (AinA∗nnAnj), ∀i,j = 1, . . . , n− 1

Donde:

Ei =

{∅ si qi /∈ Fε si qi ∈ F


Ejemplo ecuaciones de lenguaje

Ejemplo 1. Obtener la expresion regular del siguiente AFD usandoecuaciones del lenguaje y la solucion unica.

El sistema de ecuaciones inicial es:

x1 = ax1 + bx2

x2 = bx1 + ax2 + ε



Se aplica el teorema de solucion de ecuaciones:

x1 = E1 + A11x1

Se obtiene E1

E1 = E1 + (A12A∗22E2)

E1 = ∅+ (b · a∗ · ε)E1 = ba∗

Se obtiene A11

A11 = A11 + (A12A∗22A21)

A11 = a+ (b · a∗ · b)A11 = a+ ba∗b



Reemplazando E1 y A11 en x1

x1 = E1 + A11x1

x1 = ba∗ + (a+ ba∗b)x1

Aplicando solucion unica se tiene:

x1 = (a+ ba∗b)∗ba∗


Sistema de ecuaciones por reduccion de variables

x1 = E1 ∪ A11x1 ∪ A12x2 ∪ A13x3

x2 = E2 ∪ A21x1 ∪ A22x2 ∪ A23x3

x3 = E3 ∪ A31x1 ∪ A32x2 ∪ A33x3


LENGUAJES Y GRAMATICAS

Segun Chomsky los tipos de gramaticas se clasifican ası:


Gramaticas

Gramaticas Regulares (Tipo 3)

Una gramatica regular G es una 4-tupla G = (N,Σ, S, P ) queconsiste de un conjunto N de no terminales, un alfabeto Σ, unsımbolo inicial S y de un conjunto de producciones P . Las reglas sonde la forma A→ w, donde A ∈ N y w es una cadena sobre Σ ∪Nque satisface lo siguiente:

1 w contiene un no terminal como maximo.

2 Si w contiene un no terminal, entonces es el sımbolo que esta en elextremo derecho de w.

3 El conjunto de reglas P se define ası:

P ⊆ N × Σ∗(N ∪ ε) o P ⊆ N × (N ∪ ε)Σ∗


Definicion de gramatica regular por la derecha

Gramaticas regulares

SobreG = (N,Σ, S, P )

Una gramatica es regular por la derecha si sus producciones son dela forma: {

A −→ wB, w ∈∑∗

, B ∈ NA −→ ε

Ejemplo Considere la siguiente gramatica regular G = (N,Σ, S, P ),que genera a∗, donde Σ={a,b}, N={S,A }P : S → aA | εA→ aAEjemplo. Sea la siguiente gramatica regular G = (N,Σ, S, P ) quegenera el lenguaje de la expresion regular (a ∪ b)∗Σ={a,b}N={S,A }P : S −→ aS | bS | ε


Gramaticas regulares

Ejemplo Considere la siguiente gramatica regular G = (N,Σ, S, P ),que genera (a ∪ b)+, donde Σ={a,b}, N={S,A }P : S → aS | bS | a | bEjemplo Considere la siguiente gramatica regular G = (N,Σ, S, P ),que genera a+b+, donde Σ={a,b}, N={S,A }P : S → aS | aAA→ bA | bEjemplo Considere la siguiente gramatica regular G = (N,Σ, S, P ),que genera a∗b∗, donde Σ={a,b}, N={S,A }P : S → aS | bA | εA→ bA | ε


Gramaticas independientes del contexto

Gramaticas tipo 2

Una gramatica independiente del contexto G = (N,Σ, S, P ) consistede un conjunto N de no terminales, un alfabeto Σ, un sımbolo inicialS y de un conjunto de producciones P .

Definicion

Sea G = (N,Σ, S, P ) una gramatica independiente del contexto. Ellenguaje generado por G (o el lenguaje de G) denotado por L(G), esel conjunto de todas las cadenas de terminales que se derivan delestado inicial S. en otras palabras:

L(G) = {w ∈ Σ∗/S ⇒∗ w}

P ⊆ N × (N ∪ Σ)∗


Ejemplo de gramatica tipo 2

Sea G = (N,Σ, S, P ) una gramatica con Σ = {0, 1} el conjuntoN = {S} y P el conjunto de producciones:

S −→ 0S1

S −→ ε

Ejemplo. Una GIC que genera el lenguaje de los palındromes sobreΣ = {a, b}

S −→ aSa | bSb | a | b | ε

Ejemplo. Una GIC que genera el siguiente lenguaje sobre Σ = {a, b}Sea

L = {anbm|n ≤ m ≤ 2n}

S −→ aSb | aSbb | ε


GICs especiales

1 El lenguaje de todas las cadenas de parentesis anidados yequilibrados, por ejemplo:(())(()), entonces la gramatica serıa:

S −→ (S)S | ε

2 Sea T = {0, 1, (, ),+, ∗, ∅, ε}. T es el conjunto de sımbolos usadospara definir el lenguaje de las expresiones regulares sobreΣ = {0, 1}. Se puede disenar un GIC que genere las expresionesregulares.

S −→ S + S | SS | S∗ | (S) | 0 | 1 | ∅ | ε


Gramaticas no restringidas

Sea una 4-tupla G = (N,Σ, S, P ) que consiste de un conjunto N deno terminales, un alfabeto Σ, un sımbolo inicial S y de un conjunto deproducciones P .

N es el alfabeto de sımbolos no terminales

Σ al alfabeto tal que N ∩ Σ = ∅

S ∈ N es el sımbolo inicial

P es el conjunto de reglas de producciones de la forma α→ β,donde α ∈ (N ∪ Σ)+ y β ∈ (N ∪ Σ)∗, es decir

P ⊂ (N ∪ Σ)+ × (N ∪ Σ)∗


Gramaticas no restringidas (Gramaticas de tipo 0 y 1)

Ejemplo Sea G = (N,Σ, S, P ) una gramatica con Σ = {0, 1, 2} elconjunto N = {S,A,B} y P el conjunto de producciones:

El lenguaje que genera esta gramatica dependiente del contexto es:

L(G) = {0n1n2n/n = 0, 1, 2, .....}

Sea w=001122 una cadena que puede ser reconocida por lagramatica y que ademas pertenece al lenguaje.


Tipos de gramaticas

la familia de los lenguajes de tipo i contiene a la familia de tipo i+ 1.

GR ⊆ GIC ⊆ GDC ⊆ GEF


Arboles de derivacion

Ambiguedad

Una gramatica se dice que es ambigua si hay dos o mas arboles dederivacion distintos para la misma cadena. una gramatica en la cual,para toda cadena w, todas las derivaciones de w tienen el mismoarbol de derivacion, es no ambigua.


Ejemplos arboles de derivacion

Ejemplo 2. Consideremos la siguiente gramatica:S −→ SbS | ScS | ay se la cadena w = abaca y sus derivaciones:

S ⇒ SbS ⇒ SbScS ⇒ SbSca⇒ abaca

S ⇒ ScS ⇒ SbScS ⇒ abScS ⇒ abacS ⇒ abaca


La forma de Backus-Naur

Forma de Backus-NaurLa forma de Backus-Naur se emplea para especificar reglassintacticas de muchos lenguajes de programacion y de lenguajenatural: En lugar de utilizar el sımbolo −→ usamos ::= y colocamoslos sımbolos no terminales entre <>.

La forma BNF se usa frecuentemente para especificar la sintaxis delenguajes de programacion, como Java y LISP; lenguajes de basesde datos, como SQL, y lenguajes de marcado como XML.



Ejemplo 1. sea la siguiente GIC:O −→ SN SVSN −→ articulo sustantivoSV −→ verbo sustantivoarticulo −→ elverbo −→ comesustantivo −→ perro | salchichaLa forma Backus-Naur es:< O >::=< SN >< SV >< SN >::=< articulo >< sustantivo >< SV >::=< verbo >< sustantivo >< articulo >::= el< verbo >::= come< sustantivo >::= perro | salchicha



Ejemplo 2. Sea la siguiente gramatica:A −→ Aa | a | ABLa forma Backus-Naur es:< A >::=< A > a | a |< A >< B >Ejemplo 3. La produccion de enteros son signo en notacion decimal.(Un entero con signo es un natural precedido por un signo mas o unsigno menos). La forma Backus-Naur para la gramatica que producelos enteros con signo es:< entero con signo >::=<signo><entero><signo >::= + | −< entero >::=< dıgito>|< dıgito >< entero>< dıgito > ::= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9


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