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Prof. Nelson M. Kanashiro 1/14

POTNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 1. POTNCIA INSTANTANEA - p(t) Dado o circuito na forma complexa:

V = V Z = Z

II

Temos:

)-(ZV

ZV

Z

V I =

==&

&&

Sendo: ZV I = , temos: )-(I I =&

Na forma instantnea:

v(t) Z

i(t) i(t)

= V V& ) t . sen( . V . 2 v(t) +=

)-(I I =& )- t . sen( . I . 2 i(t) +=

Potncia instantnea p(t): p(t) = v(t) . i(t)

)- t . sen( . I . 2 . ) t . sen( . V . 2 p(t) ++= )]- t . sen( . ) t . sen( [ . I . V . 2 p(t) ++=

Sendo: b)]cos(a - b)-[cos(a . 21 sen(b) . sen(a) +=

)]-.t.tcos( - )-.t-.tcos( [ 21 . I . V . 2 p(t) +++++=

)]-.tcos(2. - )cos( [ . I . V p(t) += .2

)-.tcos(2. . I . V - )cos( . I . V p(t) += .2

)cos( . I . V - valor constante no tempo.

)-.tcos(2. . I . V + .2 - senide com o dobro da frequncia da tenso ou

da corrente.


v(t)

i(t)

p(t)

+Vmx

+Imx

-Vmx

-Imx

t

t

t

V.I.cos

Carga resistiva pura:

R ( )v(t)

i(t) i(t)

v(t)

i(t)

p(t)

+Vmx

+Imx

-Vmx

-Imx

t

t

t

V.I.cos

=0 =0 =0


Carga indutiva pura:

L (H)v(t)

i(t) i(t)

v(t)

i(t)

p(t)

+Vmx

+Imx

-Vmx

-Imx

t

t

t

V.I.cos = 0

=90 =90 =90 =90

Carga capacitiva pura:

C (F)v(t)

i(t) i(t)

v(t)

i(t)

p(t)

+Vmx

+Imx

-Vmx

-Imx

t

t

t

V.I.cos = 0

=-90 =-90 =-90


Observaes:

a) Nos intervalos onde a potncia instantnea negativa, a carga est devolvendo energia eltrica ao gerador.

b) Se o ngulo for igual a zero, nenhuma parcela de energia ser devolvida ao gerado (carga puramente resistiva).

c) Se o ngulo for igual a 90, a carga absorve energia do gerador na metade do perodo e devolve esta energia na metade do perodo seguinte, sem realizar nenhum trabalho til (carga puramente indutiva ou puramente capacitiva).

2. POTNCIA MDIA ou ATIVA (P) o valor mdio da potncia instantnea:

mdiomdiomdio )-.tcos(2. . I . V - cos . I . V p(t) P +== .2

0 - cos . I . V p(t) P mdio ==

cos . I . V P =

Sendo que a potncia mdia corresponde ao trabalho til realizado, a sua unidade o watt. [P] = watt =W

3. POTNCIA COMPLEXA (S& ) Dado o circuito na forma complexa:

V = V Z = Z

II

Temos:

Sendo: ZV I = , temos: )-(I I =&

Corrente complexa conjugada ( *I& ):

I

I*

I

I

Im

Re

) - (I *I =&

A potncia complexa (S& ) dada por:

*I . V S &&& =

)-(V.I ) - (I . V S +==&

= V.I S&

(forma polar)


j.V.I.sen V.I.cos S +=&

(forma retangular) 4. POTNCIA APARENTE (S) o mdulo da potncia complexa.

I . V S =

Sendo que a potncia aparente no corresponde ao trabalho til realizado, a sua unidade o volt.ampre. [S] = VA Sendo S = V.I, podemos escrever a expresso da potncia complexa em funo da potncia aparente (S):

+== j.V.I.sen V.I.cos V.I S&

+== j.S.sen S.cos S S&

Potncia media:

cos . I . V P =

cos . S P =

5. POTNCIA REATIVA (Q) a parte imaginria da potncia complexa. Corresponde energia consumida num instante e devolvida no instante seguinte nas cargas indutivas e capacitivas, sem a realizao de trabalho til.

sen . I . V Q =

Ou:

sen . S Q =

Sendo que a potncia reativa no corresponde ao trabalho til realizado, a sua unidade o volt.ampre-reativo. [Q] = VAr

CARGARESISTIVA

CARGAINDUTIVA + RESISTIVA

CARGACAPACITIVA + RESISTIVA

CARGAINDUTIVA

CARGACAPACITIVA

P

Q>0

Q -90 [Q] = volt.ampre-reativo-capacitivo = VArc Exemplo Se Q1 = 15 kVAri e Q2 = 7 kVArc, qual o valor da soma Q1 + Q2 ?


Q1 + Q2 = 15 kVAri + 7 kVArc = 15.000 VAri + 7.000 VArc = 15.000 VAr + (- 7.000 VAr) Q1 + Q2 = 8.000 VAr = 8 kVAr ou 8 kVAri

6. FATOR DE POTNCIA (FP) O fator de potncia representa o quanto da energia consumida por uma carga est sendo convertida em trabalho til.

FP = cos

Se: = 0 FP = cos0 = 1,0 FP = 1,0 100% da energia est sendo convertida em trabalho til. Se: = 90 FP = cos90 = 0,0 FP = 0,0 0% da energia est sendo convertida em trabalho til. 7. TRINGULO DE POTNCIA Ferramenta auxiliar para clculo de potncia em instalaes eltricas, neste tringulo temos as representaes das potncias envolvidas. Diagrama na forma complexa:

S

P

QS

Tringulo de potncias:

P

QS

Exemplo Para uma carga alimentada com tenso igual a 20030,

indicada na figura a seguir, pede-se calcular: a) A corrente complexa; b) Potncia complexa; c) Potncia aparente; d) Potncias mdia e reativa.

V = 200 30 Z = 2 60

II

a) Clculo da corrente complexa:


)60-(302

200

60230200

Z

V I =

==&

&&

)(-30100 I =&

b) Clculo da potncia complexa:


)(-30100 I =& == 30100 )(-30100 *I&

A potncia complexa (S& ) dada por:

)(30(200.100) .10030200 *I . V S +=== 3030&&&

= 6020.000 S&

c) Clculo da potncia aparente:

S = V.I

V 200 V 30200 V ==& A 100 I )(-30100 I ==&

S = V.I = 200 . 100

S = 20.000 VA

De forma mais simples, podemos obter a potncia aparente diretamente da potncia complexa:

== 6020.000 S S& Onde, por comparao, temos: S = 20.000 VA e = 60.

d) Clculo da potncia mdia (P) e reativa (Q):

P = V.I.cos = S.cos = 20.000 . cos60

P = 10.000 W

Q = V.I.sen = S.sen = 20.000 . sen60

Q = 17.320 VAr

Podemos obter a potncia mdia (P) e reativa (Q) a partir da potncia complexa:

j.Q P j.S.sen S.cos S S +=+==&

j.17320 10.000 6020.000 j.Q P S S +==+==& (Utilize a calculadora para efetuar a converso de polar para retangular) Por comparao, temos: P = 10.000 W e Q = 17.320 VAr.

8. INSTALAES COM VRIAS CARGAS Nas instalaes eltricas as cargas so ligadas normalmente em paralelo, de modo que os aparelhos tenham a mesma tenso:


V 1 2 3 n

P Q 33

P Q 22

P Q 11

P Q TT

P Q nn

S 3

3S 2

2S 1

1S T

TS n

n

Q 3

P 3

Q 2

P 2

Q 1

P 1

Q T

P T

Q n

P n

S 3

S 2

S 1

S T

S n

Para o clculo das potncias totais da instalao, devemos somar aritmeticamente somente as potncias mdias (P) e as potncias reativas (Q).

Potncia mdia ou ativa total (PT):

PT = P1 + P2 + P3 + ..... + Pn (W)

Potncia reativa total (QT):

QT = Q1 + Q2 + Q3 + ..... + Qn (VAr)


Potncia aparente total (ST): Pode ser obtida a partir do tringulo de potncias.

PT

QTST

T

(ST) = (PT) + (QT)

)(Q )(P S 2T2

TT +=

Obs.: A soma aritmtica das potncias aparentes (S) s possvel

se todas as fases forem idnticas (1 = 2 = 3 = ..... = n), que de difcil ocorrncia.

Fase total (T):

SP

arccos SQ

arcsen PQ

arctg T

T

T

T

T

TT

=

=

=

Potncia complexa total:

j.Q P S S TTTTT +==&

Obs.: Utilize a calculadora para converter a potncia complexa da forma

polar (STT) para forma retangular (PT + j.QT) ou vice-versa. Exemplo Para a instalao eltrica representada a seguir, pede-se calcular:

a) Potncia mdia total (PT) e a potncia reativa total (QT); b) Potncia aparente total; c) Potncia complexa total; d) Corrente complexa total.

IT

200 0 1 2 3

5 HP(%) = 74,6%3

S2 = 10.000 30

FP = 0,53

Z = 4 601

a) Clculo da potncia mdia total (PT) e a potncia reativa total

(QT): Para a resoluo de problemas semelhantes ao proposto, o ideal obter as potncias mdias (P) e reativas (Q) de cada carga e as totais. Carga 1: dados: 604 Z e 0200 V 1 == && Clculo da corrente complexa:

)(-6050 )60-(04

200

6040200

Z

V I

11 ==

==&

&&


)(-6050 I1 =& = 6050 *I1& Potncia complexa:

)60(0(200.50) 60.500200 *I . V S 11 +=== &&&

111 j.Q P j.8660 5.000 6010.000 S +=+==& Por comparao: P1 = 5.000 W e Q1 = 8660 VAr Carga 2:


dados: = 3010.000 S2&

222 j.Q P j.5.000 8.660 010.000 S +=+== 3& Por comparao: P2 = 8.660 W e Q2 = 5.000 VAr Carga 3: dados: Pmec3 = 5HP ; 3(%) = 74,6% e FP3 = 0,5 Converso da potncia mecnica em potncia mdia:

P (W)P (HP/CV)mec

perdas

P(W) = Pmec + perdas 1 HP = 746 W 1 CV = 736 W

Rendimento: 100% x P(W)

)Pmec(HP/CV (%)

P(W))Pmec(HP/CV

==

746(W/HP) . (HP)P

P3

mec33

=

3(%) = 74,6% 3 = 0,746

W 5.000 0,746

746 x 5 P3 == P3 = 5.000 W

FP3 = 0,5 FP3 = cos 3 = 0,5 3 = 60

P3

Q3S3

3

3333

33 tg . P Q P

Q tg ==

Q3 = 5.000 . tg60 Q3 = 8.660 VAr Conjunto (total):

PT = P1 + P2 + P3

PT = 5.000 + 8.660 + 5.000

PT = 18.660 W

QT = Q1 + Q2 + Q3

QT = 8.660 + 5.000 + 8.660

QT = 22.320 VAr

b) Clculo da potncia aparente total:

PT

QTST

T

Observando o tringulo de potncias, temos:


(ST) = (PT) + (QT) )(Q )(P S 2T2

TT +=

(22320) (18.660) S 22T +=

ST = 29.092,6 VA

c) Clculo da potncia complexa total:

j.Q P S S TTTTT +==&

j.22.320 18.660 ST +=&

Convertendo para forma polar:

50,129.092,6 ST =&

d) Clculo da corrente complexa total:

===020050,129.092,6

V

S *I *I . V S TTTT &

&&&&&

),(

= 0150

20029.092,6

*I T&

)50,1(145,5 I 50,1145,5 *I TT == &&

)50,1(145,5 I T =&

Corrente total eficaz: IT = 145,5 A

9. CORREO DO FATOR DE POTNCIA Nas instalaes eltricas boa parte das cargas so de natureza indutiva (motores eltricos, reatores de lmpadas, fornos indutivos etc.), com isto, o fator de potncia total inferior a 1 (FPT < 1,0). Isto significa que parte da energia eltrica no est sendo convertida em trabalho til. As cargas indutivas produzem a potncia reativa (QT) que consumida pelos equipamentos num instante e devolvida para a rede eltrica no instante seguinte. Como a potncia reativa devolvida para a rede, as concessionrias no podem cobrar a energia reativa consumida, mas, esta potncia reativa aumenta a corrente no sistema eltrico. Para melhorar o rendimento dos sistemas de distribuio de energia, as concessionrias cobram adicional na conta de consumo caso o fator de potncia seja inferior a 0,92, para consumidores industriais e comerciais. Caso o fator de potncia total seja inferior a 0,92 (FPT < 0,92), pode-se efetuar a correo deste valor com a instalao de capacitores. Lembrar que as cargas indutivas geram potncia reativa positiva (QT > 0) e as capacitivas geram potncia reativa negativa (QC < 0). Isto ocorre porque enquanto o indutor est consumindo energia, o capacitor est devolvendo e no momento seguinte, o indutor devolve energia e o capacitor consome energia. Ento existe uma troca de energia entre indutores e capacitores, reduzindo assim a corrente consumida da rede eltrica.

L (H)C (F)v(t)

i (t)Li (t)C


v(t)

i (t) L

i (t) C

+Vmx

+I mxL

+I mxC

-Vmx

-I mxL

-I mxC

t

t

t

Potncia aparente no capacitor:

VCZC

IC

= 90-.C1

ZC& C = -90

QC = V.IC.sen C = SC.senC

QC = SC.sen(-90) = SC.(-1,0) QC = -SC ou SC = -QC

Anlise no tringulo de potncias:

PT

QT

QC

QT

ST

ST

TT

ou PT

QT

SC

Q T

ST

ST

TT

Adicionando um capacitor de potncia (QC) a uma instalao com potncia reativa total QT, o resultado uma potncia reativa total de menor valor (QT). Potncia aparente do capacitor:

SC = QT - QT = QT - PT . tgT (VA)

Valor do capacitor (C):

(F) V .

S C

2C

=

Exemplo A partir do exemplo anterior, pede-se calcular:

a) O valor do capacitor (em F) para corrigir o fator de potncia para FPT = 0,92; b) A corrente eficaz total aps a correo do fator de potncia (IT).


ITIT

200 0 1 2 3

5 HP(%) = 74,6%3

S2 = 10.000 30 PT = 18.660 W QT = 22.320 VAr

FP = 0,53

Z = 4 601

C

a) Clculo do capacitor:

PT

QT

SC

Q T

ST

ST

TT

SC = QT - PT . tgT (VA) FPT = 0,92 T = arccos(FPT) = arccos(0,92) T = 23 SC = 22.320 18.660 . tg23 SC = 14.399,3 VA

F10 . 954,8 200 . 377

14.399,3

V .

S C 6-

22C

===

C = 954,8 F

b) Clculo da corrente eficaz total aps a correo do fator de potncia:

PT

QT

SC

Q T

ST

ST

TT

PT = ST . cosT

VA 20.271,5 cos2318.660

'cosP

'ST

TT =

=

=

ST = V . IT

200

20.271,5

V'S

'I TT ==

IT = 101,36 A

Sem o capacitor, a corrente eficaz total da instalao IT = 145,5 A.

IT = 145,5AIT = 101,36A

200 0 1 2 3

5 HP(%) = 74,6%3

S2 = 10.000 30 PT = 18.660 W QT = 7.920,7 VAr

FP = 0,53

Z = 4 601

C

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