Poisson

Proceso de Poisson

• Es una buena aproximación para procesos de llegada (aparición de eventos) cuando el número de fuentes es muy grande , y son independientes entre sí.

• Es muy utilizado en teletráfico para aparición de llamadas o paquetes.

Definiciones• En un intervalo infinitesimal solo puede aparecer un evento.

La probabilidad de aparición de un evento es de λdt, siendo lambda la tasa de aparición de eventos por unidad de tiempo, con total independencia de lo ocurrido fuera del intervalo.

• El número de eventos en un tiempo T obedece a la distribución de Poisson

• Los tiempos entre llegadas son independientes y siguen una distribución exponencial negativa

Tn

enTntNP !

)((

teP t)eventos entre tiempo(

Pasta• Poisson arrival sees time average, esta propiedad también es

llamada Random Observer Property• Consideremos un sistema que puede estar en diferentes

estados Ej• En equilibrio podemos asociar cada estado a dos diferentes

probabilidades:– Probabilidad de que un observador vea al sistema en

estado j, llamamos πj a esta probabilidad– Probabilidad de que un evento entrante vea al sistema en

estado j (justo antes de entrar en el sistema) π*j

– En general *jj

Ejemplos

• Vives solo, considera tu WC– Hay solo dos estados posibles : libre E0 y ocupado

E1.

0 1

01

1

0

*1

*0

No es un proceso de Poisson

Paradoja de la parada de bus

• Los autobuses pasan por una parada siguiendo un proceso de Poisson, el intervalo medio de paso es de 8 minutos. Usted llega a la parada en un instante cualquiera, ¿Cuál será el tiempo medio de espera?– A) 8 MINUTOS– B) 5 MINUTOS– C) 4 MINUTOS– D) NO PUEDE CALCULARSE CON ESTOS DATOS

Parada de bus• 8 minutos es la respuesta correcta , que parece contraponerse

a la lógica de 4 minutos• La explicación está en que es mayor la probabilidad de llegar a

la parada en intervalos de paso largos

W(τ) Tiempo espera

llegadas

tiempo

W

T

Bus

• Suponemos que Xi es el tiempo entre llegadas

Cuando T tiende a ∞ el número n de triángulos tiende a

n

i i

T

XT

dWT

W1

2

0 211)(1

Que es el área de los triángulos de la figura

XT

XXX

nXnXT i

n

i

22

1 21

211W

Bus

• Para tiempos entre llegadas siguiendo una exponencial negativa

XXXW

11

2

21

21 22