Distribuição de Poisson

Anselmo Alves de Sousa

July 21, 2016

concurseiro_estatistico@outlook.com

Distribuição de Poisson

P (X = x) =λxe−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .

� Valor Esperado: µ = E(X) = λ

� Variância: σ2 = V ar(X) = λ⇒ σ =√λ

� Coe�ciente de Assimetria: α3 = 1/√λ

� Coe�ciente de Curtose: α4 = 3 + 1/λ

� Função Geratriz de Momentos: MX(t) = E(etX)

PreliminaresRegras de derivação:

I Se f(x) = h(x) + g(x)⇒ f′(x) = h

′(x) + g

′(x)

I Se f(x) = h(x)g(x)⇒ f′(x) = h

′(x)g(x) + h(x)g

′(x)

I Se f(x) = eg(x) ⇒ f′(x) = g

′(x)eg(x)

Outros Resultados importantes:

∞∑x=0

λx

x!= 1 + λ+

λ2

2!+λ3

3!+ . . . = eλ

∞∑x=0

(λet)x

= 1 + λet +(λet)2

2!+

(λet)3

3!+ . . . = eλe

t

FGM da Poisson

P (X = x) =λxe−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .

MX(t) = E(etX) =∞∑x=0

etx · λxe−λ

x!= e−λ

∞∑x=0

(λet)x

x!

= e−λ[1 + λet +

(λet)2

2!+

(λet)3

3!+ . . .

]= e−λeλe

t

= eλet−λ

= exp[λ exp(t)− λ]

Importância da FGM

MX(t) = E(etX)

M′

X(t) = E(X · etX)⇒M′

X(0) = E(X)

M′′

X(t) = E(X2 · etX)⇒M′′

X(0) = E(X2)

M′′′

X(t) = E(X3 · etX)⇒M′′′

X(0) = E(X3)

. . . = . . .

M(n)X (t) = E(Xn · etX)⇒M

(n)X (0) = E(Xn)

Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson

P (X = x) =λxe−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .⇒MX(t) = exp[λ exp(t)− λ]

MX(t) = exp

g(t)︷ ︸︸ ︷[λ exp(t)− λ] = eg(t)

M′

X(t) = λ exp(t) exp[λ exp(t)− λ] = λ exp(t)MX(t)

M′

X(0) = λ exp(0) [λ exp(0)− λ]M

′

X(0) = λ exp [λ− λ] = λ exp(0) = λ⇒ E(X) = λ

Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson

V ar(X) = E(X2)− E(X)2

MX(t) = exp [λ exp(t)− λ]M

′

X(t) = λ exp(t)MX(t)

M′′

X(t) = λ exp(t)MX(t) + λ exp(t)M′

X(t)

= λ exp(t)[MX(t) +M

′

X(t)]

M′′

X(0) = λ exp(0)[MX(0) +M

′

X(0)]= E(X2) = λ (1 + λ)

V ar(X) = E(X2)− E(X)2 = λ+ λ2 − λ2 = λ e σ =√λ

CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012

A quantidade diária de acidentes domésticos � X � segueuma distribuição de Poisson. Sabe-se que a média da variávelaleatória X é igual a 1 acidente por dia. Em 70% dessasocorrências de acidentes, há envolvimento de pessoas menoresde idade. A partir dessas informações, julgue os itens que seseguem.

70. ln[P (X = 0)] = −1.71. A quantidade diária de acidentes domésticos que têm o

envolvimento de pessoas menores de idade segue umadistribuição de Poisson com média igual a 0, 7 acidente/dia.

72. O coe�ciente de variação da distribuição X é igual a 1.

CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012

70. Para λ = 1 acidente/dia

P (X = x) =λxe−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .⇒ P (X = x) =

e−1

x!

Consequentemente:

P (X = 0) = e−1 ⇒ ln[P (X = 0)] = ln e−1 = −1

Certo!

CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012

71. Para os acidentes envolvendo menores λ1 = 0, 70 acidente/dia

P (X = x) =λxe−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .⇒ P (X = x) =

0, 70xe−0,70

x!

Certo!

CESPE/UnB � SEI/SAEB � 2012

72. Para X ∼ Poisson(λ)⇒ E(X) = λ e σ =√λ.

CV (X) =σ

µ=

√λ

λ=

1√λ6= 1

Errado!

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I Coe�ciente de Assimetria

α3 = E

[(X − µ)3

σ3

]I Coe�ciente de Curtose

α4 = E

[(X − µ)4

σ4

]