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CAPÍTULO 2:TENSÃO E DEFORMAÇÃO:

Carregamento Axial

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia Civil

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

2.1 Deformação Específica

� O diagrama carga x deformação é referente a barra analisada, não podendo ser usado para prever deformações de outras barras com outras dimensões.

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2.1 Deformação Específica

� Deformação Total: δδδδ ou ∆∆∆∆L = L f – L

� Deformação Específica Normal (εεεε) [epsilon]: é a deformação por unidade de comprimento.

L

L∆=ε� Unidade: Adimensional (L/L)� Valores muito pequenos:

� Ordem de grandeza de 10-6

� Representada por µ (micro)

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2.2 Diagrama Tensão - Deformação

� Caracteriza as propriedades do material e não depende das dimensões da amostra.

� A relação (σ x ε) depende:� Tipo do material;� Intensidade do esforço aplicado.

� É também denominada relação constitutva do material.

� A relação é medida através de ensaios de tração ou compressão.

Pro

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Pro

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Pro

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� De maneira geral, existem os materiais Dúcteis e Frágeis :

� Materiais Dúcteis:� Sofrem grandes deformações antes de atingir a

ruptura (com ou sem limite de escoamento). Ex.: aço, alumínio.

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� Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:

1- OA: a deformação éproporcional a tensão atéatingir o limite de proporcionalidade (σp) no ponto A.

2- BC: patamar de escoamento, o ponto B representa o limite de escoamento (σe).

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� Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:3- O ponto D caracteriza o nível

máximo de tensão, Tensão de Ruptura (σu).

4- O ponto E é o ponto de ruptura.

5- Descarregando-se em um ponto C’ do diagrama, fora do limite elástico, as deformações ocorrem segundo uma linha paralela a AO,porém conservando uma deformação residual.

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� Materiais Dúcteis sem patamar de escoamento:

� O limite de escoamento (σe) no ponto B, corresponde a uma deformação residual de 0,2% se a barra for descarregada.

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� Materiais Frágeis:� São aqueles que sofrem ruptura de forma brusca

(não apresentam deformações consideradas). Ex.: concreto, vidro, cerâmica.

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2.3 Lei de Hooke

� É a relação de proporcionalidade entre a tensão e a deformação.

� O coeficiente de proporcionalidade (E) entre a tensão (σ) e a deformação (ε) é chamado de MÓDULO DE ELASTICIDADE (ou MÓDULO DE YOUNG).

Etgi

i ==εσα

σ

εα

σi

εi

Hooke de Lei →⋅= εσ E

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2.3 Lei de Hooke

� Material elástico linear: obedece a Lei de Hooke;� Material não elástico: não obedece a Lei de

Hooke;� Material Plástico: material não elástico com

deformação residual;� Material Elastoplástico: material com

comportamento elástico, e após certo valor de tensão, apresenta deformações residuais.

Esta disciplina estuda apenas materiais com comportamento Elástico. (Teoria da Elasticidade)

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2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente

� Sendo válida a lei de Hook, pode-se determinar a deformação de uma barra carregada axialmente.

εσεσ ⋅=∆== E ;L

;LA

P

� Combinando-se estas equações, a deformação édada por:

barra da axial

L

rigidezEAAE

LP

→⋅⋅==∆ δ

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� Estas equações são válidas para materiais homogêneos (E=const.) e barras de seção constante (A=const.)

� Em casos em que as seções transversais sejam variáveis ou o material varie também em determinados trechos, a expressão de “δ” pode ser usada dividindo o problema em partes onde a equação seja individualmente satisfeita.

� O deslocamento total pode ser determinada por:

∫∑ ⋅⋅=

⋅⋅=

L

x

x

i ii

ii

AE

dxP

AE

LP

0

ou δδ

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2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias

EA – Rigidez AxialP

2P

2P

L/3

L/3

L/3

P

P

P

+

+

-

Diagrama de Esforço Normal

1

2

3

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� Trecho 1: (alongamento)

� Trecho 2: (encurtamento)

� Trecho 3: (alongamento)

AE

LP

⋅

⋅= 3

1δ

AE

LP

⋅

⋅= 3

2δ

AE

LP

⋅

⋅= 3

3δ

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to)(alongamen barra na totalDeformação 3

333

321

→⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

++=⋅⋅=∑

AE

LPAE

LP

AE

LP

AE

LP

AE

LP

i ii

ii

δ

δ

δδδδ

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2.4.2 Barras com Trechos de Seções Transversais Diferentes ou Materiais Diferentes

E1A1 – Rigidez Axial do trecho 1

E2A2 – Rigidez Axial do trecho 2

nto)(encurtame 11

11 AE

aP

⋅⋅=δ

P1

a

b

P2

1

2

P1

P1+P2

-

-

Diagrama de Esforço Normal

( )nto)(encurtame

22

212 AE

bPP

⋅⋅+=δ

( )22

21

11

121 AE

bPP

AE

aP ⋅+−⋅−=+= δδδ

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2.4.3 Barra com Seção Transversal e/ou Força Axial Variando Continuamente ao longo da Barra

E – Módulo de Elasticidade

∫∫ ⋅⋅==

⋅⋅=

L

x

xL

x

x

AE

dxP

AE

dxPd

00

dδδ

δL

dx x dx

Px Px

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� Exemplo 1: Calcular a deformação de uma barra prismática submetida a uma força axial de tração, considerando a ação do peso próprio.

γ - massa específica do materialEA – rigidez axial da barra.

Esboço no quadro

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� Exemplo 2: Uma barra tronco-cônica, de diâmetro variando de 20cm a 40cm e 3m de comprimento, está sob a ação de 500kN de tração. Determine o alongamento da barra sendo E = 200GPa.

Esboço no quadro

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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas

Estática) da equação (única PR 0 B =+∴=∑ Ay RF

B

P a

b

A

C

RB

RA

P

adoIndetermin nteEstaticame Sistema Incógnitas 2

Equação 1⇒

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� As equações de equilíbrio da estática são insuficientes para determinar as ações e reações da estrutura. ESTRUTURA ESTATICAMENTE INDETERMINADA.

� Adiciona-se às equações da Estática, equações suplementares que levam em conta as deformações

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� Solução pelo Método das Forças:� Considera-se uma das reações como redundante, ou

seja, é desnecessária para o equilíbrio da estrutura.� Adota-se dois sistemas:

� 1) Estrutura com carregamento e sem a reação redundante;

� 2) Estrutura apenas com a ação da reação redundante como um carregamento.

� A superposição dos dois sistemas deverá ser igual a estrutura analisada.

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B

P a

b

A

C

� Solução pelo Método das Forças:� Exemplo: Escolhendo-se RA como redundante

B

P

A

C

B

ARA

Sistema 1 Sistema 2

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AE

LR

AE

bP A

⋅⋅=

⋅⋅−= 21 e δδ

B

P a

b

A

C

� Solução pelo Método das Forças:

� Nestas condições é possível calcular as deformações de cada sistema:

B

P

A

C

B

A

RA

Sistema 1 Sistema 2

δδδδ1

δδδδ2

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sistemas dois os entre idadecompatibil de Equação

estrutura da final Deformação 0

21 ⇒+=⇒=

δδδδ

� Compatibilizando as deformações de cada sistema com a estrutura real, chega-se a equação de compatibilidade dos deslocamentos;

� Como a estrutura real é engastada nas duas extremidades, a deformação final da estrutura é nula:

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� Desenvolvendo a equação de compatibilidade dos deslocamentos:

L

bPR

AE

LR

AE

bP

A

A

⋅=

=⋅⋅+

⋅⋅

=+=

0-

021 δδδ

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� Agora temos duas equações e duas incógnitas, tornando o sistema determinado:

L

aPL

bLP

L

bPP

L

bPL

bPRII

RI

A

A

⋅=

−⋅=⋅−=

=+⋅

→

⋅=

=+

B

B

B

B

R

)(R

PR

oDeterminad Sistema )(

PR )(

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� Exemplo 3: Para a estrutura abaixo, determine as reações nos apoios quando se aplica o carregamento indicado.

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� Exemplo 4: Para a estrutura abaixo, qual é a deformação total do conjunto.

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� Exemplo 5: Um pilar de concreto armado, seção quadrada de 25cm de lado e 2,80m de comprimento, não sujeito à flambagem, é armado com 4 barras longitudinais de ½” simetricamente colocadas. Determine as tensões no concreto e no aço para uma compressão axial de 400kN, adotando: Ea = 210GPa e Ec = 20GPa.

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2.6 Tensões Térmicas

� Em sistemas estruturais isostáticos não se considera as deformações provocadas pela temperatura, porque nestes casos, os elementos estruturais são livres para expandir-se ou contrair-se, não provocando tensões.

� Em sistemas estruturais estaticamente indeterminados, a expansão ou contração de um corpo pode ser restringida ou totalmente impedida, gerando tensões internas.

Isostática

∆∆∆∆T

δδδδT

Hiperestática

∆∆∆∆T

R

R

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� Deformação devido a variação da temperatura:

==∆

=→⋅∆⋅=∆=

barra da inicial ocompriment L

ra temperatude variação

térmicadilatação de ecoeficient

TLTLTT

ααδ

� Deformação térmica específica:

TL

TL

L

L

T

T

∆⋅=

∆⋅⋅=∆=

αε

αε

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� Tensão na barra devido ao acréscimo de temperatura ∆T.

EA – rigidez da barraL

� Estrutura estaticamente indeterminada: Método das forças� 1- Inicialmente, suponha-se que a barra tenha uma das

extremidades livres.

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� 2- Calcule as deformações devido: a) somente a atuação da temperatura; b) somente a reação redundante.

AE

LRLT RT ⋅

⋅=⋅∆⋅= δαδ

L

R

∆∆∆∆T

δδδδT

R

δδδδR

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AETAE

LRLT

RT

⋅⋅∆⋅=∴⋅⋅=⋅∆⋅

=

αα

δδ

R

� 3- Compatibilidade de deslocamentos:

� 4- Tensão na Barra:

EETA

AET

A

R

T ⋅=⋅∆⋅=

⋅⋅∆⋅==

εασ

ασ

� Este resultado se aplica no caso de barra de seção transversal uniforme e material homogêneo.

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� Exemplo 6: Um tubo de cobre de 50cm de comprimento, área da seção transversal 20cm2, esta colocado entre dois cabeçotes de metal, os quais são ajustados por dois parafusos de aço com diâmetro de 20mm. Se o conjunto sofrer um aumento de temperatura de 40ºC, ache as tensões nos elementos.

Ec = 120GPa αc = 16,7x10-6/ºCEa = 210GPa. αc = 11,7x10-6/ºC

Tubo de Cobre

Parafusos de aço

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2.7 Coeficiente de Poisson

� O alongamento produzido por uma força “P” na direção dessa força é acompanhado por uma contração em qualquer direção transversal.

� Por considerar o material homogêneo e isotrópico:

εy = εz � Deformação Específica Transversal

� O valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal é o COEFICIENTE DE POISSON (ν) [nii]:

EELogo x

zyx

x

x

z

x

y

σνεεσε

εε

εε

ν

−==∴=

−=−=

:

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2.7 Coeficiente de Poisson

Exemplo 7: Para o material ensaiado a tração conforme ensaio descrito abaixo, determine o coeficiente de Poisson e o Móduo de Elasticidade Longitudianl.

d = 16mm

500mm

12kN

x

y

δx = 300µm

δy = -2,4µm

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2.8 Generalização da Lei de Hooke

� Até o momento estudou-se cargas axiais atuando ao longo de um único eixo.

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� Analisando as tensões em um ponto da seção, vemos que σx= P/A, σy, = 0 e σz=0 :

σσσσy = 0

σσσσz = 0

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� Se considerarmos carregamentos atuando nas três direções, carregamento multiaxial, (σx, σy, e σz ≠≠≠≠ 0);

� Um cubo de dimensões unitárias, após o carregamento se tornará um paralelepípedo de lados:

( )( )( )z

y

x

εεε

+

++

1

1

1(1+ε(1+ε(1+ε(1+εx )

σσσσx

(1+(1+(1+(1+εεεεy )

(1+(1+(1+(1+εεεεz )

σσσσx

σσσσz

σσσσy

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� Pode-se escrever as deformações em função das tensões ;

� Para isso, considera-se separadamente o efeito de cada componente de tensão, após superpõe-se os resultados (Princípio da Superposição );

� Hipóteses:1) Cada efeito é diretamente proporcional a carga que o

produz;2) A deformação causada por qualquer dos carregamentos

é pequena e não afeta as condições de aplicação dos outros carregamentos.

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εεεεx εεεεy εεεεz

σσσσx

σσσσy

σσσσz

Exσ+

Exσν−

Exσν−

Eyσ

ν−E

yσ+

Eyσ

ν−

Ezσν−

Ezσν−

Ezσ+

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� Superpondo os resultados:

Hooke de Lei da çãoGeneraliza

+−−=

−+−=

−−=

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σσνσνε

σνσσνε

σνσ

νσε

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� Exemplo 8: O bloco de aço com dimensões de 80mm x 60mm x 40mm, está submetido à ação de pressão uniforme em todas as faces. A variação de comprimento AB foi de -24µm. Determine:a) Variação do comprimento das outras duas faces;b) A pressão “p” aplicada nas faces do bloco.Adotar E = 200GPa e ν = 0,29.

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2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento

ττττxy

ττττyx

2.9.1- Tensão de cisalhamento sobre planos ortogonai s

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� Para o equilíbrio do elemento, as tensões nos planos paralelos são numericamente iguais mas de sentidos opostos.

( ) ( )( ) ( )

yxxy

xyzxyyzxyx

yzxyyzxyy

ddddddM

ddddF

ττττ

ττ

=

=⋅−⋅=

=⋅−⋅=

∑∑

0

0

0

� O equilíbrio do elemento só está garantido se as tensões de cisalhamento ocorrerem simultaneamente nas quatro faces do elemento.

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2.9.2 Deformação no Cisalhamento

� Sob a tensão das tensões de cisalhamento, o elemento se deforma do seguinte modo:

γγγγxy – Distorção ou Deformação de Cisalhamento(em radianos)

� A distorção é positiva quando reduz o ângulo entre x e y.

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� Como não existem tensões normais, não há alteração de comprimento nos lados do elemento.

� Hipóteses:� Pequenas deformações;� Material elástico linear.

(Pascal) lTransversa deElasticida de Módulo G

toCisalhamen o para Hooke de Lei

→

→⋅= xyxy G γτ

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� O Módulo de elasticidade transversal é medido em laboratório pelo ensaio de torção de um tubo de seção circular.

� Experimentalmente, verificou-se que para os materiais dúcteis, a tensão de escoamento em cisalhamento é 0,5 a 0,6 da tensão normal de escoamento.

( )ν

ν

+=

12

EG

e E G, entre laçãoRe

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� Exemplo 9: Um bloco com dimensões a=160mm, b=50mm e h=40mm, feito de material com G = 600MPa, é colocado entre duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixada e a superior é submetida a força V. Sabendo-se que a placa superior se move d=0,8mm, determine: a) a deformação de cisalhamento no material; b) a força V.

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2.10 Princípio de Saint-Venant

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2.10 Princípio de Saint-Venant

� Adotamos que as tensões normais são uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal;

� Essa suposição não se verifica na vizinhança do ponto de aplicação da força.

� Princípio de Saint-Venant:� Para as seções transversais a

uma distância igual ou maior que “b” da extremidade da barra, a distribuição de tensões na seção é considerada uniforme e igual a σméd = P/A

b

b

b

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