Pilihan Topik Matematika - "Darpublic" at ee-cafe.org ... · Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1...

Click here to load reader

  • date post

    12-Mar-2019
  • Category

    Documents

  • view

    246
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Pilihan Topik Matematika - "Darpublic" at ee-cafe.org ... · Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1...

Pilihan Pilihan Pilihan Pilihan TopikTopikTopikTopik

Matematika Matematika Matematika Matematika (Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )

Darpublic Edisi Juli 2012

Sudaryatno Sudirham

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3 x

y

= = 2 = 3 = 4

r

P[r,] y = 2

i

Pilihan Topik Matematika (Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )

oleh Sudaryatno Sudirham

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika ii

Hak cipta pada penulis.

SUDIRHAM, SUDARYATNO Beberapa Topik Matematika Aplikasi Dalam Analisis Rangkaian Listrik Darpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

iii

Pengantar

Buku ini berisi bahasan mengenai topik-topik matematika yang dipilih terkait dengan penggunaannya dalam Analisis Rangkaian Listrik. Sudah barang tentu bahwa matematika sebagai ilmu dasar tidak hanya terpakai dalam analisis rangkaian listrik. Namun uraian dalam buku ini dikaitkan dengan buku-buku lain yang penulis susun, bahkan contoh-contoh persoalan yang diberikan banyak diambil dari buku-buku tersebut; dengan penulisan buku ini penulis bermaksud memberi penjelasan mengenai dasar matematika yang digunakan di dalamnya. Dalam buku ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika dari sisi pandang aplikasi teknik, dengan sangat membatasi penggunaan ungkapan matematis; pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah difahami. Dengan cara demikian penulis berharap bahwa pengertian matematis yang diperlukan bisa difahami dengan lebih mudah. Pendalaman lebih lanjut dapat diperoleh dari buku-buku tentang matematika yang digunakan sebagai referensi dalam kuliah matematika.

Kemajuan teknologi komputer telah sangat membantu proses pemecahan persoalan di bidang teknik. Namun buku ini tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkan menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang topik matematika yang dipilih, yang penulis anggap dapat memberikan pemahaman mengenai proses perhitungan dengan menggunakan komputer.

Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini bermanfaat bagi pembaca.

Bandung, Juli 2012 Wassalam,

Penulis

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika iv

Darpublic Kanayakan D-30, Bandung, 40135

Open Courses Open Course Ware disediakan oleh Darpublic di

www.ee-cafe.org dalam format .ppsx beranimasi

v

Daftar Isi

Pengantar iii

Daftar Isi v

Bab 1: Pendahuluan: Pengertian Fungsi dan Grafik 1 Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak. Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan.

Bab 2: Fungsi Linier 15 Fungsi Tetapan. Fungsi Linier Persamaan Garis Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.

Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 29 Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.

Bab 4: Mononom dan Polinom 39 Mononom: Mononom Pangkat Dua, Mononom Pangkat Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom Pangkat Tiga pada Fungsi Kuadrat.

Bab 5: Bangun Geometris 57 Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola. Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua. Perputaran Sumbu.

Bab 6: Fungsi Trigonometri 71 Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.

Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 87 Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus. Spetrum Dan Lebar Pita Fungsi Periodik.

Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 97 Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi Hiperbolik.

Bab 9: Koordinat Polar 107 Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan Oval Cassini. Luas Bidang.

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika vi

Bab 10: Turunan Fungsi Polinom 119 Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung.

Bab 11: Turunan Fungsi-Fungsi 135 Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy.

Bab 12: Turunan Fungsi-Fungsi Transenden 147 Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial.

Bab 13: Integral 155 Macam-macam Integral. Integral Tak Tentu, Integral Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Aplikasi.

Bab 14: Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi 177 Fungsi Tetapan. Mononom. Polinom. Fungsi Pangkat dari Fungsi. Fungsi Berpangkat Satu. Fungsi Eksponensial. Tetapan Berpangkat Fungsi. Fungsi Trigonometri. Fungsi Hiperbolik. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri. Tabel Relasi Diferensial-Integral.

Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1 187 Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa.

Bab 16: Persamaan Diferensial Orde-2 201 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi.

Bab 17: Matriks 211 Konsep Dasar Matriks. Pengertian dan Operasi Matriks. Matriks Khusus. Putaran Matriks. Sistem Persamaan Linier. Eliminasi Gauss. Kebalikan Matriks, Eliminasi Gauss-Jordan.

vii

Bab 18: Bilangan dan Peubah Kompleks 241 Pengertian dan Definisi. Operasi-Operasi Aljabar. Repersentasi Grafis. Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar. Fungsi Kompleks. Pole dan Zero. Aplikasi untuk Menyatakan Fungsi Sinus.

Bab 19: Transformasi Laplace 251 Pemahaman Transformasi Laplace. Transformasi Laplace. Sifat-sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik

Bab 20: Deret dan Transformasi Fourier 271 Deret Fourier. Koefisien Fourier. Deret Fourier Bentuk Eksponensial. Transformasi Fourier. Sifat-Sifat Transformasi Fourier. Transformasi Balik.

Daftar Pustaka 297

Biodata penulis 298

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika viii

1

Bab 1 Pendahuluan: Pengertian Fungsi dan Grafik

Fungsi dan dan bentuk-bentuk kurvanya akan kita gunakan secara luas di buku ini untuk memahami berbagai relasi matematis. Oleh karena itu bab pertama ini kita akan mempelajari secara umum lebih dulu mengenai fungsi dan grafik.

1.1. Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.

Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan

)(xfy = (1.1)

Perhatikan bahwa penulisan )(xfy ==== bukanlah berarti y sama dengan f kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.

y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan sebagai peubah-tak-bebas (y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai yang dimiliki x.

Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis

)1(0 TLLT +=

dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 2

Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan bertambah panjang namun tidak berarti temperaturnya meningkat.

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

1.2. Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut:

a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai

a < x < b

Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat kita gambarkan sebagi berikut:

a b

a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.

b). rentang nilai

a x < b

kita gambarkan sebagai

a b

Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka.

c). rentang nilai

a x b

Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan

a b

3

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri

Kurva. Fungsi )(xfy ==== dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari ke arah kiri sampai + ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi 0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.

Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.

Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal terbatas; adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang jika hanya dilihat sampai sembilan angka di belakang koma nilainya adalah 3,141592654.

Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x, memanjang ke arah ke bawah dan + arah ke atas, yang melewati titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titik-asal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

y

x IV

I II

III

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 4

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala.

Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y, selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.

Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai K[xk,yk], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan S[3,-2].

Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.

Contoh: sebuah fungsi

xy 5,0= (1.2)

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1.

Tabel-1.1.

x -1 0 1 2 3 4 dst. y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

Fungsi xy 5,0= yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titik-asal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari lebih lanjut); persamaan garis ini adalah xy 5,0= . Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita

5

bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.

Gb.1.2. Kurva dari fungsi xy 5,0====

Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi xy 5,0= membentuk kurva dengan persamaan xy 5,0= di bidang x-y. Dalam contoh ini titik-titik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0.5], Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan sebagai berikut:

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat, yaitu:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai )()(lim cfxf

cx=

yang kita baca limit f(x)

untuk x menuju c sama dengan f(c).

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;

)(lim xfcx

tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan

x y

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

y R

P

Q

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 6

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x = 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0 (lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai

0untuk 0

0untuk 1 ),(

7

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.

Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x = 2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap. Kurva y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti x dan y diganti y.

Kurva 922 =+ yx simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.

1.4. Bentuk Implisit

Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti

)(xfy = . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit.

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y = 0,3x2

y = 0,05x3 y2 + x2 = 9

x

y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y

tidak berubah bila x diganti x

tidak berubah jika x diganti x x dan y diganti dengan x dan y x dan y dipertukarkan y diganti dengan y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 8

8

1

1

22

2

22

=++

=

==+

yxyx

xy

xy

yx

(1.3)

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat

822 =++ yxyx 0)8( 22 =++ xxyy

yang akar-akarnya adalah

2

)8(4,

22

21

=xxx

yy

Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai

2

)8(4

2

22 =

xxxy (1.4)

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit )(xfy = . Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.5.

Gb.1.5. Kurva 2)8(4

2

22 =

xxxy

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4x

y

9

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak

Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.

1). 25,0 xy = . Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang x 0.

Gb.1.6. Kurva 25,0 xy =

2). xy += .

Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.

Gb.1.7. Kurva xy +=

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,5 1 1,5 2x

y

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 10

3). xy = . Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva

xy += . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai baik positif maupun negatif.

Gb.1.8. Kurva xy =

4). xy 10log= .

Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat kembali tentang logaritma.

log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi

xy 10log= berarti xy =10

01log101 ==y ; 31000log102 ==y ;

30103,02log103 ==y ; ...dst.

Kurva fungsi xy 10log= terlihat pada Gb.1.9.

Gb.1.9. Kurva xy 10log=

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

00 0,5 1 1,5 2x

y

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 1 2 3 4x

y

11

5). 2xxy == .

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif.

Perhatikanlah bahwa 2x tidak hanya sama dengan x, melainkan x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.

Gb.1.10. Kurva y = |x| = x2

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.

1). Fungsi xy = . Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya

x bernilai x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .

Gb.1.11. Kurva xy =

-2 -1,5

-1 -0,5

0

0,5 1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3x

y

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 12

2). Fungsi x

y12 = .

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.

Gb.1.12. Kurva xy /12 = xy /1=

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan sebagai

),( txfy = (1.5)

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi (x) dan waktu (t).

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak sebagai

),,,,( vuzyxfw = (1.6)

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y, z,u,dan v.

Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak, misalnya

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3x

y

13

2222 zyx ++= (1.7)

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif dari dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai

222 zyx +++= (1.8)

1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol . Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar dinyatakan sebagai P(r,). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah

= sinry ;

= cosrx ; 22 yxr +=

)/(tan 1 xy=

Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.

x

P

r

y

rsin

rcos

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 14

1.8. Fungsi Parametrik

Dalam koordinat sudut-siku fungsi )(xfy = mungkin juga dituliskan sebagai

)(tyy = )(txx = (1.10)

jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.

15

Bab 2 Fungsi Linier

2.1. Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan

ky = [2.1]

dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari sampai +.

-4

0

5

-5 0 5 x

y

y = 4

y = 3,5

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

4=y dan 5,3=y .

2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus

Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap perubahan x, atau kita tuliskan

==

" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym (2.2)

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 16

Dalam hal garis lurus, rasio x

y

memberikan hasil yang sama di titik

manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada fungsi mxy = . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan kemiringan yang berbeda-beda. Garis xy = lebih miring dari

xy 5,0= , garis xy 2= lebih miring dari xy = dan jauh lebih miring dari xy 5,0= , dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif 1,5 dan ia miring ke bawah (menurun).

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus mxy = .

Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah

mxy = (2.3)

dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis

Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0] melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x, sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah 2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai

22 += xy . Perhatikan Gb.2.3.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

y = 0,5x y = x

y = 2x

y = -1,5 x

17

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu-y di [0,b] adalah

mxby = )( (2.4)

b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.

Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4. Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis xy 2= , setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x1) pada garis xy 2= ; atau dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai x pada garis xy 2= dengan (x1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini terjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada )1( 1 = xx pada kurva

xy 2= .

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].

x1 x11

y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

y =2(x1)

y = 2x

y = 2x + 2

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 18

Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan

mxy = dengan (xa). Persamaan garis ini adalah

)( axmy = (2.5)

Pada persamaan (2.5), jika a positif garis mxy ==== tergeser ke arah sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan pergeseran kurva y sejajar sumbu-x.

Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2]. Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya adalah

21

2

1

)2(0 ================

x

ym

dan persamaan garis adalah

22 = xy (2.6)

Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan memberikan m = 2 dan b = 2. Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,0] dan [0,b] adalah

a

bmbmxy =+= dengan (2.7)

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

garis memotong sumbu x di 2, dan memotong sumbu y di 4

Persamaan garis: 4242

4 +=+= xxy

19

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut. Lihat Gb.2.5.

Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu

)(

)(

12

12

xx

yy

x

ym

=

= (2.8)

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.

Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku

12

12

xx

yym

= (2.9)

Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini adalah

)( 11 xxmyy = (2.10)

Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y1 dan bergeser searah sumbu-x sebesar x1.

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) dan Q(1,2).

[x1,y1]

[x2,y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 20

Kemiringan garis ini adalah 25,115

27 ==

=

Qp

QP

xx

yym

Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titik asal xy 25,1= . Persamaan garis dengan kemiringan ini yang melalui titik P(5,7) adalah

75,025,1

725,625,1)5(25,17

+=+==

xy

xyxy

Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi

)(xfy =

akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x1 skala jika x diganti dengan (x x1), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y1 skala jika y diganti dengan (y y1)

)(xfy = menjadi )( 1xxfy = atau )(1 xfyy = (2.11)

Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.

Contoh:

Contoh:

Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah xy 25,1= . Garis ini

y + 2 = 2x (pergeseran 2 searah sumbu-y)

y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

kurva semula

atau

y = 2(x 1) (pergeseran +1 searah sumbu-x)

21

harus kita geser menjadi )(25,1)( axby = agar melalui titik P dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan

)5(25,17 ab = dan )1(25,12 ab =

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = 0,6 dan juga b = 0,75 sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2) dapat diperoleh, yaitu xy 25,175,0 = atau )6,0(25,1 += xy . Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di 0,6.

2.4. Perpotongan Garis

Dua garis lurus

111 bxay += dan 222 bxay +=

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi 21 yy =

2p21P1 bxabxa +=+ sehingga

2P2P1P1P

21

12P

atau

bxaybxay

aa

bbx

+=+==

(2.12)

Contoh:

Titik potong dua garis 84dan 32 21 =+= xyxy

112843221 ==+= xxxyy

5,52

11P ==x ; 1435,5232P =+=+= xy

atau 1485,54P ==y

Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikut

ini.

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 22

Gb.2.6. Perpotongan dua garis.

Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di .

Contoh: Dua garis 84dan 34 21 =+= xyxy adalah sejajar.

2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis

= tanm (2.13) dengan adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.

Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.

Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

x

P Koordinat P memenuhi persamaan y1 maupun y2.

y2 y1

5

y

x | |

5

5 = tanm

23

pembagian skala tersebut sama besar, sudut yang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama besar sudut yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya sehingga sudut sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan bukan dilihat dari grafik. 2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Pada fungsi linier baxmy += )( , peubah y akan selalu memiliki nilai, berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari sampai +. Fungsi ini juga kontinyu dalam rentang tersebut.

Kurva fungsi mxy = simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini tak berubah jika y diganti dengan y dan x diganti dengan x.

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier

Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan.

maF = ; a adalah percepatan

Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai

atvtv += 0)(

v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah

attv =)(

2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar

l

VE =

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 24

Elektron yang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adanya medan listrik sebesar

eEa = a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

atvk =

3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.

kxF = dengan k adalah konstanta pegas.

4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi

R

VGVi == , dengan

RG

1=

G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan

iRV = yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.

Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinyatakan dengan

A

lR

=

disebut resistivitas bahan logam.

]]]] anoda katoda

l

25

Kerapatan arus dalam logam adalah A

ij = dan dari persamaan di

atas kita peroleh

El

V

RA

V

A

ij =

=== 1

dengan lVE /= adalah kuat medan listrik dalam logam, = /1 adalah konduktivitas bahan logam.

Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau

gradien dari V yang kita tuliskan dx

dVE = . Mengenai pengertian

gradien akan kita pelajari di Bab-9.

5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadinya difusi, yaitu penyebaran materi menembus materi lain, adalah adanya perbedaan konsentrasi. Situasi ini analog dengan peristiwa aliran muatan listrik di mana faktor pendorong untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.

Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai

dx

dCDJx =

D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C0 dan Cx bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi.

Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu

xa x

Ca

Cx

materi masuk di xa

materi keluar di x

x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 26

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam praktik rekayasa.

Soal-Soal 1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima

yang tergambar di bawah ini.

2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer-1 di atas.

3. Carilah persamaan garis yang a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2; b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.

4. Carilah persamaan garis yang melalui a) titik potong y1 y2 dan titik potong y3 y4 ; b) titik potong y3 y4 dan titik potong y1 y5 ; c) titik potong y1 y2 dan titik potong y4 y5.

5. Carilah persamaan garis yang a) melalui titik potong y1 y5 dan sejajar dengan garis y2 ; b) melalui titik potong y4 y5 dan sejajar dengan garis y1.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y1 y2

y3

y4

y5

y

x

27

Bab 3 Gabungan Fungsi Linier

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x, sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak bebas, y.

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-fungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik. 3.1. Fungsi Anak Tangga

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari sampai +. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai satu untuk x 0 dan dituliskan sebagai )(xu . Jadi

0untuk 0

0untuk 1)(

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 28

-4

0

5

-5 0 5 x

y y = 3,5 u(x)

y = 2,5 u(x)

Gb.3.1. Fungsi anak tangga.

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan

)( ax . Dengan demikian maka fungsi anak tangga

)( axkuy = (3.3)

merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.

-4

0

5

-5 0 5 x

y y = 3,5 u(x1)

1

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).

29

3.2. Fungsi Ramp

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = - sampai x = +. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x < 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah

)(xaxuy = (3.4)

Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah

)()( gxugxay = (3.5)

dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagian )(1 gxay = adalah fungsi linier tergeser sedangkan

)(2 gxuy = adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan )(1 xxuy = , fungsi ramp

)(22 xxuy = , dan fungsi ramp tergeser )2()2(5,13 = xuxy .

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x),

ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2). 3.3. Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4 x

y y1 = xu(x)

y2 = 2xu(x)

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 30

berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya adalah

)()( 21 xxauxxauy = (3.6)

x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2 adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih

)( 12 xx disebut lebar pulsa

12 xxpulsalebar = (3.7)

Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x = 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

{ })2()1(2 )2(2)1(2

==

xuxu

xuxuy

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu { })2()1( = xuxuy , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada

x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah

{ })()( 21 xxuxxuAy = ; lebar pulsa ini adalah (x2 x1).

Contoh: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 dan amplitudo 4, memiliki persamaan

{ })3()(4 = xuxuy .

y1=2u(x-1)

y2= -2u(x-2)

y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2)

lebar pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4x

31

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar lebar pulsanya, )( 12 xx , dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.

Dalam praktik, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa

Gb.3.5. Deretan Pulsa.

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol toff. Satu perioda T = ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah

makson

rr yT

ty =pulsa (3.8)

dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.

Persamaan umumnya adalah

{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy = (3.9) dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

{ })()( 21 xxuxxumAxy = Perhatikan bahwa 1)( =xu karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.

Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp )(21 xxuy = dengan fungsi pulsa { })3()1(5,12 = xuxuy yang hanya memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

perioda

x

y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 32

nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

{ }{ })3()1(3

)3()1(5,1)(2213=

==xuxux

xuxuxxuyyy

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.

Perkalian fungsi ramp )(1 xmxuy = dengan pulsa { })()(12 bxuxuy = membentuk fungsi gigi gergaji { })()()1( bxuxuxmy = yang muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

2gergaji-gigi maksrr

yy = (3.10)

y1=2xu(x)

y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5x

y

y

x 0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5b

y2={u(x)-u(x-b)}

y1=mxu(x)

y3 = y1 y2 =mx{ u(x)-u(x-b)}

33

dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.

Gb.3.8. Fungsi gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

.......)()(

)()()(

22

11

+++=

xxuxxc

xxuxxbxaxuy (3.11)

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, )(21 xxuy = dan )2()2(22 = xuxy seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua

fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat mencapai x = 2.

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, )(21 xxuy = dan )2()2(4 = xuxy . Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

y

x

T

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5

y1=2xu(x)

y2= 2(x2)u(x2)

y3= 2xu(x)2(x2)u(x2)

y

x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 34

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa )3()1( = xuxuypulsa akan kita peroleh bentuk kurva seperti

terlihat pada Gb.3.11.

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)4xu(x2)}{ u(x-1)-u(x-3)}

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

Gb.3.12. Gelombang segitiga.

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 x

y

5

y1=2xu(x)

y2= 4(x-2)u(x-2)

y3= {2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{ u(x-1)-u(x-3)}

y1=2xu(x)

y2= 4(x2)u(x2)

y3= 2xu(x)4(x2)u(x2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

x

y

35

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.

3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Fungsi anak tangga satuan yang tergeser )( axuy = hanya mempunyai nilai untuk x a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan yang tergeser.

Soal-Soal

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini :

a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0.

b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1.

c) y3: ymaks = 5 , muncul pada x = 2.

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 1, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini.

3216

315

214

c).

; b).

; a).

yyyy

yyy

yyy

++=+=+=

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :

a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.

c). Amplitudo 5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 36

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 10 dan perioda 0,5.

6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yang digambarkan di bawah ini.

7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik yang digambarkan di bawah ini.

5

3

0 x

y

perioda

1 2 3 4 5 6

5

0 x

y

perioda

5

1 2 3 4 5 6

37

Bab 4 Mononom dan Polinom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5

10

)5(

735

4

3

222

231

==

=

++=

y

xy

xy

xxxy

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus. 4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai fungsi genap, kita tuliskan

2kxy = (4.1)

Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan x tidak akan mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier kxy = nilai k merupakan kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1. memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 38

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

Gb.4.1. Kurva fungsi 2kxy = dengan k positif.

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum pada titik [0,0].

-100

-80

-60

-40

-20

0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = 2x2

y = 10x2 y

x

Gb.4.2. Kurva fungsi 2kxy = dengan k negatif.

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif; kita akan melihat bagaimana jika kurva mononom digeser. Pergeseran kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x dengan (x a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh dengan mengganti y dengan (y b). Dengan demikian persamaan mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2)()( axkby = (4.3)

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2

y = 3x2 y = 5x2

x

39

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0, a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k = 10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi

21 10xy =

22 )2(10 = xy

30)2(10 23 += xy

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua dan tergeser.

Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4. memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang memiliki koefisien k sama besar.

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1. Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika pangkat makin besar.

x 0

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

y1 = 10x2

y2 = 10(x2)2

y3 = 10(x2)2 + 30

y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 40

Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi. Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.

Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

0

1

2

3

4

5

6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y3 = 2x2

y2 = 3x4

y1 = 6x6 y

x

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0

1

2

3

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x

41

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang makin rendah pada mononom

berpangkat tinggi.

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil. Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh peristiwa fisis.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

attv =)(

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2

2

1)( atts =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

atvk =

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

y = 3x4

y = 6x2

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 42

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 22

1)( atts = , di mana s(t)

= l.

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan

sentral adalah rje k= dengan k adalah vektor bilangan gelombang

yang searah dengan rambatan gelombang. = 2k , : panjang

gelombang

Energi kinetik elektron sebagai gelombang, Ek , adalah

ek m

kE

2

22h=

me massa electron, h suatu konstanta.

Ek dan k memiliki relasi mononomial pangkat dua

(Dari Bab-8, ref. [4])

Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis kxy = . Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.

]]]] anoda katoda

l

k

Ek

43

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam pembengkokan garis lurus yang terjadi di dalam rentang 11 x .

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis kxy = bisa terjadi pada nilai x < 1.

4.2. Polinom Pangkat Dua

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk

cbxaxy ++= 2 (4.4)

Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.

y

y1=2x2

x

y3=13

y2=15x

-150

0

150

-10 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2x y = 2x5

y = 2x3

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 44

Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan

bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

(a)

(b)

(c)

Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2x2 , y2 = 15x, dan y3 = 13

y4 = 2x2+15x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13

y4=2x2+15x

15/2 x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri

15/4

y1=2x2

y4=2x2+15x

x

y

y2=15x -150

0

150

-10 0

x = 15/2

45

Karena xy 152 = melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2 juga melalui titik [0,0]

maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva

xxyyy 152 2214 +=+= (4.5)

yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga memotong sumbu-x di 2/15=x karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan

2/15=x ) memenuhi persamaan 0152 23 =+= xxy . Kurva ini memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di 4/15=x seperti terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4 tebentuklah

13152 25 ++= xxy (4.6)

yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13 skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

cbxaxy ++= 2

yang dapat kita tuliskan sebagai

a

acb

a

bxa

ca

b

a

bxacx

a

bxay

4

4

2

42

22

222

+=

+

+=+

+= (4.7)

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y

adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh a

b

2

kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh

a

acb

4

42.

Perhatikan Gb.4.8.

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 46

Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri sejauh

b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah sejauh (b24ac)/4a.

Sumbu simetri terletak pada a

bx

2= dan kurva memotong sumbu-x di

sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari persamaan (4.7) kita dapatkan

04

4

2

22

=

+=a

acb

a

bxay

a

acb

a

bxa

4

4

2

22 =

+

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

=

+ 2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

=

+

a

acb

a

bxx

2

4

2,

2

21= (4.8)

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol

-50

0

0

y = ax2 +bx +c

x1 x2

}

y

x

y = ax2

a

acb

4

42a

b

2

47

0)4(04

4 22

== acba

acb (4.9)

Jika 0)4( 2

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 48

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan 3kxy = . Jika k positif, fungsi ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx3.

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan (x a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh dengan mengganti y dengan (y b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang tergeser akan menjadi

baxky += 3)( (4.10)

dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.

y

x

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

32xy =

32xy =

32xy =

32xy =

49

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang berbentuk

dcxbxaxy +++= 23 (4.11)

Karena 3kxy = naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan 31 axy = dan b =19, c = 80, d

= 200 untuk menggambarkan kurva fungsi dcxbxy ++= 22 seperti terlihat pada Gb.4.11.a.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x3

y = 10(x2)3

y = 10(x2)3 + 100

y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 50

Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2.

Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1 ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan kurva y3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa

persamaan pangkat tiga 023 =+++ dcxbxax (dengan nilai koefisien yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.

-2000

0

2000

-10

0 10

y

x

y1= 4x3 2008019

22 = xxy

-2000

0

2000

-10 0 10x

y

y1

y2

20080194 23

213

+=

+=

xxx

yyy

(a)

(b)

51

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan yang ke-tiga ini.

(a) a kurang positif

(b) a terlalu positif

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2.

Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan y2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+y2

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 52

peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita bahas di sub-bab sebelumnya.

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat pada Gb.4.13.a.

(a)

(b)

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.

Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a

-2000

0

-10 0

y3 = y1 + y2

y1

y2

15

-2000

0

2000

-10 0 15

y3 = y1 + y2

y1

y2

53

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada Gb.4.13.b.

CATATAN: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.

4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari sampai +. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan

polinom, 21 yyy = .

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua 2kxy ==== simetris terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan x tidak mengubah fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga 3kxy ==== simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan y dan penggantian x dengan x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0], seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.

Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 54

dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu-y.

Soal-Soal

1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

84 ; 123

; 75 ; 42

42

3

22

21

+==

==

xyxy

xyxy

2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan antara kurva-kurva fungsi berikut ini

433221 dan ; dan ; dan yyyyyy

3. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

xxyxxyxxy 24 ; 123 ; 105 232

22

1 +===

4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut.

313221 dan ; dan ; dan yyyyyy

5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

824

; 2123

; 7105

23

22

21

++=

+=

=

xxy

xxy

xxy

6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut.

313221 dan ; dan ; dan yyyyyy

55

Bab 5 Bangun Geometris

5.1. Persamaan Kurva

Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai

0),( =yxF (5.1)

Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak pada kurva.

Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di antaranya telah kita pelajari di bab pertama.

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Nilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut. Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan pembahasan.

Contoh: 122 =+ xy . Jika kita cari nilai y kita dapatkan 21 xy =

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 56

Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang 11 x . Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang 11 y .

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0.

Contoh: 122 =+ xy . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1].

Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y.

Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan asimptot dari kurva.

Contoh: 10)( 222 += xxxy .

Persamaan ini memberikan )1(

102

+

=xx

xy

Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu agar x(x1) positif; jika x negatif maka x(x1) akan tetap positif. Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.

57

Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).

Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai

x

x

xx

xy

/11

/10110 2

2

22

+=

+=

Jika x maka y2 = 1, dan y = 1. Garis mendatar y = 1 dan y = 1 juga merupakan asimptot dari kurva.

Soal-Soal:

Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:

xxy

1+= ; 12 += xy ; 1

12 +

=x

y ;

12 = xy ; 1

12

=x

y .

5.2. Jarak Antara Dua Titik

Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka jarak antara keduanya adalah

22 )()(PQ qpqp yyxx += (5.2)

Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.

y

-4

0

4

-4 0 4x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 58

Soal-Soal:

1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap P dan Q.

2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang sedemikian rupa sehingga RP = 2 RQ.

5.3. Parabola

Kita telah melihat bentuk kurva

2kxy = (5.3)

yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola. Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu, seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola, dan garis tertentu y = p disebut garis direktriks dan titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.

Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.

Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.

xppyyxpyxp 2222222 2 )()PR(PQ ++=+=+=

py )(PR +=

[0,0]

y

x

y=kx2

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,p]

59

Karena PQ = PR, maka

pyxppyy +=++ 222 2 22222 22 ppyyxppyy ++=++

pyx 42 +=+ atau

p

xy

4

2= yang berarti

pk

4

1= atau k

p4

1=

Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan

2

4

1x

py = (5.4)

dengan direktiks y = p dan titik fokus Q[0,p].

Contoh: Persamaan parabola 25,0 xy = dapat kita tuliskan

22

5,04

1

2

1xxy

==

dan parabola ini memiliki direktrik 5,0== py dan titik fokus di Q[0,(0,5)].

Soal-Soal:

Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:

842 =+ xy ; 482 = yx ;

03422 =+ yxx ; 02 =++ yxy

5.4. Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y] ke titik-asal adalah

22XO yx +=

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 60

Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka

ryx =+ 22

Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah

222 ryx =+ (5.5)

dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di P[a,b] mempunyai persamaan

222 )()( rbyax =+ (5.6)

Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut

lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan 122 =+ yx .

Gb.5.3. Lingkaran

Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2 = 0,4 berpusat di [(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5 skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan

4,0)5,0()5,0( 22 =+ yx

-1

0,5

1

-1 [0,0] 0,5

1 x

y

y1

61

Soal-Soal:

Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat lingkaran berikut

1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.

2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.

3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.

4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.

5.5. Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan. Kedua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips.

Perhatikan Gb.5.4. Misalkan diketahui posisi dua titik P[a,0] dan Q(a,0]. Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah

Gb.5.4. Elips

22)(XP ycx ++= dan

22)(XQ ycx +=

Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka

aycxycx 2)()( 2222 =++++

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, akan kita peroleh

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +++=++

yang dapat disederhanakan menjadi

22)( ycxxa

ca +=

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 62

Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan

22222

22 22 yccxxx

a

ccxa ++=+

yang dapat disederhanakan menjadi

122

2

2

2=

+

ca

y

a

x

Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c, sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar

nyata; misalkan bca = 22 . Dengan demikian kita mendapatkan persamaan elips

12

2

2

2=+

b

y

a

x (5.7)

Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [a,0] dan titik-titik potong dengan sumbu-y adalah [0,b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi panjang 2a2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita mendapatkan persamaan lingkaran).

Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah

1)()(

2

2

2

2=+

b

qy

a

px (5.8)

dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan

15,0

)25,0(

1

)5,0(2

22

=

+ yx

63

Gb.5.5. Elips tergeser.

Soal-Soal:

Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:

1) 3649 22 =+ xx ;

2) 14494 22 =+ yx ;

3) 14 22 =+ yx ;

4) 144)3(9)2(16 22 =++ yx

5.6. Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di atas.

Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[c,0] dan Q(c,0].

Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah

22)(XP ycx ++= dan

22)(XQ ycx +=

1

-1

0-1 0 1 2x

y

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 64

Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].

Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka

aycxycx 2)()( 2222 =+++

Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan

22)()/( ycxaxac +=

Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh

122

2

2

2

=

ac

y

a

x

Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) = 2a selalu lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua

ruas kiri selalu positif, misalkan 222 bac = . Dengan demikian kita dapatkan persamaan

12

2

2

2

=b

y

a

x (5.9)

Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

65

Gb.5.7. Kurva hiperbola

Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan sumbu-x yaitu [a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a.

Soal-Soal:

Gambarkan (skets) hiperbola berikut:

1) 1169

22= yx ; 2) 1

169

22= xy ;

3) 1916

22= yx ; 4) 1

169

22= yx

5.4. Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx (5.10)

Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan

pEAFDCB 4 ;1 ;0 ======

+

X(x,y)

-c -a a c

y

x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 66

sehingga diperoleh persamaan (5.4) 24

1x

py = .

Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan

;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = 1

Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari (5.10), di mana

bFEaDCBA ====== ;1 ; ;0

yang memberikan persamaan garis lurus baxy += . Namun dalam kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi persamaan berderajat satu.

Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.

5.5. Perputaran Sumbu Koordinat

Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[c,0] dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong sumbu-x di x = a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di P[a,a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.

Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]

Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

X

67

aayaxayax 2)()()()( 2222 =++++

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh

22 )()( ayaxayx +=+

Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan

22 axy = (5.11)

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.

Gb.5.9. Kurva 2xy = a2.

Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x. Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.

Gb.5.10. Perputaran sumbu.

x

y

x

y P[x,y] P[x,y]

Q

Q

O

-5

0

5

-5 0

y

x

Sudaryatno Sudirham, Pilihan Topik Matematika 68

Sumbu x-y diputar sebesar menjadi sumbu x-y . Titik P dapat dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau P[x,y ] dengan referensi sumbu x-y . Dari Gb.5.10. kita dapatkan

)sin(OPPQ

)cos(OPOQ

+==+==

y

x (5.12)

Sementara itu

====

sinOPPQ''

cosOPOQ''

y

x (5.13)

Dengan kesamaan (Catatan: lihat fungsi trigonometri di Bab-6)

+=+=+

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos( (5.14)

Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi

+==

cos'sin'

sin'cos'

yxy

yxx (5.1