PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( ) TERHADAP 12 … · i PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (q 12) TERHADAP...

i

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( 12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

Skripsi

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu SyaratMemperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMAYOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

INTER PLANET ANGLE ( 12 ) EFFECT ON THETRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

Scription

Presented as Partial Fulfillment of the requirementsto obtain the Sarjana Sains Degree

In Physics

By:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENTFACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITYYOGYAKARTA

2008




v

Kehidupan ini adalah belajar

dari waktu ke waktu

sampai kita tak dapat merasakan

panas dinginnya dunia.

Semua begitu mudah bagi kemauan dan tekat

yang kuat.

Ku persembahkan skripsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku

Isbandini,Heriyanto dan Sri Astuti



vii

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( 12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK

Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut ( )12 untuk sistem dua planetyang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket program Maple10. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet ( )12menentukan bentuk lintasan planet.


viii

INTER PLANET ANGLE ( 12 ) EFFECT TO THETRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

ABSTRACT

Inter planet angle ( )12 effect to the trajectory form of two planets systemwhich orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10program packet. The obtained results show that the inter planet angle ( )12 valuedetermine the planet trajectory form.


ix

KATA PENGANTAR

Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap

detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar

bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya

tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.

Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmi-

ah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan

rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:

1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing

yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di

saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya

terkesan dengan jawaban mudah setiap saya menanyakan hasil

pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak

ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah mau dan maju terus.

2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi

dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi

saya.

3. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ir.G.Heliarko,S.J

S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.

4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak


x

Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA.

Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si

(almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati,

S.Si.

5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang

banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi.

6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.

7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.

8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan00 yang sama-sama

berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam

menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu.

Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.

9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur.

10. Kepada virtus compusoft yang telah meminjami saya satu unit

komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik

materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES

untuk virtus compusoft dan menjadi besar untuk menolong sesama.

11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti

menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi

dukungan dan semangat bagi saya.

12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan

satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless.


xi

Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena

itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.

Yoyakarta, Januari 2008

Penulis

Th. Joko Krismanto


xii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak

memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka,

sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Januari 2008

Penulis

Th. Joko Krismanto


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .... iii

HALAMAN PENGESAHAN .... iv

HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN .......... v

HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vi

ABSTRAK .. vii

ABSTRACT viii

KATA PENGANTAR ............ ix

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... xii

DAFTAR ISI .............. xiii

DAFTAR GAMBAR ... xv

BAB I. PENDAHULUAN . 1

1.1. Latar Belakang ...... 1

1.2. Perumusan Masalah .. 2

1.3. Batasan Masalah ... 2

1.4. Tujuan Penelitian .. 3

1.5. Manfaat Penelitian ....... 3

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ........ 3

BAB II. DASAR TEORI ....... 5

2.1. Hukum Kepler ... 5

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ...... 8

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet .. 13

2.4. Sistem Gerak Dua Planet ......................................................... 18

2.5. Polinomial Legendre . 20

BAB III. METODE PENELITIAN 22


xiv

3.1. Jenis Penelitian .. 22

3.2. Sarana Penelitihan . 22

3.3. Langkah-Langkah Penelitihan .. 22

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ..... 23

4.1. Sistem Dua Planet .. 23

4.2. Bentuk Lintasan Planet ..... 34

4.3. Pembahasan .. 41

BAB V. PENUTUP ........ 44

5.1 Kesimpulan ..... 44

5.2 Saran ... 44

DAFTAR PUSTAKA ... 45

LAMPIRAN

Lampiran A . 46

Lampiran B . ... 55

Lampiran C . 56


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet 5

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu t 6

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet 19

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi 23

Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut 012 0= 35
















xvi












BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat

jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet

yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum

Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu

sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah

berbentuk elips (Sears dkk, 1987).

Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan

antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes

Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan

data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara

matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.

Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan

gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara

tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet

terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips

(Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari

menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai

posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut

aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.

1


2

Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang

interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan

planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan

menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang

mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet

yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut

antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan

dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk

lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).

1.3. Batasan Masalah

Masalah yang diteliti dibatasi pada

1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama.

2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan

energi potensial gravitasi.

3. Sistem dua planet yang berinteraksi.

4. Bentuk lintasan gerak planet sebagai fungsi sudut antar planet.


3

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk

1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik

pusat massa yang sama.

2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh

bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet

dengan menggunakan paket program Maple 10.

1.5. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk:

Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua

planet yang mengorbit titik pusat yang sama.

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian

Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut:

BAB I. PENDAHULUAN

Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan

masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan laporan

penelitian.

BAB II. DASAR TEORI

Dalam Bab II dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak

planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,


4

hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua planet dan

polinomial Legendre.

BAB III. METODE PENELITIAN

Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam

penelitian ini.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk

lintasan planet dan pembahasan.

BAB V. PENUTUP

Bab V menyajikan kesimpulan dan saran.


BAB II

DASAR TEORI

2.1. HUKUM KEPLER

Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang

kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga

dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan

Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya

secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang

kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987).

Hukum Kepler tersebut adalah:

1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan

matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti

kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh dari

matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut

perihelium.

CAB

D

E

Ma

b

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet

5


6

2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang

sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan

AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas

A M B sama dengan C M D.

Mrr

AA

vr

m

rr rr +

t

t

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu . t

Jika jari-jari lintasan planet adalah r dan sudut yang dibentuk selama waktu

adalah t , maka

srA =21

= rr21

= 221 r . (2.1)

Jika , maka 0t 0 , sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

2

0 21lim rA =

,

atau

drdA 221

= . (2.2)


7

3. Rasio kuadrat periode revolusi planet (T ) terhadap kubik dari sumbu elips

( r ) adalah sama untuk seluruh planet :

CrT

=32

. (2.3)

Nilai tetapan C dapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang

gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral.

Jika suatu benda bermassa bergerak melingkar dengan jari-jari m r , maka

periode (T ) adalah

v

rT 2= , (2.4)

dengan adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan

gaya sentrifugal

v

r

vmF2

= . (2.5)

Jika 2rMmGF = dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh

2vr

GM= , (2.6)

dengan adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan

(2.6) akhirnya diperoleh

G

GMr

T 23

2 4= , (2.7)

dengan 22

1110.673,6kgNmG = .

Jadi nilai konstanta (tetapan) pada persamaan (2.3) adalah C


8

GMC

24= . (2.8)

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral

Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem

aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah

hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda

dan , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua

1m

2m )( 12Fr

akan

menimbulkan reaksi pada benda kedua )( 21Fr

yang besarnya sama dan berlawanan

arah dengan )( 12Fr

. Jadi dapat dituliskan

.reaksiaksi FFrr

=

Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik

antar dua buah benda bermassa dan berbanding lurus dengan massa dan

serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (

1m 2m 1m

2m r ) antar dan . 1m 2m

Jika benda bermassa m mengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik

yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu

menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya

yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang

mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton,

gaya yang dialami suatu benda bermassa dengan percepatan adalah Fr

m ar

amF rr= (2.9)

Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis

rrr =r , (2.10)


9

=r

. (2.11)

Perubahan r dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut

dtd

dtrd = , (2.12)

dtdr

dtd

= , (2.13)

Kecepatan radial planet

dtrdrr

dtdr

dtrdvr

+==r

r . (2.14)

Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh

dtdrr

dtdr

dtrd

+=r

. (2.15)

Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh percepatan

planet

222

2

2

2

2

+++

==

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

dtrdarr

r . (2.16)

Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai

ramrrfr

=)( . (2.17)

Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh

+++

= )( 2

22

2

2

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrdmrrf . (2.18)

Dari persamaan (2.18) terikat bahwa

.)( mrf =

2

2

2

dtdr

dtrd , (2.19)


10

dan

0 =

++ 2

2

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dtdrm . (2.20)

Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan

hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial ( rar

)

sedangkan percepatan sudut ( ar ) sama dengan nol.

Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut ( lr

) yang

diberikan oleh

prl rrr

= , (2.21)

dengan rvmprr

= adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke

persamaan (2.21), maka diperoleh

+= .

dtdrr

dtdrmrl r

r

2 += rdtdmrrr

dtdrmr

dtdmr 2= k , (2.22)

sebab dan . 0 = rr kr =

Jika nilai mutlak lr

pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan

(2.19), maka diperoleh

.)( mrf =

32

2

2

2

rml

dtrd . (2.23)

Kecepatan planet sebagai fungsi dari kecepatan sudut diberikan oleh


11

dtd

ddr

dtdr

= , (2.24)

memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan

d

drmr

ldtdr

2= . (2.25)

Dengan memisalkan

r

u 1= , (2.26.a)

maka

duu

dr 21

= , (2.26.b)

sehingga

=

ddu

uu

ml

dtdr

22 1

d

duml

= . (2.27)

Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( ), maka diperoleh t

=

dtdr

dtd

dtrd2

2

dd

ddu

ml

dtd

=

dtd

ddu

ml

dd

=

22

22

2

dud

rml

= . (2.28)

Jika persamaan (2.28) dimasukkan ke persamaan (2.23), maka diperoleh


12

322

2

2

22

2)(rm

ld

udrm

lmrf

=

. (2.29)

Dengan mengganti u

r 1= , maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua

pada persamaan (2.29) menjadi

)1(2222

uf

ulmu

dud

=+

. (2.30)

Sebuah benda bermassa yang berada dalam medan gravitasi mempunyai

energi potensial

m

rkV = , (2.31)

dengan . GMmk =

Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara

matematis

drdVrf =)(

2rk

= , (2.32)

atau

2)1( kuu

f = , (2.33)

memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan

222

lmku

dud

=+

. (2.34)

Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian

berbentuk


13

20 )cos( lmkAu += , (2.35)

dengan A tetapan. Karena r

u 1= dan , maka persamaan (2.35) dapat ditulis

menjadi

00 0=

cos.1

2

mkAlmkl

r+

=

2

. (2.36)

Jika didefinisikan eksentrisitas

mk

Ale2

= , (2.37)

dan

mklr

2

0 = , (2.38)

maka

cos1

0

+=

er

r . (2.39)

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet

Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum

kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi

kinetik (T ) dan energi potensial (V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan

VTE += . (2.40)

Energi kinetik (T ) suatu benda (planet) bermassa ( ) yang mengorbit

benda lain sejauh

m

r sesuai dengan persamaan (2.15) adalah


14

22

2

21

21

mrlrmT += & , (2.41)

dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan

(2.40) menghasilkan

VmrlrmE ++= 2

22

21

21

& . (2.42)

Jadi kecepatan planet ke arah r adalah

= 2

2

22

mrlVE

mr& . (2.43)

Dari kecepatan diperoleh waktu tempuh planet sebagai fungsi dari posisi )(t )(r

22

222rm

lr

GMmE

drdt+

= (2.44.a)

2

22

221mlGMr

mEr

r

drdt+

= (2.44.b)

+

=makr

r

mlGMr

mEr

drrtmin

2

22

22. . (2.44.c)

Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk

persamaan (2.44.c) dengan memisalkan mEa 2= , GMb 2= , dan 2

2

mlc = . Hasil

integral persamaan (2.44.c) adalah


15

+

+

=GM

mEr

mE

GMm

mE

mlGMr

mEr

t24

log22

22

21

23

21

2

22

makr

rmEl

mEGMr

mrE

min

21

3

2

2

22 2442

++ . (2.45)

Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari

persamaan (2.22), yaitu

2mrldtd = . (2.46)

Dengan mengganti r

drdt&

= , persamaan (2.46) menjadi

r

drmr

ld&2

= . (2.47)

Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan

maka diperoleh

=

2222 122

rlmV

lmEr

dr . (2.48)

Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48),

menjadi

+

=2

22

22 ulmku

lmE

du . (2.49)

Dengan memisalkan 1=y , 22lmkf = , 2

2lmEg = , dan , serta

menggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah

GMmk =


16

+

=

2

2

2

21

1)sin(

mkEl

mkul

, (2.50)

dengan adalah tetapan integral (konstanta).

Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi

+

=

2

2

2

21

1cos

mkEl

mkul

. (2.51)

Dengan mengganti kembali r

u 1= , persamaan (2.51) menjadi

++= cos.2111 2

2

2 mkEl

lmk

r , (2.52)

atau

cos.211

.

2

2

2

mkElkm

l

r++

= . (2.53)

Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah

2221

mkEle += . (2.54)

Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka 0=e , sehingga

021 22

=+mkEl , (2.55)

atau


17

02rkE = . (2.56)

Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh

VE21

= . (2.57)

Jadi energi total ( E ) setengah dari nilai energi potensial (V ) untuk planet

yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.

Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh

2422 2

lEm

lkmA += , (2.58)

sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54)

2221

mkEle += .

Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0< e

18

r

GMmE21

= . (2.61)

Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem

dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain

(Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi

2221

mkEle = . (2.62)

2.4 Sistem Gerak Dua Planet

Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi

planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu

adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa

dan yang masing-masing planet terletak di

1m

2m 1rr

dan 2rr

, dengan matahari sebagai

pusat dengan massa M . Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu

massa dan terhadap matahari dengan massa 1m 2m M ditulis

121

2

1 Fdtrdm

rr

= , (2.63)

222

2

2 Fdtrdm

rr

= , (2.64)

Untuk gaya interaksi Fr

yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu

berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat

jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa

M mempunyai gaya sebagai berikut:

121

11 rr

MGmF =r

, (2.65)


19

222

22 rr

MGmF =r

, (2.66)

Jadi momentum sudut gerak relatif massa mengelilingi 1m M (pusat gaya) bernilai

tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997).

Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu

timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung

pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya

yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.

Ditinjau dua planet dan yang mengelilingi pusat massa 1m 2m M yang sama,

kedudukan masing-masing adalah 1rr

dan 2rr

, kedudukan relatif terhadap

adalah

1m

2m 21rr

, maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet

dengan 2112 rrrrrr

+= , 1212 += , dan

12122

12

221 cos.2 rrrrrrrr

+= , (2.67)


20

dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh

12121

2

1 FFdtrdm

rrr

+= , (2.68)

21222

2

2 FFdtrdm

rrr

+= , (2.69)

dengan dan adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara

dengan berlawanan arah maka

12Fr

21Fr

21F 21r 2112 FFrr

= , (Halliday dan Resnick, 1984).

2.5 Polinomial Legendre

Polinomial Legendre didefinisikan sebagai

+

= 42)32)(12(42)3)(2)(1(

)12(2)1(

!1)32)(12()( jjjj xjj

jjjjxjjjx

jjjxP .

(2.70)

Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai:

=

=+ 02

)(21

1j

jj xPh

hxh, .1

21

)13(21)( 22 = xxP , )157063(8

1)( 355 xxxxP += .

(2.72)

Untuk kasus diatas . jjj PP )1()1(,1)1( ==


BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian

studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .

3.2 Sarana Penelitian

Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan

internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum

Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan

gerak planet.

2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar

planet.

3. Menggunakan paket program Maple 10 untuk menghitung (jarak

planet ke

2r

2m M ).

4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik.

5. Menarik kesimpulan.

22


BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Sistem Dua Planet

Persamaan energi dua massa planet dan berinteraksi: 1m 2m

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi

Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis

=1T 211

212

11 21

21

rmlrm +& , (4.1)

1

11 r

kV = , (4.2)

=2T 222

222

22 21

21

rmlrm +& , (4.3)

2

22 r

kV = , (4.4)

21

2121 r

kV = . (4.5)

Energi total sistem dua planet berinteraksi ditulis

212211 VVTVTE ++++= . (4.6)

23


24

Dengan memasukkan persamaan (4.1),(4.2),(4.3),(4.4) dan (4.5) ke persamaan (4.6),

maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi

21

12

2

2

1

12

22

222

22211

212

11 21

21

21

21

rmGm

rMGm

rMGm

rmlrm

rmlrmE +++= && . (4.7)

Jika jarak relatif antara dengan dari persamaan (2.67) dimasukkan ke

persamaan (4.7), maka diperoleh

1m 2m

22

1

12

22

222

22211

212

11 21

21

21

21

rMGm

rMGm

rmlrm

rmlrmE +++= &&

1221

22

21

21

cos.2 rrrr

mGm

+ . (4.8)

Dengan mengeluarkan pada energi potensial relatif antara dengan maka

diperoleh

2r 1m 2m

2

2

1

12

22

222

22211

212

11 21

21

21

21

rMGm

rMGm

rmlrm

rmlrmE +++= &&

122

12

2

12

21

cos.2

1 rr

rr

r

mGm

+

. (4.9)

Jika dimisalkan hrr=

2

1 , maka persamaan (4.9) menjadi

22

1

12

22

222

22211

212

11 21

21

21

21

rMGm

rMGm

rmlrm

rmlrmE +++= &&

[ ] 211222

21 cos.21 + hhr

mGm. (4.10)


25

Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa dan dalam bentuk

polinomial Legendre

1m 2m

22

1

12

22

222

22211

212

11 21

21

21

21

rMGm

rMGm

rmlrm

rmlrmE +++= &&

( )

=

n

jj

j Phr

mGm0

122

21 cos . (4.11)

Dari memisalkan rasio jarak antara massa dan terhadap pusat massa 1m 2m M

diperoleh

21 hrr = , (4.12)

sehingga

21 rhr && = , (4.13)

Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka

diperoleh bentuk kekekalan energi

22

2

12

22

222

2222

21

212

22

1 21

21

21

21

rMGm

hrMGm

rmlrm

rhmlrhmE +++= &&

( )

=

n

jj

j Phr

mGm0

122

21 cos . (4.14)

Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa dan kita dapat

mencari kecepatan dari planet untuk massa

2m

2m


26

++

+

+

= 21

222

22

21

21

22

1

22

121

21

21

21

1 GMmh

GMmrm

lhm

lEmhm

r&

+

= 201221

1)(cosr

PhmGmn

jj

j . (4.15)

Diperoleh kecepatan planet dengan massa dari persamaan energi yaitu interaksi

antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut:

2m

++

+

+

= 21

222

22

21

21

21

22

1

21

21

21

21

21

1 GMmh

GMmrm

lhm

lE

mhm

r&

2

1

201221

1)(cos

+

= rPhmGm

n

jj

j . (4.16)

Dengan memisalkan , Ep =

++=

=

)(cos 120

2121 j

n

j

jPhmGmGMmh

GMmq ,

+=

2

22

21

21

21

21

ml

hmls , dan

21

22

1 21

21

+= mhmz , maka bentuk sederhana persamaan

(4.16) menjadi

2

1

222

2 111

+=r

sr

qpzdt

dr. (4.17)

Dari persamaan (4.17) bentuk integral dari waktu menjadi )(rt

+

= makr

r sqrpr

drrztmin

22

2

22. . (4.18)


27

Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan

(4.18) adalah

[ ]makr

r

sqrprpqprpp

qp

sqrprzt

min

22

221

22 .22log1.

2

+++

+

= .(4.19)

Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa

ditulis

2m

222

22 rm

dtld = . (4.20)

Dengan mengganti 2

2

rdrdt&

= , persamaan (4.20) menjadi

2

22

22

22 r

drrm

ld

&= . (4.21)

Persamaan (4.16) dimasukkan ke persamaan (4.21) diperoleh

++

+

+=

21

222

22

21

21

2

22

2

22

1

22

121

21

21

.21

21

GMmh

GMmrm

lhm

lE

lmr

drmhmd

+

=

21

212

021

1)(cosr

PhmGmn

jj

j

. (4.22)


28

Dengan memisalkan

2

21r

u = , (4.23.a)

maka

222

21 drr

du = , (4.23.b)

. (4.23.c) 22

22 durdr =

Jika persamaan (4.23.c) dimasukkan ke persamaan (4.22), maka diperoleh

++

+

+=

21

22

22

222

22

21

21

22

22

22

22

22

1

22

121

21

21

.21

21

GMmh

GMmlm

rml

hml

lm

lEm

dumhmd

+

=

21

212

021

1)(cosr

PhmGmn

jj

j

. (4.24)

Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian di-

integralkan, maka diperoleh


29

++

+

+=

21

22

222

22

22

21

21

22

22

22

22

22

1

22

12

21

21

.21

21

Mmh

Mml

Gmu

ml

hml

lm

lEm

dumhm

+

=

21

2120

21 )(cos uPhmmn

jj

j

. (4.25)

Dengan memisalkan

+=

2

22

21

21

22

22

21

21

ml

hml

lmA ,

++=

=

n

jj

j PhmmMmh

Mml

GmB

012212

122

22 )(cos ,

dan 22

22

lEm

C = . Maka bentuk sederhana persamaan (4.25) menjadi

++

+=

CBuAu

dumhm

222

22

1

22

12 21

21 . (4.26)

Jika digunakan Lampiran B (B.3), maka penyelesaian untuk persamaan (4.26) adalah

+

+

+=

ACBBAx

Amhm

42sin1

21

21

2

12

1

22

12 , (4.27)


30

+

+

+

+=

21

42

42

2

222221

21

22

1

21

22221

21

22

21

22

12

.21

21.2

sin.

21

21

121

21

Mmh

MmlmG

umhlmlm

mhlmlm

mhm

+

++

+

+++

=

=

21

22

22

22221

21

22

2

01221

012212

122

22

21

21.4)(cos

)(cos

lEmm

hlmlmPhmm

PhmmMmh

Mml

Gm

n

jj

j

n

jj

j

, (4.28)

+

+

+

+=

21

42

42

2

222221

21

22

1

21

22221

21

22

21

22

12

.21

21.2

sin.

21

21

121

21

Mmh

MmlmG

umhlmlm

mhlmlm

mhm

+

++

+

+++

=

=

21

22221

21

22

22

22

2

01221

012212

122

22

.2)(cos

)(cos

mhlmlm

lEmPhmm

PhmmMmh

Mml

Gm

n

jj

j

n

jj

j

, (4.29)

++

++

+

+

+

=

=

2

012212

142

42

2

21

22

22

222221

21

22

1

21

22221

21

22

21

22

1

2

)(cos

.21

21.2

sin.

21

21

21

21

n

jj

j PhmmMmh

MmlmG

Mmh

Mml

Gmum

hlmlm

mhlmlm

mhm

+

++

+

=

21

22221

21

22

22

22

01221

.2

)(cos

mhlmlm

lEm

Phmmn

jj

j

, (4.30)


31

+

+

+

+

+

=

21

42

42

2

21

22

22

222221

21

22

1

21

22221

21

22

21

22

1

2

.21

21.2

sin.

21

21

21

21

Mmh

MmlmG

Mmh

Mml

Gmum

hlmlm

mhlmlm

mhm

++

+

+

=

=

21

22221

21

22

22

22

2

01221

01221

.2)(cos

)(cos

mhlmlm

lEmPhmm

Phmm

n

jj

j

n

jj

j

, (4.31)

+

+

+

+

=

21

42

42

2

122

22

222221

21

22

1

21

22221

21

22

21

22

1

2

.21

21.2

sin.

21

21

21

21

Mmh

MmlmG

hMm

lGmum

hlmlm

mhlmlm

mhm

++

+

++

=

=

21

22221

21

22

22

22

2

01221

012212

.2)(cos

)(cos

mhlmlm

lEmPhmm

PhmmMm

n

jj

j

n

jj

j

. (4.32)

dengan adalah tetapan integral (konstanta).

Dengan memisalkan

+= 2

21 2

121 mhm , (4.33)

+= 222

21

21

22

21

21 m

hlmlm

, (4.34)


32

maka persamaan (4.32) menjadi

)(cos

.41

1.)(cos

2

.)sin(

2

012212

1

22

2

22

2

012212

122

22

2

++

+

+

+

=

=

=

n

jj

j

n

jj

j

PhmmMmh

MmmGEl

uPhmmMm

hMm

lGm

.

(4.35)

Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (4.35) menjadi

++

+

++

=

=

=

2

012212

1

22

2

22

2

012212

122

22

2

)(cos

41

1

)(cos

.2

cos

n

jj

j

n

jj

j

PhmmMmh

MmmGEl

u

PhmmMmh

Mml

Gm

. (4.36)

Jika 2

21r

u = , maka persamaan (4.36) menjadi

22

012212

1

22

2

22

012212

1

22

22

2

cos

)(cos

4

1

)(cos

2

++

++

++

=

=

=

n

jj

j

n

jj

j

PhmmMmh

Mm

mGEl

PhmmMmh

MmGml

r . (4.37)


33

Dengan memisalkan

=N , 22

22.2

GmlK = , 2

22

224mGElL

= , 2

1 Mmh

MmW += , dan

, diperoleh 21mmX =

22

012

012

2

cos

)(cos

1

)(cos

+

++

+

=

=

=

n

jj

j

n

jj

j

PhXW

LN

PhXW

K

r , (4.38)

22

012

2

012

2

cos

)(cos1

1

)(cos1

+

++

+

=

=

=

n

jj

j

n

jj

j

PhWX

WL

N

PhWX

WK

r . (4.39)

Dengan memisalkan WKR = , 2W

LY = , dan WXH = sehingga

22

012

012

2

cos

)(cos1

1

)(cos1

+

++

+

=

=

=

n

jj

j

n

jj

j

PhH

YN

PhH

R

r , (4.40)


34

dengan eksentrisitas

2

012 ]])(cos[1[

=

++= n

jj

j PhH

YNe

. (4.41)

Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada

orbit tertutup dimana energi total sistem ( 0

35


M secara kualitatif untuk sudut 012 0=




36






37






38






39






40






41



4.3 Pembahasan

Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik

memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C

diperoleh nilai pada Lampiran A ( Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai

gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang

berinteraksi untuk berbagai sudut

2r

12 dengan interval . 030

Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik

lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai

jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

012 0=

012 360=

2r 1r 2 dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

00

0180 2 dari sampai .0180 0360


42




012 30=

012 330=

2r 1r 2 dari


00

0180 2 dari sampai .0180 0360


lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan , nilai jarak

kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

012 60=

012 300=

2r 1r 2 dari sampai

dan mengalami penurunan untuk sudut

00

0180 2 dari sampai .0180 0360




012 90=

012 270=

2r 1r 2 dari


00

0180 2 dari sampai .0180 0360




012 120=

012 240=

2r 1r 2 dari


00

0180 2 dari sampai .0180 0360




012 150=

012 210=

2r 1r 2 dari


00

0180 2 dari sampai .0180 0360


43

Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut , nilai jarak

kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

012 180=

2r 1r 2 dari sampai

dan mengalami penurunan untuk sudut

00

0180 2 dari sampai .0180 0360

Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar

4.7 dan gambar 4.8, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut

. Nilai jarak kedua planet yaitu dan

mengalami kenaikan untuk sudut

,150,120,90,60,30,0 00000012 =0180 2r

1r 2 dari sampai dan mengalami

penurunan untuk sudut

00 0130

2 dari sampai serta mengalami kenaikan

kembali untuk sudut

0135 0225

2 dari sampai .0230 0360

Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan

gambar 4.14, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut

. Nilai jarak kedua planet yaitu dan

mengalami penurunan untuk sudut

00000012 360,330,300,270,240,210= 2r

1r 2 dari sampai dan mengalami

penurunan untuk sudut

00 0130

2 dari sampai serta mengalami kenaikan

kembali untuk sudut

0135 0230

2 dari sampai .0235 0360

Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup.

Perubahan sudut ( 12 ) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan

perubahan pada nilai jarak planet dan dengan pusat massa 2r 1r M .


BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah

sebagai berikut:

1. Sudut ( 12 )yang terbentuk antar dua planet dan menyebabkan nilai

eksentrisitas lintasan planet berubah yaitu maksimum saat sudut

( ) dan sudut ( ) dan minimum saat sudut ( ).

1m 2m

012 0=

012 360=

012 180=

2. Jarak planet dengan pusat massa M terjauh pada sudut ( ) saat

sudut ( ).

012 0=

02 180=

3. Interaksi antar planet mempengaruhi bentuk lintasan planet.

5.2 Saran

Saran yang dapat diberikan untuk menyempurnakan dan mengembangkan

tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut

( 2 ) terhadap jarak planet ( dengan pusat massa )r M terkait dengan perubahan

sudut ( 12 ).

44


DAFTAR PUSTAKA

Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2, Jakarta: Erlangga. Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York: McGraw-Hill Book Company. Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing Company. Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga.

Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 6, Jakarta: Erlangga. Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu /kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007).

Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri Singaraja. Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta: Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.

45


LAMPIRAN A

TABEL A

No.1 0 4.078497889 4.208437347 4.3764253422 5 4.08552778 4.215617006 4.3837883553 10 4.106709465 4.237248423 4.4059701024 15 4.142321367 4.273611275 4.4432509715 20 4.19283564 4.392634147 4.4961059756 25 4.258930659 4.392634147 4.5652165477 30 4.34150927 4.476879959 4.6514877328 35 4.441723511 4.579070706 4.7560713559 40 4.561006921 4.700639946 4.88039606910 45 4.701115815 4.843341152 5.02620548111 50 4.864181381 5.009297949 5.19560580212 55 5.052775021 5.201066861 5.39112488413 60 5.269989917 5.421715149 5.61578499514 65 5.519542733 5.674917308 5.87319208515 70 5.805900318 5.965074261 6.16764498216 75 6.134437472 6.29746051 6.50426832217 80 6.511633281 6.678405247 6.88917372818 85 6.945314998 7.115514372 7.32965359219 90 7.444959862 7.617940941 7.83441157220 95 8.022066026 8.196710803 8.41383168221 100 8.690602905 8.865107716 9.08028340722 105 9.467546588 9.639114784 9.84845056823 110 10.37349329 10.53789332 10.7356531324 115 11.43331608 11.58424882 11.7620977325 120 12.67677228 12.80497352 12.9509329826 125 14.13885817 14.23084654 14.3278865227 130 15.85950301 15.89588533 15.9201007928 135 17.88183897 17.83513762 17.7535496829 140 20.24771642 20.07986057 19.8481193930 145 22.98835482 22.64840902 22.2091726331 150 26.10729432 25.53085987 24.8144935932 155 29.55310351 28.66618983 27.5965983133 160 33.18285764 31.9143537 30.4235042634 165 36.72745662 35.03364099 33.0867554635 170 39.78648761 37.68476523 35.31168511

)( 122 r2 )0(2r )30(2r )60(2r

46


47

No.36 175 41.89060808 39.48677608 36.804206237 180 42.64427177 40.12801694 37.3315082638 185 41.89060808 39.48677608 36.804206239 190 39.78648761 37.68476523 35.3116851140 195 36.72745662 35.03364099 33.0867554641 200 33.18285764 31.9143537 30.4235042642 205 29.55310351 28.66618983 27.5965983143 210 26.10729432 25.53085987 24.8144935944 215 22.98835482 22.64840902 22.2091726345 220 20.24771642 20.07986057 19.8481193946 225 17.88183897 17.83513762 17.7535496847 230 15.85950301 15.89588533 15.9201007948 235 14.13885817 14.23084654 14.3278865249 240 12.67677228 12.80497352 12.9509329850 245 11.43331608 11.58424882 11.7620977351 250 10.37349329 10.53789332 10.7356531352 255 9.467546588 9.639114784 9.84845056853 260 8.690602905 8.865107716 9.08028340754 265 8.022066026 8.196710803 8.41383168255 270 7.444959862 7.617940941 7.83441157256 275 6.945314998 7.115514372 7.32965359257 280 6.511633281 6.678405247 6.88917372858 285 6.134437472 6.29746051 6.50426832259 290 5.805900318 5.965074261 6.16764498260 295 5.519542733 5.674917308 5.87319208561 300 5.269989917 5.421715149 5.61578499562 305 5.052775021 5.201066861 5.39112488463 310 4.864181381 5.009297949 5.19560580264 315 4.701115815 4.843341152 5.02620548165 320 4.561006921 4.700639946 4.88039606966 325 4.441723511 4.579070706 4.75607135567 330 4.34150927 4.476879959 4.65148773268 335 4.258930659 4.392634147 4.56521654769 340 4.19283564 4.325179623 4.49610597570 345 4.142321367 4.273611275 4.44325097171 350 4.106709465 4.237248423 4.40597010272 355 4.08552778 4.215617006 4.38378835573 360 4.078497889 4.208437347 4.376425342

)0(2r )30(2r )60(2r)( 122 r

2


48

No.1 0 4.479057202 4.536093318 4.5649547072 5 4.486526364 4.543619503 4.5725092033 10 4.509026562 4.566290709 4.5952653014 15 4.546838125 4.604387077 4.6335029945 20 4.600435791 4.658382914 4.68769636 25 4.670500228 4.728958055 4.7585245247 30 4.757934778 4.817014354 4.8468886248 35 4.863888005 4.923697868 4.953933199 40 4.989782847 5.050427481 5.08107481810 45 5.137353516 5.198931082 5.23003791511 50 5.308691408 5.371290507 5.40289910112 55 5.506301789 5.569996831 5.6021418513 60 5.733173249 5.798017987 5.83072310914 65 5.99286246 6.0588809 6.09215414215 70 6.289596989 6.35677079 6.39059799416 75 6.628399481 6.696650409 6.7309862917 80 7.015236574 7.084402183 7.11915789218 85 7.457195618 7.526995522 7.56202151419 90 7.962691325 8.032680495 8.06774290220 95 8.541701687 8.611205798 8.64595387321 100 9.206027019 9.2740532 9.30797458722 105 9.969555343 10.03466948 10.0670290523 110 10.84849792 10.90865715 10.9384140724 115 11.86152509 11.91385208 11.9395488225 120 13.02967518 13.07015993 13.0897769926 125 14.37581736 14.39893647 14.40970927 130 15.92330827 15.92156619 15.9197664428 135 17.69328821 17.65672074 17.6374286429 140 19.69983911 19.61559383 19.5725140730 145 21.9420854 21.79432394 21.7197703531 150 24.39254248 24.16310011 24.0483550632 155 26.98215577 26.65258208 26.4889185733 160 29.58523203 29.14082162 28.9214524734 165 32.01198151 31.44781024 31.1707341535 170 34.02054802 33.348053 33.01908191

2)( 122 r

)90(2r )120(2r )150(2r


49

No.36 175 35.35846121 34.60921642 34.2436344737 180 35.82933802 35.05221077 34.6733590938 185 35.35846121 34.60921642 34.2436344739 190 34.02054802 33.348053 33.0190819140 195 32.01198151 31.44781024 31.1707341541 200 29.58523203 29.14082162 28.9214524742 205 26.98215577 26.65258208 26.4889185743 210 24.39254248 24.16310011 24.0483550644 215 21.9420854 21.79432394 21.7197703545 220 19.69983911 19.61559383 19.5725140746 225 17.69328821 17.65672074 17.6374286447 230 15.92330827 15.92156619 15.9197664448 235 14.37581736 14.39893647 14.40970949 240 13.02967518 13.07015993 13.0897769950 245 11.86152509 11.91385208 11.9395488251 250 10.84849792 10.90865715 10.9384140752 255 9.969555343 10.03466948 10.0670290553 260 9.206027019 9.2740532 9.30797458754 265 8.541701687 8.611205798 8.64595387355 270 7.962691325 8.032680495 8.06774290256 275 7.457195618 7.526995522 7.56202151457 280 7.015236574 7.084402183 7.11915789258 285 6.628399481 6.696650409 6.7309862959 290 6.289596989 6.35677079 6.39059799460 295 5.99286246 6.0588809 6.09215414261 300 5.733173249 5.798017987 5.83072310962 305 5.506301789 5.569996831 5.6021418563 310 5.308691408 5.371290507 5.40289910164 315 5.137353516 5.198931082 5.23003791565 320 4.989782847 5.050427481 5.08107481866 325 4.863888005 4.923697868 4.9539331967 330 4.757934778 4.817014354 4.84688862468 335 4.670500228 4.728958055 4.75852452469 340 4.600435791 4.658382914 4.687696370 345 4.546838125 4.604387077 4.63350299471 350 4.509026562 4.566290709 4.59526530172 355 4.486526364 4.543619503 4.57250920373 360 4.479057202 4.536093318 4.564954707

2)( 122 r

)90(2r )120(2r )150(2r


50

No.1 0 4.573778766 4.564954707 4.5360933182 5 4.581341845 4.572509203 4.5436195033 10 4.604123674 4.595265301 4.5662907094 15 4.6424042 4.633502994 4.6043870775 20 4.696657337 4.6876963 4.6583829146 25 4.767562219 4.758524524 4.7289580557 30 4.856019503 4.846888624 4.8170143548 35 4.963173312 4.95393319 4.9236978689 40 5.090439513 5.081074818 5.05042748110 45 5.239541394 5.230037915 5.19893108211 50 5.412553954 5.402899101 5.37129050712 55 5.611958265 5.60214185 5.56999683113 60 5.840707862 5.830723109 5.79801798714 65 6.102309124 6.092154142 6.058880915 70 6.400918237 6.390597994 6.3567707916 75 6.741457178 6.73098629 6.69665040917 80 7.129751382 7.119157892 7.08440218318 85 7.572690868 7.562021514 7.52699552219 90 8.078415482 8.067742902 8.03268049520 95 8.656521191 8.645953873 8.61120579821 100 9.318278702 9.307974587 9.274053222 105 10.076844 10.06702905 10.0346694823 110 10.94742076 10.93841407 10.9086571524 115 11.9473015 11.93954882 11.9138520825 120 13.09565964 13.08977699 13.0701599326 125 14.41288043 14.409709 14.3989364727 130 15.91909574 15.91976644 15.9215661928 135 17.63142779 17.63742864 17.6567207429 140 19.55928582 19.57251407 19.6155938330 145 21.69700762 21.71977035 21.7943239431 150 24.01345384 24.04835506 24.1631001132 155 26.4392886 26.48891857 26.6525820833 160 28.85510126 28.92145247 29.1408216234 165 31.0871105 31.17073415 31.4478102435 170 32.91996369 33.01908191 33.348053

2)( 122 r

)180(2r )210(2r )240(2r


51

No.36 175 34.13360513 34.24363447 34.6092164237 180 34.55937887 34.67335909 35.0522107738 185 34.13360513 34.24363447 34.6092164239 190 32.91996369 33.01908191 33.34805340 195 31.0871105 31.17073415 31.4478102441 200 28.85510126 28.92145247 29.1408216242 205 26.4392886 26.48891857 26.6525820843 210 24.01345384 24.04835506 24.1631001144 215 21.69700762 21.71977035 21.7943239445 220 19.55928582 19.57251407 19.6155938346 225 17.63142779 17.63742864 17.6567207447 230 15.91909574 15.91976644 15.9215661948 235 14.41288043 14.409709 14.3989364749 240 13.09565964 13.08977699 13.0701599350 245 11.9473015 11.93954882 11.9138520851 250 10.94742076 10.93841407 10.9086571552 255 10.076844 10.06702905 10.0346694853 260 9.318278702 9.307974587 9.274053254 265 8.656521191 8.645953873 8.61120579855 270 8.078415482 8.067742902 8.03268049556 275 7.572690868 7.562021514 7.52699552257 280 7.129751382 7.119157892 7.08440218358 285 6.741457178 6.73098629 6.69665040959 290 6.400918237 6.390597994 6.3567707960 295 6.102309124 6.092154142 6.058880961 300 5.840707862 5.830723109 5.79801798762 305 5.611958265 5.60214185 5.56999683163 310 5.412553954 5.402899101 5.37129050764 315 5.239541394 5.230037915 5.19893108265 320 5.090439513 5.081074818 5.05042748166 325 4.963173312 4.95393319 4.92369786867 330 4.856019503 4.846888624 4.81701435468 335 4.767562219 4.758524524 4.72895805569 340 4.696657337 4.6876963 4.65838291470 345 4.6424042 4.633502994 4.60438707771 350 4.604123674 4.595265301 4.56629070972 355 4.581341845 4.572509203 4.54361950373 360 4.573778766 4.564954707 4.536093318

2)( 122 r )180(2r )210(2r )240(2r


52

No.1 0 4.479057202 4.376425342 4.208437347 4.0784978892 5 4.486526364 4.383788355 4.215617006 4.085527783 10 4.509026562 4.405970102 4.237248423 4.1067094654 15 4.546838125 4.443250971 4.273611275 4.1423213675 20 4.600435791 4.496105975 4.325179623 4.192835646 25 4.670500228 4.565216547 4.392634147 4.2589306597 30 4.757934778 4.651487732 4.476879959 4.341509278 35 4.863888005 4.756071355 4.579070706 4.4417235119 40 4.989782847 4.880396069 4.700639946 4.56100692110 45 5.137353516 5.026205481 4.843341152 4.70111581511 50 5.308691408 5.195605802 5.009297949 4.86418138112 55 5.506301789 5.391124884 5.201066861 5.05277502113 60 5.733173249 5.615784995 5.421715149 5.26998991714 65 5.99286246 5.873192085 5.674917308 5.51954273315 70 6.289596989 6.167644982 5.965074261 5.80590031816 75 6.628399481 6.504268322 6.29746051 6.13443747217 80 7.015236574 6.889173728 6.678405247 6.51163328118 85 7.457195618 7.329653592 7.115514372 6.94531499819 90 7.962691325 7.834411572 7.617940941 7.44495986220 95 8.541701687 8.413831682 8.196710803 8.02206602621 100 9.206027019 9.080283407 8.865107716 8.69060290522 105 9.969555343 9.848450568 9.639114784 9.46754658823 110 10.84849792 10.73565313 10.53789332 10.3734932924 115 11.86152509 11.76209773 11.58424882 11.4333160825 120 13.02967518 12.95093298 12.80497352 12.6767722826 125 14.37581736 14.32788652 14.23084654 14.1388581727 130 15.92330827 15.92010079 15.89588533 15.8595030128 135 17.69328821 17.75354968 17.83513762 17.8818389729 140 19.69983911 19.84811939 20.07986057 20.2477164230 145 21.9420854 22.20917263 22.64840902 22.9883548231 150 24.39254248 24.81449359 25.53085987 26.1072943232 155 26.98215577 27.59659831 28.66618983 29.5531035133 160 29.58523203 30.42350426 31.9143537 33.1828576434 165 32.01198151 33.08675546 35.03364099 36.7274566235 170 34.02054802 35.31168511 37.68476523 39.78648761

2)( 122 r

)270(2r )300(2r )330(2r )360(2r


53

No.36 175 35.35846121 36.8042062 39.48677608 41.8906080837 180 35.82933802 37.33150826 40.12801694 42.6442717738 185 35.35846121 36.8042062 39.48677608 41.8906080839 190 34.02054802 35.31168511 37.68476523 39.7864876140 195 32.01198151 33.08675546 35.03364099 36.7274566241 200 29.58523203 30.42350426 31.9143537 33.1828576442 205 26.98215577 27.59659831 28.66618983 29.5531035143 210 24.39254248 24.81449359 25.53085987 26.1072943244 215 21.9420854 22.20917263 22.64840902 22.9883548245 220 19.69983911 19.84811939 20.07986057 20.2477164246 225 17.69328821 17.75354968 17.83513762 17.8818389747 230 15.92330827 15.92010079 15.89588533 15.8595030148 235 14.37581736 14.32788652 14.23084654 14.1388581749 240 13.02967518 12.95093298 12.80497352 12.6767722850 245 11.86152509 11.76209773 11.58424882 11.4333160851 250 10.84849792 10.73565313 10.53789332 10.3734932952 255 9.969555343 9.848450568 9.639114784 9.46754658853 260 9.206027019 9.080283407 8.865107716 8.69060290554 265 8.541701687 8.413831682 8.196710803 8.02206602655 270 7.962691325 7.834411572 7.617940941 7.44495986256 275 7.457195618 7.329653592 7.115514372 6.94531499857 280 7.015236574 6.889173728 6.678405247 6.51163328158 285 6.628399481 6.504268322 6.29746051 6.13443747259 290 6.289596989 6.167644982 5.965074261 5.80590031860 295 5.99286246 5.873192085 5.674917308 5.51954273361 300 5.733173249 5.615784995 5.421715149 5.26998991762 305 5.506301789 5.391124884 5.201066861 5.05277502163 310 5.308691408 5.195605802 5.009297949 4.86418138164 315 5.137353516 5.026205481 4.843341152 4.70111581565 320 4.989782847 4.880396069 4.700639946 4.56100692166 325 4.863888005 4.756071355 4.579070706 4.44172351167 330 4.757934778 4.651487732 4.476879959 4.3415092768 335 4.670500228 4.565216547 4.392634147 4.25893065969 340 4.600435791 4.496105975 4.325179623 4.1928356470 345 4.546838125 4.443250971 4.273611275 4.14232136771 350 4.509026562 4.405970102 4.237248423 4.10670946572 355 4.486526364 4.383788355 4.215617006 4.0855277873 360 4.479057202 4.376425342 4.208437347 4.078497889

2)( 122 r

)270(2r )300(2r )330(2r )360(2r


24

Tabel B

No. 12 e 1 0 0.8254171182 30 0.8101590483 60 0.7901394314 90 0.7777605795 120 0.7708366946 150 0.7673215667 180 0.7662453518 210 0.7673215669 240 0.770836694

10 270 0.77776057911 300 0.79013943112 330 0.81015904813 360 0.825417118


Lampiran B

Beberapa bentuk integral yang digunakan dalam perhitungan untuk skripsi

ini (Burington, 1948).

Lampiran B.1 ++

++

=++ cbxax

dxab

acbxax

cbxaxdxx

2

2

2 2. .

Lampiran B.2 ( ) ++++=++

cbxaxabaxacbxax

dx 22

.22log1 ,

untuk >0 . a

Lampiran B.3

+

+

=++

42sin1

2

1

2

xx

dx , untuk 1

LAMPIRAN C

Sintaks sistem dua Planet Berinteraksi

> G := 0.0000002 :M := 150 :m1 := 20 :m2 := 40 :l1 := 0.2 :l2 := 0.7 :h := 0.5 :E := 0.00008 :

printevalf

b = 0.5 $

m22 $ l12

m1$ l22 $ h2Cm2

;

print(evalf( a = 0.5 $ (m1$ h2 C m2) ) );print(evalf( X = m1 $ m2) ) ;

print0 evalf0 W = 0M $m1

h 1C M $ m21 1 ;

> b := 33.06122449 :a := 22.500 :X := 800 :W := 12000.00000 :

print0 evalf0 N =b

a1 1 ;

printevalf

K = 2 $ b $ l22

G $m22

;

printevalf H =

XW ;

> N := 1.469387755 :K := 1.012500000 105 :H := 0.06666666667 :

print0 evalf0 R =KW1 1

;

printevalf

L = sqrt(N ) $ 4 $ l22 $ E $ b

G2 $ m22

;

56


57

> L := 9.818682728 107 :

printevalf Y =

LW2

;

for i from 0 by 5 to 360 do

printevalf

Q (i) = >

j = 0

12

0.5j$ LegendreP

(j, evalf(cos(convert( i, units, degrees, radians) ) ) )

;

end do;

> N := 1.469387755 :H := 0.06666666667 :R := 8.437500000 :Y := 0.6818529672 :Q (0 ) ...Q (360) :for i from 0 by 30 to 360 dofor j from 0 by 5 to 360 do

print

evalf

r2[ i, j ] = 0R

(1 CH$ Q (i) ) 11 C

sqrtsqrt(N ) KY

(1 CH$ Q (i) )2

$ evalf(cos(convert( j, units, degrees, radians) ) )

;

end do;end do;


58

> r20, 0...r2360, 360 :for i from 0 by 30 to 360 dofor j from 0 by 5 to 360 doprint(evalf(B(i, j )= [r2[ i, j ]$ evalf(cos(convert( j, units, degrees, radians) ) ) ,

r2[ i, j ]$ evalf(sin(convert( j, units, degrees, radians) ) ) ] ) ) ;end do;end do;

> B(0, 0 ) ...B(360, 360 ) :h := 0.5 :for i from 0 by 30 to 360 dowith(plots) :a := plot( { [h$ seq(B( i, j ) , j = 0 ..360, 5 ) ] }, style= line, color = blue) :b := plot( { [seq(B(i, j ) , j = 0 ..360, 5 ) ] }, style= line, color = red): display( [a, b ] , view= [K43 ..43, K43 ..43 ] ) ;

end do;

> N := 1.469387755 :H := 0.06666666667 :R := 8.437500000 :Y := 0.6818529672 :Q (0 )...Q (360 )for i from 0 by 30 to 360 do

evalf0 e( i) =R

1CH$ Q (i) 1;

end do;


PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( ) TERHADAP 12 … · i PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (q 12) TERHADAP...

Documents

Transcript of PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( ) TERHADAP 12 … · i PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (q 12) TERHADAP...

PERFORMANCE OF HYBRID LEARNING CONTROL …eprints.um.edu.my/4440/1/Vision_based_automatic_steering_control... · (PD) menggunakan sudut dan halaju hub direka bentuk untuk kawalan

Disk Topics: Black Hole Disks, Planet Formation 12 May 2003 Astronomy G9001 - Spring 2003 Prof. Mordecai-Mark Mac Low.

Planet Formation

cahaya dan teleskop - Direktori File UPIfile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/197705012001122... · sudut θ, makin kuat daya pisah teleskopyangbersangkutan. Latihan: ...

MODUL 2: Bahasa Regular dan Ekspresi Regular fileModul 2: Bahasa Regular dan Ekspresi Regular Slide 10 dari 21 Hirarki antar Operator Seperti halnya dalam ekspresi aritmetis, untuk

Momentum Sudut

Trigonometri - SMK SULTAN AGUNG 2 TEBUIRENG JOMBANG · 2020. 7. 29. · Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa ... Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri

Fenomena Permukaan - Official Open Course Ware …ocw.stikom.edu/course/download/2013/05/17-05-2013.10.46...Tegangan Permukaan dan Antar Permukaan Tegangan permukaan terjadi karena

The Giant Planet Playground: Towards the Characterization of …nexsci.caltech.edu/sagan/2014postdocs/birkby_slides.pdf · 2015-12-01 · The Giant Planet Playground: Towards the

Carrefour Planet

PLANET CINEMA Τ10

Semester 2 - andhy07.files.wordpress.com · Sudut – sudut twist drill Sudut α/ sudut bebas = clearance angle Sudut β/ sudut baji = wedge angle Sudut γ/ sudut garuk = rake angle

planet-greece ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

and Libra: A 30d-period planet and a double giant-planet ... · 1Department of Earth and Planetary Sciences, School of Science, Tokyo Institute of Technology, 2-12-1 Ookayama, Meguro-ku

Mike Davis - Planet of Slums (Πλανήτης των Παραγκουπόλεων)

Ukuran Sudut

Planet Raksasa Baru

Disk Topics: Black Hole Disks, Planet Formation

Planet-greece Dt Proslipseis

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( ) TERHADAP 12 BENTUK ...