TT010 Matemática Aplicada II Curso de Engenharia ...· ... O(∆t2)). SOLUÇÃO DA ... Considere

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TT010 Matemtica Aplicada IICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP01, 05 set 2014Prof. Nelson Lus Dias

0

NOME: GABARITO Assinatura:

1 [30] Dada a equao de difuso em coordenadas polares com simetria radial,

t=

D

r

r

(r

r

),

discretize-a, utilizando o esquema de Crank-Nicholson (implcito, O (t2)).

SOLUO DA QUESTO:

n+1i nit

=D

ri

(rr

) i+1/2 (r r ) i1/2r

=D

ri

(ri+1/2

i+1ir

)

(ri1/2

ii1r

)r

=D

ri

[ri+1/2 (i+1 i ) ri1/2 (i i1)

r 2

].

Na expresso acima, mais ou menos bvio que

ri+1/2 =ri + ri+1

2,

ri1/2 =ri + ri1

2.

Entretanto, ns ainda no especicamos os instantes em que as derivadas espaciais so calculadas, e Crank-Nicholsonconsiste em tirar uma mdia dessas entre n e n + 1, para atingir O (t2); portanto,

n+1i nit

=D

2ri

[ri+1/2 (

n+1i+1 n+1i ) ri1/2 (n+1i n+1i1 )

r 2

]+

D

2ri

[ri+1/2 (

ni+1 ni ) ri1/2 (ni ni1)

r 2

]

Continue a soluo no verso =

2 [30] Considere o conjunto V dos pares orde-nados (x ,z), onde x R e z C. Considere ocampo escalar F = C. Se u = (x1,z1) V;v =(x2,z2) V e F, dena as operaes

u +v (x1 + x2,z1 + z2);u ((Re )x1,z1),

onde Re signica parte real. Os 8 axiomasque denem um espao vetorial esto ao lado:verique-os um a um (2,5 pontos para cada ve-ricao: faa todas!), e conclua: V ou no um espao vetorial? (10 pontos para a respostacerta)

u +v = v +u;u + [v +w] = [u +v] +w ;

0 V | u + 0 = u, u V;u V, [u] V | u + [u] = 0;

1u = u, u V; (u) = ( )u, , F,u V;

[u +v] = u + v, F,u,v V;( + )u = u + u, , F,u V.

SOLUO DA QUESTO:

i) Pela comutatividade da soma em R e em C, X.

ii) Pela associatividade da soma em R e em C, X.

iii) Se0 = (0,0 + i0) (x ,z) + (0,0 + i0) = (x ,z) (x ,z). X

iv) Faa u = (x ,z); ento:(x ,z) + (x ,z) = (0,0 + i0). X

v)(1 + i0) (x ,z) = ((Re 1)x , (1 + i0)z) = (x ,z). X

vi) Este aqui mais sutil! Dados 2 nmeros complexos

= ax + iay , = bx + iby ,

teremos = (axbx ayby ) + i(axby + aybx )

Agora,

(u) = (bxx ,z); (u) = (axbxx ,z);( )u = ((axbx ayby )x ,z). 7

V no um espao vetorial. Mas continuamos, pois queremos todos os pontos da questo!

vii)

[u +v] = [(x1,z1) + (x2,z2)] = [(x1 + x2,z1 + z2)] =((Re ) (x1 + x2) + (z1 + z2)) = ((Re )x1,z1) + ((Re )x2,z2). X

viii)

( + )u = ( + ) (x ,z) = ((Re( + ))x , ( + )z) =((Re )x + (Re )x ,z + z) = ((Re )x ,z) + ((Re )x ,z). X

Continue a soluo no verso =

3 [40] Analise a estabilidade do esquema de diferenas

un+1i = uni

ct

x

(uni uni1

);

(von Neumann); conclua sobre sua estabilidade/instabilidade condicional/incondicional.

SOLUO DA QUESTO:Um esquema que conhecido na literatura como indicado por representar melhor o termo advectivo em (??) o

esquema de diferenas regressivas; nesse esquema, chamado de esquema upwind literalmente, corrente acima naliteratura de lngua inglesa, a discretizao utilizada

un+1i unit

= cuni uni1

x,

un+1i = uni Co

[uni uni1

]. (1)

Claramente, estamos utilizando um esquema de O (x ) para a derivada espacial. Ele um esquema menos acurado queos usados anteriormente, mas se ele ao mesmo tempo for condicionalmente estvel e no introduzir difuso numrica,o resultado pode ser melhor para tratar a adveco.

Antes de colocarmos as mos na massa, sabemos que devemos analisar analiticamente a estabilidade do esquema.Vamos a isso:

lea (tn+t )eikl ix = leatn eikl ix Co[leatn eikl ix leatn eikl (i1)x

]

eat eikl ix = eikl ix Co[eikl ix eikl (i1)x

]

eat = 1 Co[1 eiklx

]

eat = 1 Co + Co cos(klx ) iCo sen(klx ). (2)

Desejamos que o mdulo do fator de amplicao eat seja menor que 1. O mdulo (ao quadrado)

eat

2= (1 Co + Co cos(klx ))2 + (Co sen(klx ))2 .

Para aliviar a notao, faamos

Ck cos(klx ),Sk sen(klx ).

Ento,

eat

2= (CoSk )2 + (CoCk Co + 1)2

= Co2S2k + (Co2C2k + Co

2 + 1) + 2(Co2Ck + CoCk Co)= Co2 (S2k +C

2k + 1 2Ck ) + 2Co(Ck 1) + 1

= 2Co2 (1 Ck ) + 2Co(Ck 1) + 1.

A condio para que o esquema de diferenas nitas seja estvel , ento,

2Co2 (1 Ck ) + 2Co(Ck 1) + 1 1,2Co [Co(1 Ck ) + (Ck 1)] 0,

(1 cos(klx )) [Co 1] 0,Co 1

Continue a soluo no verso =

TT010 Matemtica Aplicada IICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 26 set 2014Prof. Nelson Lus Dias

0

NOME: GABARITO Assinatura:

1 [50] Em Matemtica, a funo bxc denida como o maior inteiro menor ou igual do que x . Por exemplo, b4c = 4,b4,7c = 4 e b3,8c = 4. Dada a funo

f (x ) =

x (x 2), 0 < x 1,f (x bxc), 1 < x 0 ou |x | > 1

mostrada abaixo, obtenha sua srie de Fourier trigonomtrica.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

x

SOLUO DA QUESTO:Com a = 0, b = 1, L = 1:

An =2L

ba

f ( ) cos(

2nL

)d

= 2 1

0( ( 2)) cos (2n ) d ;

A0 =43,

An = 1

2n2, n > 0.

Bn =2L

ba

f ( ) sen(

2nL

)d

= 2 1

0( ( 2)) sen (2n ) d ;

= 1n, n > 0.

Portanto:

x (2 x ) = 23+

n=1

[ 12n2

cos(2nx ) 1n

sen(2nx )]

Continue a soluo no verso =

2 [50] Dada a funof (x ) =

x , 0 x 1,0, x < 0 ou x > 1,

calcule a sua transformada de Fourier.

SOLUO DA QUESTO:

f (k ) =1

2

+

xeikx dx

=1

2

10

xeikx dx

= eik (eik ik 1)

2k2

=ikeik + eik 1

2k2

Continue a soluo no verso =

TT010 Matemtica Aplicada IICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP03, 31 out 2014Prof. Nelson Lus Dias

0

NOME: GABARITO Assinatura:

1 [25] Obtenha a matriz adjunta de

0 0 i1 + 2i 1 3i

0 1 i 0

SOLUO DA QUESTO:A transposta

0 1 + 2i 00 1 1 ii 3i 0

A matriz dos conjugados da transposta

0 1 2i 00 1 1 + ii 3i 0

Continue a soluo no verso =

2 [25] Obtenha a funo de Green dedxdt+

et/T

Tx (t ) =

1Tf (t ); x (0) = x0.

SOLUO DA QUESTO:

dxd+

e /T

Tx ( ) =

1Tf ( );

G (t , )dxd+G (t , )

e /T

Tx ( ) = G (t , )

1Tf ( );

=0G (t , )

dxd

d +

0G (t , )

e /T

Tx ( ) d =

1T

0

G (t , ) f ( ) d ;

G (t , )x ( )=0

0x ( )

dGd

d +

0x ( )G (t , )

e /T

Td =

1T

0

G (t , ) f ( ) d .

Neste ponto imponhaG (t ,) = 0.

Prossiga:

G (t ,0)x (0) +

0x ( )

[dG

d+

e /T

TG (t , )

]d =

1T

0

G (t , ) f ( ) d ;

dGd+

e /T

TG = ( t );

G (t , ) = u (t , )v (t , );

u dvdv du

d+

e /T

Tuv = ( t );

u

[dv

d+

e /T

Tv

]v du

d= ( t );

dvv= e /T d(/T ); v (t, )

v (t,0)

dvv=

==0

e /T d(/T );

lnv (t , )

v (t ,0)= 1 e /T ;

v (t , ) = v (t ,0) exp(1 e /T

).

A equao em u

[v (t ,0) exp

(1 e /T

)] dud= ( t );

dud=

( t )[v (t ,0) exp

(1 e /T )] ;

=0

dud

d = =0

( t )[v (t ,0) exp

(1 e /T

)] d ;u (t , ) u (t ,0) = H ( t )

{1[

v (t ,0) exp(1 et/T )]

};

u (t , ) = u (t ,0) + H ( t ){

1[v (t ,0) exp

(1 et/T )]

};

G (t , ) = u (t , )v (t , )

= u (t ,0)v (t ,0) exp(1 e /T

)+

H ( t ){

1[v (t ,0) exp

(1 et/T )]

}v (t ,0) exp

(1 e /T

);

= exp(1 e /T

) [G (t ,0) H ( t )[

exp(1 et/T )]

].

Continue a soluo no verso =

Impomos agora

G (t ,) = 0

G (t ,0) 1[exp

(1 et/T )] = 0;

G (t ,0) =1[

exp(1 et/T )] .

Portanto,

G (t , ) = [1 H ( t )]exp

(1 e /T

)exp

(1 et/T )

Continue a soluo no verso =

3 [25] A equao (que uma equao de Euler)x2y + 2xy + y = 0,

x (0) = 0,x (1) = 0,

um problema de Sturm-Liouville? Por qu? (Ateno: voc tem que justicar.)

SOLUO DA QUESTO: preciso que nos lembremos da forma geral da equao de Sturm-Liouville:

ddx

[p (x )

dydx

]+ q(x )y + w (x )y = 0.

Por inspeo,

ddx

[x2

dydx

]= x2

d2ydx2+ 2x

dydx

Portanto, a equao pode ser escrita como:

ddx

[x2

dydx

]+ y = 0,

x (0) = 0,x (1) = 0,

e este , de fato, um problema de Sturm-Liouville com p (x ) = x2, q(x ) = 0, w (x ) = 1

Continue a soluo no verso =

4 [25] A equao diferencial de Boussinesq modicada

t=

x

(

x

)+ i0