Persamaan Trigonometri 1 PMTK 1A
-
Upload
evia-f-kusmana -
Category
Documents
-
view
204 -
download
10
description
Transcript of Persamaan Trigonometri 1 PMTK 1A
ASSALAMU’ALAIKUM
PEMBAHASAN
Periodesasi Fungsi Trigonometri Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c
Periodesasi Fungsi TrigonometriSecara lebih umum lagi dapat dinyatakan: sin (x + k.2π) = sin x cos (x + k.2π) = cos x tan (x + k.π) = tan x
Dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Sehingga periode untuk sin x, cos x, cosec x, dan sec x adalah 2π atau 360°, periode untuk tan x dan cot x adalah π atau 180°.
• Contoh 1Periode fungsi sin x adalahkarena sin x = sin (x + k.2π)
• Contoh 2
Periode fungsi sin 2x adalah
karena sin 2x = sin (2x + k.2π)
maka, sin 2x = sin 2 (x+ k.π)
• Contoh 3Periode fungsi cos 3x adalahkarena cos 3x = cos (3x + k.2π)
maka, cos 3x = cos 3 (x + k.⅔ π)
• Contoh 4Periode fungsi tan 3x adalahkarena tan 3x = tan (3x + k.180°)
maka, tan 3x = tan 3 (x + k.60°)
• Contoh 5
Periode fungsi sin ⅔ x adalah
karena sin ⅔ x = sin (⅔ x + k. 360°)
maka, sin ⅔ x = sin ⅔ (x + k. 540°)
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa fungsi trigonometri untuk satu atau beberapa sudut ruang yang tidak diketahui.Misal:Sin 2x = ½ (satu fungsi, satu sudut)Sin x cot 2x - ⅙ √3 = 0 (dua fungsi, satu sudut)Sin (x-y) – 1 = 0 (satu fungsi, dua sudut)Sin (x-y) cos (x-y) = ¼ (√3 +2) tan y (tiga fungsi, dua sudut)
Yang dimaksud bentuk dasar persamaan trigonometri adalah persamaan yang berbentuk umum :
( dengan x sudut yang tidak diketahui dan k bilangan real )
Dari bentuk-bentuk tersebut dapat langsung ditemukan x nya. Untuk sin x=k dan cos x = k dapat diselesaikan bila -1≤ k ≤1.
Karena periodiknya fungsi trigonometri maka penyelesaian umum bentuk-bentuk
dasar persamaan pada sebelumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
(1) sin x = sin α → x = α + k.2π
atau x = (π – α)+k.2π khusus sin x = 0 → x = 0 + k.π
(2) cos x = cos α → x = ± α + k.2π khusus cos x = 0 → x = ½ π + k.π
(3) tan x = tan α → x = α + k.π dengan x R dan k bilangan bulat
Contoh soalTentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut, untuk 00 x 3600 :
a. sin xo = 32
1 b. sin (x+30)o – 1 = 0
JawabJawab
a. sin xo =
sin x =sin (– 600 ) x2 = 180 – (– 600 )+ k. 360 x1 = (– 600 )+ k. 360 atau
k = 0 x = – 600 ( tdk. memenuhi )
k = 1 x = 3000
k = 2 x = 6600 ( tdk. memenuhi )
k = 0 x =2400
x2 = 2400 + k. 360
k = 1 x =6000
Jadi, Harga x yang memenuhi = 2400 atau 3000
( tdk. memenuhi )
32
1
b. sin (x+30)o – 1 = 0
sin (x+30)sin (x+30)o o = 1 = 1
sin (x+30)sin (x+30)o o = = sin 90sin 90o o
x1 +300=900 + k. 360x1 =600 + k. 360
atau
x2 = 600 + k. 360
k = 0 x = 600
( tdk. memenuhi )k = 1 x = 4200
k = 2 x = 7800 ( tdk. memenuhi )
Jadi, Harga x yang memenuhi = 600
x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360
b. sin (x+30)o – 1 = 0
sin (x+30)sin (x+30)o o = 1 = 1
sin (x+30)sin (x+30)o o = = sin 90sin 90o o
x1 + 300=900 + k. 360x1 =600 + k. 360
atau
x2 = 600 + k. 360
k = 0 x = 600
( tdk. memenuhi )k = 1 x = 4200
k = 2 x = 7800 ( tdk. memenuhi )
Jadi, Harga x yang memenuhi = 600
x2 +300= 180 –(900 )+ k. 360
Contoh SoalTentukan Himpunan Penyelesaiannya :
cos 3xo = 32
1untuk 00 x 3600
JawabJawab
( tdk. memenuhi )x = –100
x = 1100 x = 2300
k = 0 x = 100 k = 1 x = 1300
k = 2 x = 2500
k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 x = 3500
3x1 = 300 + k. 360 atau 3x2 = –300 + k. 360
x1 = 100 + k. 120 atau x2 = –100 + k. 120
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah =
{100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }
cos 3x = cos 300
cos 3x = 32
1
cos 3xo =
cos 3x = cos 300
3x1 = 300 + k. 360
32
1
atau 3x2 = –300 + k. 360
Contoh Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaiannya :
tan 2xo = 3 untuk 00 x 3600
Jawab :Jawab :
tan 2xo = 3
tan 2x = tan 600
2x1.2 = 600 + k. 180
x1.2 = 300 + k. 90
k = 0 x = 300 k = 1 x = 1200 k = 2 x = 2100 k = 3 x = 3000
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah ={300 , 1200 , 2100 , 3000 }
Persamaan Berbentuk
sinpx = a, cospx = a dan tanpx = adiselesaikan dengan cara mengubah kepersamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri
Contoh 1:
Himpunan penyelesaian sin 3x = ½, 0° x 180°
Jawab: sin 3x = sin 30° maka • 3x = 30° + k.360°
x = 10° + k.120° k = 0 x = 10° k = 1 x = 10° + 120° = 130°
• 3x = (180 - 30) + k.360° 3x = 150° + k.360° x = 50° + k.120°
k = 0 x = 50°k = 1 x = 50° + 120° = 170°Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}
Contoh 2:
Himpunan penyelesaian cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 x 2π
Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π
• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π x = -¾π + ¼π + 2k.π x = -½π + 2k.π k = 1 x = -½π + 2π = 1½π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π x = -¾π - ¼π + 2k.π x = -π + 2k.π k = 1 x = -π + 2π = π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1½π, π }
Contoh 3:
Himpunan penyelesain tan ⅓x = √3, 0° x 2π
Jawab: tan⅓x = tan ⅓π ⅓x = ⅓π + 2k.π x = π + 6k.π k = 0, x = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π }
Contoh 4:
Himpunan penyelesaian 2cos x + 1= 0 , 0° x 360°
Jawab: 2cosx + 1 = 0 2cosx = -1 cosx = -½
x = 120°, 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°}
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan ini pada dasarnya seperti aljabar, yaitu:
Diingat bahwa untuk melogaritmakan suku-suku yang berperan adalah kelompok rumus Identitas
• Contoh soalTentukan HP dari sin 3 x + sin x – sin 2x = 0untuk 0° ≤ x ≤ 360° .Jawab: sin 3 x + sin x – sin 2x = 02 sin 2x cos x – sin 2x = 0sin 2x (2 cos x – 1) = 0sin 2x = 0 → 2x = 0 + n.180° → x = 0 + n. 90°
2 cos x – 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 60 + n. 360°
Maka HP: {0°, 60°, 90°, 180°, 270°, 300°, 360°}
Contoh soalcos 3x + cos 2x + cos x = 0 , 0°≤x≤360°. tentukan HP?Jawab:cos 3x + cos 2x + cos x = 02 cos 2x cos x + cos 2x = 0cos 2x (2 cos x + 1) = 0cos 2x = 0 → 2x = 90 + n.180 → x = 45 + n. 90°
2 cos x + 1 = 0 → cos x = ½ → x = ± 120 + n. 360° Maka HP: {45°, 120°, 135°, 225°, 240°, 315°}
Contoh soal : Selesaikan tan 2x + tan x= tan 3x, 0° ≤ x ≤ 360°
Jawab: tan 2x + tan x - tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x) – tan 3x = 0 tan 3x (1 – tan 2x . tan x – 1) = 0 tan 3x tan 2x tan x = 0 tan 3x = 0 → 3x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.60 °
tan 2x = 0 → 2x = 0 + n.180 ° → x = 0 + n.90 °
tan x = 0 → x = 0 + n. 180 °
Maka HP: {0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 270°, 300°, 360°}
Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri
• Bentuk Umum:a sin²x + b sin x + c = 0a cos²x + b cos x + c = 0a tan²x + b tan x + c = 0
Persamaan Trigonometriyang berbentuk persamaan kuadrat
dalam sin, cos atau tan
Langkah-langkahnya:
1. Langsung difaktorkan bila sudah berbentuk persamaan kuadrat dalam sin ,cos atau tan.
Langkah ke-2
2. Bila belum berbentuk persamaan
kuadrat dalam sin ,cos atau tan,
ubah dulu ke bentuk persamaan
kuadrat dalam sin, cos atau tan,
dengan menggunakan:
1. Rumus trigonometri sederhana
2. Rumus trigonomteri sudut rangkap
Rumus Pendukung
• Rumus-rumus pendukung untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini terutama dengan rumus Identitas, seperti:(1) sin 2x = 2 sin x cos x(2) cos 2x = cos²x - sin²x= 2 cos²x – 1
= 1- 2 sin²x(3) tan 2x = 2 tan x
1-tan²x
Contoh 1:
Himpunan penyelesaian dari2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0° x 360°
Jawab:
2sin2x + 3sinx – 2 = 0(2sinx – 1)(sinx + 2) = 02sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0• 2sin x – 1 = 0 2sinx = 1 sinx = ½
Lanjutan
sinx = ½ sinx = sin 30°
x = 30° + k.360°
k = 0 x = 30°
x = (180° – 30°) + k.360°
x = 150° + k.360°
k = 0 x = 150°
• Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2
tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jadi, Hp = { 30°, 150°}
Contoh 2:
Himpunan penyelesaiancos2x + 2cosx = 3, 0° x 360° Jawab: cos2x + 2cosx = 3
cos2x + 2cosx – 3 = 0 (cosx + 3)(cosx – 1) = 0
• cosx + 3 = 0 cosx = -3 tidak ada harga x yang memnuhi
LANJUTAN
(cosx + 3)(cosx – 1) = 0• cosx - 1= 0 cosx = 1
x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°}
Contoh 3:
Himpunan penyelesaiantan2x – 3 = 0, 0° x 360° Jawab: tan2x – 3 = 0
(tanx + √3)(tan - √3) = 0• tanx + √3 = 0 tanx = -√3
x = 120°, 300°
LANJUTAN
(tanx + √3)(tan - √3) = 0 tanx - √3 = 0 tanx = √3 x = 60°, 240°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°}
Contoh 4:
Himpunan penyelesaiancos2x – sinx = 1, 0° x 360° Jawab: cos2x – sinx = 1
1 - 2sin2x – sinx = 1 sinx(- 2sinx – 1) = 0 sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0
• sin x = 0 x = 0°, 180°, 360° • -2sinx – 1 = 0 -2sinx = 1
LANJUTAN -2sinx – 1 = 0
-2sinx = 1 sinx = -½
x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}
Contoh 5:
Himpunan penyelesaiancos2x – 3cosx + 2 = 0, 0° x 360° Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0
2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (2cosx – 1)(cosx – 1) = 0
• 2cosx – 1 = 0 2cosx = 1 cosx = ½
LANJUTAN
(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0 cosx = ½ x = 60°, 300°
cosx – 1 = 0 cosx = 1 x = 0°, 360°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°}
Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c• Untuk menyelesaikan persamaan
a cos x + b sin x = c,c diubah menjadi bentuk k cos (x – α),dengan cara:
• a cos x + b sin x = k cos (x – α), k > 0
k (cos x cos α + sin x sin α)
k cos x cos α + k sin x sin α
k cos α . cos x + k sin α . Sin x
maka: k cos α = a tan α = b
k sin α = b a
Lanjutan
k² cos²α = a²k² sin²α = b² +k² (cos²α + sin²α) = a² + b²
k² = a² + b²k = √a² + b² → k tertentu
karena k > 0, letak α ditentukan oleh cos α dan sin α, yaitu tanda a dan b.
Contoh :Selesaikan 3 cos x + 4 sin x = 2Jawab :a = 3, b = 4, c = 2k cos (x – α) = c → k = √a²+b²
= √3²+4² = √25 = 5 tan α = =
α = 53,8°
a
b
3
4
LANJUTAN
k cos (x – α) = c5 cos (x – 53,8 °) = 2Cos (x – 53,8 °) = 0,4X – 53,8 ° = 66,25° + n . 360°X1 = 66,25° + 53,8° + n . 360°
X1 = 119,33° + n . 360°
X2 = - 66,25° + 53,8° + n . 360°
X2 = 346,43° + n . 360°
Latihan Soal1. Himpunan penyelesaian persamaan dari
cos x + sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …A. {15°, 255°} D. {75°, 315°}B. {30 °, 255°} E. {105°, 345°}C. {60° , 180°}
2. Diketahui persamaan 2 sin2x + 5 sinx – 3 = 0 untuk -90° ≤ x ≤ 90°, nilai cos x adalah …A. D. B. E.C.
32
1
32
1
2
1
22
1
2
1
22
3. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0° < x < 360°
himpunan penyelesaiannya adalah … A. {135°, 315°} D. {75°, 315°}B. {60 °, 255°} E. {30° , 180°}C. {105°, 345°}
4. Bentuk (-cos x - sin x) dapat diubah menjadi bentuk …A. 2 cos (x - π) D. -2 cos (x - π )
B. 2 cos (x + π) E. 2 cos (x - π )
C. 2 cos (x + π)
3
4
3
4
6
7
3
1
6
7
3
5. Himpunan penyelesaian sin4x + sin2x = 0, untuk 0° x 360° adalah …A. {45°, 135°, 150°, 240°, 330°, 360°}B. {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}C. {30°, 135°, 150°, 270°, 300°}D. {60°, 120°, 150°, 270°, 360°}E. {45°, 120°, 180°, 240°, 330°, 360°}
Kunci jawaban Latihan Soal1.E 4. A2.E 5. B3.A