Permutaciones. 0.5%. -...
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Engrape aqu´ ı No doble ´ Algebra III. Tarea 2. Variante α. Permutaciones. Nombre: Calificaci´ on ( %): Esta tarea vale 10 % de la calificaci´ on parcial. Ejercicio 1. 0.5 %. Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despu´ es de cada multiplicaci´ on compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos. ϕ = 1 2 3 4 5 6 4 5 1 3 6 2 , ψ = 1 2 3 4 5 6 2 1 5 4 6 3 , χ = 1 2 3 4 5 6 3 4 6 2 1 5 . Ejercicio 2. 0.5 %. Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despu´ es de cada multiplicaci´ on compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos. ϕ = 1 2 3 4 5 6 7 2 6 3 1 4 7 5 , ψ = 1 2 3 4 5 6 7 5 3 7 6 2 1 4 . Ejercicio 3. 0.5 %. Calcule ϕ -1 , ψ -1 , ψ -1 ϕ -1 , ϕψ, (ϕψ) -1 . Despu´ es de cada operaci´ on haga la comprobaci´ on de los signos. ϕ = 1 2 3 4 5 6 2 6 1 5 3 4 , ψ = 1 2 3 4 5 6 3 6 1 2 5 4 . Tarea 2, variante α, p´ agina 1 de 3
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No
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Algebra III. Tarea 2. Variante α.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 1 3 6 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 6 2 1 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 6 3 1 4 7 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 7 6 2 1 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 6 1 5 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 1 2 5 4
).
Tarea 2, variante α, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 1 3 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,5 y τ6,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,5, τ4,5ϕ, ϕτ6,7,τ6,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 6 5 3 7 1 4
).
Tarea 2, variante α, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 1, 4), ψ = c(4, 6, 2, 3). B.) ϕ = c(4, 7, 6), ψ = c(6, 8).
C.) ϕ = c(3, 5, 1, 7, 2, 6), ψ = c(6, 7). D.) ϕ = c(7, 3, 1, 4, 8), ψ = c(8, 7).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,3.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 6 4 7 3 8 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 7 6 3 4 5 8
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 5 9 7 3 2 8 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a4, a5, a8, a3, a1, a7, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a1, a2, a3, a5, a4, a6, a8).
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Algebra III. Tarea 2. Variante β.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 5 6 2 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 2 6 5 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 5 6 2 3 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 1 2 5 7 4 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 5 3 6 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 1 6 2 3
).
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Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 1 2 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,3 y τ6,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,3, τ2,3ϕ, ϕτ6,7,τ6,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 3 2 1 6
).
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Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(3, 8, 1, 2), ψ = c(2, 5, 6). B.) ϕ = c(5, 3, 8, 1), ψ = c(1, 2).
C.) ϕ = c(2, 4, 8, 6, 3, 7, 5), ψ = c(5, 6). D.) ϕ = c(3, 2, 8, 4, 5), ψ = c(5, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ7,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 7 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 4 5 2 8 1 6 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 8 3 1 6 5 4
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 9 4 2 5 7 8 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a5, a7, a3, a6, a2, a8, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a6, a4, a1, a8, a2, a3, a7).
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Algebra III. Tarea 2. Variante 1 AJAS.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 4 6 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 4 5 6 3 1
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 6 3 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 6 4 5 1 7 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 3 5 6 7 4 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 4 1 2 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 2 6 4 1
).
Tarea 2, variante 1 AJAS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,6 y τ2,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,6, τ1,6ϕ, ϕτ2,4,τ2,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 5 3 6 1 7 2
).
Tarea 2, variante 1 AJAS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 3, 4, 5), ψ = c(5, 2, 8, 6). B.) ϕ = c(5, 3, 1, 6, 7), ψ = c(7, 2).
C.) ϕ = c(8, 7, 6, 5, 2, 4), ψ = c(4, 5). D.) ϕ = c(8, 3, 7, 6, 2, 5), ψ = c(5, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 2 7 5 3 4 6 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 8 1 5 4 6 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 6 7 1 9 2 4 3 5
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a4, a1, a6, a2, a5, a8, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a7, a1, a4, a8, a6, a5, a3).
Tarea 2, variante 1 AJAS, pagina 3 de 3
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Algebra III. Tarea 2. Variante 2 PPAA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 5 2 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 3 4 6 1
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 1 4 5 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 5 6 3 4 7 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 2 6 1 3 7 5
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 4 6 3 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 3 2 6 1
).
Tarea 2, variante 2 PPAA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 1 3 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,5 y τ4,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,5, τ2,5ϕ, ϕτ4,7,τ4,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 3 1 2
).
Tarea 2, variante 2 PPAA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(7, 8, 6), ψ = c(6, 2, 5, 3). B.) ϕ = c(6, 8, 4), ψ = c(4, 2).
C.) ϕ = c(8, 1, 7, 6, 2, 5, 3), ψ = c(3, 6). D.) ϕ = c(7, 4, 8, 6, 1, 2), ψ = c(2, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 2 3 4 6 1 5 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 7 6 8 1 2 5
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 7 5 1 6 8 2 3 9
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a6, a2, a4, a7, a3, a5, a8) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a2, a7, a6, a1, a8, a3, a4).
Tarea 2, variante 2 PPAA, pagina 3 de 3
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Algebra III. Tarea 2. Variante 3 TGC.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 3 6 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 4 1 6 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 6 3 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 3 1 7 2 5 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 2 3 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 4 5 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 1 2 6 3
).
Tarea 2, variante 3 TGC, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 1 4 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,7 y τ3,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,7, τ1,7ϕ, ϕτ3,4,τ3,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 7 4 3 2 6
).
Tarea 2, variante 3 TGC, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(6, 4, 1, 8), ψ = c(8, 7, 3). B.) ϕ = c(4, 6, 1, 5), ψ = c(5, 7).
C.) ϕ = c(5, 8, 1, 6, 7, 3), ψ = c(3, 6). D.) ϕ = c(6, 4, 7, 2, 8), ψ = c(8, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 2 4 7 5 8 3 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 8 6 4 1 3 5
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 5 3 9 8 6 4 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a3, a8, a6, a5, a7, a4, a1, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a3, a8, a7, a2, a5, a4, a6).
Tarea 2, variante 3 TGC, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 4 CSA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 4 1 5 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 4 1 2 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 5 6 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 4 1 3 6 7 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 4 3 1 5 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 4 2 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 1 5 3 2
).
Tarea 2, variante 4 CSA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,6 y τ2,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,6, τ5,6ϕ, ϕτ2,4,τ2,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 4 7 1 2 5 6
).
Tarea 2, variante 4 CSA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 1, 2, 8), ψ = c(8, 3, 6, 7). B.) ϕ = c(6, 3, 4, 5, 1), ψ = c(1, 2).
C.) ϕ = c(7, 3, 6, 2, 8, 1, 4), ψ = c(4, 2). D.) ϕ = c(3, 7, 5, 6, 4), ψ = c(4, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 6 7 5 2 4 1 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 5 4 8 3 2 1 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 7 6 8 3 1 5 9
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a8, a2, a7, a3, a5, a1, a6, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a1, a7, a6, a5, a3, a4, a8).
Tarea 2, variante 4 CSA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 5 BMSD.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 4 6 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 5 2 4 1
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 4 2 5 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 4 5 6 1 3 7
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 1 7 4 2 5 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 6 1 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 2 6 3 4 5
).
Tarea 2, variante 5 BMSD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 1 2 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,7 y τ4,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,7, τ1,7ϕ, ϕτ4,5,τ4,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 1 2 4 7 5 6
).
Tarea 2, variante 5 BMSD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 3, 1), ψ = c(1, 7, 6, 8). B.) ϕ = c(4, 3, 5), ψ = c(5, 7).
C.) ϕ = c(4, 5, 7, 2, 1, 6), ψ = c(6, 2). D.) ϕ = c(8, 2, 6, 5, 7, 4), ψ = c(4, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ3,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 3 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 6 8 7 5 3 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 7 2 1 3 6 4 8
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 8 9 7 4 1 2 5 3
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a4, a1, a2, a3, a8, a5, a6, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a4, a3, a2, a7, a1, a5, a8).
Tarea 2, variante 5 BMSD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 6 DEER.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 5 4 6 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 5 1 3 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 3 6 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 5 3 6 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 1 5 4 7 6 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 4 3 6 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 1 5 4 3
).
Tarea 2, variante 6 DEER, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 1 3 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,5 y τ4,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,5, τ3,5ϕ, ϕτ4,6,τ4,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 7 1 2 3 6 4
).
Tarea 2, variante 6 DEER, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(3, 1, 7, 2), ψ = c(2, 6, 5). B.) ϕ = c(4, 5, 7, 2), ψ = c(2, 3).
C.) ϕ = c(6, 2, 3, 5, 7, 1, 4), ψ = c(4, 5). D.) ϕ = c(8, 2, 5, 7, 4, 1), ψ = c(1, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,4, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 4 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 2 4 1 6 3 7 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 1 7 6 2 4 8 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 5 8 3 7 9 1 6 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a4, a8, a2, a5, a7, a6, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a5, a3, a2, a7, a6, a8, a4).
Tarea 2, variante 6 DEER, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 7 DGGI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 2 6 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 5 3 2 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 2 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 7 4 3 2 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 2 7 3 1 6 5
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 2 6 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 2 5 4 6
).
Tarea 2, variante 7 DGGI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 4 2 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,7 y τ1,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,7, τ3,7ϕ, ϕτ1,5,τ1,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 1 6 5 2 7 3
).
Tarea 2, variante 7 DGGI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 3, 6, 5), ψ = c(5, 7, 1, 8). B.) ϕ = c(6, 7, 2, 8, 5), ψ = c(5, 3).
C.) ϕ = c(4, 7, 1, 2, 8, 3), ψ = c(3, 2). D.) ϕ = c(6, 3, 1, 2, 4), ψ = c(4, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ6,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 4 1 6 5 7 3 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 4 8 7 1 5 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 6 7 5 9 8 4 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a2, a1, a7, a5, a3, a4, a8, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a4, a2, a7, a1, a8, a3, a6).
Tarea 2, variante 7 DGGI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 8 LEE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 3 2 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 1 2 6 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 1 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 3 7 5 1 6 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 6 3 7 1 5 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 2 6 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 3 2 6 4
).
Tarea 2, variante 8 LEE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,5 y τ2,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,5, τ1,5ϕ, ϕτ2,7,τ2,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 1 6 7 4 2
).
Tarea 2, variante 8 LEE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(3, 4, 5), ψ = c(5, 7, 6, 8). B.) ϕ = c(7, 4, 2), ψ = c(2, 6).
C.) ϕ = c(2, 7, 6, 5, 3, 4, 8), ψ = c(8, 5). D.) ϕ = c(2, 5, 7, 3, 8), ψ = c(8, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ6,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 6 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 3 8 6 2 1 7 4
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 7 6 8 4 3 5 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 3 4 8 2 5 1 6 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a2, a7, a3, a5, a4, a8, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a4, a2, a7, a5, a8, a1, a6, a3).
Tarea 2, variante 8 LEE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 9 GDLD.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 2 4 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 5 2 1 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 4 3 2 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 1 2 5 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 4 2 1 5 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 1 3 4 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 5 6 4 2
).
Tarea 2, variante 9 GDLD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ6,7 y τ3,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ6,7, τ6,7ϕ, ϕτ3,4,τ3,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 7 4 1 2 6 5
).
Tarea 2, variante 9 GDLD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 4, 3, 5), ψ = c(5, 2, 6). B.) ϕ = c(5, 2, 6, 7), ψ = c(7, 1).
C.) ϕ = c(8, 3, 2, 7, 1, 6), ψ = c(6, 7). D.) ϕ = c(1, 4, 7, 5, 8, 2), ψ = c(2, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 8 7 2 1 5 3 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 8 4 3 7 2 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5 7 6 9 4 3 2 8
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a2, a3, a7, a8, a5, a6, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a4, a2, a3, a1, a8, a7, a6, a5).
Tarea 2, variante 9 GDLD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 10 TLLB.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 1 6 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 2 1 4 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 5 2 4 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 6 4 1 2 7 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 1 5 7 3 2 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 6 1 3 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 4 1 6 3
).
Tarea 2, variante 10 TLLB, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,7 y τ3,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,7, τ2,7ϕ, ϕτ3,6,τ3,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 3 2 5 1 4
).
Tarea 2, variante 10 TLLB, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 4, 8, 2), ψ = c(2, 3, 1, 7). B.) ϕ = c(8, 6, 7, 2, 1), ψ = c(1, 3).
C.) ϕ = c(2, 7, 1, 3, 6, 4, 8), ψ = c(8, 3). D.) ϕ = c(2, 3, 8, 7, 4, 6), ψ = c(6, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 4 3 6 1 5 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 8 2 7 6 4 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 6 1 4 2 8 3 5 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a3, a4, a2, a1, a8, a7, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a8, a3, a1, a4, a6, a7, a5).
Tarea 2, variante 10 TLLB, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 11 GSLE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 6 4 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 5 4 6 1
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 5 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 3 1 6 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 3 1 5 6 7 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 2 1 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 2 4 6 1
).
Tarea 2, variante 11 GSLE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,5 y τ4,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,5, τ1,5ϕ, ϕτ4,6,τ4,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 1 5 4 3 2
).
Tarea 2, variante 11 GSLE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(7, 8, 6), ψ = c(6, 4, 5, 2). B.) ϕ = c(3, 5, 7), ψ = c(7, 8).
C.) ϕ = c(1, 5, 7, 3, 4, 6), ψ = c(6, 3). D.) ϕ = c(2, 4, 1, 5, 6), ψ = c(6, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 2 8 3 4 6 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 7 8 5 3 6 4
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 4 2 3 8 5 9 1 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a3, a7, a5, a2, a4, a6, a8, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a1, a4, a3, a5, a2, a7, a8).
Tarea 2, variante 11 GSLE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 12 TRI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 4 2 5 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 2 6 3 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 2 1 3 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 3 5 2 6 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 5 6 3 2 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 5 4 2 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 2 1
).
Tarea 2, variante 12 TRI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 2 3 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ6,7 y τ1,3 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ6,7, τ6,7ϕ, ϕτ1,3,τ1,3ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 3 1 2 4
).
Tarea 2, variante 12 TRI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(7, 6, 5, 2), ψ = c(2, 4, 3). B.) ϕ = c(5, 7, 2, 4), ψ = c(4, 6).
C.) ϕ = c(2, 1, 5, 7, 6, 4, 8), ψ = c(8, 7). D.) ϕ = c(6, 4, 5, 1, 7), ψ = c(7, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 6 7 3 5 8 4
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 5 7 1 4 6 3 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 9 6 2 7 4 3 5 8
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a6, a3, a7, a8, a4, a2, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a3, a7, a6, a5, a2, a8, a4, a1).
Tarea 2, variante 12 TRI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 13 LSS.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 5 2 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 4 5 3 1 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 5 6 4 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 7 2 6 4 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 1 4 7 3 2 5
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 6 5 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 4 3 2 1
).
Tarea 2, variante 13 LSS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 3 1 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,5 y τ2,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,5, τ1,5ϕ, ϕτ2,4,τ2,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 1 5 7 2 3 4
).
Tarea 2, variante 13 LSS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 6, 1, 3), ψ = c(3, 5, 8, 4). B.) ϕ = c(6, 2, 3, 4, 5), ψ = c(5, 8).
C.) ϕ = c(3, 7, 4, 2, 5, 8), ψ = c(8, 2). D.) ϕ = c(4, 1, 5, 2, 3, 6), ψ = c(6, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 7 4 3 5 8 6 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 1 8 6 3 5 4
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 7 4 3 2 1 6 5 9
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a4, a1, a3, a5, a8, a2, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a8, a5, a1, a4, a6, a7, a2, a3).
Tarea 2, variante 13 LSS, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 14 RHPA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 6 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 5 1 2 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 1 5 6 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 6 3 1 2 7 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 2 4 3 5 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 1 2 3 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 5 3 1 2
).
Tarea 2, variante 14 RHPA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 1 3 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,7 y τ3,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,7, τ4,7ϕ, ϕτ3,6,τ3,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 1 3 5 7 2 6
).
Tarea 2, variante 14 RHPA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(3, 8, 5), ψ = c(5, 4, 7, 2). B.) ϕ = c(1, 2, 5), ψ = c(5, 4).
C.) ϕ = c(7, 1, 2, 6, 8, 5, 4), ψ = c(4, 6). D.) ϕ = c(2, 8, 5, 6, 3, 7), ψ = c(7, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ3,4, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 3 y 4 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 8 4 3 1 7 6 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 4 3 6 8 2 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 2 4 7 9 6 8 5 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a7, a6, a8, a1, a4, a2, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a2, a1, a3, a6, a5, a4, a8).
Tarea 2, variante 14 RHPA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 15 MME.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 6 3 5 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 1 5 2 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 4 6 1 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 2 6 5 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 7 4 5 2 6 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 5 2 6 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 2 5 4 1
).
Tarea 2, variante 15 MME, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 4 2 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,5 y τ2,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,5, τ4,5ϕ, ϕτ2,6,τ2,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 7 2 5 3 1 6
).
Tarea 2, variante 15 MME, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 4, 7, 6), ψ = c(6, 5, 8). B.) ϕ = c(8, 3, 2, 6), ψ = c(6, 1).
C.) ϕ = c(7, 5, 4, 2, 3, 1), ψ = c(1, 2). D.) ϕ = c(8, 6, 3, 2, 4), ψ = c(4, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,2, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 2 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 6 7 8 5 4 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 7 1 3 8 5 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 1 6 4 9 3 2 8 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a2, a4, a5, a7, a8, a3, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a4, a5, a1, a3, a8, a2, a7, a6).
Tarea 2, variante 15 MME, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 16 MRCK.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 5 2 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 2 5 4 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 3 2 5 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 1 6 4 2 3 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 7 4 1 2 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 2 5 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 5 3 6 2
).
Tarea 2, variante 16 MRCK, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,6 y τ1,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,6, τ4,6ϕ, ϕτ1,7,τ1,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 7 1 2 3 5
).
Tarea 2, variante 16 MRCK, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 7, 6, 3), ψ = c(3, 5, 4, 2). B.) ϕ = c(6, 8, 4, 7, 1), ψ = c(1, 2).
C.) ϕ = c(1, 3, 7, 6, 8, 5, 2), ψ = c(2, 6). D.) ϕ = c(2, 5, 1, 3, 4), ψ = c(4, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ3,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 3 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 7 3 2 4 6 1 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 1 3 8 4 2 5 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 4 3 1 8 6 5 9
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a2, a7, a3, a4, a8, a5, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a5, a1, a6, a7, a4, a8, a3).
Tarea 2, variante 16 MRCK, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 17 RAJA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 2 5 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 6 5 3 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 1 3 4 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 2 6 7 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 3 4 5 6 2 7
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 4 1 3 2
).
Tarea 2, variante 17 RAJA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 1 4 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,3 y τ2,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,3, τ1,3ϕ, ϕτ2,5,τ2,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 2 7 1 4 5 3
).
Tarea 2, variante 17 RAJA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 1, 6), ψ = c(6, 8, 7, 5). B.) ϕ = c(5, 8, 6), ψ = c(6, 1).
C.) ϕ = c(7, 2, 1, 3, 4, 8), ψ = c(8, 3). D.) ϕ = c(4, 3, 6, 7, 5, 2), ψ = c(2, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 7 3 4 6 8 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 6 1 5 4 8 3 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 6 9 3 1 4 5 7 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a4, a3, a8, a2, a1, a7, a6, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a8, a1, a5, a6, a4, a3, a7, a2).
Tarea 2, variante 17 RAJA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 18 RDIDJ.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 5 1 6 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 1 3 4 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 5 6 2 1 4 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 2 7 3 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 2 3 1 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 2 6 3 4
).
Tarea 2, variante 18 RDIDJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 3 1 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,7 y τ2,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,7, τ3,7ϕ, ϕτ2,4,τ2,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 7 1 6 3 4 2
).
Tarea 2, variante 18 RDIDJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 3, 5, 7), ψ = c(7, 4, 8). B.) ϕ = c(8, 4, 3, 7), ψ = c(7, 1).
C.) ϕ = c(6, 8, 2, 1, 5, 4, 3), ψ = c(3, 1). D.) ϕ = c(2, 4, 5, 8, 3, 1), ψ = c(1, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ7,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 7 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ6,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 2 1 6 7 4 3 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 6 8 3 1 2 4 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 9 6 4 2 7 5 8 3
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a1, a8, a6, a5, a4, a3, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a2, a4, a1, a8, a5, a3, a7).
Tarea 2, variante 18 RDIDJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 19 ERE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 3 6 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 6 4 1 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 1 2 4 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 2 3 5 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 1 5 2 3 7 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 2 5 3 6 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 2 6 1 4
).
Tarea 2, variante 19 ERE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 3 1 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,6 y τ1,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,6, τ2,6ϕ, ϕτ1,4,τ1,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 2 7 5 1 3 4
).
Tarea 2, variante 19 ERE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 3, 5, 4), ψ = c(4, 6, 8, 2). B.) ϕ = c(7, 6, 4, 3, 2), ψ = c(2, 8).
C.) ϕ = c(3, 4, 7, 5, 6, 2), ψ = c(2, 5). D.) ϕ = c(7, 5, 8, 4, 2), ψ = c(2, 7).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 1 7 4 8 3 6 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 8 6 5 3 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 3 7 4 9 1 8 2 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a4, a1, a3, a6, a8, a7, a5, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a2, a7, a5, a6, a3, a8, a4).
Tarea 2, variante 19 ERE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 20 UTAV.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 3 5 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 5 2 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 2 1 6 3 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 2 1 3 7 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 1 6 3 7 4 5
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 1 3 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 1 2 5 4
).
Tarea 2, variante 20 UTAV, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 1 4 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,5 y τ6,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,5, τ3,5ϕ, ϕτ6,7,τ6,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 4 6 3 1 2 7
).
Tarea 2, variante 20 UTAV, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 3, 6), ψ = c(6, 1, 5, 2). B.) ϕ = c(4, 3, 6), ψ = c(6, 5).
C.) ϕ = c(7, 1, 5, 2, 6, 3, 4), ψ = c(4, 2). D.) ϕ = c(2, 7, 3, 8, 1), ψ = c(1, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,2, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 2 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 3 2 8 4 1 7 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 1 2 5 8 7 4 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 3 4 6 9 2 8 7 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a7, a5, a2, a3, a8, a4, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a6, a3, a4, a7, a8, a1, a2).
Tarea 2, variante 20 UTAV, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 21 VNDI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 5 1 3 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 5 1 4 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 4 3 6 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 6 1 2 7 4 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 1 4 2 3 5 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 4 6 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 1 2 6 3
).
Tarea 2, variante 21 VNDI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,6 y τ1,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,6, τ2,6ϕ, ϕτ1,5,τ1,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 6 5 2 7 4 1
).
Tarea 2, variante 21 VNDI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 6, 2, 3), ψ = c(3, 1, 8). B.) ϕ = c(3, 7, 5, 1), ψ = c(1, 8).
C.) ϕ = c(1, 7, 4, 2, 8, 3), ψ = c(3, 2). D.) ϕ = c(1, 5, 7, 8, 4, 2), ψ = c(2, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 8 7 1 2 5 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 1 8 5 7 3 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 9 7 4 5 1 8 3 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a4, a3, a5, a1, a2, a8, a7, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a7, a2, a4, a8, a1, a5, a3).
Tarea 2, variante 21 VNDI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 22 VHA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 5 1 2 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 2 6 4 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 4 6 2 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 7 3 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 3 2 6 5 1 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 2 3 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 1 3 6 2
).
Tarea 2, variante 22 VHA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 3 1 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,5 y τ6,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,5, τ2,5ϕ, ϕτ6,7,τ6,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 3 7 6 4 1 5
).
Tarea 2, variante 22 VHA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 6, 7, 4), ψ = c(4, 1, 2, 3). B.) ϕ = c(2, 8, 6, 7, 5), ψ = c(5, 3).
C.) ϕ = c(4, 1, 7, 2, 8, 5, 6), ψ = c(6, 2). D.) ϕ = c(8, 6, 2, 4, 3, 7), ψ = c(7, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 5 7 2 8 1 3 4
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 8 7 4 1 6 5 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 7 5 6 3 8 9 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a4, a8, a3, a1, a6, a2, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a2, a1, a8, a5, a6, a4, a3).
Tarea 2, variante 22 VHA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 23 VMJJ.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 4 5 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 2 6 4 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 5 2 4 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 6 2 7 3 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 1 3 2 7
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 4 6 5 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 4 1 3 5
).
Tarea 2, variante 23 VMJJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 1 4 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,7 y τ4,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,7, τ3,7ϕ, ϕτ4,5,τ4,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 7 4 6 2 1
).
Tarea 2, variante 23 VMJJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 4, 1), ψ = c(1, 8, 5, 7). B.) ϕ = c(5, 1, 8), ψ = c(8, 7).
C.) ϕ = c(1, 5, 8, 2, 3, 4), ψ = c(4, 2). D.) ϕ = c(2, 7, 5, 4, 3), ψ = c(3, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,4, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 4 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 8 5 1 4 6 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 2 6 7 3 4 8 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 7 8 2 6 5 1 3 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a1, a5, a3, a2, a8, a7, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a2, a1, a3, a7, a6, a8, a4).
Tarea 2, variante 23 VMJJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 24 ZPJ.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 4 5 3 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 4 5 6 1 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 4 1 3 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 6 1 2 7 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 1 7 5 6 3 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 5 6 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 4 6 2 5
).
Tarea 2, variante 24 ZPJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 3 1 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ6,7 y τ1,2 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ6,7, τ6,7ϕ, ϕτ1,2,τ1,2ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 1 5 7 2 6 4
).
Tarea 2, variante 24 ZPJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 1, 4, 3), ψ = c(3, 7, 2). B.) ϕ = c(4, 7, 8, 1), ψ = c(1, 3).
C.) ϕ = c(2, 3, 4, 5, 6, 7, 1), ψ = c(1, 5). D.) ϕ = c(7, 6, 3, 4, 8), ψ = c(8, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ6,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 6 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 3 5 4 8 6 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 3 7 2 6 5 8 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 1 3 7 9 2 8 5 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a8, a4, a1, a6, a3, a2, a7, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a3, a2, a8, a4, a5, a6, a1).
Tarea 2, variante 24 ZPJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 25 VOA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 2 3 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 5 2 1 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 6 3 1 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 6 5 2 7 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 3 2 7 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 2 3 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 3 1 2 5
).
Tarea 2, variante 25 VOA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 4 3 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,4 y τ2,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,4, τ1,4ϕ, ϕτ2,5,τ2,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 7 2 1 6 5 3
).
Tarea 2, variante 25 VOA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 2, 3, 5), ψ = c(5, 8, 4, 6). B.) ϕ = c(1, 5, 7, 8, 6), ψ = c(6, 4).
C.) ϕ = c(6, 3, 2, 7, 1, 4), ψ = c(4, 7). D.) ϕ = c(3, 4, 7, 2, 8, 1), ψ = c(1, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,4, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 4 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 7 4 2 1 3 6 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 4 6 2 8 7 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 1 4 6 2 5 7 3
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a8, a1, a4, a2, a6, a7, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a2, a1, a4, a3, a8, a7, a6).
Tarea 2, variante 25 VOA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 26 BFO.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 3 4 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 6 2 1 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 4 1 5 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 7 2 1 6 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 1 5 3 4 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 6 3 5 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 1 3 2 5
).
Tarea 2, variante 26 BFO, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 3 4 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,4 y τ1,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,4, τ3,4ϕ, ϕτ1,5,τ1,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 5 2 3 4 1
).
Tarea 2, variante 26 BFO, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 7, 5), ψ = c(5, 1, 8, 2). B.) ϕ = c(5, 6, 7), ψ = c(7, 3).
C.) ϕ = c(3, 1, 4, 5, 2, 7, 8), ψ = c(8, 5). D.) ϕ = c(7, 6, 8, 1, 2, 3), ψ = c(3, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 7 1 6 8 5 4 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 1 8 6 5 3 2 4
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 9 5 2 8 3 4 7 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a3, a2, a8, a6, a1, a4, a5, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a4, a7, a1, a5, a6, a8, a2, a3).
Tarea 2, variante 26 BFO, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 27 CABN.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 6 4 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 1 6 4 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 1 2 4 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 7 2 3 6 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 2 6 7 4 5 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 3 5 4 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
).
Tarea 2, variante 27 CABN, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,4 y τ1,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,4, τ2,4ϕ, ϕτ1,7,τ1,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 6 1 7 5 2 3
).
Tarea 2, variante 27 CABN, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(6, 4, 1, 3), ψ = c(3, 8, 5). B.) ϕ = c(3, 7, 4, 6), ψ = c(6, 2).
C.) ϕ = c(5, 3, 2, 8, 6, 1), ψ = c(1, 8). D.) ϕ = c(2, 4, 8, 3, 1), ψ = c(1, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 5 3 4 8 6 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 1 2 5 8 6 4 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 5 7 8 9 1 4 3 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a8, a1, a2, a6, a4, a7, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a4, a3, a2, a5, a1, a6, a8).
Tarea 2, variante 27 CABN, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 28 CCOY.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 5 3 4 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 6 1 2 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 4 6 1 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 7 3 5 1 6 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 6 3 2 5 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 3 1 4 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 5 2 1 3
).
Tarea 2, variante 28 CCOY, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 3 2 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,7 y τ1,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,7, τ3,7ϕ, ϕτ1,5,τ1,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 3 1 5 7 4 2
).
Tarea 2, variante 28 CCOY, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 1, 8, 3), ψ = c(3, 4, 6, 7). B.) ϕ = c(8, 6, 4, 7, 1), ψ = c(1, 5).
C.) ϕ = c(3, 8, 1, 2, 5, 4, 7), ψ = c(7, 2). D.) ϕ = c(7, 6, 1, 2, 4), ψ = c(4, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 7 6 2 5 1 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 4 1 7 6 3 8
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 3 6 9 7 5 1 8
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a3, a2, a7, a8, a6, a4, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a6, a3, a5, a8, a1, a4, a2).
Tarea 2, variante 28 CCOY, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 29 FCIC.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 2 3 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 2 6 1 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 5 4 1 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 6 3 1 2 4 7
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 7 5 2 3 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 2 5 6 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 5 3 2 6
).
Tarea 2, variante 29 FCIC, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 2 4 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,6 y τ2,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,6, τ5,6ϕ, ϕτ2,4,τ2,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 7 1 2 3 6 4
).
Tarea 2, variante 29 FCIC, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 2, 7), ψ = c(7, 1, 4, 8). B.) ϕ = c(5, 7, 6), ψ = c(6, 8).
C.) ϕ = c(1, 5, 2, 4, 3, 6), ψ = c(6, 4). D.) ϕ = c(6, 5, 4, 7, 3, 1), ψ = c(1, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 4 3 2 8 7 1 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 2 6 1 7 8 5 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 3 2 7 6 1 9 8 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a4, a7, a8, a6, a3, a2, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a3, a5, a2, a7, a1, a4, a8).
Tarea 2, variante 29 FCIC, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 30 FMI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 2 3 1 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 1 2 4 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 4 1 3 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 3 7 5 2 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 5 7 3 4 2 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 6 5 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 6 5 4 1
).
Tarea 2, variante 30 FMI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 1 2 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,6 y τ1,3 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,6, τ4,6ϕ, ϕτ1,3,τ1,3ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 6 3 1 5 7 4
).
Tarea 2, variante 30 FMI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 8, 6, 2), ψ = c(2, 3, 7). B.) ϕ = c(3, 1, 4, 6), ψ = c(6, 5).
C.) ϕ = c(5, 7, 8, 3, 4, 1, 6), ψ = c(6, 3). D.) ϕ = c(6, 8, 1, 7, 3, 2), ψ = c(2, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,4, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 4 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 8 6 7 2 5 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 7 1 4 3 2 6 8
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 3 5 6 9 4 8 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a3, a2, a8, a5, a4, a7, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a2, a3, a8, a6, a7, a1, a4).
Tarea 2, variante 30 FMI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 31 FGBE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 4 1 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 4 1 6 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 6 5 2 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 3 7 1 6 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 1 7 2 4 5 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 6 3 4 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 3 2 5 4
).
Tarea 2, variante 31 FGBE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,7 y τ4,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,7, τ2,7ϕ, ϕτ4,5,τ4,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 2 7 5 6 1 4
).
Tarea 2, variante 31 FGBE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 2, 5, 1), ψ = c(1, 6, 3, 7). B.) ϕ = c(6, 3, 8, 2, 4), ψ = c(4, 7).
C.) ϕ = c(6, 1, 7, 4, 8, 3), ψ = c(3, 4). D.) ϕ = c(2, 5, 6, 4, 8), ψ = c(8, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 4 7 5 8 6 2
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 2 4 8 7 3 6 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 7 5 1 3 6 8 9 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a6, a2, a1, a7, a3, a8, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a7, a4, a8, a5, a1, a3, a2).
Tarea 2, variante 31 FGBE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 32 GGD.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 4 6 3 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 2 6 4 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 6 3 2 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 4 6 7 5 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 2 5 6 1 4 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 2 6 5 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 5 4 2 6
).
Tarea 2, variante 32 GGD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,7 y τ4,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,7, τ2,7ϕ, ϕτ4,5,τ4,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 3 4 7 2 1 5
).
Tarea 2, variante 32 GGD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 3, 7), ψ = c(7, 2, 6, 4). B.) ϕ = c(7, 5, 2), ψ = c(2, 8).
C.) ϕ = c(5, 3, 4, 2, 7, 1, 8), ψ = c(8, 2). D.) ϕ = c(6, 8, 2, 4, 5), ψ = c(5, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 5 6 4 8 7 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 8 1 6 7 2 5 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 8 3 2 5 9 1 4 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a3, a8, a2, a6, a4, a7, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a8, a1, a4, a7, a2, a6, a5, a3).
Tarea 2, variante 32 GGD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 33 IMA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 2 4 3 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 2 4 3 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 5 4 3 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 6 2 4 7 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 1 6 5 3 7 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 1 2 6 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 6 1 2 3
).
Tarea 2, variante 33 IMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 2 4 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,7 y τ2,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,7, τ3,7ϕ, ϕτ2,6,τ2,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 1 4 2 5 6 3
).
Tarea 2, variante 33 IMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 7, 8, 5), ψ = c(5, 4, 3). B.) ϕ = c(1, 2, 3, 5), ψ = c(5, 7).
C.) ϕ = c(8, 7, 4, 1, 2, 5), ψ = c(5, 1). D.) ϕ = c(6, 7, 5, 3, 8, 4), ψ = c(4, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,2.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 8 3 6 1 4 5 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 2 5 1 8 7 3 4
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 1 8 3 4 5 9 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a3, a1, a7, a4, a8, a2, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a3, a4, a1, a5, a7, a6, a8, a2).
Tarea 2, variante 33 IMA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 34 JNJ.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 5 2 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 2 3 6 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 6 3 5 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 1 4 5 2 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 4 3 1 2 7 5
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 4 3 6 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 2 4 1 5
).
Tarea 2, variante 34 JNJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,5 y τ4,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,5, τ2,5ϕ, ϕτ4,6,τ4,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 1 2 4 7 5 6
).
Tarea 2, variante 34 JNJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 4, 8, 5), ψ = c(5, 6, 7, 3). B.) ϕ = c(8, 2, 7, 1, 5), ψ = c(5, 3).
C.) ϕ = c(3, 5, 8, 1, 6, 2, 7), ψ = c(7, 1). D.) ϕ = c(1, 3, 6, 2, 7, 8), ψ = c(8, 7).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 1 7 8 3 2 6 4
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 4 3 5 8 2 1 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 9 6 8 4 5 2 3 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a5, a3, a4, a6, a2, a8, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a8, a3, a5, a6, a4, a2, a7).
Tarea 2, variante 34 JNJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 35 JGHE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 5 6 1 4 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 4 6 5 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 2 4 5 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 3 7 5 4 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 2 4 7 6 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 2 4 1 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 4 2
).
Tarea 2, variante 35 JGHE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 3 4 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,6 y τ2,3 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,6, τ5,6ϕ, ϕτ2,3,τ2,3ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 1 7 6 2 4
).
Tarea 2, variante 35 JGHE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 5, 4), ψ = c(4, 8, 7, 2). B.) ϕ = c(2, 6, 3), ψ = c(3, 7).
C.) ϕ = c(3, 1, 6, 2, 8, 5), ψ = c(5, 2). D.) ϕ = c(7, 3, 2, 6, 8), ψ = c(8, 7).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ3,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 3 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 2 7 8 4 6 3 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 7 3 5 6 8 1 4
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 6 4 9 5 7 2 8 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a2, a5, a3, a8, a7, a4, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a1, a8, a7, a4, a2, a5, a3).
Tarea 2, variante 35 JGHE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 36 LHOA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 6 5 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 3 5 2 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 2 5 4 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 7 1 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 3 5 1 6 7 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 2 6 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 4 2 5 6
).
Tarea 2, variante 36 LHOA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,4 y τ3,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,4, τ1,4ϕ, ϕτ3,6,τ3,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 4 7 6 5 1 2
).
Tarea 2, variante 36 LHOA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 4, 3, 7), ψ = c(7, 6, 5). B.) ϕ = c(1, 3, 8, 5), ψ = c(5, 4).
C.) ϕ = c(3, 7, 8, 5, 6, 4, 1), ψ = c(1, 5). D.) ϕ = c(2, 1, 4, 8, 5), ψ = c(5, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 1 6 4 8 7 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 4 3 1 8 7 2 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 6 7 2 4 5 8 1 3
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a2, a8, a7, a4, a6, a3, a5, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a8, a4, a5, a3, a6, a2, a1, a7).
Tarea 2, variante 36 LHOA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 37 MMA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 6 3 4 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 1 5 3 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 4 5 2 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 1 7 5 2 4 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 3 2 1 5 7 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 4 6 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 3 1 4 2
).
Tarea 2, variante 37 MMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 4 2 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,6 y τ2,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,6, τ3,6ϕ, ϕτ2,5,τ2,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 1 6 3 4 7 5
).
Tarea 2, variante 37 MMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 7, 8, 2), ψ = c(2, 5, 1, 3). B.) ϕ = c(8, 4, 2, 5, 6), ψ = c(6, 7).
C.) ϕ = c(3, 4, 5, 8, 6, 1), ψ = c(1, 8). D.) ϕ = c(6, 2, 5, 4, 3, 7), ψ = c(7, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 4 7 1 6 3 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 4 6 8 5 1 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 7 1 5 4 8 9 2 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a5, a8, a6, a4, a1, a2, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a4, a2, a3, a8, a1, a5, a7).
Tarea 2, variante 37 MMA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 38 OCIA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 2 5 4 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 6 4 2 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 5 2 4 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 2 6 1 3 4 5
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 1 6 2 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 5 2 4 1
).
Tarea 2, variante 38 OCIA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,6 y τ1,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,6, τ5,6ϕ, ϕτ1,4,τ1,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 7 5 6 2 4 1
).
Tarea 2, variante 38 OCIA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(3, 8, 7), ψ = c(7, 4, 1, 6). B.) ϕ = c(7, 4, 5), ψ = c(5, 2).
C.) ϕ = c(3, 6, 8, 1, 7, 4, 5), ψ = c(5, 1). D.) ϕ = c(6, 5, 8, 2, 3, 1), ψ = c(1, 3).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ3,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 3 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 2 4 5 3 8 1 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 5 8 2 4 6 3 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 6 4 2 9 8 1 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a2, a1, a6, a4, a8, a3, a5) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a8, a6, a7, a2, a5, a3, a4).
Tarea 2, variante 38 OCIA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 39 PHU.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 4 1 5 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 4 6 5 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 2 5 6 1 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 4 6 7 3 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 3 5 2 7 4 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 6 3 5 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 5 3 1 4 2
).
Tarea 2, variante 39 PHU, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 3 2 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,4 y τ1,3 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,4, τ2,4ϕ, ϕτ1,3,τ1,3ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 3 1 7 2 5 4
).
Tarea 2, variante 39 PHU, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 8, 5, 6), ψ = c(6, 4, 7). B.) ϕ = c(3, 1, 7, 5), ψ = c(5, 4).
C.) ϕ = c(6, 2, 3, 5, 4, 7), ψ = c(7, 5). D.) ϕ = c(1, 8, 7, 6, 2), ψ = c(2, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,2, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 2 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 7 2 8 3 5 6 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 6 8 5 4 3 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 7 9 1 5 6 8 3 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a3, a1, a4, a2, a5, a8, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a5, a8, a3, a6, a7, a2, a4).
Tarea 2, variante 39 PHU, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 40 QMA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 5 3 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 5 1 6 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 5 3 1 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 2 7 1 4 3 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 5 7 2 3 4 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 2 6 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 2 5 3 1
).
Tarea 2, variante 40 QMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 1 4 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,4 y τ1,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,4, τ2,4ϕ, ϕτ1,7,τ1,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 6 3 4 7 2
).
Tarea 2, variante 40 QMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 6, 8, 7), ψ = c(7, 5, 4, 3). B.) ϕ = c(7, 4, 8, 6, 1), ψ = c(1, 2).
C.) ϕ = c(7, 3, 1, 8, 5, 6, 4), ψ = c(4, 8). D.) ϕ = c(7, 5, 4, 6, 2), ψ = c(2, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 1 2 8 7 3 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 7 6 1 3 5 8 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2 1 4 7 8 3 9 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a5, a2, a8, a6, a7, a1, a4, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a7, a5, a4, a3, a1, a6, a8).
Tarea 2, variante 40 QMA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 41 RMAD.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 1 2 3 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 5 3 4 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 2 3 4 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 3 6 5 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 2 7 3 4 1 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 6 2 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 5 1 6 2
).
Tarea 2, variante 41 RMAD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 3 2 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,3 y τ1,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,3, τ2,3ϕ, ϕτ1,4,τ1,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 7 6 3 4 1 5
).
Tarea 2, variante 41 RMAD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(7, 1, 3), ψ = c(3, 5, 2, 6). B.) ϕ = c(7, 4, 8), ψ = c(8, 3).
C.) ϕ = c(2, 5, 6, 8, 1, 4), ψ = c(4, 8). D.) ϕ = c(4, 5, 1, 8, 2, 6), ψ = c(6, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ3,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 3 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 5 7 8 3 1 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 4 3 8 7 5 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 7 1 2 8 4 6 3 5
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a4, a6, a8, a5, a3, a2, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a3, a8, a7, a4, a6, a1, a2).
Tarea 2, variante 41 RMAD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 42 RHI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 6 3 1 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 5 3 4 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 2 4 6 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 1 3 5 6 7 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 4 7 3 5 2 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 2 1 4 3 5
).
Tarea 2, variante 42 RHI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 3 2 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,5 y τ1,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,5, τ4,5ϕ, ϕτ1,6,τ1,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 1 6 3 2 7 5
).
Tarea 2, variante 42 RHI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 7, 2, 5), ψ = c(5, 6, 8). B.) ϕ = c(7, 1, 5, 8), ψ = c(8, 4).
C.) ϕ = c(5, 2, 8, 1, 3, 6, 4), ψ = c(4, 1). D.) ϕ = c(8, 3, 1, 7, 6, 5), ψ = c(5, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 5 3 2 8 7 1 4
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 5 6 3 4 2 7 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 3 5 7 1 8 2 4
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a1, a5, a8, a2, a7, a6, a3, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a3, a4, a8, a1, a5, a7, a6).
Tarea 2, variante 42 RHI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 43 RQEI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 4 5 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 4 2 6 1 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 2 6 4 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 5 1 7 4 2 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 6 5 3 7 2 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 5 2 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 5 1 3 2
).
Tarea 2, variante 43 RQEI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 4 3 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,3 y τ5,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,3, τ2,3ϕ, ϕτ5,7,τ5,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 4 1 2 3 5
).
Tarea 2, variante 43 RQEI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 7, 1, 5), ψ = c(5, 4, 6, 2). B.) ϕ = c(7, 3, 5, 1, 4), ψ = c(4, 6).
C.) ϕ = c(2, 5, 1, 3, 4, 7), ψ = c(7, 3). D.) ϕ = c(5, 6, 7, 3, 8), ψ = c(8, 5).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 1 2 5 3 6 8 4
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 4 2 3 6 5 8 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 6 1 5 4 3 9 8
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a8, a4, a7, a5, a3, a1, a2, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a1, a5, a8, a4, a6, a2, a3).
Tarea 2, variante 43 RQEI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 44 SMS.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 2 5 4 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 4 6 5 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 1 3 6 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 4 1 2 3 6 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 7 3 2 6 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 6 4 5 1 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 2 5 6 1
).
Tarea 2, variante 44 SMS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 3 4 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,5 y τ3,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,5, τ1,5ϕ, ϕτ3,4,τ3,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 7 1 2 5 6 3
).
Tarea 2, variante 44 SMS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(6, 1, 7), ψ = c(7, 2, 5, 3). B.) ϕ = c(7, 3, 5), ψ = c(5, 1).
C.) ϕ = c(1, 5, 8, 3, 2, 4, 6), ψ = c(6, 3). D.) ϕ = c(5, 6, 2, 8, 3), ψ = c(3, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 2 7 8 3 6 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 1 4 8 7 6 3
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 9 6 3 8 1 5 4 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a8, a1, a4, a5, a3, a7, a6, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a5, a6, a8, a4, a1, a7, a3).
Tarea 2, variante 44 SMS, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 45 SBE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 2 6 1 3 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 6 1 5 2
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 6 3 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 5 7 3 2 6 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 6 7 3 2 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 6 2 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 4 1 5 3 6
).
Tarea 2, variante 45 SBE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 4 3 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,5 y τ2,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,5, τ3,5ϕ, ϕτ2,7,τ2,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 3 5 7 6 4 2
).
Tarea 2, variante 45 SBE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 7, 5, 6), ψ = c(6, 8, 3). B.) ϕ = c(2, 7, 8, 3), ψ = c(3, 1).
C.) ϕ = c(4, 6, 3, 2, 7, 8), ψ = c(8, 2). D.) ϕ = c(6, 4, 1, 8, 2, 5), ψ = c(5, 6).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,2, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 2 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 8 5 7 2 4 1
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 8 2 3 4 7 6 5
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 7 8 1 6 4 5 3 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a1, a6, a3, a4, a2, a5, a8) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a8, a5, a3, a2, a4, a7, a1, a6).
Tarea 2, variante 45 SBE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 46 TVE.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 2 1 6 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 4 1 6 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 6 2 4 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 5 3 7 6 2 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 4 6 2 7 1 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 6 5 2 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 1 2 5 4
).
Tarea 2, variante 46 TVE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 3 1 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ2,4 y τ5,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ2,4, τ2,4ϕ, ϕτ5,6,τ5,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 5 7 6 3 1 2
).
Tarea 2, variante 46 TVE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 3, 5, 4), ψ = c(4, 7, 6, 1). B.) ϕ = c(3, 8, 2, 4, 5), ψ = c(5, 6).
C.) ϕ = c(3, 1, 7, 5, 6, 4, 8), ψ = c(8, 5). D.) ϕ = c(2, 7, 5, 6, 1, 4), ψ = c(4, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 1 8 2 4 7 5 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 8 7 6 1 4 3 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 7 8 9 6 1 2 4 5
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a3, a8, a5, a4, a1, a6, a7, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a2, a1, a8, a7, a5, a3, a4, a6).
Tarea 2, variante 46 TVE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 47 VBLA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 3 2 1 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 2 1 4 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 5 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 5 4 1 2 3 7
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 6 1 5 3 7 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 5 6 2 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 6 2 1 4
).
Tarea 2, variante 47 VBLA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,3 y τ5,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,3, τ1,3ϕ, ϕτ5,6,τ5,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 4 2 6 1 7
).
Tarea 2, variante 47 VBLA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 3, 8), ψ = c(8, 1, 2, 5). B.) ϕ = c(8, 7, 3), ψ = c(3, 1).
C.) ϕ = c(1, 7, 3, 5, 8, 2), ψ = c(2, 5). D.) ϕ = c(7, 2, 8, 5, 6), ψ = c(6, 7).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ4,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
3 5 1 2 6 7 4 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 8 3 1 2 6 5 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 8 7 4 1 3 9 5 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a8, a5, a2, a6, a1, a4, a3, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a1, a4, a8, a6, a3, a2, a5, a7).
Tarea 2, variante 47 VBLA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 48 MVA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 6 5 2 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 4 1 6 5
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 6 5 3 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 4 2 6 1 5 7
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 5 7 6 3 4 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 2 3 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 2 1 6 5
).
Tarea 2, variante 48 MVA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 3 4 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,7 y τ3,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,7, τ1,7ϕ, ϕτ3,4,τ3,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 7 1 2 6 4 5
).
Tarea 2, variante 48 MVA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 6, 2, 8), ψ = c(8, 7, 5). B.) ϕ = c(2, 7, 3, 6), ψ = c(6, 5).
C.) ϕ = c(6, 4, 2, 5, 7, 3, 1), ψ = c(1, 5). D.) ϕ = c(7, 3, 4, 2, 8), ψ = c(8, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,4.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 2 4 8 5 3 1 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 5 6 3 7 4 8 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 4 9 3 6 5 2 8 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a5, a6, a2, a4, a8, a1, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a4, a2, a8, a6, a5, a7, a1, a3).
Tarea 2, variante 48 MVA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 49 BMS.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 4 2 5 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 5 6 1 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 4 6 5 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 7 5 6 4 2 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 2 3 1 4 5 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 1 2 5 6 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 4 6 3 1 5
).
Tarea 2, variante 49 BMS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 4 1 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,6 y τ5,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,6, τ4,6ϕ, ϕτ5,7,τ5,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 1 3 7 2 6 5
).
Tarea 2, variante 49 BMS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(2, 4, 7, 3), ψ = c(3, 5, 8, 1). B.) ϕ = c(1, 3, 7, 4, 2), ψ = c(2, 8).
C.) ϕ = c(4, 5, 1, 6, 8, 3), ψ = c(3, 6). D.) ϕ = c(4, 8, 5, 1, 2, 7), ψ = c(7, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,3, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 3 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 2 8 7 1 6 3 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 3 7 8 1 5 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 7 6 3 5 1 8 4 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a7, a4, a6, a2, a5, a1, a3, a8) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a8, a6, a3, a4, a7, a2, a5, a1).
Tarea 2, variante 49 BMS, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 50 CMKD.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 4 5 6 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 4 5 2 1 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 6 2 4 1
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 1 7 6 5 4 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 5 2 3 1 6 4
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 2 5 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 1 5 6 3 4
).
Tarea 2, variante 50 CMKD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 1 4 2
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,6 y τ4,5 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,6, τ3,6ϕ, ϕτ4,5,τ4,5ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
3 6 5 7 4 1 2
).
Tarea 2, variante 50 CMKD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(4, 8, 3), ψ = c(3, 7, 1, 5). B.) ϕ = c(3, 4, 5), ψ = c(5, 1).
C.) ϕ = c(8, 2, 1, 4, 6, 7, 3), ψ = c(3, 4). D.) ϕ = c(3, 6, 7, 8, 4, 2), ψ = c(2, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
5 4 2 6 8 3 1 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 6 5 1 3 4 2 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 2 9 7 3 1 8 6
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a1, a3, a7, a5, a2, a4, a8) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a7, a1, a8, a3, a6, a5, a4, a2).
Tarea 2, variante 50 CMKD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 51 CMJJ.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 6 5 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 6 4 2 1
), χ =
(1 2 3 4 5 6
2 4 6 5 1 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 7 2 3 4 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 4 7 5 3 1 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 2 6 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 1 4 3 2
).
Tarea 2, variante 51 CMJJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
2 3 4 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,2 y τ5,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,2, τ1,2ϕ, ϕτ5,7,τ5,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
6 5 2 4 1 7 3
).
Tarea 2, variante 51 CMJJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(5, 7, 4, 3), ψ = c(3, 1, 8). B.) ϕ = c(2, 3, 4, 5), ψ = c(5, 7).
C.) ϕ = c(8, 1, 3, 7, 5, 2), ψ = c(2, 7). D.) ϕ = c(5, 6, 4, 2, 1), ψ = c(1, 5).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ6,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 6 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ6,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 4 2 3 5 8 1 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 3 2 5 4 7 8 1
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 3 2 9 1 4 7 8
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a4, a2, a8, a5, a1, a6, a3, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a4, a6, a2, a8, a3, a1, a7).
Tarea 2, variante 51 CMJJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 52 GMF.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
1 5 4 2 3 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 2 5 4 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 5 6 4 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 2 5 4 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 2 6 1 4 5 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 3 6 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 1 5 2 3
).
Tarea 2, variante 52 GMF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 4 2 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ4,5 y τ6,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ4,5, τ4,5ϕ, ϕτ6,7,τ6,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 1 7 2 3 6 4
).
Tarea 2, variante 52 GMF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(7, 5, 8, 3), ψ = c(3, 1, 2, 6). B.) ϕ = c(7, 3, 4, 8, 5), ψ = c(5, 6).
C.) ϕ = c(6, 4, 7, 2, 5, 1, 8), ψ = c(8, 2). D.) ϕ = c(1, 3, 8, 7, 4), ψ = c(4, 7).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ6,7, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 6 y 7 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 8 6 4 2 7 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 1 4 8 5 6 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 5 2 9 8 4 6 7
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a4, a8, a2, a7, a5, a1, a3) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a4, a6, a5, a1, a7, a3, a8, a2).
Tarea 2, variante 52 GMF, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 53 HMJI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 6 3 5 1 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 1 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 6 1 5 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 4 2 5 6 7 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 7 6 5 4 1 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 2 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 2 3 6 4 1
).
Tarea 2, variante 53 HMJI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ1,5 y τ4,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ1,5, τ1,5ϕ, ϕτ4,6,τ4,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 4 7 2 6 3 5
).
Tarea 2, variante 53 HMJI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 6, 8), ψ = c(8, 5, 2, 4). B.) ϕ = c(4, 5, 2), ψ = c(2, 3).
C.) ϕ = c(5, 3, 8, 4, 1, 7), ψ = c(7, 4). D.) ϕ = c(5, 6, 2, 8, 7, 3), ψ = c(3, 5).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,8, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 8 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,7.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 5 8 7 1 2 3
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 5 6 2 8 3 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 4 2 8 9 7 3 1 5
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a4, a3, a5, a2, a6, a8, a7, a1) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a4, a3, a2, a8, a7, a1, a6).
Tarea 2, variante 53 HMJI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 54 MCEH.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 2 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 2 4 1 3
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 1 4 2 3
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 2 1 4 5 3
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 6 4 2 7 1
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 5 1 3 2 6
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 1 3 2 4
).
Tarea 2, variante 54 MCEH, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 2 4 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,6 y τ1,3 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,6, τ5,6ϕ, ϕτ1,3,τ1,3ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
4 3 6 1 7 2 5
).
Tarea 2, variante 54 MCEH, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(7, 6, 2, 1), ψ = c(1, 8, 3). B.) ϕ = c(2, 5, 4, 3), ψ = c(3, 1).
C.) ϕ = c(2, 6, 7, 1, 5, 8, 4), ψ = c(4, 1). D.) ϕ = c(5, 8, 1, 6, 4, 2), ψ = c(2, 4).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 6 2 3 4 7 5 8
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
4 7 6 8 5 3 1 2
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 6 8 4 9 1 5 3 2
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a2, a6, a3, a4, a5, a1, a8, a7) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a2, a8, a1, a4, a7, a3, a5).
Tarea 2, variante 54 MCEH, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 55 MHOA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 4 6 2 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 5 6 4 1
), χ =
(1 2 3 4 5 6
5 1 3 2 6 4
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 7 6 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 1 7 4 3 5 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
6 1 2 5 3 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 1 4 6 2
).
Tarea 2, variante 55 MHOA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
4 2 3 1
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,5 y τ4,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,5, τ3,5ϕ, ϕτ4,6,τ4,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 7 6 2 1 4
).
Tarea 2, variante 55 MHOA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(6, 8, 2, 7), ψ = c(7, 1, 4, 5). B.) ϕ = c(5, 7, 3, 6, 8), ψ = c(8, 4).
C.) ϕ = c(5, 3, 4, 2, 1, 7), ψ = c(7, 2). D.) ϕ = c(1, 2, 8, 4, 7), ψ = c(7, 1).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ2,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 2 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ1,2.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 8 5 3 7 1 4 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
7 4 6 1 3 5 2 8
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 4 2 7 6 8 5 3 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a8, a6, a2, a5, a7, a3, a1, a4) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a4, a3, a5, a8, a7, a1, a2).
Tarea 2, variante 55 MHOA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 56 MARA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 3 2 6 4 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
4 2 5 3 1 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 4 5 6 3 2
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 3 2 6 1 5 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 6 2 4 5 1 3
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
2 6 3 4 1 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 1 6 5 4 2
).
Tarea 2, variante 56 MARA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
3 2 1 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,7 y τ4,6 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,7, τ5,7ϕ, ϕτ4,6,τ4,6ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 6 3 7 2 4 5
).
Tarea 2, variante 56 MARA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(1, 4, 2), ψ = c(2, 6, 7, 8). B.) ϕ = c(8, 7, 1), ψ = c(1, 4).
C.) ϕ = c(3, 2, 1, 7, 4, 6, 5), ψ = c(5, 7). D.) ϕ = c(1, 6, 4, 8, 2), ψ = c(2, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ1,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 1 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ3,6.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 5 4 8 7 3 6
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 6 8 5 2 3 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 2 8 6 4 1 7 3 5
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a2, a7, a3, a8, a4, a5, a1, a6) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a6, a2, a3, a7, a1, a8, a4, a5).
Tarea 2, variante 56 MARA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 57 PRI.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 2 4 3 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
2 3 6 5 1 4
), χ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 6 2 4 5
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
1 6 7 2 3 4 5
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 1 5 6 4 3 2
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
3 2 5 6 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
6 4 5 2 3 1
).
Tarea 2, variante 57 PRI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 2 4 3
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ5,6 y τ3,4 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ5,6, τ5,6ϕ, ϕτ3,4,τ3,4ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 1 2 4 7 6
).
Tarea 2, variante 57 PRI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(8, 5, 4, 6), ψ = c(6, 3, 7). B.) ϕ = c(6, 5, 8, 3), ψ = c(3, 4).
C.) ϕ = c(1, 7, 6, 5, 8, 2), ψ = c(2, 5). D.) ϕ = c(2, 5, 3, 8, 6, 7), ψ = c(7, 2).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ4,5, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 4 y 5 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ2,5.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 5 1 4 3 2 8 7
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
8 4 2 6 3 5 1 7
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 2 5 8 9 3 6 7 1
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a6, a4, a5, a7, a3, a8, a1, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a3, a7, a8, a2, a6, a5, a4, a1).
Tarea 2, variante 57 PRI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra III. Tarea 2. Variante 58 RCGA.
Permutaciones.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 10 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 0.5%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cadamultiplicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 2 6 5 1
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
3 5 4 2 1 6
), χ =
(1 2 3 4 5 6
4 3 1 5 2 6
).
Ejercicio 2. 0.5%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del productoes igual al producto de los signos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
7 1 3 5 6 4 2
), ψ =
(1 2 3 4 5 6 7
2 1 4 5 7 3 6
).
Ejercicio 3. 0.5%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de lossignos.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6
5 6 3 2 1 4
), ψ =
(1 2 3 4 5 6
1 3 5 6 4 2
).
Tarea 2, variante 58 RCGA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 1%.En este ejercicio denotamos los elementos de S3 de la siguiente manera:
e =
(1 2 3
1 2 3
), r1 =
(1 2 3
2 3 1
), r2 =
(1 2 3
3 1 2
),
h1 =
(1 2 3
1 3 2
), h2 =
(1 2 3
3 2 1
), h3 =
(1 2 3
2 1 3
).
Llene la tabla de multiplicacion para S3. En la interseccion del renglon ϕ con la columna ψ se escribeel producto ϕψ. Hay que escribir bien todos los calculos.
e r1 r2 h1 h2 h3
r1
r2
h1
h2
h3
Ejercicio 5. 1%.Escriba todas las permutaciones que pertenecen a S4. Calcule sus signos y encuentre el conjunto
A4 := {ϕ ∈ S4 : sgn(ϕ) = 1}.
Ejercicio 6. 1.5%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos deestos productos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.
ψ =
(1 2 3 4
1 3 2 4
).
Ejercicio 7. 1%.Escriba las transposiciones τ3,4 y τ5,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,4, τ3,4ϕ, ϕτ5,7,τ5,7ϕ, donde
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7
5 3 6 4 1 7 2
).
Tarea 2, variante 58 RCGA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.En cada uno de los cuatro incisos escriba ϕ y ψ en forma explıcita, en dos lineas, como permutacionesdel conjunto {1, . . . , 8}, calcule su producto ϕψ y luego escrıbalo en forma cıclica.
A.) ϕ = c(3, 8, 1, 7), ψ = c(7, 5, 2, 6). B.) ϕ = c(2, 8, 4, 5, 6), ψ = c(6, 3).
C.) ϕ = c(5, 7, 1, 4, 2, 8, 3), ψ = c(3, 4). D.) ϕ = c(2, 3, 6, 4, 8, 7), ψ = c(7, 8).
Ejercicio 9. 1%.Escriba ϕ en notacion cıclica y calcule d(ϕ). Calcule el producto ψ := ϕτ5,6, la descomposicion cıclicade ψ y d(ψ). Determine si 5 y 6 pertenecen al mismo ciclo en la descomposicion cıclica de ϕ. Expliquela diferencia entre las estructuras cıclicas de ϕ y ψ. Calcule d(ψ) − d(ϕ). Luego analice de manerasimilar el producto χ := ϕτ5,8.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
6 1 3 2 8 7 4 5
).
Ejercicio 10. 0.5%.Calcule d(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones que contenga exactamente d(ϕ) factores.Haga la comprobacion.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 8 4 7 1 5 3 6
).
Ejercicio 11. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.
ϕ =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 1 4 9 3 5 7 2 8
).
Ejercicio 12. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X8 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, . . . , a8 algunos elementosde X. Exprese a f(a3, a8, a7, a1, a6, a5, a4, a2) como s f(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) con s ∈ {1,−1}.
Ejercicio 13. 0.5%.Haga la tarea del ejercicio anterior para f(a5, a2, a8, a1, a7, a6, a4, a3).
Tarea 2, variante 58 RCGA, pagina 3 de 3
