Ejercicio 1. 1%. Sean R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_matrices_es.pdf ·...

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Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante α.

Operaciones con matrices.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial. En las soluciones de los ejercicios teoricos escribay justifique bien todos los pasos. En las soluciones de los ejercicios numericos escriba todos loscalculos intermedios. Cada ejercicio numerico se califica hasta el primer error. Por ejemplo, silos datos iniciales estan copiados mal, entonces la solucion vale 0 %.

Ejercicio 1. 1%.Sean a, b, c ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres com-ponentes) demuestre que

(a+ b) + c = a+ (b+ c).

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b, c ∈ Rn. Demuestre que

(a+ b) + c = a+ (b+ c).

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

1A = A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R). Demuestre que

1A = A.

Ejercicio 5. 1%.Calcule los productos AB y BC. Luego calcule el producto ABC de dos maneras diferentes:como (AB)C y como A(BC).

A =

−3 0 4 1

3 −4 2 −2−3 −1 2 1

, B =

3 1

2 0

4 −42 1

, C =

[−1 −3−2 −2

].

Tarea 1, variante α, pagina 1 de 4

Ejercicio 6. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

[−1 −5 −51 1 −2

], B =

0 4

−1 2

3 −5

.Ejercicio 7. 0.5%.Calcule los productos AB y BA y sus trazas tr(AB) y tr(BA).

A =

−3 5 −1−4 1 3

−2 4 −5

, B =

0 −3 4

−2 −1 5

3 −4 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz AB+AC de dos maneras diferentes: como (AB) + (AC) y como A(B+ C).

A =

3 −2 1 1

−4 −3 −4 −22 2 −2 −10 −1 1 3

, B =

3 −1 1

−3 −4 −4−1 1 2

0 −2 4

, C =

2 3 −41 −2 0

−1 −2 3

−1 2 −3

.Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

7 1 −6 −5 −4−3 −1 7 −3 −52 −1 3 0 1

, B =

−1 −7 5 −3−4 3 6 6

−1 −5 4 −52 −4 3 1

−6 −2 0 −2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 4A+ 3I, 2) (A− I)(A− 3I), 3) A(A− 4I) + 3I.

A =

−1 1 2

−3 −1 −3−2 1 4

.Ejercicio 11. 0.5%.Calcule los productos AB y BA. Determine si la matriz B es inversa a la matriz A.

A =

4 2 3

3 2 3

0 1 1

, B =

1 −1 0

3 −4 3

−3 4 −2

.


Ejercicio 12. 0.5%.Calcule los productos AB, A1,∗B y AB∗,2.

A =

2 −2 −3 −51 7 1 −22 −7 −1 3

, B =

−6 2 6 2

1 −3 1 0

−1 −4 6 −6−5 −2 −4 −2

.

Ejercicio 13. 1%.Sea A una matriz 2× 3 tal que

A

−5 1

5 2

−4 −2

=

[2 −6

−9 5

].

Calcule los siguientes productos (en este ejercicio no se pide y no se puede hallar la matriz A):

A

−55

−4

, A

1

2

−2

, A

−47

−6

, A

−1−22

.Ejercicio 14. 0.5%.Calcule el producto Ab. Luego recuerde la formula que representa Ab como una combinacionlineal de las columnas de la matriz A y haga la comprobacion.

A =

[4 1 −2

−2 −4 −3

], b =

−54

−1

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

0 4 −2 −1 −3−7 −5 −5 6 −77 5 1 −2 −4

, B =

2 3 −24 −4 −1

−1 −3 −35 −7 0

−2 1 2

.


Ejercicio 16. 1%.Represente el vector b como una combinacion lineal λ1a1+ λ2a2 de los vectores a1 y a2 y hagala comprobacion. Se propone encontrar (adivinar) los coeficientes λ1, λ2 ∈ {−3,−2, . . . , 3}.

a1 =

4

−11

0

, a2 =

−32

−21

, b =

2

−33

−2

.

Ejercicio 17. 0.5%.Escriba cada uno de los siguientes objetos de manera breve. Es obligatorio usar la notacion queestudiamos en clase, o bien la notacion de MATLAB. Escriba precisamente lo que se pide, sinaplicar definiciones u operaciones algunas.

1. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

2. La segunda columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. El cuarto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales −1, 1,−1, 1,−1.

5. La primera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.

Sea A =[Ai,j]3,4i,j=1∈M3,4(R) y sea B =

[Bi,j]4,4i,j=1∈M4,4(R). Exprese las entradas del producto

AB indicadas abajo a traves de entradas deA y B. Primero escriba las sumas de manera explıcita(todos los sumandos), luego en forma breve usando la notacion

∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,2 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,4(R), sea B ∈M4,3(R) y sea C ∈M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(AB)C = A(BC).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea C ∈Mp,q(R). Demuestre que

(AB)C = A(BC).


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Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante β.




Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3 y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

(λ+ µ)a = λa+ µa.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

(λ+ µ)a = λa+ µa.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B)> = A> + B>.

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B)> = A> + B>.


A =

[2 4 2 −2

−2 −3 −1 0

], B =

−3 −1 0

2 3 −21 −1 4

4 2 −4

, C =

−3 −4 1

−1 2 −2−2 −3 3

.

Tarea 1, variante β, pagina 1 de 4


A =

[−3 1 1

−4 −4 −2

], B =

5 −5−3 1

3 1


A =

5 −5 1

−2 4 2

−4 3 −1

, B =

−4 2 −5−1 4 1

−3 3 0


A =

1 −1 −3 1 2

1 4 2 −4 −23 −4 −1 2 −1

, B =

4 −4 0 −24 3 −4 1

4 −3 1 3

3 −1 −3 3

2 −3 4 −4

, C =

1 2 3 3

−3 2 −2 3

−1 −4 1 −4−4 −1 −2 −31 4 1 2

.

Ejercicio 9. 1%.Calcule las matrices AB, (AB)>, A>, B> y B>A>.

A =

−7 −6 2 1

−1 −4 3 7

3 5 −7 0

, B =

1 −1 −4 3

−6 6 6 4

−4 5 3 1

−5 2 0 5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 3I)(A+ 2I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

−1 −4 1

3 −3 −1−4 3 0


A =

2 1 4

1 0 2

2 1 3

, B =

−2 1 2

1 −2 0

1 0 −1

.



A =

−2 −5 1 7 −32 −7 −1 7 −4

−1 2 6 6 −6

, B =

−6 3 6

−5 0 5

2 3 −7−4 −1 2

−7 −5 −4

.


A

0 1

−4 −25 −3

=

[8 8

−3 −12

].


A

0

−45

, A

1

−2−3

, A

1

−62

, A

3

−6−9


A =

[2 3 −2 −4

−2 −4 5 4

], b =

3

5

−24

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

2 −1 −5 −2

−4 2 −4 6

3 −2 0 −3−3 1 5 3

, B =

4 −1 −75 7 −33 6 5

7 −5 −7

.



a1 =

3

−11

2

, a2 =

2

0

2

3

, b =

2

−2−2−2

.



2. La suma de las primeras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.


4. El tercer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

5. La suma de los recıprocos de los numeros enteros de 6 a 195. Escribir con∑

, sin puntossuspensivos.

Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈M2,4(R) y sea B ∈M4,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(AB)> = B>A>.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,p(R). Demuestre que

(AB)> = B>A>.


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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 1 AJAS.




Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres compo-nentes) demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn. Demuestre que

a+ b = b+ a.

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sean λ, µ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean λ, µ ∈ R. Demuestre que

λ(µA) = (λµ)A.


A =

[4 4 −20 2 1

], B =

−3 −32 2

0 −4

, C =

[1 3 0 1

−2 −1 4 −3

].

Tarea 1, variante 1 AJAS, pagina 1 de 4


A =

[1 −1 0

4 −2 4

], B =

−4 −12 −52 −3


A =

−4 5 1

−2 −1 −32 0 −5

, B =

−4 3 0

−2 4 −12 1 5


A =

−3 −4 3 −14 1 −4 3

−1 −2 0 2

, B =

2 3 −2 1

3 −1 −1 1

1 2 −1 2

−2 −2 −4 −3

, C =

−3 2 −1 −3−2 4 4 −12 −3 0 −44 −2 −4 1


A =

−1 2 −6 3

−4 −5 −3 4

5 2 5 −5

, B =

1 4 −7 −45 −6 4 −65 2 1 −26 3 3 −3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

3 −2 4

−2 4 1

0 −3 −4


A =

3 4 2

1 1 1

2 2 3

, B =

−1 8 −21 −5 1

0 −1 1

.



A =

−3 −2 −1 4

3 5 4 −40 1 −3 2

, B =

−3 5 3 −63 −4 −5 −4

−2 6 1 4

2 7 −6 −1

.


A

1 −24 −5

−1 3

=

[−3 4

12 −4

].


A

1

4

−1

, A

−2−53

, A

−1−12

, A

−6−159


A =

1 −1 3 −33 4 −2 −5

−2 5 −1 −3

, b =

1

−2−5−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−3 −4 2 −1 4

6 3 −7 5 −6−3 −7 1 −5 3

, B =

−1 −4 3

−3 3 −66 6 4

1 7 −3−4 0 −5

.



a1 =

2

−1−11

, a2 =

−21

3

0

, b =

2

−13

3

.


1. La quinta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La quinta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

3. El primer renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

4. La lista de numeros reales 2, 4, 6, 8, 10.

5. La suma de las terceras entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,4 = ?, (AB)1,1 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M2,3(R) y sean B,C ∈ M3,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

A(B+ C) = AB+AC.

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sean B,C ∈Mn,p(R). Demuestre que

A(B+ C) = AB+AC.


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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 2 BTCF.




Ejercicio 1. 1%.Sea a ∈ R3. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas de tres componentes)demuestre que

1a = a.

Ejercicio 2. 1%.Sea a ∈ Rn. Demuestre que

1a = a.

Ejercicio 3. 1%.Sean A,B,C ∈M2,3(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).

Ejercicio 4. 1%.Sean A,B,C ∈Mm,n(R). Demuestre que

(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

−3 −2 4 0

3 −2 −4 2

1 4 2 −1

, B =

−1 −2−4 1

−2 −1−4 −3

, C =

[0 1

−3 2

].

Tarea 1, variante 2 BTCF, pagina 1 de 4


A =

[1 −5 −33 1 −5

], B =

1 0

−3 −44 −2


A =

−2 −5 −42 1 4

3 0 −1

, B =

−2 4 −51 0 3

5 2 −3


A =

2 −4 −1 3

−3 −1 −1 1

1 3 2 −40 −3 −4 −2

, B =

−1 4 −34 0 −3

−4 2 −21 1 2

, C =

−3 −3 −4−2 1 3

−4 0 1

3 2 2


A =

−1 −4 −1 0

−6 −4 −2 3

−3 −5 −3 −2

, B =

3 4 5 −2

−3 −4 5 4

−3 −6 −5 1

−1 7 7 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A− 4I)(A+ 3I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

3 0 −23 −2 −3

−4 −3 −4


A =

3 4 2

1 1 1

2 2 3

, B =

−1 8 −21 −5 1

0 −2 1

.



A =

−4 2 −3 5 0

6 2 3 −1 6

−7 −2 7 3 −3

, B =

4 −2 −11 −7 −37 −2 2

2 −7 7

−3 6 5

.


A

0 3

2 −14 −4

=

[2 9

0 13

].


A

024

, A

3

−1−4

, A

310

, A

−93

12


A =

[1 0 −5

−1 2 3

], b =

413


A =

3 0 −2 4

1 2 7 −6−7 4 5 −1−4 2 3 −6

, B =

2 4 3

−3 7 0

−3 −1 −1−2 −2 −7

.



a1 =

4

1

1

−1

, a2 =

−31

0

1

, b =

−15

2

1

.


1. La suma de las segundas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).


4. La cuarta entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.


Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,3 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sea A ∈ M3,3(R), sea B ∈ M3,2(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensademuestre que

(λA)B = λ(AB).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R), sea B ∈Mn,p(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)B = λ(AB).


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Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 3 CSA.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.


(λ+ µ)A = λA+ µA.




A =

4 2 −24 1 −3

−1 −4 3

0 3 −2

, B =

0 −1 −12 −3 1

3 −4 −4

, C =

4 −24 1

1 −1

.

Tarea 1, variante 3 CSA, pagina 1 de 4


A =

[2 −3 1

−3 3 3

], B =

−4 4

−4 1

−3 2


A =

3 0 1

4 −1 −2−5 2 −3

, B =

−4 1 2

3 −1 −24 −5 −3


A =

0 −4 −3 4

−1 −2 1 −13 −4 −2 3

4 −4 4 1

, B =

−2 −3 −4−1 −3 2

3 4 −23 2 4

, C =

−1 −2 0

−2 3 2

1 2 1

−4 −1 4


A =

−7 6 −4 −66 2 2 −1

−5 7 3 3

−6 −4 −7 −2

, B =

7 −5 1

5 −4 4

−7 3 3

5 −5 −2


A =

4 −4 −32 −2 0

2 4 3


A =

0 1 2

2 1 −11 2 3

, B =

−5 −1 3

7 2 −5−3 −1 2

.



A =

−7 3 1 −2−1 0 −3 1

−3 −5 −5 3

, B =

0 1 3 −2

−1 −4 −6 4

−3 5 −4 −61 4 −2 −5

.


A

−4 1

−1 0

3 −2

=

[7 −714 −6

].


A

−4−13

, A

1

0

−2

, A

−3−11

, A

2

0

−4


A =

[1 −1 0 −4

−3 −1 3 5

], b =

−13

2

−5

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

3 −4 2 0 −15 4 4 −4 −57 3 6 −7 −5

, B =

−3 5 5

1 7 0

3 −7 −1−6 −7 4

2 7 6

.



a1 =

2

0

1

1

, a2 =

−31

−21

, b =

−3−1−1−4

.


1. La tercera entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La suma de los logaritmos naturales de los numeros enteros de 9 a 165. Escribir con∑

,sin puntos suspensivos.

3. La suma de las quintas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.



Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.


tr(AB) = tr(BA).

Ejercicio 20. 3%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea B ∈Mn,m,(()R). Demuestre que

tr(AB) = tr(BA).


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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 4 CNKM.




Ejercicio 1. 1%.Sean a, b ∈ R3 y sea λ ∈ R. Escribiendo vectores de R3 en forma extensa (como columnas detres componentes) demuestre que

λ(a+ b) = λa+ λb.

Ejercicio 2. 1%.Sean a, b ∈ Rn y sea λ ∈ R. Demuestre que



A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

−3 1 2 −14 0 −2 2

4 −4 −3 3

, B =

0 −34 2

−1 −43 1

, C =

[0 −42 −1

].

Tarea 1, variante 4 CNKM, pagina 1 de 4


A =

[−3 4 −5−2 1 2

], B =

1 1

5 3

−1 4


A =

−5 −2 −34 1 −10 2 3

, B =

−3 3 0

1 4 −4−1 −5 −2


A =

0 3 3 2 −41 2 −1 1 2

3 4 −3 −1 1

, B =

−2 −2 1

2 −1 2

3 3 −2−3 1 −1−4 2 3

, C =

1 4 −3

−3 1 3

−1 1 −24 0 3

−2 3 −4

.


A =

2 −6 −7 −4

−2 0 4 3

2 6 1 −41 7 3 5

, B =

−2 −4 2

1 0 2

−1 −4 5

−1 6 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 4A+ 3I, 2) (A− 3I)(A− I), 3) A(A− 4I) + 3I.

A =

−4 2 −1−2 3 −4−3 −1 −3


A =

3 2 1

4 1 2

2 0 1

, B =

1 −2 3

0 1 −2−2 4 −4

.



A =

−2 3 −3 2 6

4 −5 −3 −2 −40 −4 −5 −7 5

, B =

4 2 5

−3 −7 7

−4 3 −30 4 −71 3 −6

.


A

4 1

3 −15 2

=

[4 −3

−2 −8

].


A

435

, A

1

−12

, A

527

, A

−22

−4


A =

1 4 −3 −10 −5 4 1

5 5 −1 −5

, b =

−32

1

−4

.


A =

4 −1 −7 −27 −5 −4 −4

−6 3 2 0

6 −3 3 4

, B =

−2 0 −1−7 −6 −47 3 6

−7 −1 −5

.



a1 =

2

1

−10

, a2 =

2

−2−11

, b =

−2−41

1

.





4. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).



Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,3 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 5 CNLE.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .

Ejercicio 3. 1%.Sea A ∈M2,3(R) y sea λ ∈ R. Escribiendo matrices en forma extensa demuestre que

(λA)> = λA>.

Ejercicio 4. 1%.Sea A ∈Mm,n(R) y sea λ ∈ R. Demuestre que

(λA)> = λA>.


A =

[2 1 −1 −44 4 3 1

], B =

4 −3 0

−4 2 −1−2 1 3

−1 −4 2

, C =

−1 −1−4 3

−3 3

.

Tarea 1, variante 5 CNLE, pagina 1 de 4


A =

[5 −2 0

−5 −4 −4

], B =

−5 −4−1 3

4 3


A =

0 3 4

2 −3 −2−4 −5 5

, B =

5 3 −1−3 2 0

1 4 −5


A =

4 3 3 −30 −3 1 −41 −1 −4 1

−1 −2 −2 −1

, B =

−2 −4 −11 3 4

−3 −2 0

1 −3 2

, C =

−3 1 3

2 2 −4−4 −2 1

−3 0 4


A =

2 5 4 3

−2 −3 −1 1

−1 −3 4 0

, B =

−3 −5 4 5

−1 2 5 4

2 6 −4 1

−7 −7 7 −4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 7x + 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 7A+ 12I, 2) (A− 4I)(A− 3I), 3) A(A− 7I) + 12I.

A =

3 4 4

−4 −2 1

−4 3 −2


A =

1 2 4

1 1 1

1 1 2

, B =

−1 0 1

1 2 −30 −1 1

.



A =

7 −4 −2 4

0 5 6 4

2 −3 −7 −4

, B =

−4 1 2 0

−5 −2 −3 7

4 −4 5 −7−1 4 −2 7

.


A

−3 5

3 0

−2 2

=

[−1 5

13 10

].


A

−33

−2

, A

502

, A

230

, A

1004


A =

[4 −1 −3

−2 −3 2

], b =

1

−43


A =

−3 0 1 4 2

4 7 −5 −6 6

−4 −2 1 7 −3

, B =

−2 −4 −1−6 −7 4

−5 −2 7

1 −6 −46 −3 4

.



a1 =

1

4

1

0

, a2 =

1

2

1

1

, b =

−12

−1−3

.




3. El segundo renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).


5. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)3,4 = ?.

Ejercicio 19. 2%.Sean A,B ∈ M3,3(R) y sea C ∈ M3,2(R). Escribiendo matrices en forma extensa demuestreque

(A+ B)C = AC+ BC.

Ejercicio 20. 3%.Sean A,B ∈Mm,n(R) y sea C ∈Mn,p(R). Demuestre que

(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 6 DPE.





λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

2 −43 −12 4

−4 0

, B =

[−1 1 2

−2 4 2

], C =

3 0

−1 3

4 −2

.

Tarea 1, variante 6 DPE, pagina 1 de 4


A =

[−5 −3 0

2 3 2

], B =

−3 1

−2 −25 1


A =

3 −3 −1−4 1 0

5 2 −2

, B =

0 −1 1

3 −2 −35 −4 −5


A =

1 1 1 4 −4

−4 −4 −2 −3 3

−1 4 1 4 4

−1 0 −1 2 2

, B =

4 1 −2

−2 2 4

1 −3 3

0 2 −34 3 3

, C =

−3 4 0

−2 1 2

4 −4 4

−2 −1 1

−4 −1 −2

.


A =

−4 6 1 4 1

−2 −2 −5 −3 −37 −5 −7 −4 5

−6 −1 3 5 −1

, B =

3 6 1

2 −4 5

3 −3 −72 5 4

−3 −6 −6

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 8I, 2) (A− 2I)(A+ 4I), 3) A(A+ 2I) − 8I.

A =

−3 −1 −12 −2 −34 0 1


A =

1 −1 2

1 0 1

4 1 2

, B =

0 −4 1

−2 6 −1−1 5 −1

.



A =

6 −6 −1 −3 4

0 −2 −5 3 7

6 −1 2 1 −2

, B =

−2 −7 2

0 −4 7

−5 5 −5−6 −2 −6−1 4 −3

.


A

−2 −35 3

4 2

=

[3 12

−8 −8

].


A

−25

4

, A

−33

2

, A

−58

6

, A

−66

4


A =

[−2 1 −2 3

5 5 3 −5

], b =

−1−42

−3

.


A =

−2 −6 7 1

2 −3 3 5

−5 4 7 −74 6 −5 −1

, B =

−7 1 −7−1 −6 −3−6 −4 −22 −3 4

.



a1 =

1

−10

2

, a2 =

−41

1

−1

, b =

−1−21

5

.




3. La suma de los cuadrados de los numeros enteros de 7 a 110. Escribir con∑




Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)4,3 = ?, (AB)3,1 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 7 DEER.





a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[−3 −3 2 3

2 −4 0 3

], B =

0 −22 −44 −42 −3

, C =

[2 3 4

−3 −1 −1

].

Tarea 1, variante 7 DEER, pagina 1 de 4


A =

[−2 −1 3

−1 −2 2

], B =

1 2

−4 1

−5 −4


A =

−5 1 0

−4 −1 4

3 −3 2

, B =

−3 −1 −4−2 0 1

2 −5 3


A =

1 2 −1 4

−1 −3 2 3

−2 1 3 −4

, B =

−4 −4 3 3

−2 −3 4 −3−2 −2 −3 2

0 −4 1 4

, C =

2 3 2 0

−2 2 1 −23 3 4 −3

−4 1 −4 −1


A =

−5 −3 −5 1 1

2 4 −2 −7 −64 −3 6 5 5

, B =

6 1 4

−7 −2 2

−3 −1 −63 −6 2

−2 4 5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 3I)(A+ 2I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

−4 −4 3

1 3 −14 −2 4


A =

3 1 3

2 1 3

0 1 2

, B =

1 −1 1

4 −6 3

−2 3 −1

.



A =

2 −5 5 1

−3 −2 −1 −54 −2 −4 6

, B =

−7 −4 2 5

−4 −7 0 1

3 −1 −3 3

2 1 −2 −1

.


A

3 1

−1 −2−4 −3

=

[−2 1

−12 −9

].


A

3

−1−4

, A

1

−2−3

, A

4

−3−7

, A

3

−6−9


A =

5 4 −4 1

−2 −3 −1 3

2 −3 −4 −2

, b =

4

−51

2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

4 −7 2 −6 −4−2 −4 5 6 4

−1 0 2 1 7

, B =

−2 5 −36 4 −52 −1 −7

−4 0 2

1 1 3

.



a1 =

3

−12

−1

, a2 =

2

0

1

1

, b =

3

1

1

4

.


1. La suma de los cubos de los numeros enteros de 7 a 126. Escribir con∑


2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).




Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 8 DLRTH.





1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[0 −2 1

2 2 −1

], B =

0 1 2 −1−3 3 −4 −2−3 −2 4 −1

, C =

3 −1 2

−4 0 1

−3 −3 1

−2 4 −1

.

Tarea 1, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 4


A =

[0 −4 −53 1 5

], B =

2 3

2 −14 3


A =

3 4 −40 −2 1

−5 −1 2

, B =

−5 3 2

5 −1 4

−3 −4 0


A =

−3 −2 2 1 3

1 −4 −1 2 1

−2 −1 0 −1 4

, B =

4 2 −2 −4

−1 1 4 −43 −4 −4 −2

−3 1 −1 −13 4 −3 0

, C =

3 3 −1 −4

−4 −1 −1 3

−4 −3 3 1

0 4 2 −3−1 −2 −3 1

.


A =

−7 4 2 3 0

−5 4 1 1 −35 −7 −4 −3 −2

, B =

−1 −2 4 −6−3 −5 5 −1−7 6 −7 −60 −4 −4 −23 −5 4 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 4A+ 3I, 2) (A+ I)(A+ 3I), 3) A(A+ 4I) + 3I.

A =

2 −1 −2−1 0 4

−3 −2 1


A =

1 2 3

0 1 2

1 2 2

, B =

2 −2 −1−2 1 2

1 0 −1

.



A =

5 −6 6 6 2

4 −4 0 7 3

3 4 −1 2 7

, B =

1 −6 −73 2 −36 −7 4

2 7 1

−4 3 0

.


A

3 −42 −10 4

=

[1 12

−2 9

].


A

320

, A

−4−14

, A

−11

4

, A

−8−28


A =

[−2 5 3

4 −3 4

], b =

4

1

−5

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

7 2 −7 4

2 6 −7 −3−3 0 −1 5

−1 −2 −4 7

, B =

7 2 2

5 −6 −66 −1 −41 −4 −2

.



a1 =

1

3

−20

, a2 =

−2−23

1

, b =

−22

2

2

.


1. La segunda entrada de la suma de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.

2. La cuarta columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).



5. El quinto renglon de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)4,1 = ?, (AB)1,3 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 9 DGGI.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

[3 4

−1 −2

], B =

[−2 −1 −13 0 1

], C =

1 2 −4 −3−2 4 0 −1−3 2 3 −2

.

Tarea 1, variante 9 DGGI, pagina 1 de 4


A =

[1 −3 3

−2 0 1

], B =

−4 −35 −34 −5


A =

−1 5 −2−4 2 4

3 1 0

, B =

1 3 −3−1 0 −4−5 2 5


A =

4 3 −2 0

1 2 −3 −42 4 −1 2

−1 −2 −1 −2

, B =

1 3 4

1 −3 −1−2 −2 2

2 3 0

, C =

−1 1 1

3 −1 −2−2 0 −4−3 2 3


A =

−1 −3 −5 −32 0 5 −5

−2 −6 −2 3

5 4 −7 6

, B =

5 −6 −2

−4 6 −21 3 1

5 3 0


A =

−2 3 2

−1 −1 −44 2 3


A =

2 3 2

2 1 1

1 −2 −1

, B =

1 −1 1

3 −4 2

−5 7 −5

.



A =

−1 −2 5 −7−5 −1 −3 2

0 2 3 −3

, B =

−4 4 −4 −36 −2 3 −75 1 −2 −35 2 4 3

.


A

−1 0

5 1

3 −3

=

[−12 4

15 −14

].


A

−15

3

, A

0

1

−3

, A

−16

0

, A

0

−26


A =

[4 −3 2 −45 −4 −1 0

], b =

3

2

−4−1

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−5 1 3 −3 2

−1 −6 0 5 6

3 −4 1 7 4

, B =

2 5 −6

−1 1 1

3 −3 2

0 −1 6

−3 4 −6

.



a1 =

2

−3−21

, a2 =

−11

3

0

, b =

2

−42

2

.





4. La tercera columna de la matriz A. Se supone que A ∈M100,200(R).


Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)2,1 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 10 DJRA.









A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[−1 2

0 1

], B =

[1 0 −3 −12 2 −4 −1

], C =

−3 −1 4

−2 0 1

2 −4 −11 −3 3

.

Tarea 1, variante 10 DJRA, pagina 1 de 4


A =

[−1 5 2

−3 3 5

], B =

1 1

3 −4−5 2


A =

4 −3 0

1 3 −22 −1 −4

, B =

−2 −4 4

3 1 0

2 −5 −1


A =

2 −2 −3 −3 −22 3 2 1 4

1 −1 2 −2 −4−1 0 −4 1 1

, B =

2 −4 −4

−1 −2 4

−2 3 −34 1 −2

−4 −3 4

, C =

−3 −3 1

2 −2 3

−3 −2 4

1 4 0

2 2 −2

.


A =

2 4 1 −3 4

−7 2 0 −4 −2−7 −2 1 3 3

, B =

−4 4 −14 −4 3

−5 7 −6−3 −3 0

5 1 −5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 6I, 2) (A− 2I)(A− 3I), 3) A(A− 5I) + 6I.

A =

3 −3 −10 −1 3

−2 −3 1


A =

2 −1 2

2 1 3

1 2 2

, B =

4 −6 5

1 −2 2

−3 5 −4

.



A =

5 4 1 −1 2

−2 −7 −1 4 7

−4 −3 −6 −3 5

, B =

5 2 6

−2 −4 0

−5 7 −34 1 4

1 2 −2

.


A

0 −5−4 1

−1 4

=

[−1 −6−1 4

].


A

0

−4−1

, A

−51

4

, A

−5−33

, A

5

−1−4


A =

−3 5 −2 0

−4 1 −2 2

1 −1 −3 −1

, b =

3

5

−42

.


A =

4 −7 −6 −77 −5 2 −2

−6 −1 0 4

−3 −2 −3 7

, B =

1 −2 5

2 −5 5

6 7 −5−2 0 4

.



a1 =

2

2

−11

, a2 =

2

1

1

0

, b =

4

1

4

−1

.





4. La suma de los cosenos de los numeros enteros de 9 a 122. Escribir con∑



Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,4 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 11 FMFD.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

[3 −1 −2 2

2 −1 −4 3

], B =

1 −2

−3 −12 −2

−4 3

, C =

[4 2 2

3 0 4

].

Tarea 1, variante 11 FMFD, pagina 1 de 4


A =

[4 2 −3

−3 1 2

], B =

4 0

−5 −22 2


A =

1 −1 −52 −3 0

3 −4 4

, B =

−3 5 0

2 −4 −14 −2 1


A =

0 1 −2 −4 −1

−1 −2 1 3 −4−3 −4 3 −1 −44 −1 2 3 3

, B =

3 −2 2

−2 −4 3

2 −3 4

−4 3 1

4 −3 1

, C =

1 3 2

4 2 −13 2 −4

−3 −1 3

−3 −1 −4

.


A =

−3 2 −1 0 −15 −2 −2 7 3

−3 −6 5 7 1

, B =

2 −2 −6

−2 −1 7

−4 −5 4

−3 4 5

−4 1 2

.


A =

2 2 −41 −1 −14 3 −3


A =

1 2 1

1 1 1

3 1 2

, B =

1 −3 1

1 −1 0

−2 5 −1

.



A =

3 −3 4 3

−4 4 6 −6−2 7 −4 −6

, B =

−4 4 6 −55 2 6 −7

−5 3 4 −15 1 2 −4

.


A

−1 4

−4 2

−3 1

=

[−8 15

6 2

].


A

−1−4−3

, A

421

, A

3

−2−2

, A

−12−6−3


A =

[−4 −5 −15 5 −1

], b =

−15

2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el primer renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

3 6 −4 −1 −34 −4 1 4 1

−2 0 −2 −1 7

, B =

−7 −4 −35 1 −21 6 −13 −6 −43 −1 −5

.



a1 =

0

3

−21

, a2 =

1

−21

−2

, b =

−2−22

2

.


1. La lista de numeros reales 10, 20, 30, 40.





Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,1 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 12 GDLD.





λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

−2 −3 0 −4−1 4 3 2

2 −3 1 −1

, B =

0 −4

−3 −42 4

1 3

, C =

[1 −22 −1

].

Tarea 1, variante 12 GDLD, pagina 1 de 4


A =

[3 0 3

1 −2 −4

], B =

1 2

−1 4

2 −3


A =

−4 −3 −53 4 1

−1 2 5

, B =

−5 1 −32 0 3

−1 −4 4


A =

−1 3 −3 4 3

2 1 3 −4 −1−2 3 −4 −1 1

0 −4 −2 −1 −4

, B =

1 −2 4

−1 −3 −3−1 1 1

−1 −4 −2−4 0 −2

, C =

1 −2 −32 1 2

3 −1 4

4 0 3

−4 2 1

.


A =

−1 −3 −5 5

−7 −2 1 2

−5 −6 −2 5

2 −6 −3 7

, B =

2 −2 −13 −4 −5

−3 7 5

5 3 −4


A =

−4 −3 2

1 −3 3

2 −4 −2


A =

1 2 3

1 2 4

0 1 2

, B =

0 1 −22 −2 1

−1 1 0

.



A =

3 −3 −1 1 −7−2 4 −4 7 2

2 −5 −3 −1 −5

, B =

−7 −5 4

2 3 −7−3 4 −2−4 −4 7

0 −3 7

.


A

1 2

0 −44 3

=

[−2 1

−15 −14

].


A

104

, A

2

−43

, A

3

−47

, A

−612

−9


A =

[4 −3 −4 −12 −1 0 −2

], b =

−24

−51

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

−2 0 7 −66 −7 5 −31 1 −4 −4

−1 −2 7 5

, B =

−4 6 −7−3 6 −5−1 5 1

2 1 −3

.



a1 =

1

1

0

−2

, a2 =

2

−11

−3

, b =

1

4

−1−3

.





4. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).



Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,4 = ?, (AB)3,1 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 13 GLMA.





a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[0 1

−3 2

], B =

[3 1 1

−2 0 −4

], C =

0 −3 3 2

1 4 −4 −1−2 2 −1 1

.

Tarea 1, variante 13 GLMA, pagina 1 de 4


A =

[2 1 −4

−2 −5 3

], B =

2 −34 −22 −5


A =

−4 2 −10 4 1

−2 3 5

, B =

−5 −3 5

−2 3 2

4 −4 −1


A =

2 4 0 1 −1

−3 −2 2 −1 4

1 3 1 −4 3

3 2 −2 −1 −1

, B =

2 −4 3

2 4 3

−3 −1 1

−3 −4 1

4 −4 4

, C =

1 −3 −33 −1 2

−4 4 3

4 2 4

2 1 0

.


A =

−2 3 −4 −72 −4 −1 4

3 0 −5 −7

, B =

6 2 3 −3

−4 1 −4 1

4 7 −5 6

−6 −3 3 −2


A =

2 0 4

−3 −1 2

−2 −2 −3


A =

4 1 −13 1 0

1 1 1

, B =

−1 2 −13 −5 3

−2 3 −1

.



A =

5 4 −4 −12 −3 1 0

−5 −3 4 −4

, B =

−4 −4 4 −22 −1 −5 −3

−7 −6 −3 −7−1 −2 3 3

.


A

0 5

2 −3−5 3

=

[7 14

−14 12

].


A

0

2

−5

, A

5

−33

, A

5

−1−2

, A

10

−66


A =

−3 −1 2 −1−4 5 3 4

−2 5 −2 −5

, b =

−3−4−1−2

.


A =

3 1 4 −5 2

0 2 −2 −7 1

6 6 −2 4 3

, B =

5 6 −71 4 4

7 1 7

0 −3 2

−7 −2 −3

.



a1 =

0

2

−12

, a2 =

1

2

−22

, b =

1

−41

−4

.




2. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

3. La suma de las cuartas entradas de a y b. Se supone que a, b ∈ R5.



Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)3,1 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 14 GSLE.





1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

2 4

−4 −3−4 −2

, B =

[1 −2 0 −4

−3 1 3 3

], C =

−1 4

2 1

−1 1

−2 2

.

Tarea 1, variante 14 GSLE, pagina 1 de 4


A =

[4 −2 2

3 −2 4

], B =

−1 1

2 −55 0


A =

−4 2 −10 5 −31 −2 −5

, B =

3 −2 −4−5 2 4

−1 1 −3


A =

−1 −2 1 3 3

−4 2 −3 1 −44 0 3 −1 3

4 −1 −4 4 1

, B =

−3 1 3

−4 2 3

−2 −1 −4−4 3 −1−1 4 4

, C =

4 0 −3

−1 1 2

1 4 −22 1 2

−3 −2 −1

.


A =

−4 3 −5 6 5

−1 −2 1 0 6

−7 7 1 −4 5

−3 −6 −6 3 −1

, B =

−4 −6 −12 −7 3

3 4 −57 1 −4

−7 1 −5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 4A+ 3I, 2) (A− 3I)(A− I), 3) A(A− 4I) + 3I.

A =

−3 0 −14 3 2

1 −2 4


A =

1 1 2

1 1 1

1 2 −1

, B =

−3 5 −12 −3 1

1 −1 0

.



A =

−1 0 4 3 1

−1 −5 −4 −4 1

−6 −5 −2 6 3

, B =

−5 5 −1−2 4 7

6 −6 −51 3 1

2 −1 −7

.


A

3 1

0 −2−1 −3

=

[−3 −18 4

].


A

3

0

−1

, A

1

−2−3

, A

4

−2−4

, A

2

−4−6


A =

[−1 3 3

−2 −1 5

], b =

5

−34

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

7 −2 −2 −65 −3 −1 1

3 1 −5 −3−4 −5 6 7

, B =

−5 −2 6

−4 −7 0

−6 −1 −3−2 −1 3

.



a1 =

0

−11

4

, a2 =

1

1

−2−2

, b =

3

1

−42

.




3. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).




Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)2,4 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 15 KSJG.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

[−1 −4 2 −11 −2 0 −4

], B =

0 −1 −34 1 −42 1 −13 3 −2

, C =

−4 −14 4

−3 1

.

Tarea 1, variante 15 KSJG, pagina 1 de 4


A =

[2 5 0

−1 −2 −2

], B =

−1 3

−3 −31 1


A =

2 1 −5−2 −3 5

4 −4 0

, B =

−4 −1 5

3 4 0

−2 2 −3


A =

1 −4 4 −4 1

2 1 −4 −2 3

−4 2 3 −2 −32 −1 −3 0 −3

, B =

−3 −2 −1−4 3 0

−3 4 4

2 4 2

−2 2 3

, C =

−3 3 −41 2 2

1 1 −1−3 −2 3

−2 −4 0

.


A =

4 −3 −1 2 −3−6 6 −1 −6 0

5 1 7 −5 −5

, B =

−3 2 −22 −1 −67 −4 1

3 −4 0

−1 7 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A+ 2I)(A− 4I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

2 −2 −10 −3 3

−1 −3 −2


A =

4 1 1

3 1 1

1 0 1

, B =

1 −1 0

−2 3 −1−1 1 1

.



A =

−3 0 3 2

3 −3 5 2

−1 −2 5 6

, B =

5 5 0 −2

−6 7 7 6

−3 1 6 1

−4 −4 4 −1

.


A

−3 4

−1 1

−5 0

=

[−6 9

7 −3

].


A

−3−1−5

, A

410

, A

1

0

−5

, A

1230


A =

[3 5 1 −13 0 −2 −4

], b =

3

−5−4−2

.


A =

−2 1 −1 −3 6

4 1 5 5 −3−1 7 4 7 3

, B =

4 −4 1

3 1 −53 −6 −3

−1 7 4

5 −4 −2

.



a1 =

2

0

3

2

, a2 =

1

−14

1

, b =

2

2

−22

.



2. La lista de numeros reales 1, 1/4, 1/9, 1/16.





Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,2 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 16 LSS.









A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

0 −3 −1 1

2 1 −4 3

4 4 −4 −2

, B =

−3 1

−2 −1−3 0

−4 2

, C =

[1 −34 0

].

Tarea 1, variante 16 LSS, pagina 1 de 4


A =

[−1 −3 1

−5 −2 −1

], B =

0 −42 3

−1 −5


A =

2 0 5

−2 −5 −33 −4 −1

, B =

1 −4 5

2 −1 −3−2 4 0


A =

0 2 3 −34 −1 1 −23 2 1 −31 −2 2 3

, B =

2 1 −40 −3 −24 −4 −1

−3 −2 1

, C =

1 2 0

−1 4 −3−2 3 2

−2 −1 −4


A =

−2 −1 −4 2

−7 −1 0 4

4 −3 −7 5

, B =

3 −3 6 2

−3 7 0 −66 4 1 3

2 5 4 −6

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A+ 3I)(A− 4I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

2 4 −4−1 4 3

3 0 −4


A =

1 1 1

3 4 2

1 2 1

, B =

0 1 −2−1 1 1

2 −1 1

.



A =

1 5 4 −7 6

−2 2 −2 −4 −11 −5 −1 7 −6

, B =

5 −2 −5

−6 −7 7

−1 −4 1

2 −5 0

7 6 −7

.


A

1 −55 3

4 2

=

[9 7

−10 −10

].


A

154

, A

−53

2

, A

−48

6

, A

10

−6−4


A =

1 −2 5 3

−2 −3 −4 2

−1 −1 1 −3

, b =

−43

−1−2

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

0 −2 2 −5

−3 −5 −6 −36 −4 4 −76 3 5 2

, B =

−2 2 1

−3 −5 4

5 0 3

6 1 −1

.



a1 =

1

0

2

1

, a2 =

2

1

2

−1

, b =

1

2

−2−5

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)1,3 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 17 LPS.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

−1 3 2 −3−4 −2 3 1

0 4 2 −2

, B =

1 4

−1 −32 3

−3 −2

, C =

[−2 −3 2

0 1 4

].

Tarea 1, variante 17 LPS, pagina 1 de 4


A =

[1 −5 −12 1 −3

], B =

5 5

−2 −5−3 1


A =

0 −1 4

1 −4 2

3 −5 −2

, B =

−3 −4 4

2 −2 5

−1 0 3


A =

1 −3 −1 2 4

3 −4 0 4 −2−4 −2 −2 −3 2

, B =

3 1 −4 −12 4 2 1

−4 −3 0 4

−3 3 −3 −2−3 −2 −1 2

, C =

4 0 3 3

2 4 4 −3−3 −4 −1 −42 2 4 −1

−1 1 3 −4

.


A =

3 2 0 −1 −33 −2 −6 2 1

4 −5 6 −5 1

, B =

6 6 4

5 −1 5

2 3 −10 2 −3

−2 −5 3

.


A =

3 −1 3

4 −1 −4−3 −2 0


A =

1 −2 2

1 3 0

1 1 1

, B =

3 4 −6−1 −1 2

−2 −3 5

.



A =

3 −3 5 4

5 1 1 2

−3 2 6 0

, B =

−7 6 1 2

−1 0 6 3

2 −2 −3 1

4 −7 4 −1

.


A

4 2

−3 −20 3

=

[11 13

−10 −15

].


A

4

−30

, A

2

−23

, A

6

−53

, A

6

−69


A =

[5 1 −5

−5 −1 2

], b =

2

−53


A =

−5 −3 −4 3 1

−7 −2 4 2 0

3 2 4 1 −6

, B =

−4 −7 −26 7 −20 3 3

−4 −5 −71 2 −5

.



a1 =

4

−10

1

, a2 =

2

−1−11

, b =

2

1

3

−1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)3,2 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 18 MPDD.





λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

[3 1 4 1

−2 4 0 2

], B =

−3 −4 −13 0 −2

−1 2 1

1 4 −2

, C =

−1 0

1 4

−1 4

.

Tarea 1, variante 18 MPDD, pagina 1 de 4


A =

[3 −5 −44 0 1

], B =

4 3

−1 2

−2 −4


A =

−5 2 −4−1 3 4

1 −2 0

, B =

1 3 5

4 0 −1−3 2 −2


A =

0 2 4 −41 −1 1 4

3 −3 −2 −3

, B =

2 −3 4 2

4 3 −1 4

1 −4 1 −1−3 1 3 0

, C =

3 −2 3 4

−4 3 4 −10 −2 −4 −3

−1 −2 1 −1


A =

3 6 2 6

0 3 −1 5

1 2 −6 −1

, B =

−2 0 3 4

2 1 −6 −1−4 5 −2 4

−1 −7 1 3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A+ I)(A− 3I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

−2 1 −12 −3 2

−2 1 3


A =

1 3 0

3 4 1

3 3 1

, B =

1 −3 3

0 0 −1−3 6 −5

.



A =

3 −1 3 −6 −16 −7 −3 −2 −74 7 1 −3 −2

, B =

−3 −6 4

−1 6 −4−2 −5 −6−7 −3 2

4 −5 5

.


A

5 4

−3 −12 3

=

[−6 −9−10 −8

].


A

5

−32

, A

4

−13

, A

9

−45

, A

8

−26


A =

[4 5 3 0

1 3 −1 −3

], b =

−54

3

2

.


A =

−6 −3 −6 5

2 1 7 0

−3 −2 −1 3

−4 4 6 4

, B =

7 −6 3

6 −5 −4−5 −1 5

3 −7 5

.



a1 =

2

0

2

1

, a2 =

2

1

2

1

, b =

2

3

2

1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,2 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 19 MHF.





a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[−1 1

2 0

], B =

[4 4 3 −2

−3 −2 −1 2

], C =

−3 −4 1

−2 2 −33 3 −11 4 0

.

Tarea 1, variante 19 MHF, pagina 1 de 4


A =

[5 −3 −31 −1 −2

], B =

−3 −1−3 5

2 1


A =

1 −1 5

−2 −3 −42 0 4

, B =

−3 −5 −1−2 2 3

5 0 1


A =

4 1 3 2

3 4 3 1

−1 −2 2 4

1 −1 −4 −2

, B =

−1 1 −3−4 4 −24 −4 −2

−3 3 1

, C =

−4 −4 −31 −3 3

0 2 4

2 4 −2


A =

4 −2 −1 5

−5 0 −4 4

1 5 7 −3

, B =

3 4 −6 −51 −4 −5 −25 1 3 6

2 −1 4 7

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 6I, 2) (A+ 3I)(A− 2I), 3) A(A+ I) − 6I.

A =

0 4 1

4 −2 −1−4 2 −1


A =

2 1 4

1 0 2

1 2 3

, B =

4 −6 −21 −2 0

−2 3 1

.



A =

−2 −3 6 1

−6 −4 −2 1

7 6 5 5

, B =

−4 −3 −4 −37 4 6 4

0 −1 −2 5

1 5 7 −6

.


A

2 −2−5 1

0 3

=

[13 5

0 2

].


A

2

−50

, A

−21

3

, A

0

−43

, A

−42

6


A =

2 −1 1 −24 −5 3 4

−4 −1 −5 3

, b =

−5−3−1−4

.


A =

−7 −2 −1 −5 3

1 5 −4 −3 7

2 7 −1 −2 4

, B =

−1 0 4

−2 5 −51 −7 2

6 −7 −35 −6 3

.



a1 =

−4−11

1

, a2 =

3

1

−10

, b =

−5−11

2

.




3. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).




Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)1,2 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 20 MME.





1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[−4 −1 0

3 1 2

], B =

2 0 4 −3−2 −4 −4 1

−1 3 1 −1

, C =

3 −2

−2 −4−1 2

1 1

.

Tarea 1, variante 20 MME, pagina 1 de 4


A =

[−5 4 −21 −4 0

], B =

−2 0

4 −15 1


A =

−4 −3 2

4 5 1

−1 −5 −2

, B =

−3 5 3

4 1 −4−5 −2 0


A =

−1 3 1 3

−4 −2 2 1

2 0 2 −3−4 −1 1 3

, B =

3 4 −3

−4 −2 1

0 3 −41 4 −1

, C =

−1 4 −11 −3 3

4 −4 −22 3 1


A =

0 2 3 −41 −2 −6 1

−5 −5 7 −3−2 −3 6 5

, B =

6 −2 6

−3 −5 0

7 −5 4

−1 −1 2


A =

3 3 −24 −4 2

1 −3 2


A =

1 0 −11 1 2

2 2 3

, B =

1 2 −1−1 −4 3

0 2 −1

.



A =

4 −4 7 1 −2−5 0 −1 7 2

6 −2 −5 1 3

, B =

−2 4 −37 6 0

3 −1 −4−6 1 −25 5 −5

.


A

−3 3

2 −44 −1

=

[3 4

−2 11

].


A

−32

4

, A

3

−4−1

, A

0

−23

, A

9

−12−3


A =

[3 −4 −2

−5 −5 −1

], b =

4

−25

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−3 3 −3 −12 6 1 7

2 −5 −7 −61 0 −7 −2

, B =

3 7 4

2 −5 7

1 −2 3

−3 5 −3

.



a1 =

1

2

−2−1

, a2 =

0

−12

1

, b =

−11

−4−2

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)3,3 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 21 MRCK.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

1 4

−3 2

−4 −32 0

, B =

[3 1 2

2 3 4

], C =

0 −33 3

−1 −1

.

Tarea 1, variante 21 MRCK, pagina 1 de 4


A =

[4 5 −22 2 4

], B =

0 −41 −11 2


A =

2 1 −4−2 0 3

−3 5 −1

, B =

2 −5 4

−4 0 3

1 −3 5


A =

1 −1 2 −4 1

4 4 4 3 −21 −4 −1 0 2

, B =

−4 4 −13 3 4

−1 −2 2

−2 −4 3

−2 1 4

, C =

2 1 −12 −4 −3

−4 4 −2−3 2 1

−4 3 −1

.


A =

−4 −3 2 1

−7 3 0 1

−6 −2 4 5

, B =

−2 4 1 −36 −1 5 −7

−6 7 6 −63 −3 3 1


A =

4 4 2

−2 −3 1

0 1 −2


A =

1 4 3

1 2 2

1 3 3

, B =

0 3 −21 0 −1

−1 −1 2

.



A =

−4 7 4 −2−2 7 −1 −4−3 4 1 0

, B =

6 −7 3 3

4 −4 −1 7

1 5 5 0

−3 −4 1 2

.


A

0 3

−5 −3−1 5

=

[11 7

15 0

].


A

0

−5−1

, A

3

−35

, A

3

−84

, A

−99

−15


A =

[1 3 −4 4

−4 3 4 5

], b =

1

4

5

−3

.


A =

5 7 −1 3 6

−5 −7 −3 −2 1

4 −7 3 7 0

, B =

1 3 −2

−2 1 2

−1 −5 7

0 2 −17 −6 6

.



a1 =

1

3

−1−2

, a2 =

0

1

1

−2

, b =

−1−13

−2

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,3 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 22 PHJL.









A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[−2 −4 −1−1 1 −4

], B =

−4 0 −3 −13 2 1 −3

−1 1 4 −2

, C =

3 −3

−3 −11 −1

−2 0

.

Tarea 1, variante 22 PHJL, pagina 1 de 4


A =

[5 0 −21 −5 −3

], B =

4 −40 3

−2 1


A =

−1 1 −4−5 2 4

0 −2 −3

, B =

−2 2 1

−3 −5 −43 5 −1


A =

1 4 −2 −2

−4 3 −2 3

0 1 −3 −3−1 1 2 3

, B =

4 −1 0

3 −4 −3−1 −4 −22 −3 −2

, C =

2 1 −2

−2 1 −44 0 −43 2 3


A =

−4 −4 −1 2

5 1 −1 2

0 −5 −3 3

, B =

−3 3 −2 −51 −3 0 4

3 −2 −1 1

−5 −6 4 5


A =

2 −1 2

1 4 4

−2 0 −3


A =

1 1 1

1 −2 0

2 3 2

, B =

−4 1 2

−2 0 0

7 −1 −3

.



A =

2 −2 −5 6 −15 4 0 5 3

6 4 −3 −1 2

, B =

−4 6 7

2 −1 −64 0 6

3 2 −3−3 −4 −1

.


A

−2 0

−1 5

3 −5

=

[−2 10

−9 5

].


A

−2−13

, A

0

5

−5

, A

−24

−2

, A

0

−1010


A =

3 −2 −1 0

2 3 1 −31 −4 2 −4

, b =

−23

4

−1

.


A =

3 −5 1 −41 0 −2 −3

−2 −1 3 7

−1 −7 −3 −6

, B =

−4 3 3

−3 4 0

4 1 5

1 −1 2

.



a1 =

−22

−31

, a2 =

1

0

2

−1

, b =

1

2

3

−2

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)4,3 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 23 RAJA.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

[3 0

−3 −1

], B =

[4 1 −2

−3 −4 3

], C =

1 −2 −3 2

3 −4 4 −44 −1 0 1

.

Tarea 1, variante 23 RAJA, pagina 1 de 4


A =

[4 2 −31 −4 0

], B =

−2 5

2 2

−5 −1


A =

−5 −4 −31 5 −24 3 0

, B =

−2 −5 −32 5 −11 −4 4


A =

−3 0 −1 2

1 −4 −4 4

−1 4 2 3

, B =

2 3 −3 2

−4 −4 4 3

2 4 −1 −1−4 0 −2 −2

, C =

3 1 −1 −43 1 −3 −4

−4 0 3 4

2 2 4 −2


A =

−2 1 −1 6

−4 2 −2 6

5 5 2 1

0 −1 4 3

, B =

6 −1 5

2 1 1

−7 −6 5

6 −3 −1

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 3x + 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 3A+ 2I, 2) (A− I)(A− 2I), 3) A(A− 3I) + 2I.

A =

0 −3 −41 −2 3

−2 4 −4


A =

3 1 4

3 1 3

1 0 1

, B =

−1 1 0

0 1 −31 −1 0

.



A =

2 −2 6 1

−1 −7 4 7

−4 7 −6 2

, B =

1 3 −5 −6

−7 −3 6 −2−5 −2 7 7

1 −1 −3 −4

.


A

−5 −25 −12 0

=

[−13 −6−7 6

].


A

−55

2

, A

−2−10

, A

−74

2

, A

210


A =

[5 4 −2

−4 0 2

], b =

−12

−5


A =

1 −5 5 −7 −2−6 5 2 7 2

−4 4 4 −2 0

, B =

−4 −1 −1−4 3 7

2 −5 −21 0 −7

−3 −3 −5

.



a1 =

2

−11

0

, a2 =

−11

−41

, b =

−52

1

−1

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)4,3 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 24 RCE.





λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

4 −3 3 1

4 −4 3 2

−2 0 −4 −1

, B =

−3 3

−4 1

1 −2−3 4

, C =

[2 −3 −4

−2 −3 1

].

Tarea 1, variante 24 RCE, pagina 1 de 4


A =

[5 −3 2

1 0 2

], B =

2 1

−1 −4−1 5


A =

1 0 −43 4 −32 −1 −5

, B =

1 −2 −34 0 −5

−1 2 −4


A =

0 −3 −3 4

4 4 −2 1

−2 3 −1 1

−3 −4 −2 −4

, B =

1 1 4

−1 3 2

−4 2 4

−4 −1 0

, C =

4 −4 −3

−1 1 −21 4 −1

−3 3 2


A =

−6 2 7 4

3 1 1 −2−3 5 0 4

, B =

4 1 2 −63 −1 −4 −1

−5 2 6 1

6 −3 4 −2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A+ I)(A− 3I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

−2 −1 2

4 −4 −23 0 −1


A =

1 1 1

2 1 −14 2 −1

, B =

0 −3 2

2 5 −30 −2 1

.



A =

−4 −7 4 −5 5

−4 −2 3 7 6

4 −3 −6 −1 1

, B =

−7 1 2

0 3 −3−5 4 −11 −1 5

−7 2 −4

.


A

4 −4−5 1

5 2

=

[9 −5

−12 −3

].


A

4

−55

, A

−41

2

, A

0

−47

, A

−82

4


A =

[−2 −4 −3 −31 3 −1 4

], b =

3

−2−5−1

.


A =

2 −7 −5 5

1 −2 1 3

3 4 5 −64 6 −1 −4

, B =

−4 0 7

−4 5 −2−5 −7 −1−6 2 1

.



a1 =

−14

0

1

, a2 =

−23

2

1

, b =

3

−2−4−1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)2,3 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 25 RDIDJ.





a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[0 2

−2 −1

], B =

[0 2 1 −4

−2 3 −3 4

], C =

2 −4 −31 −3 3

1 −1 4

0 −2 −1

.

Tarea 1, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 4


A =

[0 −3 5

4 −2 4

], B =

0 −1−2 −53 −2


A =

−2 5 0

−4 2 3

1 −5 −3

, B =

−2 2 −10 −3 −4

−5 5 1


A =

1 −2 −2 −1

−1 2 3 0

−3 −2 −3 −3−4 1 3 4

, B =

3 −4 −12 −4 0

−2 4 1

−1 −3 3

, C =

2 3 1

2 −4 −2−3 0 −44 −3 −2


A =

5 −2 −6 −1 4

1 −4 −3 2 6

−1 7 −5 5 6

, B =

3 −1 −7 −7

−2 −4 0 −16 −3 −2 2

7 7 −6 5

5 −4 1 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 2I, 2) (A+ 2I)(A− I), 3) A(A+ I) − 2I.

A =

−1 1 2

−2 1 −32 −3 3


A =

1 1 −23 2 1

1 1 −1

, B =

3 1 −5−4 −1 7

−1 0 1

.



A =

3 6 4 −52 −2 −4 1

−4 −2 1 −1

, B =

−6 0 −5 7

7 −3 4 −14 1 5 −26 −2 2 −5

.


A

−2 −4−1 −52 1

=

[1 8

4 14

].


A

−2−12

, A

−4−51

, A

−6−63

, A

−12−153


A =

2 −3 1 3

2 −5 −1 0

−4 −5 5 4

, b =

1

−53

−4

.


A =

−2 5 −6 2 3

7 7 −1 −4 5

1 3 0 −3 1

, B =

−5 −3 6

2 5 −65 −1 −4

−5 −2 −1−4 −2 −3

.



a1 =

−22

1

0

, a2 =

−21

1

1

, b =

−24

1

−2

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)2,3 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 26 SRGA.





1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[0 −4

−2 2

], B =

[4 2 −4

−3 −3 4

], C =

2 1 2 4

−3 −1 −4 3

1 0 −2 4

.

Tarea 1, variante 26 SRGA, pagina 1 de 4


A =

[4 4 −13 2 3

], B =

1 5

3 −2−5 0


A =

−2 4 −5−3 0 1

−1 3 2

, B =

−2 −3 1

4 0 −42 5 −1


A =

−4 −1 −3 0

2 4 1 −14 3 1 −3

, B =

−1 0 1 −1−2 4 2 −13 2 4 4

1 2 −4 3

, C =

2 1 −4 −2

−1 −2 −4 −41 3 3 4

4 −1 −2 −1


A =

2 4 −1 7 5

3 4 6 −7 −72 −3 3 6 −3

, B =

−7 3 4

5 6 1

−1 −6 −42 2 −2

−5 −5 3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 4I, 2) (A+ 4I)(A+ I), 3) A(A+ 5I) + 4I.

A =

4 −2 1

0 3 −13 −1 −2


A =

1 −2 2

1 0 1

2 1 2

, B =

−1 5 −20 −2 1

1 −5 2

.



A =

−7 6 −2 4 1

−5 5 3 −3 −4−3 2 −7 7 6

, B =

−3 −6 −3−5 −4 −12 4 2

1 5 −21 −5 4

.


A

−1 −32 −41 4

=

[8 −3

−15 −8

].


A

−12

1

, A

−3−44

, A

−4−25

, A

3

4

−4


A =

[−1 2 1

−2 3 4

], b =

−41

2

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−4 −1 −5 −3−1 6 0 −21 −2 7 4

−3 3 4 7

, B =

4 3 −71 −4 1

−1 2 3

−2 −2 −1

.



a1 =

−11

3

−2

, a2 =

0

1

−32

, b =

1

−33

−2

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)3,3 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 27 TMMA.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

−1 1 −3 4

3 2 −2 4

−2 −3 0 −4

, B =

3 4

−4 1

−4 −31 −1

, C =

[−2 −13 0

].

Tarea 1, variante 27 TMMA, pagina 1 de 4


A =

[−2 1 −23 −4 1

], B =

−2 −55 −20 −5


A =

5 −4 −23 2 1

−1 −3 4

, B =

1 4 −10 5 −43 −2 −3


A =

1 −2 −2 3 −1

−2 −3 4 4 4

2 3 −4 2 1

4 −1 −3 3 1

, B =

1 2 −33 3 −21 4 −1

−1 −2 −44 4 0

, C =

4 −4 4

3 −4 1

0 −1 −3−3 −2 −11 −1 4

.


A =

1 6 −3 −66 −1 5 5

−1 3 −4 −2−2 −3 3 0

, B =

0 −5 −64 7 7

−6 6 2

1 −1 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A+ 2I)(A− 4I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

3 1 −42 4 0

4 3 −1


A =

2 0 1

2 1 2

3 1 2

, B =

0 −1 1

−3 −1 2

1 2 −2

.



A =

−1 2 6 5

5 2 1 3

−4 −1 −3 −7

, B =

3 −3 −4 4

−2 −7 −7 6

2 −5 3 −20 7 2 −1

.


A

0 4

3 1

2 −3

=

[2 4

9 −2

].


A

032

, A

4

1

−3

, A

4

4

−1

, A

8

2

−6


A =

[2 1 3 0

−3 5 4 −1

], b =

−5−23

4

.


A =

1 −2 −7 7 0

−3 3 −7 7 −1−3 1 4 4 2

, B =

2 5 −54 0 3

3 5 −37 6 −2

−4 −7 −5

.



a1 =

1

4

−11

, a2 =

0

2

1

1

, b =

1

−2−4−2

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,2 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 28 TELD.









A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[−1 1

0 −4

], B =

[−2 −3 3 −21 2 1 0

], C =

4 0 2

−2 −3 2

−4 −1 −21 3 −1

.

Tarea 1, variante 28 TELD, pagina 1 de 4


A =

[3 4 −41 −3 −1

], B =

3 2

2 −33 4


A =

5 −5 −20 1 2

3 −4 −3

, B =

3 −4 1

4 −2 0

−3 −1 5


A =

1 −1 −2 3

1 2 0 −3−2 −4 −4 −3

, B =

−1 −2 4 4

4 3 −1 −4−2 1 −4 1

2 −4 −2 −1

, C =

−3 3 1 4

2 −1 0 −4−1 4 1 2

2 −1 −3 −2


A =

−1 −3 1 5

4 4 −4 −23 −2 −1 −53 −7 −3 5

, B =

−4 −5 −11 −4 7

2 4 −1−3 −7 3


A =

2 3 2

1 −1 −14 −3 4


A =

1 3 2

0 2 1

2 3 2

, B =

−1 0 1

−2 2 1

4 −3 −2

.



A =

−5 1 0 7 −3−2 −1 6 5 −4−6 2 −6 5 3

, B =

−7 4 5

−5 −6 3

−2 0 −3−2 4 −1−3 −4 −4

.


A

−4 2

−1 −30 4

=

[14 −48 8

].


A

−4−10

, A

2

−34

, A

−2−44

, A

−23

−4


A =

1 1 −3 5

4 −2 −4 −32 −5 4 3

, b =

3

−12

−4

.


A =

−7 −5 3 −75 4 −1 2

3 1 −4 2

−5 4 1 5

, B =

−4 2 1

3 −7 −5−3 −4 −6−2 3 0

.



a1 =

1

3

−2−1

, a2 =

1

−22

0

, b =

−3−42

2

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)4,2 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 29 UTAV.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

[−3 2 3

1 2 3

], B =

0 −31 −1

−1 −4

, C =

[−3 −2 1 −11 0 −1 2

].

Tarea 1, variante 29 UTAV, pagina 1 de 4


A =

[−5 −4 4

−2 1 0

], B =

−1 −4−3 2

−3 −5


A =

−1 1 4

−4 3 −32 0 5

, B =

−1 −3 5

−5 −2 3

−4 2 0


A =

−2 1 3 1

2 −2 3 4

4 −1 −3 −4−4 2 −2 0

, B =

4 2 −1

−4 −4 1

3 −1 2

−2 1 −2

, C =

−3 −4 4

4 −2 −42 −1 0

1 2 3


A =

−5 4 1 6

−3 3 3 2

−7 −7 7 −6

, B =

3 6 −3 −21 −7 −1 1

2 3 −6 −6−1 5 4 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 12I, 2) (A+ 4I)(A− 3I), 3) A(A+ I) − 12I.

A =

3 −2 0

−4 −3 −14 4 −2


A =

1 2 3

1 2 4

0 1 2

, B =

0 2 −22 −2 1

−1 1 0

.



A =

3 −4 4 5

3 1 −1 1

0 −1 6 2

, B =

1 −1 −7 −42 −3 6 1

−5 −2 −3 −6−2 7 5 5

.


A

−3 −2−1 4

2 1

=

[13 −14−2 9

].


A

−3−12

, A

−24

1

, A

−53

3

, A

2

−4−1


A =

[−3 2 −33 0 −4

], b =

4

3

−1


A =

2 −1 6 −3 −64 −6 5 −1 −43 −3 −4 1 0

, B =

−6 4 −4−2 5 −44 1 5

−1 −5 −33 6 3

.



a1 =

1

−30

1

, a2 =

−32

1

2

, b =

1

4

−1−4

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)3,1 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 30 VNDI.





λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

2 −2 2 −3−4 3 −1 0

3 4 −1 1

, B =

1 −1

−3 0

1 −34 −4

, C =

[1 −10 2

].

Tarea 1, variante 30 VNDI, pagina 1 de 4


A =

[−5 1 −44 4 0

], B =

−1 3

4 −1−4 −2


A =

1 3 −5−3 5 2

−1 −2 4

, B =

−3 −1 4

0 3 −41 −2 2


A =

−4 −1 −2 0

3 2 4 −44 −1 4 −3

−4 2 −2 2

, B =

−2 −3 −20 4 2

−3 −4 3

−1 −4 2

, C =

−4 2 −34 4 −1

−1 1 0

−4 1 3


A =

−4 5 −5 −2 6

1 4 3 −1 −12 −4 0 3 −2

, B =

3 5 −6 2

5 −1 −7 −2−4 7 2 −3−3 1 −2 −4−1 6 4 0

.


A =

−1 2 1

−3 −2 4

−1 0 1


A =

1 1 1

1 0 1

2 4 3

, B =

4 −1 −11 −1 0

−4 2 1

.



A =

5 1 −4 2 4

−3 −1 −1 −4 4

−2 −5 6 −3 1

, B =

−4 6 5

4 −1 −65 4 1

6 −2 2

−3 −6 3

.


A

3 −3−2 4

0 1

=

[−3 0

3 5

].


A

3

−20

, A

−34

1

, A

021

, A

3

−4−1


A =

[−3 5 −1 5

−5 0 3 −4

], b =

−3−5−4−2

.


A =

0 −7 −6 7

4 7 1 2

6 −2 −7 −33 −5 −3 6

, B =

−2 −3 2

0 1 −4−2 2 5

−6 −1 3

.



a1 =

1

3

−1−3

, a2 =

0

−31

1

, b =

−23

−13

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)4,2 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 31 VHA.





a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

−4 −2 1 2

4 −1 −2 −30 3 3 1

, B =

−1 2

−2 −10 1

2 3

, C =

[2 −23 4

].

Tarea 1, variante 31 VHA, pagina 1 de 4


A =

[1 −2 −5

−2 −3 2

], B =

−3 2

−4 0

−1 5


A =

5 0 −4−5 −3 2

−2 4 −1

, B =

−3 1 5

−1 −4 −53 4 0


A =

−2 −1 3 1

2 −1 4 −32 −3 1 −2

, B =

−3 4 3 −13 −2 −4 −1

−2 0 2 −34 −2 1 3

, C =

2 −1 −1 −3

−3 −2 −4 4

−1 4 3 1

1 3 2 −4


A =

−4 5 1 1 −46 −7 7 5 −3

−5 0 −1 −1 6

, B =

0 −1 −6 −7

−2 3 1 −3−4 2 3 −17 2 6 5

4 5 1 −3

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 12, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 12I, 2) (A+ 3I)(A− 4I), 3) A(A− I) − 12I.

A =

−2 4 3

−2 3 −4−4 2 1


A =

0 2 1

1 4 2

2 1 1

, B =

−2 1 0

−3 2 −17 −4 2

.



A =

−1 1 −5 0

1 6 −3 −53 −2 6 −2

, B =

−4 1 7 −74 1 2 3

7 −3 −3 5

−6 4 6 3

.


A

−2 1

−3 0

−5 5

=

[−2 10

15 −8

].


A

−2−3−5

, A

105

, A

−1−30

, A

−30

−15


A =

4 −1 −1 3

3 2 −5 1

0 5 1 2

, b =

1

−23

5

.


A =

4 1 2 −1 1

−7 −3 5 7 −1−5 −3 5 7 0

, B =

−2 0 −36 −1 5

3 4 1

1 2 4

−3 2 7

.



a1 =

2

1

1

−3

, a2 =

2

1

2

0

, b =

−2−1−3−3

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,2 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 32 VMJJ.





1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

−4 0

3 2

−4 −3−2 1

, B =

[−2 −2 0

−3 2 −3

], C =

−2 0

4 4

3 −3

.

Tarea 1, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 4


A =

[2 0 −22 1 −4

], B =

−1 2

−1 4

−5 −3


A =

−5 −4 5

−1 1 −20 2 3

, B =

3 −1 −40 5 4

−3 −2 1


A =

1 −4 −3 2

3 −4 2 −1−1 4 0 1

, B =

2 −4 −1 −1

−3 4 −1 1

3 3 0 −3−4 1 −2 2

, C =

3 −3 −4 −21 −2 0 2

−3 1 −1 4

−2 3 3 −1


A =

6 4 −1 5 4

−2 2 0 3 −33 7 −1 7 −6

, B =

−6 −2 −12 7 −62 3 −13 −3 5

7 −3 0

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 8I, 2) (A+ 4I)(A− 2I), 3) A(A+ 2I) − 8I.

A =

−4 1 3

1 −3 −2−2 2 −1


A =

2 1 1

2 3 4

3 3 4

, B =

0 −1 1

4 5 −5−3 −3 4

.



A =

7 2 0 −6 −53 −5 4 −4 1

−1 1 −7 −1 −4

, B =

4 −3 6

3 0 −5−5 −6 −6−2 −4 −17 7 4

.


A

−3 −21 3

2 0

=

[3 11

14 −4

].


A

−31

2

, A

−23

0

, A

−54

2

, A

−46

0


A =

[−5 −1 4

5 5 3

], b =

2

−3−1


A =

−4 −4 3 −3−2 −6 6 −73 1 4 −5

−3 4 −2 6

, B =

−5 −6 7

6 5 −15 −2 −2

−1 −5 1

.



a1 =

1

1

2

2

, a2 =

2

1

0

1

, b =

−5−22

−1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)3,4 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 33 GMOA.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

2 −1 1

−1 3 1

−4 −3 4

0 2 −2

, B =

−2 −4−4 −3−1 −2

, C =

[−2 −12 2

].

Tarea 1, variante 33 GMOA, pagina 1 de 4


A =

[1 −2 −22 −1 −3

], B =

−3 −41 0

2 −5


A =

−4 1 2

3 −2 −1−5 −3 0

, B =

3 −3 −51 4 0

5 −1 −2


A =

3 −1 3 −3 2

0 −2 2 2 −4−3 3 −4 1 4

, B =

−2 1 4 3

−1 4 2 −32 1 −3 2

−4 −2 4 4

−3 −2 0 −2

, C =

−3 1 4 4

4 −1 −2 4

2 −2 −4 −3−3 −3 −1 3

−4 −4 −2 0

.


A =

−1 −4 1 −5−2 −1 1 7

−2 0 3 2

, B =

3 2 −6 1

−6 6 5 1

−4 4 −7 −43 −2 −2 −1


A =

−3 −4 −2−1 0 2

2 −1 −3


A =

2 0 −11 2 1

3 3 1

, B =

−1 −3 2

2 5 −3−3 −6 4

.



A =

3 −7 6 4

4 −2 7 2

−1 3 −6 5

, B =

−1 −2 6 2

3 1 −5 4

2 5 −5 −16 −3 4 −2

.


A

−3 3

−5 2

5 −4

=

[−8 6

10 −15

].


A

−3−55

, A

3

2

−4

, A

0

−31

, A

−9−612


A =

[5 4 3 −41 2 −1 1

], b =

4

−3−15

.


A =

2 −2 −5 −4 1

−6 5 6 −2 −4−3 −1 0 4 2

, B =

2 7 −74 −3 −6

−3 6 −53 −2 −4

−6 −4 1

.



a1 =

2

1

−1−2

, a2 =

0

−12

1

, b =

−41

−41

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)1,2 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 34 VALA.









A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

−3 4 3

3 −1 −22 0 −3

−4 1 2

, B =

−1 −2−1 1

0 −3

, C =

[3 2

−2 −1

].

Tarea 1, variante 34 VALA, pagina 1 de 4


A =

[−3 −2 −12 −2 1

], B =

−4 2

4 5

5 −3


A =

−3 4 −21 −5 3

5 0 −1

, B =

0 −4 −52 −3 4

−1 1 3


A =

−3 −3 4 −1 3

−1 −4 1 1 0

−4 1 2 −2 −3

, B =

−3 1 −3 −33 −1 −2 3

−2 3 −1 −12 −4 −4 1

1 −4 2 0

, C =

−2 2 2 −14 −3 −3 3

3 −4 −4 −23 0 2 −1

−2 −4 −4 −3

.


A =

−7 −1 1 −76 −6 −2 −56 2 −6 3

7 −3 −2 1

, B =

−1 3 0

−3 5 −25 4 −66 −6 2


A =

4 1 1

3 3 −42 −1 4


A =

3 2 1

4 1 2

2 0 1

, B =

1 −2 3

0 1 −2−2 4 −5

.



A =

−2 0 6 −2 5

−6 1 3 2 −43 −1 −5 1 −5

, B =

−4 2 1

5 0 −6−6 −1 4

6 −3 7

1 3 −4

.


A

4 −12 −20 −5

=

[2 11

10 11

].


A

420

, A

−1−2−5

, A

3

0

−5

, A

2

4

10


A =

2 −3 5 0

4 −4 −1 −5−2 4 1 5

, b =

4

2

−13

.


A =

−6 −5 −4 −1−3 4 5 5

−7 7 2 3

3 −7 −6 0

, B =

−4 0 −1−2 1 −57 −3 3

−2 −5 −6

.



a1 =

−11

2

0

, a2 =

3

−2−11

, b =

3

−14

2

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)2,3 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 35 ZPJ.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

−3 −4 −4 −13 −2 4 4

3 1 0 2

, B =

−4 −2 3

1 2 −32 0 −31 4 −1

, C =

0 1

2 4

1 3

.

Tarea 1, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 4


A =

[2 3 1

−3 −2 −2

], B =

−4 −12 1

3 5


A =

3 −2 4

−4 −3 1

0 −1 2

, B =

−3 0 4

5 3 1

−2 2 −1


A =

−2 −1 −1 1 1

−3 2 −2 1 −22 4 3 2 4

, B =

−3 1 −4 4

3 −2 −2 −4−3 1 3 4

−1 −4 −2 2

−2 −3 2 −4

, C =

4 −2 −4 −21 4 −4 3

−2 −3 1 1

−2 2 2 −1−4 −1 3 2

.


A =

4 2 −3 4

0 2 3 1

−3 −1 −4 −1

, B =

5 −5 −3 7

−2 1 1 5

2 0 3 4

−5 4 −3 −2


A =

2 1 2

−3 1 3

0 3 −1


A =

1 0 3

1 2 2

1 −1 3

, B =

−8 3 6

1 0 −13 −1 −2

.



A =

0 −7 −4 −2−1 5 5 −4−6 7 4 −1

, B =

2 3 2 −1

−3 4 −3 5

1 −6 3 −4−4 4 −1 −2

.


A

−5 5

−2 0

1 −1

=

[8 0

−6 4

].


A

−5−21

, A

5

0

−1

, A

0

−20

, A

10

0

−2


A =

[−2 2 −45 −4 −2

], b =

−15

−2


A =

−2 6 3 1 0

−1 −6 5 2 −4−3 −2 7 −4 2

, B =

−4 0 −3−1 1 −4−3 2 3

5 −6 5

−6 1 3

.



a1 =

1

1

1

2

, a2 =

1

0

1

3

, b =

1

2

1

1

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)4,3 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 36 BRMF.





λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

[0 3 −24 −1 1

], B =

0 2

1 −42 −1

, C =

[4 −4 −1 2

2 −1 3 −3

].

Tarea 1, variante 36 BRMF, pagina 1 de 4


A =

[3 −3 4

−4 2 −5

], B =

2 5

1 −34 −1


A =

0 4 3

5 −1 −2−5 2 −3

, B =

−3 2 −4−1 −5 0

4 1 −2


A =

1 −2 2 1 −24 3 −1 1 −1

−3 0 −3 3 3

, B =

3 −1 −1 −2

−3 1 4 4

−2 −2 3 4

0 4 2 −32 −1 3 3

, C =

2 2 3 3

−1 −4 −1 −1−4 1 2 1

−3 −1 2 1

4 −4 3 −2

.


A =

−1 2 −6 −7 3

−7 −5 −5 7 −67 −1 1 5 6

, B =

6 −4 7

−6 3 7

−2 2 −7−1 1 3

−3 4 −4

.


A =

−4 −1 −33 0 4

2 −3 2


A =

1 3 0

1 3 1

1 4 −1

, B =

7 −3 −3−2 1 1

−1 0 0

.



A =

1 4 −6 6 3

−6 6 −5 1 5

−4 −1 2 4 −2

, B =

−1 1 4

−7 4 −6−6 5 −4−1 3 −2−2 −5 3

.


A

−4 −24 3

−5 −1

=

[−10 −513 −3

].


A

−44

−5

, A

−23

−1

, A

−67

−6

, A

4

−62


A =

[−2 −1 0 1

5 −1 3 −3

], b =

5

4

1

3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

6 −5 6 2

1 5 −6 5

−5 7 −4 −32 −4 1 3

, B =

7 −5 6

3 −4 1

0 5 −1−5 3 2

.



a1 =

1

−1−13

, a2 =

0

−21

2

, b =

−2−24

−2

.





3. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la quinta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).



Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)2,3 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 37 RMIA.





a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[3 −1 4 3

−4 2 1 −1

], B =

0 2

−3 −21 −3

−4 2

, C =

[−3 −4 3

2 −1 −2

].

Tarea 1, variante 37 RMIA, pagina 1 de 4


A =

[−5 4 −4−1 5 3

], B =

4 −11 1

0 5


A =

1 4 2

−2 −4 3

−5 −1 −3

, B =

−4 2 −11 −5 −3

−2 0 3


A =

3 3 0 −1

−3 1 −1 4

−1 1 −2 −3−2 4 −4 4

, B =

2 −2 2

1 0 1

3 −2 −14 4 3

, C =

−1 −1 −3−4 −4 4

−2 1 3

3 1 0


A =

−7 −5 −2 −40 6 −1 1

3 −2 −1 −43 2 2 6

, B =

−5 3 4

3 −1 −31 −6 7

−4 −2 −5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 4I, 2) (A+ 4I)(A+ I), 3) A(A+ 5I) + 4I.

A =

−2 −4 4

0 −3 −23 −1 1


A =

1 1 0

2 1 1

2 2 1

, B =

1 1 −10 −1 1

−2 0 1

.



A =

6 6 −6 4

3 −6 7 −2−7 4 −4 1

, B =

1 3 0 1

6 −1 2 −25 −6 7 −43 −4 2 −5

.


A

1 −1−5 3

−2 4

=

[4 8

3 −13

].


A

1

−5−2

, A

−13

4

, A

0

−22

, A

2

−6−8


A =

1 0 −1 −42 5 −3 3

2 −3 4 3

, b =

3

2

1

4

.


A =

−7 1 −4 2 −52 3 −5 −1 1

−6 −1 7 0 −6

, B =

5 3 2

−7 4 1

3 −5 −26 7 −1

−5 −4 −4

.



a1 =

0

−21

2

, a2 =

1

1

−2−2

, b =

−24

1

−2

.





4. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).


Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)4,2 = ?, (AB)2,3 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 38 MRHA.





1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[−1 −1 0

1 4 1

], B =

−3 4

2 1

1 −2

, C =

[2 −2 −2 0

1 3 −3 3

].

Tarea 1, variante 38 MRHA, pagina 1 de 4


A =

[−4 3 1

2 3 1

], B =

−1 2

−2 −31 2


A =

−5 2 −31 4 −10 3 5

, B =

−5 −2 2

3 −3 −14 1 0


A =

−3 0 2 3

−2 4 1 2

3 −4 2 −13 1 −1 4

, B =

2 4 −30 4 −4

−3 3 −12 −2 −1

, C =

1 −2 3

−3 −3 −1−2 4 4

−1 1 0


A =

−1 −4 −5 −7 −13 −5 2 −4 0

−6 3 −6 −3 2

, B =

−3 −5 4 0

3 5 1 −57 2 2 −7

−1 −4 1 6

−7 −3 5 −1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A+ I)(A− 3I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

−2 −4 4

3 0 −41 2 −3


A =

2 2 1

3 3 1

2 1 0

, B =

0 −1 1

−2 2 −13 −2 0

.



A =

−2 4 −2 −6 −12 3 6 −5 −52 3 −3 5 4

, B =

1 −6 5

1 −2 −2−6 7 −12 4 3

−5 6 0

.


A

−4 −10 −33 1

=

[7 7

−6 1

].


A

−40

3

, A

−1−31

, A

−5−34

, A

2

6

−2


A =

[5 1 5

−1 −3 2

], b =

−51

4


A =

3 −4 2 6

−3 0 4 5

−4 −5 7 5

−1 −6 3 −1

, B =

2 4 −3

−4 3 7

3 6 7

−1 −2 0

.



a1 =

2

2

0

−3

, a2 =

−1−31

2

, b =

−22

−22

.




2. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).




Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)1,1 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 39 AVMA.





a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

[1 3 −2

−3 −2 4

], B =

−2 3 2 −21 −4 −3 2

−4 0 4 −1

, C =

2 −13 4

1 0

2 3

.

Tarea 1, variante 39 AVMA, pagina 1 de 4


A =

[−2 0 −4−2 −5 1

], B =

−4 2

−3 −30 3


A =

5 −2 −1−3 0 3

4 2 −5

, B =

−3 2 5

−1 −4 0

1 3 4


A =

−4 −2 −4 1

1 −1 3 3

−1 −1 −2 4

3 2 1 −4

, B =

−4 0 −1−2 4 −43 −1 −33 −3 1

, C =

1 4 1

−4 2 3

3 −2 −20 2 −3


A =

−5 −4 −1 1

−2 2 1 −1−2 −7 −5 2

, B =

−7 −5 −7 1

5 3 −1 −2−2 5 0 −4−5 3 −3 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

3 −2 −4−3 −1 3

−1 −4 −3


A =

2 −1 −21 2 1

1 3 2

, B =

0 −4 3

−1 6 −41 −7 5

.



A =

−7 4 4 5

7 −2 −4 2

−1 0 5 −7

, B =

3 0 −2 5

7 −5 −2 5

−7 −5 −1 −1−3 2 −6 −4

.


A

5 2

−2 −1−3 0

=

[−12 1

−1 5

].


A

5

−2−3

, A

2

−10

, A

7

−3−3

, A

4

−20


A =

[4 0 −4 2

−3 1 2 −1

], b =

2

−35

1

.


A =

0 −1 6 −6 −6−7 −1 −2 5 1

5 −5 2 −3 3

, B =

−2 −7 −1−3 −1 3

5 2 −56 −3 −23 1 0

.



a1 =

1

2

−10

, a2 =

2

2

−13

, b =

−1−42

3

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,1 = ?, (AB)2,3 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 40 MCCO.









A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[−1 4

2 −2

], B =

[1 3 0

−2 1 −3

], C =

−1 1 3 −2−3 3 2 4

−1 0 −4 1

.

Tarea 1, variante 40 MCCO, pagina 1 de 4


A =

[−2 −2 4

0 1 4

], B =

2 2

−3 1

−1 3


A =

1 −5 −10 3 −22 5 −4

, B =

1 5 4

3 2 −2−1 0 −4


A =

−2 −4 −4 1

4 −1 3 0

2 2 1 −1

, B =

3 −2 −4 1

2 4 −2 2

−1 3 −2 −13 −3 4 −3

, C =

1 −1 3 −42 2 0 4

−4 −4 1 3

2 4 −1 1


A =

−7 4 3 5 1

−5 3 4 5 7

−1 −3 −2 0 −6

, B =

−3 −5 −2 −1−6 −5 3 −31 −2 2 −1

−7 4 −4 −43 2 1 6

.


A =

−4 4 4

−4 1 0

3 1 −1


A =

4 2 1

2 −1 1

1 1 0

, B =

−1 1 3

1 −1 −23 −2 −8

.



A =

3 7 −7 −2 1

−2 7 −1 −3 1

6 2 −7 4 2

, B =

−7 −5 −42 −5 −1

−4 −6 −21 0 −2

−3 4 3

.


A

0 4

−3 2

−5 1

=

[−3 −610 −13

].


A

0

−3−5

, A

421

, A

4

−1−4

, A

842


A =

4 4 −1 5

−4 2 −2 3

−2 2 −4 −5

, b =

2

−3−41

.


A =

1 7 2 −13 2 6 4

3 4 6 −17 −6 −3 −7

, B =

−4 2 1

−3 −3 2

1 6 −5−6 0 −4

.



a1 =

−2−12

1

, a2 =

3

−10

1

, b =

−1−34

3

.


1. La entrada ubicada en la interseccion del quinto renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).






Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)4,3 = ?, (AB)2,1 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 1. Variante 41.





a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

[−2 2

−1 2

], B =

[−3 0 −2 −21 1 4 2

], C =

3 4 2

−2 2 −1−4 −3 −11 4 0

.

Tarea 1, variante 41, pagina 1 de 4


A =

[1 3 −3

−2 −2 0

], B =

3 −34 2

−3 5


A =

−3 −4 −15 3 1

−2 4 −5

, B =

−2 −1 −45 2 −30 3 4


A =

1 −2 −3 4 −3

−4 2 −2 −3 3

−4 3 4 −3 −4−2 1 0 3 2

, B =

4 3 3

1 −2 −1−1 0 −4−3 −4 −21 −1 1

, C =

2 1 −4

−1 −2 −30 3 2

−2 3 −22 4 1

.


A =

2 4 1 3 −31 2 5 −5 −24 0 3 7 −2

, B =

6 −6 −21 −4 0

−2 −4 1

−3 2 −37 −6 −7

.


A =

−3 3 0

−1 4 −4−4 −2 −1


A =

2 1 0

−1 1 2

3 2 1

, B =

−3 −1 2

8 2 −4−5 −1 3

.



A =

−3 6 1 5

6 −6 3 −13 −4 −2 2

, B =

0 −7 4 7

−1 −3 5 2

−6 1 2 −14 6 −7 7

.


A

1 2

−2 0

−4 −1

=

[−7 2

−5 8

].


A

1

−2−4

, A

2

0

−1

, A

3

−2−5

, A

−40

2


A =

[−5 1 3

5 −1 −1

], b =

3

−5−1


A =

6 −2 −5 3 1

−4 −2 3 −6 6

−1 5 0 −1 −7

, B =

−4 5 7

3 −5 4

2 −2 −35 −4 −66 −2 1

.



a1 =

1

0

3

−2

, a2 =

3

1

2

−1

, b =

4

2

−22

.






4. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).


Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,4 = ?, (AB)3,2 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

−3 2 −4 1

−2 4 0 3

−1 1 4 2

, B =

−1 2

−2 −2−1 −40 2

, C =

[1 −41 0

].



A =

[0 −5 5

1 −3 −4

], B =

1 0

−2 4

−2 3


A =

1 −5 3

−4 2 −14 0 5

, B =

−1 −4 −5−3 5 2

1 4 −2


A =

3 −1 2 −3−2 1 1 4

−2 −4 2 0

, B =

4 −4 2 0

1 3 −2 −24 −2 1 −3

−1 −1 2 −1

, C =

−4 1 2 −43 1 −3 1

−1 4 −2 0

4 4 −3 −3


A =

−7 −4 −3 −6 −44 7 −5 −3 1

4 −7 3 3 0

, B =

−1 2 5

1 3 −1−4 2 6

7 −5 −2−6 6 −2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− I)(A− 4I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

−2 −4 −3−2 0 2

−3 3 1


A =

2 1 2

2 2 1

1 0 2

, B =

4 −2 −3−3 2 2

−2 1 2

.



A =

−3 −2 5 1 6

−2 −1 4 −4 −30 1 −6 2 −1

, B =

1 5 5

7 −7 −42 1 6

−3 −6 7

−4 −5 −2

.


A

−1 3

−4 5

0 −2

=

[−2 2

−3 −8

].


A

−1−40

, A

3

5

−2

, A

2

1

−2

, A

6

10

−4


A =

[−3 5 0 −5−5 −3 2 −2

], b =

−43

−21

.


A =

1 0 3 −5

−4 −4 7 3

−2 4 −1 2

−6 −5 2 4

, B =

6 3 −62 7 2

4 6 3

0 4 −2

.



a1 =

−21

2

1

, a2 =

−12

2

0

, b =

1

4

2

−2

.



2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).





Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)1,1 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[3 −2

−1 3

], B =

[1 −1 2 1

2 −4 −1 −3

], C =

3 2 −20 −4 −3

−1 2 −24 3 1

.



A =

[−2 2 −30 4 5

], B =

5 −20 4

−4 −1


A =

−2 5 −3−1 −4 4

0 2 1

, B =

−4 −3 −11 3 0

4 −2 −5


A =

2 4 −4 −3−3 2 −2 0

1 −4 3 4

, B =

4 −1 −2 0

2 −1 1 4

1 −2 2 −1−4 3 4 2

, C =

1 3 3 −2

−3 4 2 1

3 0 −2 −4−4 2 4 2


A =

−3 4 2 −5 5

0 −1 3 −3 6

1 −7 −5 −6 1

, B =

−1 5 −65 6 −6

−1 −5 4

−5 −2 1

−3 2 4

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 6I, 2) (A− 3I)(A+ 2I), 3) A(A− I) − 6I.

A =

−1 −3 4

3 −1 3

2 −3 −2


A =

4 3 3

1 0 1

3 2 2

, B =

−2 0 3

1 −1 −12 1 −3

.



A =

2 −2 1 6

−1 6 3 −3−4 −3 0 −6

, B =

−3 0 2 7

2 4 −1 −2−2 5 −3 −4−1 4 3 −7

.


A

3 −4−1 −3−2 1

=

[5 14

11 −15

].


A

3

−1−2

, A

−4−31

, A

−1−4−1

, A

4

3

−1


A =

−2 −4 2 3

−4 3 4 4

5 −2 2 5

, b =

−21

−53

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el tercer renglon de AB como unacombinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la segunda columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−4 6 −1 1 2

−1 3 3 −4 −3−3 6 5 −6 4

, B =

−6 −4 3

−5 2 6

−3 −5 5

−2 −1 6

0 −3 −4

.



a1 =

1

1

−31

, a2 =

1

0

−31

, b =

1

2

−31

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)4,3 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[−2 −1 −34 1 4

], B =

4 4

2 −1−3 0

, C =

[2 3 3 0

1 −1 −2 −1

].



A =

[−1 3 −42 −5 −3

], B =

4 −23 0

−3 4


A =

0 −1 5

−3 −4 1

3 −5 2

, B =

−3 −1 4

1 −4 5

−2 −5 3


A =

−3 −4 −4 0

−2 −3 −1 1

4 2 4 1

, B =

2 −3 3 −2

−1 −4 −2 −4−2 0 4 4

−3 −3 1 −1

, C =

2 1 −2 −3

−4 2 4 −31 3 −4 4

−3 2 0 −1


A =

4 5 5 −5 −7

−4 2 2 −1 3

−2 −2 3 6 4

1 −5 −3 −4 −3

, B =

−6 6 5

−4 −2 3

5 0 −1−1 −6 2

1 3 2

.


A =

−3 −4 −13 −2 2

−3 −1 4


A =

1 0 1

2 1 3

2 1 2

, B =

1 −1 1

−2 0 1

0 1 −1

.



A =

−1 −5 −7 −2 3

−2 −5 −3 −7 6

−1 3 2 5 0

, B =

6 −6 −7

−6 −4 −43 2 4

−3 5 2

−7 3 −5

.


A

−1 5

1 3

2 −5

=

[8 −12

−7 7

].


A

−11

2

, A

5

3

−5

, A

4

4

−3

, A

−15−915


A =

[1 5 −22 1 4

], b =

−52

−4


A =

4 5 −6 2

3 4 0 −1−7 −2 −6 6

−1 7 −3 −2

, B =

0 2 4

1 3 1

6 −2 2

3 −4 6

.



a1 =

1

2

3

−2

, a2 =

0

3

2

−1

, b =

−22

−22

.







5. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la tercera columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).

Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)1,2 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

−4 −11 0

1 −1−2 2

, B =

[−4 0 3

4 2 −2

], C =

3 −34 3

4 −1

.



A =

[3 3 −51 4 −1

], B =

−4 0

3 4

2 1


A =

2 −4 −1−2 −5 0

4 3 −3

, B =

0 5 −12 −3 −4

−2 4 3


A =

−2 3 −1 −3 1

−4 −1 −1 −2 3

0 2 4 1 1

1 −1 −2 −3 −3

, B =

−3 3 2

4 −2 −2−1 3 −21 −1 −3

−4 2 4

, C =

1 3 −3

−1 −3 1

0 3 −1−4 −3 −42 4 −4

.


A =

4 5 −2 4

3 1 5 7

1 −1 −7 6

−1 −2 6 2

, B =

−2 −1 5

5 4 1

−3 0 −3−1 −5 2

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A− 4I)(A+ 2I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

1 4 2

1 4 3

−4 −1 −1


A =

2 1 1

1 1 3

2 1 0

, B =

3 −1 −2−6 2 5

1 0 −1

.



A =

2 −6 −5 −2−7 −5 0 −3−3 −1 1 4

, B =

3 −4 5 2

6 3 0 1

2 −3 −4 6

−6 5 1 −5

.


A

0 −5−1 −42 −3

=

[5 −511 9

].


A

0

−12

, A

−5−4−3

, A

−5−5−1

, A

15129


A =

[3 5 2 2

5 4 1 0

], b =

−41

2

5

.


A =

4 3 −7 6 7

−7 6 4 −5 −4−6 5 −2 0 7

, B =

−4 5 6

−3 7 4

−7 −7 3

1 −3 2

−5 −6 0

.



a1 =

0

2

2

1

, a2 =

1

1

2

1

, b =

2

−4−2−1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,4 = ?, (AB)3,3 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e










A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[4 3 −2 −4

−1 −1 1 −2

], B =

−3 1 −23 −4 4

−4 2 −10 −2 1

, C =

0 −21 1

−1 4

.



A =

[−1 −1 0

2 3 1

], B =

1 −22 3

3 −4


A =

−5 5 −4−2 −1 −32 4 3

, B =

3 −5 −4−2 1 0

−3 4 5


A =

2 3 0 −32 3 4 −21 −1 −1 −3

, B =

2 3 −4 3

−1 −4 4 3

−2 2 1 1

−2 −3 1 2

, C =

4 −4 −3 2

−2 1 0 −1−2 4 3 1

2 4 1 −1


A =

3 −4 5 −3 −24 0 5 3 7

−1 −7 −3 −2 7

, B =

−7 7 −6 2

−3 −5 −2 1

3 −1 1 0

6 3 2 5

−6 −5 −2 −3

.


A =

−3 −1 4

−4 −4 3

−1 1 1


A =

−2 −1 1

1 1 1

2 2 1

, B =

−1 3 −21 −4 3

0 2 −1

.



A =

−5 2 −5 5 0

7 −4 −7 6 5

−3 −1 6 −7 1

, B =

2 2 5

0 1 6

3 −6 3

1 −2 5

6 −7 −1

.


A

−2 1

−1 2

−5 4

=

[6 −97 −5

].


A

−2−1−5

, A

124

, A

−11

−1

, A

−2−4−8


A =

−4 −3 −1 −22 2 −3 3

1 0 −4 3

, b =

4

−2−1−3

.

Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el cuarto renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la primera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A yhaga la comprobacion.

A =

−1 −4 −5 −6−5 −6 −3 1

7 −2 7 3

5 −3 4 1

, B =

1 2 −32 5 −6

−6 −4 6

6 5 1

.



a1 =

−12

1

−3

, a2 =

1

−10

3

, b =

1

1

2

3

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

2 −20 1

1 −4

, B =

[−4 1 1 −1−2 3 2 4

], C =

2 2

−2 3

4 3

−1 −1

.



A =

[−3 −2 −3−2 2 4

], B =

3 −44 3

2 0


A =

−3 2 −14 5 3

−2 −4 1

, B =

−2 3 4

−1 −4 0

1 5 2


A =

1 2 −4 −22 2 −4 −31 −1 −1 −1

−2 −2 1 −4

, B =

−3 −1 4

−2 1 3

0 −2 2

4 1 −3

, C =

−4 2 −1−2 −2 3

−4 0 3

1 2 1


A =

1 −6 −5 4

−6 0 3 2

7 6 −1 −1

, B =

−2 −4 7 2

2 6 −4 −6−2 −7 5 1

5 7 −5 −3


A =

4 1 2

1 4 0

3 −1 −1


A =

1 0 3

3 1 3

3 1 4

, B =

1 3 −3−3 −5 6

0 −1 1

.



A =

2 −4 −7 5

1 −2 −1 −1−7 −4 −5 1

, B =

2 −4 4 5

3 2 −3 −6−1 −5 6 4

−6 −7 7 1

.


A

−2 3

1 2

0 4

=

[0 3

−3 −8

].


A

−21

0

, A

324

, A

134

, A

−3−2−4


A =

[−4 −3 1

−1 1 −1

], b =

−51

−4

.Ejercicio 15. 1%.Calcule el producto AB. Recuerde la formula que representa el segundo renglon de AB comouna combinacion lineal de los renglones de B y haga la comprobacion. Recuerde la formula querepresenta la tercera columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A y hagala comprobacion.

A =

3 0 5 2 −1−4 −6 −3 3 2

7 4 4 −7 1

, B =

5 4 2

6 1 3

−6 −4 −72 7 −13 4 −5

.



a1 =

3

2

1

−2

, a2 =

1

2

0

1

, b =

−12

−14

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)4,1 = ?, (AB)2,3 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

0 4 3

1 2 1

−2 −2 −4−3 −1 3

, B =

2 1

−1 −21 0

, C =

[3 −30 −3

].



A =

[−1 4 −25 4 1

], B =

4 2

−2 4

2 −5


A =

4 −5 0

3 −1 −35 −4 −2

, B =

−3 −1 −2−5 4 2

3 0 −4


A =

−4 1 −3 2 −3−2 3 1 −1 2

−2 −1 −4 −3 2

1 −2 0 1 4

, B =

−2 3 −43 2 4

−1 −1 −3−1 4 3

2 2 4

, C =

4 3 3

0 −4 −34 −2 2

−3 3 4

−4 −3 2

.


A =

−2 −3 2 4

0 1 −2 3

−3 −1 3 1

, B =

−7 −5 2 −1−7 6 −1 −2−4 7 3 3

−4 −3 5 0

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 8, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 8I, 2) (A+ 2I)(A− 4I), 3) A(A− 2I) − 8I.

A =

1 −4 −33 3 0

4 −1 −2


A =

1 1 1

1 2 2

1 −2 −1

, B =

2 −1 1

3 −2 −1−4 3 1

.



A =

−2 6 2 −5 7

5 −5 3 7 −70 −1 −2 −1 1

, B =

4 −3 4

3 3 6

−2 2 6

1 7 2

−4 −1 −1

.


A

−2 3

1 5

−1 −3

=

[9 −4

−10 −7

].


A

−21

−1

, A

3

5

−3

, A

1

6

−4

, A

6

10

−6


A =

[5 1 1 −4

−3 2 4 −1

], b =

5

3

1

4

.


A =

−2 0 6 −4−1 3 1 4

−3 −6 −5 −42 3 4 5

, B =

3 −4 1

2 7 5

−7 −6 −2−2 2 4

.



a1 =

1

−21

0

, a2 =

−14

1

1

, b =

2

−24

1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[−1 −2 0

1 4 1

], B =

−2 −1 0 2

−2 4 −3 1

3 1 −4 −4

, C =

−1 −2−3 3

−2 2

4 0

.



A =

[3 −5 3

0 2 2

], B =

4 −31 −33 −1


A =

−4 −3 5

−5 3 2

−2 1 0

, B =

4 2 −11 −2 −30 −4 −5


A =

3 4 3 2

2 4 0 1

−2 −3 −4 −1

, B =

4 1 0 −4

−4 2 1 −3−3 −2 −4 1

−2 −3 −2 3

, C =

3 0 −3 3

1 −4 −1 −21 −1 3 1

−4 −1 −4 4


A =

6 −6 −1 1 −2−6 −5 2 5 7

−4 0 1 2 −1

, B =

2 −2 −11 −1 −4

−2 −6 −73 −6 0

1 5 3

.


A =

−1 2 1

−2 −1 −3−4 1 −4


A =

−1 1 1

2 2 1

−2 1 1

, B =

0 0 −1−4 1 3

6 −1 −4

.



A =

1 −5 6 3

2 6 −1 −1−3 1 −4 −4

, B =

7 −5 0 4

−2 4 −4 −75 −2 −6 −4

−3 −1 2 2

.


A

0 −3−1 4

2 −2

=

[−5 −4−10 7

].


A

0

−12

, A

−34

−2

, A

−33

0

, A

9

−126


A =

−4 5 2 −34 −5 1 −55 2 −4 1

, b =

4

1

2

5

.


A =

2 6 −6 4 −1−6 −2 −4 5 4

−2 −5 0 −1 −3

, B =

1 6 3

2 −7 −65 −7 1

6 −2 0

−4 7 −4

.



a1 =

1

−40

1

, a2 =

−11

2

−1

, b =

−1−24

−1

.


1. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).






Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,1 = ?, (AB)4,2 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[−2 −32 0

], B =

[−1 2 −1 −2−2 0 1 4

], C =

−4 3 1

2 3 −2−3 0 −1−3 4 2

.



A =

[−4 4 −30 −5 −1

], B =

2 1

2 3

4 5


A =

0 −3 2

1 5 3

−4 −5 −2

, B =

0 2 5

3 4 −31 −2 −1


A =

2 −1 −1 4

4 −1 −4 1

3 3 3 2

−2 −4 0 1

, B =

−2 −3 4

−1 1 −3−4 0 4

2 −1 −4

, C =

−1 −2 −33 3 −44 −2 4

1 2 0


A =

7 −4 −6 −75 −3 −1 0

−3 1 4 5

−1 1 −6 −5

, B =

−6 2 7

−6 −1 6

−5 4 −77 −3 4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + x − 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 +A− 6I, 2) (A− 2I)(A+ 3I), 3) A(A+ I) − 6I.

A =

−3 4 −1−4 −4 4

−1 2 3


A =

1 3 2

−2 1 1

−1 1 1

, B =

0 −1 1

1 3 −5−1 −4 6

.



A =

1 4 6 7 −73 2 −4 −5 7

−6 −2 6 −4 −3

, B =

4 −5 −5

−1 −4 3

5 1 −1−7 4 −41 5 0

.


A

−3 −22 0

−1 −4

=

[−3 −4−14 2

].


A

−32

−1

, A

−20

−4

, A

−52

−5

, A

6

0

12


A =

[−2 4 3

−2 −1 4

], b =

3

−45


A =

7 −7 5 3

−3 5 −2 −77 −1 −6 −2

−1 2 1 −3

, B =

−6 −3 4

−3 −2 7

1 1 7

−4 0 −2

.



a1 =

−22

1

3

, a2 =

1

0

1

−2

, b =

1

2

4

−3

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,1 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

2 −4 −1 0

4 3 1 −2−2 2 −3 3

, B =

−2 1

1 2

−1 −4−1 0

, C =

[4 3

−3 −1

].



A =

[−3 0 1

1 −2 −4

], B =

−4 −14 2

−3 −1


A =

5 1 −24 −1 −32 3 0

, B =

4 1 −1−4 2 −3−2 0 3


A =

4 0 −1 4

2 −4 3 4

−3 −4 2 −32 −2 −3 3

, B =

−2 4 −33 −1 −3

−4 1 3

0 −4 2

, C =

1 −1 1

−3 −2 4

−2 3 4

3 0 −3


A =

−6 −4 −3 −6 0

−1 1 −3 6 5

2 −5 5 −4 3

, B =

1 −7 −62 −2 1

0 6 4

2 4 −13 −6 −2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − x − 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 −A− 2I, 2) (A− 2I)(A+ I), 3) A(A− I) − 2I.

A =

3 2 −10 4 3

−1 −4 4


A =

1 2 3

1 2 2

1 1 4

, B =

−6 5 2

2 −1 −11 −1 0

.



A =

7 −3 6 −12 −5 4 3

−3 0 4 −1

, B =

−5 −6 −4 −6−7 2 −3 0

3 6 5 4

1 3 −2 6

.


A

1 0

2 3

−3 −2

=

[10 0

−7 −9

].


A

1

2

−3

, A

0

3

−2

, A

1

5

−5

, A

0

−32


A =

[2 −1 −3 −1

−3 0 5 1

], b =

−2−1−45

.


A =

2 1 3 2 −51 6 5 6 −67 −3 −4 −2 −7

, B =

6 2 −35 4 3

−7 −4 −65 3 −24 −1 −3

.



a1 =

−22

0

1

, a2 =

2

−21

−2

, b =

−44

1

1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)4,1 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e










A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[0 −1 −1 −21 −2 −3 −3

], B =

−2 −1 −34 −1 1

1 0 −3−4 2 3

, C =

−2 4

4 3

−2 0

.



A =

[−5 −3 −24 1 −4

], B =

1 −5−2 −1−1 0


A =

−5 −4 4

−3 1 5

0 2 −2

, B =

4 2 −2−3 0 −55 1 −1


A =

−2 −1 −3 −4 1

3 −1 −2 2 0

4 −3 −2 4 3

, B =

−1 1 1

2 3 −43 3 0

2 −1 −24 −1 −3

, C =

0 4 4

−1 −1 −2−3 1 −43 −4 −1

−3 2 1

.


A =

4 0 −1 −2 −22 2 −5 −6 −51 4 −1 −4 5

, B =

4 −5 −1

−6 2 3

3 −2 5

−7 6 −4−3 1 −1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 4I, 2) (A+ 4I)(A+ I), 3) A(A+ 5I) + 4I.

A =

4 2 −4−2 −2 1

−1 2 −1


A =

1 1 1

0 2 1

1 2 1

, B =

0 −1 1

0 0 1

2 1 −2

.



A =

−4 −4 −7 3 3

−6 −3 −7 6 1

6 −6 0 −5 −5

, B =

−3 −5 −3−2 −4 1

6 7 4

4 0 7

2 1 −4

.


A

−4 0

5 1

−5 2

=

[10 3

−15 0

].


A

−45

−5

, A

012

, A

−46

−3

, A

024


A =

4 3 −2 −1−2 0 1 −15 2 5 3

, b =

−45

2

1

.


A =

3 −2 −1 1

−3 −5 −1 −43 0 −4 5

5 −2 2 −7

, B =

0 4 2

1 6 −2−2 −1 −13 −4 5

.



a1 =

0

−13

3

, a2 =

−1−13

1

, b =

−3−13

−3

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,4 = ?, (AB)1,2 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

−2 −2 1

−4 −3 0

2 3 −3

, B =

2 2 1 −2−3 −1 0 3

−3 3 −4 4

, C =

−2 0

−2 2

−3 4

−1 1

.



A =

[4 1 −15 0 2

], B =

1 −2−1 −52 0


A =

0 2 3

5 −4 1

−1 −5 −2

, B =

3 −1 −41 5 0

−3 −2 2


A =

1 4 2 1 −11 3 0 3 4

1 2 −4 −4 −3−3 3 −4 −3 −3

, B =

4 −2 0

−2 −3 2

1 −4 −31 3 3

−4 4 −2

, C =

−3 0 2

−3 2 −11 2 −43 −3 4

1 3 1

.


A =

7 3 −2 1 −3

−6 −7 6 4 −47 2 −3 1 −7

−1 0 3 4 6

, B =

−3 −2 2

6 −5 −41 −7 −47 5 2

−2 3 0

.


A =

−2 −1 −41 0 −22 −1 2


A =

2 −1 1

1 1 1

−1 4 1

, B =

−3 5 −2−2 3 −16 −7 3

.



A =

−7 6 2 2

4 −2 0 5

7 −7 6 −2

, B =

3 −5 6 −50 −3 3 −2

−4 −1 1 6

4 5 2 −3

.


A

−5 3

−3 1

2 −1

=

[4 1

12 −10

].


A

−5−32

, A

3

1

−1

, A

−2−21

, A

6

2

−2


A =

[2 −3 −5

−1 2 0

], b =

−2−5−1


A =

3 −1 7 −4 −5−6 −3 1 −1 3

1 5 −5 4 7

, B =

−5 −4 −47 5 7

1 3 3

−1 −3 −5−3 −2 5

.



a1 =

−12

1

2

, a2 =

1

1

0

−3

, b =

1

4

1

−4

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)4,2 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

[−3 0 −2−2 2 2

], B =

−3 0

−3 1

−2 −1

, C =

[1 1 −3 −1

−2 −4 4 4

].



A =

[2 −3 5

2 −1 −3

], B =

−4 −2−4 −51 −5


A =

−2 1 −35 −4 −53 4 −1

, B =

0 2 3

1 −3 −25 −1 4


A =

1 3 1 1 −43 −1 2 0 −1

−2 −2 −1 1 4

−3 −1 3 −3 3

, B =

2 −1 1

1 2 −2−4 3 −3−3 4 −4−2 −2 −4

, C =

2 1 −4

−4 −1 4

−3 2 −11 −3 3

0 4 3

.


A =

1 −7 5 −7 2

−6 −4 −6 −5 3

3 7 1 6 −4−1 −1 2 −3 5

, B =

6 −2 2

−2 0 −4−5 −4 5

−1 1 4

1 −3 3

.


A =

1 −3 −32 3 1

3 4 4


A =

1 3 3

1 3 4

0 1 2

, B =

−2 3 −32 −2 1

−1 1 0

.



A =

−2 7 0 7 −11 2 −2 6 2

4 3 1 5 −3

, B =

−5 0 −3−4 3 3

7 −6 −25 2 1

6 −2 4

.


A

−1 −23 2

1 0

=

[11 12

−3 −4

].


A

−13

1

, A

−22

0

, A

−35

1

, A

−66

0


A =

[−4 −2 2 1

3 −1 2 5

], b =

1

4

−53

.


A =

6 −2 7 7

3 −5 −3 4

5 5 4 1

−1 3 −3 −5

, B =

1 3 4

4 1 5

0 −3 −23 2 2

.



a1 =

2

−20

1

, a2 =

3

−21

2

, b =

3

−4−11

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)1,3 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

−4 −13 −2

−1 −32 −3

, B =

[4 4 3

2 0 1

], C =

2 −2−1 0

1 1

.



A =

[−2 −2 −4−4 3 −3

], B =

−1 −55 −1

−2 0


A =

0 −2 5

3 −3 1

2 −4 −1

, B =

−1 4 5

2 −2 −31 0 3


A =

−3 1 −1 3

−2 4 1 −40 4 −1 −2

, B =

−2 −4 −4 2

4 2 3 1

−4 4 −1 −31 2 0 −2

, C =

−2 0 3 2

−3 −1 3 4

3 −2 1 1

−2 −1 4 −1


A =

1 3 −4 −14 −1 5 5

−2 −5 −5 −32 −4 0 7

, B =

−1 7 −65 −2 −5

−5 −7 4

4 1 −4

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 5x + 6, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 5A+ 6I, 2) (A+ 3I)(A+ 2I), 3) A(A+ 5I) + 6I.

A =

2 0 4

3 3 −2−4 −4 1


A =

1 2 1

1 1 1

1 −1 2

, B =

−3 5 −11 −1 0

2 −3 1

.



A =

−5 2 −4 1

−6 1 0 −3−6 3 4 −2

, B =

−3 −3 0 1

−6 −5 3 −21 −1 −4 −7

−4 5 −1 −6

.


A

0 −41 −55 −3

=

[−1 1

0 10

].


A

015

, A

−4−5−3

, A

−4−42

, A

8

10

6


A =

−2 4 5 −1−1 5 2 3

1 3 −3 4

, b =

−32

−5−1

.


A =

4 −7 −6 −1 −21 2 0 −1 7

−2 5 7 4 2

, B =

−6 4 −10 2 −4

−5 7 −3−2 −4 2

4 −6 6

.



a1 =

2

−1−21

, a2 =

3

0

−21

, b =

−5−22

−1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,2 = ?, (AB)4,3 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

3 −1 −2 0

2 3 −4 2

−2 −3 1 4

, B =

1 −2 −14 3 −32 3 0

2 −1 −4

, C =

2 −41 2

1 −2

.



A =

[3 2 3

0 −3 −5

], B =

1 1

2 −32 3


A =

−3 3 −55 0 −12 4 1

, B =

3 5 0

1 −2 −54 −3 −1


A =

−1 −3 −1 −2−2 −4 2 0

−2 3 3 1

−3 −4 −3 1

, B =

3 4 −30 −1 −2

−1 −2 4

2 1 −3

, C =

−1 1 −44 4 −13 2 −33 −3 −2


A =

−5 −3 −7 −6 −42 1 4 4 5

6 0 −2 −4 −23 −3 −7 2 −6

, B =

1 5 7

6 2 −2−6 −6 −27 4 2

3 6 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

−1 −4 2

−2 −3 −3−2 1 −4


A =

1 1 1

1 2 1

2 4 3

, B =

2 1 −1−1 1 0

0 −2 1

.



A =

−1 −4 −1 2 4

5 6 −3 −7 1

7 2 −6 −4 −3

, B =

−3 4 −55 −2 5

7 0 −1−6 4 −21 −7 −5

.


A

4 −41 −50 3

=

[4 −89 −9

].


A

410

, A

−4−53

, A

0

−43

, A

−12−159


A =

[1 5 −20 1 3

], b =

−1−32


A =

−3 6 0 7

−6 4 7 5

−7 −2 1 −63 −2 −4 −3

, B =

−1 1 −15 −4 4

−5 −3 −4−3 6 −5

.



a1 =

−11

2

0

, a2 =

1

2

2

−1

, b =

5

1

−2−2

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,3 = ?, (AB)2,1 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

[3 4 −2 −10 1 2 −2

], B =

−1 4 −12 −4 −2

−3 1 −42 3 0

, C =

−3 −2−2 −12 0

.



A =

[2 1 −1

−4 3 −4

], B =

−3 −31 5

4 4


A =

−4 5 −11 −2 −53 2 0

, B =

−2 3 −12 4 5

−5 −4 0


A =

−3 1 2 −23 −2 2 0

2 −3 −3 4

−2 4 1 −4

, B =

−4 1 0

4 −1 −14 1 −22 −3 −2

, C =

3 4 −30 −1 −22 1 −33 −4 1


A =

7 4 4 −3 5

−2 −5 −1 −1 1

−3 −2 6 1 −6

, B =

3 1 2

1 4 −4−1 −4 3

5 −3 −10 −6 5

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 2A− 3I, 2) (A− I)(A+ 3I), 3) A(A+ 2I) − 3I.

A =

3 4 4

0 2 −12 3 −2


A =

−1 2 1

1 2 4

0 1 1

, B =

−2 −1 6

−1 −1 5

1 1 −4

.



A =

−4 5 4 −61 0 −3 1

−7 −2 −2 −1

, B =

−4 −3 −2 2

−6 −5 6 3

5 0 −7 4

−1 −7 3 7

.


A

0 −11 −2

−3 −4

=

[−15 −1513 10

].


A

0

1

−3

, A

−1−2−4

, A

−1−1−7

, A

−3−6−12


A =

[−2 −3 −2 −33 2 −4 −4

], b =

3

−52

4

.


A =

0 3 7 1 −51 −4 3 −7 7

2 5 6 −4 −3

, B =

−4 1 4

−5 6 −42 −2 −10 2 3

−7 1 −2

.



a1 =

0

2

1

−1

, a2 =

2

−2−11

, b =

4

2

1

−1

.





4. La entrada ubicada en la interseccion del cuarto renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).


Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e










A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

[−2 2 2

0 −2 −1

], B =

2 1 0 3

−3 4 −1 3

−2 −4 −1 2

, C =

−2 1

−3 −14 −12 0

.



A =

[−1 1 0

−2 −1 4

], B =

−5 −3−5 3

3 0


A =

5 3 −3−4 −1 −2−5 0 4

, B =

−1 −4 −30 4 2

5 −2 1


A =

2 −4 −1 4 4

4 2 1 −1 1

−3 −2 −2 1 1

−3 3 2 −4 −4

, B =

−3 −3 0

3 −4 −14 4 3

−1 −4 1

3 1 −3

, C =

−2 −3 −1−3 −4 2

−1 −2 1

−1 −2 3

0 1 −3

.


A =

−6 −1 0 5

5 −3 −4 −32 4 2 −5

, B =

0 6 −7 −31 −2 −2 −1

−5 4 3 3

−4 2 −4 2


A =

2 −4 −24 0 1

−1 −2 −4


A =

1 3 1

2 4 3

1 2 2

, B =

−2 4 −51 −1 1

0 0 2

.



A =

−4 −2 −3 −1 2

5 2 −5 −1 3

1 −5 −3 5 4

, B =

3 4 7

−5 −3 −46 −2 −1

−4 1 −7−5 2 −2

.


A

5 −50 2

−1 −3

=

[−7 15

−7 −9

].


A

5

0

−1

, A

−52

−3

, A

0

2

−4

, A

5

−23


A =

−4 0 3 2

−1 −4 −2 3

5 −5 4 −5

, b =

3

5

−12

.


A =

−5 −4 3 2

−6 −6 −3 −1−1 1 3 5

4 −3 1 −2

, B =

−5 −5 4

6 5 −3−7 2 −4−6 −1 −4

.



a1 =

−21

1

0

, a2 =

−22

1

1

, b =

2

−3−1−2

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

[−1 2

−2 0

], B =

[0 2 4 −1

−1 4 −3 −4

], C =

−4 −2 −3−2 4 3

0 1 −12 −1 1

.



A =

[2 −1 0

3 1 5

], B =

2 −1−2 −22 5


A =

−4 −1 −3−2 5 2

3 0 −5

, B =

4 −5 −32 −2 −41 3 0


A =

1 −4 0 3

−3 1 2 4

−3 −2 3 −4

, B =

−4 1 1 −2−1 2 2 −23 3 3 −31 2 0 4

, C =

−1 −4 −4 1

2 −3 2 −2−1 2 −4 4

−1 1 3 0


A =

−3 5 3 −4 −14 5 −2 −7 −12 −3 −5 4 −2

, B =

3 −2 −6

−5 1 4

4 −3 −61 −2 0

−3 −1 2

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− 4I)(A− I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

3 3 0

−3 1 −1−4 −3 −4


A =

2 4 3

1 0 1

1 1 1

, B =

−1 −1 4

0 −1 2

1 2 −4

.



A =

1 3 −3 −1−1 −6 6 4

3 −6 −3 0

, B =

7 −4 −1 2

−2 −4 −3 2

1 −6 6 6

4 1 −6 −2

.


A

−2 2

−5 0

−4 −1

=

[−4 9

−14 9

].


A

−2−5−4

, A

2

0

−1

, A

0

−5−5

, A

6

0

−3


A =

[4 −5 5

3 1 2

], b =

−4−1−2


A =

−1 0 −2 −1 −2−4 2 −6 1 4

−5 −5 −4 2 3

, B =

−4 5 −30 −7 −66 −2 4

−7 2 6

4 −5 −5

.



a1 =

2

1

−11

, a2 =

−20

1

2

, b =

2

−1−1−5

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)2,1 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

[2 3 −2

−4 4 4

], B =

2 −41 −12 −3

, C =

[−4 0 −4 2

−1 4 −2 −3

].



A =

[4 −3 −21 −5 4

], B =

−4 5

0 2

4 2


A =

−4 −2 0

−5 5 4

2 −1 −3

, B =

2 4 1

−1 3 5

0 −2 −3


A =

−3 −2 1 1

3 −1 −3 −3−2 −1 0 −2−1 2 3 1

, B =

−4 −3 1

4 −4 3

3 −1 −3−1 −2 −2

, C =

−3 3 4

3 0 −2−4 −1 1

−4 1 −1


A =

0 −2 4 −6−2 2 −3 −16 −4 −5 2

, B =

7 7 −1 2

6 6 −7 0

5 −2 −3 1

1 3 −4 5

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 4x + 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 4A+ 3I, 2) (A+ I)(A+ 3I), 3) A(A+ 4I) + 3I.

A =

3 −2 4

−3 2 1

2 −4 4


A =

1 0 1

1 2 2

3 3 4

, B =

−2 −3 2

−2 −1 1

3 3 −1

.



A =

−2 −4 1 5 6

5 6 2 −3 4

3 −5 3 −4 −6

, B =

3 −5 1

2 4 −10 −3 3

6 1 −2−4 −4 7

.


A

4 −21 −53 2

=

[−6 13

−13 12

].


A

413

, A

−2−52

, A

2

−45

, A

4

10

−4


A =

[3 4 −4 −22 5 3 4

], b =

4

−23

−1

.


A =

−3 −7 5 3

−6 2 −7 −21 −5 6 −13 −5 4 −6

, B =

−2 −7 −63 6 1

1 7 4

−6 −3 −1

.



a1 =

2

1

−20

, a2 =

1

3

−1−1

, b =

2

−4−22

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)3,2 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[−3 4

4 −2

], B =

[3 0 2

3 −2 1

], C =

3 −2 −1 −4−1 0 4 2

1 1 −3 −2

.



A =

[−1 2 −44 −2 −2

], B =

−1 1

0 5

−2 −1


A =

3 2 −40 5 −21 −3 4

, B =

−4 4 2

−2 3 −5−1 −3 0


A =

2 4 −3 −1 −13 −2 3 3 −3

−2 −1 −3 1 2

, B =

−2 2 3 4

1 −3 2 −23 −4 4 1

3 4 1 −1−2 2 4 0

, C =

−1 −4 −3 −32 1 4 −13 2 4 2

−2 3 −4 3

1 0 1 2

.


A =

0 −2 −5 2 4

3 6 7 −5 −4−3 −6 7 −2 6

, B =

−3 −4 5

7 −6 1

3 −2 −76 −5 −71 −4 4

.


A =

1 −3 −40 −2 −33 4 3


A =

1 1 1

2 1 −10 1 2

, B =

3 −1 −2−4 2 3

2 0 −1

.



A =

−2 −5 4 −75 −3 6 −10 −3 1 3

, B =

−5 −1 2 1

−7 5 1 −5−1 3 5 −44 −2 0 6

.


A

−2 −54 0

−4 5

=

[−8 5

−14 10

].


A

−24

−4

, A

−50

5

, A

−74

1

, A

−150

15


A =

−1 4 4 −43 −2 −5 2

2 −3 −3 3

, b =

3

4

1

−2

.


A =

−3 −5 3 7 −1−3 1 −4 5 7

6 4 1 3 2

, B =

−4 −4 3

5 7 −3−1 −6 1

6 5 1

−3 −6 0

.



a1 =

2

0

1

−2

, a2 =

−21

−11

, b =

−43

−21

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)4,1 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

[4 4 −2 −12 −1 3 −3

], B =

−1 −24 2

3 2

3 0

, C =

[−4 0 4

−1 −4 1

].



A =

[4 1 −11 3 −2

], B =

2 1

5 2

−2 3


A =

2 3 −5−4 5 −30 −1 1

, B =

−4 0 3

−3 −1 2

−5 4 −2


A =

3 −2 −1 −14 4 −4 −3

−4 1 2 3

, B =

−2 2 4 2

3 −3 −1 −12 3 4 3

0 1 −4 1

, C =

0 2 3 −42 −1 −1 4

3 1 4 4

−4 2 −1 −4


A =

2 1 2 −2 5

6 6 7 −3 7

−6 0 −1 −6 −4

, B =

3 −6 −10 3 −37 −2 −22 5 −1

−5 7 1

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 3x + 2, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 3A+ 2I, 2) (A+ I)(A+ 2I), 3) A(A+ 3I) + 2I.

A =

−2 1 3

−2 −3 3

0 −3 −4


A =

2 1 3

−2 2 1

3 −1 1

, B =

−3 4 5

−5 7 9

4 −5 −6

.



A =

−2 3 −4 6 1

−1 1 −1 −2 −7−3 −5 3 0 7

, B =

0 −1 −2

−5 3 6

−6 2 1

3 6 −6−1 −2 7

.


A

1 4

2 5

3 −2

=

[10 9

−8 10

].


A

123

, A

4

5

−2

, A

571

, A

−8−104


A =

[−1 0 3

3 −1 4

], b =

−31

2


A =

−4 2 3 7

−3 4 4 −3−2 1 −1 6

−4 −6 0 3

, B =

−6 7 1

−5 −3 3

3 2 −7−7 −1 −1

.



a1 =

0

3

3

−1

, a2 =

1

−3−31

, b =

−2−3−31

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,2 = ?, (AB)3,1 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ 03 = a.


a+ 0n = a.






A =

[−3 −13 −1

], B =

[1 −1 −1

−4 3 −2

], C =

1 −4 1 0

−1 −4 4 2

−1 3 −2 −3

.



A =

[−1 5 3

−1 −2 −3

], B =

4 −3−2 3

−4 1


A =

−4 −3 −15 3 2

−2 1 −5

, B =

−2 −1 1

−5 −4 −32 5 4


A =

1 2 2 −3−1 −2 −3 −2−1 3 3 −4

, B =

3 −3 −1 2

−3 3 4 2

2 1 −4 −21 3 4 −1

, C =

3 −4 −4 −1

−1 1 −3 4

−2 1 2 −4−2 2 0 −1


A =

−1 −6 −5 2 −41 5 −7 2 0

1 6 −2 −3 4

, B =

5 1 3

−2 2 5

7 4 6

7 −4 3

1 −1 −6

.


A =

3 −3 2

3 0 1

−2 −1 −4


A =

1 2 −10 1 1

1 4 2

, B =

−2 −8 3

1 3 −1−1 −2 1

.



A =

−6 3 5 −4−2 −1 2 0

7 3 −2 2

, B =

−1 −2 3 1

0 3 4 −4−7 4 1 −5−2 2 −6 −3

.


A

3 0

2 4

1 5

=

[−15 12

13 2

].


A

321

, A

045

, A

366

, A

0

8

10


A =

[−2 5 4 −5−1 3 −5 3

], b =

−21

3

4

.


A =

4 1 2 −1 −15 1 2 −2 0

−5 3 −3 −2 −6

, B =

6 −4 −6

−3 5 7

−5 0 3

−7 −6 −5−2 7 3

.



a1 =

1

−30

1

, a2 =

2

−1−21

, b =

3

1

−41

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,4 = ?, (AB)2,2 = ?.


tr(AB) = tr(BA).


tr(AB) = tr(BA).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e










A+ B = B+A.


A+ B = B+A.


A =

1 −3 3 1

−3 2 0 −1−2 4 −4 3

, B =

4 −33 −24 −20 −1

, C =

[−3 3 −2−4 2 3

].



A =

[5 4 2

1 −1 2

], B =

−3 3

−1 4

1 −2


A =

4 −4 −2−5 3 −3−1 1 5

, B =

1 −2 2

−1 4 3

5 0 −3


A =

−2 −4 −3 −33 3 2 0

−1 −2 −4 1

−2 3 −1 2

, B =

−4 4 −2−3 3 −10 −3 −44 2 1

, C =

−2 −1 3

0 −4 4

2 2 1

−2 −4 −1


A =

−7 4 −1 −16 7 −4 7

2 6 −6 5

−7 0 2 −2

, B =

−3 3 −11 3 −22 −4 5

−2 −3 1

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 + 3x − 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 + 3A− 4I, 2) (A+ 4I)(A− I), 3) A(A+ 3I) − 4I.

A =

4 4 2

−2 −4 0

−1 −3 2


A =

2 2 −13 2 1

3 3 −1

, B =

5 1 −4−6 −1 5

−3 0 2

.



A =

3 −6 5 7 5

1 −3 −7 2 4

−6 2 1 −4 −5

, B =

3 4 4

7 −6 3

2 −3 −3−7 −5 −17 −1 1

.


A

−1 −30 1

5 3

=

[−10 7

−3 −14

].


A

−10

5

, A

−31

3

, A

−41

8

, A

−93

9


A =

5 −4 −2 −31 0 −3 3

−5 −4 1 −2

, b =

−23

−54

.


A =

2 −5 2 −13 6 −4 −7

−2 0 −3 5

4 1 −7 3

, B =

6 4 −5

−2 5 6

3 2 1

4 2 −1

.



a1 =

1

0

−13

, a2 =

−11

−14

, b =

5

−2−11

.


1. La entrada ubicada en la interseccion del tercer renglon y de la segunda columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).






Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,3 = ?, (AB)4,1 = ?.


AI2 = A y I3A = A.


AIn = A y ImA = A.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ (−a) = 03 .


a+ (−a) = 0n .


(λA)> = λA>.


(λA)> = λA>.


A =

0 4 2 −33 3 −4 −2

−3 1 −1 −1

, B =

0 2

4 −3−2 3

4 −4

, C =

[−1 4

3 2

].



A =

[−3 −1 2

5 −2 1

], B =

1 2

−2 −13 0


A =

0 4 −1−4 1 2

5 −2 3

, B =

−4 5 4

0 −1 2

−2 1 3


A =

4 −4 −2 2

−3 1 3 −41 −1 −4 3

3 −2 −1 2

, B =

−1 2 3

−3 −2 1

1 3 0

−3 −4 2

, C =

−3 4 −11 3 −2

−4 2 1

−1 3 2


A =

−2 −4 3 −5−6 −1 −3 −25 −6 7 −7

, B =

2 −2 −2 4

−1 1 1 7

3 0 −5 −54 −3 −4 −6


A =

3 −4 1

−1 2 −3−4 0 −3


A =

3 4 2

2 2 1

1 1 0

, B =

−1 2 0

1 −2 1

0 2 −2

.



A =

−5 −4 5 −34 1 −4 −66 2 −1 0

, B =

−1 1 5 6

6 7 −4 −20 −1 −2 5

1 −4 2 −6

.


A

−3 −12 −25 3

=

[−1 −11−9 1

].


A

−32

5

, A

−1−23

, A

−40

8

, A

2

4

−6


A =

[3 −1 −3

−1 −5 −2

], b =

−42

−5


A =

6 −2 −4 4 −5−7 5 −3 −4 1

−1 3 −6 4 −2

, B =

−3 0 1

1 −6 −24 −1 2

6 2 −2−7 5 5

.



a1 =

3

1

2

−2

, a2 =

3

0

1

−3

, b =

−3−2−31

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)1,3 = ?, (AB)4,1 = ?.


(A+ B)C = AC+ BC.


(A+ B)C = AC+ BC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






λ(µa) = (λµ)a.


λ(µa) = (λµ)a.


A+ (−A) = 0m,n .


A+ (−A) = 0m,n .


A =

−1 −3 −4−2 2 1

3 3 4

2 0 −3

, B =

4 −32 1

−1 −1

, C =

[−3 3

−1 4

].



A =

[5 4 −32 3 5

], B =

3 −3−2 1

3 −2


A =

4 −2 −5−3 1 2

5 3 −4

, B =

4 −3 −12 −2 −40 1 3


A =

1 −2 −1 2

2 −2 −4 −33 −3 1 3

, B =

1 4 −2 3

3 4 2 0

−4 2 −4 −22 −2 −3 3

, C =

−2 1 4 −1−1 4 4 3

1 −4 −3 −3−4 −1 1 0


A =

1 −1 2 5

1 3 4 2

−5 6 4 −3

, B =

7 −6 1 −72 4 6 −27 −2 −1 −3

−4 6 3 −3

.Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 5x + 4, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 5A+ 4I, 2) (A− I)(A− 4I), 3) A(A− 5I) + 4I.

A =

−2 4 −2−1 2 −1−4 −4 0


A =

2 2 −11 2 1

3 3 −1

, B =

−5 −1 4

4 1 −3−3 0 2

.



A =

5 −7 4 −3 3

−6 0 −7 3 4

−2 1 6 5 −3

, B =

−2 3 −4−7 2 −22 −1 0

−1 7 −3−4 5 −7

.


A

4 1

3 2

−3 −4

=

[−15 −77 −1

].


A

4

3

−3

, A

1

2

−4

, A

5

5

−7

, A

−2−48


A =

[−3 0 2 1

4 4 −5 −3

], b =

−35

2

4

.


A =

−1 −2 6 −76 7 1 1

−2 −4 2 −3−6 −5 −1 −4

, B =

5 3 5

−4 −1 −42 −2 1

−3 −5 −1

.



a1 =

−12

1

−2

, a2 =

1

0

−12

, b =

−2−22

−4

.




2. La entrada ubicada en la interseccion del segundo renglon y de la cuarta columna de lasuma de las matrices A y B. Se supone que A,B ∈M100,200(R).




Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)4,3 = ?, (AB)1,2 = ?.


A(λB) = λ(AB).


A(λB) = λ(AB).


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






a+ b = b+ a.


a+ b = b+ a.


λ(µA) = (λµ)A.


λ(µA) = (λµ)A.


A =

[2 −2 −2 −1

−1 1 −3 3

], B =

0 3

2 2

−3 3

−2 1

, C =

[−3 0 4

2 −4 −1

].



A =

[4 2 0

−2 4 −1

], B =

5 2

−2 2

5 1


A =

−5 −1 −43 5 2

1 0 4

, B =

−3 1 −1−2 5 3

0 −4 2


A =

−4 0 3 −3 3

1 −3 3 2 2

1 −1 4 1 2

, B =

4 −3 4 2

1 2 −4 −1−2 −1 3 −3−4 0 −2 1

3 −4 2 −1

, C =

2 1 −1 −3

−4 −1 1 −10 2 −1 2

3 −3 −2 2

1 −4 1 −3

.


A =

−4 −2 3 1 6

−7 0 −2 −6 7

4 5 −5 2 −1

, B =

−4 5 4

6 3 −3−2 3 −21 −6 4

−1 6 7

.

Ejercicio 10. 1.5%.Dada la matriz A y el polinomio P(x) = x2 − 2x − 3, calcule la matriz P(A) de tres manerasdiferentes: 1) A2 − 2A− 3I, 2) (A− 3I)(A+ I), 3) A(A− 2I) − 3I.

A =

0 1 −22 1 4

2 −4 −2


A =

4 4 −11 2 1

2 1 −2

, B =

6 −7 −6−4 6 5

3 −4 −4

.



A =

−4 2 4 6

3 −3 −3 6

−6 −2 2 7

, B =

−3 7 −1 4

−4 −2 1 6

−1 5 −6 −2−6 3 −3 0

.


A

3 −32 5

−5 −4

=

[−1 −7−12 −5

].


A

3

2

−5

, A

−35

−4

, A

0

7

−9

, A

−610

−8


A =

−3 −3 5 −23 3 5 −50 1 −2 2

, b =

−52

−1−3

.


A =

2 1 5 3 4

4 3 −6 1 −42 −3 −2 −2 −6

, B =

−1 −7 2

−4 4 3

2 −3 4

3 0 −3−6 −1 −4

.



a1 =

−31

1

−1

, a2 =

4

0

1

1

, b =

−22

3

−1

.








Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)2,1 = ?, (AB)1,3 = ?.


A(B+ C) = AB+AC.


A(B+ C) = AB+AC.


Engra

peaq

uı

No

dobl

e






1a = a.


1a = a.


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


(A+ B) + C = A+ (B+ C).


A =

4 4

2 −3−3 −4−4 −1

, B =

[−3 1 −14 −2 −1

], C =

−1 2

0 3

−3 2

.



A =

[4 −4 −3

−5 −2 3

], B =

−2 2

5 4

0 −1


A =

−3 −1 0

4 2 −4−2 1 −5

, B =

−3 4 1

2 −1 0

3 −2 5


A =

1 3 1 3 −1

−3 −1 −2 −3 3

−3 0 −4 1 −22 2 3 −3 2

, B =

0 2 −34 −1 1

2 −1 1

1 3 3

4 −1 −2

, C =

−4 −3 −13 2 4

−4 −4 2

0 3 −12 3 −3

.


A =

−2 1 3 −1−5 7 6 3

1 5 −5 0

−1 4 −6 −3

, B =

7 2 −4

−1 3 −54 4 −2

−6 0 −2


A =

3 −3 −12 0 −4

−4 −1 −3


A =

1 3 1

0 3 1

1 2 1

, B =

1 −1 0

1 0 −1−3 1 3

.



A =

2 −1 −3 6 −22 −6 −3 1 −20 −4 4 −4 1

, B =

−4 −7 −5−1 −5 1

−1 −3 7

5 6 −36 1 −7

.


A

−1 5

−2 4

1 3

=

[6 0

9 −11

].


A

−1−21

, A

543

, A

424

, A

1086


A =

[−2 −1 2

−3 −2 −4

], b =

1

−2−5


A =

−1 1 −5 −35 3 −2 4

0 −6 2 1

2 −2 −4 5

, B =

−2 1 7

−3 −7 4

−1 −7 5

6 −2 −3

.



a1 =

1

0

3

2

, a2 =

−12

2

3

, b =

−32

−4−1

.







Ejercicio 18. 0.5%.




∑.

(AB)3,2 = ?, (AB)2,1 = ?.


(λA)B = λ(AB).


(λA)B = λ(AB).


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