2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del...
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• Matemática
• Comunicación
• Ciencias Naturales
• Ciencias Sociales
2015
1
Preguntas propuestas
. . .
Trigonometría
2
Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
NIVEL BÁSICO
1. En un triángulo ABC (recto en B) se cumple que tanA=2tanC. Calcule secA.
A) 3 B) 3 C) 2D) 2 2 E) 2
2. Se tiene un triángulo ABC (C=90º) y cumple que senA=2senB. Calcule 2senA+senB.
A) 1 B) 2 C) 5D) 5 E) 2
3. Si ABCD y DEFH son cuadrados de lados 3 y 1, respectivamente, calcule tanqtana.
θ
αA D H
FE
CB
A) 3/4 B) 1/6 C) 2/3D) 1/2 E) 1/3
4. Del gráfico mostrado, calcule
5 cos senθ θ−( )
θ7
2
3
A) 5
5 B)
12
C) 32
D) 1 E) 13
5. Calcule el perímetro de la región triangular si
su área es 120 m2 y tan .α =512
α
A) 30 B) 15 C) 60D) 20 E) 40
6. Del gráfico, calcule tan tan
tanθ α β β
α β+ +( ) +
+( ) .
θα
β 1
2
3
A) 5/6 B) 5/3 C) 3/7D) 7/3 E) 5/2
7. Del gráfico, calcule cotq – tana.
α
θ3
2
A) 3/2B) 3/4C) 1/3
D) 2/3
E) 1
. . .
Trigonometría
3
8. Del gráfico, calcule 5 tan .α
α
α
A E B
C
2 3
A) 3 B) 32
C) 52
D) 5 E) 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En un triángulo ABC recto en B se cumple que
sen cosA C =49
.
Calcule 5 cos .A
A) 53
B) 13
C) 53
D) 52
E) 23
10. Si sen senA B+ =2317
, siendo ABC un triángulo
rectángulo (C=90º).
Calcule perímetro del triángulo longitud de la hipotenusa
ABC .
A) 1/17 B) 20/17 C) 1D) 23/17 E) 40/17
11. En un triángulo ABC (recto en A) de área de 4 m2, calcule
bB
cC
2 2
tan tan+
A) 12 B) 8 C) 16D) 6 E) 20
12. Si x e y son ángulos agudos, además
27 413
12
sen cosx y−
−
=
Calcule 2 3tan cot .x y+
A) 3/2 B) 5/2 C) 1/2
D) 2 E) 4
13. Del gráfico mostrado, calcule BM si se sabe
que cota+cotq=3, además, AB=MC=2.
α
θ
A C
M
B
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 1/2
NIVEL AVANZADO
14. Si tan x =125
; x ∈ ⟨0º; 90º⟩,
calcule tan º452
+
x.
A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5
D) 5 E) 3
15. En el gráfico, se cumple que sen .α =23
Halle 2 2 7sen cos .θ θ−
α
θ
A) – 1 B) 0 C) 1
D) 1/2 E) 2
. . .
Trigonometría
4
Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule cotq.
θ
2x x+1
3x – 1
37º
A) 1 B) 1/3 C) 3D) 1/2 E) 2
2. En el gráfico, calcule tanq.
θ
33
A D C
B
30º
8
A) 3 3 B) 3 32
C) 3 34
D) 3
3 E)
3 35
3. Del gráfico, calcule tanx, si 3(BD)=AD.
A D B
C
x10
37º
A) 1/2 B) 3 C) 3/4D) 4 E) 1/3
4. Según el gráfico, calcule 17 sec .θ
θ
5
145º
A) 17/2 B) 34/3 C) 17/4
D) 17 E) 34
5. Del gráfico mostrado, AB=2 y BC = 3 3. Cal-
cule cotq.
θM C
B
A
N
30º
A) 5 34
B) 5 32
C) 32
D) 34
E) 5 38
6. Del gráfico mostrado, AD=DC. Calcule tana.
αA D C
B
45º 37º
A) 10/3 B) 3/10 C) 3/5
D) 5/3 E) 3/4
. . .
Trigonometría
5
7. En el gráfico mostrado, BE=2(AE). Halle el va-
lor de tanq.
θ
A E C
B
53º
A) 3/7 B) 7/3 C) 3/14
D) 7/8 E) 2/7
8. Del gráfico, calcule 2 3cot .θ −( )
θ
22
231
45º
A) 2 B) 1/2 C) 1/3
D) 3 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Del gráfico, calcule 17 sen cos .θ θ+( )
θ
2135º3
A) 4 B) 3 C) 5
D) 2 E) 1/2
10. Dado el siguiente gráfico, determine tan .θ − 3
θ 37º
30º
A) 1/3 B) 4/3 C) 7/3
D) 10/3 E) 13/3
11. En el gráfico mostrado, AB=BC y AM=MB.
Calcule tan .θ
θ
A C
M
B
37º
A) 4/9 B) 9/4 C) 1/2
D) 1/4 E) 2/3
12. Del gráfico, calcule MB, si BC=5 y
tan .θ =312
θ
A B C
M
37º
A) 8 B) 6 C) 12
D) 7 E) 10
. . .
Trigonometría
6
13. De acuerdo con el gráfico, calcule 5 sec .θ
θ3
537º
A) 4/3 B) 5/3 C) 5/2D) 7/2 E) 2
NIVEL AVANZADO
14. En el gráfico mostrado, AC=EC. Halle tanq.
θA C E
B
30º
A) 3
3 B)
35
C) 32
D) 34
E) 12
15. Del gráfico, calcule tanq – 1.
θ
45º
30º
A) 23
3 B) 25
6 C) 34
3
D) 23
6 E) 2 2
. . .
Trigonometría
7
Razones trigonométricas de un ángulo agudo III
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión.
tan º tan º tan º ... tan ºcot º cot º cot º ... co
10 20 30 8010 20 30
+ + + ++ + + + tt º80
A) 3 B) 2 C) 32
D) 1 E) 12
2. Si α β= +( ) = +( )x x60 10º ºy
son ángulos agudos, de manera que se cumple que cosacscb=1, calcule el valor de x.
A) 16
B) 36
C) 49
D) 81
E) 100
3. Si cossen º cos º
sen ºcsc ºθ = +20 70
3 20 202 ; q ∈ ⟨0º; 90º⟩,
calcule tan2q.
A) 59
B) 14
C) 45
D) 49
E) 54
4. Si tan(2x)ºcot(x+30)º=1, calcule
sen º cos º
sen º
2 102
5
40
xx
x
+( ) + +
+( )
A) 1/2 B) – 2 C) 2
D) –1 E) 1
5. Si 2 2 5 2 90cos º tan tan ºx x x+( ) = −( ) , donde
los ángulos dados son agudos.
Calcule tan cos332
xx− .
A) 32
B) 12
C) 3
D) 2 E) 2 3
6. Si sen(3x+10)º=cos(5x)º; 0º < x < 15º, calcule tanxºtan2xºtan8xºtan7xº.
A) 0 B) –1 C) 1/2D) 1 E) 2
7. Si tan(x – 5º)=cos(80º+y)csc(10º – y),
calcule tanºx −
52
, siendo (x – 5º) agudo.
A) 2 1+ B) 2 1− C) 2 2+
D) 2 2− E) 1
8. Si senα =
+3
92x
x y sen2aseca=1, calcule x.
A) 3 B) 2 C) 1D) 4 E) 5
9. Si 5q=18º, calcule el valor de la expresión
sencos
tancot
1312
205
θθ
θθ
+
A) 1/2 B) 3 C) 5/2D) 1 E) 2
. . .
Trigonometría
8
NIVEL INTERMEDIO
10. De las siguientes condiciones
sen(q+a)=cos(q – a) (I)
tan(a+30º)cotq=1 (II)
donde los ángulos dados son agudos,
calcule q – a.
A) 15º
B) 30º
C) 10º
D) 45º
E) 20º
11. Si x e y son ángulos agudos, los cuales verifican
las siguientes condiciones
senx=sen50ºsec40ºcosy
tan cot º2 9
20x
y− +
=
halle el valor de cos(y – 6º)+sen(x+6º).
A) 1 32
+ B) 2 C)
2 12+
D) 1110
E) 1
12. De las condiciones
sen(x+y)secy=1
tan2xtany=1
si x e y son agudos, calcule
3 60 2 45sen º cos º+ −( ) + + −( )x y y x
A) 52
B) 3 2+ C) 3
D) 12
E) 2
13. De las siguientes condiciones
tanqtana=1 (I)
seca=16senq (II)
donde a y q son ángulos agudos.
Calcule 15 tanθ.
A) 15 B) 2 C) 1
D) 1/4 E) 10
NIVEL AVANZADO
14. Si sen(x+3y)sec(2x+3y)=1
calcule
2 6 3 13 3 2 4tan
cot cosx y
y x x y+( ) −
−( ) − +( )
A) 1 B) 2 C) –1
D) – 2 E) 1/2
15. Si tansec º csc ºcsc º sec º
,α = −+
3 70 202 20 70
x ∈ ⟨0º; 90º⟩.
Calcule 3 452
13cot º−
−
α.
A) 3 B) 4 C) 1
D) 5 E) 2
. . .
Trigonometría
9
Resolución de triángulos rectángulos
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule CM si AB=BC=2.
θ
α
θA C
M
B
A) 2tana B) 2cota C) 2tan2aD) 2csca E) 2seca
2. Calcule el perímetro de la región sombreada.
37º37º
θθ
3
A) 3+9senq+2cosqB) 3+9cosq+3senqC) 3+9senq+3cosqD) 9+3senq+9cosqE) 3+9senq+6cosq
3. Del gráfico, calcule x en términos de m y q.
θx
45º
m
A) msenqcosqB) m(cosq – senq)C) 2msenqcosqD) m(senq – cosq)E) m(senq+cosq)
4. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.
θ
3
2
A) 6senqcosqB) 2senqcosqC) 6sen2qD) 3senqcosqE) 6cos2q
5. Si AB=3, calcule AC en términos de q.
θ
A
B
C
A) 3secqcscqB) 3senqcosqC) 3sec2qD) 3sen2qE) 3csc2q
6. Si AB=2, calcule BC en términos de q y a.
θα
A B C
45º
A) 2(secq+csca)B) 2(tanq+cota)C) 2(tanq+tana)D) 2(cotq+cota)E) 2(cotq+tana)
. . .
Trigonometría
10
7. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.
θ
2
A) 2cot2qB) 2senqcosqC) 2tan2qD) 2secqcscqE) 2sec2q
8. Del gráfico, calcule AM si MN=6.
θD M A
37º
N
C B
A) 4senq – 3cosqB) 3(3senq – 4cosq)C) 2(4senq – 3cosq)D) 3cosq – 4senqE) senq – cosq
9. Del gráfico, calcule x.
θ2
x
A) 2sen2q B) 2cos2q C) 2tan2qD) 2cot2q E) 2csc2q
NIVEL INTERMEDIO
10. Dado el siguiente gráfico, se cumple que los perímetros de los triángulos ABC y ACD son iguales. Determine sena – tanq+cosa – secq.
θα
A
B
D
C2
A) 0 B) 2 C) 3D) 4 E) 1
11. Si BC=2, calcule AB en términos de q y a.
θ
α
B
C
A
A) 2senqtanaB) 2cosqcotaC) 2cosqsecaD) 2cosqtanaE) 2senqcota
. . .
Trigonometría
11
12. Calcule MN en función de q y m.
θθ
A N P
M
C
B
m
A) m(sen2q – tanq)B) m(senq – tanq)C) m(sen2q – cotq)D) m(cosq – tanq)E) m(cos2q – cotq)
13. Calcule x en términos de q y a.
α
θ
2
x
A) 2senasecqB) 2senacotqC) 2senacscqD) 2cosasecqE) 2cosatanq
NIVEL AVANZADO
14. Del gráfico mostrado, halle senα α
θcos
tan.
θ α1 2
A) 14
B) 13
C) 12
D) 1 E) 2
15. Si AB=1, calcule el área de la región sombrea-da en términos de q.
θ
θ
B
A
A) cot2q(cot2q – 1)B) tan3q(cot2q – 1)C) cot3q(cot2q – 1)D) tan3q(tan2q – 1)E) cotq(cot2q – 1)
. . .
Trigonometría
12
Introducción a la geometría analítica
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule la medida del ángulo q.
Y
A(–1; 0)
B(3; 4)
Xθ
A) 45º B) 30º C) 60ºD) 37º E) 15º
2. Del gráfico, calcule tanq.
YA(3; 4)
B(5; – 2)
Xθ
A) 13
B) 12
C) 3
D) 1 E) 2
3. Si ABCD es un cuadrado de lado 5, calcule las coordenadas del punto B.
A) (– 8, 3) B) (– 7, 3)
Y
A
B
C
D
37º X
C) (– 6, 3)D) (– 8, 4) E) (– 7, 4)
4. Si AB=BP, calcule las coordenadas del punto P.
YP
B45º
A(– 3; 2)
X
A) (4; 2) B) (1; 2) C) (1; 3)D) (3; 2) E) (2; 3)
5. Del gráfico, calcule los valores que puede tomar x.
13
B(3; 4)
A(x; 2)
A) 0 ∨ 3 B) 2 ∨ 6 C) 1 ∨ 4D) 0 ∨ 6 E) 3 ∨ 6
6. Si P(x; x+3) es un punto que equidista de A (4; 3) y B (– 3; 1). Calcule el valor de x.
A) 16
B) 12
C) 6
D) 13
E) 3
7. Del gráfico, calcule x+y.
A(x – 5; y+3)
M(4; 5)
B(x – 1; y+1)
A) 10 B) 8 C) 12D) 9 E) 11
. . .
Trigonometría
13
8. Calcule el área de la región sombreada, si AM=MB.
A(– 3; 6)
B(5; 8)
M
Y
X
A) 6 B) 4 C) 72
D) 7 E) 3
NIVEL INTERMEDIO
9. Si AM=MB y tanα = 25
, calcule las coordenadas del punto C.
Y
X
B(11; 8)
A(1; 0) Cα
M
A) (16; 0) B) (14; 0) C) (20; 0)D) (18; 0) E) (9; 0)
10. Del gráfico, calcule 2ab ba
+.
Y
X
(a; b)(b – 3; a+1)
A) 2 B) 12
C) – 1
D) 13
E) 3
11. Si OA=AB, calcule 9y0+2x0.
Y
O
B(x0; y0)
A(– 2; – 9)
X
A) – 80 B) – 85 C) – 82D) – 75 E) – 70
12. Dos vértices de un triángulo equilátero son (– 2; 9) y (3; – 3). ¿Cuánto mide la altura relativa a dicho lado?
A) 13 24
B) 7 22
C) 11 24
D) 15 22
E) 13 32
13. Del gráfico, calcule la medida del ángulo q.
C(– 9; – 3)
A(– 4; – 6)
B(2; 4)
θ
A) 60º B) 45º C) 90ºD) 30º E) 120º
. . .
Trigonometría
14
NIVEL AVANZADO
14. Si PQ=6, calcule las coordenadas del punto P.
60º
30ºO X
Y P
Q(a; 7)
A) 2 3 10,( ) B) 4 3 8,( ) C) 4 3 10,( )D) 2 3 9,( ) E) 4 3 12,( )
15. Si ABCD es un cuadrado, calcule las coorde-nadas del punto B.
Y C
B D(4; 4)
A(1; 1) X
A) (– 2, 5) B) (– 2, 4) C) (– 3, 4)D) (– 2, 3) E) (– 3, 6)
. . .
Anual Integral
01 - A
02 - E
03 - E
04 - B
05 - D
06 - A
07 - A
08 - C
09 - A
10 - E
11 - B
12 - E
13 - C
14 - C
15 - B
IntroduccIón a la geometría analítIca
01 - A
02 - C
03 - B
04 - A
05 - A
06 - E
07 - D
08 - C
09 - D
10 - A
11 - D
12 - A
13 - C
14 - C
15 - C
resolucIón de trIángulos rectángulos
01 - D
02 - E
03 - E
04 - C
05 - A
06 - D
07 - B
08 - A
09 - E
10 - B
11 - E
12 - A
13 - C
14 - B
15 - E
razones trIgonométrIcas de un ángulo agudo III
01 - e
02 - a
03 - e
04 - c
05 - e
06 - b
07 - c
08 - a
09 - c
10 - b
11 - c
12 - a
13 - c
14 - b
15 - a
razones trIgonométrIcas de un ángulo agudo II
razones trIgonométrIcas de un ángulo agudo I01 - B
02 - D
03 - B
04 - D
05 - C
06 - D
07 - A
08 - A
09 - C
10 - E
11 - C
12 - A
13 - C
14 - D
15 - B
• Aptitud académica
• Matemática
• Comunicación
• Ciencias Naturales
• Ciencias Sociales
2015
2
Preguntas propuestas
Aritmética
2
Ángulos en posición normal I
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule el valor de tanq.
B(– 1; 2n)
A(– n; 8)
θ
Y
X
A) – 4 B) – 3 C) − 12
D) − 14
E) – 2
2. Si tanq=3, calcule el valor de a.
P(a– 1; 4a – 1)
θ
X
Y
A) – 2 B) – 1 C) – 3D) – 4 E) – 5
3. Del gráfico, calcule 13 senθ θ+( )cos .
θ22
A(– 5; 0)45º
B
X
Y
A) – 3 B) – 6 C) – 4D) – 5 E) – 7
4. Del gráfico, calcule tanq.
θ30ºX
Y
A) − 33
B) – 2 C) − 12
D) – 1 E) − 3
5. Si AM=MB, calcule tanq.
θ37º
M
Y
XB
A(0; 16)
A) − 14
B) − 43
C) − 23
D) − 34
E) − 38
6. Si el área de la región sombreada es 12 µ2, cal-cule tanq.
P(– 3; n )
A(3; 0)θ
X
Y
A) 7/3 B) 5 C) 3D) 5/3 E) 8/3
Aritmética
3
7. En el gráfico mostrado, ABC es un triángulo equilátero, tal que 2(AP)=AB=BH. Halle
2 3tan .α +
α
Y
AP C
B
XH
A) 2 B) 2 3+ C) 3D) – 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
8. Del gráfico, calcule 5(senq+cosq).
θ
60º60º83º
Y
X
A) – 4 B) – 3 C) – 6D) – 7 E) – 5
9. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Halle 7tanb.
β
53º
B Y
C
XD
A
A) 3/7 B) – 3/7 C) 3D) – 3 E) – 7
10. Del gráfico, calcule tanq.
θ
Y
X
37º
45º
A) 23
B) 53
C) 12
D) 73
E) 35
11. Del gráfico, calcule 16tan2q, si AB=6(OC).
θ60º 60ºA C
B
Y
O X
A) 9 B) 12 C) 8D) 27 E) 16
Aritmética
4
12. Del gráfico, calcule tanq.
P(1; – 2)
θ
Y
X
A) 14
B) 12
C) 4
D) 2 E) 1
NIVEL AVANZADO
13. Si AB=12, calcule cotq – cota.
θ
α
A B
3
X
Y
A) 3 B) 1 C) 4
D) 2 E) 14
14. Del gráfico, calcule sena+cosa.
P(1 – n; n – 2)
α
Y
X
n
A) − 15
B) 1 C) – 1
D) 15
E) −25
15. Del gráfico, calcule el valor de la expresión 2 tan .α α− sen
α
2 ; a)(
3X
Y
A) −4 73
B) −2 73
C) − 73
D) 2 73
E) 4 73
Aritmética
5
Ángulos en posición normal II
NIVEL BÁSICO
1. Si se cumple que senb+cscb > 0 cosb+secb < 0 indique el cuadrante al cual pertenece b.
A) IIC B) IIIC C) IVCD) IIC y IVC E) IC
2. Si se cumple que tan2qcosq < 0 y senqcosq > 0, calcule el cuadrante al cual pertenece q.
A) IVC B) IIIC C) IIIC o IVCD) IIC E) IC
3. Calcule el signo de las siguientes expresiones. A=sec160ºtan250º B=csc300º+cos200º C=sen100º – cot340º
A) +, – , + B) +, +, + C) +, –, –D) –, –, – E) –, –, +
4. Del gráfico
θ
α
Y
X
calcule el signo de las siguientes expresiones. I. secqcota II. sena+tanq
III. tan cosα θ2
−
A) +, –, + B) +, +, + C) –, +, +D) +, –, – E) +, +, –
5. Si f(x)=sen(cosx), calcule
f ff
270 0360º º
º
( ) + ( )( )
A) 2 B) – 1 C) – 2D) 0 E) 1
6. Si a+b=4, calcule
a ba b
2 290 180360 270
sensen
º cos ºcos º º
++
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
7. Si q, a ∈ ⟨0º; 360º⟩ son ángulos cuadrantales que cumplen (senq+1)2+(cosa+1)2=0, calcule sen(q – a).
A) – 1 B) 0 C) 1/2D) 1 E) – 1/2
NIVEL INTERMEDIO
8. Si 45º < q < 90º y 20º < a < 90º, calcule el signo de las siguientes expresiones.
I. sen(q+a) II. cos2q
III. cot ºα2
80+
A) +, –, + B) –, –, – C) +, –, –D) +, +, + E) –, +, –
9. Si cot ,θ θ= − ∈512
IIC, calcule 26cosq.
A) – 8 B) – 5 C) – 10D) – 6 E) – 11
10. Si 218
4cos ,θ θ= ∈IIC , calcule 4senq+3tanq.
A) 0 B) −2 7 C) 7D) − 7 E) 2 7
11. Si secθ = 53
y tanq < 0, calcule cscq.
A) − 54
B) 54
C) − 53
D) 52
E) − 52
Aritmética
6
12. Si cos ,2 49
θ θ= ∈IVC, calcule 4tanq.
A) − 5 B) −52
C) −3 5
D) − 54
E) −2 5
NIVEL AVANZADO
13. Si 2tan2q – tanq – 28=0, q ∈ IIIC, calcule 17 cos .θ
A) – 4 B) – 3 C) − 12
D) – 1 E) – 2
14. De la igualdad senxcosx – 3senx=0 donde 90º < x < 270º, calcule
cos tan2
6
x xx
+
sen
A) – 1 B) 2 C) 1D) – 2 E) 0
15. Si q, a ∈ ⟨0º; 360º⟩ son ángulos cuadrantales, tal que se cumple que tanq+cota=sena – 1, calcule cos(a+q).
A) 1 B) 1/2 C) 0D) – 1/2 E) – 1
Aritmética
7
Identidades trigonométricas fundamentales I
NIVEL BÁSICO
1. Simplifique la siguiente expresión.
11
−−
senxx
xcsc
cot
A) cosx B) cscx C) – cosxD) senx E) – senx
2. Reduzca la siguiente expresión.
cos cotx xx
++1 sen
A) cot2x B) tanx C) senxD) tan2x E) cotx
3. Simplifique la siguiente expresión.
csc secx x
x+
+1 tan
A) secx B) cotx C) cscxD) sec2x E) tanx
4. Simplifique la siguiente expresión.
sen sensen
θ θ θ θ θ θθ θ
csc cos cos seccos
+( ) − +( )−
A) senq+cosq B) sen2q C) senq – cosqD) cos2q E) cosq – senq
5. Reduzca la siguiente expresión.
tan coscsc cotx x x
x x+( )
+sen
A) sen2x B) tanx C) cos2xD) cotx E) tan2x
6. Del gráfico, calcule 2cosacsc2a.
α
α
A) 1 B) 4 C) 2D) 3 E) 5
7. Del gráfico, calcule secq.
θθ
b
a
A) ab
B) ab C) 1ab
D) ba
E) 2ab
NIVEL INTERMEDIO
8. Si secx+cosx=3, calcule
cos
cos
4
21x
x
+
A) 8 B) 5 C) 6D) 4 E) 7
9. Calcule el valor de la siguiente expresión.
cos ºcos º
sec ºsec º
33 1
31 3−
−−
A) – 2 B) 1 C) 2D) – 1 E) 0
Aritmética
8
10. Si tanq+cotq=3, calcule el valor de tanq – cotq.
A) ± 5 B) 7 C) 5D) − 5 E) 2
11. Si sec cscsec csc
,θ θθ θ−+
= 3 calcule tanq.
A) −12
B) – 2 C) 14
D) – 1 E) 2
12. Si m+n=3, calcule cotmqsennqsenmqcotnq.
A) sen3q B) cos6q C) cos3qD) sen6q E) tan3q
NIVEL AVANZADO
13. Si la igualdad
tancsc cot
secx xx x
A x xB++
=sensen
es una identidad, calcule A+B.
A) 2B) 3 C) 4D) 5 E) 6
14. Simplifique la siguiente expresión.
tancot tan
xx x1
11
1−
−−
−
A) cotxB) – tanxC) tanx – 2D) tanxE) – cotx
15. Calcule el valor de la siguiente expresión.
cos seccos
sec cos2
1x x
xx x
−−
− −
A) – 1B) 0C) – 2D) 1E) 2
Aritmética
9
Identidades trigonométricas fundamentales II
NIVEL BÁSICO
1. Reduzca la siguiente expresión.
sen2 211
x xx
+ −( )−cos
sec
A) 2cosx B) 2tanx C) – 2cosxD) 2 senx E) – 2 senx
2. Calcule el equivalente de la expresión.
sec coscsc
α αα α−− sen
A) cot3a B) sec3a C) tan3aD) cot4a E) tan2a
3. Reduzca la siguiente expresión.
1 12 2
2
cos cotcsc
θ θθ− −
A) – tan2q B) cot2q C) tan2qD) – cot2q E) 2tanq
4. Reduzca la expresión.
senθθ
θ1+
+cos
cot
A) cscq B) – secq C) secqD) tanq E) – cscq
5. Calcule el valor de la siguiente expresión. sec4x – tan4x – 2tan2x+1
A) 0 B) 3 C) 2D) 4 E) 1
6. Calcule el valor de la expresión. 1 – sec4x+2sec2xtan2x – tan4x
A) 1 B) – 1 C) 2D) – 2 E) 0
7. Simplifique la siguiente expresión.
3 2 23 1
2cot csccscx x
x− +
+
A) cscx+1 B) cscx – 1 C) secx – 1D) 1 – cscx E) 1+secx
NIVEL INTERMEDIO
8. Del gráfico, calcule sen2x+csc2a+cos2q.
cotα
cosθcosx
A) 4 B) 5 C) 2D) 3 E) 6
9. Calcule el valor de la expresión. sen2xtan2x – tan2x+cos2xcot2x – cot2x
A) – 1 B) – 5 C) – 2D) – 3 E) – 4
10. Si secx+tanx=n, calcule cosx.
A) 2
1 2n
n− B) n
n1 2+ C)
n
n1 2−
D) 2
1 2n
n+ E) n
n
2
21
1
+−
11. Calcule el equivalente de la expresión.
cossec tan csc cot
xx x
xx x−
−−
sen
A) senx+cosxB) cosx – senxC) 2cosxD) senx – cosxE) 2senx
Aritmética
10
12. Si csc ,θ θ− =sen13
calcule sec tancos cot
θ θθ θ++
.
A) 2 B) 12
C) 4
D) 14
E) 3
NIVEL AVANZADO
13. Elimine la variable angular q a partir de las siguientes condiciones.
senq – cosq=m (I) sen3q – cos3q=n (II)
A) m+n3=2n
B) 3m – m3=2n
C) 3m2 – n=2
D) 2m2 – 3m=n
E) 3m – n3=2n
14. Si asen2q – bcos2q=c, calcule tan2q.
A) c bc a−−
B) c ba c+−
C) a ba b−+
D) c ba c−−
E) a ca b−+
15. De la igualdad
21
22sen
senθθ
θ θ−
− = +( )cos
cos M N
calcule M+N.
A) 2 B) 4 C) 3D) 5 E) 1
Aritmética
11
Identidades trigonométricas fundamentales III
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión.
sec csc
tan cot
2 2
2 22θ θ
θ θ−
+
A) 12
B) – 1 C) 1
D) 2 E) – 2
2. Calcule el equivalente de la siguiente expre-sión.
2 12 2sec csctan cot cos
θ θθ θ θ θ
+( )+
−sen
A) sec2qB) senqcosqC) cos2qD) secqcscqE) sec2qcsc2q
3. Calcule el valor de la siguiente expresión.
sen
sen
4 4
6 63
5
θ θθ θ+ ++ +cos
cos
A) 32
B) 34
C) 23
D) 12
E) 14
4. Calcule un equivalente de la expresión. sec2x+csc2x+csc4x
A) csc2xsec4xB) sec2xcsc4xC) csc4xsec4xD) sec2xcsc2xE) secxcsc2x
5. Si sec2qcsc2q=7, calcule sec4q+2sec2qcsc2q+csc4q
A) 49 B) 42 C) 36D) 25 E) 48
6. Si sen4q+cos4q=1 – n, calcule 1 – sen6q – cos6q.
A) 23n B) 2n C)
n2
D) 3n E) 32n
7. Si sec csc ,2 2 1θ θ+ =n
calcule sen4q+cos4q+1.
A) 2 – 2n B) 1 – 2n C) 2 – nD) 2 – 4n E) 3 – n
NIVEL INTERMEDIO
8. Reduzca la siguiente expresión. sen3q(sen3q+cscq)+cos3q(cos3q+secq) – 2
A) 2sen2qcos2qB) – 3sen2qcos2qC) – 2sen2qcos2qD) 3sen2qcos2qE) – 5sen2qcos2q
9. Si tanx+cotx=a, calcule (senx+cosx)2 en términos de a.
A) 11+a
B) 12+a
C) 21−a
D) 21+a
E) 1+a
10. Calcule el equivalente de la expresión.
csccot
sec csc2 2
1θθ
θ θ−−
−
A) tanq – 1 B) 1 – cotq C) 1+tanqD) cotq – 1 E) 1 – tanq
Aritmética
12
11. Elimine la variable angular q de las siguientes condiciones.
secqcscq=x (I) secq+cscq=y (II)
A) y2=2x+x2
B) x2=y2+2C) y2=2x – x2
D) x2=2y+y2
E) y2=x2 – 2
12. Si 17secq – 15tanq=8, calcule 15senq+8cosq.
A) 15 B) – 8 C) – 17D) 9 E) 17
NIVEL AVANZADO
13. Del gráfico, calcule AP si AB=cos3q, NP=sen3q y MN=2sen2qcos2q.
θ
θA
B
MN
P
A) 2B) senqC) 1D) cosqE) 1/2
14. Si senθ θ− =cos ,23
calcule sen4q+cos4q.
A) 89
B) 1718
C) 23
D) 37
E) 1516
15. Calcule el valor de la siguiente expresión.
sen sen
sen
6 6 2 2
2 2 2
x x x x
x x x
+ +− + 4cos cos
cos cos
A) 1 B) 14
C) 2
D) 4 E) 12
Anual Integral
Ángulos en posición normal i01 - A
02 - A
03 - D
04 - E
05 - B
06 - E
07 - D
08 - D
09 - D
10 - D
11 - D
12 - B
13 - C
14 - A
15 - B
Ángulos en posición normal ii01 - A
02 - B
03 - E
04 - B
05 - E
06 - D
07 - D
08 - C
09 - C
10 - A
11 - A
12 - E
13 - D
14 - B
15 - C
identidades trigonométricas fundamentales i01 - A
02 - E
03 - C
04 - A
05 - A
06 - C
07 - A
08 - E
09 - B
10 - A
11 - B
12 - C
13 - B
14 - D
15 - D
identidades trigonométricas fundamentales ii01 - A
02 - C
03 - D
04 - A
05 - C
06 - E
07 - B
08 - C
09 - A
10 - D
11 - D
12 - E
13 - B
14 - B
15 - C
identidades trigonométricas fundamentales iii01 - C
02 - D
03 - C
04 - B
05 - A
06 - E
07 - A
08 - B
09 - B
10 - E
11 - A
12 - E
13 - C
14 - B
15 - A
• Aptitud académica
• Matemática
• Comunicación
• Ciencias Naturales
• Ciencias Sociales
2015
3
Preguntas propuestas
Trigonometría
2
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión.
sen( º )23
310
+
A) 35 B)
25
3 C) 1310
D) 210
E) 3
10
2. Si cos(x+y)+cos(x – y)=1/2
calcule (1 – sen2x)(1 – sen2y).
A) 1/4 B) 1 C) 1/16D) 1/6 E) 1/2
3. Reduzca la expresión
sen sen( ) ( )cos( ) cos( )
x y x yx y x y+ + −+ + −
A) coty B) tany C) 1D) cotx E) tanx
4. Reduzca la siguiente expresión.
sensen
( )cos
cot tanx yx y
x y−
+
A) – 1 B) tanxcoty C) 1D) tanycotx E) cotxcoty
5. Si cos(x+y)=2senxseny, calcule cotxcoty.
A) 1/3 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 6
6. Si cos(q – a)=2cos(q+a), calcule cotqcota.
A) 3 B) 1/4 C) 2D) 1/3 E) 4
NIVEL INTERMEDIO
7. Simplifique la siguiente expresión.
sen sen
sen
( º )3032
1 2
+ −
−
θ θ
θ
A) 2secq B) secq2
C) 2cscq
D) cscq2
E) secq
8. Si 2 45 5 37sen sen( º ) ( º )+ = −θ θ , calcule tanq.
A) 1/5 B) 3/4 C) 2/5
D) 4/3 E) 1/2
9. Simplifique la siguiente expresión.
sen sensen
( ) cos( )
x y y xx y
+ −−2
2
A) 1/2 B) 4 C) 2
D) 1/4 E) –1
10. Determine un equivalente de la expresión (cosx – seny)(cosx+seny).
A) sen(x – y)sen(x+y)B) cos(x – y)cos(x+y)C) cos(x – y)sen(x – y)D) cosx · cosyE) cosx · seny
11. Si cosxcosy=2senxseny,
calcule cos( )cos( )
x yx y−+
A) 1 B) 1/3 C) 3
D) 1/2 E) 2
Trigonometría
3
12. Si cos x =12
, calcule el valor de la expresión
cos( ) coscos cos
x y x y xy x
+ + ++
sen sen 2
A) 1/2 B) 1 C) 2D) 1/3 E) 3
NIVEL AVANZADO
13. Si cos(2x – y)=n+sen2xseny,
calcule 1 22
2− sen x
ysec
A) n2
B) n2 C) n2
2
D) 2n2 E) 2n
14. Si coscos cos
,x yx y
+( )= −2
calcule cos coscos cos
x y x yx y
−( ) − +( )
A) – 6 B) 4 C) – 4
D) 6 E) 8
15. Reduzca la siguiente expresión.
sen senx y y xx y
+( ) −+( )
coscos
A) senx
B) cosx
C) seny
D) cosy
E) – senx
Trigonometría
4
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión.
tan º cot ºtan ºcot º20 80
1 20 80+
−
A) 3 B) 34
C) 33
D) 12
E) 1
2. Si tan qtanx=3 y tan(q+x)=5, calcule tanq+tanx.
A) 10 B) – 6 C) –10D) 6 E) 12
3. Si tan(45º – q)=4, calcule tanq.
A) – 4/5 B) 3/5 C) 4/5D) – 3/5 E) – 2/5
4. Calcule el equivalente de la expresión
15 2
12 5cot tan cot tanθ θ θ θ+
−+
A) tan3q B) tan7q C) – tan3qD) cot3q E) – tan7q
5. Si tan ,θ =−+
nn
11
calcule tan(45º+q).
A) n2
B) 2n C) n+1
D) n E) n – 1
6. Del gráfico, calcule el valor de tana.
A) 3/7
α
1
1
5
3
B) 7/4C) 2D) 4/7E) 9/5
NIVEL INTERMEDIO
7. Si cotx+coty=3, tanxtany=12
calcule tan(x+y).
A) 1/3 B) 2 C) 1/2
D) 4 E) 3
8. Si tan(x – y)=2 y tan(x+y)=3, calcule tan2x.
A) 1 B) –1 C) 5
D) 1/5 E) –1/5
9. Si q – b=30º y tan tan
tan ·tan,
2 2
1θ βθ β−
+= a
calcule tanq+tanb.
A) a B) a
3 C) a 3
D) a2
E) 2a
10. Si tan(x+y)=2cotx, halle (2cotx – tanx)coty.
A) –1 B) 1 C) 1/3
D) 2 E) 3
11. Si ABCD es un cuadrado, BM=MC y BN=3(AN),
halle tanx.
x
B M C
N
A D
A) – 6 B) – 4 C) – 5D) –1/4 E) –1/5
Trigonometría
5
12. Del gráfico, calcule 3tanq.
5
3
127º – θ
θ
A) – 23 B) – 25 C) –17D) – 29 E) –19
NIVEL AVANZADO
13. Si coscos cos
,x yx y
−( )= 3 además, tanx+tany=3;
tany > tanx, calcule tan(x – y).
A) 3 B) 13
C) 12
D) −13
E) −12
14. Si ABCD es un paralelogramo, AD=6 y CD=5, halle tanx.
37º
A
B C
D
x
A) 2/7 B) 3/5 C) 5/2
D) 36/11 E) 4/5
15. En el gráfico, AB=5 cm y BC=4 cm. Halle el área de la región sombreada.
D
45º
C
BA
A) 87,5 cm2
B) 77,5 cm2
C) 75 cm2
D) 105 cm2
E) 102,5 cm2
Trigonometría
6
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III
NIVEL BÁSICO
1. Simplifique la siguiente expresión.
sen5040 10
50º
cos ºcos ºcot º−
A) tan40º B) tan58º C) tan10ºD) tan20º E) cot40º
2. De la siguiente identidad
sen34
θθ θ
θ θcos cos
tan tan( )+ = A M
calcule A+M.
A) 6 B) 3 C) 5D) 4 E) 7
3. Si A+B=37º y A – B=30º, calcule cos2A – sen2B.
A) 310
B) 2 35
C) 3 310
D) 25
E) 35
4. Si a+q=30º, calcule sen sensen
2 2θ αθ α−−( )
A) 32
B) 3
3 C) 1
D) 12
E) 2
5. Si sen sensen
2 2 13
θ αθ α−+( ) = ,
calcule cos2(q – a).
A) 89
B) 34 C)
67
D) 45
E) 12
6. Calcule el valor que debe tomar k para que la igualdad se cumpla.
tan50º+tan10º+k · tan50º · tan10º= 3
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
7. Si q+a=45º y q – a=30º,
calcule tan tantan tan
θ αθ α+−
A) 24
B) 2 2 C) 12
D) 2 E) 2
8. Reduzca la siguiente expresión
sen12 1
1 2º
cos ºcos ºtan º cot º+
A) tan2º B) cot2º C) 1D) 2 E) tan1º · cot2º
9. Calcule el valor de la siguiente expresión
sen4645 1
3637 1
ºcos º·cos º
tan ºcos º·cos º
+
A) 1/4 B) 7/4 C) 1/2D) 1/3 E) 2
10. Simplifique la siguiente expresión
2sen( )cos( ) cos( )
tana b
a b a bb
++ + −
−
A) tanb B) 0 C) tanaD) – tanb E) – tana
11. Calcule el equivalente de la siguiente expre-sión
1+sen(x+y)sen(x – y)
A) sen2x+cos2yB) sen2y+cos2xC) sen2x+sen2yD) cos2x+cos2yE) sen2(x+y)
Trigonometría
7
12. Calcule el equivalente de la expresión sen(q – a)sen(q+a)+cos2q.
A) cos2aB) sen2q+cos2aC) sen2aD) 2cos2qE) sen2a+sen2q
NIVEL AVANZADO
13. Si sena+senb=m y sena – senb=n, calcule sen(a+b) sen(a – b).
A) mn
B) m
n
2
2 C) mn
D) m+n E) m – n
14. Simplifique la siguiente expresión.
315
215
2
2
2 2
sen sen
sen
( ) ( ) cos
cos º º
x y x y xy y
+ − +
+
− −
A) 2cosy B) 3 cos x C) 2cos2y
D) 3senx E) 2seny
15. Si cos(a+q)= −2
10 y cos(a – q)=
22
calcule (sen2a – sen2q)2.
A) 925
B) 4925 C)
49100
D) 150
E) 916
Trigonometría
8
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión
tan º tan º tan ºtan º tan º
60 40 8040 80
+ +
A) 3
3 B) –1 C) 3
D) 2 E) − 3
2. En un triángulo ABC se cumple que 3tanA=tanB+tanC. Calcule tanB tanC.
A) 4 B) 1/2 C) 2D) 1/4 E) 1
3. Si A+B+C=p rad, además, tanA=x – 1, tanB=x y tanC=x+1, calcule x.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
4. Calcule el máximo valor que asume la expre-sión 5sen(x+37º)+cosx.
A) 6 B) 4 C) 6D) 4 2 E) 4
5. Calcule el mínimo valor de la expresión senq(senq+3)+cos2q+4cosq.
A) – 7 B) –2 C) – 5D) – 4 E) – 6
6. Simplifique la siguiente expresión (sen10º+cos10º)sec35º
A) 3 B) 2 C) 2
2
D) 12
E) 1
NIVEL INTERMEDIO
7. En un triángulo ABC se cumple que
tan tan tanA B C2 3 4
= =
Calcule 6tan2A.
A) 8 B) 7 C) 6D) 4 E) 9
8. Si x+y+z=p/4, calcule
cot( ) cot( ) cot( )cot( )cot( )cot( )x y x z z yx y x z z y+ + + + +
+ + +
A) 1 B) 2 C) 0D) –1 E) –2
9. Calcule el máximo valor de la expresión
sen senθ θ θ θ++
−cos cos3 2
A) 53
B) 52
C) 35
D) 23
E) 34
10. Calcule el mínimo valor de la siguiente expre-sión
5sen(37º+q)+2cos(q+30º) – 3 cosq
A) −2 2 B) – 2 C) –5
D) −3 2 E) − 13
11. De la siguiente identidad
5senq+12cosq=Asen(q+a)
calcule 5tana+A.
A) 18 B) 24 C) 16
D) 25 E) 30
Trigonometría
9
12. Calcule el valor de la expresión
sensen20 20
65º cos º
º+
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 12
NIVEL AVANZADO
13. Calcule el máximo valor de la expresión
(sen24º+cos24º)(senx+cosx)
A) 2 69cos º
B) 2sen69º
C) sen24º+cos24º
D) 2 69sen º
E) 2
14. De la siguiente identidad
3 sen(10º+x)+cos(10º+x)=Asen(Bo
+x)
si Bo
∈ ⟨0º; 90º⟩,
calcule BA
.
A) 20 B) 10 C) 30
D) 5 E) 15
15. Calcule aproximadamente el valor de la ex-presión
cos º ºcos º º6 3 6
3 1 4 1+−sensen
A) 15
B) 12
C) 25
D) 2
2 E)
25
Trigonometría
10
Reducción al primer cuadrante I
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión
cos º cos ºcos º cos º
120 240300 60
++
A) – 1 B) 1 C) –1/2
D) 1/2 E) –2
2. Halle el valor de la expresión
tan º tan ºcot º
csc ºcos º20 3 160
70135
120−
+−
A) 12
2+ B) 12
2− C) 2 2−
D) 22
2+ E) 2 2+
3. Calcule a ∈ ⟨0º; 90º⟩, en la igualdad
( )
ºcsc º
tan4150210
2α− =−sen
A) 30º B) 45º C) 53º/2
D) 37º/2 E) 60º
4. Si sen20º=k, calcule
sen200º sen340º.
A) –k2 B) 32
k C) k2
D) k2
E) −k2
5. Simplifique la siguiente expresión
cot( º )cos( º )
cos ( º )
180 180
3602− +
−θ θ
θ
A) secq B) cscq C) senqD) cosq E) tanq
6. Calcule el valor de la siguiente expresión
5 3 180 6180
sen 360 sen sensen
( º ) ( º )( º )
− − + +−
θ θ θθ
A) 8 B) 14 C) 4
D) – 6 E) – 2
NIVEL INTERMEDIO
7. Calcule el valor de la siguiente expresión
sen sen
sen
61 299
60 30022 2
º º
º cos º
++
+
A) 4 B) 0 C) 3
D) 2 E) – 2
8. En un triángulo ABC, simplifique la expresión
tan( )tan
secsec( )
csc( )csc
B AC
BA C
B CA
++
++
+
A) 1 B) –1 C) 2
D) – 2 E) 3
9. Si x+2y+3z=180º
calcule sen( )sen
tan( )tan
2 3 23
y zx
x yz
+ − +
A) 2 B) 0 C) –2
D) –1 E) 1
10. Reduzca la siguiente expresión
cot( º ) tan( º )csc( º )
180 180360
+ − −−
θ θθ
A) –cscq B) –senq C) senqD) –secq E) secq
Trigonometría
11
11. Del gráfico, halle tanf.
A(16; 0)
B(2; 3)
X
Y
φ
A) −414
B) −17
C) −37
D) 314
E) −314
12. Del gráfico, calcule tan2b+secb.
A) 3
52º
68º
β
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
NIVEL AVANZADO
13. Si tan(330º – x)=5, calcule cot(210º+x).
A) 1/5 B) 5 C) –5
D) –3/5 E) –1/5
14. Del gráfico, calcule sen(135º – x – y).
1
22
x+y
A) 2 26
+
B) 4 2 2
7+
C) 4 26
+
D) 2 15−
E) 4 2 3
8−
15. Del gráfico, halle el valor de la expresión
13 cos tanα θ+
3 2
θ α
A) 83
B) 23
C) 32
D) 43
E) 12
Anual Integral
IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos I01 - B
02 - C
03 - E
04 - C
05 - C
06 - A
07 - B
08 - C
09 - A
10 - B
11 - C
12 - A
13 - B
14 - D
15 - C
IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos II01 - C
02 - C
03 - D
04 - A
05 - D
06 - D
07 - E
08 - B
09 - C
10 - E
11 - C
12 - D
13 - D
14 - D
15 - E
IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos III01 - C
02 - C
03 - B
04 - D
05 - A
06 - C
07 - D
08 - C
09 - B
10 - C
11 - A
12 - A
13 - C
14 - A
15 - C
IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos IV01 - C
02 - A
03 - A
04 - D
05 - D
06 - B
07 - E
08 - A
09 - A
10 - D
11 - D
12 - B
13 - B
14 - A
15 - C
reduccIón al prImer cuadrante I01 - A
02 - E
03 - B
04 - C
05 - B
06 - C
07 - D
08 - B
09 - A
10 - D
11 - E
12 - C
13 - E
14 - C
15 - D
• Aptitud académica
• Matemática
• Comunicación
• Ciencias Naturales
• Ciencias Sociales
2015
4
Preguntas propuestas
Trigonometría
2
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
Reducción al primer cuadrante II
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la siguiente expresión. cot92ºtan272º
A) tan22ºB) cot22ºC) – 1D) 1E) 0
2. Si sen 902
270º sec º ,+( ) = +( )θ θn
calcule senqcosq.
A) nB) n/2C) 2nD) – n/2E) – 2n
3. Simplifique la expresión.
sensen
180180
90270
ºº
cos ºcos º
+( )−( )
+ +( )+( )
xx
xx
A) 1B) 2C) – 1D) – 2E) 0
4. Calcule el equivalente de la expresión.
sen sensen
180 27090
º ºº
+( ) − +( )+( )
θ θθ
A) tanq – 1B) – tanq – 1C) 1+tanqD) 2tanqE) 1– tanq
5. Calcule el valor de la siguiente expresión.
cos º csc ºº tan º
180 270150 225−( ) +( )θ θ
sen
A) 3 B) 2 C) 1
D) 12
E) 32
6. Al simplificar la expresión
tan º º
ºcos º,90 40
140 360+( )
−( )θ
θ
sensen
se obtiene
A) cscq.B) – cscq.C) – secq.D) secq.E) – senq.
7. Simplifique la siguiente expresión.
sensen
180 270 360180 90
º cos º tan ºcos º º+( ) − +( ) + +( )
−( ) − +( )α α α
α α
A) tancos
aa2
B) tana
C) 2senα α
α− tan
cos2
D) 2senα αα
+ tancos2
E) tan senα αα
+cos
NIVEL INTERMEDIO
8. Reduzca la expresión.
sen 90 270270
2 2º cos ºsec º+( )[ ] + −( )[ ]
+( )x x
x
A) senxB) cosxC) – cosxD) sen2xE) – senx
Trigonometría
3
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
9. Si cos ºtan º
,90360
+( )−( )
=θθ
n calcule csc(90º+q).
A) – 1/n B) n/2 C) 1/nD) – n E) n2
10. Si tan(270º+q) – cot(90º+q)=m, calcule tan2q+cot2q.
A) n2+2 B) n2+1 C) n2 – 2D) n2 – 1 E) 2 – n2
11. Si sen(270º+q)csc(180º – q)=3, calcule csc2q.
A) 5 B) 17 C) 26D) 10 E) 37
12. Si
cos º ,9013
+( ) = ∈x x IVC,
calcule el valor de cotx – 3cos(180º+x).
A) 2 2 B) 4 2 C) 0
D) −4 2 E) 23
NIVEL AVANZADO
13. Si x+y=90º, calcule
cos tantan
2 4 32 2 3
x y x yx y x y+( ) +( )+( ) +( )sen
A) 2
B) – 2
C) 12
D) 1
E) – 1
14. Calcule el máximo valor de la expresión. 2cos(270º – q)+3sen(180º – q)+4sen(90º+q)
A) 10 B) 4 C) 17D) 5 E) 2 3
15. Del gráfico, calcule 3cotq+a.
θ
13
Y
X
(a;– 2)
A) – 5B) – 6C) 3/2D) – 4E) – 3
Trigonometría
4
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Reducción al primer cuadrante III
NIVEL BÁSICO
1. Reduzca la siguiente expresión. senxcsc(– x)+cosxsec(– x)+tanxcot(– x)
A) 1 B) 2 C) 0D) – 1 E) – 2
2. Simplifique la siguiente expresión.
cos cot ºcos º
º− + ++
+ −−
( ) ( )( )
( )( )
x xx
xx
180180
360sensen
A) – cscx B) secx C) – cotxD) cscx E) – secx
3. Simplifique la expresión.
sen sensen
360720
720270
ºcos º
ºº
+( )−( )
+ −( )−( )
xx
xx
A) 0 B) 2tanx C) – 2tanxD) 2cotx E) – 2cotx
4. Simplifique la siguiente expresión.
sen sen720 180
1 2º º
cos
+ + −
−
( ) ( )θ θ
θ
A) 2cscq B) 2senq C) 2secqD) 2cosq E) 2sec2q
5. Reduzca la expresión.
cos º csctan
x x xx
−( ) − −( )[ ] −( )
−( )90 sen
A) – cotx B) – tanx C) cotxD) tanx E) 2cotx
6. Calcule el valor de la expresión. sen1110º+cos1500º
A) 1 32
+ B) – 1 C) 1 32−
D) 3 12− E) 1
7. Calcule el valor de la expresión.
cos ºcos º
º ºcos º
362722
2 902
− −−
( )( )
sen
A) 0 B) 1 C) 2D) 2tan2º E) 2cot2º
NIVEL INTERMEDIO
8. Calcule el valor de la expresión.
tan tan
tan
511
611
7511
π π
ππ
−
+
A) 1 B) – 1 C) 0D) 2 E) – 2
9. Si A B+ =π2, reduzca la expresión
sensen
27 6B AA B++
( )( )
.
A) – 1 B) 1/2 C) 1D) – 1/2 E) 2
10. Si x+y=3p, calcule
csccsc
cotcot
.xy
yx
+
A) 0 B) 1 C) 2D) – 2 E) – 1
11. Simplifique la siguiente expresión.
3 1740 0 5 2
720
sen senº ,cos º
( )( )
+ +
+
θ
θ
A) cosqB) – secqC) secqD) – cosqE) – senq
Trigonometría
5
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
12. Si sen
sen−( )( )
=510840
ºcos º
θ ; q ∈ ⟨0, 2p⟩
calcule cos4q.
A) – 1 B) 0 C) −12
D) 1 E) 12
NIVEL AVANZADO
13. Del gráfico, calcule 34 1senθ + .
θ
P(– 3; 5)
Y
X
A) – 2 B) 2 C) – 4D) – 3 E) 3
14. Si f(x)=tan29x – cot31x, calcule f π3
.
A) −4 33
B) −2 33
C) 4 33
D) −2 3
E) 2 33
15. Calcule el valor de la expresión.
cos tan;n x n x
n xnπ π
π+( ) ⋅ −( )
+( )∈
senZ
A) – 1 B) 1 C) – 2D) 1/2 E) – 1/2
Trigonometría
6
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
Identidades trigonométricas del ángulo doble I
NIVEL BÁSICO
1. Al reducir la expresión
sen senx x
x x
−−2
2
3
3cos cos
se obtiene
A) – tanx.B) – cotx.C) tanx.D) cotx.E) 1.
2. Reduzca la siguiente expresión.
1 2 2− ++
coscos
x xx x
sensen
A) 2senx B) 2cosx C) 2tanxD) cscx E) secx
3. De la siguiente identidad tan2q(1+cos4q)=sen(Mq), calcule M.
A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 1/2
4. Calcule el equivalente de la siguiente expre-sión.
2(secq – cosq)(cscq – senq)
A) sen2q B) cos2q C) – sen2q
D) senθ2
E) – cos2q
5. Si sen2q+cos23q=n, calcule cos6q – cos2q.
A) 2n – 1 B) n – 2 C) 2n – 2D) n – 1 E) 2n+2
NIVEL INTERMEDIO
6. Si sen2q=n, calcule 1 42
+ cos.
θ
A) 1+n2 B) 2n2 C) n2 – 1D) 2+n2 E) 1 – n2
7. Si sen4q=n, calcule cos8(p+q) en términos de n.
A) 2n2 – 1 B) 1 – 2n2 C) n2 – 1D) 2n2+1 E) 1 – n2
8. Reduzca la siguiente expresión. cosxcos2xcos4x
A) sen8x
B) 18
8sen x
C) 18
8sen x xcsc
D) 14sen4x xcsc
E) 14sen2x xcsc
9. Si cos
cos,
23
θθ θ
θ−
=sen
sen
calcule cotq.
A) 1/2 B) 1/4 C) 1D) 2 E) 4
10. Si cos ,4 4 16
x x− =sen
calcule cos4x.
A) −23
B) −13
C) −12
D) 32
E) 2
2
Trigonometría
7
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11. Si senx x− + =cos ,1 3 calcule sen2x.
A) 4 2 3−
B) 2 3 3−
C) 3 1−
D) 12
E) 32
NIVEL AVANZADO
12. Calcule el máximo valor de la expresión. 6senqcosq+4(cos4q – sen4q)
A) 13 B) 2 C) 2D) 4 E) 5
13. Simplifique la expresión.
1 22
1 22
−+
++ ∈
cos coscos ;
x xx x IIC
A) senx+2cosxB) 2cosxC) senxD) cosxE) 2senx
14. Si x – y=90º, calcule el valor de la expresión cscxcosy – senysecx.
A) – 2 B) 0 C) 2D) – 1 E) 1
15. Si ABCD es un paralelogramo, BC=3(AB) y CM=MD, calcule cos2q.
θ
2θ
A N
B C
M
D
A) 7172
B) 3334
C) 3536
D) 4143
E) 1417
Trigonometría
8
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Identidades trigonométricas del ángulo doble II
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de la expresión.
2 67 30
1 67 302tan º '
tan º '−
A) 1
B) 22
C) – 1
D) 2 1−
E) − 12
2. Simplifique la siguiente expresión.
1
2 12
2+ −( )tan tan
cotθ θ
θ
A) csc2q
B) tan2q
C) sec2q
D) cot2q
E) 2sec2q
3. De la siguiente identidad
2 1
12
2
2−+
= ( )tan
tan
θθ
θ θsen sen M
calcule el valor de M.
A) 2
B) 1
C) 6
D) 4
E) 8
4. Si 2tanq+5tan2q=5, calcule tan2q.
A) 3 B) 5 C) 1
D) 2 E) 4
5. Si tan2q+4tanq=1, calcule 2sen2q – cos2q.
A) 12
B) 14
C) 0
D) − 12
E) − 14
6. Si tan ,θ = 15
calcule tan2qcotq.
A) 2512
B) 23
C) 256
D) 158
E) 83
7. Si tan ,θ2
= m calcule
sensen2
2θθ.
A) 2
1 2m
m+
B) m
m
2
21
1
−+
C) m
m
2
21
1
+−
D) 1
1
2
2+−
m
m
E) 1
1
2
2−+
m
m
Trigonometría
9
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NIVEL INTERMEDIO
8. Simplifique la siguiente expresión.
2
12
3
2tan
tan
θθ
θ+
+ sen
A) 2tan2q B) tanq C) 2cotq
D) cot2q E) 2tanq
9. Si tan(45º+q)=4, calcule tan2q.
A) 5/8
B) 2/9
C) 15/8
D) 3/5
E) 15/11
10. Si tan ,x = 23
calcule sen2113
x + .
A) 2/13 B) 1 C) 12/13
D) 17/13 E) 5/13
11. Del gráfico, calcule el valor de x.
α
α
x
4
5
A) 18
B) 12
C) 9
D) 6
E) 3
12. Del gráfico, calcule tan2q.
θ
θ
A) 2
B) 2 2
C) −2 2
D) 2
E) 3 2
NIVEL AVANZADO
13. Si asen4q+bcos4q+c=0,
calcule (b – c)tan22q – 2atan2q.
A) b+c
B) a+c
C) b+a
D) b – a
E) b – c
Trigonometría
10
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
14. Si 7 1 2 1 42 2+( ) − −( ) =tan tan tan ,θ θ θ
calcule 1 22
+ cotcsc
.θ
θ
A) − 7
B) 72
C) 2 7
D) − 72
E) 7
15. Si π α π< <232
y tan ,2 2 2α = calcule el valor
de tana.
A) 12
2
B) − 2
C) 2 2 2−
D) 2 1−
E) 3 22
Trigonometría
11
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Identidades trigonométricas del ángulo doble III
NIVEL BÁSICO
1. Reduzca la siguiente expresión.
cot tan cot tancsc
θ θ θ θθ
+( ) +( )2 22
A) 4csc2q
B) 4sen4q
C) 4sen22q
D) 4csc4q
E) 4csc24q
2. Si 2cot2q+tanq=4, calcule tanq.
A) 1/2
B) 4
C) 1/8
D) 2
E) 1/4
3. Resuelva la siguiente igualdad.
csc cot ; º , º2 2
12
0 90θ θ θ θ+( ) = ∈sen
A) 30º
B) 15º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
4. Si 2csc2q – cotq=n, calcule sec2q.
A) n2 – 1
B) n2
C) 1 – n2
D) 2n2
E) 1+n2
5. Del gráfico, calcule cotθ2
si AB=8.
θ θA B
22
A) 2
B) 4
C) 32
D) 52
E) 54
6. Reduzca la siguiente expresión.
cscq – csc2q – cot2q
A) tanθ2
B) cotθ2
C) tanq
D) cotq
E) 1
7. Simplifique la expresión.
csc csc cotcot
4 8 82
θ θ θθ
+ +
A) 1
B) cot22q
C) tan2q
D) tan22q
E) cot2q
Trigonometría
12
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
NIVEL INTERMEDIO
8. Simplifique la siguiente expresión.
12
12
−
+
tan cot
tan tan
θ θ
θ θ
A) 1
B) tan22θ
C) – 1
D) −
tan2
2θ
E) – cotq
9. Si csc2x=1,5,
calcule tan2x+csc2x.
A) 3
B) 9
C) 7
D) 6
E) 8
10. Calcule el equivalente de la siguiente expre-
sión.
(cotq+tanq)sen22qcos2q
A) cos4q
B) sen4q
C) cos22q
D) sen8q
E) sen2q
11. Si csc2x+csc2y+csc2z=cot2x+cot2y+cot2z,
calcule tan tantan
.x y
z+
A) 1
B) 2
C) – 2
D) 1/2
E) – 1
12. Si
csc2a+csc2b+csc2q+cot2a+cot2b+cot2q=0,
calcule
cot cotcot
cot cotcot
cot cotcot
α βθ
β θα
θ αβ
+ + + + +
A) – 1
B) – 2
C) – 3
D) 3
E) 2
NIVEL AVANZADO
13. Si senθ = 53, además q ∈ IIIC, calcule
tan .θ2
A) − 33
B) − 5
C) − 3
D) − 55
E) − 6
Trigonometría
13
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822
14. Si senθ θ= ∈13
0 90; º, º ,
calcule tan º .452
−
θ
A) 13
B) 12
C) 12
D) 15
E) 16
15. Reduzca la siguiente expresión.
cscq+csc2q+csc4q+csc8q+csc16q
A) cot cotθ θ2
16+
B) cot cotθ θ2
16−
C) cotq+cot16q
D) cotq – cot16q
E) tan cotθ θ2
16−
Anual Integral
Reducción al pRimeR cuadRante ii01 - D
02 - B
03 - D
04 - E
05 - B
06 - B
07 - C
08 - A
09 - C
10 - A
11 - D
12 - C
13 - D
14 - C
15 - A
Reducción al pRimeR cuadRante iii01 - D
02 - A
03 - B
04 - A
05 - E
06 - E
07 - C
08 - D
09 - A
10 - A
11 - D
12 - D
13 - A
14 - A
15 - A
identidades tRigonométRicas del ángulo doble ii01 - C
02 - C
03 - D
04 - B
05 - C
06 - A
07 - E
08 - E
09 - C
10 - B
11 - B
12 - B
13 - A
14 - B
15 - B
identidades tRigonométRicas del ángulo doble iii01 - D
02 - E
03 - D
04 - E
05 - B
06 - A
07 - A
08 - C
09 - E
10 - B
11 - E
12 - C
13 - B
14 - B
15 - B
identidades tRigonométRicas del ángulo doble i01 - C
02 - A
03 - C
04 - A
05 - C
06 - E
07 - B
08 - C
09 - D
10 - A
11 - B
12 - E
13 - C
14 - C
15 - A