2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del...

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• Aptitud académica

• Matemática

• Comunicación

• Ciencias Naturales

• Ciencias Sociales

2015

1

Preguntas propuestas

Page 2: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

. . .

Trigonometría

2

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

NIVEL BÁSICO

1. En un triángulo ABC (recto en B) se cumple que tanA=2tanC. Calcule secA.

A) 3 B) 3 C) 2D) 2 2 E) 2

2. Se tiene un triángulo ABC (C=90º) y cumple que senA=2senB. Calcule 2senA+senB.

A) 1 B) 2 C) 5D) 5 E) 2

3. Si ABCD y DEFH son cuadrados de lados 3 y 1, respectivamente, calcule tanqtana.

θ

αA D H

FE

CB

A) 3/4 B) 1/6 C) 2/3D) 1/2 E) 1/3

4. Del gráfico mostrado, calcule

5 cos senθ θ−( )

θ7

2

3

A) 5

5 B)

12

C) 32

D) 1 E) 13

5. Calcule el perímetro de la región triangular si

su área es 120 m2 y tan .α =512

α

A) 30 B) 15 C) 60D) 20 E) 40

6. Del gráfico, calcule tan tan

tanθ α β β

α β+ +( ) +

+( ) .

θα

β 1

2

3

A) 5/6 B) 5/3 C) 3/7D) 7/3 E) 5/2

7. Del gráfico, calcule cotq – tana.

α

θ3

2

A) 3/2B) 3/4C) 1/3

D) 2/3

E) 1

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. . .

Trigonometría

3

8. Del gráfico, calcule 5 tan .α

α

α

A E B

C

2 3

A) 3 B) 32

C) 52

D) 5 E) 2

NIVEL INTERMEDIO

9. En un triángulo ABC recto en B se cumple que

sen cosA C =49

.

Calcule 5 cos .A

A) 53

B) 13

C) 53

D) 52

E) 23

10. Si sen senA B+ =2317

, siendo ABC un triángulo

rectángulo (C=90º).

Calcule perímetro del triángulo longitud de la hipotenusa

ABC .

A) 1/17 B) 20/17 C) 1D) 23/17 E) 40/17

11. En un triángulo ABC (recto en A) de área de 4 m2, calcule

bB

cC

2 2

tan tan+

A) 12 B) 8 C) 16D) 6 E) 20

12. Si x e y son ángulos agudos, además

27 413

12

sen cosx y−

=

Calcule 2 3tan cot .x y+

A) 3/2 B) 5/2 C) 1/2

D) 2 E) 4

13. Del gráfico mostrado, calcule BM si se sabe

que cota+cotq=3, además, AB=MC=2.

α

θ

A C

M

B

A) 4 B) 3 C) 2

D) 1 E) 1/2

NIVEL AVANZADO

14. Si tan x =125

; x ∈ ⟨0º; 90º⟩,

calcule tan º452

+

x.

A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5

D) 5 E) 3

15. En el gráfico, se cumple que sen .α =23

Halle 2 2 7sen cos .θ θ−

α

θ

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 1/2 E) 2

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Trigonometría

4

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule cotq.

θ

2x x+1

3x – 1

37º

A) 1 B) 1/3 C) 3D) 1/2 E) 2

2. En el gráfico, calcule tanq.

θ

33

A D C

B

30º

8

A) 3 3 B) 3 32

C) 3 34

D) 3

3 E)

3 35

3. Del gráfico, calcule tanx, si 3(BD)=AD.

A D B

C

x10

37º

A) 1/2 B) 3 C) 3/4D) 4 E) 1/3

4. Según el gráfico, calcule 17 sec .θ

θ

5

145º

A) 17/2 B) 34/3 C) 17/4

D) 17 E) 34

5. Del gráfico mostrado, AB=2 y BC = 3 3. Cal-

cule cotq.

θM C

B

A

N

30º

A) 5 34

B) 5 32

C) 32

D) 34

E) 5 38

6. Del gráfico mostrado, AD=DC. Calcule tana.

αA D C

B

45º 37º

A) 10/3 B) 3/10 C) 3/5

D) 5/3 E) 3/4

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. . .

Trigonometría

5

7. En el gráfico mostrado, BE=2(AE). Halle el va-

lor de tanq.

θ

A E C

B

53º

A) 3/7 B) 7/3 C) 3/14

D) 7/8 E) 2/7

8. Del gráfico, calcule 2 3cot .θ −( )

θ

22

231

45º

A) 2 B) 1/2 C) 1/3

D) 3 E) 1

NIVEL INTERMEDIO

9. Del gráfico, calcule 17 sen cos .θ θ+( )

θ

2135º3

A) 4 B) 3 C) 5

D) 2 E) 1/2

10. Dado el siguiente gráfico, determine tan .θ − 3

θ 37º

30º

A) 1/3 B) 4/3 C) 7/3

D) 10/3 E) 13/3

11. En el gráfico mostrado, AB=BC y AM=MB.

Calcule tan .θ

θ

A C

M

B

37º

A) 4/9 B) 9/4 C) 1/2

D) 1/4 E) 2/3

12. Del gráfico, calcule MB, si BC=5 y

tan .θ =312

θ

A B C

M

37º

A) 8 B) 6 C) 12

D) 7 E) 10

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. . .

Trigonometría

6

13. De acuerdo con el gráfico, calcule 5 sec .θ

θ3

537º

A) 4/3 B) 5/3 C) 5/2D) 7/2 E) 2

NIVEL AVANZADO

14. En el gráfico mostrado, AC=EC. Halle tanq.

θA C E

B

30º

A) 3

3 B)

35

C) 32

D) 34

E) 12

15. Del gráfico, calcule tanq – 1.

θ

45º

30º

A) 23

3 B) 25

6 C) 34

3

D) 23

6 E) 2 2

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Trigonometría

7

Razones trigonométricas de un ángulo agudo III

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión.

tan º tan º tan º ... tan ºcot º cot º cot º ... co

10 20 30 8010 20 30

+ + + ++ + + + tt º80

A) 3 B) 2 C) 32

D) 1 E) 12

2. Si α β= +( ) = +( )x x60 10º ºy

son ángulos agudos, de manera que se cumple que cosacscb=1, calcule el valor de x.

A) 16

B) 36

C) 49

D) 81

E) 100

3. Si cossen º cos º

sen ºcsc ºθ = +20 70

3 20 202 ; q ∈ ⟨0º; 90º⟩,

calcule tan2q.

A) 59

B) 14

C) 45

D) 49

E) 54

4. Si tan(2x)ºcot(x+30)º=1, calcule

sen º cos º

sen º

2 102

5

40

xx

x

+( ) + +

+( )

A) 1/2 B) – 2 C) 2

D) –1 E) 1

5. Si 2 2 5 2 90cos º tan tan ºx x x+( ) = −( ) , donde

los ángulos dados son agudos.

Calcule tan cos332

xx− .

A) 32

B) 12

C) 3

D) 2 E) 2 3

6. Si sen(3x+10)º=cos(5x)º; 0º < x < 15º, calcule tanxºtan2xºtan8xºtan7xº.

A) 0 B) –1 C) 1/2D) 1 E) 2

7. Si tan(x – 5º)=cos(80º+y)csc(10º – y),

calcule tanºx −

52

, siendo (x – 5º) agudo.

A) 2 1+ B) 2 1− C) 2 2+

D) 2 2− E) 1

8. Si senα =

+3

92x

x y sen2aseca=1, calcule x.

A) 3 B) 2 C) 1D) 4 E) 5

9. Si 5q=18º, calcule el valor de la expresión

sencos

tancot

1312

205

θθ

θθ

+

A) 1/2 B) 3 C) 5/2D) 1 E) 2

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Trigonometría

8

NIVEL INTERMEDIO

10. De las siguientes condiciones

sen(q+a)=cos(q – a) (I)

tan(a+30º)cotq=1 (II)

donde los ángulos dados son agudos,

calcule q – a.

A) 15º

B) 30º

C) 10º

D) 45º

E) 20º

11. Si x e y son ángulos agudos, los cuales verifican

las siguientes condiciones

senx=sen50ºsec40ºcosy

tan cot º2 9

20x

y− +

=

halle el valor de cos(y – 6º)+sen(x+6º).

A) 1 32

+ B) 2 C)

2 12+

D) 1110

E) 1

12. De las condiciones

sen(x+y)secy=1

tan2xtany=1

si x e y son agudos, calcule

3 60 2 45sen º cos º+ −( ) + + −( )x y y x

A) 52

B) 3 2+ C) 3

D) 12

E) 2

13. De las siguientes condiciones

tanqtana=1 (I)

seca=16senq (II)

donde a y q son ángulos agudos.

Calcule 15 tanθ.

A) 15 B) 2 C) 1

D) 1/4 E) 10

NIVEL AVANZADO

14. Si sen(x+3y)sec(2x+3y)=1

calcule

2 6 3 13 3 2 4tan

cot cosx y

y x x y+( ) −

−( ) − +( )

A) 1 B) 2 C) –1

D) – 2 E) 1/2

15. Si tansec º csc ºcsc º sec º

,α = −+

3 70 202 20 70

x ∈ ⟨0º; 90º⟩.

Calcule 3 452

13cot º−

α.

A) 3 B) 4 C) 1

D) 5 E) 2

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Trigonometría

9

Resolución de triángulos rectángulos

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule CM si AB=BC=2.

θ

α

θA C

M

B

A) 2tana B) 2cota C) 2tan2aD) 2csca E) 2seca

2. Calcule el perímetro de la región sombreada.

37º37º

θθ

3

A) 3+9senq+2cosqB) 3+9cosq+3senqC) 3+9senq+3cosqD) 9+3senq+9cosqE) 3+9senq+6cosq

3. Del gráfico, calcule x en términos de m y q.

θx

45º

m

A) msenqcosqB) m(cosq – senq)C) 2msenqcosqD) m(senq – cosq)E) m(senq+cosq)

4. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.

θ

3

2

A) 6senqcosqB) 2senqcosqC) 6sen2qD) 3senqcosqE) 6cos2q

5. Si AB=3, calcule AC en términos de q.

θ

A

B

C

A) 3secqcscqB) 3senqcosqC) 3sec2qD) 3sen2qE) 3csc2q

6. Si AB=2, calcule BC en términos de q y a.

θα

A B C

45º

A) 2(secq+csca)B) 2(tanq+cota)C) 2(tanq+tana)D) 2(cotq+cota)E) 2(cotq+tana)

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Trigonometría

10

7. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.

θ

2

A) 2cot2qB) 2senqcosqC) 2tan2qD) 2secqcscqE) 2sec2q

8. Del gráfico, calcule AM si MN=6.

θD M A

37º

N

C B

A) 4senq – 3cosqB) 3(3senq – 4cosq)C) 2(4senq – 3cosq)D) 3cosq – 4senqE) senq – cosq

9. Del gráfico, calcule x.

θ2

x

A) 2sen2q B) 2cos2q C) 2tan2qD) 2cot2q E) 2csc2q

NIVEL INTERMEDIO

10. Dado el siguiente gráfico, se cumple que los perímetros de los triángulos ABC y ACD son iguales. Determine sena – tanq+cosa – secq.

θα

A

B

D

C2

A) 0 B) 2 C) 3D) 4 E) 1

11. Si BC=2, calcule AB en términos de q y a.

θ

α

B

C

A

A) 2senqtanaB) 2cosqcotaC) 2cosqsecaD) 2cosqtanaE) 2senqcota

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Trigonometría

11

12. Calcule MN en función de q y m.

θθ

A N P

M

C

B

m

A) m(sen2q – tanq)B) m(senq – tanq)C) m(sen2q – cotq)D) m(cosq – tanq)E) m(cos2q – cotq)

13. Calcule x en términos de q y a.

α

θ

2

x

A) 2senasecqB) 2senacotqC) 2senacscqD) 2cosasecqE) 2cosatanq

NIVEL AVANZADO

14. Del gráfico mostrado, halle senα α

θcos

tan.

θ α1 2

A) 14

B) 13

C) 12

D) 1 E) 2

15. Si AB=1, calcule el área de la región sombrea-da en términos de q.

θ

θ

B

A

A) cot2q(cot2q – 1)B) tan3q(cot2q – 1)C) cot3q(cot2q – 1)D) tan3q(tan2q – 1)E) cotq(cot2q – 1)

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Trigonometría

12

Introducción a la geometría analítica

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule la medida del ángulo q.

Y

A(–1; 0)

B(3; 4)

A) 45º B) 30º C) 60ºD) 37º E) 15º

2. Del gráfico, calcule tanq.

YA(3; 4)

B(5; – 2)

A) 13

B) 12

C) 3

D) 1 E) 2

3. Si ABCD es un cuadrado de lado 5, calcule las coordenadas del punto B.

A) (– 8, 3) B) (– 7, 3)

Y

A

B

C

D

37º X

C) (– 6, 3)D) (– 8, 4) E) (– 7, 4)

4. Si AB=BP, calcule las coordenadas del punto P.

YP

B45º

A(– 3; 2)

X

A) (4; 2) B) (1; 2) C) (1; 3)D) (3; 2) E) (2; 3)

5. Del gráfico, calcule los valores que puede tomar x.

13

B(3; 4)

A(x; 2)

A) 0 ∨ 3 B) 2 ∨ 6 C) 1 ∨ 4D) 0 ∨ 6 E) 3 ∨ 6

6. Si P(x; x+3) es un punto que equidista de A (4; 3) y B (– 3; 1). Calcule el valor de x.

A) 16

B) 12

C) 6

D) 13

E) 3

7. Del gráfico, calcule x+y.

A(x – 5; y+3)

M(4; 5)

B(x – 1; y+1)

A) 10 B) 8 C) 12D) 9 E) 11

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Trigonometría

13

8. Calcule el área de la región sombreada, si AM=MB.

A(– 3; 6)

B(5; 8)

M

Y

X

A) 6 B) 4 C) 72

D) 7 E) 3

NIVEL INTERMEDIO

9. Si AM=MB y tanα = 25

, calcule las coordenadas del punto C.

Y

X

B(11; 8)

A(1; 0) Cα

M

A) (16; 0) B) (14; 0) C) (20; 0)D) (18; 0) E) (9; 0)

10. Del gráfico, calcule 2ab ba

+.

Y

X

(a; b)(b – 3; a+1)

A) 2 B) 12

C) – 1

D) 13

E) 3

11. Si OA=AB, calcule 9y0+2x0.

Y

O

B(x0; y0)

A(– 2; – 9)

X

A) – 80 B) – 85 C) – 82D) – 75 E) – 70

12. Dos vértices de un triángulo equilátero son (– 2; 9) y (3; – 3). ¿Cuánto mide la altura relativa a dicho lado?

A) 13 24

B) 7 22

C) 11 24

D) 15 22

E) 13 32

13. Del gráfico, calcule la medida del ángulo q.

C(– 9; – 3)

A(– 4; – 6)

B(2; 4)

θ

A) 60º B) 45º C) 90ºD) 30º E) 120º

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Trigonometría

14

NIVEL AVANZADO

14. Si PQ=6, calcule las coordenadas del punto P.

60º

30ºO X

Y P

Q(a; 7)

A) 2 3 10,( ) B) 4 3 8,( ) C) 4 3 10,( )D) 2 3 9,( ) E) 4 3 12,( )

15. Si ABCD es un cuadrado, calcule las coorde-nadas del punto B.

Y C

B D(4; 4)

A(1; 1) X

A) (– 2, 5) B) (– 2, 4) C) (– 3, 4)D) (– 2, 3) E) (– 3, 6)

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Anual Integral

01 - A

02 - E

03 - E

04 - B

05 - D

06 - A

07 - A

08 - C

09 - A

10 - E

11 - B

12 - E

13 - C

14 - C

15 - B

IntroduccIón a la geometría analítIca

01 - A

02 - C

03 - B

04 - A

05 - A

06 - E

07 - D

08 - C

09 - D

10 - A

11 - D

12 - A

13 - C

14 - C

15 - C

resolucIón de trIángulos rectángulos

01 - D

02 - E

03 - E

04 - C

05 - A

06 - D

07 - B

08 - A

09 - E

10 - B

11 - E

12 - A

13 - C

14 - B

15 - E

razones trIgonométrIcas de un ángulo agudo III

01 - e

02 - a

03 - e

04 - c

05 - e

06 - b

07 - c

08 - a

09 - c

10 - b

11 - c

12 - a

13 - c

14 - b

15 - a

razones trIgonométrIcas de un ángulo agudo II

razones trIgonométrIcas de un ángulo agudo I01 - B

02 - D

03 - B

04 - D

05 - C

06 - D

07 - A

08 - A

09 - C

10 - E

11 - C

12 - A

13 - C

14 - D

15 - B

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• Aptitud académica

• Matemática

• Comunicación

• Ciencias Naturales

• Ciencias Sociales

2015

2

Preguntas propuestas

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Aritmética

2

Ángulos en posición normal I

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule el valor de tanq.

B(– 1; 2n)

A(– n; 8)

θ

Y

X

A) – 4 B) – 3 C) − 12

D) − 14

E) – 2

2. Si tanq=3, calcule el valor de a.

P(a– 1; 4a – 1)

θ

X

Y

A) – 2 B) – 1 C) – 3D) – 4 E) – 5

3. Del gráfico, calcule 13 senθ θ+( )cos .

θ22

A(– 5; 0)45º

B

X

Y

A) – 3 B) – 6 C) – 4D) – 5 E) – 7

4. Del gráfico, calcule tanq.

θ30ºX

Y

A) − 33

B) – 2 C) − 12

D) – 1 E) − 3

5. Si AM=MB, calcule tanq.

θ37º

M

Y

XB

A(0; 16)

A) − 14

B) − 43

C) − 23

D) − 34

E) − 38

6. Si el área de la región sombreada es 12 µ2, cal-cule tanq.

P(– 3; n )

A(3; 0)θ

X

Y

A) 7/3 B) 5 C) 3D) 5/3 E) 8/3

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Aritmética

3

7. En el gráfico mostrado, ABC es un triángulo equilátero, tal que 2(AP)=AB=BH. Halle

2 3tan .α +

α

Y

AP C

B

XH

A) 2 B) 2 3+ C) 3D) – 2 E) 1

NIVEL INTERMEDIO

8. Del gráfico, calcule 5(senq+cosq).

θ

60º60º83º

Y

X

A) – 4 B) – 3 C) – 6D) – 7 E) – 5

9. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Halle 7tanb.

β

53º

B Y

C

XD

A

A) 3/7 B) – 3/7 C) 3D) – 3 E) – 7

10. Del gráfico, calcule tanq.

θ

Y

X

37º

45º

A) 23

B) 53

C) 12

D) 73

E) 35

11. Del gráfico, calcule 16tan2q, si AB=6(OC).

θ60º 60ºA C

B

Y

O X

A) 9 B) 12 C) 8D) 27 E) 16

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Aritmética

4

12. Del gráfico, calcule tanq.

P(1; – 2)

θ

Y

X

A) 14

B) 12

C) 4

D) 2 E) 1

NIVEL AVANZADO

13. Si AB=12, calcule cotq – cota.

θ

α

A B

3

X

Y

A) 3 B) 1 C) 4

D) 2 E) 14

14. Del gráfico, calcule sena+cosa.

P(1 – n; n – 2)

α

Y

X

n

A) − 15

B) 1 C) – 1

D) 15

E) −25

15. Del gráfico, calcule el valor de la expresión 2 tan .α α− sen

α

2 ; a)(

3X

Y

A) −4 73

B) −2 73

C) − 73

D) 2 73

E) 4 73

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Aritmética

5

Ángulos en posición normal II

NIVEL BÁSICO

1. Si se cumple que senb+cscb > 0 cosb+secb < 0 indique el cuadrante al cual pertenece b.

A) IIC B) IIIC C) IVCD) IIC y IVC E) IC

2. Si se cumple que tan2qcosq < 0 y senqcosq > 0, calcule el cuadrante al cual pertenece q.

A) IVC B) IIIC C) IIIC o IVCD) IIC E) IC

3. Calcule el signo de las siguientes expresiones. A=sec160ºtan250º B=csc300º+cos200º C=sen100º – cot340º

A) +, – , + B) +, +, + C) +, –, –D) –, –, – E) –, –, +

4. Del gráfico

θ

α

Y

X

calcule el signo de las siguientes expresiones. I. secqcota II. sena+tanq

III. tan cosα θ2

A) +, –, + B) +, +, + C) –, +, +D) +, –, – E) +, +, –

5. Si f(x)=sen(cosx), calcule

f ff

270 0360º º

º

( ) + ( )( )

A) 2 B) – 1 C) – 2D) 0 E) 1

6. Si a+b=4, calcule

a ba b

2 290 180360 270

sensen

º cos ºcos º º

++

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

7. Si q, a ∈ ⟨0º; 360º⟩ son ángulos cuadrantales que cumplen (senq+1)2+(cosa+1)2=0, calcule sen(q – a).

A) – 1 B) 0 C) 1/2D) 1 E) – 1/2

NIVEL INTERMEDIO

8. Si 45º < q < 90º y 20º < a < 90º, calcule el signo de las siguientes expresiones.

I. sen(q+a) II. cos2q

III. cot ºα2

80+

A) +, –, + B) –, –, – C) +, –, –D) +, +, + E) –, +, –

9. Si cot ,θ θ= − ∈512

IIC, calcule 26cosq.

A) – 8 B) – 5 C) – 10D) – 6 E) – 11

10. Si 218

4cos ,θ θ= ∈IIC , calcule 4senq+3tanq.

A) 0 B) −2 7 C) 7D) − 7 E) 2 7

11. Si secθ = 53

y tanq < 0, calcule cscq.

A) − 54

B) 54

C) − 53

D) 52

E) − 52

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Aritmética

6

12. Si cos ,2 49

θ θ= ∈IVC, calcule 4tanq.

A) − 5 B) −52

C) −3 5

D) − 54

E) −2 5

NIVEL AVANZADO

13. Si 2tan2q – tanq – 28=0, q ∈ IIIC, calcule 17 cos .θ

A) – 4 B) – 3 C) − 12

D) – 1 E) – 2

14. De la igualdad senxcosx – 3senx=0 donde 90º < x < 270º, calcule

cos tan2

6

x xx

+

sen

A) – 1 B) 2 C) 1D) – 2 E) 0

15. Si q, a ∈ ⟨0º; 360º⟩ son ángulos cuadrantales, tal que se cumple que tanq+cota=sena – 1, calcule cos(a+q).

A) 1 B) 1/2 C) 0D) – 1/2 E) – 1

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Aritmética

7

Identidades trigonométricas fundamentales I

NIVEL BÁSICO

1. Simplifique la siguiente expresión.

11

−−

senxx

xcsc

cot

A) cosx B) cscx C) – cosxD) senx E) – senx

2. Reduzca la siguiente expresión.

cos cotx xx

++1 sen

A) cot2x B) tanx C) senxD) tan2x E) cotx

3. Simplifique la siguiente expresión.

csc secx x

x+

+1 tan

A) secx B) cotx C) cscxD) sec2x E) tanx

4. Simplifique la siguiente expresión.

sen sensen

θ θ θ θ θ θθ θ

csc cos cos seccos

+( ) − +( )−

A) senq+cosq B) sen2q C) senq – cosqD) cos2q E) cosq – senq

5. Reduzca la siguiente expresión.

tan coscsc cotx x x

x x+( )

+sen

A) sen2x B) tanx C) cos2xD) cotx E) tan2x

6. Del gráfico, calcule 2cosacsc2a.

α

α

A) 1 B) 4 C) 2D) 3 E) 5

7. Del gráfico, calcule secq.

θθ

b

a

A) ab

B) ab C) 1ab

D) ba

E) 2ab

NIVEL INTERMEDIO

8. Si secx+cosx=3, calcule

cos

cos

4

21x

x

+

A) 8 B) 5 C) 6D) 4 E) 7

9. Calcule el valor de la siguiente expresión.

cos ºcos º

sec ºsec º

33 1

31 3−

−−

A) – 2 B) 1 C) 2D) – 1 E) 0

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Aritmética

8

10. Si tanq+cotq=3, calcule el valor de tanq – cotq.

A) ± 5 B) 7 C) 5D) − 5 E) 2

11. Si sec cscsec csc

,θ θθ θ−+

= 3 calcule tanq.

A) −12

B) – 2 C) 14

D) – 1 E) 2

12. Si m+n=3, calcule cotmqsennqsenmqcotnq.

A) sen3q B) cos6q C) cos3qD) sen6q E) tan3q

NIVEL AVANZADO

13. Si la igualdad

tancsc cot

secx xx x

A x xB++

=sensen

es una identidad, calcule A+B.

A) 2B) 3 C) 4D) 5 E) 6

14. Simplifique la siguiente expresión.

tancot tan

xx x1

11

1−

−−

A) cotxB) – tanxC) tanx – 2D) tanxE) – cotx

15. Calcule el valor de la siguiente expresión.

cos seccos

sec cos2

1x x

xx x

−−

− −

A) – 1B) 0C) – 2D) 1E) 2

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Aritmética

9

Identidades trigonométricas fundamentales II

NIVEL BÁSICO

1. Reduzca la siguiente expresión.

sen2 211

x xx

+ −( )−cos

sec

A) 2cosx B) 2tanx C) – 2cosxD) 2 senx E) – 2 senx

2. Calcule el equivalente de la expresión.

sec coscsc

α αα α−− sen

A) cot3a B) sec3a C) tan3aD) cot4a E) tan2a

3. Reduzca la siguiente expresión.

1 12 2

2

cos cotcsc

θ θθ− −

A) – tan2q B) cot2q C) tan2qD) – cot2q E) 2tanq

4. Reduzca la expresión.

senθθ

θ1+

+cos

cot

A) cscq B) – secq C) secqD) tanq E) – cscq

5. Calcule el valor de la siguiente expresión. sec4x – tan4x – 2tan2x+1

A) 0 B) 3 C) 2D) 4 E) 1

6. Calcule el valor de la expresión. 1 – sec4x+2sec2xtan2x – tan4x

A) 1 B) – 1 C) 2D) – 2 E) 0

7. Simplifique la siguiente expresión.

3 2 23 1

2cot csccscx x

x− +

+

A) cscx+1 B) cscx – 1 C) secx – 1D) 1 – cscx E) 1+secx

NIVEL INTERMEDIO

8. Del gráfico, calcule sen2x+csc2a+cos2q.

cotα

cosθcosx

A) 4 B) 5 C) 2D) 3 E) 6

9. Calcule el valor de la expresión. sen2xtan2x – tan2x+cos2xcot2x – cot2x

A) – 1 B) – 5 C) – 2D) – 3 E) – 4

10. Si secx+tanx=n, calcule cosx.

A) 2

1 2n

n− B) n

n1 2+ C)

n

n1 2−

D) 2

1 2n

n+ E) n

n

2

21

1

+−

11. Calcule el equivalente de la expresión.

cossec tan csc cot

xx x

xx x−

−−

sen

A) senx+cosxB) cosx – senxC) 2cosxD) senx – cosxE) 2senx

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Aritmética

10

12. Si csc ,θ θ− =sen13

calcule sec tancos cot

θ θθ θ++

.

A) 2 B) 12

C) 4

D) 14

E) 3

NIVEL AVANZADO

13. Elimine la variable angular q a partir de las siguientes condiciones.

senq – cosq=m (I) sen3q – cos3q=n (II)

A) m+n3=2n

B) 3m – m3=2n

C) 3m2 – n=2

D) 2m2 – 3m=n

E) 3m – n3=2n

14. Si asen2q – bcos2q=c, calcule tan2q.

A) c bc a−−

B) c ba c+−

C) a ba b−+

D) c ba c−−

E) a ca b−+

15. De la igualdad

21

22sen

senθθ

θ θ−

− = +( )cos

cos M N

calcule M+N.

A) 2 B) 4 C) 3D) 5 E) 1

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Aritmética

11

Identidades trigonométricas fundamentales III

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión.

sec csc

tan cot

2 2

2 22θ θ

θ θ−

+

A) 12

B) – 1 C) 1

D) 2 E) – 2

2. Calcule el equivalente de la siguiente expre-sión.

2 12 2sec csctan cot cos

θ θθ θ θ θ

+( )+

−sen

A) sec2qB) senqcosqC) cos2qD) secqcscqE) sec2qcsc2q

3. Calcule el valor de la siguiente expresión.

sen

sen

4 4

6 63

5

θ θθ θ+ ++ +cos

cos

A) 32

B) 34

C) 23

D) 12

E) 14

4. Calcule un equivalente de la expresión. sec2x+csc2x+csc4x

A) csc2xsec4xB) sec2xcsc4xC) csc4xsec4xD) sec2xcsc2xE) secxcsc2x

5. Si sec2qcsc2q=7, calcule sec4q+2sec2qcsc2q+csc4q

A) 49 B) 42 C) 36D) 25 E) 48

6. Si sen4q+cos4q=1 – n, calcule 1 – sen6q – cos6q.

A) 23n B) 2n C)

n2

D) 3n E) 32n

7. Si sec csc ,2 2 1θ θ+ =n

calcule sen4q+cos4q+1.

A) 2 – 2n B) 1 – 2n C) 2 – nD) 2 – 4n E) 3 – n

NIVEL INTERMEDIO

8. Reduzca la siguiente expresión. sen3q(sen3q+cscq)+cos3q(cos3q+secq) – 2

A) 2sen2qcos2qB) – 3sen2qcos2qC) – 2sen2qcos2qD) 3sen2qcos2qE) – 5sen2qcos2q

9. Si tanx+cotx=a, calcule (senx+cosx)2 en términos de a.

A) 11+a

B) 12+a

C) 21−a

D) 21+a

E) 1+a

10. Calcule el equivalente de la expresión.

csccot

sec csc2 2

1θθ

θ θ−−

A) tanq – 1 B) 1 – cotq C) 1+tanqD) cotq – 1 E) 1 – tanq

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Aritmética

12

11. Elimine la variable angular q de las siguientes condiciones.

secqcscq=x (I) secq+cscq=y (II)

A) y2=2x+x2

B) x2=y2+2C) y2=2x – x2

D) x2=2y+y2

E) y2=x2 – 2

12. Si 17secq – 15tanq=8, calcule 15senq+8cosq.

A) 15 B) – 8 C) – 17D) 9 E) 17

NIVEL AVANZADO

13. Del gráfico, calcule AP si AB=cos3q, NP=sen3q y MN=2sen2qcos2q.

θ

θA

B

MN

P

A) 2B) senqC) 1D) cosqE) 1/2

14. Si senθ θ− =cos ,23

calcule sen4q+cos4q.

A) 89

B) 1718

C) 23

D) 37

E) 1516

15. Calcule el valor de la siguiente expresión.

sen sen

sen

6 6 2 2

2 2 2

x x x x

x x x

+ +− + 4cos cos

cos cos

A) 1 B) 14

C) 2

D) 4 E) 12

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Anual Integral

Ángulos en posición normal i01 - A

02 - A

03 - D

04 - E

05 - B

06 - E

07 - D

08 - D

09 - D

10 - D

11 - D

12 - B

13 - C

14 - A

15 - B

Ángulos en posición normal ii01 - A

02 - B

03 - E

04 - B

05 - E

06 - D

07 - D

08 - C

09 - C

10 - A

11 - A

12 - E

13 - D

14 - B

15 - C

identidades trigonométricas fundamentales i01 - A

02 - E

03 - C

04 - A

05 - A

06 - C

07 - A

08 - E

09 - B

10 - A

11 - B

12 - C

13 - B

14 - D

15 - D

identidades trigonométricas fundamentales ii01 - A

02 - C

03 - D

04 - A

05 - C

06 - E

07 - B

08 - C

09 - A

10 - D

11 - D

12 - E

13 - B

14 - B

15 - C

identidades trigonométricas fundamentales iii01 - C

02 - D

03 - C

04 - B

05 - A

06 - E

07 - A

08 - B

09 - B

10 - E

11 - A

12 - E

13 - C

14 - B

15 - A

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• Aptitud académica

• Matemática

• Comunicación

• Ciencias Naturales

• Ciencias Sociales

2015

3

Preguntas propuestas

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Trigonometría

2

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión.

sen( º )23

310

+

A) 35 B)

25

3 C) 1310

D) 210

E) 3

10

2. Si cos(x+y)+cos(x – y)=1/2

calcule (1 – sen2x)(1 – sen2y).

A) 1/4 B) 1 C) 1/16D) 1/6 E) 1/2

3. Reduzca la expresión

sen sen( ) ( )cos( ) cos( )

x y x yx y x y+ + −+ + −

A) coty B) tany C) 1D) cotx E) tanx

4. Reduzca la siguiente expresión.

sensen

( )cos

cot tanx yx y

x y−

+

A) – 1 B) tanxcoty C) 1D) tanycotx E) cotxcoty

5. Si cos(x+y)=2senxseny, calcule cotxcoty.

A) 1/3 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 6

6. Si cos(q – a)=2cos(q+a), calcule cotqcota.

A) 3 B) 1/4 C) 2D) 1/3 E) 4

NIVEL INTERMEDIO

7. Simplifique la siguiente expresión.

sen sen

sen

( º )3032

1 2

+ −

θ θ

θ

A) 2secq B) secq2

C) 2cscq

D) cscq2

E) secq

8. Si 2 45 5 37sen sen( º ) ( º )+ = −θ θ , calcule tanq.

A) 1/5 B) 3/4 C) 2/5

D) 4/3 E) 1/2

9. Simplifique la siguiente expresión.

sen sensen

( ) cos( )

x y y xx y

+ −−2

2

A) 1/2 B) 4 C) 2

D) 1/4 E) –1

10. Determine un equivalente de la expresión (cosx – seny)(cosx+seny).

A) sen(x – y)sen(x+y)B) cos(x – y)cos(x+y)C) cos(x – y)sen(x – y)D) cosx · cosyE) cosx · seny

11. Si cosxcosy=2senxseny,

calcule cos( )cos( )

x yx y−+

A) 1 B) 1/3 C) 3

D) 1/2 E) 2

Page 31: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

3

12. Si cos x =12

, calcule el valor de la expresión

cos( ) coscos cos

x y x y xy x

+ + ++

sen sen 2

A) 1/2 B) 1 C) 2D) 1/3 E) 3

NIVEL AVANZADO

13. Si cos(2x – y)=n+sen2xseny,

calcule 1 22

2− sen x

ysec

A) n2

B) n2 C) n2

2

D) 2n2 E) 2n

14. Si coscos cos

,x yx y

+( )= −2

calcule cos coscos cos

x y x yx y

−( ) − +( )

A) – 6 B) 4 C) – 4

D) 6 E) 8

15. Reduzca la siguiente expresión.

sen senx y y xx y

+( ) −+( )

coscos

A) senx

B) cosx

C) seny

D) cosy

E) – senx

Page 32: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

4

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión.

tan º cot ºtan ºcot º20 80

1 20 80+

A) 3 B) 34

C) 33

D) 12

E) 1

2. Si tan qtanx=3 y tan(q+x)=5, calcule tanq+tanx.

A) 10 B) – 6 C) –10D) 6 E) 12

3. Si tan(45º – q)=4, calcule tanq.

A) – 4/5 B) 3/5 C) 4/5D) – 3/5 E) – 2/5

4. Calcule el equivalente de la expresión

15 2

12 5cot tan cot tanθ θ θ θ+

−+

A) tan3q B) tan7q C) – tan3qD) cot3q E) – tan7q

5. Si tan ,θ =−+

nn

11

calcule tan(45º+q).

A) n2

B) 2n C) n+1

D) n E) n – 1

6. Del gráfico, calcule el valor de tana.

A) 3/7

α

1

1

5

3

B) 7/4C) 2D) 4/7E) 9/5

NIVEL INTERMEDIO

7. Si cotx+coty=3, tanxtany=12

calcule tan(x+y).

A) 1/3 B) 2 C) 1/2

D) 4 E) 3

8. Si tan(x – y)=2 y tan(x+y)=3, calcule tan2x.

A) 1 B) –1 C) 5

D) 1/5 E) –1/5

9. Si q – b=30º y tan tan

tan ·tan,

2 2

1θ βθ β−

+= a

calcule tanq+tanb.

A) a B) a

3 C) a 3

D) a2

E) 2a

10. Si tan(x+y)=2cotx, halle (2cotx – tanx)coty.

A) –1 B) 1 C) 1/3

D) 2 E) 3

11. Si ABCD es un cuadrado, BM=MC y BN=3(AN),

halle tanx.

x

B M C

N

A D

A) – 6 B) – 4 C) – 5D) –1/4 E) –1/5

Page 33: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

5

12. Del gráfico, calcule 3tanq.

5

3

127º – θ

θ

A) – 23 B) – 25 C) –17D) – 29 E) –19

NIVEL AVANZADO

13. Si coscos cos

,x yx y

−( )= 3 además, tanx+tany=3;

tany > tanx, calcule tan(x – y).

A) 3 B) 13

C) 12

D) −13

E) −12

14. Si ABCD es un paralelogramo, AD=6 y CD=5, halle tanx.

37º

A

B C

D

x

A) 2/7 B) 3/5 C) 5/2

D) 36/11 E) 4/5

15. En el gráfico, AB=5 cm y BC=4 cm. Halle el área de la región sombreada.

D

45º

C

BA

A) 87,5 cm2

B) 77,5 cm2

C) 75 cm2

D) 105 cm2

E) 102,5 cm2

Page 34: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

6

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III

NIVEL BÁSICO

1. Simplifique la siguiente expresión.

sen5040 10

50º

cos ºcos ºcot º−

A) tan40º B) tan58º C) tan10ºD) tan20º E) cot40º

2. De la siguiente identidad

sen34

θθ θ

θ θcos cos

tan tan( )+ = A M

calcule A+M.

A) 6 B) 3 C) 5D) 4 E) 7

3. Si A+B=37º y A – B=30º, calcule cos2A – sen2B.

A) 310

B) 2 35

C) 3 310

D) 25

E) 35

4. Si a+q=30º, calcule sen sensen

2 2θ αθ α−−( )

A) 32

B) 3

3 C) 1

D) 12

E) 2

5. Si sen sensen

2 2 13

θ αθ α−+( ) = ,

calcule cos2(q – a).

A) 89

B) 34 C)

67

D) 45

E) 12

6. Calcule el valor que debe tomar k para que la igualdad se cumpla.

tan50º+tan10º+k · tan50º · tan10º= 3

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 5

NIVEL INTERMEDIO

7. Si q+a=45º y q – a=30º,

calcule tan tantan tan

θ αθ α+−

A) 24

B) 2 2 C) 12

D) 2 E) 2

8. Reduzca la siguiente expresión

sen12 1

1 2º

cos ºcos ºtan º cot º+

A) tan2º B) cot2º C) 1D) 2 E) tan1º · cot2º

9. Calcule el valor de la siguiente expresión

sen4645 1

3637 1

ºcos º·cos º

tan ºcos º·cos º

+

A) 1/4 B) 7/4 C) 1/2D) 1/3 E) 2

10. Simplifique la siguiente expresión

2sen( )cos( ) cos( )

tana b

a b a bb

++ + −

A) tanb B) 0 C) tanaD) – tanb E) – tana

11. Calcule el equivalente de la siguiente expre-sión

1+sen(x+y)sen(x – y)

A) sen2x+cos2yB) sen2y+cos2xC) sen2x+sen2yD) cos2x+cos2yE) sen2(x+y)

Page 35: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

7

12. Calcule el equivalente de la expresión sen(q – a)sen(q+a)+cos2q.

A) cos2aB) sen2q+cos2aC) sen2aD) 2cos2qE) sen2a+sen2q

NIVEL AVANZADO

13. Si sena+senb=m y sena – senb=n, calcule sen(a+b) sen(a – b).

A) mn

B) m

n

2

2 C) mn

D) m+n E) m – n

14. Simplifique la siguiente expresión.

315

215

2

2

2 2

sen sen

sen

( ) ( ) cos

cos º º

x y x y xy y

+ − +

+

− −

A) 2cosy B) 3 cos x C) 2cos2y

D) 3senx E) 2seny

15. Si cos(a+q)= −2

10 y cos(a – q)=

22

calcule (sen2a – sen2q)2.

A) 925

B) 4925 C)

49100

D) 150

E) 916

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Trigonometría

8

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión

tan º tan º tan ºtan º tan º

60 40 8040 80

+ +

A) 3

3 B) –1 C) 3

D) 2 E) − 3

2. En un triángulo ABC se cumple que 3tanA=tanB+tanC. Calcule tanB tanC.

A) 4 B) 1/2 C) 2D) 1/4 E) 1

3. Si A+B+C=p rad, además, tanA=x – 1, tanB=x y tanC=x+1, calcule x.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

4. Calcule el máximo valor que asume la expre-sión 5sen(x+37º)+cosx.

A) 6 B) 4 C) 6D) 4 2 E) 4

5. Calcule el mínimo valor de la expresión senq(senq+3)+cos2q+4cosq.

A) – 7 B) –2 C) – 5D) – 4 E) – 6

6. Simplifique la siguiente expresión (sen10º+cos10º)sec35º

A) 3 B) 2 C) 2

2

D) 12

E) 1

NIVEL INTERMEDIO

7. En un triángulo ABC se cumple que

tan tan tanA B C2 3 4

= =

Calcule 6tan2A.

A) 8 B) 7 C) 6D) 4 E) 9

8. Si x+y+z=p/4, calcule

cot( ) cot( ) cot( )cot( )cot( )cot( )x y x z z yx y x z z y+ + + + +

+ + +

A) 1 B) 2 C) 0D) –1 E) –2

9. Calcule el máximo valor de la expresión

sen senθ θ θ θ++

−cos cos3 2

A) 53

B) 52

C) 35

D) 23

E) 34

10. Calcule el mínimo valor de la siguiente expre-sión

5sen(37º+q)+2cos(q+30º) – 3 cosq

A) −2 2 B) – 2 C) –5

D) −3 2 E) − 13

11. De la siguiente identidad

5senq+12cosq=Asen(q+a)

calcule 5tana+A.

A) 18 B) 24 C) 16

D) 25 E) 30

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Trigonometría

9

12. Calcule el valor de la expresión

sensen20 20

65º cos º

º+

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 12

NIVEL AVANZADO

13. Calcule el máximo valor de la expresión

(sen24º+cos24º)(senx+cosx)

A) 2 69cos º

B) 2sen69º

C) sen24º+cos24º

D) 2 69sen º

E) 2

14. De la siguiente identidad

3 sen(10º+x)+cos(10º+x)=Asen(Bo

+x)

si Bo

∈ ⟨0º; 90º⟩,

calcule BA

.

A) 20 B) 10 C) 30

D) 5 E) 15

15. Calcule aproximadamente el valor de la ex-presión

cos º ºcos º º6 3 6

3 1 4 1+−sensen

A) 15

B) 12

C) 25

D) 2

2 E)

25

Page 38: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

10

Reducción al primer cuadrante I

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión

cos º cos ºcos º cos º

120 240300 60

++

A) – 1 B) 1 C) –1/2

D) 1/2 E) –2

2. Halle el valor de la expresión

tan º tan ºcot º

csc ºcos º20 3 160

70135

120−

+−

A) 12

2+ B) 12

2− C) 2 2−

D) 22

2+ E) 2 2+

3. Calcule a ∈ ⟨0º; 90º⟩, en la igualdad

( )

ºcsc º

tan4150210

2α− =−sen

A) 30º B) 45º C) 53º/2

D) 37º/2 E) 60º

4. Si sen20º=k, calcule

sen200º sen340º.

A) –k2 B) 32

k C) k2

D) k2

E) −k2

5. Simplifique la siguiente expresión

cot( º )cos( º )

cos ( º )

180 180

3602− +

−θ θ

θ

A) secq B) cscq C) senqD) cosq E) tanq

6. Calcule el valor de la siguiente expresión

5 3 180 6180

sen 360 sen sensen

( º ) ( º )( º )

− − + +−

θ θ θθ

A) 8 B) 14 C) 4

D) – 6 E) – 2

NIVEL INTERMEDIO

7. Calcule el valor de la siguiente expresión

sen sen

sen

61 299

60 30022 2

º º

º cos º

++

+

A) 4 B) 0 C) 3

D) 2 E) – 2

8. En un triángulo ABC, simplifique la expresión

tan( )tan

secsec( )

csc( )csc

B AC

BA C

B CA

++

++

+

A) 1 B) –1 C) 2

D) – 2 E) 3

9. Si x+2y+3z=180º

calcule sen( )sen

tan( )tan

2 3 23

y zx

x yz

+ − +

A) 2 B) 0 C) –2

D) –1 E) 1

10. Reduzca la siguiente expresión

cot( º ) tan( º )csc( º )

180 180360

+ − −−

θ θθ

A) –cscq B) –senq C) senqD) –secq E) secq

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Trigonometría

11

11. Del gráfico, halle tanf.

A(16; 0)

B(2; 3)

X

Y

φ

A) −414

B) −17

C) −37

D) 314

E) −314

12. Del gráfico, calcule tan2b+secb.

A) 3

52º

68º

β

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

NIVEL AVANZADO

13. Si tan(330º – x)=5, calcule cot(210º+x).

A) 1/5 B) 5 C) –5

D) –3/5 E) –1/5

14. Del gráfico, calcule sen(135º – x – y).

1

22

x+y

A) 2 26

+

B) 4 2 2

7+

C) 4 26

+

D) 2 15−

E) 4 2 3

8−

15. Del gráfico, halle el valor de la expresión

13 cos tanα θ+

3 2

θ α

A) 83

B) 23

C) 32

D) 43

E) 12

Page 40: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Anual Integral

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos I01 - B

02 - C

03 - E

04 - C

05 - C

06 - A

07 - B

08 - C

09 - A

10 - B

11 - C

12 - A

13 - B

14 - D

15 - C

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos II01 - C

02 - C

03 - D

04 - A

05 - D

06 - D

07 - E

08 - B

09 - C

10 - E

11 - C

12 - D

13 - D

14 - D

15 - E

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos III01 - C

02 - C

03 - B

04 - D

05 - A

06 - C

07 - D

08 - C

09 - B

10 - C

11 - A

12 - A

13 - C

14 - A

15 - C

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos IV01 - C

02 - A

03 - A

04 - D

05 - D

06 - B

07 - E

08 - A

09 - A

10 - D

11 - D

12 - B

13 - B

14 - A

15 - C

reduccIón al prImer cuadrante I01 - A

02 - E

03 - B

04 - C

05 - B

06 - C

07 - D

08 - B

09 - A

10 - D

11 - E

12 - C

13 - E

14 - C

15 - D

Page 41: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

• Aptitud académica

• Matemática

• Comunicación

• Ciencias Naturales

• Ciencias Sociales

2015

4

Preguntas propuestas

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Trigonometría

2

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Reducción al primer cuadrante II

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la siguiente expresión. cot92ºtan272º

A) tan22ºB) cot22ºC) – 1D) 1E) 0

2. Si sen 902

270º sec º ,+( ) = +( )θ θn

calcule senqcosq.

A) nB) n/2C) 2nD) – n/2E) – 2n

3. Simplifique la expresión.

sensen

180180

90270

ºº

cos ºcos º

+( )−( )

+ +( )+( )

xx

xx

A) 1B) 2C) – 1D) – 2E) 0

4. Calcule el equivalente de la expresión.

sen sensen

180 27090

º ºº

+( ) − +( )+( )

θ θθ

A) tanq – 1B) – tanq – 1C) 1+tanqD) 2tanqE) 1– tanq

5. Calcule el valor de la siguiente expresión.

cos º csc ºº tan º

180 270150 225−( ) +( )θ θ

sen

A) 3 B) 2 C) 1

D) 12

E) 32

6. Al simplificar la expresión

tan º º

ºcos º,90 40

140 360+( )

−( )θ

θ

sensen

se obtiene

A) cscq.B) – cscq.C) – secq.D) secq.E) – senq.

7. Simplifique la siguiente expresión.

sensen

180 270 360180 90

º cos º tan ºcos º º+( ) − +( ) + +( )

−( ) − +( )α α α

α α

A) tancos

aa2

B) tana

C) 2senα α

α− tan

cos2

D) 2senα αα

+ tancos2

E) tan senα αα

+cos

NIVEL INTERMEDIO

8. Reduzca la expresión.

sen 90 270270

2 2º cos ºsec º+( )[ ] + −( )[ ]

+( )x x

x

A) senxB) cosxC) – cosxD) sen2xE) – senx

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Trigonometría

3

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9. Si cos ºtan º

,90360

+( )−( )

=θθ

n calcule csc(90º+q).

A) – 1/n B) n/2 C) 1/nD) – n E) n2

10. Si tan(270º+q) – cot(90º+q)=m, calcule tan2q+cot2q.

A) n2+2 B) n2+1 C) n2 – 2D) n2 – 1 E) 2 – n2

11. Si sen(270º+q)csc(180º – q)=3, calcule csc2q.

A) 5 B) 17 C) 26D) 10 E) 37

12. Si

cos º ,9013

+( ) = ∈x x IVC,

calcule el valor de cotx – 3cos(180º+x).

A) 2 2 B) 4 2 C) 0

D) −4 2 E) 23

NIVEL AVANZADO

13. Si x+y=90º, calcule

cos tantan

2 4 32 2 3

x y x yx y x y+( ) +( )+( ) +( )sen

A) 2

B) – 2

C) 12

D) 1

E) – 1

14. Calcule el máximo valor de la expresión. 2cos(270º – q)+3sen(180º – q)+4sen(90º+q)

A) 10 B) 4 C) 17D) 5 E) 2 3

15. Del gráfico, calcule 3cotq+a.

θ

13

Y

X

(a;– 2)

A) – 5B) – 6C) 3/2D) – 4E) – 3

Page 44: 2015...10 Trigonometría 4 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico, calcule cotq. 2 θ x+1 3x 1 37º A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 1/2 E) 2 2. En el gráfico,

Trigonometría

4

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Reducción al primer cuadrante III

NIVEL BÁSICO

1. Reduzca la siguiente expresión. senxcsc(– x)+cosxsec(– x)+tanxcot(– x)

A) 1 B) 2 C) 0D) – 1 E) – 2

2. Simplifique la siguiente expresión.

cos cot ºcos º

º− + ++

+ −−

( ) ( )( )

( )( )

x xx

xx

180180

360sensen

A) – cscx B) secx C) – cotxD) cscx E) – secx

3. Simplifique la expresión.

sen sensen

360720

720270

ºcos º

ºº

+( )−( )

+ −( )−( )

xx

xx

A) 0 B) 2tanx C) – 2tanxD) 2cotx E) – 2cotx

4. Simplifique la siguiente expresión.

sen sen720 180

1 2º º

cos

+ + −

( ) ( )θ θ

θ

A) 2cscq B) 2senq C) 2secqD) 2cosq E) 2sec2q

5. Reduzca la expresión.

cos º csctan

x x xx

−( ) − −( )[ ] −( )

−( )90 sen

A) – cotx B) – tanx C) cotxD) tanx E) 2cotx

6. Calcule el valor de la expresión. sen1110º+cos1500º

A) 1 32

+ B) – 1 C) 1 32−

D) 3 12− E) 1

7. Calcule el valor de la expresión.

cos ºcos º

º ºcos º

362722

2 902

− −−

( )( )

sen

A) 0 B) 1 C) 2D) 2tan2º E) 2cot2º

NIVEL INTERMEDIO

8. Calcule el valor de la expresión.

tan tan

tan

511

611

7511

π π

ππ

+

A) 1 B) – 1 C) 0D) 2 E) – 2

9. Si A B+ =π2, reduzca la expresión

sensen

27 6B AA B++

( )( )

.

A) – 1 B) 1/2 C) 1D) – 1/2 E) 2

10. Si x+y=3p, calcule

csccsc

cotcot

.xy

yx

+

A) 0 B) 1 C) 2D) – 2 E) – 1

11. Simplifique la siguiente expresión.

3 1740 0 5 2

720

sen senº ,cos º

( )( )

+ +

+

θ

θ

A) cosqB) – secqC) secqD) – cosqE) – senq

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Trigonometría

5

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12. Si sen

sen−( )( )

=510840

ºcos º

θ ; q ∈ ⟨0, 2p⟩

calcule cos4q.

A) – 1 B) 0 C) −12

D) 1 E) 12

NIVEL AVANZADO

13. Del gráfico, calcule 34 1senθ + .

θ

P(– 3; 5)

Y

X

A) – 2 B) 2 C) – 4D) – 3 E) 3

14. Si f(x)=tan29x – cot31x, calcule f π3

.

A) −4 33

B) −2 33

C) 4 33

D) −2 3

E) 2 33

15. Calcule el valor de la expresión.

cos tan;n x n x

n xnπ π

π+( ) ⋅ −( )

+( )∈

senZ

A) – 1 B) 1 C) – 2D) 1/2 E) – 1/2

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Trigonometría

6

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Identidades trigonométricas del ángulo doble I

NIVEL BÁSICO

1. Al reducir la expresión

sen senx x

x x

−−2

2

3

3cos cos

se obtiene

A) – tanx.B) – cotx.C) tanx.D) cotx.E) 1.

2. Reduzca la siguiente expresión.

1 2 2− ++

coscos

x xx x

sensen

A) 2senx B) 2cosx C) 2tanxD) cscx E) secx

3. De la siguiente identidad tan2q(1+cos4q)=sen(Mq), calcule M.

A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 1/2

4. Calcule el equivalente de la siguiente expre-sión.

2(secq – cosq)(cscq – senq)

A) sen2q B) cos2q C) – sen2q

D) senθ2

E) – cos2q

5. Si sen2q+cos23q=n, calcule cos6q – cos2q.

A) 2n – 1 B) n – 2 C) 2n – 2D) n – 1 E) 2n+2

NIVEL INTERMEDIO

6. Si sen2q=n, calcule 1 42

+ cos.

θ

A) 1+n2 B) 2n2 C) n2 – 1D) 2+n2 E) 1 – n2

7. Si sen4q=n, calcule cos8(p+q) en términos de n.

A) 2n2 – 1 B) 1 – 2n2 C) n2 – 1D) 2n2+1 E) 1 – n2

8. Reduzca la siguiente expresión. cosxcos2xcos4x

A) sen8x

B) 18

8sen x

C) 18

8sen x xcsc

D) 14sen4x xcsc

E) 14sen2x xcsc

9. Si cos

cos,

23

θθ θ

θ−

=sen

sen

calcule cotq.

A) 1/2 B) 1/4 C) 1D) 2 E) 4

10. Si cos ,4 4 16

x x− =sen

calcule cos4x.

A) −23

B) −13

C) −12

D) 32

E) 2

2

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Trigonometría

7

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11. Si senx x− + =cos ,1 3 calcule sen2x.

A) 4 2 3−

B) 2 3 3−

C) 3 1−

D) 12

E) 32

NIVEL AVANZADO

12. Calcule el máximo valor de la expresión. 6senqcosq+4(cos4q – sen4q)

A) 13 B) 2 C) 2D) 4 E) 5

13. Simplifique la expresión.

1 22

1 22

−+

++ ∈

cos coscos ;

x xx x IIC

A) senx+2cosxB) 2cosxC) senxD) cosxE) 2senx

14. Si x – y=90º, calcule el valor de la expresión cscxcosy – senysecx.

A) – 2 B) 0 C) 2D) – 1 E) 1

15. Si ABCD es un paralelogramo, BC=3(AB) y CM=MD, calcule cos2q.

θ

A N

B C

M

D

A) 7172

B) 3334

C) 3536

D) 4143

E) 1417

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Trigonometría

8

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Identidades trigonométricas del ángulo doble II

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de la expresión.

2 67 30

1 67 302tan º '

tan º '−

A) 1

B) 22

C) – 1

D) 2 1−

E) − 12

2. Simplifique la siguiente expresión.

1

2 12

2+ −( )tan tan

cotθ θ

θ

A) csc2q

B) tan2q

C) sec2q

D) cot2q

E) 2sec2q

3. De la siguiente identidad

2 1

12

2

2−+

= ( )tan

tan

θθ

θ θsen sen M

calcule el valor de M.

A) 2

B) 1

C) 6

D) 4

E) 8

4. Si 2tanq+5tan2q=5, calcule tan2q.

A) 3 B) 5 C) 1

D) 2 E) 4

5. Si tan2q+4tanq=1, calcule 2sen2q – cos2q.

A) 12

B) 14

C) 0

D) − 12

E) − 14

6. Si tan ,θ = 15

calcule tan2qcotq.

A) 2512

B) 23

C) 256

D) 158

E) 83

7. Si tan ,θ2

= m calcule

sensen2

2θθ.

A) 2

1 2m

m+

B) m

m

2

21

1

−+

C) m

m

2

21

1

+−

D) 1

1

2

2+−

m

m

E) 1

1

2

2−+

m

m

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Trigonometría

9

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NIVEL INTERMEDIO

8. Simplifique la siguiente expresión.

2

12

3

2tan

tan

θθ

θ+

+ sen

A) 2tan2q B) tanq C) 2cotq

D) cot2q E) 2tanq

9. Si tan(45º+q)=4, calcule tan2q.

A) 5/8

B) 2/9

C) 15/8

D) 3/5

E) 15/11

10. Si tan ,x = 23

calcule sen2113

x + .

A) 2/13 B) 1 C) 12/13

D) 17/13 E) 5/13

11. Del gráfico, calcule el valor de x.

α

α

x

4

5

A) 18

B) 12

C) 9

D) 6

E) 3

12. Del gráfico, calcule tan2q.

θ

θ

A) 2

B) 2 2

C) −2 2

D) 2

E) 3 2

NIVEL AVANZADO

13. Si asen4q+bcos4q+c=0,

calcule (b – c)tan22q – 2atan2q.

A) b+c

B) a+c

C) b+a

D) b – a

E) b – c

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Trigonometría

10

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14. Si 7 1 2 1 42 2+( ) − −( ) =tan tan tan ,θ θ θ

calcule 1 22

+ cotcsc

θ

A) − 7

B) 72

C) 2 7

D) − 72

E) 7

15. Si π α π< <232

y tan ,2 2 2α = calcule el valor

de tana.

A) 12

2

B) − 2

C) 2 2 2−

D) 2 1−

E) 3 22

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Trigonometría

11

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Identidades trigonométricas del ángulo doble III

NIVEL BÁSICO

1. Reduzca la siguiente expresión.

cot tan cot tancsc

θ θ θ θθ

+( ) +( )2 22

A) 4csc2q

B) 4sen4q

C) 4sen22q

D) 4csc4q

E) 4csc24q

2. Si 2cot2q+tanq=4, calcule tanq.

A) 1/2

B) 4

C) 1/8

D) 2

E) 1/4

3. Resuelva la siguiente igualdad.

csc cot ; º , º2 2

12

0 90θ θ θ θ+( ) = ∈sen

A) 30º

B) 15º

C) 45º

D) 60º

E) 75º

4. Si 2csc2q – cotq=n, calcule sec2q.

A) n2 – 1

B) n2

C) 1 – n2

D) 2n2

E) 1+n2

5. Del gráfico, calcule cotθ2

si AB=8.

θ θA B

22

A) 2

B) 4

C) 32

D) 52

E) 54

6. Reduzca la siguiente expresión.

cscq – csc2q – cot2q

A) tanθ2

B) cotθ2

C) tanq

D) cotq

E) 1

7. Simplifique la expresión.

csc csc cotcot

4 8 82

θ θ θθ

+ +

A) 1

B) cot22q

C) tan2q

D) tan22q

E) cot2q

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Trigonometría

12

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NIVEL INTERMEDIO

8. Simplifique la siguiente expresión.

12

12

+

tan cot

tan tan

θ θ

θ θ

A) 1

B) tan22θ

C) – 1

D) −

tan2

E) – cotq

9. Si csc2x=1,5,

calcule tan2x+csc2x.

A) 3

B) 9

C) 7

D) 6

E) 8

10. Calcule el equivalente de la siguiente expre-

sión.

(cotq+tanq)sen22qcos2q

A) cos4q

B) sen4q

C) cos22q

D) sen8q

E) sen2q

11. Si csc2x+csc2y+csc2z=cot2x+cot2y+cot2z,

calcule tan tantan

.x y

z+

A) 1

B) 2

C) – 2

D) 1/2

E) – 1

12. Si

csc2a+csc2b+csc2q+cot2a+cot2b+cot2q=0,

calcule

cot cotcot

cot cotcot

cot cotcot

α βθ

β θα

θ αβ

+ + + + +

A) – 1

B) – 2

C) – 3

D) 3

E) 2

NIVEL AVANZADO

13. Si senθ = 53, además q ∈ IIIC, calcule

tan .θ2

A) − 33

B) − 5

C) − 3

D) − 55

E) − 6

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Trigonometría

13

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14. Si senθ θ= ∈13

0 90; º, º ,

calcule tan º .452

θ

A) 13

B) 12

C) 12

D) 15

E) 16

15. Reduzca la siguiente expresión.

cscq+csc2q+csc4q+csc8q+csc16q

A) cot cotθ θ2

16+

B) cot cotθ θ2

16−

C) cotq+cot16q

D) cotq – cot16q

E) tan cotθ θ2

16−

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Anual Integral

Reducción al pRimeR cuadRante ii01 - D

02 - B

03 - D

04 - E

05 - B

06 - B

07 - C

08 - A

09 - C

10 - A

11 - D

12 - C

13 - D

14 - C

15 - A

Reducción al pRimeR cuadRante iii01 - D

02 - A

03 - B

04 - A

05 - E

06 - E

07 - C

08 - D

09 - A

10 - A

11 - D

12 - D

13 - A

14 - A

15 - A

identidades tRigonométRicas del ángulo doble ii01 - C

02 - C

03 - D

04 - B

05 - C

06 - A

07 - E

08 - E

09 - C

10 - B

11 - B

12 - B

13 - A

14 - B

15 - B

identidades tRigonométRicas del ángulo doble iii01 - D

02 - E

03 - D

04 - E

05 - B

06 - A

07 - A

08 - C

09 - E

10 - B

11 - E

12 - C

13 - B

14 - B

15 - B

identidades tRigonométRicas del ángulo doble i01 - C

02 - A

03 - C

04 - A

05 - C

06 - E

07 - B

08 - C

09 - D

10 - A

11 - B

12 - E

13 - C

14 - C

15 - A