Pengertian Trigonometri

PENGERTIAN

Pada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras.

Sin α = a/c Cos α = b/c tg α = a/b

cosec α = c/a sec α = c/b ctg α = b/a

HUBUNGAN-HUBUNGAN

ctg α = 1/tg α sec α = 1/cos α cosec α = 1/sin α

tg α = sin α / cos α sin2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α

Pengukuran Sudut

Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang

busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran.

2p rad = 360°

p rad = 180°

1 rad = 57,29°

KUADRAN

TANDA-TANDA FUNGSI

Kuadran I

0° - 90°

II

90° - 180°

III

180° - 270°

IV

270° - 360°

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Sudut Istimewa

SUDUT ISTIMEWA

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin 0 1/2 ½ √2 ½ √3 1 0 -1 0

cos 1 ½ √3 ½ √2 1/2 0 -1 0 1

tan 0 1/3 √3 1 √3 ~ 0 ~ 0

Sudut (90 - αααα)

sin (90 - α) = Cos α Cos (90 - α) = sin α tan (90 - α) = cot α

Sudut (90 + αααα)

sin (90 + α) = Cos α Cos (90 + α) = - sin α tan (90 + α) = - cot α

Sudut (180 - αααα)

sin (180 - α) = sin α Cos (180 - α) = - Cos α tan (180 - α) = - tan α

Sudut (180 + αααα)

sin (180+α) = -sinα Cos (180 + α) = - Cos α tan (180 + α) = tan α

Sudut (270 - αααα)

sin (270 - α) = - Cos α cos (270 - α) = - sin α tan (270 - α) = ctg α

Sudut (270 + αααα)

sin (270 + α) = -cos α cos (270 + α) = sin a tan (270 + α) = - cot α

Sudut (360 - αααα)

sin (360 - α) = - sin α Cos (360 - α) = Cos α

Sudut (360 + αααα)

sin (360 + α) = sin α Cos (360 + α) = Cos α

tan (360 - α) = - tan α tan (360 + α) = tan α

Sudut Negatif

sin (-α) = - sin α Cos (-α) = Cos α tan (-α) = - tan α

Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.

Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV.

Keterangan :

Untuk αααα sudut lancip

Kuadran Hubungan

I α (90 - α)

II (180 - α) (90 + α)

III (180 + α) (270 - α)

IV (360 - α)

atau

(270 + α)

RINGKASAN

Sudut (180 ± α) ; (360 ± α) → FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan

kuadran

Sudut (90 ± α) ; (270 ± α) → FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan

kuadran

Grafik Fungsi

GRAFIK FUNGSI

y = sin x

• Periode 360°

• Batas nilai : - 1 ≤ sin x ≤ 1

y = cos x

• Periode 360°

• Batas nilai : - 1 ≤ cos x ≤ 1

y = tan x

• Periode 180°

• Batas nilai : -∞ ≤ tan x ≤ ∞

PERLUASAN CONTOH UNTUK GRAFIK SINUS

y = a sin nx • periode 360°/n

• batas nilai -a ≤ a sin nx ≤ a

PERGESERAN GRAFIK

y = a sin (nx - θθθθ) Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx sejauh θθθθ/n ke kanan (-) / ke kiri (+)

y = a sin nx + c Didapat dengan menggeser grafik y = a sin nx

sejauh c satuan ke atas (+) / ke bawah (-)

Contoh :

y = 3 sin 2x

• Periode 180°

• Batas nilai -3 ≤ 3 sin 2x ≤ 3

y = 3 sin (2x - 60°)

• Didapat dari grafik y = 3 sin 2x

digeser ke kanan 30°

• Periode 180°

• Batas nilai : -3 ≤ 3 sin (2x - 60°) ≤ 3

y = 3 sin 2x + 2

• Didapat dari grafik y = 3 sin 2x

digeser 2 satuan ke atas

• Periode 180°

• Batas nilai : -1 ≤ 3 sin 2x + 2 ≤ 5

Dalil-Dalil Dalam Segitiga

DALIL SINUS

a = b = c

sin α sin β sin δ

LUAS SEGITIGA a² = b² + c² - 2 bc cos α b² = a² + c² - 2 ac cos β c² = a² + b² - 2 ab cos δ DALIL COSINUS Luas = ½ ab sin δ

= ½ ac β = ½ bc α

Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :

L = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) s = setengah keliling segitiga

= ½ (a+b+c)

LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU

SEGITIGA

1. Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC,

titik pusat lingkaran dalam didapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga

ABC. Hubungan :

rd = √√√√[(s-a)(s-b)(s-c)]/s

2. Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga

ABC, titik pusat lingkaran luar didapat dari

perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL = a = b = c sin αααα sin ββββ sin δδδδ

rL = abc 4 √√√√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

3. Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan

sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat

lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari

perpotongan garis bagi dalam sudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C.

Terdapat tiga lingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC

dan menyinggung sisi AC. Hubungan : rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC

= √ √ √ √ s(s-b)(s-c) (s-a)

rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC

= √ √ √ √ s(s-a)(s-c) (s-b)

rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB

= √ √ √ √ s(s-a)(s-b) (s-c)