OG2EM

Zadaci za rad na časovima računskih vežbi

Tekst sadrži 10 zadataka koji će se rešavati na časovima računskih vežbi u to-ku druge polovine kursa. Prvih 6 zadataka se odnosi na asinhrone mašine.

Preostala 4 zadatka se odnose na sinhrone mašine.

Asinhrone mašine

proizvoljni položaj

1. zadatak

mθ

θ

IS

referentna osa rotora Na slici pored prikazana je cilindrična mašina dužine

L, sa rotorom čiji je prečnik D znatno veći od vazdu-šnog zazora δ između statora i rotora. Statorski namotaj ove mašine stvara magnetsko polje u zazoru pri čemu se prostorna raspodela magnetske indukcije može zapi-sati kao:

( ) ( ) [ ]m S, cosB t B t Tθ ω θ= − ,

gde je sa θ označen ugaoni položaj proizvoljne tačke u zazoru u odnosu na referentnu osu statora. Rotorski namotaj ima samo jedan kratko spojeni navojak, post-avljen u žlebove rotora kao na slici. Takav rotorski na-motaj poseduje termogeni otpor RR, dok se sopstvena induktivnost ovog namotaja može zanemariti. Uticaj rotorske struje na polje u zazoru je zanemariv. Rotor se okreće konstantnom brzinom Ωm<ωS u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu. Pri tome se vremenska promena ugaonog položaja referentne ose rotora može zapisati na sledeći način:

( ) ( )m m 0t tθ θ= + Ωm .

U funkciji navedenih veličina izraziti vremensku promenu elektomagnetskog momenta koji deluje na rotor, mem(t), kao i njegovu srednju vrednost, Mem, na intervalu T=2*π/(ωs-Ωm). Rešenje: Postupak izračunavanja:

• izračuna se vrednost indukovane elektromotorne sile u rotorskom namotaju; • izračuna se struja kroz rotorski namotaj; • izračuna se sila koja deluje na jedan od provodnika koji čini rotorski namotaj; • odredi se traženi elektromagnetski moment.

Na slici ispod su prikazani vektori linijske brzine, magnetske indukcije i sile koja deluje na jedan od provodnika, zajedno sa svojim napadnim tačkama i referentnim smerovima.

vrvr

proizvoljni položaj

mθθ

referentna osa statora

referentna osa rotora

Br

Br

Fr

Fr

Kako poznajemo raspodelu polja u zazoru, kao i položaj oba provodnika koji čine rotorski namotaj, najjednostavniji način da se izračuna indukovana elektromotorna sila je primena obrasca:

( )E E L v B Lv= + = + ⋅ × = +r rr B ,

gde B predstavlja magnetsku indukcija na ugaonom položaju gde se nalazi rotorski provodnik, a sa v je označena relativna linijska brzina provodnika i magnetskog polja. Pozitivan predznak potiče usled toga što je za referentni smer indukovane elektromotorne sile usvojen referenti smer koji je na slici prikazan kružićem i tačkom, odnosno, krstićem. Položaj na kome se nalaze rotorski provodnici se ovde može zapisati kao:

( ) ( )m m m02 2

t tπ πθ θ+ = + Ω +

i

( ) ( )m m m0 Ω2 2

t tπ πθ θ− = + − ,

dok relativna brzina v iznosi:

( )S mΩ2Dv ω= − .

Trenutna vrednost indukovane elektromotorne sile u rotorskom namotaju sa jednim navojkom (dva provodnika) iznosi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 , 2 ,2 2 2

0 sin 0 .2

De t B t t Lv B t t L LD B t t

LD B t t LD B t

π πθ θ θ θ ω ω θ θ

πω ω θ ω ω θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = = + − Ω = − Ω = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − Ω − − Ω − = − Ω − Ω −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

m m S m S m m

S m m S m m S m m S m mcos

,2π

=

Jednačina naponskog balansa za kratkospojeni rotorski navojak glasi: ( ) ( )R R0 R i t e t= + ,

odakle se izračunava struja koja se ima u tom navojku, sa referentnim smerom koji je označen na slici:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S m m S m mR

R R

sin 0LD B te ti t

R Rω ω− Ω − Ω −⎡ ⎤⎣ ⎦= − = −

θ.

Sila koja deluje na jedan provodnik ima vrednost:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

R m R m

S m m S m mm S m m

R2 2 2 2

m S m m S m2S m m S m m

R R

, ,2 2

sin 0sin 0

sin 0 1 cos 2 0 .2

F L i t B t t Li t B t t

LD B tL B t

R

L DB L DBt t

R R

π πθ θ θ θ

ω ω θω θ

ω ωω θ ω θ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × = + = − = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

− Ω − Ω −⎡ ⎤⎣ ⎦= − Ω −⎡ ⎤⎣ ⎦

− Ω − Ω= − Ω − = − − Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

rr

=

−

Negativni predznak u prethodnom izrazu potiče od neusklađenosti referentnog smera sa slike i smera vektora koji predstavlja rezultat vektorskog proizvoda. Odavde se lako izračunava trenutna vrednost momenta koji deluje na rotor kao:

( ) ( ) ( ) (( )2 2 2

m S mem S m m

R

2 1 cos 22 2

L D BDm t F tRω

ω θ− Ω

= = − − Ω − )0⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Srednja vrednost momenta, na intervalu

S m

2πTω Ω

=−

iznosi:

( ) ( )2 2 2m S m

em emR0

1 d2

T L D BM m t t

T Rω − Ω

= =∫ .

2. zadatak

Trofazna mašina naizmenične struje poseduje tri fazna na-motaja, prostorno pomerena za po 120 stepeni. Namotaji su povezani u zvezdu, pri čemu zvezdište nije povezano. U trenutku t=0, d osa sinhronorotirajućeg dq koordinatnog sistema zauzima položaj od θdq=400 u odnosu na osu faze a (videti sliku pored). U tom istom trenutku, fazor statorskog napona ima amplitudu od Udq=180V i zaklapa ugao od θU,dq=350 sa d osom dq koordinatnog sistema, dok su struje u fazama a i b statorskog namotaja: ia(t=0)=6A i ib(t=0)=-3A.

U,dqθ

dqθ

dqUq

d

Sβ

Sα , areferentna osa statora

a) Primenom Klarkine i Parkove transformacije odrediti vrednosti komponenti statorske struje izražene u dq koordinatnom sistemu, id(t=0) i iq(t=0).

b) Primenjujući inverznu Parkovu i inverznu Klarkinu transformaciju odrediti vrednosti napona koje se u tom trenutku imaju u svakoj od faza, ua(t=0), ub(t=0) i uc(t=0).

U proračunima usvojiti da je vrednost koeficijenta u Klarkinoj transformaciji: k=2/3. Rešenje: a) Kako su fazni namotaji povezani u zvezdu, bez nultog izvoda, to je zbir sve tri fazne struje u svakom trenutku jednak nuli:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

a b c a b c

c a b

0 0 0

0 0 0 3 A.

i t i t i t i t i t i t

i t i t i t

+ + = ⇒ = + = + = =

⇒ = = − = − = = −

0 0

Primenom Klarkine transformacije, izračunavaju se komponente statorske struje u stacionarnom αβ koordinatnom sistemu:

( )( )

( )( )( )

a aα α

b bβ β

c c

01 0,5 0,5 1 0,5 0,50 62 0 A3 3 3 30 030 0 02 2 2 2

i ii i t

k i i ti i t

i i

=⎡ ⎤− − − −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

t

t= .

Primenom Parkove transformacije, izračunavaju se komponente prostornog vektora u dq koordinatnom sistemu:

( )( )

( )( )

d dq dq α dq dqd α

q dq dq β dq dqq β

cos sin cos sin0 0 4,6A

sin cos sin cos0 0 3,857i i i t i ti i i t i t

θ θ θ θθ θ θ θ

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −= = −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Na osnovu izračunatih vrednosti, može se prikazati fazor statorske struje i njegove komponente u dq koordinatnom sistemu:

qI

dIdqθ

dqI

q

d

Sβ

Sα , areferentna osa statora

b) Pošto su poznate dužina i položaj prostornog vektora statorskog napona u dq koordinatnom sistemu, to je onda moguće izračunati njegove komponent ud i uq:

( )( )

d dq U,dq

q dq U,dq

0 cos 147, 4 V,

0 sin 103, 2 V.

u t U

u t U

θ

θ

= = =

= = =

Primenom inverzne Parkove transformacije, izračunavaju se komponente prostornog vektora napona statora u αβ koordinatnom sistemu:

( )( )

( )( )

α dq dq d dq dqα d

β dq dq q dq dqβ q

cos sin cos sin0 0 46,58V

sin cos sin cos0 0 173,8u u u t u tu u u t u t

θ θ θ θθ θ θ θ

− −= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= .

Primenom inverzne Klarkine transformacije izračunavaju se komponente prostornog vektora statorskog napona u originalnom abc koordinatnom sistemu:

( )( )( )

( )( )

a aα α

b bβ β

c c

1 0 1 00 46,58

03 30,5 0 0,5 127,2 V02 2

0 -173,83 30,5 0,5

2 2

u u tu u t

u u tu u t

u u t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⇒ = = − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

3. zadatak

Trofazni dvopolni asinhroni motor, načinjen za fazni napon nominalne efektivne vrednosti Un=270V, nominalne učesta-nosti od fS,n=60Hz, ima parametre:

• termogeni otpor statorskog namotaja (jedne faze) RS=0,25Ω, • svedena vrednost termogenog otpora rotorskog namotaja (jedne faze) RR=0.2Ω, • rasipna induktivnost statorskog namotaja (jedne faze) LγS=3 mH. • svedena vrednost rasipne induktivnosti rotorskog namotaja (jedne faze) LγR=3 mH, • induktivnost magnetizacije Lm=100mH.

Faze statorskog namotaja su povezane u zvezdu. Gubici u gvožđu i mehaničkom podsistemu ovog motora se mogu zane-mariti. Za radni režim u kome je motor napajan naponom nominalne učestanosti, fS= fS,n, sa efektivne vrednošću faznog napona koja iznosi 70% nominalnog napona, (US=0,7Un), pri čemu se rotor okreće brzinom od n=3300ob/min, izračunati: a) vrednost relativnog klizanja, s; b) razliku brzine obrtnog polja i brzine rotora (brzinu klizanja, u oznaci Ωk) i kružnu učestanost struje u kratkospojenom

rotorskom namotaju (u oznaci ωk); c) struju statora, IS i rotora, IR; d) fluks statora, ΨS, fluks magnetizacije, Ψm i fluks rotora, ΨR a zatim ih uporediti po amplitudi i fazi; e) elektromagnetski moment, Mem.

Rešenje: U rešavanju zadatka koristiće se zamenska šema asinhronog motora za stacionarna stanja:

SI

sRR

mL

SR

SU

γRL γSL

mI RI Vrednost sinhrone brzine, nS, je povezana sa kružnom učestanošću napajanja, fS, preko sledeće relacije:

S S 60n f= ⋅ . Zamenom u prethodni izraz nominalne učestanosti napajanja, fS,n, moguće je izračunati nominalnu vrednost sinhrone brzine:

S,n S,nob60 3600

minn f= ⋅ = .

Takođe se brzina može izraziti i u rad/s:

S,n S,nπ rad377

30 snΩ = = .

a) Koristeći podatke o nominalnoj vrednosti sinhrone brzine (nS,n=3600 ob/min) i brzini motora (n = 3300 ob/min) koja se ima u traženom radnom režimu, može se izračunati relativno klizanje:

S,n m S,n

S,n S,n

0,083 8,3%n n

sn

Ω ΩΩ

− −= = = = .

b) Brzina klizanja predstavlja razliku sinhrone brzine (ΩS) i ugaone brzine rotora asinhronog motora. Za radni režim opisan u zadatku, ima se:

k S m S,nπ rad31, 42

30 snΩ Ω Ω Ω= − = − = .

Ta vrednost se može izraziti i u ob/min:

k k30 ob300π min

n Ω= = .

Kod dvopolnog motora (p=1), kružna učestanost rotorske struje je jednaka vrednosti ugaone brzine klizanja:

k krad31, 42s

ω = Ω = .

Digresija: Kod dvopolnih mašine (p=1) izjednačavaju se vrednosti sledećih veličina: kružna učestanost napajanja (ωS) = sinhrona brzina (ΩS) učestanost rotorskih struja (ωk) = ugaona brzina klizanja (Ωk) električna rotorska brzina (ωm) = mehanička ugaona brzina (Ωm) Kraj digresije. c) Da bi se izračunala statorska struja, najpre je potrebno izračunati kolika je ulazna kompleksna impedansa za dati radni režim:

( )( )

RS,n m S γR

ul S S,n γSR

S,n m γR0.083

j jj 2 Ω

js

RL LsZ R L R L L

s

ω ωω

ω=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= + + = +

+ +,5 j2,37 .

Sada je kompleksna vrednost statorske struje za dati režim rada:

( )S nS

ul ul

0,7 39,82 j37,75 AU UIZ Z

= = = − .

Primenom obrasca za strujni razdelnik, izračunava se kompleksna vrednost struje rotora:

( )( )S,n m

R S R RR

S,n m γR

j40,78 j34,12 A 53,17 A

j

LI I I IR L L

s

ω

ω= = − ⇒ =

+ += .

d) Da bi smo izračunali ova tri fluksa, najpre treba da odredimo kompleksnu vrednost indukovane elektromotorne sile statora, ES, napon na grani magnetizacije, Um, i indukovanu elektromotornu silu rotora, ER:

ES mU

S

RRm

S

S

γR γS

mI R

( )S S S S 179 j9,44 VE U R I= − = + ,

( )m S S,n γS Sj 136,3 j35,6 VU E L Iω= − = − ,

( )RR R 98, 27 j82, 22 VRE I

s= = − .

Fluks se izračunava integracijom odgovarajuće elektromotorne sile. U stacionarnom sdomenu, integracija predstavlja deljenje kompleksnog napona sa kompleksnim članom

( ) 0SS S S

S,n

0,025 j0, 475 Wb 0, 476 Wb, 87jE

SΨ Ψ Ψ Ψω

= = − ⇒ = = ∠ = − ,

( )mm m m

S,n

0,094 j0,36 Wb 0,372 Wb, 104jU

mΨ Ψ Ψ Ψω

= = − − ⇒ = = ∠ = −

E

I

R

tanju, posmat(j*ωS):

0,6 ,

L

R

U

L

L I

s

rano u kompleksnom

( ) 0RR R R

S,n

0, 22 j0, 26 Wb 0,34 Wb, 130, 24jE

RΨ Ψ Ψ Ψω

= = − − ⇒ = = ∠ = − .

Usled postojanja rasipnog fluksa, u motornom režimu rada se ima:

S m R

S m

,.R

Ψ Ψ ΨΨ Ψ Ψ

> >∠ > ∠ > ∠

Im

RΨ

Re

mΨ Ψ e) Elektromagnetski moment (moment elektromehanič

2 2R,dqmeh ob R R R

emm S,n S,n S,n

3 3 54, 22

IP P R I RMs sΩ ω ω ω

= = = = = N

S

ke konverzije):

m .

4. zadatak Trofazni dvopolni asinhroni motor načinjen, za nominalni fazni napon efektivne vrednosti od Un=220V, nominalne uče-stanosti od fS,n=50Hz, ima parametre:

• termogeni otpor statorskog namotaja (jedne faze) RS=13,44 Ω, • svedena vrednost termogenog otpora rotorskog namotaja (jedne faze) RR=12,55 Ω, • rasipna induktivnost statorskog namotaja (jedne faze) LγS=41,8 mH, • svedena vrednost rasipne induktivnosti rotorskog namotaja (jedne faze) LγR=24 mH, • induktivnost magnetizacije Lm=1,1085 H.

Ako su faze statora povezane u zvezdu, a motor je nominalno napajan (fS= fS,n, US=Un), izračunati: a) polazni moment Mpol, uz pretpostavku da je Lm tako veliko da se struja magnetizacije može zanemariti; b) prevalni moment u motornom režimu rada, Mpr,m. U svim proračunima u ovoj tački smatrati da Lm→∞, kao i da je

RS =0. c) moment, Mpr,m,T, koji se ima pri relativnom klizanju izračunatom u tački b) ovog zadatka, ali sada uvažavajući

postojanje nenulte vrednosti struje magnetizacione grane i nenulte vrednosti temogenog otpora statora. Uporediti vrednosti dva elektromagnetska momenta, izračunata u tačkama b) i c).

Rešenje: a) U rešavanju zadatka koristiće se zamenska šema asinhronog motora za stacionarna stanja, uz zanemarenje struje magnetizacije:

SI

sRR

SR

SU

γRL γSL

RI

Kada se u zadatku navede da je asinhroni motor nominalno napajan, to podrazumeva sledeće:

S n S S,, .U U f f= = n

Stoga je:

( ) ( )( ) ( )

22ob m SR R R

pol em m 22 2S,n S,n S,n S R S,n γS γR

1, 11, 3 3 5, 26 Nm.1 1

P s L UI R RM M s LR R L Lω ω ω ω

= → ∞= = → ∞ = = = =

+ + +

b) Relativna vrednost prevalnog klizanja se određuje kao vrednost relativnog klizanja s=spr, pri kom se postiže maksimum mehaničke karakteristike, spr = ±RR/Xγe. Kako je Lγe=(LSLR – Lm

2)/LR ≅ LγS+LγR (uz pretpostavku da je Lm jako veliko) to se onda ima Xγe = 20,67 Ω, pa je spr = ±0.607. Kako se prema zadatku traži prevalni moment u motornom režimu rad, to se uzima pozitivna vrednost prevalnog klizanja:

( )( ) ( )2 2

R n npr em pr m S 2 2

pr S,n S,n2 γS γR2RS γS γR

pr

1 1, , 0 3 3 11,18 N2

R U UM M s s L Rs L LR L L

s

ω ωω

= = → ∞ = = = =+⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

m.

c) Sada se ponavlja procedura učinjena u tačkama c) i e) 3. zadatka: Najpre se računa ulazna impedansa, koristeći podatak o relativnom klizanju izračunatom u tački b) ovog zadatka:

( )( )

( )

RS,n m S,n γR

prul pr S S,n γS

RS,n m γR

pr

j jj 33,18 j21,66 Ω

j

RL Ls

Z s s R L R L Ls

ω ωω

ω

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠= = + + = ++ +

Zatim se izračunava statorska struja:

( )S nS

ul ul

4,65 j3,03 AU UIZ Z

= = = − ,

a primenom obrasca za strujni razdelnik, izračunava i vrednost struje rotora:

( )( )S,n m

R S R RR

S,n m γR

j4,71 j2,69 A 5, 42 A

j

LI I I IR L L

s

ω

ω= = − ⇒ =

+ += .

Konačno, traženi elektromagnetski moment će biti: 2R R

pr,m,TS,n pr

3 5,81I RMsω

= = Nm .

Uvažavanje nenulte vrednosti struje magnetizacije i termogenog otpora statora neminovno dovodi do smanjenja izračunatih vrednosti svih momenata u motornom režimu rada. Naime, njihovo uključivanje u proračun smanjuje za izvestan iznos efektivnu vrednost struje rotora, a time i moment. Izvesna nedoslednost u proračunu u ovoj tački se ogleda u tome što je nova vrednost prevalnog momenta izračunata pri vrednosti relativnog klizanja koja je određena u analizi u kojoj je grana magnetizacije i termogeni otpor statora bili isključeni iz proračuna. Uvođenjem grane magnetizacije u proračun, dovodi do promene i relativnog klizanja pri kom se ostvaruje maksimum mehaničke karakteristike.

5. zadatak Trofazni dvopolni asinhroni motor definisan u zadatku 4. ima nominalnu brzinu od nn=2580 ob/min. Izuzev termogenih gubitaka u statorskom i rotorskom namotaju motora, svi ostali gubici snage se mogu zanemariti. Faze statora motora su povezane u zvezdu. U izračunavanjima je opravdano zanemariti struju u grani magnetizacije. a) Odrediti nominalnu vrednost termogenih gubitaka snage, Pγ,n; b) Ako je motor je nominalno napajan, za režim polaska, izračunati:

- snagu obrtnog polja, Pob(s=1); - termogene gubitka snage u rotorskom namotaju, Pcu

rot(s=1); - termogene gubitka snage u celoj mašini, Pγ(s=1);

c) Pri pokušaju startovanja motora, uz nominalni napon napajanja, došlo je do loma prenosnog mehanizma koji je uzro-kovao da osovina rotora ostane zaglavljena i nepokretna. Izračunati koliko dugo opisani radni režim može trajati (tmax) a da pri tome ne dođe do termičkog oštećenja motora. Smatrati da motor započinje rad u opisanom režimu iz hladnog sta-nja. Poznata je vremenska konstanta zagrevanja motora T=10 minuta. Motor se može u termičkom smislu tretirati kao ho-mogeno telo. Rešenje: a) Zanemarenjem grane magnetizacije, zamenska šema za stacionarna stanja, na kojoj će biti bazirano rešavanje zadatka, ima izgled:

SI

sRR

SR

SU

γRL γSL

RI Nominalna vrednost relativnog klizanja će iznositi:

[ ]S,n n

S,n n S,n nn

S,n S,n S,n

π2π30 0,14 p.u.

2π

f ns

fΩ Ω ω Ω

Ω ω

−− −= = = = .

Stoga je nominalna vrednost gubitaka snage u mašini jednaka:

( ) ( )( )( )

22 n

γ,n S R n S R 22

RS S,n γS γR

n

3 3 341, 4 W

2 π

UP R R I R RRR f L Ls

= + = + =⎛ ⎞

+ + ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b) Dijagram toka snage za asinhroni motora je dat na slici pored. Koristeći podatak o vrednosti polaznog momenta izračunat u zadatku 4, moguće je odrediti vrednost snage obrtnog polja u režimu polaska:

( )ob pol S pol S1 1652 WP s M MΩ ω= = = = .

Kako je vrednost relativnog klizanja s=1, to je snaga koja se disipira na otporu RR (čime modelujemo gubitke u namotaju rotora) jednaka snazi koja se ’’disipira’’ na otporniku RR/s (čime se modeluje snaga koja se predaje od statora rotoru, tj. snaga obrtnog polja):

( )( ) ( )

( )2

rot 2 nCu R R R ob22 2

S R S,n γS γR

1 1 3 3 1 1652 WUs P s R I R P sR R L Lω

= → = = = = = =+ + +

.

To je bio i očekivan rezultat, s obzirom da je, usled mirovanja rotora, snaga elektomehaničke konverzije, PmR, jednaka nuli. Termogeni gubici u celoj mašini predstavljaju zbir termogenih gubitaka u statorskom i rotorskom namotaju:

( ) ( ) ( ) ( )stat rot 2 2S Sγ Cu Cu S R R R R γ,R

R R

1 1 1 3 3 1 1 3421 WR RP s P s P s R R I R I PR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = = + = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

c) U motoru postoje gubici snage Pγ koji dovode do povećanja temperature motora. Ako pretpostavimo da se motor u termičkom pogledu ponaša kao homogeno telo, on se po pitanju zagrevanja može modelovati modelom sistema 1. reda, kao što je prikazano na sledećoj slici:

θ∆γP TC

TR

Na prethodnoj slici RT predstavlja termički otpor motor-ambijent, ∆θ predstavlja nadtemperaturu (razlika temperature motora i ambijenta: ∆θ = θmot - θamb), dok je CT termička kapacitivnost motora u odnosu na ambijent. Nastanak akcidentne situacije i generisanje gubitaka u namotajima za opisano kolo prestavlja pojavu pobude u obliku Hevisajdovog impulsa amplitude Pγ. U tom slučaju je promena temperature u vremenu opisana odzivom sistema 1. reda na pobudu tipa Hevisajdovog impulsa koji, uz uslov da motor polazi iz hladnog stanja, ima izraz:

( ) γ T∆ 1 ,tTt P R eθ

−⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

gde T=RTCT vremensku konstantu zagrevanja motora. Nominalna snaga gubitaka nam omogućuje da odredimo vrednost termičkog otpora RT. Naime, pri postojanju nominalne snage gubitaka u mašini, ona se posle dovoljno dugog vremena u takvim uslovima zagreje tačno do one temperature koja je za izolaciju namotaja mašine definisana kao maksimalno dozvoljena nadtemperatura:

( ) maxmax γ γ,n γ,n T T

γ,n

, .t P P P R RPθθ θ ∆

∆ = ∆ → ∞ = = ⇒ =

Stoga se promena nadtemperature u slučaju da u mašini postoje nekakvi gubici Pγ, različiti od Pγ,n, može sada iskazati kao:

( ) maxγ

γ,n

1tTt P e

Pθθ

−⎛ ⎞∆∆ = ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Ako se pogleda vrednost termogenih gubitaka koja se u mašini generiše u opisanom režimu u kome je rotor zaglavljen, uočava se da je ona višestruko veća od njihove nominalne vrednosti. Stoga će opisani režim moći da traje, a da pri tome ne dođe do trajnog oštećenja mašine, samo do onog trenutka u kom se rastuća vrednost nadtemperature ne izjednači sa maksimalno dozvoljenom nadtemperaturom za tu vrstu upotrebljenih statorskih i rotorskih namotaja. Stoga se vreme tmax, koje bi bilo potrebno da se ta nadtemperatura uspostavi, može odrediti na sledeći način:

( )max

γ,nmaxmax max γ max max

γ,n γ

∆ ∆ 1 ∆ ln 1 0,964 min 57,8 s.tT

Pt P e t T

P Pθθ θ θ

− ⎛ ⎞⎛ ⎞∆= ⇒ ⋅ − = ⇒ = − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6. zadatak Trofazni dvopolni (p=1) asinhroni motor poseduje statorski namotaj čije su faze spregnute u zvezdu (Y). Nominalna efek-tivna vrednost linijskog napona je Ul,n=220√3 V. Nominalna učestanost napajanja jednaka je fS,n=50 Hz. Nominalna efek-tivna vrednost struje motora je In = 16A, nominalna brzina obrtanja je nn = 2850 o/min. Nominalna efektivna vrednost struje praznog hoda (t.j. struje koja se ima pri nominalnom naponu, nominalne učestanosti, u uslovima kada je klizanje jednako nuli) iznosi I0 = 8A dok je nominalna efektivna vrednost polazne struje (t.j. struje koja postoji u namotajima pri nominalnom napajanju i zakočenom rotoru, tj. kada je brzina obrtanja jednaka nuli a klizanje jednako jedan) Ipol = 80A. U proračunima se otpornost statorskog namotaja RS može zanemariti, rasipne induktivnosti statora i rotora se mogu smatrati među sobom jednakim (LγS = LγR) i znatno manjim od međusobne induktivnosti (LγS << Lm, LγR << Lm). a) Nacrtati ekvivalentnu šemu za stacionarna stanja i odrediti sve njene parametre (osim RS). Pri izračunavanjima je

opravdano usvojiti da je nominalna vrednost struje u grani magnetizacije mnogo manja od nominalne struje (Im,n<<In), kao i da je struja magnetizacije pri polasku mnogo manja od polazne struje (Im(s=1)<<Ipol).

b) Nacrtati prirodnu karakteristiku u M-ω ravni i odrediti koordinate (t.j. parove M,ω) karakterističnih tačaka (pola-zak, prevalni moment u motornom radu, nominalni režim rada, prevalni moment u režimu kočenja). Pri izračunavanju ovih vrednosti, zanemariti struju u grani magnetizacije.

c) Odrediti faktor snage (cos(ϕn)) i stepen korisnog dejstva, ηn, u režimu nominalnog napajanja i opterećenja , osla-njajući se pri tome na zamensku šemu dobijenu u tački a) i zanemarujući gubitke snage koji se u ovoj šemi ne modeluju.

d) Odrediti frekvencije rotorskih struja za karakteristične tačke analizirane u b). e) Usvajajući tipičan sistem baznih veličina, odrediti relativne (svedene) vrednosti svih parametara mašine i svih

vrednosti elektromagnetskog momenta izračunatih u tački b) ovog zadatka. Rešenje: a) Zamenska šema asinhronog motora za stacionarna stanja ima izgled kao na sledećoj slici:

SI

sRR

mL

SR

SU

γRL γSL

mI RI

Nominalna vrednost sinhrone brzine, nS,n, iznosi:

S,n S,nob60 3000

minn f= ⋅ = .

Takođe se brzina može izraziti i u rad/s:

S,n S,nπ rad314,16

30 snΩ = = .

a) Koristeći podatke o nominalnoj brzini (nn = 2850 ob/min) i nominalnoj vrednosti sinhronoj brzini (nS,n = 3000 o/min) može se izračunati nominalna vrednost relativnog klizanja za motorni režim rada:

S,n nn

S,n

0.05n n

sn

−= = .

Magnetizacionu induktivnost Lm moguće je izračunati na osnovu ogleda praznog hoda (s = 0) koristeći izmerenu struju praznog hoda (I0=8A) koja se ima u faznim namotajima nominalno napajanog (US=Un=Ul,n/√3=220V, fS=fS,n=50Hz), neopterećenog asinhronog motora. Naime, kako vrednost RR/s teži beskonačnosti, to se može konstatovati da je struja rotora u ogledu praznog hoda jednaka nuli, usled čega se izjednačavaju struje statora i struja magnetizacije. Stoga se zamenska šema transformiše u šemu koja je data na slici pored, odakle se lako izračunava vrednost Lm:

SI

mLSU

γSL mI

( )n n n

0 m, m S,n 0S,n m γS

87,5 mH2π 2πS n

U U UI Lf L f IL Lω

= ≅ ⇒ = =+

.

Vrednost rotorskog otpora RR i ekvivalentne induktivnosti rasipanja Lγe = 2*LγS = 2*LγR moguće je izračunati na osnovu efektivne vrednosti polazne struje (Ipol = 80 A) i efektivne vrednosti nominalne struje motora (In =16A) koje se imaju pri nominalnom napajanju. Pri tom izračunavanju je zanemarena struja magnetizacije (pogledati tekst zadatka). Usled toga je opravdano i izjednačiti ekvivalentnu induktivnost rasipanja Lγe sa zbirom pojedinačnih induktivnosti rasipanja (LγS+LγR).

( ) ( )n n

pol n2 22 2R S,n RS,n γe

n

e

U UI IR L R L

sγω

ω

= =⎛ ⎞+

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Rešavanjem ovog sistema dobija se: 2n

2 2 2 2n pol γe pol nn

R n γS γR 2S,n n

2n

1 1 110.674 4.243 mH1 2 2 2π 11

sI I L I IUR U L L

f ss

− −= = Ω = = = ⋅ =

−−

b) Na osnovu parametara zamenske šeme dobijenih u tački a) izračunata je zavisnost elektromagnetskog momenta od brzine rotora asinhronog motora. Ta zavisnost je u formi mehaničke karakteristike prikazana na sledećoj slici, na osnovu vrednosti parametara izračunatih u tački a), uz zanemarenja magnetizacione struje. Vrednost polaznog i prevalnog elektromagnetskog momenta će biti izračunata uz pretpostavku da je vrednost magnetizacione struje višestruko puta manja od struje statora i rotora, što značajno pojednostavljuje račun.

Primetiti da veličina US u izrazu za moment, izvedena na predavanjima, nakon primene Klarkine transformacije sa vodećim koeficijentom k = 2/3, predstavlja vršnu vrednost faznog napona statora, dakle, US = 1.4142 * Un. Primetiti takodje da je US

2 = 2Un2. Izraz za moment se, dakle, može iskazati tako da se faktor 3/2 US

2 zameni faktorom 3Un2.

Učestanost ωS se može izraziti kao 2π fs,nom, što izraz za moment svodi na oblik dat ispod grafika.

( )

2n R

em 22S,n R

S,n γe

32 π

2 π

U RMf sR f L

s

= ⋅⋅ ⋅ ⎛ ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Rezultati će biti prikazani u obliku uređenih trojki (Mem, ω, s). Režim polaska:

( )( )

22n R

pol em pol R22S,n S,nR

S,n γe

3 31 42 π 1 2 π

2 π1

U RM M s I Rf fR f L

= = = ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1,2 Nm .

Konačno, pri startovanju motora, uređena trojka bi imala vrednosti:

( ) (em m, , 41,2 Nm, 0 rad/s,1M sΩ = ) .

Nominalni režim rada:

( )( )

2n R

n em n 22S,n nR

S,n γen

3 32,95 Nm2 π

2 π

U RM M s sf sR f L

s

= = = ⋅ =⋅ ⋅ ⎛ ⎞

+ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Konačno, za režim rada koji odgovara nominalno napajanom motoru uz nominalno opterećenje, uređena trojka bi imala vrednosti: ( ) (em m, , 32,95 Nm, 298,5 rad/s, 0,05M sΩ = ) .

Prevalni moment u motornom režimu rada: Određivanje prevalnog momenta u motornom režimu rada podrazumeva prethodno određivanje prevalnog klizanja (izraz je izveden na predavanjima):

Rpr,mot

S,n γe

0, 2532 π

Rsf L

= =⋅ ⋅ ⋅

.

Stoga je prevalni moment u motornom režimu rada:

( )( )

2n R

pr,mot em pr,mot 2S,n pr,mot2R

S,n γepr,mot

3 86,7 Nm2 π

2 π

U RM M s sf sR f L

s

= = = ⋅ =⋅ ⋅ ⎛ ⎞

+ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Prevalni moment u motornom režimu se postiže pri brzini rotora od:

( )m,pr,mot pr,mot S,nrad1 234,7s

sΩ = − Ω = .

Konačno, za režim rada koji odgovara nominalno napajanom motoru pri maksimalnoj vrednosti momenta, uređena trojka bi imala vrednosti: ( ) (em m, , 86,7 Nm, 234,7 rad/s, 0,253M sΩ = ) .

Prevalnom momentu u generatorskom režimu rada će odgovarati vrednost relativnog klizanja koja je po apsolutnoj vrednosti jednaka relativnoj vrednosti prevalnog klizanja koja se ima u motornom režimu rada, ali svojim negativnim predznakom ukazuje na to da se radi o brzinama većim od sinhrone:

Rpr,gen pr,mot

S,n γe

0.2532 π

Rs sf L

= − = − = −⋅ ⋅ ⋅

.

Kako je termogena otpornost statora zanemariva, zaključuje se da su apsolutne vrednosti prevalnih momenata u motornom i u generatorskom režimu identične:

( )( )

2n R

pr,gen em pr,gen 2S,n pr,gen2R

S,n γepr,gen

3 86,7 Nm2 π

2 π

U RM M s sf sR f L

s

= = = ⋅ = −⋅ ⋅ ⎛ ⎞

+ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Prevalni moment u generatorskom režimu se postiže pri brzini rotora od:

( )m,pr,gen pr,gen S,nrad1 393s

sΩ = − Ω = ,6

)

.

Konačno, za režim rada koji odgovara nominalno napajanom motoru pri maksimalnoj vrednosti momenta u generatorskom režimu, uređena trojka bi imala vrednosti: ( ) (em m, , 86,7 Nm, 393,6 rad/s, 0,253M sΩ = − − .

c) Faktor snage se može izračunati kao količnik realnog dela i modula ukupne impedanse koja se "vidi" sa statorskih priključaka asinhrone mašine. Nominalnu vrednost faktora snage dobijamo za relativno klizanje nominalne vrednosti i pri nominalno napajanju na statorskim priključcima:

( )( )

RS,n m S,n γR

nul,n S,n γS S,n

RS,n m γR

n

j2 π j2 πj2 π 10,06 j7,31 12.44

j2 π

Rf L f Ls

Z f L ZR f L Ls

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠= ⋅ ⋅ ⋅ + = + Ω ⇒ = Ω+ ⋅ ⋅ ⋅ +

.

Stoga je faktor snage:

( ) ( ) ( )ul,nn

ul,n

Recos 0.809 ind.

ZZ

ϕ = = .

Stepen korisnog dejstva predstavlja količnik izlazne mehaničke snage koja se ima na vratilu mašine, Pmeh, i ulazne električne snage, Pe. U skladu sa pojednostavljenjima učinjenim u zadatku, (RS =0, zanemareni gubici u gvožđu, zanemareni gubici usled trenja i ventilacije) može se konstatovati da je ulazna električna snaga jednaka snazi obrtnog polja, dok je izlazna mehanička snaga jednaka snazi elektromehaničke konverzije, PmR (videti dijagram toka snage u rešenju zadatka broj 5):

( )( )

state ob Fe

2meh mR F m

0,

0

SP P R P

P P K

= =

= Ω =

Stoga je stepen korisnog dejstva ove asinhrone mašine u nominalnom režimu rada jednak količniku nominalnih vrednosti snage obrtnog polja i snage elektromehaničke konverzije (naravno, uz zanemarene gubitke u gvožđu rotora):

mR,nnn n

e,n ob,n

1 0.PP s

P Pη = = = − = 95

S

.

d) Kod dvopolnih asinhronih mašina, kružna učestanost rotorske struje je jednaka vrednosti ugaone brzine klizanja Ωk, koja se definiše kao razlika brzine obrtnog polja u mašini i brzine rotora:

( )k k S m S S S1 s s sω ω= Ω = Ω − Ω = Ω − − Ω = ⋅Ω = ⋅ .

Međutim, frekvencija rotorske struje fk ne može imati negativne vrednosti, te se stoga definiše kao:

k Sk S2π 2π

sf f s

ω ω⋅= = = ⋅ .

Stoga će frekvencija rotorske struje za nominalno napajan motor (fS=fS,n), biti: - pri polasku: k S,n 1 50 Hzf f= ⋅ =

- prevalni moment u motornom radu: k S,n pr,mot 12.65 Hzf f s= ⋅ =

- motorni režim rada koji odgovara nominalnom opterećenju: k S,n n 2.5 Hzf f s= ⋅ =

- prevalni moment u generatorskom režimu: k S,n pr,gen 12.65 Hzf f s= ⋅ =

e) Подсетник (предавања): Могу се релативизовати (свести) ефективне вредности струје/напона/флукса тако што се поделе са базном вредношћу струје/напона/флукса. Могуће је, међутим, релативизовати и вршне вредности (тј. апсолутне вредности вектора у dq систему са k=2/3) тако што се деле са вршним базним вредностима (ефективне вредности су 1.4142 пута мање). У решавању задатака из ОГ2ЕМ, код релативизације, јављаће се ефективне вредности. Напомена: Као базне вредности, по правилу се узимају вредности номиналног режима рада. Изузетак је базна вредност момента. Последица одлуке MB = Snom/ωnom је да релативизована вредност номиналног момента није 1, већ је мања.

Крај подсетника Sistem baznih veličina:

bazna vrednost napona: l,nB f,n 220 V

3U

U U= = =

bazna vrednost struje: B f,n n 16 AI I I= = =

bazna vrednost kružne učestanosti: B S,n S,nrad2π 314, 2s

fω ω= = =

bazna vrednost ugaone brzine: BB

rad314, 2sp

ωΩ = =

bazna vrednost impedanse: BB B

B

13,75UZ RI

= = = Ω

bazna vrednost fluksa: BB

B

0,7 WbUω

Ψ = =

bazna vrednost induktivnosti: 3BB

B

43,75 10 HLI

−Ψ= = ⋅

bazna vrednost snage: B B B3 10560 WP U I= =

bazna vrednost momenta: BB

B

33,61 NmPM = =Ω

Relativna (svedena) vrednost se izračunava deljenjem apsolutne vrednosti sa odgovarajućom baznom veličinom:

[ ]γS*γS

B

0,097 p.u.L

LL

= = ,

[ ]γR*γR

B

0,097 p.u.L

LL

= = ,

[ ]* mm

B

2 p.u.LLL

= = ,

[ ]* RR

B

0,049 p.u.RRZ

= = .

Svedene vrednosti izračunatih vrednosti elektromagnetskog momenta se dobijaju kada se svaka od njih podeli baznim momentom:

* emem

B

MMM

= .

Svedene vrednosti su prikazane u narednoj tabeli: Svedena vrednost [p.u.]

M*pol 1,226

M*n 0,981

M*pr,mot 2,58

M*pr,gen -2,58

Sinhrone mašine

7) zadatak Dvopolni sinhroni motor sa konstantnom rotorskom pobudom, poseduje statorske namotaje zanemarivo malog termoge-nog otpora, (RS=0), koji su vezani u zvezdu. Sinhrone induktivnosti u d i q osi su međusobno jednake, Ld =Lq =LS = 0,1H. Poznata je efektivna vrednost faznog napona statora US = 220 V, njegova učestanost fS=50Hz, kao i efektivna vrednost elektromotorne sile praznog hoda E0 = 290V izmerena u jednoj fazi. Ukoliko mašina radi sa uglom snage od δ=+300 (na-pon statora prednjači u odnosu na E0), izračunati: a) efektivnu vrednost statorske struje, IS; b) faktor ulazne snage, cosϕ ; c) aktivnu, Pe i reaktivnu, Qe snagu mašine. Rešenje: Ekvivalentna zamenska šema za stacionarna stanja sinhronog motora, ima izgled:

S 0R ≈

0S R S R 0j j jE Eω ω⋅Ψ = ⋅Ψ = =SU

IS(mot)

S S SjX j Lω=

Fazorski dijagram koji odgovara slučaju sinhrone mašine u režimu rada opisanom u ovom zadatku, sa zanemarljivim termogenim otporom statorskog namotaja, dat je na narednoj slici (usvojena je nulta vrednost faze za fazor fluksa koji rotor stvara u statorskom namotaju, ΨR, što je u skladu i sa oznakama na zamenskoj šemi):

E0

IS

jXSIS

Us

ΨR

ϕ δ

q

d Sa δ je označen ugao snage koji se definiše na sledeći način:

( ) ( )S 0arg argU Eδ = − .

Jednačine naponskog balansa u d i q osi, koje odgovaraju prikazanom fazorskom dijagramu su izvedene ne predavanjima i glase:

d S S d S S q

q S S q S S d

sin ,

cos .

U U R I L I

U U R I L I E0

δ ω

δ ω

= − = −

= + = + +

Ako se zanemari statorski otpor, dobijaju se jednakosti:

S S S q

S S S d

sin ,

cos .

U L I

U L I

δ ω

δ ω

=

= + 0E

Rešavanjem prethodne dve jednačine, dolazi se do d i q komponente statorske struje, a zatim i do njene efektivne vrednosti:

Sq 2 2

S S S 0 S 02 2S d q

S 0 S Sd

S S

sin2 cos

4,721 Acos

UIL U E U E

I I IU E LI

L

δω δ

δ ωω

⎫= ⎪ + −⎪ = + = =⎬− ⎪=⎪⎭

.

Digresija: Do istog rezultata se moglo doći i direktnom primenom kosinusne teoreme na trougao koji formiraju tri napona na fazorskom dijagramu. Kraj digresije. b) Da bi se odredio faktor snage, najpre treba odrediti fazni stav između fazora statorskog napona i struje, ϕ. Da bi se on izračunao, potrebno je izračunati fazu statorske struje:

Sq

S S 0S

S 0d

S S

sin 3,501 A132,12

cos 3,166 A

UIL

IU EI

L

δω

δω

⎫= = ⎪⎪ =⎬− ⎪= = −⎪⎭

.

Sada se, koristeći fazorski dijagram, lako dolazi do vrednosti faktora snage:

( )0 0S

π 12,12 cos 0,978 cap.2

Iϕ δ ϕ= + − = − ⇒ = .

Na osnovu fazorskog dijagrama, izračunatog faznog stava između napona i struje statora, kao i na osnovu vrednosti ugla snage, može se zaključiti da sinhrona mašina radi kao motor (uzima snagu iz električnog podsistema i konvertuje je u mehaničku snagu), ali istovremeno i generiše reaktivnu snagu i ’’predaje’’ se izvoru iz kog se napaja statorski namotaj. c) Najpre se izračunaju d i q komponente statorskog napona:

d S

q S

sin 110 V,cos 190,5 V.

U UU U

δδ

= − = −= + =

Tražene snage su:

( ) ( )

*e S S S d d q q

*e S S S q d d q

3Re 3Re 3 3046 W,

3Im 3Im 3 654 VAr.

P S U I U I U I

Q S U I U I U I

= = = + =

= = = − = −

Algebarske vrednosti aktivne i reaktivne snage, potvrđuju tvrdnje iznete u komentaru na kraju rešenja tačke b) ovog zadatka.

8) zadatak Dvopolni sinhroni generator sa konstantnom rotorskom pobudom poseduje statorske namotaje zanemarivo malog omskog otpora, (RS=0), koji su vezani u zvezdu. Sinhrone reaktanse u d i q osi su međusobno jednake, Xd = Xq = XS. Poznata je efektivna vrednost faznog napona US = 3470V i efektivna vrednost elektromotorne sile praznog hoda u jednoj fazi od E0 = 4200 V. Ako se zna da je u posmatranom režimu efektivna vrednost statorske struje IS=500 A, dok je faktor snage cosϕ = 0.8, ind., izračunati: a) vrednost sinhrone reaktanse, XS, b) vrednost ugla snage, δ.

Rešenje: a) U skladu sa pretpostavkom o generatorskom režimu rada, usvojen je i referentni smer statorske struje koji sada izlazi iz statorskih priključaka, kao što je prikazano na zamenskoj šemi ispod:

S 0R ≈

0S R S R 0j j jE Eω ω⋅Ψ = ⋅Ψ = =SU

IS(gen)

S S SjX j Lω=

Poznajući fazni stav između statorskog napona i struje i polazeći od pretpostavke da mašina radi kao generator, može se nacrtati i fazorski dijagram:

δ Us

jXSIS

IS

E0

ϕ

q

d Ako se uoči pravougli trougao prikazan na fazorskom dijagramu, i za njega napiše Pitagorina teorema, moguće je odrediti vrednost sinhrone reaktanse:

( ) ( )( )22

2 2 0 S S20 S S S S S

S

cos sincos sin 2,14 Ω

E U UE U U X I X

Iϕ ϕ

ϕ ϕ− −

= + + ⇒ = = .

b) Određivanje ugla snage, δ:

( ) ( ) 0S0

00

coscos cos 0.661 48,6211,75

arccos0.8 36,87

UE

ϕϕ δ ϕ δ ϕ δδ

ϕ

⎫+ = − = = ⇒ − = ⎪ = −⎬⎪= = ⎭

.

Digresija: Ugao snage se smatra pozitivnim onda kada fazor napona prednjači elektromotornoj sili. Imajući u vidu ovako definisan referentni smer ugla snage, ugao snage dat na slici je negativne vrednosti, što je računski i potvrđeno. Negativni predznak ugla snage δ predstavlja potvrdu da u datom režimu mašina radi kao generator. Kraj digresije.

9) zadatak Dvopolna trofazna sinhrona mašina poseduje namotani rotor sa kliznim prstenovima i pobudnim namotajem u d osi. Ro-tor se obrće brzinom od n=4500 ob/min. Statorski namotaj je povezan u zvezdu i u svakoj od njegovih faza se indukuje elektromotorna sila čija vršna vrednost iznosi E0,max = 800V pri pobudnoj struji od jednog ampera (Ip,0=1A). Poznato je da je magnetsko kolo linearno kao i da je Ld=Lq=50mH, dok je RS=3Ω u svakoj od faza statorskog namotaja. U rotorskim na-motajima se u posmatranim radnim režimu ima nepromenljiva pobudna struja u iznosu Ip,1=0.5A. a) Odrediti učestanost fS [Hz] koju simetrični trofazni naponski izvor treba da ima da bi se mašina na njega mogla sin-

hronizovati. b) Odrediti efektivnu vrednost statorske struje, IKS, i elektromagnetski moment, MKS, koji se opire kretanju rotora maši-

ne za slučaj u kome je US=0 (t.j. statorski priključci u kratkom spoju). c) U slučaju kada je efektivna vrednost linijskog napona izvora kojim se napaja statorski namotaj jednaka Ul=300V, od-

rediti ugao snage δ [rad] (ugao za koji vektor statorskog napona prednjači u odnosu na indukovanu elektromotornu silu) za koji se ima najveća snaga elektomehaničke konverzije dok mašina radi u generatorskom režimu. Za ovaj ugao, odrediti:

- efektivnu vrednost statorske struje, IS, - reaktivnu snagu, Qe, koju sinhrona mašina predaje izvoru, - aktivnu snagu, Pe, koju sinhrona mašina predaje izvoru.

Rešenje: Na narednoj slici je data zamenska šema za stacionarna stanja sinhrone mašine u generatorskom režimu rada:

SR

S R S Rj j jE Eω ω⋅Ψ = ⋅Ψ = = SU

IS(gen)

Is S S Sj Lω=jX Fazorski dijagram za generatorski režim rada, uz uvažavanje postojanja nenulte vrednosti termogenog otpora statora je:

q

jXSIS

U opisanom radnom režimu se pobudna struja (Ip,1) razlikuje od one (Ip,0) za koju je naveden podatak o vrednosti elektromotorne sile praznog hoda E0,max, te je stoga potrebno najpre izračunati novu vrednost elektromotorne sile. Kako je elektromotorna sila praznog hoda proporcionalna pobudnoj struji (nelinearnost krive magnetizacije se zanemaruje), to će njena vrednost sada biti:

p,10,max 0,maxp,0 1 p,1 1

p,0

: : 282,2 2

IE EI E I E

I= ⇒ = = 8 V .

a) Usled okretanja rotorskog polja, u statorskim namotajima se indukuje prostoperiodična elektromotorna sila čija je kružna učestanost (ωs) jednaka proizvodu broja pari polova (p) i ugaonoj brzini rotora (Ωm). Kako se ovde radi o dvopolnoj mašini, to je tražena učestanost fS jednaka učestanosti okretanja rotora:

d

δ

E

RSIS

U

ΨR

s IS

S 75 Hz60nf = = .

b) Jednačine naponskog balansa u dq koordinatnom sistemu, koje opisuju ponašenje izotropnog sinhronog generatora u stacionarnom stanju glase:

d S d S q

q S q S d

,

.

U R I X I

U R I X I E

= − +

= − − + 1

Najpre se uočava da se radi o kratkom spoju na statorskim priključcima, Ud=Uq=0, te stoga prethodne jednakosti postaju:

S d,KS S q,KS

1 S q,KS S d,KS

0 ,

.

R I X I

E R I X I

= − +

= +

Rešavanjem sistema po komponentama statorske struje, dobija se:

Sd,KS 12 2

S S 2 2 1S,KS d,KS q,KS 2 2

S S Sq,KS 12 2

S S

XI EX R EI I I

R X RI EX R

⎫= ⎪+ ⎪ = + =⎬+⎪=

⎪+ ⎭

.

Digresija: Treba konstatovati da se prethodni izraz za struju kratkog spoja jednostavno mogao dobiti i iz zamenske šeme kratkim spajanjem statorskih priključaka:

SR

E1

IS,KS

Is S S SjX j Lω= Ako se za prethodnu šemu napiše 2. Kirhofov zakon u kompleksnom obliku:

( )1 S,KS S SjE I R X= +

iz njega se može dobiti isti izraz za efektivnu vrednost fazne struje, IS,KS. Kraj digresije. Učestanost statorske struje je određena brzinom okretanja rotora i jednaka je već izračunatoj vrednosti od 75Hz. Stoga će vrednost sinhrone reaktanse biti:

S S S S S Srad75 Hz 2π 471, 2 23,56Ωs

f f X Lω ω= ⇒ = = ⇒ = = .

Stoga je efektivna vrednost statorske struje koja se ima u svakoj fazi statorskog namotaja:

1S,KS 2 2

S S

11,91 AEIX R

= =+

.

Kada nastupi kratki spoj, sva energija koja se konvertuje iz mehaničke u električnu se disipira na omskom otporu statorskog namotaja:

2 2

S S,KS S S,KS* 2em em m S S S KS

m S

3 33Re 3 2.709 Nm

R I R IP M E I R I MΩ

Ω ω= = ⋅ = ⇒ = = = .

c) U slučaju da se termogeni otpor statorskog namotaja može zanemariti, maksimum snage elektomehaničke konverzije se postiže za δ=π/2 (za motorni režim rada) i δ=-π/2 (za generatorski režim rada). Dokaz ove tvrdnje je izveden na predavanjima. U našem slučaju se traži maksimum iste snage, ali u realnom slučaju nenultog termogenog otpora statorskog namotaja. Postupak se sastoji u nalaženju izraza za snagu elektromehaničke konverzije Mem u funkciji ugla

snage δ, da bi se zatim, diferenciranjem tog izraza odredila njena ekstremna vrednost i vrednost ugla snage za koji se ona postiže.

( )

( )

S S S 1 Sd S S d S q d 2 2

S S

1 S S S Sq S S q S d 1 q 2 2

S S

sin cossin

sin coscos

U R X E XU U R I X I IX R

E R U X RU U R I X I E IX R

δ δδ

δ δδ

− += − = − + ⎫ =

+⎪⎬

− +⎪= = − − + =⎭ +

( ) ( )1 S S S S*em 1 1 q 1 2 2

S S

sin cos3Re 3 3S

E R U X RP E I E I E

X Rδ δ− +

= ⋅ = =+

.

0 0em S SS max S max max max

S S

0 cos sin 97,3 90P XX R tg arctgR R

δ δ δ δ πδ

∂= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − + = − < −

∂X

.

Digresija: Uočava se da je granični ugao snage u generatorskom režimu rada manji od -900, a u motornom režimu rada manji od 900. To istovremeno znači (videti predavanja) da se oblast stabilnog rada u generatorskom režimu proširuje, dok se u motornom režimu sužava. Kraj digresije. Zbog sprege u zvezdu, efektivna vrednost faznog napona statora iznosi:

S300 V 173, 2 V

3U = = .

Zamenom vrednosti za izračunati ugao snage u u izraze za struje Id i Iq, dobija se:

( )

( )

S S max S max 1 Sd 2 2

S S 2 2S d q

1 S S S max S maxq 2 2

S S

sin cos11,81 A

14.73 Asin cos

8,8 A

U R X E XI

X RI I I

E R U X RI

X R

δ δ

δ δ

⎫− += = ⎪+ ⎪ = + =⎬

− + ⎪= = ⎪+ ⎭

.

Sa poznatim uglom snage, mogu se odrediti vrednosti d i q komponenti statorskog napona i struje:

d S max

q S max

sin 171,8 V,cos 22,01 V.

U UU U

δδ

= − == = −

Izračunavanje aktivne i reaktivne snage u opisanom režimu rada:

( ) ( )

*e S S S d d q q

*e S S S q d d q

3Re Re 3 5506 W,

3Im 3Im 3 5315 VAr.

P S U I U I U I

Q S U I U I U I

= = = + =

= = = − = −

U skladu sa usvojenim referentnim smerom statorske struje, tumačenje dobijenih vrednosti aktivne i reaktivne snage je sledeće:

• sinhroni generator isporučuje mreži aktivnu snagu u iznosu od 5506 W, • sinhroni generator uzima iz mreže reaktivnu snagu u iznosu od -5315 VAr.

10) zadatak Dvopolni trofazni sinhroni generator poseduje statorske namotaje zanemarivo malog termogenog otpora, (RS=0), koji su vezani u zvezdu. Sinhrone reaktanse u d i q osi su međusobno jednake, Xd = Xq = XS = 2Ω. Merenjem je utvrđeno da se karakteristika praznog hoda može aproksimirati pravom sve dok efektivna vrednost elektromotorne sile praznog hoda u fazi ne dostigne vrednost od E0,max=500V, nakon čega nastupa zasićenje. Izlazni napon na statorskim priključcima se u radnim režimima, opisanim u daljem tekstu, nastoji održava konstantnim pri čemu efektivna vrednost faznog napona treba da iznosi US=220V. Brzina okretanja rotora je konstantna u svim radnim režimima, usled čega se promena elektromotorne sile praznog hoda postiže isključivo promenom pobudne struje rotorskog namotaja.

a) Odrediti trofazno otporno opterećenja povezano u zvezdu, sa tri otpornika otpornosti Ropt, kao i vrednost elektromotorne sile praznog hoda, koji će rezultovati razvijanjem maksimalne moguće snage na otpornicima, kao i efektivnom vrednošću faznog napona od US=220V. Odrediti vrednost te snage, Pmax.

b) Ako se paralelno sa trofaznim otpornim opterećenjem poveže i trofazno kapacitivno opterećenje Copt, reaktanse Xopt=-4Ω, odrediti koliko sada iznosi maksimalna aktivna snaga, Pmax, pri kom se trofaznom otpornom optereće-nju, Ropt i pri kojoj se vrednosti elektromotorne sile praznog hoda, E0, ta snaga ostvaruje, ako je i sada cilj održati nepromenjenu efektivnu vrednost faznog napona US=220V.

Rešenje: Slika koja opisuje način povezivanja sinhronog generatora sa navedenim opterećenjem je prikazana ispod:

Ωm, MmehoptR

optRoptR SM Zamenska šema za stacionarna stanja će sada imati izgled:

optR

IS

Is S S Sj LjX ω=

0ESU

Fazorski dijagram koji odgovara prethodnoj zamenskoj šemi je prikazan na narednoj slici:

δ Us

jXSIS

IS

E0

d

q

Iz zamenske šeme se vidi da su statorska struja i napon u fazi. Zbog toga će naponski vektori na fazorskom dijagramu formirati pravougli trougao. To nam omogućava da napišemo jednu relaciju koja povezuje statorski napon, struju i elektromotornu silu praznog hoda:

( )22 20 S S SE U X I= + ,

iz koje se može izraziti statorska struja kao: 2 20 S

SS

E UI

X−

= .

Snaga koja se razvija na trofaznom otporniku je: 2 20 S

R S S SS

3 3E U

P U I UX−

= = .

Iz prethodnog izraza se vidi da je za postizanje maksimalne snage, uz konstantnu vrednost statorskog napona, US=220V, potrebno primeniti što veću vrednost elektromotorne sile praznog hoda. Međutim postojanje zasićenja ograničava maksimalnu vrednost elektromotorne sile praznog hoda na:

0 0,max 500 VE E= = .

Sada je moguće odrediti vrednost maksimalne snage, kao: 2 20,max S

R,max SS

3 148, 2 kWE U

P UX

−= = .

Sada je vrednost otpora Ropt određena uslovom da se na izlaznim priključcima ima statorski napon US:

S S Sopt 2 2

S 0,max S

0.98U U XRI E U

= = =−

Ω .

b) Nakon dodavanja trofaznog kapacitivnog opterećenja, izgled celog sistema je kao na slici ispod:

optC

optR

optCΩm, Mmeh

optR

optR

optC

SM

Novi izgled zamenske šeme za stacionarna stanja je:

optS opt

1j jXCω

− = optR

IS

Is S S SjX j Lω=

0E

Pri rešavanju ovog zadatka je daleko pogodnije koristiti fazorski dijagram u kom bi se fazoru statorskog napona dodelila poznata vrednost faze (usvojiće se nulta vrednost faze), a ne kao što je to uobičajeno da se faza od 900 usvoji za fazor elektromotorne sile praznog hoda:

q

δ

Us

jXSIS

IS

E0

d

Zbog postojanja kapacitivnog opterećenja, narušena je kolinearnost fazora statorske struje i napona. Ako sada zapišemo fazor elektromotorne sile praznog hoda i statorskog napona kao :

0 0,d 0,q

S S

j ,

,

E E E

U U

= +

=

moguće je formulisati jednačinu po 1. Kirhofovom zakonu za jedan od dva čvora na prethodonoj zamenskoj šemi:

0,d 0,q SS S

opt opt S

jj j

E E UU UX R X

+ −+ = .

Prethodna kompleksna jednakost se može rastaviti na dve realne jednačine:

0,d SS S0,d S

opt S opt

20,qS S 0,qS S S S

opt Ropt S 0,q opt S

1 110 V.

3 3

E UU XE UX X X

.E U EU U X UR P

R X E R X

⎛ ⎞−= ⇒ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⇒ = ⇒ = =

Iz transformisanog izraza za snagu trofaznog termogenog potrošača, uočava se sad veća vrednost snage može postići povećanjem q komponente elektromotorne sile praznog hoda. Ponovo se zasićenje javlja kao ograničavajući faktor, jer mora:

2 20 0,d 0,q 0,maxE E E E= + ≤ .

U cilju postizanja maksimalne snage, naš izbor je: 2 2

0,q 0,max 0,d 487,7 VE E E= − = .

Stoga je vrednost Ropt: S S

opt0,q

0.902U XRE

= = Ω ,

dok je maksimalna snaga koja se na njemu može razviti, uz konstantni napon na izlazu generatora:

S 0,qR

S

3 160.9 kWU E

PX

= = .