Nmero 1

Nmero (pi) es la relacin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro, en geometra euclidiana. Es un nmeroirracional y una de las constantes matemticas ms importantes. Se emplea frecuentemente en matemticas, fsica eingeniera. El valor numrico de , truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

El valor de se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantesmatemticas que ms aparece en las ecuaciones de la fsica, junto con el nmero e. Cabe destacar que el cocienteentre la longitud de cualquier circunferencia y la de su dimetro no es constante en geometras no eucldeas.

es la relacin entre la longitud de una circunferencia y su dimetro. Es unaconstante en geometra euclidiana.

Lista de nmeros Nmeros irracionales(3) 2 3 5 e

Binario 11,00100100001111110110

Decimal 3,14159265358979323846

Hexadecimal 3,243F6A8885A308D31319

Fraccin continua

Ntese que la fraccin continua no es peridica.

El nombre

Letra griega pi. Smbolo adoptado en 1706 porWilliam Jones y popularizado por Leonhard

Euler.

La notacin con la letra griega proviene de la inicial de las palabrasde origen griego 'periferia' y 'permetro' de uncrculo,[1] notacin que fue utilizada primero por William Oughtred(1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemtico gals WilliamJones[2] (1675-1749); aunque fue el matemtico Leonhard Euler, consu obra Introduccin al clculo infinitesimal, de 1748, quien lapopulariz. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph(en honor al matemtico Ludolph van Ceulen) o como constante deArqumedes (que no se debe confundir con el nmero de Arqumedes).

Nmero 2

Historia del clculo del valor La bsqueda del mayor nmero de decimales del nmero ha supuesto un esfuerzo constante de numerososcientficos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones histricas de son las siguientes.

Antiguo Egipto

Detalle del papiro Rhind.

El valor aproximado de en las antiguas culturas se remonta a lapoca del escriba egipcio Ahmes en el ao 1800a.C., descrito en elpapiro Rhind,[3] donde se emplea un valor aproximado de afirmandoque el rea de un crculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado esigual al dimetro del crculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 deldimetro. En notacin moderna:

Entre los ocho documentos matemticos hallados de la antigua culturaegipcia, en dos se habla de crculos. Uno es el papiro Rhind y el otro esel papiro de Mosc. Slo en el primero se habla del valor aproximadodel nmero . El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de sulibro The Exact Sciences in Antiquity,[4] describe un mtodo inspiradoen los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de ,mediante la aproximacin del rea de un cuadrado de lado 8, a la de un crculo de dimetro 8.

MesopotamiaAlgunos matemticos mesopotmicos empleaban, en el clculo de segmentos, valores de igual a 3, alcanzando enalgunos casos valores ms aproximados, como el de:

Referencias bblicasUna de las referencias indirectas ms antiguas del valor aproximado de se puede encontrar en un versculo de laBiblia:

Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tena cinco codos dealtura y a su alrededor un cordn de treinta codos.

I Reyes 7:23-24 [5] (Reina-Valera 1995)Una cita similar se puede encontrar en Segundo Libro de las Crnicas. En l aparece en una lista de requerimientospara la construccin del Gran Templo de Salomn, construido sobre el 950a.C.:

Tambin hizo un mar de metal fundido, el cual tena diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; sualtura era de cinco codos, y un cordn de treinta codos de largo lo cea alrededor.

II Crnicas 4:2 [6] (Reina-Valera 1995)Ambas citas dan 3 como valor de lo que supone una notable prdida de precisin respecto de las anterioresestimaciones egipcia y mesopotmica.

Nmero 3

Mtodo de Arqumedes para encontrar dos valores quese aproximen al nmero , por exceso y defecto.

Mtodo de aproximacin de Liu Hui.

Antigedad clsica

El matemtico griego Arqumedes (siglo IIIa.C.) fue capaz dedeterminar el valor de entre el intervalo comprendido por 310/71, como valor mnimo, y 3 1/7, como valor mximo. Con estaaproximacin de Arqumedes se obtiene un valor con un error queoscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El mtodo usadopor Arqumedes[7] era muy simple y consista en circunscribir einscribir polgonos regulares de n-lados en circunferencias ycalcular el permetro de dichos polgonos. Arqumedes empezcon hexgonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el nmerode lados hasta llegar a polgonos de 96 lados.

Alrededor del ao 20d.C., el arquitecto e ingeniero romanoVitruvio calcula como el valor fraccionario 25/8 midiendo ladistancia recorrida en una revolucin por una rueda de dimetroconocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionariopor aproximaciones:

Matemtica china

El clculo de pi fue una atraccin para los matemticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrnomo chinoZhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximacin , que dedujo de la razn entre elvolumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo despus, el astrnomo Wang Fang lo estim en 142/45(3,155555), aunque se desconoce el mtodo empleado.[8] Pocos aos despus, hacia 263, el matemtico Liu Hui fueel primero en sugerir[9] que 3,14 era una buena aproximacin, usando un polgono de 96 o 192 lados. Posteriormenteestim como 3,14159 empleando un polgono de 3.072 lados.A finales del siglo V, el matemtico y astrnomo chino Zu Chongzhi calcul el valor de en 3,1415926, al quellam valor por defecto, y 3,1415927, valor por exceso, y dio dos aproximaciones racionales de , 22/7 y355/113, muy conocidas ambas,[10] siendo la ltima aproximacin tan buena y precisa que no fue igualada hasta msde nueve siglos despus, en el siglo XV.

Matemtica indiaUsando un polgono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemtico indio Aryabhata estim elvalor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximacin de Aryabhata, Brahmaguptacalcula como , clculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene unaaproximacin exacta hasta 11 dgitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar laestimacin.

Matemtica islmicaEn el siglo IX Al-Jwarizmi, en su lgebra (Hisab al yabr ua al muqabala), hace notar que el hombre prctico usa22/7 como valor de , el gemetra usa 3, y el astrnomo 3,1416. En el siglo XV, el matemtico persa Ghiyathal-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de con nueve dgitos, empleando una base numricasexagesimal, lo que equivale a una aproximacin de 16 dgitos decimales: 2 = 6,2831853071795865.

Nmero 4

Renacimiento europeo

John Wallis (16161703).

Leonhard Euler (17071783).

A partir del siglo XII, con el uso de cifras arbigas en los clculos, sefacilit mucho la posibilidad de obtener mejores clculos para . Elmatemtico Fibonacci, en su Practica Geometriae, amplifica el mtodode Arqumedes, proporcionando un intervalo ms estrecho. Algunosmatemticos del siglo XVII, como Vite, usaron polgonos de hasta393.216 lados para aproximarse con buena precisin a 3,141592653.En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus)obtiene una precisin de 16 dgitos decimales usando el mtodo deArqumedes.

poca moderna (pre-computacional)

En 1610 el matemtico Ludolph van Ceulen calcul los 35 primerosdecimales de . Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaa que lomand grabar en su lpida. Los libros de matemtica alemanes durantemuchos aos denominaron a como nmero ludolfiano. En 1665 IsaacNewton desarrolla la serie[11]

Con obtuvo una serie para:

El matemtico ingls John Wallis desarroll en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

En 1699, a sugerencia de Edmond Halley, el matemtico ingls Abraham Sharp (1651-1742) calcul pi con unaprecisin de 71 dgitos decimales usando la serie de Gregory:

Nmero 5

Con se obtiene una serie para:

Para alcanzar la precisin obtenida, debi usar alrededor de trescientos trminos en la serie. En 1720 el francsThomas de Lagny utiliz el mismo mtodo para obtener una aproximacin de 127 dgitos (solo los primeros 112eran correctos).Leibniz calcul de una forma ms complicada en 1682 la siguiente serie matemtica que lleva su nombre:

.

El ingls William Oughtred fue el primero que emple la letra griega como smbolo del cociente entre laslongitudes de una circunferencia y su dimetro. Fue en el ao 1706 cuando el gals William Jones afirm: 3,14159andc. = y propuso usar siempre el smbolo , y fue Leonhard Euler el que al adoptarlo en 1737 lo convirti en lanotacin habitual que se usa hasta nuestros das.El matemtico japons Takebe empez a calcular el nmero en el ao 1722, con el mismo mtodo expuesto porArqumedes, y fue ampliando el nmero de lados para polgonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1.024 lados.Este ingente trabajo consigui que se determinara con 41 decimales.En 1789 el matemtico de origen esloveno Jurij Vega, mediante la frmula de John Machin, descubierta en 1706, fueel primero en averiguar los primeros 140 decimales de , de los cuales 126 eran correctos; este rcord se mantuvodurante 52 aos, hasta que en 1841 William Rutherford calcul 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos.El matemtico aficionado de origen ingls William Shanks dedic cerca de 20 aos a calcular y lleg a obtener707 decimales en 1873. En el ao 1944, D. F. Ferguson encontr un error en la posicin decimal 528 de la serie deShanks, a partir del cual todos los dgitos posteriores eran errneos. En 1947, Ferguson recalcul con 808decimales con la ayuda de una calculadora mecnica.Algunas aproximaciones histricas de valores de , anteriores a la poca computacional, se muestran en la siguientetabla:

Ao Matemtico o documento Cultura Aproximacin Error(en partes por milln)

~1900a.C. Papiro de Ahmes Egipcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm

~1600a.C. Tablilla de Susa Babilnica 25/8 = 3,125 5282 ppm

~600a.C. La Biblia (Reyes I, 7,23) Juda ~3,2143 4570 ppm

~500a.C. Bandhayana India 3,09 16422 ppm

~250a.C. Arqumedes de Siracusa Griega entre 3 10/71 y 3 1/7emple 211875/67441 ~ 3,14163

Nmero 6

~600 Brahmagupta India 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm

~800 Al-Juarismi Persa 3,1416 2,34 ppm

1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm

1400 Madhava India 3,14159265359 0,085 ppm

1424 Al-Kashi Persa 2 = 6,2831853071795865 0,1 ppm

poca moderna (computacional)Desde el diseo de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el clculo del nmero conla mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los rcords,obteniendo 2037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batan rcords y, deesta forma, pocos aos despus (1954) un NORAC lleg a 3092 cifras. Durante casi toda la dcada de los aos 1960los IBM fueron batiendo rcords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y23 min). Durante esta poca se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generacin de series denmeros procedentes de .En la dcada de 2000, los ordenadores son capaces de obtener nmeros que poseen una inmensa cantidad dedecimales. En 2009 se hallaron ms de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de unasupercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntasconsiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.

Ao Descubridor Ordenador utilizado Nmero de cifras decimales

1949 G.W. Reitwiesner y otros[12] ENIAC 2037

1954 NORAC 3092

1959 Guilloud IBM 704 16 167

1967 CDC 6600 500 000

1973 Guillord y Bouyer CDC 7600 1 001 250

1981 Miyoshi y Kanada FACOM M-200 2 000 036

1982 Guilloud 2 000 050

1986 Bailey CRAY-2 29 360 111

1986 Kanada y Tamura HITAC S-810/20 67 108 839

1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134 217 700

1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201 326 000

1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480 000 000

1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1 011 196 691

1991 Hermanos Chudnovsky 2 260 000 000

1994 Hermanos Chudnovsky 4 044 000 000

1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6 442 450 000

1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51 539 600 000

1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68 719 470 000

1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206 158 430 000

2002 Kanada y otros [13] Hitachi SR8000/MP 1 241 100 000 000

2004 Hitachi 1 351 100 000 000

Nmero 7

2009 Daisuke Takahashi[14] T2K Tsukuba System 2 576 980 370 000

2009 Fabrice Bellard[15] Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB 2 699 999 990 000

2010 Shigeru Kondo 2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz 5 000 000 000 000

2011 Shigeru Kondo 10 000 000 000 000

En la poca computacional del clculo de las cifras se han disparado, no slo debido a la potencia de clculo queestas mquinas son capaces de generar, sino tambin por el prestigio que conlleva para el constructor de la mquinacuando su marca aparece en la lista de los rcords.

Caractersticas matemticas

Se muestra la relacin entre un cuadrado de lado y un crculo de radio . Elrea del crculo es .

Definiciones

Euclides fue el primero en demostrar que larelacin entre una circunferencia y sudimetro es una cantidad constante.[16] Noobstante, existen diversas definiciones delnmero , pero las ms comn es:

es la relacin entre la longitud de unacircunferencia y su dimetro.

Por tanto, tambin es: El rea de un crculo unitario (de radio

unidad del plano eucldeo). El menor nmero real positivo tal que .Tambin es posible definir analticamente ; dos definiciones son posibles:

La ecuacin sobre los nmeros complejos admite una infinidad de soluciones reales positivas, lams pequea de las cuales es precisamente (vase identidad de Euler).

La ecuacin diferencial con las condiciones de contorno para laque existe solucin nica, garantizada por el teorema de Picard-Lindelf, es un funcin analtica (la funcintrigonomtrica ) cuya raz positiva ms pequea es precisamente .

Nmero irracional y trascendenteSe trata de un nmero irracional, lo que significa que no puede expresarse como fraccin de dos nmeros enteros,como demostr Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). Tambin es un nmero trascendente, es decir, que no esla raz de ningn polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemtico alemn Ferdinand Lindemanndemostr este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigacin acerca del problema dela cuadratura del crculo indicando que no tiene solucin.Tambin se sabe que tampoco es un nmero de Liouville (Mahler,[17] 1953), es decir, no slo es trascendental sinoque no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rpidamente convergente" (Stoneham1970[citarequerida]).

Nmero 8

Las primeras cincuenta cifras decimalesA pesar de tratarse de un nmero irracional contina siendo averiguada la mxima cantidad posible de decimales.Los cincuenta primeros son:

Para ver secuencias mayores de este nmero consltese las referencias (51012 decimales),[18] as como Las primerasdiez mil cifras decimales [19] A00796 y OEIS.En ciencia e ingeniera, esta constante puede emplearse, la mayora de las veces, con una precisin de slo unadocena de decimales. Con cincuenta decimales se podra describir con precisin la curvatura del Universo con unerror ms pequeo que el tamao de un protn.[20]

Frmulas que contienen el nmero

En geometra Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 rreas de secciones cnicas: rea del crculo de radio r: A = r rea interior de la elipse con semiejes a y b: A = abreas de cuerpos de revolucin: rea del cilindro: 2 r (r+h) rea del cono: r + r g rea de la esfera: 4 rVolmenes de cuerpos de revolucin: Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) r Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = r h Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = r h / 3Ecuaciones expresadas en radianes: ngulos: 180 grados son equivalentes a radianes.

En clculo rea limitada por la astroide: (3/8) a[21]

rea de la regin comprendida por el eje X y un arco de la cicloide: 3 a rea encerrada por la cardioide: (3/2) a rea de la regin entre el eje polar y las dos primeras vueltas de la espiral de Arqumedes[22] es 83a

En probabilidad La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre s es: 6/ Si se eligen al azar dos nmeros positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el nmero 1 puedan ser

los lados de un tringulo obtusngulo es: (-2)/4 El nmero medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es /4 (el orden

es relevante). Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas lneas

paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una lnea es: 2L/D

Nmero 9

En anlisis matemtico Frmula de Leibniz:

Producto de Wallis:

Euler:

Identidad de Euler

rea bajo la campana de Gauss:

Frmula de Stirling:

Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:

Euler:

Adems, tiene varias representaciones como fracciones continuas:

Tambin como desarrollo en series:

Formas de representacin aproximada a [23]

Mtodo de MontecarloEn un crculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el rea del crculo es r y la delcuadrado (2r). De esto se deduce que la relacin de rea entre el cuadrado y el crculo de /4.[24]

Nmero 10

Formula de Srinivsa Rmnujan demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que descubri l en1910. Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteracin:

Cmputos de

Pi y los nmeros primosUtilizando el inverso del producto de Euler para la funcin zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2se obtiene:

donde pn es el n-simo nmero primo. Euler fue el primero en hallar este valor de la funcin zeta (empleando laexpresin de sumatoria) y resolviendo as el famoso Problema de Basilea.

Frmula de MachinUna forma exacta de poder calcular en trminos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la frmula deMachin, descubierta en 1706:

Muchos matemticos emplearon esta frmula para averiguar dgitos por encima de la centena (por ejemplo, el yacitado Shanks, que con esta frmula calcul 707 posiciones decimales de ).

Mtodos eficientesLos primeros millones de dgitos de y 1/ se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (vase enlaces externos).Uno de los records ms recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad deTokio, fijando el nmero pi con 1.241.100.000.000 dgitos; se necesitaron unas 602 horas con un superordenador de64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones porsegundo, ms de seis veces el record previo (206 mil millones de dgitos). Para ello se emplearon las siguientesfrmulas modificadas de Machin: K. Takano (1982).

F. C. W. Strmer (1896).

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dgitos que puede decirse que ya no es til sinopara comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitacin no est en la computacin sino en lamemoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de nmeros.

Nmero 11

Aproximaciones geomtricas a Es posible obtener una aproximacin al valor de de forma geomtrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtenersin xito una solucin exacta al problema del valor de mediante el empleo de regla y comps. El problema griegoconocido como cuadratura del crculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de rea igual al rea de un crculocualquiera, lleva implcito el clculo del valor exacto de .Una vez demostrado que era imposible la obtencin de mediante el uso de regla y comps, se desarrollaron variosmtodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas ms elegantes son las debidas a Kochanski (usando reglay comps) y la de Mascheroni (empleando nicamente un comps).

Mtodo de Kochanski

Mtodo de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radioR. Se inscribe el tringulo equilteroOEG. Se traza una recta paralela alsegmento EG que pase por A,prolongndola hasta que corte alsegmento OE, obteniendo D. Desde elpunto D y sobre ese segmento setransporta 3 veces el radio de lacircunferencia y se obtiene el punto C.El segmento BC es aproximadamentela mitad de la longitud de lacircunferencia.Demostracin (suponiendo R = 1)

Sustituyendo en la primera frmula:

Nmero 12

Mtodo de Mascheroni

Mtodo de Mascheroni.

Mtodo desarrollado por LorenzoMascheroni: se dibuja unacircunferencia de radio R y se inscribeun hexgono regular. El punto D es lainterseccin de dos arcos decircunferencia: BD con centro en A', yCD con centro en A. Obtenemos elpunto E como interseccin del arcoDE, con centro en B, y lacircunferencia. El segmento AE es uncuarto de la longitud de lacircunferencia, aproximadamente.

Demostracin (suponiendo R = 1)

Por el teorema de Ptolomeo, en elcuadriltero ABEB'

Uso en matemtica yciencia

es ubicuo en matemtica; aparece incluso en lugares que carecen de una conexin directa con los crculos de lageometra eucldea.

Geometra y trigonometraPara cualquier crculo de radio r y dimetro d = 2r, la longitud de la circunferencia es d y el rea del crculo es r2.Adems, aparece en frmulas para reas y volmenes de muchas otras figuras geomtricas relacionadas con lacircunferencia, como elipses, esferas, conos, y toroides. aparece en integrales definidas que describen lacircunferencia, rea o volumen de figuras generadas por circunferencias y crculos. En el caso bsico, la mitad delrea de un crculo unitario es:

y la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria es:

Se puede integrar formas ms complejas como slidos de revolucin.De la definicin de las funciones trigonomtricas desde el crculo unitario se llega a que el seno y el coseno tienenperodo 2. Lo que significa, para todo x y enteros n, sin(x) = sin(x + 2n) y cos(x) = cos(x + 2n). Porque sin(0) =0, sin(2n) = 0 para todos los enteros n. Adems, el ngulo 180 es igual a radianes. En otras palabras 1 = (/180)radianes.

Nmero 13

En la matemtica moderna, es a menudo definido usando funciones trigonomtricas, por ejemplo como el menorentero positivo x para el cual sinx = 0, para evitar dependencias innecesarias de las sutilezas de la geometraeuclidiana y la integracin. Equivalentemente, puede ser definido usando funciones trigonomtricas inversas, porejemplo como = 2 arccos(0) o = 4 arctan(1). Expandir funciones trigonomtricas inversas como series depotencias es la manera ms fcil de obtener series infinitas para .

Anlisis superior y teora de nmeros

Representacin geomtrica de la frmula de Euler.

La frecuente aparicin de en anlisis complejo puedeestar relacionada con el comportamiento de la funcinexponencial de una variable compleja, descrito por lafrmula de Euler

donde i es la unidad imaginaria que satisface laecuacin y e 2.71828 es el nmero deEuler. Esta frmula implica que las potenciasimaginarias de e describen rotaciones un crculounitario en el plano complejo; estas rotaciones tienenun perodo de 360 = 2. En particular, la rotacin de180 = resulta en la notable identidad de Euler

Hay n diferentes races n-simas de la unidad

La integral de Gauss

Una consecuencia es que el resultado de la divisin entre la funcin gamma de un semientero (la mitad de un nmeroimpar) y es un nmero racional.

FsicaAunque no es una constante fsica, aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principiosfundamentales del Universo, Debido en gran parte a su relacin con la naturaleza del crculo y,correspondientemente, con el sistema de coordenadas esfricas. Usando unidades como las unidades de Planck sepuede eliminar a veces a de las frmulas. La constante cosmolgica:

Principio de incertidumbre de Heisenberg:

Ecuacin del campo de Einstein de la relatividad general:

Ley de Coulomb para la fuerza elctrica:

Nmero 14

Permeabilidad magntica del vaco:

Tercera ley de Kepler:

Probabilidad y estadsticaEn probabilidad y estadstica, hay muchas distribuciones cuyas frmulas contienen a , incluyendo: la funcin de densidad de probabilidad para la distribucin normal con media y desviacin estndar , que

depende de la integral gaussiana:

la funcin de densidad de probabilidad para la distribucin de Cauchy (estndar):

Ntese que para todas las funciones de densidad de probabilidad se cumple que , entonces las

frmulas anteriores pueden usarse para producir otras frmulas integrales para .

Representacin del experimento en el modelo dela "aguja de Buffon", se lanzan dos agujas (a, b)ambas con longitud l. En el dibujo la aguja a est

cruzando la lnea mientras que la aguja b no.

El problema de la aguja de Buffon es llamado en ocasiones como unaaproximacin emprica de . Se trata de lanzar una aguja de longitud lrepetidamente sobre una superficie en la que se han trazado rectasparalelas distanciadas entre s, en t unidades, de manera uniforme (cont>l de forma que la aguja no pueda tocar dos rectas). Si la aguja selanza n veces y x de esas cae cruzando una lnea, entonces se puedeaproximar usando el Mtodo de Montecarlo, lanzndola grancantidad de veces:

Aunque este resultado es matemticamente impecable, no puede usarsems que para determinar unos cuantos dgitos de experimentalmente. Para conseguirse slo tres dgitos correctos(incluyendo el "3" inicial) requiere de millones de lanzamientos, y el nmero de lanzamientos creceexponencialmente con el nmero de dgitos deseados. Adems, cualquier error en la medida de las longitudes l y t setransfiere directamente como un error en la aproximacin de . Por ejemplo, una diferencia de un simple tomo enuna aguja de 10 centmetros podra acarrear errores en el noveno dgito del resultado. En la prctica, incertidumbresen la determinacin de si la aguja en realidad cruza una lnea que parece estar solo tocndola lleva el lmite deprecisin alcanzable a mucho menos de 9 dgitos.

Nmero 15

Curiosidades

Reglas mnemotcnicasEs muy frecuente emplear poemas como regla mnemotcnica para poder recordar las primeras cifras del nmero pi. Una forma de memorizar los 20 primeros dgitos es con este poema, slo hay que contar las letras de cada

palabra:Soy y ser a todos definiblemi nombre tengo que daroscociente diametral siempre inmediblesoy de los redondos aros

Otra versin, que permite enumerar los 27 primeros dgitos, es la siguiente:"Qu? Y cmo rene infinidad de cifras? Tiene que haber perodos repetidos! Tampoco comprendo que de unacantidad poco sabida se afirme algo as, tan atrevido!" Ntese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letragriega . Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimidono sabrn jams que sueo hallarte,permetro difcil, escondidoque en mis neuronas late...Oscuro el camino para verlos secretos que t ocultashallarlos podr?...

Otra regla, que permite recordar las primeras 32 cifras:"Soy , lema y razn ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunci magistral. Por su leysingular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual." (del autor Rafael NietoPars[25]) Aqu tambin se utiliza la letra griega para el primer 1. Otra forma, que permite recordar las primeras 14 cifras:"How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dgitos, tal es el titulado "CadaeicCadenza", escrito en 1996 por el matemtico Michael Keith y que ofrece la posibilidad de memorizar los primeros3.834 dgitos. De esta forma, tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca losdgitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dgitos de pi:

C a d a e i c3.1 4 1 5 9 3

Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas mnemotcnicas (se aconseja visitar cada Wikipedia paradescubrir el arte empleado en cada idioma).

Nmero 16

Aparicin en medios En el ao 1998 aparece una pelcula del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemtico que cree

que el mundo se representa por nmeros. Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el smbolo como una organizacin de espionaje. En La Pelcula The Net, Aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y msica, de un

programa llamado The Mozart Ghost, Aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presionaCRTL+ALT+Click en , se accede a la interfaz de datos de el Guardin de la Puerta, un Programa de losPretorianos, Que peda un Usuario y un Password.

En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello,que " es igual a tres!", para atraer la atencin de un auditorio compuesto por cientficos. Cuando todos se danvuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio.

En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a , tales como 'aceite en 1', y 'compre en kea'. La novela Contacto de Carl Sagan sobre la que luego se film la pelcula homnima toma a (aunque no en

base decimal) como un nmero que esconde la esencia misma del universo.

Otras curiosidades

"Piso-Pi", mosaico en la entrada del edificio de lamatemtica en TU Berln.

Detalle del "Mazda Pi", se aadieron 27 cifrasdecimales de a este automvil.

El mtodo de Arqumedes no fue superado en casi dos mil aos apesar de los grandes avances realizados en su evaluacin numrica.

El valor de Pi usado por Posidonio (135-51 a.C.) debi ser correctoen varias cifras decimales. El valor que obtuvo para lacircunferencia de la tierra fue adoptado tres siglos ms tarde por elastrnomo alejandrino Claudio Ptolomeo y mucho despus porCristobal Coln, entre muchos otros.

El da 22 de julio (22/7) es el da dedicado a la aproximacin de . El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se

marca tambin como el da pi en el que los fans de este nmero locelebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaosde Einstein.

355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulacincuasi-perfecta!

John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona en unacancin escrita para su segunda banda The Seahorses denominada"Something Tells Me". La cancin acaba con una letra como:"What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".

El primer milln de cifras de y su inversa 1/ se puede consultaren el Proyecto Gutenberg o en este enlace [26].

La numeracin de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza segn losdgitos de . La versin del ao 2002 se etiquet con 3.141592

Se emplea este nmero en la serie de seales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por unacivilizacin inteligente extraterrestre.

La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es Existen programas en internet que buscan tu nmero de telfono en las 50.000.000 primeras cifras de

Nmero 17

Tarta con el nmero pi.

Construccin aproximada para la cuadratura delcrculo, encontrada por Ramanujan.

En algunos lenguajes de programacin se pueden averiguar tantosdgitos como se desee con simplemente emplear expresiones como:RealDigits[ N[ Pi, 105]] en Mathematica.

En el ao 2002 el japons Akira Haraguchi rompi el recordmundial recitando durante 13 horas 83.431 dgitos del nmero pi sinparar, doblando el anterior record en posesin del tambin japonsHiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada,y tras 16 horas y media, Haraguchi volvi a romper su propio recordrecitando 100.000 dgitos del nmero pi, realizando una parada cadados horas de 10 minutos para tomar aire.

El mximo nmero de dgitos de necesario para buscar cualquiersecuencia de da-mes-ao con cuatro dgitos en la expansindecimal de pi es 60.872.

Existe una cancin de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitanms de veinte dgitos decimales del nmero.

En Argentina, el nmero telefnico mvil para emergencias enestaciones de trenes y subterrneos es 31416.[27]

El valor principal de la expresin es un nmero real y est dadopor[28]

Existe un vehculo Mazda 3 modificado, al que se le aadieron 27cifras de , despus del 3.[29]

Srinivasa Ramanujan public una solucin aproximada, con regla ycomps, a la cuadratura del crculo en 1913 en la que obtuvo unsegmento aproximadamente igual a :

Los hebreos consideran al nmero pi como "el nmero de Dios". En la pelcula Pi: Fe en el Caos los estudiantesde la Tor consideran los 216 (6x6x6) primeros decimales como representacin del verdadero nombre de Dios.En la Biblia (hebrea y cristiana) el nombre de Dios aparece en el captulo 3 y versculo 14 del Libro del xodo(Exodo 3,14 [30]).

Das de Aproximacin a PiSegn determinadas coincidencias numricas, los Das de Aproximacin a Pi son: 14 de marzo (3/14 en formato de fecha ingls) 26 de abril 22 de julio (22/7 que es una aproximacin de pi) 10 de noviembre (es el 314 da del calendario gregoriano) 21 de diciembre (es el da 355, en referencia a la aproximacin 355/113)

Nmero 18

Cancin de PiSoy , lema y razn ingeniosa de hombre sabio,Qu serie preciosa valorando, enunci su amor hacia ti.A los 7 continentes comunicaraMi cario y amor hacia tiEl mundo entero recorreraSolo para verte sonrerLobos y perros aullaranAl verme junto a tiY para siempre mi vidaEstara muy felizY cmo reno infinidad de amor?Tiene que haber tiempo y espacioMas mi amor es infinitoY nunca te dejar irLos ocanos yo nadara,En la Antrtida vivira,De la selva me alimentariaCon tal de verte a tiSoy , lema y razn ingeniosa de hombre sabio,Qu serie preciosa valorando, enunci su amor hacia ti.Todo lo hara por tiNada ni nadie sabe cmo yo te amo y te amo sin finSi los granos de arenaY las estrellan contarasTendras una ideaDel amor que tengo por ti

Cuestiones abiertas sobre Cada uno de los dgitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, tiene una aparicin infinita en los decimales de ? La denominada cuestin de Brouwer: en la expansin decimal de , existe alguna posicin donde exista una

sucesin de mil ceros consecutivos? Es simplemente normal en base 10? Es decir, tiene cada uno de los diez dgitos del sistema decimal la misma

probabilidad de aparicin en una expansin decimal? No se sabe si +e, /e , ln() son irracionales. Se sabe que no son races de polinomios de grado inferior a nueve

y con coeficientes enteros del orden 109.[31][32]

Nmero 19

Referencias[1][1] G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144[2][2] New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London[3] Gay Robins y Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publications, London , 1987, vase

Squaring the Circle, pginas 44 a 46.[4][4] "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edicin de 1969).[5] http:/ / www. biblegateway. com/ passage/ ?search=1Reyes7%3A23-24;& amp;version=RVR1960;[6] http:/ / www. biblegateway. com/ passage/ ?search=2Cr4%3A2;& amp;version=RVR1960;[7] Petr Beckmann: A History of Pi, publicado por primera vez por The Golem Press, 1971, edicin consultada por Barnes and Books, New York

, 1993.[8] Bailey DH, Borwein JM, Borwein PB, y Plouffle S, "The quest for Pi", The Mathematical Intelligencer 19 (1997), pp. 50-57.[9] A. Volkov, Calculation of in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157[10] C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre ', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50[11] Arndt J., Haenel C. Pi unleashed (trad. de C. y D. Lischka). Berlin, Nueva York: Springer, 2001, p. 188 y 228. ISBN 978-3-540-66572-4[12] Bailey David H. , Some Background on Kanadas Recent Pi Calculation (2003). Disponible en este enlace (http:/ / crd. lbl. gov/ ~dhbailey/

dhbpapers/ dhb-kanada. pdf). Consultada:22 de abril de 2008[13] http:/ / oldweb. cecm. sfu. ca/ personal/ jborwein/ kanada_trillion. html[14] Yomiuri Online, 17 de agosto de 2009, (http:/ / web. archive. org/

20090819192255/ www. yomiuri. co. jp/ science/ news/ 20090817-OYT1T00638. htm) (en japons)[15] Pi Computation Record, por Fabrice Bellard (en ingls) (http:/ / bellard. org/ pi/ pi2700e9/ announce. html)[16] Euclides, Elementos. Libro V[17][17] Mahler, K. "On the Approximation of ." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.[18] http:/ / www. numberworld. org/ misc_runs/ pi-5t/ details. html, 133-144[19] http:/ / mimosa. pntic. mec. es/ jgomez53/ matema/ conocer/ pi_10000. htm[20][20] Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.[21][21] La ecuacin se halla en Clculo de Granville[22][22] Maynard Kong: Clculo integral[23] Existen otras doce representaciones de en http:/ / functions. wolfram. com/ Constants/ Pi/ 10/[24] Calculation of Pi Using the Montecarlo Method (http:/ / www. eveandersson. com/ pi/ monte-carlo-demo. tcl)[25] http:/ / www. matematicasdivertidas. com/ Poesia%20Matematica/ poesiamatematica. html[26] http:/ / 3. 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592. com/ index3141. html[27] Plan de seguridad para el subte (http:/ / www. clarin. com/ diario/ 2006/ 09/ 26/ um/ m-01278937. htm) Artculo del diario Clarn[28] Unidad imaginaria en Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ i. html) (en ingls). consulta: 21 de abril de 2008[29] "Mazda Pi" en Gaussianos.com (http:/ / gaussianos. com/ mazda-pi/ ). Consultado: 23 de abril de 2008[30] http:/ / bibliaparalela. com/ exodus/ 3-14. htm[31][31] Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving , e and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281,

1988a.[32] Pi en Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Pi. html) (en ingls). consulta: 21 de abril de 2008

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Nmero . Commons Wikiquote alberga frases clebres de o sobre Nmero . Wikiquote Nmero Pi con 10.000 decimales. (http:/ / 3. 1415926. com. ar/ ) Historia del clculo de Pi y algoritmos utilizados. (http:/ / mimosa. pntic. mec. es/ jgomez53/ matema/ conocer/

numpi. htm) Rodrguez del Ro, Roberto (2008) El nmero Pi: de la Geometra al Clculo Numrico. (http:/ / eprints. ucm. es/

8163/ ) Historia de Pi, en astroseti.org (http:/ / www. astroseti. org/ vernew. php?codigo=2086) Club de Amigos de Pi (http:/ / wasi. org/ PI/ pi_club. html) Para buscar cualquier nmero entre las primeras 200.000.000 de cifras de Pi (http:/ / www. angio. net/ pi/ bigpi.

cgi) Programa para el clculo de y de otro gran nmero de constantes (http:/ / numbers. computation. free. fr/

Constants/ constants. html) (en Ingls)

Nmero 20

Lista con los valores calculados con autores y valores (http:/ / www-gap. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ HistTopics/Pi_chronology. html) (en Ingls)

Diseo de una moneda. El valor de Pi (http:/ / www. uaq. mx/ matematicas/ redm/ art/ a0803. pdf)

Fuentes y contribuyentes del artculo 21

Fuentes y contribuyentes del artculoNmero Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=73174748 Contribuyentes: -Erick-, -jem-, -seb-, .Sergio, ALVHEIM, Abajo estaba el pez, Abin, Achury, Acratta, Airunp, Alhen,Alpertron, Alvaro 789, Amads, Angel GN, Angus, Anonimo12345, Antur, Antn Francho, Apartidista, Arkady, Arthurfx, Ascnder, AstroF7, Aswarp, Avrtm, Aipni-Lovrij, Baiji, Banfield,Barba roja, Barcex, Belb, Billyrobshaw, Blackman.cl, Bnom, Brahma, Bryant1410, Bucephala, CF, CHV, Caballeroaryo01, Cameri, Carmin, Cdlfd, Cgb, Cheveri, Chico palm, Chico512,Cinabrium, Cinevoro, Cobalttempest, CommonsDelinker, Cristianuz12, Cronos x, Crypdan, Ctrl Z, D33311, DJ Nietzsche, David 154, David gonzalez, David0811, Davius, Dcoetzee, Dequet,Diego Caro, Diego Godoy, Diego hurtado, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Dorieo, Dove, Drc1997, Edmenb, Edocastillo, Edslov, Eduardosalg, Edub, El Caro, El guardian999, ElVaka, Emiduronte,Enchiladasblablabla, Eralos, Ericka Surez, Euratom, Ezarate, Ezequiel3E, FAR, Facundos 23, Faelomx, Feliciano, Felknight, Ferenckv, Filipo, Fisica y mas, Folkvanger, Fonshu23, Foundling,Fremen, Frutoseco, Furado, Gaijin, Gaius iulius caesar, GeminiSaga, Gengiskanhg, GermanX, Gijzopium, Gizmo II, Gonmator, Googledj, Govalant, Gsrdzl, Gusama Romero, Gusgus, GustavoGirardelli, Gustronico, Gydunhn, HUB, Harvin, Heliocrono, Helmy oved, Hispalois, Homo logos, House, Hprmedina, Hugone, Humberto, Igna, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Irfit,Isha, JEDIKNIGHT1970, JMCC1, Jabazon, Jacksys, JacobRodrigues, Jaime Xenius, Jamawano, Jarfil, Jarisleif, Jarke, Javierito92, Javivierjavi, Jclerman, Jerowiki, Jesam, Jgomez53, Jkbw,Jmacwikipedista, John PC, Jordissm, Jorgechp, Jorgelrm, Jorosmtz, Joseaperez, Josell2, Jtico, Juan Mayordomo, Julian Mendez, KPM, Kadellar, Kn, KnightRider, Kraton, Krysthyan, LP, LauraFiorucci, Leonpolanco, LitOrdes, LlamaAl, Lmcuadros, LordT, Lordsito, Lucien leGrey, Luis Corts Barbado, Luiscg, M S, Madalberta, MadriCR, Magister Mathematicae, Mahey94,Maikel1714, Makete, Maldoror, Manimecker, ManuelGR, Manuelt15, Manw, MarcosTusar, Mariantobis, Marsi Mario, Matdrodes, Mauricio Maluff, Mcleod ideafix, Megalftico, Miguel,Milestones, Miss Manzana, Moriel, Mortadelo2005, Mpeinadopa, Muro de Aguas, Mutari, Natrix, Navelegante, Nestoreleditor, Netito777, Nicoguaro, Nioger, Nixn, Novelln, Numbo3, Oconel,OiraM, Osado, Oscar ., Pabloallo, Pablocuchis3902, Paintman, Palica, Pan con queso, Peejayem, Pertile, Petruss, Pieter, Pilielena, Purodha, Plux, QnanG5284, Quijav, Qwertyytrewqqwerty,Rafa3040, Rafagb, Ramjar, Raulshc, Ral Gonzlez Molina, RedTony, Remedios.Frutos, Resped, Roberpl, Roberto Fiadone, Romanovich, Rosarinagazo, Rotlink, Rovnet, RoyFocker, Rpmi1640,Sabbut, Sanbec, Santiperez, Sapiensjpa, Savh, Sebrev, Sefirah, Segavi, Sergio Andres Segovia, Sergiotarrancas, Shebaks, Snakefang, Snakeyes, Soro 04, Srengel, Stifax, Stormnight,SuperBraulio13, Superzerocool, Surscrd, Suso de la Vega, Taichi, Tano4595, Technopat, The Scene, Tirithel, Tomatejc, Tostadora, Trejina, UA31, UltimateTroll, Vitamine, Vivaelcelta, Vivero,Waka Waka, Wewe, Wiilliam, Wiles, YonDemon, Zaka, ZrzlKing, Zulucho, Zupez zeta, 790 ediciones annimas

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Nmero El nombre Historia del clculo del valor Antiguo Egipto Mesopotamia Referencias bblicas Antigedad clsica Matemtica china Matemtica india Matemtica islmica Renacimiento europeo poca moderna (pre-computacional) poca moderna (computacional)

Caractersticas matemticas Definiciones Nmero irracional y trascendente Las primeras cincuenta cifras decimales

Frmulas que contienen el nmero En geometra En clculo En probabilidad En anlisis matemtico

Cmputos de Pi y los nmeros primos Frmula de Machin Mtodos eficientes

Aproximaciones geomtricas a Mtodo de Kochanski Mtodo de Mascheroni

Uso en matemtica y ciencia Geometra y trigonometra Anlisis superior y teora de nmeros Fsica Probabilidad y estadstica

Curiosidades Reglas mnemotcnicas Aparicin en medios Otras curiosidades Das de Aproximacin a Pi Cancin de Pi

Cuestiones abiertas sobre Referencias Enlaces externos

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