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Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 153 Capítulo 9 VIGAS CURVAS 1 INTRODUCCIÓN La fórmula de la flexión simple, σ = M/W, da resultados correctos para las vigas rectas cargadas simétricamente en flexión pura. También se la utiliza para vigas rectas cargadas por corte cuando las cargas pasan por el centro de corte y en tal caso el error es despreciable si el largo de la viga es mucho mayor que el alto de la misma. En el caso de vigas curvas donde el radio de curvatura es mayor que cinco veces la altura de la viga, la fórmula de flexión simple da resultados aceptables, pero los errores son importantes cuando el radio de curvatura es comparable con la altura de la viga. Por ello es necesario encontrar una solución que, aun siendo aproximada, de resultados satisfactorios para el caso de grandes curvaturas. La teoría de vigas curvas que se presenta en este capítulo se basa fundamentalmente en dos hipótesis simplificativas: 1) Las secciones planas perpendiculares a la línea baricéntrica permanecen planas después de la deformación. 2) Tanto la tensión radial σ r como la tensión de corte τ son suficientemente pequeñas para poder considerar al problema como unidimensional (ver Figura 1-b). La fórmula para las tensiones normales circunferenciales θ σ que resulta de estas dos hipótesis se denomina “fórmula para vigas curvas en flexión”. En la próxima sección se demuestra que debido a la curvatura de la viga las secciones planas no giran alrededor del eje baricéntrico y además la ley para las tensiones normales θ σ no sigue una ley lineal sino hiperbólica. Figura 1: Equilibrio de un elemento de viga curva 2 TENSIONES NORMALES CIRCUNFERENCIALES θ σ En la Figura 2-a se considera un elemento infinitesimal de viga definido por los puntos 1, 2, 3 y 4. Las cargas exteriores producen en la sección considerada esfuerzos flexionales, cortantes y normales que deben equilibrarse por tensiones normales σ θ y de corte τ. Hay que tener presente que se consideran secciones simétricas y cargas actuando en el plano de simetría, por lo tanto no hay torsión. Las tensiones de corte producen alabeo de la sección plana y modifican levemente la tensión σ θ . Es usual despreciar el efecto del corte τ salvo en el caso de vigas con alma muy delgada.
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    Captulo 9

    VIGAS CURVAS 1 INTRODUCCIN

    La frmula de la flexin simple, = M/W, da resultados correctos para las vigas rectas cargadas simtricamente en flexin pura. Tambin se la utiliza para vigas rectas cargadas por corte cuando las cargas pasan por el centro de corte y en tal caso el error es despreciable si el largo de la viga es mucho mayor que el alto de la misma.

    En el caso de vigas curvas donde el radio de curvatura es mayor que cinco veces la altura de la viga, la frmula de flexin simple da resultados aceptables, pero los errores son importantes cuando el radio de curvatura es comparable con la altura de la viga. Por ello es necesario encontrar una solucin que, aun siendo aproximada, de resultados satisfactorios para el caso de grandes curvaturas.

    La teora de vigas curvas que se presenta en este captulo se basa fundamentalmente en dos hiptesis simplificativas:

    1) Las secciones planas perpendiculares a la lnea baricntrica permanecen planas despus de la deformacin.

    2) Tanto la tensin radial r como la tensin de corte son suficientemente pequeas para poder considerar al problema como unidimensional (ver Figura 1-b).

    La frmula para las tensiones normales circunferenciales que resulta de estas dos hiptesis se denomina frmula para vigas curvas en flexin.

    En la prxima seccin se demuestra que debido a la curvatura de la viga las secciones planas no giran alrededor del eje baricntrico y adems la ley para las tensiones normales no sigue una ley lineal sino hiperblica.

    Figura 1: Equilibrio de un elemento de viga curva

    2 TENSIONES NORMALES CIRCUNFERENCIALES En la Figura 2-a se considera un elemento infinitesimal de viga definido por los puntos 1, 2, 3

    y 4. Las cargas exteriores producen en la seccin considerada esfuerzos flexionales, cortantes y normales que deben equilibrarse por tensiones normales y de corte . Hay que tener presente que se consideran secciones simtricas y cargas actuando en el plano de simetra, por lo tanto no hay torsin.

    Las tensiones de corte producen alabeo de la seccin plana y modifican levemente la tensin . Es usual despreciar el efecto del corte salvo en el caso de vigas con alma muy delgada.

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    Figura 2: Elemento infinitesimal de viga curva

    Las tensiones transversales z (ver Figura 2-b) son despreciables por lo que estamos en presencia de un caso de tensin plana.

    2.1 Frmula de la flexin compuesta para vigas curvas Considerando equilibrio de fuerzas en direccin circunferencial (eje x en la Figura 2-a ) se tiene:

    0A

    dA N = (1)

    ( ) 0A z

    R r dA M = (2) Estas integrales no pueden ser evaluadas si no se conoce la relacin entre y el radio r. Esa

    relacin se obtiene de la hiptesis cinemtica de que las secciones planas rotan alrededor del eje neutro y permanecen planas. Hay que tener presente que a esta altura de la formulacin la posicin del eje neutro es desconocida.

    El alargamiento e es funcin lineal de la distancia a la fibra neutra (Rn r ) pero debido a que el largo inicial vara con el radio r se obtiene una variacin no lineal para las deformaciones especficas .

    ( ) ( )

    1n nR r d Re

    r d r d r

    = = =

    (3)

    donde: ( )dd

    = (4)

    Por la ley de Hooke se tiene:

    n nR r E R

    E E Er r

    = = = (5)

    Notar que en (5) se ha despreciado el efecto de la tensin radial r. Segn se observa en la Figura 1-b debera ser:

    ( )1 rE = (6)

    luego rE = + (7)

    El trmino (r ) puede despreciarse porque r en mucho menor que y adems el mximo de r no coincide con los mximos de .

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    Sustituyendo (5) en (1) y (2) y reordenando se tiene: n mN R E A E A = (8)

    ( )z n mM R E R A A= (9) donde A es el rea de la seccin y Am es el rea modificada

    Am

    dAAr

    = (10) Notar que los elementos de rea ms alejados del centro de curvatura (r grande ) contribuyen

    menos al rea modificada, adems Am resulta levemente superior a ( A/R ):

    / y tambin: /m mA A R A A R > (11)

    La ecuacin (9) puede reescribirse como:

    znm

    MR ER A A

    =

    (12)

    Sustituyendo (12) en (8) y despejando E se tiene

    ( )m z

    m

    A M NEAA R A A

    =

    (13)

    Finalmente sustituyendo (12) y (13) en (5) se tiene

    1 mz

    m

    AMNA R A A r A

    = + (14)

    que es la frmula de la flexin compuesta para vigas curvas.

    Nota: N positivo indica traccin y Mz positivo implica traccin en las fibras del radio interior (puntos ms prximos al centro de curvatura ).

    La tensin circunferencial dada por (14) tiene una variacin hiperblica debida al trmino (1/r ) como se puede apreciar en la Figura 3. Cuando la viga es poco curva los valores de r son grandes respecto a la altura de la viga y entonces la variacin se hace casi lineal concordando con los valores provistos por la frmula de flexin simple para viga recta (15).

    Notar que en la derivacin de la ecuacin (14) se plantearon ecuaciones de equilibrio (1) y (2), cinemticas (3) y constitutivas (5).

    Hay que tener presente que la frmula (14) para vigas curvas en flexin es todava aproxi-mada debido a las numerosas hiptesis simplificativas usadas en su derivacin. Los valores hallados con la frmula de vigas curvas (14) pueden compararse con los resultados exactos provistos por la teora de la elasticidad como tambin por la frmula menos exacta (15) que se usa para vigas rectas. En la Tabla 1 se presentan los cocientes entre las tensiones mximas provistas por las diferentes teoras para el caso de una seccin rectangular sometida a flexin pura para varias relaciones entre el radio R y la altura de la viga h (R y h estn indicados en las Figuras 2 y 3).

    Tabla 1: Comparacin entre los resultados provistos por distintas teoras

    Rh

    viga curva

    teora elasticidad

    viga recta error %

    teora elasticidad

    0,75 1,012 0,526 47 % 1 0,997 0,654 35 % 2 0,997 0,831 17 % 5 0,999 0,933 7 %

    Como en los casos prcticos generalmente R/ h > 1, los resultados de la frmula para vigas curvas pueden considerarse exactos. La teora de viga recta da un error del 7 % cundo R / h = 5 y el error crece hasta el 35 % cundo R/h = 1.

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    Figura 3: Variacin hiperblica de las tensiones circunferenciales en funcin de r

    En la Figura 3 se grafic esquemticamente la distribucin de tensiones normales circunfe-renciales para el caso de un viga rectangular sometida a flexin pura donde R/h = 1.

    Se puede demostrar aunque es bastante laborioso que cuando R/h la ecuacin (14) se reduce a la frmula de flexin compuesta para vigas rectas:

    mxzz

    MN yA I

    = + (15)

    La frmula para vigas curvas (14) requiere evaluar la integral (10) para calcular el rea modificada con gran exactitud por lo mencionado en (11) ya que RAm tiende a A cuando la viga es poco curva y en consecuencia R/h se hace grande. Para facilitar los clculos, Am est tabulado (ver Tabla 2 ) para las secciones de uso corriente.

    Vale aclarar que hay otra formulacin para vigas curvas en flexin que primero calcula con gran exactitud la excentricidad (distancia entre el eje baricntrico y el eje neutro, ver Figura 3).

    2.2 Ubicacin del eje neutro El eje neutro se obtiene de (14) haciendo = 0 para r = Rn :

    ( ) /n m m z

    ARA A R A N M

    =+

    (16)

    que en el caso de flexin pura donde N = 0 se reduce a

    /n mR A A= (17)

    Tanto en (16) como en (17) debe calcularse Am con precisin por lo ya mencionado anteriormente con referencia a la ecuacin (11).

    2.3 Seccin compuesta por varias reas simples A menudo la seccin de la viga curva puede descomponerse en varias reas simples que se

    encuentran tabuladas como se indica en la Figura 4.

    Figura 4: Seccin compuesta por varias reas simples

    En estos casos debido a la propiedad aditiva de la integral se tiene

    ( ) /mi i iimA A A A R R A A= = = (18) Las frmulas para calcular A, Am y R para las secciones de uso habitual se muestran en la Tabla 2.

    mx frmula viga recta

    mx frmula viga curva

    eje neutro

    eje baricntrico h

    o

    R r

    Mz

    A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3

    excentricidad

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    Tabla 2 Expresiones analticas para A, R y ( )m AA = dA / r

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    3 TENSIONES NORMALES RADIALES r La frmula para la tensin circunferencial , ecuacin (14), se deriv con la hiptesis de que

    la tensin radial r ( ver Figura 2-b) es despreciable. Esta suposicin es correcta en el caso de secciones llenas (circular, rectangular, etc.) pero puede no serlo en el caso de secciones con alma delgada (t, doblet, etc.).

    Figura 5: Variacin de las tensiones radiales r en el espesor de la viga

    Para determinar r aislamos un elemento infinitesimal de viga ABCD como se indica en la Figura 5. Debido a la curvatura de la viga, la resultante, T, de las tensiones circunferenciales , tiene una componente, sen ( /2)T d , en la direccin de la lnea media OL que debe ser equilibrada por tensiones r segn esa direccin.

    r

    aT dA= (19)

    Siendo sen ( /2) ( /2)d d se puede plantear equilibrio de fuerzas segn OL

    ( )22 r r

    d TT t r dt r

    = = (20)

    Sustituyendo (14) en (19) y el resultado de la integral en (20) se llega a:

    ( )** *

    r zm m

    m

    A A A AAN Mt r A t r A R A A

    = +

    (21)

    donde

    * *yr r

    a amdAA A dAr

    = = (22)

    Notar que este razonamiento es enteramente similar a la deduccin de las tensiones de corte de Jourasky, en el caso de vigas rectas. Las tensiones r se obtienen a partir de las que a su vez fueron deducidas despreciando el efecto de r. No obstante si se compara el valor de r dado en (21) con el resultado exacto de la teora de la elasticidad se comprueba que el error es muy pequeo y est del lado conservativo. Para vigas rectangulares donde R/h > 1 el error es menor del 6 %.

    4 CORRECCIN DE EN VIGAS T Y DOBLET 4.1 Prdida de rigidez y resistencia en las alas de secciones t y doblet

    Si se asla una porcin infinitesimal de viga d como en la Figura 6-a se observa que debido a la curvatura de la viga se originan componentes radiales porque las fuerzas que actan sobre las alas (T que tracciona abajo y C que comprime arriba) traccionan el alma originando tensiones r . Las partes exteriores de las alas estn sometidas a flexin y debido a su escasa rigidez se flexionan hacia fuera segn se indica en la Figura 6-b.

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    Esta distorsin origina una prdida de rigidez y una disminucin de las tensiones en los extremos de las alas respecto al valor dado por (14). Esta redistribucin de tensiones hace que las tensiones hacia el centro de las alas sean mayores que el valor previsto por (14).

    Figura 6: Flexin de las alas causada por la curvatura de la viga

    En la Figura 7 se analiza la deformacin, muy exagerada para claridad de dibujo, de un elemento infinitesimal de viga.

    Para el centro del ala, punto 1, el largo inicial es AB, el largo final es AB y el acortamiento es BB. Para el extremo del ala, punto 2, el largo inicial es AB, el largo final es AB y el acortamiento es BB.

    Observando que BB < BB concluimos que la deformacin especfica y por consiguiente la tensin es menor en el punto extremo 2 que en el punto central 1.

    Figura 7: Flexin de las alas causada por la curvatura de la viga

    Similarmente se puede analizar el ala inferior. Para la fibra central 3, la longitud inicial es AB, el largo final es AB y el alargamiento es BB. Para la fibra extrema 4, el largo inicial es el mismo, es decir AB, el largo final es AB y el alargamiento es BB.

    Nuevamente resulta que BB < BB y concluimos que el alargamiento especfico es menor en los extremos y por consiguiente tambin resulta menor la tensin .

    La distorsin analizada aumenta el brazo de palanca de las fuerzas asociadas a de los puntos extremos, pero el aumento de distancia BB es insignificante cuando se lo suma a BN. En cambio la correccin BB es del mismo orden de magnitud que BB, y por lo tanto tiene un efecto significativo en la disminucin de la deformacin especfica .

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    4.2 Factores de correccin de Bleich Una forma prctica de tener en cuenta la variacin de la tensin circunferencial en las alas

    se debe a Bleich y se describe a continuacin.

    a) Seccin real b) Seccin reducida

    Figura 8: Correccin de Bleich del largo de las alas

    Se sigue utilizando la ecuacin (14) para determinar pero se reduce el largo de las alas

    ( )2i i ib t = + (23)

    donde: ib = ala reducida, i = parte del semiala en voladizo y t = ancho del alma.

    El coeficiente depende de la relacin 2/( )r y se interpola en la Tabla 3 o se calcula con la ecuacin (25). Los valores de , r y estn indicados en la Figura 8. Notar que el radio r se mide hasta la mitad del espesor del ala, y son respectivamente la parte en voladizo y el espesor del ala considerada. Notar tambin que si las dos alas tiene iguales valores para y resulta

    2 1b b < porque los radios de las alas son diferentes ( r2 < r1) (2 < 1) !

    Tabla 3: Factores de correccin de Bleich y 2 ( )/ r 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,5 2,0 3,0 5,0

    0,979 0,923 0,850 0,776 0,708 0,651 0,583 0,506 0,422 0,341 0,555 1,018 1,347 1,550 1,661 1,713 1,732 1.711 1,674 1,692

    0 1 2 3 4 5

    Grfico 1: Factores de correccin de Bleich y definidos en la ecuacin (25)

    Cuando se aplica la ecuacin (14) a la seccin reducida (no distorsionada) se obtiene una tensin mxima que coincide con el valor mximo en la seccin verdadera y distorsionada.

    Debido a la flexin de las alas (ver Figura 6-b) se originan (en las alas) tensiones normales z (la direccin de z est indicado Figura 2-b ) cuyo valor se calcula por medio del coeficiente deducido por Bleich: z = (24)

    donde: se interpola en la Tabla 3 o se calcula con la ecuacin (25) y se calcula usando (14) para la seccin reducida empleando el radio correspondiente a la mitad del espesor del ala considerada. El signo menos en (24) se debe a que z es de signo opuesto a . Notar que z tiene un valor importante ya que generalmente es mayor que 1 (ver Grfico 1).

    2/ ( )r

    2

    1

    0

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    Notar que se debe utilizar distinto valor de r para cada una de las alas y por lo tanto distintos valores de y . El ala ms prxima al centro de curvatura tiene menor radio r dando valores menores de y valores mayores de , esta situacin es ms perjudicial que lo que acontece en el ala ms alejada del centro de curvatura.

    Las expresiones exactas para y son las siguientes:

    1 senh sen cosh cos32 cosh cos 2 cosh cos

    z z z zz z z z

    + = =

    + + + + (25)

    donde: ( ) ( )2 2 2 1/43 1 / r = y 2 z = (26) Un caso importante ocurre cuando la semiala es muy larga, en tal caso, para = 0,3 la

    semiala reducida tiene un valor lmite dado por lim ( ) 0,778 r

    =

    (27)

    entonces: 1,56b t r = + (28)

    La ecuacin (27) se puede demostrar usando (25) y (26) y haciendo = 0,3, la deduccin se deja para el lector. Ayuda: z (1/) tgh z 1/.

    La ecuacin (28) aparece en los manuales de recipientes con vaco interior que tienen anillos de refuerzo para evitar el pandeo. Usando (28) se adiciona la contribucin del espesor del recipiente () al momento de inercia del anillo refuerzo siendo r el radio del cilindro trabajando en vaco.

    Se recomienda al lector repetir minuciosamente el anlisis correspondiente a las Figuras 6 y 7 cambiando el sentido del momento Mz. Se observar que la distorsin de las alas es de sentido opuesto y el sentido de d tambin se invierte. Se llega a las mismas conclusiones: disminucin de rigidez, disminucin de tensiones en los extremos de las alas y por consiguiente aumento de tensiones en la zona central.

    Para el caso de un tubo rectangular hueco solicitado como en el caso de la Figura 6 se producir traccin en las caras laterales y flexin de las caras superior e inferior. La seccin se distorsionar segn se indica en la Figura 9-a.

    Figura 9: Efecto Bleich en el caso de un tubo rectangular

    Cambiando el sentido del momento Mz la distorsin se produce en sentido contrario como se indica en la Figura 9-b. Notar que, tanto en el caso (a) como en el caso (b) disminuye la rigidez. Lamentablemente en este caso no se dispone de una frmula para el factor de correccin.

    5 CODOS CON Y SIN PRESIN INTERIOR Mediante un razonamiento completamente anlogo al anterior se puede demostrar que los codos

    solicitados en flexin se ovalizan y disminuyen notablemente su rigidez, cualquiera sea el sentido del momento flector actuante. La seccin ovalizada de la Figura 10-a induce a pensar que el aumento del momento de inercia alrededor del eje x debido a la ovalizacin podra rigidizar la seccin y disminuir las tensiones mximas. Esto no ocurre ya que, segn se coment en la seccin anterior, este efecto es despreciable. En cambio, la variacin de debido a la curvatura es muy significativa.

    Figura 10: Ovalizacin de un codo flexionado

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    El primer estudio de ovalizacin se debe a Von Krmn y data del ao 1911. En esta seccin se enuncia sucintamente la metodologa a usar. Todo se resume a disminuir la rigidez y aumentar la tensin mxima calculada con la frmula para vigas rectas en flexin utilizando coeficientes que tienen en cuenta el efecto de la curvatura y la presin interior.

    (29)

    Figura 11: Geometra de un codo y cargas actuantes

    5.1 Codos sin presin interior En la Figura 11 se indica el radio medio del cao rm ( hasta la mitad del espesor ), el radio del

    codo R y el espesor del cao t. La rigidez flexional del codo (EI )o es menor que la rigidez nominal (EI )nom correspondiente a una viga recta:

    3 donde: nom nom mI I I r t = =o o (30)

    donde o es el factor de disminucin de rigidez flexional por ovalizacin de la viga curva dado en (33). La tensin mxima para verificacin o se encontr como la combinacin ms desfavorable

    de tensiones membranales ( longitudinales y circunferenciales), tensiones flexionales ( longitudinales y circunferenciales) debidas a la ovalizacin y tensiones de corte por torsin,

    donde: nom nom extnom

    rI

    = =ooM (31)

    donde o es el factor de incremento de tensin por la ovalizacin de la viga curva y M es el momento resultante dado en (29) que est indicado en la Figura 11 y corresponde al criterio de Tresca.

    Para determinar los factores y o o debidos a la ovalizacin se definen previamente dos factores adimensionales y :

    2 2

    1 mm

    Rt Rrr

    = =

    (32)

    Luego 0,6 restringido a 1 = o (33)

    ( )0,667 1 0,25/ restringido a 0,05 1 = + o (34)

    5.2 Codos con presin interior Por efecto de la presin interior p aparecen tensiones membranales que tienden a devolver la

    forma circular al codo ovalizado y esto modifica los valores asociados a la ovalizacin:

    cuando: 0,05 1 y 0 0,1 ( )

    ( )

    nom

    nom

    I I

    = =

    o

    o /

    p

    p

    (35)

    (36)

    donde: 0,251,151,3331+1,75 e

    = (37)

    0,251,3331+ e

    = (38)

    siendo un parmetro adimensional proporcional a la presin: 2

    m

    p RE r t

    = (39)

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    6 CLCULO DE DESPLAZAMIENTOS EN UNA VIGA CURVA

    6.1 Energa de deformacin en un tramo de viga curva A los efectos del clculo de desplazamientos es necesario plantear correctamente la energa de

    deformacin para el elemento infinitesimal de viga curva correspondiente a d, bajo la accin simultnea de Mz, Q y N de acuerdo a la Figura 2.

    22 2 ( )

    2 2 2 ( )cm z z

    m

    A M M NQ NW R d R d d dA G AE AE RA A AE

    = + + (40)

    El primer trmino es energa por corte, el segundo es energa por solicitacin axial, el tercero corresponde a la flexin y el cuarto se debe al acoplamiento entre Mz y N. Ese ltimo trmino se explica porque al girar la seccin alrededor del eje neutro produce un desplazamiento del eje baricntrico donde acta N.

    Debe tenerse cuidado al asignar los signos de Mz y N en el trmino de acoplamiento: N es positivo si es de traccin y Mz es positivo si trata de disminuir la curvatura de la viga.

    Para secciones t y doblet debe considerarse la seccin reducida por el efecto Bleich segn (23) y en el caso de codos debe utilizarse el momento de inercia reducido segn (30) y (33).

    6.2 Desplazamiento de un punto de una viga curva Para calcular la componente del desplazamiento de un punto de una viga curva en una direccin

    dada se puede aplicar el teorema de Castigliano. Para ello: i ) se aplica un fuerza ficticia X en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento y en la direccin deseada, ii ) se determinan los esfuerzos N, Q y Mz causados por todas las fuerzas aplicadas (incluyendo la fuerza ficticia X ) , iii ) se computa la energa de deformacin W(X) usando la ecuacin (40), iv) se calcula la derivada de la energa de deformacin respecto de X:

    ( )( )X

    X

    Wu

    X

    =

    (41)

    y finalmente v ) se reemplaza en u(X) a la fuerza ficticia por su verdadero valor: X = 0.

    Resulta obvio que cuando se quiere conocer la componente del desplazamiento de un punto donde esta aplicada una carga P, dato del problema y en la direccin de la carga P, no hace falta utilizar la carga ficticia. Basta reemplazar X por P en la ecuacin (41).

    Nota importante

    : Los desplazamientos estn menos influenciados por la curvatura de la viga que las tensiones circunferenciales . Por ello para valores R/h > 3 se pueden reemplazar el 3er y 4to trmino del segundo miembro de (40) por el trmino habitual que corresponde a la flexin de vigas rectas dado en (42):

    2

    2zM R d

    EI (42)

    simplificando notablemente los clculos y cometiendo un error menor al 2 %. Adicionalmente los clculos se pueden realizar de una manera ms eficiente derivando segn

    (41) previo a realizar la integracin (42) :

    ( )2

    ( ) ( ) ( )( )

    0

    ( )2

    X X XXX

    X

    z z zM M MWu R d R dX X EI EI X

    =

    = = =

    (43)

    ya que si en algn tramo de la integral se anula alguno de los trminos dentro del corchete la integral en ese tramo no se realiza porque resulta nula.

    En los casos donde predomina la flexin puede ignorarse la contribucin del esfuerzo axial N y del corte Q y si adems R/h > 3 todo el clculo queda reducido a lo indicado en (43).

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    164

    PRCTICO Vigas curvas Nota: Todos los datos estn dados en unidades [cm] y [kg]

    1 Determinar el coeficiente de seguridad del gancho del croquis para una carga mxima de 6000 kg.

    Comparar el resultado obtenido con la teora de viga curva con el correspondiente a viga recta.

    Material: acero f = 2800 kg/cm2

    2 Calcular el desplazamiento vertical del punto A debido a la carga F que produce fluencia. Aro con un radio medio de 4 cm.

    Material: acero f = 2800 kg/cm2

    Comparar resultados considerando viga curva y viga recta.

    3 Determinar el coeficiente de seguridad de la prensa del croquis para una carga mxima de 1200 kg.

    Material: acero f = 3420 kg/cm2

    Ayuda: Emplear correccin de Bleich y calcular la tensin circunferencial en el punto A.

    4 Un codo de 90 sin presin interior empotrado en el extremo A tiene una carga perpendicular a su plano en el extremo libre B.

    Espesor: t = 0,2 cm Material: acero f = 4000 kg/cm2

    Se pide: a) Calcular la mxima carga admisible con CS = 2 b) Repetir el clculo ignorando la ovalizacin del codo

    (usando teora de viga recta). c) Comparar los resultados obtenidos.

    5 Para calcular la matriz de rigidez de un codo se comienza calculando la matriz de flexibilidad para un extremo libre considerando el otro extremo como empotrado.

    11 12 13 1 1

    21 22 23 2 2

    31 32 33

    F F F P uF F F P uF F F M

    =

    Material: acero E = 2100000 kg/cm2 = 0,3 Calcular F31 empleando el teorema de Castigliano.

    a) Codo sin presin interior. b) Codo con presin interior p = 40 kg/cm2

    Ayuda: Considerar teora de vigas rectas teniendo en cuenta la prdida de rigidez por ovalizacin a travs de Io dado por la ecuacin (30).

    R = 12 rm = 4 t = 0,2

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    165

    SOLUCIN del PRCTICO Vigas curvas

    Nota: Todos los resultados parciales y finales se dan unidades [cm] y [kg]

    1 Clculo del coeficiente de seguridad de un gancho para una carga de 6000 kg. 1.a Solucin exacta como viga curva

    Propiedades: Tabla 2 caso 3...... 12 (8 2)/2A = +x ................................ A = 60 [ ] [ ]6 (2 8 2) 1 8(8 2 2) 3 (8 2)R = + + + +/x x x x x ................................ R = 10,8 ( )8 18 2 6 ln (18 /6) 12 8 2mA = +/x x x .............................. Am = 6,0847352

    Ec. (14) 6000 6000 10,8 1 6,0847352

    60 10,8 6,0847352 60 6 60

    = +

    x

    x....... 839,9 =

    / 2800 /839,9 3,33S fC = = = ................................................ 3,33SC =

    1.b Solucin aproximada con viga recta 3 2 2

    1 2 1 1 2 2 1 212 ; 8 ; =2 ; ( 4 ) [36 ( )] 633,6 ;h b b I h b b b b b b= = = + + + =/ 6000 10,8 64800M = =x 6000 64800 (10,8 6) 590,9

    60 633,6A = + = + 6000 64800 (18 10,8) 636,4

    60 633,6B = = 636,4mx =

    / 2800 /636,4S f mxC = = ............................................................................................. 4,40sC = La tensin mxima como viga recta es 24 % menor, tiene signo opuesto y ocurre en un punto distinto.

    2 Determinacin del desplazamiento vertical del punto A causado por la carga que produce fluencia. 2.a Carga que produce fluencia

    Propiedades: Tabla 2 caso 4.....b = 0,5 2 2(0,5)A b = = x .......... A = 0,7854 R = 4................................................................................................................ R = 4

    2 2 2 22 2 4 4 (0,5)( ) ( )mA R R b = = ................... Am = 0,1971226 Ec. (14)

    3,5

    4 1 0,19712260,7854 4 0,1971226 0,7854 3,5 0,7854r

    F F =

    = +

    x

    x... 46,23 F =

    46,23 ; 2800 ;mx f mx fF = = = = 60,57F kg=

    Se puede verificar que la frmula para vigas rectas predice F = 66,64 kg, con un error del 10 %.

    2.b Clculo del desplazamiento del punto A Esfuerzos:

    ; ; ( )zQ F cos N F sen M F R sen = = =

    Ec. (40)

    2 2

    2

    ( ) ( )2 2

    ( ) ( ) ( ) 2 ( )

    c

    m

    m

    F cos F senW R d R dA G AE

    A F R sen F R sen F send dAE RA A AE

    = + +

    0,385 ; 0,85 ;2(1 ) c

    EG E A A

    = = =+

    2

    2 2 2

    0

    255 20,85 0,385

    W F R cos sen sen sen dF E A

    = + + x

    [ ]2 20 0

    ; 3,05 1 255 22 2

    W F Rsen d cos dF E A

    = = = + + +

    corte normal flexin acople

    ( )60,57 4 257,05 0,05932 2100000 0,7854F

    WuF

    = = =

    x x

    xx x

    ....................................... 0,0593Fu cm=

    Es importante destacar que usando la teora de viga recta con una carga P = 60,57 kg se obtiene un desplazamiento uF = 0,060 cm con un error de apenas el 1,2 %. Esto confirma que el efecto de viga curva en los desplazamientos es mucho menor que en las tensiones.

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    166

    3 Clculo del coeficiente de seguridad de una prensa para carga mxima de 1200 kg. 3.a Correccin de las alas usando la correccin de Bleich, ecuacin (23)

    Ec. (26)

    2 2 2 0,25[3 (1 0,3 ) /(7,2 0,8 )] 0,535586

    2 2 0,535586 0,7 0,749821z

    = =

    = = =

    x x

    x x Ec. (25)

    0,9961

    0,2421

    =

    =

    Ec. (23) ( )1 1 12 2 (0,9961 0,7 ) 1,2b t = + = +x x ........................ 1 2,5945b =

    Ec. (26)

    2 2 2 0,25[3 (1 0,3 )/(2,9 1,4 )] 0,637937

    2 2 0,637937 1,2 1,5310z

    = =

    = = =

    x x

    x x Ec. (25)

    0,9381

    0,9244

    =

    =

    Ec. (23) ( )2 2 22 2 (0,9381 1,2) 1,2b t = + = +x x ...................... 2 3,4514b =

    3.b Clculo del rea A, del rea modificada Am y del radio R de la seccin reducida

    1 2,5945 0,8 2,0756A = =x 2 1,2 3,2 3,84A = =x

    17,62,5945 0,2885756,8m

    A ln= =x 26,81,2 0,7631863,6m

    A ln= =x

    ( )1 6,8 7,6 / 2 7,2R = + = ( )2 3,6 6,8 / 2 5,2R = + = Propiedades de la seccin compuesta

    3 3,4514 1,4 4,8320A = =x 1 2 3 10,7476A A A A= + + =

    33,63,4514 1,6997332,2m

    A ln= =x 1 2 3 2,751494m m m mA A A A= + + =

    ( )3 2,2 3,6 / 2 2,9R = + = 1 1 2 2 3 3( ) 4,55219R A R A R A R A= + + =/ 3.c Clculo de las tensiones variables en el espesor

    Esfuerzos:... 1200N kg= 1200 (7,3 4,55219)M = +x ......... 14222,63 -M kg cm=

    Ec. (14) .. 1200 14222,63 1 2,7514910,7476 4,5522 2,751494 10,7476 10,7476r r

    = + x..

    8000,41936,5r

    = +

    Tensin transversal: Ec. (24) z = Punto 1: 2,91 0,9244 760z r == = x

    Punto 7: 7,27 0,2421 200z r == =x Tensin de von Mises

    * 2 2z z = +

    Ala superior Alma Ala inferior Punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    r 2,2 2,9 3,6 3,6+ 4,132 6,8 6,8+ 7,2 7,6 1700 822 286 286 0 760 760 826 884 z 760 0 760 0 0 0 200 0 200 * 2181 822 665 286 0 760 878 826 803

    3.d Grfico de las tensiones

    3.e Determinacin del coeficiente de seguridad

    / 3420 /2181 1,57S fC = = = .................................................................................. 1,57SC =

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    167

    4 Determinacin de la carga admisible aplicable en un extremo de un codo sin presin. 4.a Clculo teniendo en cuenta la ovalizacin de la viga curva

    Propiedades geomtricas del codo: (14,6 9,4) 2 12R = + =/ ....................................................... 12R = (14,6 9,4 0,2) 2 2,5mr = =/ ........................................ 2,5mr =

    t = 0,2 .................................................................................. 0,2t =

    Momento de inercia nominal (como viga recta): Ec. (30) 3 3(2,5) 0,2nom mI r t = = x x ..................... 9,8175nomI =

    Momento resultante M para usar en el codo:

    Ec. (29) 2 2(12 ) (12 )P P= +M .......................... 16,97 P=M

    Relaciones geomtrica adimensionales de la viga curva: Ec. (32) ... / 12 2,5 4,8mR r = = =/ .......................................................................... 4,8 =

    Ec. (32) 2 2 2 21 12 0,2 2,5 1 0,3( ) ( )mRt r = = / /x ....................... 0,4025 = Incremento de tensiones por efecto de ovalizacin:

    Ec. (34) 0,05 1 0,667 0,667(1 0,25 ) 0,4025 (1 0,25 4,8) = + = +o / / ..... 1,93 =o Tensin mxima considerando ovalizacin:

    Ec. (31) 16,971,93 2,69,8175nom extnom

    PrI

    = = =o o ox

    x xM ................................ 8,674 P =o

    Determinacin de la carga admisible: 8,674 4000f S admC P = =o 2/ / ....... 230,6admP kg=

    Notar que se ha considerado que el empotramiento no impide la ovalizacin.

    4.b Clculo ignorando la ovalizacin (teora de viga recta)

    Momento de inercia como viga de pared delgada Ec. (30) 3 3(2,5) 0,2mI r t = = x x ...................................................................... 9,8175I =

    Mdulo de torsin (JR del tubo circular de pared delgada) 3 32 ( ) 2 (2,5) 0,2R mJ r t = = x x x .................................................................... 19,635RJ =

    Tensin normal por flexin en el extremo A: 12 2,69,8175ext

    M PrI

    = = x x ................................. 3,178 P =

    Tensin de corte por torsin en el extremo A: 12 2,619,635extR

    T PrJ

    = = x x .................................. 1,589 P =

    Tensin efectiva de von Mises * 2 2 2 23 (3,178 ) 3 (1,589 )P P = + = + x ............................................. * 4,204 P =

    Carga admisible con coeficiente de seguridad igual a 2: * 4,204 4000f S admC P = =/ /2 ......... 475,7admP kg=

    4.c Comparacin de los resultados En este caso al comparar los resultados 4.a y 4.b, se observa que debido al efecto de viga curva se pierde ms del 50 % de la resistencia debido a la ovalizacin !!!!!!

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    168

    5 Clculo de un elemento de la matriz de flexibilidad de un codo como viga curva. El elemento F31 de la matriz de flexibilidad es igual al giro en radianes producido por una carga unitaria horizontal de valor unitario: P1 = 1 kg. Para resolver empleando el teorema de Castigliano se coloca un momento ficticio Mo en el extremo libre que se anula despus de derivar.

    1 sen

    Esfuerzos: 1 cos

    (1 cos )o

    Q

    N

    M M R

    =

    = =

    rea de la seccin plana de pared delgada: 2 2 4 0,2mA tr = =x x x x x x .................... 5,03A = Relacin geomtrica adimensional de la viga curva:

    Ec. (32) 2 2 2 2/ 1 12 0,2 / 4 1( ) ( )mRt r = = x ....................................... 0,15724 = Disminucin de la rigidez o :

    Ec. (33) 1 0,6 0,6 0,15724 < = =o x x .................................................... 0,09434 =o Comentario

    Momento de inercia nominal

    : como la curvatura es elevada [R / (2rm ) = 1,5] y el espesor es pequeo ( t