Sveučilǐste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Monika Pavin

Lebesgueova mjera na Rn

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveučilǐste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Monika Pavin

Lebesgueova mjera na Rn

Diplomski rad

Voditelj: Prof. dr. sc. Dragan Jukić

Osijek, 2011.

1

Sadržaj

UVOD 2

1. MJERA 3

1.1. σ - algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Mjera na σ-algebri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Vanjska mjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. d-sistemi i π-sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. LEBESGUEOVA MJERA NA R 162.1. Lebesgueova vanjska mjera na R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Lebesgueova mjera na R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. LEBESGUEOVA MJERA NA Rn 233.1. Lebesgueova vanjska mjera na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Lebesgueova mjera na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. SVOJSTVA LEBESGUEOVE MJERE 33

4.1. Regularnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Potpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

LITERATURA 37

SAŽETAK 38

SUMMARY 39

ŽIVOTOPIS 40

2

UVOD

Prvo poglavlje ovog rada nosi naziv ”Mjera”, ono ima ulogu uvesti nas u glavne poj-

move potrebne za konstrukciju Lebesgueove mjere na Euklidskom prostoru. U ovom

poglavlju prvo definiramo područje na kojem ćemo definirati mjeru, odnosno, defini-

ramo pojam σ-algebre, njezina svojstva te ostale pojmove vezane uz σ-algebru koje

će nam biti potrebne za daljnji rad. Nakon toga, u sljedećim podpoglavljima ovog

dijela rada proučavamo mjeru na σ-algebri, vanjsku mjeru te jedan vrlo snažan alat za

utvrdivanje jednakosti mjera, a to su ”d-sistemi i π-sistemi”.

U drugom poglavlju koje nosi naziv ”Lebesgueova mjera na R” dane su osnovne defini-cije i neke karakteristike Lebesgueove vanjske mjere i Lebesgueove mjere, dok je u

trećem poglavlju pažnja posvećena Lebesgueovoj vanjskoj mjeri na Rn i Lebesgueovojmjeri na Rn. Dakle, u ovom poglavlju smo generalizirali Lebesgueovu mjeru na prostorRn.Treće poglavlje opisuje svojstva Lebesgueove mjere na Rn. Istaknuta su svojstva reg-ularnosti i potpunosti Lebesgueove mjere.

3

1. MJERA

U ovom poglavlju ćemo dati definiciju i osnovna svojstva mjere, no prije toga, potrebno

je opisati područje na kojem ćemo promatrati samu mjeru, a to je σ - algebra.

1.1. σ - algebra

Definicija 1.1 Neka je M familija podskupova skupa X za koju vrijedi

i) X ∈ M

ii) ako je A ∈ M, tada je Ac ∈ M, gdje je Ac = X\A

iii) ∀ beskonačan niz {Ai} skupova iz M, skup∞⋃i=1

Ai je takoder iz M.

Tada M nazivamo σ-algebra skupova na skupu X.Uredeni par (X,M) nepraznog skupa X i σ-algebreM na X nazivamo izmjeriv pros-tor, dok elemente σ-algebre M nazivamo izmjerivi skupovi.

Primjedba 1.1 Promatrajući prethodnu definiciju zaključujemo: kako je X ∈ M, izsvojstva ii) slijedi da je Xc = ∅ ∈ M. Takoder, iz svojstava ii) i iii) slijedi da je ∀

beskonačan niz {Ai} skupova iz M, skup∞⋂i=1

Ai takoder iz M.

Primjedba 1.2 Na svakom nepraznom skupu X postoje barem dvije σ-algebre, koje

su ujedno najveća i najmanja σ-algebra na X. Jedna od njih je M=P(X) koja čininajveću σ-algebru, dok najmanju čine samo dva skupa, skup X i ∅, odnosno najmanjaσ-algebra je oblika M={∅, X}.

Pogledajmo jednostavne primjere:

Primjer 1.1 Neka je A ⊂ X, gdje je A neki neprazan skup, tada je familija {∅, A,Ac, X}σ-algebra podskupova od X.

Primjer 1.2 Familija {∅, A,X} nije σ-algebra (osim ako je A = ∅ ili A = X).Pretpostavimo da je A 6= ∅ i A 6= X. Tada Ac /∈ {∅, A,X}, a kako iz definicije (1. 1)znamo da uz A, takoder Ac mora biti sadržan u σ-algebri, familija {∅, A,X} ne možebiti σ-algebra.

Prisjetimo se sada definicije algebre.

Definicija 1.2 Neka je A familija podskupova skupa X za koju vrijedi

i) X ∈ A

4

ii) ako je A ∈ A, tada je Ac ∈ A, gdje je Ac = X\A

iii) ∀ konačan niz A1, ..., An skupova iz A, skupn⋃i=1

Ai je takoder iz A.

Tada familiju A nazivamo algebra na skupu X.

Možemo zaključiti da je svaka σ-algebra ujedno i algebra, no obrat ne vrijedi. Pogleda-

jmo na primjerima:

Primjer 1.3 Neka je M familija koju čine ∅ i svi podskupovi od R koje možemoprikazati kao konačnu uniju intervala oblika (−∞, b], (a,∞), (a, b], a, b ∈ R.Lako se pokaže da je M algebra. Pokažimo sada da algebra M nije σ-algebra.Neka su p, q bilo koja dva realna broja koja zadovoljavaju uvijet q − p > 1. Tada je

(p, q − 1n

] ∈M,∀n ∈ N.

Kako znamo da je ⋃n∈N

(p, q − 1n

] = (p, q) i (p, q) /∈M,

familija M ne zadovoljava svojstvo iii) definicije σ-algebre. Zaključujemo da M nijeσ-algebra.

Primjer 1.4 Neka je X beskonačan skup i neka je M familija svih konačnih pod-skupova od X. Tada M ne sadrži X i nije zatvorena na komplementiranje, dakle, nijealgebra, niti σ-algebra.

Prisjetimo se sada jednog važnog pojma kojeg ćemo takoder u primjerima povezati sa

σ-algebrom:

Definicija (Topologija). Neka je X neprazan skup. Familija U podskupova od X sasvojstvima

(T1) Unija svake familije članova iz U je član iz U ,

(T2) Presjek konačno članova iz U je član iz U ,

(T3) ∅, X ∈ U ,

zove se topološka struktura ili topologija na X. Uredeni par (X,U) zove se topološkiprostor, a članove familije U zovemo otvoreni skupovi.

Primjeri topoloških prostora su svi metrički prostori od kojih je najpoznatiji euklidski

prostor X = Rn sa standardnom euklidskom metrikom.

5

Primjer 1.5 Neka je X neki skup. Familije M1 = 2X i M2 = {∅, X} su ujedno itopologije i σ-algebre na X.

Primjer 1.6 Neka je (X,U) topološki prostor. Provjerimo je li topologija U ujedno iσ-algebra.

Neka je X = {a, b, c, d, e, f} i neka je U = {∅, X, a, c, d, a, c, d, b, c, d, e, f}.Očito je da je U topologija, no ova topologija nije ujedno i σ-algebra jer

({c, d})c = {a, b, e, f} /∈ U .

Vratimo se sada malo na samu σ-algebru i primjetimo još neke bitne činjenice:

Primjer 1.7 Unija σ-algebri ne mora biti σ-algebra.

Na primjer, neka je X = {1, 2, 3}, a A i M su σ-algebre na X oblika

A = {∅, X, {1}, {2, 3}}

M = {∅, X, {3}, {1, 2}}.

Unija ove dvije σ-algebre je

A ∪M = {∅, X, {1}, {3}, {1, 2}, {2, 3}}.

Primjećujemo da ova unija ne sadrži {1} ∪ {3} pa prema tome zaključujemo da nezadovoljava svojstvo iii) definicije σ-algebre te iz tog razloga ne može biti σ-algebra.

Suprotno prethodnom primjeru, za presjek σ-algebri vrijedi drugačija tvrdnja, pogleda-

jmo:

Propozicija 1.1 (vidi [2, str. 3])

Neka je X skup. Tada je presjek neprazne familije σ-algebri na X takoder σ-algebra

na X.

Dokaz. Neka je M neprazna familija σ-algebri na X i neka je A presjek σ-algebri izfamilije M.Dovoljno je provjeriti da A sadrži X, da je zatvoren na komplementiranje i na formi-ranje prebrojivih unija. Skup X je sadržan u A jer pripada svakoj σ-algebri koja jesadržana u M. Sada pretpostavimo da je A ∈ A. Svaka σ-algebra koja je sadržana uM sadrži A i time Ac, jer Ac pripada presjeku tih σ-algebri. Sada pretpostavimo daje (Ai, i ∈ N) niz skupova koji su sadržani u A i prema tome u svakoj σ-algebri u M.Tada

⋃Ai pripada svakoj σ-algebri u M, pa prema tome i u A. �

Definicija 1.3 Neka je X 6= ∅ i G familija podskupova od X. Za σ-algebru σ(G) gdjeje

σ(G) :=⋂{M :M je σ − algebra, G ⊆M},

kažemo da je σ-algebra generirana s G.

6

Primjer 1.8 Neka je X = [0, 1]. Pronadite σ-algebru generiranu s (0, 12).

Dakle, kako tražimo najmanju σ-algebru na [0, 1] koja sadrži (0, 12), σ-algebra generi-

rana s (0, 12) će biti oblika {∅, (0, 1

2), {0} ∪ [1

2, 1], [0, 1]}.

Definirajmo sada jednu vrlo važnu familiju σ-algebri.

Definicija 1.4 Neka je (X,U) topološki prostor. σ-algebru podskupova od X koja jegenerirana topologijom U , odnosno najmanju σ-algebru podskupova od X koja sadržisve otvorene podskupove od X, nazivamo Borelova1 σ-algebra na X i označavamo ju s

BX , B(X), B(X,U).Elelmente od BX nazivamo Borelovi skupovi na X. BX takoder zovemo σ-algebraBorelovih skupova na X.

Za Borelovu σ-algebru vrijedi:

Teorem 1.1 (vidi [5, str. 3])

Borelova σ-algebra B(R) generirana je svakom od familija:

1) familijom svih zatvorenih podskupova od R, tj. G1 := {F ⊆ R : F zatvoren}

2) G2 := {(−∞, b) : b ∈ R},

3) G3 := {[a,∞) : a ∈ R},

4) G4 := {(−∞, b] : b ∈ R},

5) G5 := {(a,∞) : a ∈ R},

6) G6 := {(a, b] : a, b ∈ R},

7) G7 := {[a, b] : a, b ∈ R},

8) G8 := {(a, b) : a, b ∈ R},

9) G9 := {[a, b) : a, b ∈ R}.

Dokaz. Pokažimo prvo da vrijedi

B(R) = σ(G1) ⊇ σ(G2) = σ(G3) ⊇ σ(G4) = σ(G5) ⊇ σ(G6) ⊇ σ(G7) ⊇ σ(G8) ⊇ σ(G9).

Iz propozicije koja kaže da za bilo koju familiju G podskupova od X vrijedi da jeσ(G) = σ(Gc), gdje je Gc = {Gc : G ∈ G} (za dokaz vidjeti [5, str. 3]), slijede gorenavedene jednakosti.

Od velike će nam koristi biti činjenica da je σ-algebra zatvorena na komplementi-

ranje, na formiranje prebrojivih unija i prebrojivog presjeka. Dokažimo prvo da je

1Emil Borel (1871. - 1956.) - francuski matematičar

7

σ(G1) ⊇ σ(G2). Znamo da je (−∞, b) = [b,∞)c ∈ σ(G1). Kako je σ(G2) najmanjaσ-algebra koja sadrži G2, slijedi da je σ(G1) ⊇ σ(G2).Takoder (−∞, b] =

⋂n∈N

(−∞, b + 1n

) = (⋃n∈N

[b +1

n,∞))c ∈ σ(G3), a σ(G4) je najmanja

σ-algebra koja sadrži σ(G4) pa imamo σ(G3) ⊇ σ(G4).Nadalje (a, b] = (a,∞) ∩ (−∞, b] = (a,∞) ∩ (b,∞)c ∈ σ(G5), slijedi σ(G6) ⊆ σ(G5).Iz [a, b] =

⋂n∈N

(a− 1n, b] ∈ σ(G6) slijedi σ(G7) ⊆ σ(G6).

Zbog (a, b) =∞⋃

n=n0

[a+1

n, b− 1

n] za svaki dovoljno velik n0 ∈ N, slijedi σ(G8) ⊆ σ(G7).

Nadalje, iz [a, b) =⋂n∈N

(a− 1n, b) ∈ σ(G8)⇒ σ(G9) ⊆ σ(G8).

Moramo još dokazati da je B(R) ⊆ σ(G9). B(R) je generirana familijom O svihotvorenih skupova u R. Uzmimo da je O ∈ O, O možemo prikazati kao prebrojivuuniju medusobno disjunktnih intervala [a, b) tako da a, b ∈ R, a ≤ b. Svaki intervaldanog oblika pripada σ-algebri σ(G9), pa je O ∈ σ(G9). Vrijedi da je B(R) ⊆ σ(G9). �

Intervale oblika [a, b], (a, b), (a, b], [a, b), gdje su a, b ∈ R, a ≤ b nazivamo 1-intervali.Skup oblika I1 × I2 × · · · × In gdje su I1, ..., In 1-intervali, nazivamo n-interval na Rn.

Na slijedećoj slici pogledajmo kako izgledaju intervali na X = Rn za n = 1, 2, 3.

Slika 1.

Definirajmo još dvije vrste skupova koje ćemo u točki (3. 1), teoremu (3. 1) povezati

s Lebesgueovim skupovima.

Definicija 1.5 Podskup skupa X nazivamo Gδ − skup2 ako je on presjek prebrojivomnogo otvorenih podskupova od X.

2G dolazi od njemačke riječi Gebiet ; δ od Durchschnitt

8

Takoder, podskup skupa X nazivamo Fσ − skup3 ako je on unija prebrojivo mnogozatvorenih podskupova od X.

1.2. Mjera na σ-algebri

U ovoj točki posvetit ćemo se definiciji mjere, takoder, razmotrit ćemo neka njezina

svojstva.

Definicija 1.6 Neka je (X,M) uredeni par koji se sastoji od nepraznog skupa X iσ-algebre M na skupu X. Svako preslikavanje µ : M→ R̄ na danoj σ-algebri M kojeima slijedeća svojstva:

i) µ(A) ≥ 0,∀A ∈M,

ii) µ(∅) = 0,

iii) ∀ niz (Aj, j ∈ N) skupova koji su disjunktni i koji pripadaju σ-algebri M vrijedi

µ(∞⋃j=1

Aj) =∞∑j=1

µ(Aj)

nazivamo mjera na M. Uredeni par (X,M, µ) kojeg čine skup X, σ-algebra M nanjemu i mjera µ na σ-algebri M, nazivamo prostor mjere.

Primjedba 1.3 Kako vidimo da je kodomena mjere prošireni skup realnih brojeva R̄,prisjetimo se kako ga definiramo. Po definiciji R̄ = R ∪ {−∞,∞}.Uredaj 6̄ definiramo na sljedeći način:

za x, y ∈ R, x 6̄ y ekvivalentno je sa x 6 y,

−∞ 6̄ x,∀x ∈ R̄,

x 6̄+∞,∀x ∈ R̄.

Zbrajanje i množenje u R̄ se definira na sljedeći način:

x+ y, gdje je x, y ∈ R definiramo kao u R,

x+ (−∞) = (−∞) + x = −∞,∀x 6= +∞,

x+ (+∞) = (+∞) + x = +∞,∀x 6= −∞.

x · y, gdje je x, y ∈ R definiramo kao u R.3F dolazi od francuske riječi fermé; σ od njemačke riječi Summe

9

x(−∞) = (−∞)x =

−∞, x > 0,

0, x = 0,

+∞, x < 0.

x(+∞) = (+∞)x =

+∞, x > 0,

0, x = 0,

−∞, x < 0.

Zbroj (+∞) + (−∞) i (−∞) + (+∞) ne definiramo.

Promotrimo sada neke jednostavne primjere mjera:

Primjer 1.9 Trivijalna mjera:

∀A ∈M, µ(A) = 0.

Primjer 1.10 Diskretna mjera ili mjera prebrojavanja

Funkcija µd : M→ [0,∞] je diskretna mjera ili mjera prebrojavanja ako je definiranana sljedeći način

µd(A) =

n, k(A) = n,

0, A = ∅,+∞, k(A) beskonačan.

Primjer 1.11 Diracova delta mjera

Neka je x0 bilo koja točka nepraznog skupa X. Tada se funkcija

δx0 : M→ [0,∞] koja je definirana s

δx0(A) =

{1, x0 ∈ A,0, x0 /∈ A

naziva jedinična Diracova4 mjera skoncentrirana u točki x0; mjera jedinične mase u

točki x0 ili jednostavnije Diracova delta mjera.

Primjer 1.12 Neka je (X,M, µ) prostor mjere. Funkcija definirana na sljedeći načinεµ : M→ [0,∞], ε ≥ 0 je mjera.

Primjer 1.13 Neka su µ1, µ2, ... mjere na (X,M) i neka su α1, α2, ... nenegativni

realni brojevi. Formulom µ(A) =∞∑n=1

αnµn(A) definirana je mjera na M.

Provjerimo svojstva mjere:

4P. A. M. Dirac (1902. - 1984.)

10

i) Po početnoj pretpostavci u primjeru, αn su nenegativni realni brojevi, a kako su s

µn dane mjere, koje po definiciji mjere moraju biti nenegativne, imamo umnožak

dva nenegativna broja, što je opet nenegativan broj, dakle svojstvo nenegativnosti

mjere je zadovoljeno, tj. vrijedi:

∞∑n=1

αnµn(A) ≥ 0.

ii) Kako je µn(∅) = 0, vrijedi

µ(∅) =∞∑n=1

αn · 0 = 0.

iii) Neka su (Ak, k ∈ N) disjunktni izmjerivi skupovi, vrijedi:

µ(⋃k∈N

Ak) =∞∑n=1

αnµn(⋃k∈N

Ak)

=∞∑n=1

αn

∞∑k=1

µn(Ak) =∞∑k=1

∞∑n=1

αnµn(Ak)

(µ(A) =∞∑n=1

αnµn(A))

=∞∑k=1

µ(Ak).

Prema prethodnom primjeru, i dokazanim svojstvima, zaključujemo da je µ mjera.

Primjer 1.14 Neka je (X,M, µ) prostor mjere. Mjera µ je vjerojatnosna mjera uko-liko je µ(X) = 1, pri tome M zovemo σ−algebra dogadaja.

Prije nego razmotrimo svojstva mjere, definirajmo uzlazan i silazan niz skupova.

Definicija 1.7 Niz (Ak, k ∈ N) podskupova od X nazivamo uzlaznim ako je Ak ⊆

Ak+1,∀ k ∈ N. Oznaka je An ↑ A gdje je A :=∞⋃k=1

Ak.

Niz (Ak, k ∈ N) podskupova od X je silazan ako je Ak+1 ⊆ Ak,∀ k ∈ N. Oznaka je

An ↓ A gdje je A :=∞⋂k=1

Ak.

Sljedećom propozicijom dana su osnovna svojstva mjere.

Propozicija 1.2 (za dokaz vidjeti [8, str. 22]; [5, str. 10])

Neka je (X,M, µ) prostor mjere.

11

i) Ako je A,B ∈ M i ako je A ⊆ B, tada vrijedi da je µ(A) ≤ µ(B), ovo svojstvo sezove monotonost mjere.

ii) Ako je A,B ∈M, A ⊆ B i µ(A)

12

iii) ∀ niz skupova (Aj, j ∈ N) iz X vrijedi

µ∗(∞⋃j=1

Aj) ≤∞∑j=1

µ∗(Aj)

zovemo vanjska mjera na skupu X.

Prije nego što definiramo µ∗−izmjeriv skup, promotrimo jedno važno svojstvo mjere.Neka su A,B ∈M. Skup A možemo raspisati na sljedeći način

A = A ∩X = A ∩ (B ∪Bc) = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc),

Slika 2.

Neka je X 6= ∅, M σ-algebra na njemu i µ : M → [0,∞] mjera. Ako je B ∈ M,vrijedi

µ(A) = µ(A ∩B) + µ(A ∩Bc), ∀A ∈M,

odnosno, izmjeriv skup B razbija svaki izmjeriv skup A na dva disjunktna izmjeriva

skupa čije mjere možemo zbrojiti na željeni način, ti skupovi su A ∩B i A ∩Bc.Vanjska mjera µ∗ : P(X) → [0,∞] nema to svojstvo, tj. ako je B ⊆ X, zbog σ-subaditivnosti slijedi

µ∗(A) ≤ µ∗(A ∩B) + µ∗(A ∩Bc), ∀A ⊆ X.

Umjesto znaka ” ≤ ” u prethodnoj nejednakosti može se pojaviti i znak stroge ne-jednakosti, na primjer, ako je vanjska mjera µ∗ : P(X)→ [0,∞] definirana na sljedećinačin

µ∗(A) =

{0, A = ∅,1, A 6= ∅.

Zbog toga uvodimo definiciju:

13

Definicija 1.10 Neka je µ∗ vanjska mjera na skupu X definirana s µ∗ : P(X) →[0,∞]. Skup B ⊆ X je µ∗−izmjeriv ako vrijedi

µ∗(A) = µ∗(A ∩B) + µ∗(A ∩Bc), ∀A ⊆ X.

Pogledajmo neke primjere vanjske mjere i primjer primjene prethodne definicije.

Primjer 1.15 Neka je X skup i ν∗ : P(X)→ [0,∞] dana formulom

ν∗(A) =

{0, A prebrojiv,

1, A nije prebrojiv

Tada je ν∗ vanjska mjera.

Primjer 1.16 Neka je X skup i ν∗ : P(X)→ [0,∞] dana formulom

ν∗(A) =

{0, A = ∅,1, A 6= ∅

Tada je ν∗ vanjska mjera.

Primjer 1.17 Neka je X neki neprebrojiv skup i ν∗ : P(X) → [0,∞] vanjska mjeradana formulom

ν∗(A) =

{0, A prebrojiv,

1, A nije prebrojiv

Tada vrijedi da je svaki skup A ⊆ X ν∗-izmjeriv.Dakle, ako je tako, onda ∀B ⊆ X vrijedi ν∗(B) = ν∗(B ∩A) + ν∗(B ∩Ac). Imamo dvaslučaja:

i) Ako je B prebrojiv, onda su B ∩ A i B ∩ Ac prebrojivi. Po definiciji vanjske mjereν∗, slijedi

ν∗(B) = 0, ν∗(B ∩ A) = 0, ν∗(B ∩ Ac) = 0.

Pa vrijedi

ν∗(B) = ν∗(B ∩ A) + ν∗(B ∩ Ac)

=⇒ 0 = 0 + 0.

ii) Ako je B neprebrojiv, promatramo sve mogućnosti za B ∩ A i B ∩ Ac.

1. B ∩ A prebrojiv, B ∩ Ac neprebrojiv, iz definicije ν∗ slijedi ∞ = 0 +∞,

2. B ∩ A neprebrojiv, B ∩ Ac prebrojiv, iz definicije ν∗ slijedi ∞ =∞+ 0,

3. B ∩ A neprebrojiv, B ∩ Ac neprebrojiv, iz definicije ν∗ slijedi ∞ =∞+∞,

Zaključujemo da svaki skup A ⊆ X vrijedi da je on ν∗-izmjeriv.

14

Teorem 1.2 (Carathéodory5) (za dokaz vidjeti [2, str. 18]; [5, str. 18]; [7, str. 107];

[8, str. 33])

Neka je µ∗ : P(X)→ [0,∞] vanjska mjera na X i neka jeMµ∗ familija svih µ∗−izmjerivihpodskupova od X. Tada vrijedi da je Mµ∗ σ−algebra na X te da je restrikcija funkcijeµ∗ na Mµ∗ mjera.

1.4. d-sistemi i π-sistemi

Kod konstrukcije najmanje σ−algebre σ(G) koja sadrži danu familiju podskupova Gvrlo važnu ulogu imaju Dynkinove klase6 ili d-sistemi. Takoder, koristimo ih kada

želimo utvrditi jednakost mjera.

Nama su u ovom radu d-sistemi i π-sistemi zanimljivi i važni jer ćemo ih koristiti u

točki (3.2) pri dokazu da je Lebesgueova mjera jedina mjera na (Rn,BRn) koja svakomn-intervalu pridružuje njegov volumen.

Definicija 1.11 Neka je X skup. Familija G ⊆ P(X) je π-sistem na skupu X, ako jezatvorena na konačne presjeke.

Spomenutom pojmu π-sistema, komplementaran je pojam d−sistema ili Dynkinoveklase na skupu X, navedimo sada definiciju d−sistema.

Definicija 1.12 Neka je X skup. Familiju G podskupova od X koja zadovoljava sljedećasvojstva:

i) X ∈ G,

ii) (∀A,B ∈ G) B ⊆ A =⇒ A \B ∈ G,

iii) A1 ⊆ A2 ⊆ ... ∈ G =⇒∞⋃i=1

Ai ∈ G,

nazivamo d−sistem ili Dynkinova klasa na skupu X.

Navedimo sada dva teorema važna za utvrdivanje jednakosti mjera.

Teorem 1.3 (za dokaz vidjeti [5, str. 28])

Neka je X skup i neka je A algebra na X te µ, η : σ(A) → [0,∞] mjere na σ−algebriσ(A), tako da vrijedi µ(A) = η(A), ∀A ∈ A.Tada je µ = η ukoliko vrijediµ(X) = η(X) < ∞ ili ako postoji uzlazan niz (An, n ∈ N) skupova iz A sa svojstvom

X =∞⋃n=1

An i µ(An), η(An)

15

Teorem 1.4 (za dokaz vidjeti [5, str. 29])

Neka je X skup i C π−sistem na X te neka su µ, η : σ(C)→ [0,∞] mjere na σ−algebriσ(C), takve da µ(C) = η(C),∀C ∈ C. µ = η ako vrijedi da je µ(X) = η(X) < ∞

ili ako postoji uzlazan niz (Cn, n ∈ N) skupova iz C tako da vrijedi X =∞⋃n=1

Cn i

µ(Cn), η(Cn)

16

2. LEBESGUEOVA MJERA NA RNakon što smo u prvom dijelu rada definirali osnovne pojmove koji su vezani uz mjeru,

u ovom dijelu upoznati ćemo Lebesgueovu7 mjeru. Počnimo s Lebesgueovom vanjskom

mjerom.

2.1. Lebesgueova vanjska mjera na R

Definicija 2.1 Neka je A ⊆ R i neka je CA familija svih nizova {(ai, bi), i ∈ N},

ai ≤ bi, tako da vrijedi A ⊆∞⋃i=1

(ai, bi). Funkciju λ∗ : P(R) → [0,∞] definiranu na

sljedeći način

λ∗(A) = inf{∞∑i=1

(bi − ai) : ((ai, bi), i ∈ N) ∈ CA}

zovemo Lebesgueova vanjska mjera na R.

Definirajmo sada Lebesgueov skup.

Definicija 2.2 Skup B ⊆ R je izmjeriv u smislu Lebesguea ili ga još nazivamo Lebesgueovimskupom ako je on λ∗−izmjeriv. Familiju svih podskupova od R, izmjerivih u smisluLebesguea, označavat ćemo s Mλ∗.

Prije nego počnemo razmatrati Lebesgueove skupove, pokazat ćemo vrlo važnu karak-

teristiku Lebesgueove vanjske mjere.

Propozicija 2.1 (vidi [2, str. 15]; [5, str. 31])

Lebesgueova vanjska mjera λ∗ je vanjska mjera, ona svakom od intervala [a, b], [a, b), (a, b], (a, b),

a, b ∈ R, a < b pridružuje njegovu duljinu.

Dokaz. Dokažimo prvo da je Lebesgueova vanjska mjera λ∗ vanjska mjera.

Za svaki ε > 0 postoji neki niz intervala ((ai, bi), i ∈ N) za koje vrijedi∞∑i=1

(bi−ai) < ε.

Znamo da je ∅ sadržan u uniji svakog takvog niza pa slijedi da je λ∗(∅) = 0.Nadalje, ∀A,B ⊆ X takvih da je A ⊆ B, svaki niz koji prekriva B će sigurno prekrivatii A pa zbog monotonosti Lebesgueove vanjske mjere vrijedi λ∗(A) ≤ λ∗(B).Potrebno je još dokazati da vrijedi svojstvo subaditivnosti. Uzmimo da je (An, n ∈ N)

niz skupova iz R. Ako vrijedi da je∞∑n=1

λ∗(An) = ∞, tvrdnja očito vrijedi. Pret-

postavimo zato da je∞∑n=1

λ∗(An) < ∞. Uzmimo da je ε > 0 proizvoljan, za svaki n

definirat ćemo niz ((an,i, bn,i), i ∈ N) koji pokriva An tako da vrijedi:∞∑i=1

(bn,i − an,i) < λ∗(An) +ε

2n.

7Henri Léon Lebesgue (28. lipnja 1875.-26. srpnja 1941.) - francuski matematičar

17

Sve te nizove preindeksiramo u jedan niz ((aj, bj), j ∈ N) koji prekriva skup∞⋃n=1

An. Za

dani niz vrijedi:

∞∑j=1

(bj − aj) <∞∑n=1

(λ∗(An) +ε

2n) =

∞∑n=1

λ∗(An) + ε.

Dakle, imamo λ∗(∞⋃n=1

An) ≤∞∑n=1

λ∗(An), time su ispunjeni svi uvjeti koji pokazuju da

je λ∗ vanjska mjera.

Pokažimo sada drugi dio propozicije.

a) Razmatramo prvo segment [a, b].

Neka je ε ∈ R, ε > 0. Za segment [a, b] vrijedi da ga pokrivaju otvoreni intervali(a− ε

2, b+ ε

2), (b, b+ ε

2i), i ∈ N, odnosno

[a, b] ⊂ (a− ε2, b+

ε

2)∞⋃i=1

(b, b+ε

2i),

zbroj njihovih duljina jednak je

(b+ε

2− a+ ε

2)∞∑i=1

ε

2i+ b− b

= b− a+ ε+∞∑i=1

ε

2i= b− a+ 2ε.

Dakle,

λ∗([a, b]) = inf{∞∑i=1

(bi − ai) : ((ai, bi), i ∈ N) ∈ C[a,b]} ≤ b− a+ 2ε.

Kako je ε > 0 proizvoljan, imamo λ∗([a, b]) ≤ b − a. Da bi pokazali da vrijediλ∗([a, b]) = b− a, potrebno je pokazati da vrijedi i obrnuta nejednakost.

Neka je ((ai, bi), i ∈ N) ∈ C[a,b] neki niz omedenih, otvorenih intervala koji pokri-vaju segment [a, b]. Kako je [a, b] kompaktan skup, prema definiciji kompaktnosti,

otvoreni pokrivač ((ai, bi), i ∈ N) ima konačan potpokrivač.

Pretpostavit ćemo da vrijedi [a, b] ⊆n⋃i=1

(ai, bi). Iz jednakosti

[a, b] = [a, b] ∩ (n⋃i=1

(ai, bi)) =n⋃i=1

([a, b] ∩ (ai, bi))

18

matematičkom indukcijom po n, pokaže se da je

b− a ≤n∑i=1

(bi − ai) =⇒ b− a ≤∞∑i=1

(bi − ai)

pa ∀((ai, bi), i ∈ N) ∈ C[a,b] vrijedi b− a ≤∞∑i=1

(bi − ai), dakle

b− a ≤ inf{∞∑i=1

(bi − ai) : ((ai, bi), i ∈ N) ∈ C[a,b]} = λ∗([a, b]).

Odakle vidimo da je

b− a ≤ λ∗([a, b]),

čime smo dokazali jednakost

λ∗([a, b]) = b− a. (2.1)

b) Dokažimo sada da je

λ∗([a, b)) = b− a. (2.2)

Kako je [a, b) ⊂ [a, b] iz monotonosti funkcije λ∗ dobivamo λ∗([a, b)) ≤ λ∗([a, b]],a kako je λ∗([a, b]) = b − a, imamo da je λ∗([a, b)) ≤ b − a. Dokažimo obrnutunejednakost, odnosno λ∗([a, b)) ≥ b− a.Neka je ε ∈ R, ε > 0 tako da je a < b − ε. Tada vrijedi [a, b − ε] ⊂ [a, b). Zbogmonotonosti od λ∗ vrijedi

λ∗([a, b− ε]) ≤ λ∗([a, b)),

prema tvrdnji (2. 1) vrijedi da je λ∗([a, b− ε]) = b− ε− a.Ako uzmemo dovoljno mali ε > 0 vrijedi

b− a− ε ≤ λ∗([a, b)),

iz čega slijedi b− a ≤ λ∗([a, b)) pa vrijedi

λ∗([a, b)) = b− a.

c) Pokažimo sada da vrijedi

λ∗((a, b]) = b− a. (2.3)

Kako je (a, b] ⊂ [a, b] iz monotonosti funkcije λ∗ slijedi λ∗((a, b]) ≤ λ∗([a, b]], akako smo prije pokazali, vrijedi λ∗([a, b]) = b− a, dobivamo λ∗((a, b]) ≤ b− a. Usvrhu dokazivanja jednakosti (2. 3) potrebno je pokazati još obrnutu nejednakost.

19

Uzmimo neki ε ∈ R, ε > 0 takav da je a+ε < b. Tada vrijedi da je [a+ε, b] ⊂ (a, b]pa zbog monotonosti funkcije λ∗ slijedi λ∗([a + ε, b]) ≤ λ∗((a, b]). Nadalje, zbog(2. 1) je λ∗([a+ ε, b]) = b− a− ε pa za dovoljno malen ε > 0 vrijedi

b− a− ε ≤ λ∗((a, b]),

iz čega slijedi

b− a ≤ λ∗((a, b]),

čime smo dokazali tvrdnju.

d) Da bi dokaz propozicije bio potpun, preostaje nam pokazati još

λ∗((a, b)) = b− a. (2.4)

Znamo da je (a, b) ⊂ [a, b], takoder znamo da je λ∗([a, b]) = b − a pa iz terelacije i monotonosti funkcije λ∗ slijedi λ∗((a, b)) ≤ λ∗([a, b]) = b − a, daklevrijedi λ∗((a, b)) ≤ b− a. Kako bi naš dokaz jednakosti bio potpun, moramo jošdokazati da vrijedi λ∗((a, b)) ≥ b− a. Zbog toga uzimamo neka dva realna brojaδ, ε > 0 tako da je a+ δ < b− ε. Tada je [a+ δ, b− ε] ⊂ (a, b). Zbog monotonostifunkcije λ∗ vrijedi λ∗([a+ δ, b− ε]) ≤ λ∗((a, b)). Prema već dokazanoj jednakosti(2. 1) znamo da vrijedi

λ∗([a+ δ, b− ε]) = b− ε− a− δ = b− a− ε− δ

pa za dovoljno malene δ, ε > 0 vrijedi b− a− ε− δ ≤ λ∗((a, b)),dakle b− a ≤ λ∗((a, b)) čime smo dovršili dokaz naše propozicije. �

Propozicija 2.2 (vidi [2, str. 20])

Svaki Borelov podskup od R, izmjeriv je u smislu Lebesguea.

Dokaz. Neka je B Borelov skup oblika (−∞, b], b ∈ R. Za dokaz ove propozicijedovoljno je pokazati da je (−∞, b] ∈ Mλ∗ , odnosno da je (−∞, b], b ∈ R izmjeriv usmislu Lebesguea. Moramo samo pokazati da vrijedi

λ∗(A ∩B) + λ∗(A ∩Bc) ≤ λ∗(A), ∀A ⊆ R, λ∗(A) 0 proizvoljan realan broj. Uzmimo da je((an, bn), n ∈ N) niz otvorenih intervala koji pokrivaju A i vrijedi

∞∑i=1

(bn − an) < λ∗(A) + ε. (2.5)

20

Za svaki n ∈ N skupovi (an, bn) ∩ B i (an, bn) ∩ Bc su disjunktni intervali, dakle mimožemo odabrati otvorene intervale tako da vrijedi

(an, bn) ∩B ⊂ (pn, qn),

(an, bn) ∩Bc ⊂ (xn, yn)

i

qn − pn + yn − xn ≤ bn − an +ε

2n.

Niz (pn, qn) prekriva A ∩B, a (xn, yn) prekriva A ∩Bc te vrijedi

λ∗(A ∩B) ≤∞∑n=1

(qn − pn),

λ∗(A ∩Bc) ≤∞∑n=1

(yn − xn).

Imamo

λ∗(A∩B) + λ∗(A∩Bc) ≤∞∑n=1

(qn− pn) +∞∑n=1

(yn− xn) ≤∞∑n=1

(bn− an) + ε < λ∗(A) + ε.

Kako smo rekli da je ε > 0 proizvoljan, nejednakost

λ∗(A ∩B) + λ∗(A ∩Bc) ≤ λ∗(A)

je dokazana.

Dakle, familija Mλ∗ je po Carathéodoryevom teoremu σ-algebra, ona sadrži svaki in-terval oblika (−∞, b], pa kako je Borelova σ-algebra B(R) najmanja σ-algebra na Rkoja sadrži sve takve skupove, imamo BR ⊆Mλ∗ . �

2.2. Lebesgueova mjera na R

Primjedba 2.1 Neka je λ∗ Lebesgueova vanjska mjera na R i Mλ∗ familija svih pod-skupova od R izmjerivih u smislu Lebesguea. Prema Carathéodoryevom teoremu (1. 2)Mλ∗ je σ-algebra na R, a restrikcija Lebesgueove vanjske mjere λ∗ na Mλ∗ je mjera,tu mjeru označavamo s λ i zovemo ju Lebesgueova mjera.

Dakle,

λ(A) = λ∗(A), ∀A ∈Mλ∗ .

Pogledajmo sada kako izračunati Lebesgueovu mjeru skupa te neke njezine primjene.

Primjer 2.1 Izračunajmo Lebesgueovu mjeru skupova

21

a) A = (5, 10) ∪ (14, 18),

b) B =∞⋃n=1

[3n, 3n +1

10n],

c) C =∞⋂n=1

[4, 4 +1

n].

Rješenje.

a) Kako je A = (5, 10) ∪ (14, 18), koristeći svojstvo σ-aditivnosti mjere λ, imamo

λ(A) = λ((5, 10)) + λ((14, 18))

= 10− 5 + 18− 14 = 9

b) Za

n = 1 [3, 3 +1

10] = [3, 3.1],

n = 2 [9, 9 +1

100] = [9, 9.01],

n = 3 [27, 27 +1

1000] = [27, 27.001].

Možemo zaključiti da su skupovi disjunktni.

λ(B) = λ(∞⋃n=1

[3n, 3n +1

10n]),

Primjenjujući svojstvo svojstvo σ-aditivnosti, imamo

λ(B) = λ(∞⋃n=1

[3n, 3n +1

10n])

=∞∑n=1

λ([3n, 3n +1

10n])

=∞∑n=1

(3n +1

10n− 3n)

=∞∑n=1

1

10n=

1

10(1 +

1

10+

1

102+ · · ·)

=1

10· 1

1− 110

=1

10· 10

9=

1

9

22

c) Kako očito imamo padajuće skupove i kako je

λ([4, 4 + 1]) = λ([4, 5]) = 1 0.

Rješenje. Kako nam je dano da je O neprazan i otvoren skup, u njega možemo upisati

interval I, znamo da je λ(I) > 0, a kako je I ⊆ O zbog monotonosti od λ, imamo

λ(I) ≤ λ(O),

odnosno, možemo pisati

λ(O) ≥ λ(I) > 0

=⇒ λ(O) > 0.

Primjer 2.3 (Lebesgueova mjera Cantorovog skupa)

Presjek C =∞⋂n=1

In nazivamo Cantorov8 skup, skup In, n > 1, dobiva se iz In−1 tako

da se svaki segment od In−1 podijeli na tri jednaka podsegmenta i izbaci se interval

koji čini sredinu. In je unija od 2n segmenata koji su disjunktni i čija je duljina (1

3)n.

Nama najvažnija karakteristika Cantorovog skupa je ta da je on Lebesgueov skup mjere

λ(K) = 0, pokažimo tu tvrdnju.

Ako promotrimo skupove In, n ∈ N možemo zaključiti da su oni Lebesgueovi skupovi

Lebesgueove mjere λ(In) = (23)n. Tada je i C, koji je definiran s C =

∞⋂n=1

In isto tako

Lebesgueov skup.

Kako je I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · silazan niz skupova, možemo primjeniti svojstvo neprekid-nosti na silazne nizove, dakle Lebesgueova mjera skupa K iznosi:

λ(C) = λ(∞⋂n=1

In) = limn→∞

λ(In) = limn→∞

(2

3)n = 0

=⇒ λ(C) = 0.

8Georg Cantor (1845. - 1918.) - njemački matematičar

23

3. LEBESGUEOVA MJERA NA Rn

U prošlom poglavlju smo govorili o Lebesgueovoj mjeri na R, sada ćemo Lebesgueovumjeru na R generalizirati na prostor Rn.

3.1. Lebesgueova vanjska mjera na Rn

Definicija 3.1 Neka je A podskup od Rn i CA familija svih nizova (Si, i ∈ N) omedenih,

otvorenih n−intervala za koje vrijedi A ⊆∞⋃i=1

Si. Neka je

vol(S) =n∏i=1

λ(Ii)

volumen n−intervala S = I1 × I2 × · · · × In.Lebesgueovom vanjskom mjerom na Rn zovemo funkciju λ∗n : 2R

n → [0,∞] koja je defini-rana formulom

λ∗n(A) = inf{∞∑i=1

vol(Si) : (Si, i ∈ N) ∈ CA}. (3.6)

Propozicija 3.1 (vidi [5, str. 34])

Lebesgueova vanjska mjera λ∗n na Rn je vanjska mjera.

Dokaz tvrdnje slijedi iz definicije i propozicije koju ćemo navesti bez dokaza:

Definicija. Neka je X 6= ∅. Familiju C podskupova od X zovemo σ−pokrivač od Xako je ∅ ∈ C i ako ∃ C1, C2, ... ∈ C, odnosno niz (Ci, i ∈ N) članova iz C tako da je

X =∞⋃i=1

Ci.

Propozicija. (za dokaz vidjeti [5, str. 21]) Neka je X 6= ∅ i neka je C σ−pokrivač odX, a τ : C → [0,∞] skupovna funkcija sa svojstvom τ(∅) = 0. Ako definiramo

µ∗τ (A) = inf{∞∑i=1

τ(Ci) : Ci ∈ C i A ⊆∞⋃i=1

Ci},∀A ⊆ X, (3.7)

tada je µ∗ vanjska mjera.

Primjedba 3.1 Sukladno definiciji (2. 2) u kojoj smo definirali kada je skup izmjeriv

u smislu Lebesguea za skupove koji su podskupovi od R, za skup B ⊆ Rn kažemo da jeLebesgueov skup ili izmjeriv u smislu Lebesguea ako je on λ∗n-izmjeriv. Familiju svih

podskupova od Rn koji su izmjerivi u smislu Lebesguea, označavamo s Mλ∗n.

Teorem 3.1 (vidi [1, str. 61])

Za skup A ⊆ Rn, sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

24

i) A je izmjeriv u smislu Lebesguea

ii) ∃ Gδ−skup A ⊆ B tako da je λ∗n(B \ A) = 0.

iii) ∃ Fσ−skup S i Gδ−skup B tako da vrijedi S ⊆ A ⊆ B i λ∗n(B \ S) = 0.

Dokaz. Prvo ćemo pokazati ekvivalenciju tvrdnji (i) i (ii), a potom (ii) i (iii).

I) Dokazat ćemo prvu ekvivalenciju uz dodatnu pretpostavku da je λ∗n(A) λ

∗n(On). Definirajmo sada Gδ-

skup B =⋂n∈N

On. Možemo zaključiti da je A ⊆ B i za svaki n ∈ N iz monotonosti

funkcije λ∗n slijedi

λ∗n(A) ≤ λ∗n(B) ≤ λ∗n(On) < λ∗n(A) +1

n

pa je λ∗n(A) = λ∗n(B).

Iz izmjerivosti skupa A slijedi

λ∗n(B) = λ∗n(A) + λ

∗n(B \ A),

a kako smo zaključili da je λ∗n(A) = λ∗n(B), znači da je λ

∗n(B \ A) = 0.

Obrnuto, neka je sada A ⊆ B Gδ-skup za koji vrijedi λ∗n(B \ A) = 0. Za nekiC ∈ P(Rn) pokazat ćemo da vrijedi

λ∗n(C) ≥ λ∗n(C ∩ A) + λ∗n(C \ A).

Za B koji je izmjeriv u smislu Lebesguea, vrijedi

λ∗n(C) = λ∗n(C ∩B) + λ∗n(C \B).

Skup B \A je skup vanjske Lebesgueove mjere 0, pa je i C ∩B \A takoder skupvanjske Lebesgueove mjere 0. C \ A možemo zapisati kao

C \ A = (C \B) ∪ (C ∩B \ A)

pa zbog toga i subaditivnosti od λ∗n vrijedi

λ∗n(C) = λ∗n(C ∩B) + λ∗n(C ∩B \ A) + λ∗n(C \B),

zbog monotonosti imamo

λ∗n(C) = λ∗n(C ∩B) + λ∗n(C ∩B \ A) + λ∗n(C \B)

≥ λ∗n(C ∩B) + λ∗n(C \ A)

≥ λ∗n(C ∩ A) + λ∗n(C \ A).

25

II) Sada ćemo dokazati prvu ekvivalenciju kada je λ∗n(A) =∞.Postoji niz medusobno disjunktnih n-intervala (Xk, k ∈ N) tako da vrijedi⋃

k∈N

Xk = Rn.

Uzmimo sada da je A izmjeriv u smislu Lebesguea. Tada za skupove Ak = A∩Xkvrijedi da su oni izmjerivi i da su konačne mjere.

Sada ćemo iskoristiti rezultat dokaza I). Dakle, postoje Gδ-skupovi Ak ⊆ Bktako da vrijedi λ∗n(Bk \ Ak) = 0. Tada je B traženi skup, B :=

⋃k∈N

Bk.

Obrnuto, uzmimo da je A ⊆ B Gδ-skup za koji vrijedi λ∗n(B \A) = 0. Definiramoskupove konačne mjere

Bk := B ∩Xk,

Ak := A ∩Xk.

Svaki Bk je Gδ-skup u kojem je sadržan Ak i za koji vrijedi

λ∗n(Bk \ Ak) ≤ λ∗n(B \ A) = 0.

Iz koraka I) dokaza slijedi da su Ak izmjerivi a time i njihova prebrojiva unija A.

III) Pokazat ćemo drugu ekvivalenciju.

Prvi smjer je trivijalan, a za drugi pretpostavimo da za zadani skup A postoji

Gδ-skup A ⊆ B tako da vrijedi λ∗n(B \ A) = 0. Tada je skup A izmjeriv, a timeje izmjeriv i njegov komplement Ac. Iskoristimo ii) za taj skup: postoji Gδ-skup

Ac ⊆ H tako da vrijedi λ∗n(H \Ac) = 0. Slijedi S = Hc je Fσ-skup koji je sadržanu A tako da je λ∗n(A \ S) = 0. Tada je po pretpostavci ii)

λ∗n(B \ S) ≤ λ∗n(B \ A) + λ∗n(A \ S) = 0.

�

Teorem 3.2 (vidjeti [8, str. 44])

Svaki n-interval na Rn je izmjeriv u smislu Lebesguea i vrijedi da je

λ∗n(S) = vol(S)

Dokaz.

i) Neka je Q = [a1, b1]× · · · × [an, bn] i ε > 0 proizvoljan. Kako je

Q ⊆ (a1 − ε, b1 + ε)× · · · × (an − ε, bn + ε),

iz definicije Lebesgueove vanjske mjere na Rn slijedi

26

λ∗n(Q) ≤ vol((a1 − ε, b1 + ε)× · · · × (an − ε, bn + ε))

= (b1 − a1 + 2ε) · · · (bn − an + 2ε).

Kako smo rekli da je ε > 0 proizvoljan, slijedi

λ∗n(Q) ≤ vol(Q). (3.8)

Sada uzimamo bilo koji pokrivač od Q sastavljen od otvorenih intervala Q ⊆R1∪R2∪···. Kako je Q kompaktan, postoji l takav da vrijedi Q ⊆ R1∪R2∪···∪Rl,a u tom slučaju znamo da vrijedi

vol(Q) ≤ vol(R1) + · · ·+ vol(Rl) ≤∞∑k=1

vol(Rk),

tada je

vol(Q) ≤ λ∗n(Q) (3.9)

pa smo iz (3. 8 ) i (3. 9 ) dobili jednakost.

Uzmimo sada bilo koji n-interval S tako da su a1, b1, ..., an, bn njegove rubne točke.

Ako su Q′

i Q′′

definirani na sljedeći način

Q′= [a1 + ε, b1 − ε]× · · · × [an + ε, bn − ε],

Q′′

= [a1 − ε, b1 + ε]× · · · × [an − ε, bn + ε],

tada je Q′ ⊆ S ⊆ Q′′ . Zbog monotonosti od λ∗n slijedi

λ∗n(Q′) ≤ λ∗n(S) ≤ λ∗n(Q

′′)

pa iz propozicije (2. 1 ) zaključujemo

(b1 − a1 − 2ε) · · · (bn − an − 2ε) ≤ λ∗n(S) ≤ (b1 − a1 + 2ε) · · · (bn − an + 2ε)

Kako je ε > 0 proizvoljan imamo

(b1 − a1) · · · (bn − an) ≤ λ∗n(S) ≤ (b1 − a1) · · · (bn − an),

dakle slijedi da je λ∗n(S) = vol(S).

ii) Razmotrimo sada otvoreno - zatvoreni interval P i otvoreni interval R. Ako

uzmemo otvoreno - zatvoreni interval PR s istim rubovima kao R, imamo

λ∗n(R ∩ P ) ≤ λ∗n(PR ∩ P ) = vol(PR ∩ P ),

27

λ∗n(R ∩ P c) ≤ λ∗n(PR ∩ P c).

Znamo da je PR ∩ P c = PR \ P = P′1 ∪ · · ·P

′

k za neke medusobno disjunktne

otvoreno - zatvorene intervale P′1, ..., P

′

k. Dakle, imamo

λ∗n(R ∩ P c) ≤ λ∗n(P′

1) + · · ·+ λ∗n(P′

k) = vol(P′

1) + · · ·+ vol(P′

k),

zbrajanjem dobivamo

λ∗n(R ∩ P ) + λ∗n(R ∩ P c) ≤ vol(PR ∩ P ) + vol(P′

1) + · · ·+ vol(P′

k),

a to je jednako

vol(PR) = vol(R).

Dakle, dokazali smo da λ∗n(R ∩ P ) + λ∗n(R ∩ P c) ≤ vol(R).

iii) Promatramo bilo koji otvoreno - zatvoreni interval P i bilo koji E ⊆ Rn tako daje λ∗n(E) < ∞. Neka je ε > 0, unija otvorenih intervala Rj pokriva skup E, tj.

E ⊆∞⋃j=1

Rj tako da∞∑j=1

vol(Rj) < λ∗n(E) + ε. Tada je

λ∗n(E ∩ P ) + λ∗n(E ∩ P c) ≤∞∑j=1

λ∗n(Rj ∩ P ) +∞∑j=1

λ∗n(Rj ∩ P c)

=∞∑j=1

[λ∗n(Rj ∩ P ) + λ∗n(Rj ∩ P c)],

što je prema ii)

≤∞∑j=1

(Rj) < λ∗n(E) + �.

Slijedi da je

λ∗n(E ∩ P ) + λ∗n(E ∩ P c) ≤ λ∗n(E)

pa je P izmjeriv u smislu Lebesguea.

Ako je T bilo koji interval tako da je bar jedan od njegovih rubova točka, tada

je λ∗n(T ) = vol(T ) = 0. Prema propoziciji koja kaže da ako je B ⊆ X vanjskemjere µ∗(B) = 0, µ∗ je vanjska mjera na X, B je µ∗-izmjeriv. (za dokaz vidjeti

[8, str. 35], propozicija 3. 1 ).

Bilo koji interval S razlikuje se od otvoreno - zatvorenog intervala P , koji ima

jednake rubove kao S, za konačno mnogo intervala T te je stoga S takoder izm-

jeriv u smislu Lebesguea. �

Propozicija 3.2 (vidi [8, str. 44])

Svi Borelovi skupovi na Rn izmjerivi su u smislu Lebesguea.

28

Dokaz. Prema teoremu (3. 2) koji kaže da je svaki n-interval na Rn izmjeriv u smisluLebesguea, slijedi da, ako je G familija svih intervala na Rn, tada je G ⊆Mλ∗n , tj. G jeizmjeriva u smislu Lebesguea. Prema teoremu (1. 12.) u [5, str. 6] Borelova σ-algebra

je najmanja σ-algebra koja sadrži familiju G, odnosno Borelova σ-algebra je generiranafamilijom G pa zbog toga mogu pisati

BRn = σ(G),

a kako je σ(G) ⊆Mλ∗n vrijediBRn ⊆Mλ∗n .

�

Primjedba 3.2 U prošloj propoziciji pokazali smo da su svi Borelovi skupovi na Rn

izmjerivi u smislu Lebesguea, no pitamo se postoji li Lebesgueov skup koji nije Borelov,

ako postoji, onda će vrijediti da je BRn ⊂ Mλ∗n . Odgovor na ovo pitanje je potvrdan.(Za dokaz ove tvrdnje vidjeti teorem 2.12; [5, str.72].)

Dosad smo govorili o izmjerivim skupovima u smislu Lebesguea, no ipak, postoji skup

koji je podskup od R a koji nije izmjeriv u smislu Lebesguea, to ćemo dokazati uteoremu (3. 3), no prije toga ćemo pokazati jedno svojstvo od λ∗n koje će nam biti

potrebno za to.

Za svaki element x i A ⊆ Rn, s A + x označit ćemo podskup od Rn definiran nasljedeći način:

A+ x = {y ∈ Rn : y = a+ x,∀a ∈ A}.

Skup A+ x nazivamo translat skupa A za x.

Iskažimo i dokažimo sada propoziciju koja razmatra navedeno svojstvo u okviru Lebesgueove

vanjske mjere λ∗n:

Propozicija 3.3 (vidi [5, str. 37])

Lebesgueova vanjska mjera λ∗n na Rn je invarjantna na translacije, odnosno

x ∈ Rn, A ⊆ Rn, λ∗n(A) = λ∗n(A+ x).

Nadalje, A ⊆ Rn je izmjeriv u smislu Lebesguea (Lebesgueov skup) ako i samo ako jeA+ x, x ∈ Rn izmjeriv u smislu Lebesguea.

Dokaz. Neka je (Si, i ∈ Rn) neki niz otvorenih n-intervala za koje vrijedi A ⊆∞⋃i=1

Si.

Tada otvoreni n-intervali (Si + x, i ∈ N) pokrivaju skup A+ x, odnosno vrijedi

A+ x ⊆∞⋃i=1

(Si + x). (3.10)

29

Zbog invarijantnosti volumena na translacije vrijedi

∞∑i=1

vol(Si + x) =∞∑i=1

vol(Si). (3.11)

Zbog monotonosti i subaditivnosti od λ∗n, prvo iz (3. 10 ) slijedi

λ∗n(A+ x) ≤∞∑i=1

vol(Si + x)

pa zbog (3. 11 ) slijedi

λ∗n(A+ x) ≤∞∑i=1

vol(Si + x) =∞∑i=1

vol(Si).

Zaključujemo da za svaki niz (Si, i ∈ Rn) otvorenih n-intervala koji čine pokrivač skupaA vrijedi

λ∗n(A+ x) ≤∞∑i=1

vol(Si)

=⇒ λ∗n(A+ x) ≤ λ∗n(A).

Slično se pokaže da vrijedi λ∗n(A) ≤ λ∗n(A+ x).Pokažimo sada da je A ⊆ Rn izmjeriv u smislu Lebesguea ako i samo ako je skupA + x, x ∈ Rn izmjeriv u smislu Lebesguea, tj. Lebesgueov skup. Spomenimo prvojednu vrlo važnu činjenicu potrebnu za dokaz, a ta je da vrijedi

(P ∩Q) + x = (P + x) ∩ (Q+ x),∀P,Q ⊆ Rn, ∀x ∈ Rn.

Uzmimo sada da je skup A izmjeriv u smislu Lebesguea. Iz definicije slijedi

λ∗n(B) = λ∗n(B ∩ A) + λ∗n(B ∩ Ac),∀B ⊆ Rn.

Supstituirajmo sada B sa B − x, imamo

λ∗n(B − x) = λ∗n((B − x) ∩ A) + λ∗n((B − x) ∩ Ac),∀B ⊆ Rn. (3.12)

Kako je zbog invarijantnosti Lebesgueove mjere na translacije

λ∗n(B − x) = λ∗n(B − x+ x) = λ∗n(B)

λ∗n((B − x) ∩ A) = λ∗n(((B − x) ∩ A) + x)

λ∗n((B − x) ∩ Ac) = λ∗n(((B − x) ∩ Ac) + x),

jednakost (3. 12 ) možemo zapisati kao

λ∗n(B) = λ∗n(((B − x) ∩ A) + x) + λ∗n(((B − x) ∩ Ac) + x),∀B ⊆ Rn. (3.13)

30

Kako znamo da operacija presjeka i translacije komutiraju te da vrijedi

Ac + x = (A+ x)c, slijedi

((B − x) ∩ A) + x = B ∩ (A+ x)

((B − x) ∩ Ac) + x = B ∩ (Ac + x) = B ∩ (A+ x)c

pa iz (2. 19 ) imamo

λ∗n(B) = λ∗n(B ∩ (A+ x)) + λ∗n(B ∩ (A+ x)c),∀B ⊆ Rn

pa iz definicije izmjerivosti slijedi da je A+ x izmjeriv u smislu Lebesguea. �

Dokažimo sada da postoji skup koji je podskup od Rn a koji nije izmjeriv u smisluLebesguea. Za početak ćemo iskazati jednu lemu koja će nam biti potrebna pri dokazu

tvrdnje.

Lema 3.1 (za dokaz vidjeti [7, str. 186])

Ako je E ⊂ Rn izmjeriv u smislu Lebesguea i λn(E) > 0, tada je skup E−E = {x−y :x ∈ E, y ∈ E} okolina nule prostora Rn.

Teorem 3.3 (vidi [7, str. 186])

Postoji podskup od Rn koji nije izmjeriv u smislu Lebesguea.

Dokaz. Definiramo relaciju ekvivalencije ∼ na Rn tako da je x ∼ y ako i samo ako jex− y ∈ Qn, tj. ako postoji element r ∈ Qn tako da je x− y = r. U našem slučaju Qn

je skup vektora koji su sastavljeni od n kordinata koje imaju racionalne vrijednosti pri

čemu su klase ekvivalencije medusobno disjunktni skupovi. Iskoristimo sada aksiom

izbora, formiramo skup A uzimajući po jedan element iz svake klase ekvivalencije.

Dakle, x−y /∈ Qn za svaki par elemenata x i y iz A pa A−A ne može biti okolina nule,ne postoji ε > 0 tako da je S(0, ε) ⊂ A−A zbog toga što S(0, ε) uključuje elemente izQn, a oni ne postoje u A− A.Ako je skup A izmjeriv, na osnovu prethodnog, mora vrijediti λn(A) = 0. No, ako smo

nizom rn, n ∈ N označili elemente iz Qn, vrijedi Rn =∞⋃n=1

An, An = rn + A pa bi zbog

λn(r+A) = λn(A),∀n ∈ N slijedilo λn(Rn) = 0, za što znamo da nije točno. Dakle, Anije izmjeriv u smislu Lebesguea.

�

3.2. Lebesgueova mjera na Rn

Primjedba 3.3 Sukladno definiciji Lebesgueove mjere na R, Lebesgueovu mjeru naRn definiramo kao restrikciju Lebesgueove vanjske mjere λ∗n na Mλ∗n, označavamo ju sλn i zovemo Lebesgueova mjera.

31

Propozicija 3.4 (vidi [5, str. 41])

Lebesgueova mjera je jedina mjera na (Rn,BRn) koja svakom n-intervalu pridružujenjegov volumen.

Dokaz. U teoremu (3. 2 ) smo pokazali da Lebesgueova mjera ima dano svojstvo.

Dakle, trebamo samo pokazati da je µ neka mjera na (Rn,BRn) koja svakom n-intervalupridružuje njegov volumen i pokazati da je µ = λn, odnosno µ(A) = λn(A),∀A ∈ BRn .

Pretpostavimo da je µ mjera na (Rn,BRn) koja svakom n-intervalu pridružuje njegovvolumen. Neka su dani n-intervali oblika

(a1, b1)× · · · × (an, bn), ai, bi ∈ R, ai ≤ bi, i = 1, ..., n (3.14)

Familija C svih navedenih n-intervala je π-sistem na Rn. Kako znamo da je Borelovaσ-algebra BRn generirana i familijom oblika (3. 14 ), možemo pisati da je σ(C) = BRn .Po pretpostavci s početka je

µ(C) = λn(C),∀C ∈ C.

Definirajmo

Cm := (−m,m)× · · · × (−m,m),m ∈ N.

Niz Cm je uzlazan niz skupova iz C, vrijedi

Rn =∞⋃m=1

Cm, µ(Cm) = λn(Cm)

32

Primjer 3.1 Neka je O neprazan otvoren skup u Rn, pokazat ćemo da je λn(O) > 0.

Rješenje. Kako je O neprazan i otvoren, u njega možemo upisati neki n-interval S.

S je oblika

S = I1 × · · · × In.

Dakle, S ⊆ O pa zbog monotonosti od λn vrijedi λn(S) ≤ λn(O).Znamo da je λn(S) > 0 jer je

λn(S) = vol(S) =n∏i=1

λ(Ii) > 0

pa možemo pisati

λn(O) ≥ λn(S) > 0,

iz čega slijedi

λn(O) > 0.

Primjer 3.2 Konstruirajte otvoren, neomeden i putevima povezan skup u R2 sa strogopozitivnom i konačnom Lebesgueovom mjerom.

Rješenje. Definirajmo skup

Vn = (−2−n, 2−n)× (−n, n), n ∈ N,

V =⋃n∈N

Vn je otvoren, neomeden i putevima povezan.

Trebamo provjeriti ima li on strogo pozitivnu i konačnu Lebesgueovu mjeru. Kako je

V otvoren i neprazan, iz primjera (2. 2 ) slijedi λ(V ) > 0.

Vrijedi

λ(V ) = λ(⋃n∈N

Vn) ≤∑n∈N

λ(Vn) =∑n∈N

2

2n· 2n =

∑n∈N

n

2n−2,

potrebno je još provjeriti konvergira li ovaj red, u tu svrhu poslužit ćemo se D’Alambertovim

kriterijem.

L = limn→∞

n+12n−1

n2n−2

= limn→∞

2n−1 · 2−1(n+ 1)2n−1 · n

= limn→∞

n+ 1

2n= lim

n→∞

1 + 1n

2=

1

2< 1

33

4. SVOJSTVA LEBESGUEOVE MJERE

U ovom dijelu opisati ćemo i dokazati neka osnovna svojstva Lebesgueove mjere.

4.1. Regularnost

Prije nego što povežemo svojstvo regularnosti s Lebesgueovom mjerom, definirajmo

regularnost.

Definicija 4.1 Neka je M σ-algebra na Rn koja sadrži BRn. Ako za mjeru µ na(Rn,M) vrijede sljedeća svojstva

i) Za svaki kompaktan podskup C od Rn vrijedi µ(C)

34

i) Ako je λn(A) =∞, očito je da nejednakost

λn(A) ≥ inf{λn(O) : O otvoren skup,A ⊂ O}

vrijedi. Pretpostavimo zato da je λn(A) < ∞. Uzmimo da je ε > 0 proizvoljan,tada prema definiciji Lebesgueove mjere, postoji niz (Pi, i ∈ N) otvorenih n-intervala za koje vrijedi

A ⊂∞⋃i=1

Pi i

∞∑i=1

vol(Pi) < λn(A) + ε.

Uzmimo sada da je O unija danih intervala. Kako su oni otvoreni i O je otvoren,

A ⊂ O i prema već prije navedenim svojstvima Lebesgeove mjere imamo

λn(O) ≤∞∑i=1

λn(Pi) =∞∑i=1

vol(Pi) < λn(A) + ε.

Kako je ε > 0 proizvoljan, dokazana je tvrdnja i).

ii) Prvo ćemo promatrati slučaj kada je A omeden. Neka je B zatvoren i omeden skup

koji sadrži A i neka je ε > 0 proizvoljan. Odabrat ćemo otvoreni skup O koji

sadrži B \ A i zadovoljava relaciju

λn(O) < λn(B \ A) + ε.

Uzmimo sada da je C = B\O, tada je C zatvoren i omeden podskup od A, a kakoje zatoren i omeden, on je i kompaktan. Takoder zadovoljava relaciju B ⊂ C ∪Opa iz svojstava Lebesgueove mjere λn vrijedi

λn(B) ≤ λn(C) + λn(O).

Kako je λn(B \ A) = λn(B)− λn(A) te korǐstenjem tvrdnji

λn(O) < λn(B \ A) + ε i λn(B) ≤ λn(C) + λn(O)

dobivamo

λn(A)− ε < λn(C),

kako je opet ε > 0 proizvoljan, tvrdnja ii) za slučaj kada je A omeden je dokazana.

Sada promatramo slučaj kada A nije omeden. Uzimamo neki q ∈ R za koji vri-jedi q < λn(A), naš je cilj otkriti kompaktan podskup C od A za koji vrijedi

q < λn(C). Neka je (Aj, j ∈ N) uzlazan niz omedenih, izmjerivih podskupova od

A tako da je A =∞⋃j=1

Aj. Po svojstvu neprekidnosti na uzlazne nizove, vrijedi

λn(A) = limj→∞

λn(Aj) pa možemo odabrati neki j0 za koji je λn(Aj0) > q. Sada

ćemo na Aj0 primjeniti tvrdnju koju smo pokazali da vrijedi za ii), dobijemo

kompaktan podskup C od Aj0 tako da λn(C) > q. Kako je C ⊂ A i kako je qproizvoljan broj za koji vrijedi q < λn(A), tvrdnja je dokazana. �

35

4.2. Potpunost

Jedna od vrlo važnih osobina mjere je njezina potpunost, no mjera koju definiramo na

σ-algebri ne mora biti potpuna, sukladno s tim, prostor mjere takoder ne mora biti

potpun. Prostor mjere (Rn,BRn , λn) takoder nije potpun prostor, upravo zbog toga zanas je od velike važnosti činjenica da se σ-algebra na kojoj mjera nije potpuna može

proširiti do neke druge σ-algebre na kojoj će mjera biti potpuna i isto tako da se mjera

može proširiti do potpune mjere. To možemo napraviti na način da se σ-algebra na

kojoj mjera nije potpuna dopunjava svim podskupovima njenih skupova koji su mjere

0. No, malo preciznije o tome kasnije, prvo ćemo definirati neke osnovne pojmove.

Definicija 4.2 Neka je µ : M→ [0,∞] mjera na σ-algebriM podskupova od X. SkupN ⊆ X nazivamo µ-zanemarivim ili kraće zanemarivim ako postoji skup B ∈ M takoda je N ⊆ B i µ(B) = 0.

Definicija 4.3 Neka je Nµ skup svih µ-zanemarivih skupova. Ako je Nµ ⊆ M, tadaprostor mjere (X,M, µ) nazivamo prostor potpune mjere ili potpun prostor, a mjeru µpotpuna mjera.

Definicija 4.4 Neka su (X,M1, µ1) i (X,M2, µ2) dva prostora mjere na istom skupuX. Prostor (X,M2, µ2) je proširenje prostora (X,M1, µ1) ako vrijedi da jeM1 ⊆M2i µ2(A) = µ1(A),∀A ∈M1.

Pojasnimo sada malo preciznije što je to upotpunjenje σ-algebre i mjere.

Teorem 4.1 (za dokaz vidjeti [7, str. 114])

Neka je (X,M, µ) prostor mjere i neka je Mµ familija svih podskupova E ⊂ X takvihda za svaki od njih postoje izmjerivi skupovi A i B tako da vrijedi

i) A ⊂ E ⊂ B,

ii) µ(B \ A) = 0.

Tada je Mµ σ-algebra i M ⊂ Mµ. Nadalje, ako je µ̄(E) := µ(A), za svaki skupE ∈ Mµ, tada je µ̄ potpuna mjera na Mµ. Mjeru µ̄ zovemo upotpunjenje mjere µ, aMµ upotpunjenje σ-algebre M.

Slijedi nama jedna važna primjedba.

Primjedba 4.1 Restrikcija Lebesgueove mjere na B(R) nije potpuna mjera.

Pojasnimo malo prethodnu tvrdnju. Znamo da Borelovih skupova ne može biti vǐse

od ℵ0 gdje je ℵ0 oznaka za kardinalni broj skupa N, no Cantorov skup C je Borelovskup za koji vrijedi λ(C) = 0, a čiji je kardinalni broj takoder ℵ0. Kardinalni broj

36

svih podskupova Cantorovog skupa je kard(C) = 2ℵ0 . Dakle, mora postojati podskup

Cantorovog skupa koji nije Borelov, tj. Lebesgueova mjera nije potpuna na B(R).Kako smo rekli u uvodnom dijelu, prostor (Rn,BRn , λn) nije potpun, no ukoliko želimoda on postigne svojstvo potpunosti, to možemo učiniti tako da ga upotpunimo s famil-

ijom izmjerivih skupova u smislu Lebesguea. O tome nam govori sljedeći teorem.

Teorem 4.2 (vidi [2, str. 37])

Lebesgueova mjera na (Rn,Mλ∗n) je upotpunjenje Lebesgueove mjere na (Rn,BRn).

Navedimo prvo i dokažimo lemu potrebnu za dokaz propozicije.

Lema 4.1 Neka je A ⊆ Rn skup izmjeriv u smislu Lebesguea. Tada ∃ E,F ⊆ Rn

Borelovi skupovi za koje vrijedi E ⊂ A ⊂ F i λn(F \ E) = 0.

Dokaz. Uzmimo prvo da je A ⊆ Rn Lebesgueov skup za koji vrijedi λn(A) < ∞. Zasvaki k > 0 odabirem kompaktan skup Ck za koji vrijedi Ck ⊂ A i λn(A)− 1k ≤ λn(Ck)te otvoren skup Ok koji zadovoljava A ⊂ Ok i λn(Ok) ≤ λn(A) + 1k . Neka je

E :=∞⋃k=1

Ck i F :=∞⋂k=1

Ok.

Tada su E i F sadržani u BRn i zadovoljavaju E ⊂ A ⊂ F . Kako relacija

λn(F \ E) ≤ λn(Ok \ Ck) = λn(Ok \ A) + λn(A \ Ck) ≤2

k

vrijedi za svaki k, slijedi λn(F \ E) = 0. Dakle, lema je dokazana za slučaj kada jeλn(A)

37

LITERATURA

[1] N. ANTONIĆ, B. VRDOLJAK, Mjera i integracija, PMF-Matematički odjel,

Zagreb, 2001.

[2] D. L. COHN, Measure Theory, Birkhäuser, Boston, 1980.

[3] B. K. DRIVER, Analysis Tools with Examples,

http://math.ucsd.edu/ driver/DRIVER/book.htm.

[4] P. R. HALMOS, Measure Theory, Springer-Verlag, New York, 1974.

[5] D. JUKIĆ, Uvod u teoriju mjere i integracije, Osijek, 2008.

[6] S. MARDEŠIĆ, Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, I dio,

Školska knjiga, Zagreb, 1991.

[7] B. MIRKOVIĆ, Teorija mera i integrala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

[8] M. PAPADIMITRAKIS, Notes on Measure Theory, Department of Mathematics

University of Crete, Crete, 2004.

[9] R. L. SCHILLING, Measures, Integrals and Martingales, Cambridge university press

New York, 2005.

38

SAŽETAK

Teorija mjere nastala je iz potrebe za izračunavanjem duljine, površine i volumena.

Ogroman napredak matematičke analize u 20. st može se pripisati upravo shvaćanju

teorije mjere francuskog matematičara H. L. Lebesguea.

Lebesgueova mjera na Rn je jedna sasvim netrivijalna mjera koja upravo odgovara napitanja mjerenja duljine, površine i volumena, na primjer promatrajući Lebesgueovu

mjeru na Rn, za slučaj n = 1, ona je mjera koja svakom od intervala pridružuje njegovuduljinu.

Kroz definicije, tvrdnje i primjere, ovim je radom pokazano kako konstruirati ovu mjeru,

samu njezinu koncepciju, svojstva i veliku važnost.

39

SUMMARY

Measure theory was built on need for calculating lenght, area and volume. Huge

progress of mathematical analysis in twentieth century can be exactly assigned to H.

L. Lebesgue understanding measure theory.

Lebesgue measure on Rn is one entirely untrivial measure which exactly gives the an-swer on questions of measuring lenght, area and volume. For example, if we observe

Lebesgue measure on Rn for case n = 1, it is a measure which assignes to each intervalits lenght.

In this work, it is demonstrated how to construct this measure. Also, many of its

properties and its great importance were shown through many definitions, theorems

and examples.

40

ŽIVOTOPIS

Rodena sam u Našicama 05. studenog 1986. godine. Pohadala sam osnovnu školu

u Donjem Miholjcu koju sam završila 2001. godine, a nakon toga upisala sam Opću

gimnaziju u Donjem Miholjcu. Maturirala sam 2005. godine. Iste godine na Odjelu za

matematiku u Osijeku upisala sam Sveučilǐsni nastavnički studij matematike i infor-

matike. U meduvremenu, 2009. godine, završila sam Preddiplomski studij matematike

s temom završnog rada ”Cevin i Menelajev teorem, dokazi i primjene”.

naslovnalebesgueova mjera na Rn