Vje be - Slucajni procesi I. dio - Odjel Za MatematikuUvod Jednostavni proces grananja Brownovo...

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov proces

Vježbe - Slučajni procesiI. dio


Uvod

Definicija 1.

Slučajni proces Xt , t ∈ T je familija slučajnih varijabli na istomvjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P), pri čemu je t element parametarskogskupa ili skupa indeksa T ⊆ R.

Napomena 1.Skup vrijednosti koje može poprimiti svaka slučajna varijabla Xt naziva seskup stanja slučajnog procesa Xt , t ∈ T i označava sa S, S ⊆ R.Elemente skupa S nazivamo stanjima slučajnog procesa Xt , t ∈ T. Sobzirom na skup S, razlikujemo sljedeće kategorije slučajnih procesa:

ako je S diskretan skup, govorimo o slučajnom procesu sa diskretnimskupom stanja,ako S nije diskretan skup, npr. ako je S = R ili je S interval realnihbrojeva, govorimo o slučajnom procesu sa neprekidnim skupomstanja.


Napomena 2.Elementi skupa indeksa T ⊆ R najčešće se interpretiraju kao vremenskitrenuci. S obzirom na skup indeksa T , razlikujemo sljedeće kategorijeslučajnih procesa:

ako je T diskretan skup, npr. T = Z, T = N ili T = N0, govorimo oslučajnom procesu u diskretnom vremenu,ako T nije diskretan skup, npr. ako je T = [a, b〉,−∞ < a < b ≤ ∞, ili T = R, govorimo o slučajnom procesu uneprekidnom vremenu.


Napomena 3.

Slučajni proces X = Xt , t ∈ T sa skupom stanja S ⊆ R definiran navjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P) možemo shvatiti kao funkciju dvijuvarijabli:

X : T × Ω→ S .

Ako fiksiramo t ∈ T, tada promatramo funkciju

ω 7→ Xt(ω) = X (ω, t),

definiranu na Ω, tj. slučajnu varijablu na Ω koja opisuje realizacijuslučajnog procesa u fiksiranom trenutku t.Ako fiksiramo ω ∈ Ω, tada promatramo funkciju

t 7→ Xt(ω) = X (ω, t)

definiranu na skupu indeksa T koja opisuje evoluciju procesa tijekomvremena za fiksirani ω ∈ Ω.


Definicija 2.Funkciju koja za fiksirani ω ∈ Ω svakom elementu t ∈ T pridružujerealizaciju Xt(ω) nazivamo trajektorijom (engl. sample path) slučajnogprocesa Xt , t ∈ T.

Definicija 3.

Konačnodimenzionalne distribucije slučajnog procesa Xt , t ∈ T sudistribucije konačnodimenzionalnih slučajnih vektora (Xt1 , . . . ,Xtn ), zasve moguće izbore t1, . . . , tn ∈ T i svaki n ∈ N.


Zadaci

Zadatak 1.Neka su X1,X2, . . . međusobno nezavisne Bernoullijeve slučajne varijable,tj.

Xt =

(0 1

1− p p

), p ∈ 〈0, 1〉, ∀t ∈ N.

Familija Xt , t ∈ N zove se Bernoullijev proces.a) Odredite skup stanja i skup indeksa Bernoullijevog procesa.b) Simulirajte i skicirajte jednu trajektoriju Bernoullijevog procesa.c) Odredite vjerojatnost pojavljivanja dijela trajektorije koju ste

simulirali u zadatku b).


Zadatak 2.Neka su Z1,Z2, . . . nezavisne jednako distribuirane slučajne varijable sdistribucijom

Zt =

(−1 1

1− p p

), p ∈ 〈0, 1〉, ∀t ∈ N.

Ako slučajne varijable X0,X1, . . . definiramo sa

X0 = 0, Xt =t∑

i=1

Zi , t ∈ N,

tada je familija slučajnih varijabli Xt , t ∈ N0 slučajni proces kojegzovemo jednostavna slučajna šetnja.a) Odredite skup stanja i skup indeksa jednostavne slučajne šetnje.b) Simulirajte i skicirajte jednu trajektoriju simetrične jednostavne

slučajne šetnje (p = 1/2).c) Odredite jednodimenzionalnu distribuciju jednostavne slučajne

šetnje, tj. odredite P(Xt = k), k ∈ Z.


Zadatak 3.Neka je Xt , t ∈ N0 jednostavna slučajna šetnja. Slučajni procesXτ , τ ∈ T je familija slučajnih varijabli Xτ definiranih na sljedeći način:

Xτ = Xt , τ ∈ [t, t + 1〉.

a) Odredite skup stanja i skup indeksa slučajnog procesa Xτ , τ ∈ T.b) Koristeći trajektoriju jednostavne slučajne šetnje simuliranu u

zadatku 2. b) skicirajte trajektoriju slučajnog procesa Xτ , τ ∈ T.


Zadatak 4.Promotrimo slučajni proces Xt , t ∈ T = Y cos (kt), t ≥ 0 gdje jek ∈ R, a Y uniformna slučajna varijabla na intervalu 〈0, 1〉.a) Odredite skup stanja i skup indeksa slučajnog procesa Xt , t ∈ T.b) Odredite jednodimenzionalnu distribuciju slučajnog procesa

slučajnog procesa Xt , t ∈ T.


Funkcije izvodnice vjerojatnosti

Definicija 4.Neka je X diskretna slučajna varijabla s vrijednostima u skupu N0 i nekaje njen zakon razdiobe zadan na sljedeći način:

pk = P(X = k), k ∈ N0.

Funkcija izvodnica vjerojatnosti slučajne varijable X je funkcija Gdefinirana sa

GX (s) = E[sX ] =

∞∑k=0

skpk

za one s ∈ R za koje je E[|sX |

]=∞∑

k=0

|sk |pk <∞.


Napomena 4.

Budući je∞∑

k=0

pk = 1 zaključujemo da za |s| ≤ 1 red iz prethodne

definicije apsolutno konvergira. Specijalno, vrijedi sljedeće:GX (0) = p0 = P(X = 0),

GX (1) =∞∑

k=01kpk =

∞∑k=0

pk = 1.

Napomena 5.

Zbog apsolutne konvergencije red∞∑

k=0

skpk za |s| ≤ 1 možemo derivirati

član po član proizvoljno mnogo puta. Time dobivamo:

G (k)X (s) =

∞∑n=k

n(n − 1) · · · (n − k + 1)pnsn−k .

Uvrštavanjem s = 0 u gornju k-tu derivaciju slijedi:

pk =1k!· G (k)(0).


Teorem 1.Neka je X slučajna varijabla s funkcijom izvodnicom vjerojatnosti GX (s).Tada vrijedi:

E [X ] = G ′X (1),

E [X (X − 1) . . . (X − k + 1)] = G (k)X (1).

Var(X ) = G ′′X (1) + E [X ]− (E [X ])2.

Teorem 2.Neka su X1, . . . ,Xn nezavisne slučajne varijable koje poprimaju

nenegativne cjelobrojne vrijednosti te neka je Sn =n∑

k=1Xk . Tada vrijedi:

GSn (s) =n∏

k=1

GXk (s).


Teorem 3.Neka su ∀n ∈ N cjelobrojne slučajne varijable Z ,X1, . . . ,Xn nezavisne ineka su Xk , k ∈ N jednako distribuirane. Stavimo:

S0 = 0, SZ = X1 + X2 + . . .+ XZ =Z∑

k=1

Xk .

Tada vrijedi:GSZ (s) = GZ [GX1(s)].


Jednostavni proces granjanja (Galton-Watsonov proces)

Populacija nekih jedinki započinje u trenutku n = 0 i sastoji se odjedne jedinke koju nazivamo predak - dakle, predak čini nultugeneraciju promatrane populacije.U trenutku n = 1 predak rađa neki broj potomaka, a sam nestaje izpopulacije - broj potomaka koji čine prvu generaciju promatranepopulacije modeliramo distribucijom

Z ∼(

0 1 2 . . .p0 p1 p2 . . .

).

U trenutku n ∈ N svaka jedinka iz (n − 1)-ve generacije rađa nekibroj potomaka koji modeliramo distribucijom Z - svi potomci svihjedinki iz (n − 1)-ve generacije čine n-tu generaciju promatranepopulacije.


Formalno, neka su Zn,j , n ∈ N, j ∈ N nezavisne jednakodistribuirane po distribuciji Z - broj potomaka j-te jedinke nastale u(n − 1)-oj generacijiAko sa Xn, n ∈ N0, označimo slučajnu varijablu kojom je modeliranbroj jedinki koje čine n-tu generaciju promatrane populacije, onda je(Xn, n ∈ N0) slučajni proces sa skupom stanja S = N0 i skupomindeksa T = N0 - jednostavan proces grananja iliGalton-Watsonov proces, pri čemu je:

X0 = 1X1 = Z1,1

X2 =X1∑k=1

Z2,k

X3 =X2∑k=1

Z3,k

...

Xn =Xn−1∑k=1

Zn,k

...


Napomena 6.

Neka je (Xn, n ∈ N0) jednostavan proces grananja te neka je G (s)funkcija izvodnica vjerojatnosti slučajne varijable X1, a Gn(s) funkcijaizvodnica vjerojatnosti slučajne varijable Xn, n ∈ 2, 3, . . .. Tada vrijedi:

Gn(s) = Gn−1(G (s)) = G (Gn−1(s)).


Zadaci

Zadatak 5.U jednostavnom procesu grananja slučajnom varijablom Xn, n ∈ N,modeliran je broj jedinki u n-toj generaciji promatrane populacije. Nekaje E [X1] = µ, µ ∈ R, te neka je Var(X1) = σ2, σ2 > 0. Pokažite da jeE [Xn] = µn te da je

Var(Xn) =

σ2(µn − 1)µn−1

µ− 1, µ 6= 1

nσ2 , µ = 1.


Zadatak 6.Neka je u Bernoullijevom pokusu vjerojatnost realizacije uspjeha jednakap, p ∈ 〈0, 1〉. Slučajna varijabla X kojom je modeliran broj neuspjehaprije prvog pojavljivanja uspjeha pri nezavisnom ponavljanjuBernoullijevog pokusa je geometrijska slučajna varijabla s parametrom p izadana je zakonom razdiobe

P(X = k) = (1− p)kp, k ∈ N0.

Pokažite da jeGX (s) =

p1− s(1− p)

funkcija izvodnica vjerojatnosti ove slučajne varijable.


Zadatak 7.Pretpostavimo da u jednostavnom procesu grananja slučajna varijabla X1ima geometrijsku distribuciju s parametrom p = 1

2 . Pokažite da u tomslučaju promatrana populacija gotovo sigurno izumire, tj. da je

P

( ∞⋃n=1

Xn = 0

)= 1.


Brownovo gibanje (Wienerov proces)

Definicija 5.

Slučajni proces Xt , t ≥ 0 naziva se standardno Brownovo gibanje iliWienerov proces ako vrijedi:(i) za t0 < t1 < . . . < tn su prirasti Xt1 − Xt0 , . . . ,Xtn − Xtn−1

međusobno nezavisne slučajne varijable,(ii) Xt − Xs ∼ N (0, t − s), 0 ≤ s < t <∞,(iii) P(X0 = 0) = 1.

Napomena 7.

Svojstvo (i) - Brownovo gibanje je slučajni proces s nezavisnim prirastima.Svojstvo (ii) - Brownovo gibanje je slučajni proces sa stacionarnimprirastima.Iz svojstva (ii) slijedi da je Xt ∼ N (0, t).


Ekvivalentna definicija:

Definicija 6.

Slučajni proces Xt , t ≥ 0 naziva se standardno Brownovo gibanje iliWienerov proces ako vrijedi:(i) Xt je Gaussov proces,(ii) EXs = 0, ∀s i EXsXt = mins, t,(iii) g.s., trajektorije t 7→ Xt su neprekidne.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.

50.

00.

51.

0Trajektorija Brownovog gibanja

t

Xt

Slika: *


Zadaci

Zadatak 8.Pokažite da nezavisnost prirasta i svojstvo Xt ∼ N (0, t) povlačistacionarnost prirasta, tj.

Xt+s − Xtd= Xs .


Zadatak 9.Slučajni proces čije su sve konačnodimenzionalne distribucijevišedimenzionalne Gaussove distribucije naziva se Gaussov proces.Pokažite da je Brownovo gibanje Gaussov proces.


Zadatak 10.Provjerite je li geometrijsko Brownovo gibanje

(eµt+σXt , t ≥ 0), µ ∈ R, σ < 0,

Gaussov proces.


Poissonov proces

Definicija 7.

Slučajni proces Nt , t ≥ 0 je Poissonov proces s intenzitetom λ > 0 akovrijedi:(i) N0 = 0,(ii) proces Nt , t ≥ 0 ima nezavisne priraste,(iii) broj događaja u bilo kojem intervalu duljine t modeliran je slučajnom

varijablom Nt koja ima Poissonovu distribuciju s očekivanjem λt, tj.za sve s, t > 0 vrijedi:

P(Ns+t − Ns = n) = e−λt (λt)n

n!, n ∈ N0.


Napomena 8.Vrijednost slučajne varijable Nt interpretiramo kao broj realizacijapromatranog događaja u svakom vremenskom intervalu duljine t (npr.broj klijenata banke koji su stali u red od početka promatranja pa sve dotrenutka t). Uočimo da treće svojstvo iz definicije znači da Poissonovproces ima stacionarne priraste.


0 1 2 3 4 5 6 7

05

1015

20Trajektorija Poissonovog procesa λ = 2

t

Nt

Slika: *


Definicija 8.

Ako je limh→0

f (h)

h= 0, tada kažemo da je f (h) = o(h) za h→ 0.

Definicija 9.

Slučajni proces Nt , t ≥ 0 je Poissonov proces s intenzitetom λ > 0 akovrijedi:(i) N0 = 0,(ii) proces Nt , t ≥ 0 ima nezavisne i stacionarne priraste,(iii) P(Nt ≥ 2) = o(t), t → 0,(iv) P(Nt = 1) = λt + o(t), t → 0.

Napomena 9.

Ove dvije definicije Poissonovog procesa su ekvivalentne (pogledatipredavanja).


Zadaci

Zadatak 11 (Međudolazna vremena).

Neka je Nt , t ≥ 0 Poissonov proces s intenzitetom λ > 0. Promotrimoslučajni proces Xn, n ∈ N, tj. niz slučajnih varijabli kojima modeliramovrijeme proteklo između (n − 1)-ve i n-te realizacije promatranogdogađaja. Pokažite da su slučajne varijable Xn nezavisne ieksponencijalno distribuirane s parametrom λ.


Zadatak 12 (Dolazna vremena).

Slučajnom varijablom

Sn =n∑

i=1

Xi , i ∈ N,

modelirano je vrijeme čekanja do n-te realizacije promatranog događaja.Pokažite da slučajna varijabla Sn ima gamma distribuciju s parametriman ∈ N i λ > 0, tj. da je

fSn (t) =λn

Γ(n)e−λttn−1 1(0,∞)(t).


Zadatak 13.Pretpostavimo da ulazak inozemnih turista u zemlju u zračnoj lucimožemo modelirati Poissonovim procesom s dnevnim intenzitetom λ = 5.

a) Odredito očekivano vrijeme čekanja (u danima) do ulaska desetogturista u zemlju.

b) Izračunajte vjerojatnost da vremenski interval između ulaska desetogi jedanaestog turista u zemlju bude dulji od jednog dana.


Zadatak 14.Pretpostavimo da dolazak klijenata u banku možemo modeliratiPoissonovim procesom N(t), t ≥ 0 s intenzitetom λ > 0. Neka je pritome vjerojatnost da je klijent žena jednaka p ∈ 〈0, 1〉, a vjerojatnost daje klijent muškarac jednaka (1− p). S N(1)

t označimo slučajnu varijablukojom je modeliran broj žena, a s N(2)

t slučajnu varijablu kojom jemodeliran broj muškaraca koji su ušli u banku do trenutka t. Brojklijenata u banci u trenutku t > 0 modeliran je slučajnom varijablomNt = N(1)

t + N(2)t . Pokažite da su N(1)

t , t ≥ 0 i N(2)t , t ≥ 0 nezavisni

Poissonovi procesi s intenzitetima λ(1) = λp i λ(2) = λ(1− p), redom.


Zadatak 15.Broj imigranata u neku razvijenu zemlju na tjednoj bazi možemomodelirati Poissonovim procesom Nt , t ≥ 0 s intenzitetom λ = 10.Poznato je da je vjerojatnost da je imigrant mlađi od 20 godina jednaka1/12. Odredite vjerojatnost da tijekom 28-dnevnog razdoblja upromatranu zemlju ne imigrira nitko mlađi od dvadeset godina.


Složeni Poissonov proces

Definicija 10.

Složeni Poissonov proces je slučajni proces Xt , t ≥ 0 gdje je

Xt =Nt∑i=1

Yi , t ≥ 0,

gdje je Nt , t ≥ 0 Poissonov proces s intenzitetom λ > 0, aYn, n ∈ N familija nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih varijablinezavisna od Poissonovog procesa Nt , t ≥ 0.


0 1 2 3 4 5 6 7

−10

−5

05

10Trajektorija složenog Poissonovog procesa λ = 2

Skokovi diskretna uniformna na −2,−1,1,2t

Nt

Slika: *


Zadatak 16.Pretpostavimo da migracije cijelih obitelji u određeno područje na tjednojbazi možemo modelirati Poissonovim procesom s intenzitetom λ = 2.Neka je broj članova svake obitelji modeliran nezavisnim slučajnimvarijablama s distribucijom(

1 2 3 41/6 1/3 1/3 1/6

).

Odredite očekivanje slučajne varijable kojom je modeliran broj migranatau promatrano područje na kraju petotjednog razdoblja.


Nehomogeni Poissonov proces

Definicija 11.

Slučajni proces Nt , t ≥ 0 je nehomogeni Poissonov proces s funkcijomintenziteta λ(t), t ≥ 0 ako vrijedi:(i) N0 = 0,(ii) proces Nt , t ≥ 0 ima nezavisne priraste,(iii) za 0 ≤ s < t je

Nt − Ns ∼ P(∫ t

sλ(u)du

).

Napomena 10.

Ako je λ(t) = λ onda dobijemo standardni (homogeni) Poissonov proces.Nehomogeni Poissonov proces nema stacionarne priraste.


Zadatak 17.Trgovina se otvara ujutro u 8 sati i zatvara u 17 sati. Od 8 do 11 kupcidolaze u prosjeku s intenzitetom koji linearno raste od 5 kupaca po satuu 8 ujutro do 20 kupaca po satu u 11 sati. Od 11 do 13 sati intenzitet jekonstantan i jednak 20 kupaca po satu. Od 13 do 17 sati intenzitetlinearno pada i u 17 sati je jednak 12 kupaca po satu. Pretpostavimo daje broj kupaca u disjunktnim vremenskim periodima nezavisan.a) Kolika je vjerojatnost da nema kupaca od 8:30 do 9:30?b) Koji je očekivani broj kupaca u periodu od 10 do 12 sati?


Zadatak 18.Igrate sljedeću igru: loptice ispadaju iz kutije po Poissonovom procesu s intezitetom 6loptica po minuti i tako sve do kraja pete minute (5 : 00) kada igra završava. Cilj igreje pogoditi koja je loptica posljednja na osnovu jednog pokušaja. Preciznije, utrenutku kad loptica ispadne iz kutije možete reći "Posljednja!" ili šutjeti. Za trajanjaigre imate pravo samo jednom reći "Posljednja!". Ako nakon toga više ne ispadne nitijedna loptica, pobijedili ste. Ako nakon toga ispadne još loptica, izgubili ste. Ako igraistekne i niste ni jednom rekli "Posljednja!", onda ste izgubili.Strategija je sljedeća: reći ćete "Posljednja!" u trenutku kad iz kutije ispadne prvaloptica nakon trenutka s.(a) Odredite vjerojatnost pobjede u igri ako je s = 4 : 30.(b) Odredite s tako da vjerojatnost uspjeha bude maksimalna i odredite tu

vjerojatnost.(c) Ako je prva loptica ispala iz kutije u 15-toj sekundi, kolika je vjerojatnost da druga

ne ispadne do 35-te sekunde.(d) Ako pretpostavimo da loptice mogu biti crvene i crne, te da su crvene dvostruko

vjerojatnije, definirajte slučajni proces koji broji crvene loptice i odreditevjerojatnost da u prvoj minuti ne ispadne niti jedna crvena loptica.

(e) Opet pretpostavimo da su loptice crvene i crne, te da su crvene dvostrukovjerojatnije. Neka su dodatno na lopticama ispisane vrijednosti 1, 2, 3, svi jednakovjerojatni. Crne loptice nose duple bodova od ispisane vrijednosti. Odredite proceskoji broji bodove i izračunajte očekivani broj bodova u 5 minuta.

Vje be - Slucajni procesi I. dio - Odjel Za MatematikuUvod Jednostavni proces grananja Brownovo...

Documents

Transcript of Vje be - Slucajni procesi I. dio - Odjel Za MatematikuUvod Jednostavni proces grananja Brownovo...