Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · Pojam vektorskog prostora Napomena (a)operacije na...

Linearna algebra I

Darija Markovic

Vektorski prostoriPojam vektorskog prostora

Napomena

Binarne operacije zbrajanja + : R× R→ R i mnozenja· : R× R→ R na skupu realnih brojeva imaju sljedeca svojstva:

(1) α+ (β + γ) = (α+ β) + γ, ∀α, β, γ ∈ R;(2) postoji 0 ∈ R sa svojstvom α+ 0 = 0 + α = α, ∀α ∈ R;(3) za svaki α ∈ R postoji −α ∈ R tako da je

α+ (−α) = −α+ α = 0;

(4) α+ β = β + α, ∀α, β ∈ R;(5) α(βγ) = (αβ)γ, ∀α, β, γ ∈ R;(6) postoji 1 ∈ R \ {0} sa svojstvom 1 · α = α · 1 = α, ∀α ∈ R;(7) za svaki α ∈ R, α 6= 0 postoji α−1 ∈ R tako da je

αα−1 = α−1α = 1;

(8) αβ = βα, ∀α, β ∈ R;(9) α(β + γ) = αβ + αγ, ∀α, β, γ ∈ R.

Vektorski prostoriPojam vektorskog prostora

Napomena

Binarne operacije zbrajanja + : R× R→ R i mnozenja· : R× R→ R na skupu realnih brojeva imaju sljedeca svojstva:

(1) α+ (β + γ) = (α+ β) + γ, ∀α, β, γ ∈ R;(2) postoji 0 ∈ R sa svojstvom α+ 0 = 0 + α = α, ∀α ∈ R;(3) za svaki α ∈ R postoji −α ∈ R tako da je

α+ (−α) = −α+ α = 0;

(4) α+ β = β + α, ∀α, β ∈ R;(5) α(βγ) = (αβ)γ, ∀α, β, γ ∈ R;(6) postoji 1 ∈ R \ {0} sa svojstvom 1 · α = α · 1 = α, ∀α ∈ R;(7) za svaki α ∈ R, α 6= 0 postoji α−1 ∈ R tako da je

αα−1 = α−1α = 1;

(8) αβ = βα, ∀α, β ∈ R;(9) α(β + γ) = αβ + αγ, ∀α, β, γ ∈ R.

Pojam vektorskog prostora

Definicija

Neka je V neprazan skup na kojem su zadane binarna operacijazbrajanja + : V × V → V i operacija mnozenja skalarima iz poljaF, · : F× V → V . Kazemo da je uredena trojka (V,+, ·) vektorskiprostor nad poljem F ako vrijedi:

(1) a+ (b+ c) = (a+ b) + c, ∀a, b, c ∈ V ;

(2) postoji 0 ∈ V sa svojstvom a+ 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ V ;

(3) za svaki a ∈ V postoji −a ∈ V takav da jea+ (−a) = −a+ a = 0;

(4) a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ V ;

(5) α(βa) = (αβ)a, ∀α, β ∈ F, ∀a ∈ V ;

(6) (α+ β)a = αa+ βa, ∀α, β ∈ F, ∀a ∈ V ;

(7) α(a+ b) = αa+ αb, ∀α ∈ F, ∀a, b ∈ V ;

(8) 1 · a = a, ∀a ∈ V.

Napomena

(a) operacije na vektorskom prostoru su preslikavanja

(b) priroda elemenata skupa V je irelevantna. Elementivektorskog prostora nazivaju se vektori.

(c) F moze biti bilo koje polje, no najvazniji su slucajevivektorskih prostora sagradenih nad poljem realnih ilikompleksnih brojeva. Vektorski prostori nad poljem Rnazivaju se realni vektorski prostori; za one nad poljem Ckazemo da su kompleksni. Elemente polja zovemo skalarima.

(d) vecina tvrdnji bit ce iskazana simultano za oba slucaja i tadace u iskazima stajati simbol F

(e) formalno se govori o uredenoj trojci (V,+, ·) nad poljem F, nokada je iz konteksta jasno o kojim je operacijama i o kojempolju rijec, pisat cemo jednostavno V

Napomena

Propozicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Tada

(1) Za α ∈ F i a ∈ V vrijedi αa = 0 ako i samo ako je α = 0 ilia = 0;

(2) (−α)a = α(−a) = −(αa), ∀α ∈ F, ∀a ∈ V ;

(3) α(a− b) = αa− αb, ∀α ∈ F, ∀a, b ∈ V ;

(4) (α− β)a = αa− βa, ∀α, β ∈ F, ∀a ∈ V .

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad F. Izraz oblika

α1a1 + α2a2 + · · ·+ αkak,

pri cemu su a1, a2, . . . , ak ∈ V , α1, α2, . . . , αk ∈ F i k ∈ N, nazivase linearna kombinacija vektora a1, a2, . . . , ak s koeficijentimaα1, α2, . . . , αk.

k∑i=1

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad F. Izraz oblika

α1a1 + α2a2 + · · ·+ αkak,

pri cemu su a1, a2, . . . , ak ∈ V , α1, α2, . . . , αk ∈ F i k ∈ N, nazivase linearna kombinacija vektora a1, a2, . . . , ak s koeficijentimaα1, α2, . . . , αk.

k∑i=1

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad F i

S = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N,

konacan skup vektora iz V . Kazemo da je skup S linearnonezavisan ako vrijedi

α1, α2, . . . , αk ∈ F,k∑

αiai = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0.

U suprotnom kazemo da je skup S linearno zavisan.

Baza i dimenzija

Napomena

(a) za svaki konacnan skup S = {a1, a2, . . . , ak} vektora iz Vlinearna kombinacija ce ocito biti 0 ako su svi koeficijenti nula.Ukoliko je to i jednini nacin kako mozemo dobiti nulvektorlinearno kombinirajuci vektore iz S, tada je skup linearnonezavisan

(b) S = {a1, a2, . . . , ak} je linearno zavisan ako∃α1, α2, . . . , αk ∈ F takvi da

αj 6= 0 za barem jedan j ∈ {1, 2, . . . , k} ik∑

αiai = 0.

(c) atribut “linearno” najcesce ispustamo, pa govorimo onezavisnim, odnosno zavisnim skupovima

Baza i dimenzija

Napomena

αiai = 0.

Baza i dimenzija

Napomena

αiai = 0.

Baza i dimenzija

Napomena

(d) za svaki a ∈ V , a 6= 0, jednoclan skup {a} je nezavisan

(e) svaki skup koji sadrzi nulvektor je zavisan

(f) zavisnost, odnosno nezavisnost ne ovisi o poretku vektora upromatranom skupu S

(g) svaki neprazni podskup nezavisnog skupa je nezavisan

(h) svaki nadskup zavisnog skupa je zavisan

Baza i dimenzija

Napomena

Baza i dimenzija

Napomena

Baza i dimenzija

Napomena

Baza i dimenzija

Napomena

Baza i dimenzija

Propozicija

Skup S = {a1, a2, . . . , ak}, k ≥ 2, u vektorskom prostoru V jelinearno zavisan ako i samo ako postoji j ∈ {1, 2, . . . , k} takav daje aj linearna kombinacija preostalih elemenata skupa S.Ako je skup S = {a1, a2, . . . , ak}, k ≥ 2, linearno zavisan, ureden,te ako je a1 6= 0, onda postoji l ∈ {2, . . . , k} takav da je allinearna kombinacija svojih prethodnika u skupu S, tj. vektoraa1, a2, . . . , al−1.

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S ⊆ V , S 6= ∅.Linearna ljuska skupa S oznacava se simbolom [S] i definira kao

αiai : αi ∈ F, ai ∈ S, k ∈ N

Dodatno, definira se [∅] = {0}.

Definicija

Neka je V vektorski prostor i S ⊆ V . Kaze se da je S sustavizvodnica za V (ili da S generira V ) ako vrijedi [S] = V .

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S ⊆ V , S 6= ∅.Linearna ljuska skupa S oznacava se simbolom [S] i definira kao

αiai : αi ∈ F, ai ∈ S, k ∈ N

Dodatno, definira se [∅] = {0}.

Definicija

Neka je V vektorski prostor i S ⊆ V . Kaze se da je S sustavizvodnica za V (ili da S generira V ) ako vrijedi [S] = V .

Baza i dimenzija

Propozicija

Neka je S sustav izvodnica za vektorski prostor V te neka u Spostoji vektor x koji se moze prikazati kao linearna kombinacija(nekih drugih) elemenata iz S. Tada je i S \ {x} sustav izvodnicaza V .

Definicija

Konacan skup B = {b1, b2, . . . , bn}, n ∈ N, u vektorskom prostoruV se naziva baza za V ako je B linearno nezavisan sustavizvodnica za V .

Baza i dimenzija

Propozicija

Neka je S sustav izvodnica za vektorski prostor V te neka u Spostoji vektor x koji se moze prikazati kao linearna kombinacija(nekih drugih) elemenata iz S. Tada je i S \ {x} sustav izvodnicaza V .

Definicija

Konacan skup B = {b1, b2, . . . , bn}, n ∈ N, u vektorskom prostoruV se naziva baza za V ako je B linearno nezavisan sustavizvodnica za V .

Baza i dimenzija

Teorem

Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka jeB = {b1, b2, . . . , bn} baza za V . Tada za svaki v ∈ V postojejedinstveno odredeni skalari α1, . . . , αn ∈ F takvi da vrijedi

n∑i=1

αibi.

Definicija

Kaze se da je vektorski prostor V konacnodimenzionalan ilikonacnogeneriran ako postoji neki konacni sustav izvodnica za V .

Baza i dimenzija

Teorem

Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka jeB = {b1, b2, . . . , bn} baza za V . Tada za svaki v ∈ V postojejedinstveno odredeni skalari α1, . . . , αn ∈ F takvi da vrijedi

n∑i=1

αibi.

Definicija

Kaze se da je vektorski prostor V konacnodimenzionalan ilikonacnogeneriran ako postoji neki konacni sustav izvodnica za V .

Baza i dimenzija

Propozicija

Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica zavektorski prostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja jepodskup skupa S.

Teorem

Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.

Teorem

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Svebaze prostora V su jednakobrojne.

Baza i dimenzija

Propozicija

Teorem

Baza i dimenzija

Propozicija

Teorem

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor.Dimenzija prostora V definira se kao broj elemenata bilo kojenjegove baze. Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.

Propozicija

Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopunitido baze.

Baza i dimenzija

Definicija

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor.Dimenzija prostora V definira se kao broj elemenata bilo kojenjegove baze. Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.

Propozicija

Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopunitido baze.

Baza i dimenzija

Primjer

Nadopunimo skup

A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}

do baze prostora R4.

Napomena

Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.

Baza i dimenzija

Primjer

Nadopunimo skup

A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}

do baze prostora R4.

Napomena

Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.

Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · Pojam vektorskog prostora Napomena (a)operacije na...

Documents

Transcript of Linearna algebra I - Odjel Za Matematiku · Pojam vektorskog prostora Napomena (a)operacije na...