Formulário de FísicaFarlei Roberto Mazzarioliwww.farlei.net 2021

Legenda

s = espaço (m, metros)t = tempo (s, segundos)v = velocidade (m/s)a = aceleração (m/s2)g = gravidade (m/s2)h = altura (m)R = raio (m)L = comprimento (m)k = const. elástica (N/m)m = massa (kg)T = período (s)f = frequência (Hz, hertz)θ = ângulo (graus ou rads)ω = veloc. angular (rad/s)α = aceler. angular (rad/s2)

g = 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2

1 m/s = 3,6 Km/h2π rad = 360°

i = inicialf = final

Δ𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖Δ𝑠 = 𝑠𝑓 − 𝑠𝑖

Sentido positivo a favor do referencial, contra é negativo.

m/s15

1015202530

km/h3,61836547290

108

𝑣 =Δ𝑠

Δ𝑡

𝑎 =Δ𝑣

Δ𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ⋅ 𝑡 +1

2∙ 𝑎 ⋅ 𝑡2

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ⋅ 𝑡

𝑣2 = 𝑣02 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ Δ𝑠

Cinemática

𝑘𝑚/ℎ× 3,6 ÷ 3,6

𝑚/𝑠

progressivo retrógrado

acelerado

sv

sv

va retardadov

a

s (m)

t (s)

s0

v > 0

v < 0

v = 0

s = s0 + v.t

v (m/s)

t (s)

v0

a > 0

a < 0

a = 0

v = v0 + a.t

s (m)

t (s)

a > 0

a < 0

s = s0 + v0.t + ½.a.t2

v (m/s)

t (s)

Δs = área

v = v0 + a.t

a = g = + 10 m/s2

s0 = 0

v0 = 0

s

Queda livre

si sf

tfti

0 s (m)

x

θ

vy = 0

vx = const.

a = g = – 10 m/s2y

v0

hmáx

Lançamento oblíquo

𝑣𝑥 = 𝑣 ⋅ cos 𝜃

𝑣𝑦 = 𝑣 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑣2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2

Tempo de subida é igual ao tempo de descida.

Δ𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 𝜔 =Δ𝜃

Δ𝑡

𝛼 =Δ𝜔

Δ𝑡

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔 ⋅ 𝑡

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 ⋅ 𝑡 +1

2⋅ 𝛼 ⋅ 𝑡2

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼 ⋅ 𝑡

𝜔2 = 𝜔02 + 2 ⋅ 𝛼 ⋅ Δ𝜃

ω

R

0

θ (rad)

θi

θf

graus30456090

180360

rad⅟₆.π⅟₄.π⅟₃.π⅟₂.π

π2.π

Rotação

𝑓 =𝑛𝑜𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

Δ𝑡𝑓 =

1

𝑇

𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 𝜔 = 2𝜋 ⋅ 𝑓

ω

R

vtg

acp

aR

atg

θ 𝑎𝑐𝑝 = 𝜔2 ⋅ 𝑅

𝑎𝑅2 = 𝑎𝑐𝑝

2 + 𝑎𝑡𝑔2

𝑎𝑐𝑝 =𝑣2

𝑅

Componentes

y

x

θ

vx

vvy

𝑥 = 𝐴 ⋅ cos( 𝜔 ⋅ 𝑡 + 𝜃0)

𝑣𝑥 = −𝐴 ⋅ 𝜔 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ⋅ 𝑡 + 𝜃0)

𝑎𝑥 = −𝐴 ⋅ 𝜔2 ⋅ cos(𝜔 ⋅ 𝑡 + 𝜃0)

𝑎𝑥 = −𝜔2 ⋅ 𝑥

x

y

θ

ω

A– A

– A

AMovimento harmônico

Os componentes “x” e “y” da velocidade são independentes entre si.

Polias ligadas

por engrenagem ou correia:

pelo eixo de rotação:

𝑣1 = 𝑣2 → 𝑓1 ⋅ 𝑅1 = 𝑓2 ⋅ 𝑅2

𝜔1 = 𝜔2 → 𝑓1 = 𝑓2

θ

L𝑇 = 2𝜋

𝐿

𝑔

Pêndulo

m

k 𝑇 = 2𝜋𝑚

𝑘

+ At (s)

– A

x

T 2.T

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1. Mecânica I

Legenda

s = espaço (m, metros)t = tempo (s, segundos)v = velocidade (m/s)a = aceleração (m/s2)g = gravidade (m/s2)m = massa (kg, quilograma)Q = quant. mov. (kg.m/s)I = impulso (N.s)ε = coeficiente de restituiçãoF = força (N, newtons)P = força peso (N)N = força normal (N)Fcp= força centrípeta (N)μ = coeficiente de atritoh = altura (m)R = raio (m)d = distância (m)M = torque (N.m)x = deformação (m)k = const. elástica (N/m)

g = 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2

1 kgf = 9,8 N ≈ 10 N

Leis de Newton1ª lei: Todo corpo continua em repouso ou se movendo em linha reta até alguma força alterar este estado inicial.2ª lei: Um corpo de massa m terá aceleração a quando sua força resultante for F, segundo F = m.a.3ª lei: Toda ação gera um reação em outro corpo de igual intensidade, mesma direção e em sentido contrário.

A aceleração está sempre no sentido da

força resultante.

a

0 s (m)

FR

m

Dinâmica

𝐹𝑅 = Σ𝐹

𝐹𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑎

𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔

𝐹𝑎𝑡 = 𝜇 ⋅ 𝑁

𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝑣

𝐹 =Δ𝑄

Δ𝑡𝐼 = 𝐹 ⋅ Δ𝑡

𝐼 = Δ𝑄

Σ𝑄𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = Σ𝑄𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Colisões elásticas

휀 =𝑣𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠

𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠=

ℎ𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠

ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

R

vtg

Fcp

Fatrito

F

Estático Dinâmico

μd ≤ μe

Força centrípeta

𝐹𝑐𝑝 = 𝑚 ⋅𝑣2

𝑅

Força elástica

P

xFem

k

𝐹𝑒 = 𝑘 ∙ 𝑥

F (N)

t (s)

I = área (N.s)

Força de atrito

θ

Fatrito

x

y

P

N

θ

Plano inclinado

𝑁 = 𝑃 ⋅ cos 𝜃

𝑃𝑥 = 𝑃 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃

Iminência de movimento: 𝜇𝑒 = 𝑡𝑔𝜃

F1

F3

F2

α1

α3

α2

Forças em equilíbrio

𝐹1𝑠𝑒𝑛𝛼1

=𝐹2

𝑠𝑒𝑛𝛼2=

𝐹3𝑠𝑒𝑛𝛼3

F

F

FrealFfinal

𝐹𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =𝐹𝑟𝑒𝑎𝑙2𝑛−1

n = número de roldanas

Roldanas

x

y

Ԧ𝐹

𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐹 𝑦=𝐹∙𝑠𝑒𝑛𝜃

θ

Componentes 𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃

Equilíbrio linear: FR= 0Equilíbrio angular: MR= 0

Sentido horário positivo

Torque (ou momento angular)

d

FEixo de rotação

θ

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Deus vult

Esto vir

Coque mecânicoε = 1 perfeitamente elástico0 < ε < 1 parcialmente elásticoε = 0 inelástico

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2. Mecânica II

Legenda

s = espaço (m, metros)t = tempo (s, segundos)v = velocidade (m/s)a = aceleração (m/s2)g = gravidade (m/s2)G = const. gravit. (N.m2/kg2)m = massa (kg, quilograma)M = massa da Terra (kg)F = força (N, newtons)P = força peso (N)h = altura (m)R = raio (m)d = distância (m)τ = trabalho (J, joules)E = energia (J, joules)Pot = potência (W, watts)x = deformação (m)k = const. elástica (N/m)p = pressão (Pa, pascal)ρ = densidade (kg/m3)A = área (m2)V = volume (m3)

g = 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2

G = 6,67.10 -11 N.m2/kg2

M = 5,97.1024 kgc = 3.108 m/s1 HP = 746 W; 1 CV = 735 W1 kWh = 3,6.106 J1 atm = 1,03.105 N/m2

1 Bar = 1.105 N/m2

1 Pa = 1 N/m2

𝑝 =𝐹

𝐴

𝜌 =𝑚

V 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌 ∙ ℎ ∙ 𝑔

∆𝑝 = 𝜌 ∙ ℎ ∙ 𝑔

Pressão absoluta

Pressão efetiva

hρ

p0

p

𝐸 = 𝜌𝑙í𝑞 ∙ V𝑠𝑢𝑏 ∙ 𝑔

𝑃𝑎𝑝 = 𝑃 − 𝐸

PapP

E P

E

F1 F2

A1 A2 ∆𝑝1 = ∆𝑝2 →𝐹1𝐴1

=𝐹2𝐴2

∆V1 = ∆V2 → 𝐴1 ∙ ℎ1 = 𝐴2 ∙ ℎ2

∆τ1 = ∆τ2 → 𝐹1 ∙ ℎ1 = 𝐹2 ∙ ℎ2

Pressão

Energia mecânicaPotência

𝜏 = 𝐹 ⋅ Δ𝑠 ⋅ cos 𝜃

𝐸𝑝 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ

𝐸𝑐 =1

2𝑚 ⋅ 𝑣2

𝐸𝑒 =1

2𝑘 ⋅ 𝑥2

𝜏 = Δ𝐸𝑐

𝑃𝑜𝑡 =Δ𝐸

Δ𝑡

𝑃𝑜𝑡 = 𝐹. 𝑣

𝐸 = 𝑚 ⋅ 𝑐2

𝐸𝑀𝑖 = 𝐸𝑀𝑓 + 𝜏𝑑𝑖𝑠𝑠

𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 + 𝐸𝑒

Trabalho de uma força

θΔs

F

F (N)

Δs (m)

τ = área (N.m = J)

Cinética

Potencial gravitacional

Potencial elástica

Teorema da energia cinética

Equivalência massa-energia

mv

m h

g

P

xFem

kLei de Pascal: os fluidos transmitem integralmente a pressão que recebem.

d

F Fm1 m2

𝐹 = 𝐺 ∙𝑚1 ⋅ 𝑚2

𝑑2

Gravitação universal

Hélio = Sol (em grego)Afélio = afastado do SolPeriélio = perto do Sol

𝑔0 = 𝐺 ∙𝑀

𝑅2

𝐸𝐺 = −𝐺 ∙𝑀 ⋅ 𝑚

𝑅

𝑣 = 𝐺 ∙𝑀

𝑅 + ℎ

Energia Gravitacional

1ª lei de Kepler 2ª lei de Kepler

𝑇2

𝑅3= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑇𝐴2

𝑅𝐴3 =

𝑇𝐵2

𝑅𝐵3

3ª lei de Kepler

Leis de Kepler1ª lei: As órbitas dos planetas são elípticas e tendo o Sol sobre um dos focos da elipse.2ª lei: As áreas percorridas por um planeta em mesmo tempo possuem valores iguais.3ª lei: O período orbital ao quadrado dividido pelo raio orbital ao cubo é uma constante para todos os planetas de um sistema solar.

Á𝑟𝑒𝑎1Δ𝑡1

=Á𝑟𝑒𝑎2Δ𝑡2

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. =4𝜋2

𝐺 ⋅ 𝑚1 +𝑚2

Houston, we havea problem...

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3. Mecânica III

𝑔 = 𝑔0 ∙𝑅

𝑅 + ℎ

2

Satélite em órbita circular

Dilatação

Maior temperaturaMaior vibração

Menor temperaturaMenor vibração

Contração

Celsius KelvinFahrenheit

Fusão

Ebulição

32° F

212° F

0° C

100° C

273 K

373 K

tF tC tK

𝑡𝐹 − 32

9=𝑡𝐶5=𝑡𝐾 − 273

5

Termometria

𝑡𝑥 − 𝑡𝑥𝑓

𝑡𝑥𝑒 − 𝑡𝑥𝑓=

𝑡𝑦 − 𝑡𝑦𝑓

𝑡𝑦𝑒 − 𝑡𝑦𝑓

Legenda

t = temperatura ( °C, graus célsius) T = temperatura (K, kelvins)l = comprimento (m, metros)A = área (m2)V = volume (m3)α = coef. dilat. linear (°C-1) β = coef. dilat. superficial (°C-1) γ = coef. dilat. volumétrica(°C-1) k = condutividade térmica (cal/s.m.°C)φ = fluxo de calor (cal/s)Q = quantidade de calor (cal, calorias)m = massa (kg ou g)C = capacidade térmica (cal/°C)c = calor específico (cal/g.°C)L = calor latente (cal/g)

1 cal = 4,18 J

Dilatação

Δ𝑙 = 𝑙0 ⋅ 𝛼 ⋅ Δ𝑡

Δ𝐴 = 𝐴0 ⋅ 𝛽 ⋅ Δ𝑡

Δ𝑉 = 𝑉0 ⋅ 𝛾 ⋅ Δ𝑡

𝛼

1=𝛽

2=𝛾

3𝛾𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝛾𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 − 𝛾𝑓𝑟𝑎𝑠𝑐𝑜

As partes vazias dilatam como se fossem parte do material.

Δl = l – l0l0

l

ti

tf

α (°C-1)Sustância

AlumínioChumboCobreFerroOuroPrataPlatinaVidro

24. 10-6

29 . 10-6

17 . 10-6

12 . 10-6

14 . 10-6

19 . 10-6

9 . 10-6

9 . 10-6

c (cal/g.°C)

0,2200,0310,0930,1190,0310,0560,0320,118

Transmissão de calor

Condução: vibração passa átomo por átomo.Convecção: líquido ou gás aquece dilata e sobe.Irradiação: onda eletromagnética, passa no vácuo.

t (°C)

Q (cal)

Sólido

Líquido

Gasoso

Fusão/solidificação

Vaporização/condensação

Dados da águaÁgua ca = 1,0 cal/g.°CVapor cv = 0,5 cal/g.°CGelo cg = 0,5 cal/g.°CFusão Lf = 80 cal/gEbulição Le = 540 cal/g

𝐶 = 𝑚 ⋅ 𝑐

𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝐿

𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅ Δ𝑡

Capacidade térmicaCalor sensível

Calor latenteEquilíbrio Σ𝑄 = 0

Ganhou calor: Q > 0Perdeu calor: Q < 0

α >

α <

Esquentando Esfriando

Vibração zero↓

Zero absoluto (– 273°C)

Calorimetria

Placa bimetálica

IrradiaçãoConvecçãoCondução

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𝜙 =𝑘 ∙ 𝐴 ∙ ∆𝑡

𝑙

𝜙 =𝑄

∆𝑡

pre

ssão

temperatura

sólido

líquido

gasoso

12

56

34

Mudanças de fase1 – liquefação/fusão2 – solidificação3 – evaporação/ebulição

4 – condensação5 – sublimação 6 – sublimação

4. Termologia I

𝑝𝑓 ∙ 𝑉𝑓

𝑇𝑓=𝑝𝑖 ∙ 𝑉𝑖𝑇𝑖

𝑈 =5

2⋅ 𝑛 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑇

𝐻 = 𝑈 + 𝑝 ∙ V

𝑝 ∙ 𝑉 = 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇

𝑄 = 𝜏 + Δ𝑈

τ

ΔU

Q

Calor recebido (Q > 0)Calor cedido (Q < 0)

Trabalho realizado (τ > 0)Trabalho recebido (τ < 0)

Aumento da energia cinética do gás (ΔU > 0)Redução da energia cinética do gás (ΔU < 0)

Legenda

t = temperatura ( °C, graus célsius) T = temperatura (K, kelvins)A = área (m2)V = volume (m3)Q = quantidade de calor (cal, calorias)m = massa (kg ou g)M = massa molar (g/mol)QQ = Calor da fonte quente (cal ou J)QF = Calor da fonte fria (cal ou J)τ = trabalho (cal ou J)η = rendimentoε = eficiênciaU = energia interna (cal ou J)H = entalpia (cal ou J)n = número de molsp = pressão (N/m2 ou atm)

R = 0,082 atm.l/mol.K1 cal = 4,18 J1 atm = 1,03.105 N/m2

Conservação de energia

Ciclo fechado: ΔU = 0sentido horário τ > 0e anti-horário τ < 0

p (N/m2)

V (m3)

τ = área

p (N/m2)

V (m3)

τ = área

𝜏 = 𝑝 ⋅ Δ𝑉

Isobárico: pressão constante (τ = p.ΔV).Isotérmico: temperatura constante (ΔU = 0).Isométrico: volume constante (τ = 0).Adiabático: sem troca de calor (Q = 0).

p

V

τ = área

QF

QQ

isotérmica

isotérmica

adiabática

adiabática

Fonte quente

Fonte fria

Motor Refrigerad. ττ

Gases perfeitos

Termodinâmica

Máquinas térmicas Entropia

OH

HO

H H

OHHO

H

H

Lei de Joule: a energia interna de uma dada massa gasosa depende exclusivamente da temperatura.

0ª lei – Os corpos naturalmente entram em equilíbrio térmico.1ª lei – A energia não pode ser criada ou destruída, ela apenas se transforma.2ª lei – A energia térmica flui naturalmente do mais quente para o mais frio.3ª lei – A variação de entropia tende a zero quando a temperatura tende ao zero absoluto.

Σ𝑄 = 0

𝑄 = 𝜏 + Δ𝑈

∆𝑆 ≥ 0

lim𝑇→0

∆𝑆 = 0

Processos termodinâmicos

𝜏 = 𝑄𝑄 − 𝑄𝐹 Ciclo de Carnot

𝜂 =𝜏

𝑄𝑄= 1 −

𝑄𝐹𝑄𝑄

𝜂 = 1 −𝑇𝐹𝑇𝑄

휀 =𝑄𝐹𝜏

Máximo rendimento teórico.

𝑄𝑄𝑇𝑄

=𝑄𝐹𝑇𝐹

휀 =𝑇𝐹

𝑇𝑄 − 𝑇𝐹

Calor recebido (Q > 0)Calor cedido (Q < 0)

A B

QTA TB

TA > TB

∆𝑆𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜= 0

∆𝑆 =𝑄

𝑇

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Você não vai passar!

𝑛 =𝑚

𝑀

A Física é a mais difícil e lendária das matérias. Não seja como o Balrog, um bicho feio que só dorme nas profundezas da sala e depois fica pegando fogo de raiva querendo passar de ano. Então, o Gandalf já mandou o recado para ele. Acesse www.farlei.net e venha estudar!

5. Termologia II

𝑈 =3

2⋅ 𝑛 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑇 Monoatômico

Diatômico

Elementos da onda

Legenda

t = tempo (s, segundos)T = período (s)f = frequência (Hz, hertz)s = espaço (m, metros)d = distância (m)λ = comprimento de onda (m)A = amplitude (m)v = velocidade (m/s)m = massa (kg, quilograma)F = força (N, newtons)L = comprimento (m)ρ = densidade linear (kg/m)Pot = potência (W, watts)I = intensidade sonora (W/m2)β = nível sonoro (dB, decibel)n = número de harmônicos

Sentido positivo do observador para fonte.

𝑓𝑂𝑏𝑠𝑣𝑠𝑜𝑚 ± 𝑣𝑂𝑏𝑠

=𝑓𝐹𝑜𝑛𝑡𝑒

𝑣𝑠𝑜𝑚 ± 𝑣𝐹𝑜𝑛𝑡𝑒

Observador Fonte

Efeito Doppler

y

x

λ

A

A

λ

y

x

λλ

𝑣 = 𝜆 ⋅ 𝑓𝑣 =Δ𝑠

Δ𝑡=𝜆

𝑇

𝑓 =𝑛𝑜𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

Δ𝑡

𝑇 =1

𝑓

𝑦 = 𝐴 ∙ cos 𝜃0 + 2𝜋𝑡

𝑇−𝑥

𝜆

TransversalLongitudinal

Oscilação

PropagaçãoPropagação

Oscilação x

y

z

E

B

Onda eletromagnética

As ondas mecânicas oscilam a matéria e as eletromagnéticas oscilam os campos.

Olho humano700 a 400 nm400 a 750 THz

Ouvido humano20 a 20.000 Hz

𝑣 =𝐹

𝜌

𝜌 =𝑚

𝐿

y

x

L

Fm

v

Para gerar eco o “d” mínimo é de 17 m pois o “Δt” mínimo para o ouvido humano é de 0,1s.

𝑣 =Δ𝑠

Δ𝑡=2 ⋅ 𝑑

Δ𝑡

Tipo e natureza das ondas

Força geradora de onda Eco

Intensidade

Limiar da audição:

𝐼0 = 10−12𝑊/𝑚2

𝛽 = 10 ⋅ log𝐼

𝐼0

𝐼 =𝑃𝑜𝑡

á𝑟𝑒𝑎

Ondas Área

A velocidade de uma onda só depende do meio, assim a velocidade da fonte e/ou do observador só alteram a “f” e o “λ”. vsom = 340 m/s

Altura é igual a frequência:f < é grave e f > é agudo.

Intensidade é o “volume”: I < é fraco e I > é forte.O som é de 20 a 20.000 Hz:< infra-som e > ultra-som.

Acústica

eco

d

v = 340 m/s

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6. Ondulatória

Tubo fechado

Corda e tubo aberto

𝑓𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑓1

𝐿 = 𝑛í𝑚𝑝𝑎𝑟 ⋅𝜆

4𝑓𝑛 = 𝑛í𝑚𝑝𝑎𝑟 ⋅

𝑣

4 ⋅ 𝐿

𝐿 = 𝑛 ⋅𝜆

2𝑓𝑛 = 𝑛 ⋅

𝑣

2 ⋅ 𝐿

Enésimo harmônico:

Ondas estacionárias

Corda

Tubo fechado

L

Tubo aberto

Fenômenos

Reflexão: parte da onda fica no mesmo meio e muda de direção com ângulo de reflexão igual ao de incidência, no mesmo plano.Refração: parte da onda desvia a trajetória ao mudar de meio. A “f” se mantem, “λ” e “v” se alteram.Absorção: parte da energia da onda é absorvida pelo meio. Interferência: as amplitudes das ondas se somam ou se subtraem quando uma passa pela outra.Batimento: interferência com as ondas de “f” próximas, a “A” varia ficando o som forte e fraco. Difração: a onda se esparrama ao passar por um obstáculo ou fenda de tamanho proporcional ao “λ”.Ressonância: a onda faz vibrar um objeto cujo material tenha a frequência natural igual a sua.Polarização: a onda transversal é obrigada a vibrar só em um plano.

𝑛í𝑚𝑝𝑎𝑟 = 2 ∙ 𝑛𝑛ó𝑠 − 1

Legenda

v = velocidade (m/s)c = veloc. da luz (3.108m/s)λ = comprimento de onda (m)p = distância do objeto (m)P’ = distância da imagem (m)o = altura do objeto (m)i = altura da imagem (m)n = índice de refraçãoθ = ângulo (graus)α = ângulo (graus)d = deslocamento (m)e = espessura (m)N = número de imagens

Câmara escura

p p’

io

Espelho plano

α

Dois espelhos planos

𝑁 =3600

𝛼− 1

VermelhoAlaranjadoAmareloVerdeAzulAnilVioleta

Luz branca

𝑛1 ⋅ sen 𝜃1 = 𝑛2 ⋅ sen 𝜃2 𝑛 =𝑐

𝑣

𝑛2,1 =𝑛2𝑛1

=𝑣1𝑣2

=𝜆1𝜆2

=sen𝜃1sen 𝜃2

Reta normal

θ1

θ2

n2

n1

Raio incidente

Raio refratado

θ1

Raio refletido

Reflexão e refração

Ângulo Limite: 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐿 =𝑛𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑛𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟Deslocamento lateral

Profundidade aparente

𝑑 =𝑒 ⋅ sen( 𝜃1 − 𝜃2)

cos 𝜃2

e

d

θ1

θ2n2

n1

n1

θ1

𝛿 = 𝑖 + 𝑖′ − 𝐴

𝐴 = 𝑟 + 𝑟′

𝑛1 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑖′ = 𝑛2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑟′

𝑛1 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑖 = 𝑛2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑟

i i’r r’

δ

A

n1 n1n2

Prisma

O n e o p se referem ao objeto, o p’ à imagem e

o n’ ao observador.

𝑛

𝑝=𝑛′

𝑝′

Observador

Imagemp p’ n

n’

Objeto

nvácuo = 1nar ≈ 1nágua = ⁴⁄₃

nn > nc

nc

nc

nn

casca

casca

núcleo

𝑠𝑒𝑛𝐿 =𝑛𝑐𝑛𝑛

Fibra óptica

𝑖

𝑜=𝑝′

𝑝

A luz se propaga sempre em linha reta no vácuo.

Objeto Imagem

d d

Espelho

Real VirtualCampo visual

d d

Espelho

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o

ImagemObjeto

d

Espelho

d

Δsti tf

ii if

2·Δs

Leis da refração:1ª. Os raios incidente e refletido estão sempre no mesmo plano.2ª. Os ângulos dos raios incidente e refletido, em relação à normal, são n1.senθ1 = n2.senθ2.

Leis da reflexão:1ª. Os raios incidente e refletido estão sempre no mesmo plano.2ª. Os ângulos dos raios incidente e refletido, em relação à normal, são iguais.

O olho humano funciona como uma câmara escura.

7. Óptica I

Legenda

f = distância focal (m)p = distância do objeto (m)P’ = distância da imagem (m)o = altura do objeto (m)i = altura da imagem (m)A = aumento (adimensional)V = vergência (di, dioptrias)

Pontos do eixo principalF = focoV = vérticeC = centro de curvaturaO = centro ópticoA = ponto antiprincipalR = raio de curvatura

Raios notáveis• Ambas se correspondem, a direção paralela ao eixo principal e a que passa pelo F. • O raio que vai ao C volta sobre si mesmo. • O raio que vai ao V terá o ângulo de reflexão igual ao de incidência.

Na lente ou no espelho, onde os raios se cruzam (exceto no foco) a imagem é real, mas se as projeções se cruzam então a imagem é virtual. Porém, se em nenhum caso se cruzam, então a imagem é imprópria.

Formação gráfica de imagens

Espelho curvo

VFC

R

VF FAC

o

io

F Ai

VF FAC

o

i

oF A

i

VF FAC

o

i

o

F A i

VF FAC

oo

F A

VF FAC

o i

o F A

i

V CF AF FA

o

io

i A A

Lente convergente Lente divergente

A A

Objeto entre F e V imagem virtual, direita e maior.

Objeto antes de C ou A, imagem real, invertida e menor.

Objeto sobre C ou A, imagem real, invertida e de igual tamanho.

Objeto entre C ou A e F, imagem real, invertida e maior.

Objeto sobre o F, imagem imprópria.

Espelho convexo ou lente divergente, imagem virtual, direita e menor.

Tipo de espelho ou lentef > 0 → côncavo ou convergentef < 0 → convexo ou divergente

Imagemi > 0 → direita p’ > 0 → reali < 0 → invertida p’ < 0 → virtual

1

𝑓=1

𝑝+1

𝑝′𝐴 =

𝑖

𝑜= −

𝑝′

𝑝𝑓 =

𝑅

2

Formação analítica de imagens

𝑉 =1

𝑓

Equação dos fabricantes de lentes

𝑉 =𝑛𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑟

− 1 ⋅1

𝑅1+

1

𝑅2Miopia Hipermetropia

O globo ocular é amassado, na miopia a imagem se forma antes da retina, na hipermetropia depois. No astigmatismo o globo ocular é assimétrico.

Pro

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ob

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𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + …

Lentes justapostas

8. Óptica II

eixo principal

o

C F Vi A AF F

o

i

Espelho curvo Lente

fp p’ p p’f

Carga elétrica

Força e campo elétrico

++

––

+

–F

–

+

F

Cargas iguais se repelem e opostas se atraem.

+ –

+

–

Próton

Nêutron

Elétron

Legenda

Q = carga elétrica (C, coulombs)q = carga elétrica de prova (C)e = carga elementar = 1,6.10-19 Cn = número de elétronsU = tensão elétrica (V, volts)F = força (N, newtons)τ = trabalho (J, joules)E = campo elétrico (N/C ou V/m)C = capacitância (F, farads)d = distância (m, metros)L = comprimento (m)A = área (m2)k = constante eletrostática (N.m2/C2)ε = permissividade elétrica (F/m)

k0 = 9.109 N.m2/C2

ε0 = 8,85.10 -12 F/m

A B+4 C -6 C

A B

-2 C

-1 C -1 C

A B

A Batrito

A B+ –

neutro neutro VidroLãAlgodãoPlástico

Positivo

Negativo

A Bneutro

A B

polarizado

++++

++

––

A Baterrado

++

A B++

Contato Atrito Indução

A B––

– –

Q = ±𝑛. 𝑒

–+

Linhas de campo elétrico

As linhas de campo elétrico saem de cargas positivas e entram nas cargas negativas, enquanto as de campo magnético são fechadas em si mesmas e em torno do movimento de uma partícula portadora de carga elétrica.As linhas de campo nunca se cruzam.Quanto mais intenso é o número de linhas mais forte é o campo nesse local.O vetor do campo é sempre tangente à linha em qualquer ponto considerado.

–+

𝐹 = 𝑘 ∙𝑄1 ⋅ 𝑄2𝑑2

𝐹 = 𝐸 ⋅ 𝑞

d

F Fq1 q2

𝐸 = 𝑘 ∙𝑄

𝑑2𝑘 =

1

4. 𝜋. 휀

Campo Elétrico Uniforme (CEU)

d

E

+q

F

Equipotencial

𝜏 = 𝑞 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑑

𝑈 = 𝐸 ⋅ 𝑑

𝜏𝐴𝐵 = −𝑞 ∙ 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴

Trabalho de A para B:

Energia = 𝑉 ⋅ 𝑞

𝑉 = 𝑘 ∙𝑄

𝑑 Uma carga elétrica não gasta energia ao se mover sobre linhas ou superfícies equipotenciais.

𝑉 = 𝐸 ⋅ 𝑑

+

– qPotencial elétrico

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Senhor, tem um aluno feio reclamando que Física é difícil. Matem todos!

As suas aulas de Física foram para o lado negro da força?Você precisa de treinamento para essa batalha épica?

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E venha para o lado negro da força... Meu filho!

9. Eletricidade I

Legenda

i = corrente elétrica (A, ampères)Q = carga elétrica (C, coulombs)e = carga elementar = 1,6.10-19 Cn = número de elétronst = tempo (s, segundos)U = tensão elétrica (V, volts)R = resistência (Ω, ohms)ρ = resistividade (Ω.m)α = coef. temperatura (°C-1)θ = temperatura (°C)

P = potência (W, watts)L = comprimento (m)A = área (m2)

𝑒 = 1,6. 10−19𝐶

Corrente elétrica

Associação de resistoresi (A)

t (s)

Corrente contínua i (A)

t (s)

Corrente alternada

i

(( ))(( ))

(( ))(( ))

(( ))(( ))

(( ))

i (A)

t (s)

ΔQ = área

i =∆Q

∆t

Q = ±𝑛. 𝑒

Resistência elétrica

1ª Lei de Ohm

U (V)

i (A)

ôhmico

não-ôhmico

𝑈 = 𝑅 ∙ 𝑖

2ª Lei de Ohm

L

Aρ

𝑅 = 𝜌 ∙𝐿

𝐴

R

Ui 𝑅 = 𝑅0 ∙ 1 + 𝛼 ∙ 𝜃 − 𝜃0

𝜌 = 𝜌0 ∙ 1 + 𝛼 ∙ 𝜃 − 𝜃0

𝑃 = 𝑖 ∙ 𝑈 𝑃 = 𝑅. 𝑖2 𝑃 =𝑈2

𝑅

𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅31

𝑅𝑒𝑞=

1

𝑅1+

1

𝑅2+

1

𝑅3

𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖3

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3

𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑈1 = 𝑈2 = 𝑈3

Só dois em paralelo

“n” iguais em paralelo

𝑅𝑒𝑞 =𝑅1 ⋅ 𝑅2𝑅1 + 𝑅2

𝑅𝑒𝑞 =𝑅

𝑛

Série ParaleloR1 R2 R3

R1 R2 R3UU

Medidores elétricos

Ponte de WheatstoneAmperímetro Voltímetro

RS

V

A

G

RmG

R

U

R1

R2 R3

R4

G

i1

i2

i = 0

RS << rG Rm >> R 𝑅1 ⋅ 𝑅3 = 𝑅2 ⋅ 𝑅4

is

iGi

rG

rG

Galvanômetro

Galvanômetro

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𝑖 = 𝑖𝐺 + 𝑖𝑠

𝑈𝐺 = 𝑈𝑠

𝑖𝐺 = 𝑖𝑚

𝑈 = 𝑈𝐺 + 𝑈𝑚

Potência elétrica

Resistência não-ôhmicavariando com a temperatura

1 𝑘𝑊ℎ = 3,6. 106 𝐽

Efeito Joule: quando a corrente elétrica atravessa um condutor parte da energia elétrica se transforma em energia térmica e o aquece.

𝑃 =𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

Oremos pelas almas penadas que já estão na universidade,

porém tirando o atraso do ensino mérdio que fizeram.

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10. Eletricidade II

Legenda

i = corrente elétrica (A, ampères)icc = corrente de curto-circuito (A)Q = carga elétrica (C, coulombs)U = tensão elétrica (V, volts)R = resistência (Ω, ohms)η = rendimentoE = força eletromotriz (V)E’ = força contra eletromotriz (V)r = resistência interna (Ω)A = área (m2)C = capacitância (F, farads)d = distância (m, metros)ε = permissividade elétrica (F/m)

k0 = 9.109 N.m2/C2

ε0 = 8,85.10 -12 F/m

SérieC1 C2 C3

Paralelo

C1 C2 C3

d

A

𝐶 =𝑄

𝑈𝐶 =

휀 ⋅ 𝐴

𝑑𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 =

1

2𝐶 ⋅ 𝑈2

1

𝐶𝑒𝑞=

1

𝐶1+

1

𝐶2+

1

𝐶3

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄3

𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3

𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3

Geradores e receptores em série.

ReceptorGerador

i

rE

i

r

E'

i (A)

Receptor

Resistor

Gerador

E

E’

U (V)

icc

𝑖 =Σ𝐸 − Σ𝐸′

Σ𝑅

𝜂 =𝐸′

𝑈𝜂 =

𝑈

𝐸

𝑈 = 𝐸 − 𝑟 ⋅ 𝑖 𝑈 = 𝐸′ + 𝑟 ⋅ 𝑖

Pútil (W)

i (A)

𝐸2

4 ∙ 𝑟

icc½·icc

Potência Útil Máxima (PUM)

𝑖𝑐𝑐 =𝐸

𝑟

Geradores e receptores

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Capacitores

Você Vestibular

Física

Suas aulas comigo

Nó 1

E1

α

β

γ

Nó 2

Nó 3

Nó 4

E2

R1

R2

R3

R4

i5

i2

i3i4

i1

i6

i (A)

1

η

icc½·icc

0,5

Potência Útil Máxima (PUM)

Σ i = 0

Ref.Nó

+ i

Nó

– i

+ E

– E

i

Ref.

Referencial

i

Referencial

U = R ∙ i

– U

ΣU = 0

+ U

1ª Lei: Σ i = 0 em cada nó.2ª lei: ΣU = 0 em cada malha.

Leis de Kirchhoff

Por que não buscar aulas de Física de graça na internet? Porque, talvez você deseje essa transformação de forma mais eficiente, mais rápida, menos dolorosa, cometendo menos erros e já percebeu que pagando sai mais barato.

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11. Eletricidade III

Campo magnético

N S

B

As linhas de campo elétrico saem de cargas positivas e entram nas cargas negativas, enquanto as de campo magnético são fechadas em si mesmas e em torno do movimento de uma partícula portadora de carga elétrica.As linhas de campo nunca se cruzam.Quanto mais intenso é o número de linhas mais forte é o campo nesse local.O vetor do campo é sempre tangente à linha em qualquer ponto considerado.

O movimento dos elétrons das moléculas da magnetita (Fe3O4) alinhadas formam o campo magnético do imã.

Legenda

i = corrente elétrica (A, ampères)U = tensão elétrica (V, volts)q = carga elétrica (C, coulombs)v = velocidade (m/s)c = veloc. da luz (3.108m/s)t = tempo (s, segundos)F = força (N, newtons)E = campo elétrico (N/C ou V/m)B = campo magnético (T, teslas)fem = força eletromotriz (V)d = distância (m, metros)L = comprimento (m)A = área (m2)φ = fluxo magnético (Wb, weber)N = número de espirasμ = permissividade magnética (T.m/A)ε = permissividade elétrica (F/m)

k0 = 9.109 N.m2/C2

ε0 = 8,85.10 -12 F/mμ0 = 4π.10 -7 T.m/A

휀0 ∙ 𝜇0 =1

𝑐2

𝐵𝑓𝑖𝑜 =𝜇 ⋅ 𝑖

2𝜋 ⋅ 𝑑𝐵𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 =

𝜇 ⋅ 𝑖

2 ⋅ 𝑟𝑎𝑖𝑜𝐵𝑆𝑜𝑙𝑒𝑛ó𝑖𝑑𝑒 =

𝜇 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑁

𝐿

i

B

d

Fio

N S

Espira

B

i

L

N S

Solenóide

i

Força magnética

saindo do papelentrando no papel

Regra da mão direitaB

i

i

B

B

iB

i

fio

Indução eletromagnética

Regra da mão esquerda Se a carga for negativa o sentido da força se altera.

𝐹 = 𝑞 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐵 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃

F

Bi ou q

θ 𝐹 = 𝑖 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝐵 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃

B

θ

q

F

𝐹 =𝜇 ⋅ 𝑖1 ⋅ 𝑖2 ⋅ 𝐿

2𝜋 ⋅ 𝑑

𝐹 = 𝑞 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐵 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹 = 𝑖 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝐵 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃

B

θv+ q

+

vθ

– qF

F

B

θ

θi

F

F

i

L

fio

fio

L

i1

i2 d

L

i1

i2

F

F

F

F Fios paralelos

Lei de Lenz: o B induzido na bobina se opõe ao movimento do imã que o gerou, transformando energia cinética do imã em energia elétrica na bobina.

𝜙 = 𝐵 ⋅ 𝐴 ⋅ cos 𝜃 𝑓𝑒𝑚 = −Δ𝜙

Δ𝑡

B

θ

Área

NormalN S

Movimento

S N

iB 𝑈1

𝑈2=𝑁1𝑁2

=𝑖2𝑖1

Transformador

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12. Magnetismo

Legenda

s = espaço (m, metros)t = tempo (s, segundos)c = veloc. da luz (3.108m/s)E = energia (J, joules)h = const. Planck (6,63.10-34J.s)f = frequência (Hz, hertz)T = temperatura (K, kelvin)λ = comprimento onda (m)v = velocidade (m/s)m = massa (kg)Q = quantid. mov. (kg.m/s)

Princípios da relatividade restrita1. As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe nenhum sistema inercial preferencial.2. A velocidade da luz no vácuo tem sempre o mesmo valor e sua medida independe do movimento do observador ou do movimento da fonte.

Princípios da relatividade geral1. Nenhum observador tem a capacidade de identificar se está em um referencial acelerado ou não.2. Princípio da Equivalência: Para todos os aspectos os efeitos de se estar acelerado ou sob a ação de um campo gravitacional são equivalentes.

Relatividade

Referencial S’ Referencial S v

d d

z x

y

z’ x’

y’s s’ vΔ𝑡 =

Δ𝑡′

1 − ൗ𝑣2𝑐2

𝐿′ = 𝐿 ⋅ 1 −𝑣2

𝑐2

𝑚 =𝑚0

1 −𝑣2

𝑐2

w

x

x’

w’Q1 Q2

R1 R2

𝑠2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑐2𝑡2

𝑤 = 𝑖 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑡 𝑖 = −1

𝐸 = 𝑚 ⋅ 𝑐2

Os eventos R1 e R2 são simultâneos para S, mas não o são para S’, e o contrário para Q1 e Q2.

Massa é uma propriedade da matéria que pode ser convertida em energia.

O tempo dilata e o espaço contrai conforme a velocidade aumenta.

Espaço-tempo de Minkowski

4 dimensões

𝑠2 = 𝑥2 + 𝑦22 dimensões

𝑠2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧23 dimensões

Física Quântica

fóton emitido fóton absorvido

𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑓

𝐸 = ℎ ∙ 𝑓 Temperatura da fonte

𝑓𝑝𝑖𝑐𝑜

𝑇= 1,03. 1011 𝐻𝑧/𝐾

𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝑣

𝜆 =ℎ

𝑄=

ℎ

𝑚 ⋅ 𝑣

r

λ Dualidade onda-partícula

Efeito fotoelétrico

fótons incidentes elétrons impulsionados

Fótons acima da frequência mínima (Emín = h.fmín) dão energia cinética aos elétrons (Ec = h.f – Emín), e a faixa de frequência depende de cada material.

Princípio da incerteza

Δ𝑥 ⋅ Δ𝑄𝑥 ≥ℎ

4𝜋Δ𝑧 ⋅ Δ𝑄𝑧 ≥

ℎ

4𝜋

Devido à dualidade onda-partícula há um valor mínimo de incerteza Δ, de forma que se um diminui o outro aumenta.

Δ𝑦 ⋅ Δ𝑄𝑦 ≥ℎ

4𝜋

Δ𝐸 ⋅ Δ𝑡 ≥ℎ

4𝜋

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13. Moderna I

Física Nuclear

Antimatéria

Partículas elementares

v v

–elétron

pósitron (antielétron)+

–

elétron antielétron

+

fóton

Criação de partículas Aniquilação de partículas

A carga elétrica sempre se conserva.

Bárions Mésons

massa cargaspincomponnome

940 MeV/c²0½ddunêutron

n

938 MeV/c²+1½duuprótron

1672 MeV/c²-1³⁄₂sssÔmega meno

p

Ωˉ

940 MeV/c²0½dduantinêutron

938 MeV/c²-1½duuantiprótron

1672 MeV/c²+1³⁄₂sssÔmega mais

Ω+

---

p̄

n̄

---

---

140 MeV/c²+10udpíon mais

494 MeV/c²+10usk mais

770 MeV/c²+11udrho mais

140 MeV/c²-10dupíon menos

494 MeV/c²-10suk menos

770 MeV/c²-11durho menos

-

-

-

π +

K+

ρ +

-

-

-

π

K

ρ

ˉ

ˉ

ˉ

s

Férmions

massa cargaspinnome

2,2 MeV/c²⅔½up

u

4,7 MeV/c²-⅓½down

d

< 1,0 eV/c²0½neutrino do

ν

0,51 MeV/c²-1½elétron

e

e

1,28 GeV/c²⅔½charm

c

96 MeV/c²-⅓½strange

s

< 0,170½neutrino do

ν

106 MeV/c²-1½muon

μ

μ

173,1 ⅔½top

t

4,18 GeV/c²-⅓½bottom

b

< 18,20½neutrino do

ν

1,78 GeV/c²-1½tau

τ

τ

001gluon

g

001photon

γ

91,2 GeV/c²01weak force

z

80,4 GeV/c²±11weak force

w

0

±

Bósons

Qu

arks

Lep

ton

s

125 GeV/c²00higgs

H

Bó

son

s ve

tori

ais

Bó

son

s es

cala

res

MeV/c² MeV/c²

e μ τ

GeV/c²

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Força nuclear fraca (decaimento beta)

+ –

nêutron próton elétron antineutrino

+ +

Decaimento beta menos

+

nêutronpróton pósitron neutrino

+ +

Decaimento beta mais

Força nuclear forte (vence repulsão dos prótons)

Armas nucleares

Fissão nuclear: quebra de Urânio ou Plutônio.Minério de Urânio 238 (99,3%) e 235 (0,7%)Enriquecimento acima de 90% do Urânio 235. Urânio 238 → Netúnio 239 → Plutônio 239.

Fusão nuclear: junção de isótopos de Hidrogênio

+

Deutério

+

Trítio

++

+

partícula α

+

nêutron

+

fóton

++

Energia medida em equivalente à liberada por toneladas de dinamite, sendo em quiloton (mil toneladas) ou megaton (milhões de toneladas).

A presença dos nêutrons aumenta a distância entre os prótons, necessária para gerar o equilíbrio.

A antimatéria é o inverso da matéria, tal como a imagem em um espelho, tendo as mesmas características, mas com a carga elétrica invertida.

+

–

Hidrogênio

–

+

Anti-hidrogênio

+

14. Moderna II

15. Análise dimensional000,000

+n –m

10+n 10-m

1 mA = 1.10 -3 A = 0,001 A 1μC = 1.10 -6 C = 0,000.001 C 1 cm2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2

1 km2 = (103 m)2 = 106 m2

1 mm3 = (10-3 m)3 = 10-9 m3

y = 10-24

z = 10-21

a = 10-18

f = 10-15

p = 10-12

n = 10-9

= 10-6

m = 10-3

c = 10-2

d = 10-1

da = 101

h = 102

k = 103

M = 106

G = 109

T = 1012

P = 1015

E =1018

Z =1021

Y =1024

ioctozeptoattofentopiconanomicromilicentidecidecahectoquilomegagigaterapetaexazetaiota

(10𝐴)𝐵 = 10𝐴⋅𝐵

10𝐴 ⋅ 10𝐵 = 10𝐴+𝐵

10𝐴

10𝐵= 10𝐴−𝐵

1

10𝐴= 10−𝐴

100 = 1

Prefixos numéricos Potência de dez Alfabeto grego

Pro

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Sistemas numérico romano

1 I; 2 II; 3 III; 4 IV; 5 V; 6 VI; 7 VII; 8 VIII; 9 IX; 10 X; 20 XX; 30 XXX; 40 XL; 50 L; 60 LX; 70 LXX; 80 LXXX; 90 XC; 100 C; 200 CC; 300 CCC; 400 CD; 500 D; 600 DC; 700 DCC; 800 DCCC; 900 CM; 1000 M.

Α αB βΓ γΔ δE εZ ζH ηΘ θI ιK κΛ λM μN νΞ ξO oΠ πP ρΣ σT τY υΦ φΧ χΨ ψΩ ω

alfabetagamadeltaépsilondzetaetatetaiotacapalambda minicsiómicronpirôsigma tauípsilonfiquipsiômega

abgdédzêthikl mnksó prs tü/îfkhpsô

Letra Nome Som Nº

123457891020304050607080100200300400500600700800

Ϛϛ stigma 6Ϟϟ qoppa 90Ϡϡ sampi 900

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Teorema de Bridgmann: Toda grandeza física pode ser expressa a menos de um fator puramente numérico, sob forma de produto das potências das grandezas da base do sistema ao qual pertencem.

𝐺 = 𝑘 ∙ 𝑋𝑎 ∙ 𝑌𝑏 ∙ 𝑍𝑐

Sendo G uma grandeza baseada nas grandezas de base X, Y e Z. São números reais k, a, b e c.

Homogeneidade dimensional: Uma lei física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea.

𝑌 = 𝑋 → 𝑌 = 𝑋

𝑌 = 𝑋 + 𝑍 +𝑊 → 𝑌 = 𝑋 + 𝑍 + 𝑊

Grandezas Unidades

Unidademetro (m)quilograma (kg)segundo (s)ampère (A)kelvin (K)mol (mol)candela (cd)radiano (rad)esterradiano (sr)

GrandezaComprimentoMassaTempoCorrente elétricaTemperatura termodinâmicaQuantidade de matériaIntensidade luminosaÂngulo planoÂngulo sólido

BaseLMTTAθI

Grandeza Base

velocidadeaceleraçãoforçapressãoenergiapotênciaáreavolumedensidadefrequênciacarga elétrica tensão elétr.resist. elétr.campo elétr.campo mag.

L.T-1

L.T-2

M.L.T-2

M.L-1.T-2

M.L2.T-2

M.L2.T-3

L2

L3

M.L-3

T-1

A1.TM.L2.T-3.A-1

M.L2.T-3.A-2

M.L.T-3.A-1

L-1.A-1

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Funções

Análise combinatória

Se a = 1𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 = 0

Δ = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐

𝑥 =−𝑏 ± Δ

2 ⋅ 𝑎

Bhaskara

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐

2 ⋅ 𝑎

𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 = 0Vértice

y

xx2x1

c

y

x

yv

xv

𝑥1 + 𝑥2 = 𝑏

𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑐

𝑥𝑣 =−𝑏

2 ⋅ 𝑎

𝑦𝑣 =−Δ

4 ⋅ 𝑎

𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑛)

a → altera ponto de iníciob → altera amplitude e imagemm → altera abscissan → altera período

Circunferência de centro em (a,b)

Distância entre dois pontos

Distância de um ponto a uma reta

Ângulo formado entre duas retas

Equação da reta

Área de um triângulo

Geometria analítica

y

xxBxA

AyAyB B

𝑑𝐴𝐵2 = (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)

2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2

𝑑𝑝𝑟 =𝑎 ⋅ 𝑥0 + 𝑏 ⋅ 𝑦0 + 𝑐

𝑎2 + 𝑏2

𝑡𝑔𝜃 =𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠

1 +𝑚𝑟 ⋅ 𝑚𝑠

𝑦 = 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑛

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ⋅ (𝑥 − 𝑥0)

𝑚 = tg𝑥

𝑥

𝑝+𝑦

𝑞= 1 𝑠𝑒 𝑝 ∙ 𝑞 ≠ 0

𝑟//𝑠 → 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠

𝑟 ⊥ 𝑠 ⇒ 𝑚𝑟 = (−1) ⋅ 𝑚𝑠

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝐴 ⋅ 𝑥2 + 𝐵 ⋅ 𝑦2 + 𝐶 ⋅ 𝑥 + 𝐷 ⋅ 𝑦 + 𝐸 = 0

𝑎 =𝐶

−2𝑏 =

𝐷

−2

𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐸

Á𝑟𝑒𝑎 =1

2⋅

𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1𝑥3 𝑦3 1

Logaritmos

Arranjo Combinação

Permutação

𝑝 ≤ 𝑛 𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅. . .⋅ 1

𝐴𝑛𝑝=

𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!𝐶𝑛𝑝=

𝑛!

(𝑛 − 𝑝)! 𝑝!

𝑃𝑛 = 𝑛! (𝑥 + 𝑎)𝑛 =

𝑝=0

𝑛

𝐶𝑛𝑝⋅ 𝑎𝑝 ⋅ 𝑥𝑛−𝑝

log𝑎 𝑏 = 𝑥 ↔ 𝑏 = 𝑎𝑥

log𝑎 𝐴 = log𝑎 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵

log𝑎 𝑎 = 1 log𝑎 𝑎𝑚 = 𝑚

log𝑎 1 = 0 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏

log10 𝑥 = log 𝑥

log𝑎 𝑏𝑚 = 𝑚 ⋅ log𝑎 𝑏

log𝑎 𝐴 ⋅ 𝐵 = log𝑎 𝐴 + log𝑎 𝐵

log𝑎𝐴

𝐵= log𝑎 𝐴 − log𝑎 𝐵

𝑐𝑜 log𝑎 𝑏 = − log𝑎 𝑏 = log𝑎1

𝑏

log𝑎 𝑏 =log𝑐 𝑏

log𝑐 𝑎=log10 𝑏

log10 𝑎

𝑒 = 2,718281828

𝜋 = 3,141592654

Matemática financeira

Simples JurosCompostos

C = capital inicial ($)M = montante ($)

𝑀 = 𝐶 + 𝐽 𝐽 = 𝐶 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑡𝑀 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝑖)𝑡

J = juros ($)i = taxa ( 1 = 100%)

Progressões

Aritmética Geométrica

Soma dos termos Soma dos termos

Limite da soma decrescente

Produto dos primeiros termos da P.G.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟

𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1

𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞𝑛−1

𝑞 =𝑎𝑛𝑎𝑛−1

𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛) ⋅ 𝑟

2𝑆𝑛 =

𝑎1 ⋅ (𝑞𝑛 − 1)

𝑞 − 1

𝑃𝑛 = ± 𝑎1 ⋅ 𝑎𝑛𝑛 𝑆∞ =

𝑎11 − 𝑞

Números complexos

𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖

lj𝑧 = 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖

𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑖 = −1

tg𝜃 =𝑏

𝑎

𝑧1𝑧2

=𝑧1 ⋅ lj𝑧2𝑧2 ⋅ lj𝑧2

𝜌 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑧 = 𝜌 ⋅ (cos 𝜃 + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 ⋅ (cos 𝑛 ∙ 𝜃 + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑛 ⋅ 𝜃)

𝑧𝑛 = (𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖)𝑛 𝑧 = 𝜌 ⋅ 𝑒𝜃⋅𝑖

reaisa

bρ

θ

imaginários

𝑒𝜋⋅𝑖 = −1

Pro

f. Farlei R

ob

erto M

azzarioli –

ww

w.farle

i.net

A matemática é a linguagem na qual Deus

escreveu o universo.Galileu Galilei

O que sabemos é uma gota, o que ignoramos

é um oceano.Isaac Newton

16. Matemática I

Polígonos convexos

𝐷 =𝑁 ⋅ (𝑁 − 3)

2

𝑆𝑖𝑛𝑡 = 180° ⋅ (𝑁 − 2)

𝑆𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 = 360°

Poliedros convexos

F = número de facesV = número de vérticesA = número de arestasD = número de diagonaisN = número de ladosS = soma dos ângulos

Mediana → baricentrobissetriz → incentromediatriz → circuncentroalturas → ortocentro

A = área; V = volume; l = lado h = altura; d = diâmetroa = raio de incentro (apótema)r = raio do circuncentrop = perímetro

𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2

𝑁 = 2 ⋅ 𝐴

𝑆𝑖𝑛𝑡 = 3600 ⋅ (𝑉 − 2)

Quadrado

𝑝 = 4 ⋅ 𝑙

𝑎 =𝑙

2

𝐴 = 𝑙2

ℎ = 𝑙

𝑟 =𝑙 ∙ 2

2

𝑑 = 𝑙 ⋅ 2

Círculo

𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝑟2

ℎ = 2 ∙ 𝑟 𝑝 = 2𝜋 ⋅ 𝑟

𝑑 = 2 ∙ 𝑟

Hexágono

𝑟 = 𝑙𝑝 = 6 ⋅ 𝑙

𝐴 = 63 ⋅ 𝑙2

4𝑎 =

𝑙 ⋅ 3

2

ℎ = 𝑙 ⋅ 3

Triângulo equilátero

𝐴 =𝑙2 ⋅ 3

4𝑎 =

𝑙 ⋅ 3

6ℎ =

𝑙 ⋅ 3

2

𝑝 = 3 ⋅ 𝑙

Triângulo retângulo

b.c = a.hb2 = m.ac2 = n.ah2 = m.n

𝐴 =𝑎 ⋅ 𝑏

2sen𝐶

𝑎

𝑠𝑒𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛𝐶= 2 ⋅ 𝑅

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 ⋅ cos 𝐴

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

a

b

c

a

bch

n m

𝑙

𝑙

𝑑

𝑙

𝑙

𝑙

Cilindro

EsferaOctaedro

Cone

Cubo

TetraedroPirâmide

𝐴 = 𝑙2

𝑉 = 𝑙3

𝑉 =1

3𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ

𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ2 + 𝑟2 + 𝑟

𝐴 = 3 ⋅ 𝑎2

𝑉 =2 ⋅ 𝑎3

12

𝐴 = 2 3 ⋅ 𝑎2

𝑉 =2 ⋅ 𝑎2

3

𝐴 = 4𝜋 ⋅ 𝑟2

𝑉 =4𝜋 ⋅ 𝑟3

3

𝐴 = 2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ + 2𝜋 ⋅ 𝑟2

𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ

𝑉 =𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ ℎ

3

Trigonometria

y

x0 +1–1

–1

+1

θ 0°180°

90°

270°

cos θsen θθ

30°

45°

60°

1

2

3

2

2

2

2

2

3

2

1

2

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎cos 𝜃 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑡𝑔𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

cosec 𝜃 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜sec 𝜃 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

cotg 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + cos2 𝜃 = 1

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝜃 + 1

sec2 𝜃 = 𝑡𝑔2𝜃 + 1

𝑡𝑔𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃

cos 𝜃𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 =

cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃

sec 𝜃 =1

cos 𝜃𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 =

1

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑠𝑒𝑛(−𝜃) = −𝑠𝑒𝑛𝜃

cos( − 𝜃) = + cos 𝜃

𝑡𝑔(−𝜃) = −𝑡𝑔𝜃

cos 𝜃 = − cos( 1800 − 𝜃)

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(1800 − 𝜃)

sen( 𝑎 ± 𝑏) = sen( 𝑎) ⋅ cos( 𝑏) ± sen( 𝑏) ⋅ cos( 𝑎)

cos( 𝑎 ± 𝑏) = cos( 𝑎) ⋅ cos( 𝑏) ∓ sen( 𝑎) ⋅ sen( 𝑏)𝑡𝑔(𝑎 ± 𝑏) =

𝑡𝑔(𝑎) ± 𝑡𝑔(𝑏)

1 ∓ 𝑡𝑔(𝑎) ⋅ 𝑡𝑔(𝑏)

sen( 2 ⋅ 𝑎) = 2 ⋅ sen( 𝑎) ⋅ cos( 𝑎)

cos( 2 ⋅ 𝑎) = cos2 𝑎 − sen2 𝑎 𝑡𝑔(2 ⋅ 𝑎) =2 ⋅ 𝑡𝑔(𝑎)

1 − 𝑡𝑔2𝑎

𝑡𝑔𝑎

2= ±

1 − cos( 𝑎)

1 + cos( 𝑎)

𝑠𝑒𝑛𝑎

2= ±

1 − cos( 𝑎)

2

cos𝑎

2= ±

1 + cos( 𝑎)

2

sen( 𝑝) ± sen( 𝑞) = 2 ⋅ sen𝑝 ± 𝑞

2⋅ cos

𝑝 ∓ 𝑞

2

cos( 𝑝) + cos( 𝑞) = 2 ⋅ cos𝑝 + 𝑞

2⋅ cos

𝑝 − 𝑞

2

cos( 𝑝) − cos( 𝑞) = 2 ⋅ sen𝑝 + 𝑞

2⋅ sen

𝑝 − 𝑞

2

Pro

f. Farlei R

ob

erto M

azzarioli –

ww

w.farle

i.net

17. Matemática II