METODE MONTE CARLO DAN...

METODE MONTE CARLO DAN

PENERAPANNYA

Monte Carlo Method and Its Applications

Noor Cholis Basjaruddin

Politeknik Negeri Bandung

2016

POLBAN

Metode Monte Carlo dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin

2

Daftar Isi

1 Abstrak................................................................................................................................ 3

2 Abstract ............................................................................................................................... 3

3 Pendahuluan........................................................................................................................ 3

4 Metoda Monte Carlo ........................................................................................................... 4

5 Contoh Penerapan ............................................................................................................... 5

5.1 Menghitung Luas Bangun ........................................................................................... 5

5.2 Membuktikan nilai π ................................................................................................. 10

5.3 Menghitung nilai probabilitas ................................................................................... 13

5.4 Penalaan PID dengan Metoda Monte Carlo .............................................................. 17

5.5 Robustness Analysis dengan Metoda Monte Carlo................................................... 17

5.6 Penggunaan Monte Carlo pada Scheduling .............................................................. 17

6 Kesimpulan ....................................................................................................................... 17

7 Daftar Pustaka................................................................................................................... 18

POLBAN


3

1 Abstrak

Metode Monte Carlo menggunakan prinsip pembangkitan bilangan acak untuk menguji sebuah

fungsi. Hasil pengujian yang berhasil akan dihitung dan dibandingkan dengan jumlah

pengujian. Oleh karena itu semakin banyak pengujian maka akan diperoleh hasil yang lebih

teliti. Persoalan yang mendasar dalam penggunakaan metode Monte Carlo adalah bagaimana

merumuskan masalah menjadi fungsi yang dapat diuji dengan bilangan acak. Penentuan inside

dan outside menjadi kunci dalam penerapan metode Monte Carlo.

2 Abstract

Monte Carlo method using the principle of the generation of random numbers to test a function.

The test results are successful will be calculated and compared with the amount of testing.

Therefore, more and more testing will be obtained more accurate results. The fundamental

issue in a use of the Monte Carlo method is how to formulate the problem into a function that

can be tested with random numbers. Determination of the inside and outside to be key in the

implementation of the Monte Carlo method.

3 Pendahuluan

Pemakaian metode Monte Carlo demikian luasnya. Pada makalah ini dibahas beberapa contoh

penerapan metode Monte Carlo. Makalah ini diharapkan dapat menambah pengetahuan kepada

pembaca khusunya dalam memahami metode Monte Carlo dan penerapannya.

Program komputer yang digunakan dalam penerapan metode Monte Carlo untuk memecahkan

beberapa masalah dibuat dengan bahasa PHP dan Matlab. Para pembaca dapat menjalankan

program tersebut jika ingin mengetahui secara lebih mendalam bagaimana metode Monte Carlo

diterapkan.

Kritik dan saran atas makalah ini sangat diharapkan dan dapat disampaikan ke penulis melalui

email [email protected].

POLBAN


4

4 Metode Monte Carlo

Salah satu metode komputasi yang banyak digunakan untuk memecahkan berbagai persoalan

adalah metode Monte Carlo. Metode ini digunakan untuk mensimulasikan berbagai perilaku

sistem fisika dan matematika.

Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk

menemukan solusi problem matematis yang dapat terdiri dari banyak variabel serta susah

dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral atau metode numerik lainnya. Algoritma ini

memerlukan pengulangan dan perhitungan yang kompleks sehingga metode Monte Carlo pada

umumnya dilakukan menggunakan komputer dan memakai berbagai teknik simulasi komputer.

Penggunaan nama Monte Carlo bertujuan untuk menghormati paman dari Stanislaw Marcin

Ulam yang seorang penjudi. Bersama-sama Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas

Metropolis, Stanislaw Marcin Ulam mengembangkan metode Monte Carlo. Penggunaan

keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah

kasino.

Enrico Fermi pada tahun 1930 menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron

yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang

digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan peralatan komputasi

yang sangat sederhana. Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam sejak digunakannya

komputer elektronik pada tahun 1945. Metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los

Alamos pada tahun 1950-an untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen dan kemudian

sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation dan Angkatan Udara

AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran

informasi mengenai Monte Carlo waktu itu dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam

berbagai bidang.

Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak dan hal tersebut

semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan pseudoacak. Pembangkit

bilangan pseudoacak jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya

yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.

POLBAN


5

5 Contoh Penerapan

5.1 Menghitung Luas Bangun

Perhitungan luas dengan metode Monte Carlo pada dasarnya dengan cara membandingkan luas

dari dua bidang. Satu bidang menjadi acuan dan bidang lain (diarsir) yang akan dihitung

luasnya. Perbandingan luas kedua bidang bisa didekati dengan menggunakan sejumlah N titik

uji, dimana titik uji dipilih secara acak. Perbandingan banyak titik uji yang ada di dalam bidang

diarsir terhadap banyak titik uji keseluruhan (N) mendekati perbanding luas bidang diarsir

terhadap luas acuan. Diagram alir penentuan luas menggunakan metode Monte Carlo dapat

dilihat pada Gambar 5.1.

Gambar 5.1 Diagram alir perhitungan luas bidang dengan MC

POLBAN


6

Menggunakan diagram alir tersebut akan dihitung luas bidang segitiga seperti diperlihatkan

pada Gambar 5.2.

Gambar 5.2 Bidang segitiga

Misal akan dihitung luas dari bidang yang diarsir pada Gambar 5.2.

Luas keseluruhan bidang adalah 2 x 4 = 8 satuan.

Luas bidang yang diarsir merupakan luas dibawah fungsi f(x) = 2x, karena fungsi

tersebut membagi bidang menjadi dua bidang sama luas maka luas dibawah fungsi

tersebut adalah 4 satuan.

Perbandingan luas bidang yang diarsir dengan bidang keseluruhan (bidang acuan) adalah:

8

dicari bidang Luas

nkeseluruha bidang Luas

diarsir bidang Luas

Untuk menentukan luas bidang diarsir (dicari) bisa digunakan metode Monte Carlo.

Umpamakan dilakukan pelemparan koin sebanyak N kali ke bidang acuan. Jika M dari N koin

jatuh di bawah garis f(x) = 2x, maka perbandingan luas diarsir dan luas acuan adalah M/N

dengan demikian:

N

M

8

Dicari Bidang Luas

Diagram alir perhitungan bidang segitiga dapat dilihat pada

Gambar 5.3.

POLBAN


7

Gambar 5.3 Diagram alir perhitungan luas bidang

POLBAN

8

Program Simulasi dengan PHP

<?

// program perhitungan luas dengan monte carlo

// f(x) = 2x

// x = 0 - 2, y = 0 - 4

// Noor Cholis Basjaruddin

$n=0;

$M=0;

$N=1000;

for($n;$n<$N;$n++)

{

//generate random number x and y

$xr=mt_rand(0,2000);

$x =0.001*$xr;

$yr=mt_rand(0,4000);

$y =0.001*$yr;

//calculate f(x)

$F=2*$x;

if($y<$F)

{

$M=$M+1;

}

echo "$x,$y ";

}

$Luas = 8*($M/$N);

$err=abs(4-$Luas);

echo"M=$M,LUAS=$Luas, error=$err";

?>

Akurasi dan Presisi

Akurasi

Kedekatan hasil pengukuran dengan nilai benar.

(the degree of closeness of measurements of a quantity to that quantity's actual (true) value)

Presisi

Kedekatan hasil pengukuran dengan nilai rerata hasil pengukuran berulang-ulang.

(the degree to which repeated measurements under unchanged conditions show the same

results)

POLBAN


9

Akurasi perhitungan bisa diamati dengan cara mengubah nilai N dan kehalusan titik sample x

dan y. Tabel 5.1 adalah hasil simulasi dengan nilai N berbeda sedangan Tabel 5.2 adalah hasil

simulasi dengan kehalusan (ketelitian) x dan y berbeda.

Tabel 5.1 Hasil perbandingan perhitungan luas dengan N berbeda

N Hasil Perhitungan Error

10 2.400 1.600

100 3.200 0.800

1000 3.784 0.216

10000 3.928 0.072

Tabel 5.2 Hasil perbandingan luas dengan N tetap, ketelitian x dan y berbeda

x dan y Hasil Perhitungan Error

# 3.088 0.912

#.# 4.064 0.064

#.## 4.048 0.048

#.### 4.040 0.040

Dari Tabel 5.1 dan Tabel 5.2 dapat dilihat bahwa akurasi perhitungan semakin baik jika N

diperbesar atau kehalusan (ketelitian) x dan y ditingkatkan. Perbesaran data N akan

menghasilkan perbandingan M/N semakin mendekati perbandingan luas acuan dan luas diarsir,

dengan demikian hasil perhitungan luas akan lebih akurat. Penghalusan titik sample x dan y

akan mengakibatkan perbandingan y dan f(x) semakin baik sehingga menghasilkan

pengukuran yang lebih akurat.

Untuk mengamati kepresisian akan dihitung standar deviasi untuk perhitungan luas 100 kali.

Tabel 3 Hasil perbandingan perhitungan rata-rata luas dan deviasi standar dengan N

berbeda

N Rata-rata Luas Standar Deviasi

10 4.008 1.336

100 4.018 0.404

1000 4.005 0.118

10000 3.996 0.037

Tabel 4 Hasil perbandingan perhitungan rata-rata luas dan deviasi standar dengan N

tetap, ketelitian x dan y berbeda

x dan y Rata-rata Luas Standar Deviasi

# 3.176 0.132

#.# 3.889 0.130

#.## 4.001 0.125

#.### 3.990 0.123

POLBAN


10

Semakin kecil standar deviasi pengukuran berulang maka semakin presisi pengukuran tersebut.

Tabel 3 dan 4 menunjukkan bahwa perhitungan luas bidang yang diarsir semakin presisi

dengan penambahan N dan penghalusan titik sample. Penambahan titik sample dalam proses

perhitungan (pembesaran nilai N) akan diikuti kenaikan kepresisian yang sangat besar,

sedangkan penghalusan titik sample meski diikuti dengan kenaikan kepresisian namun tidak

terlalu signifikan.

5.2 Membuktikan nilai π

Metode Monte Carlo dapat digunakan untuk membuktikan nilai π = 3,14..... Perhatikan Gambar

5.4.

Gambar 5.4 Lingkaran dengan jari-jari R

Sebuah lingkaran dengan jari-jari R di dalam bangun persegi dengan sisi 2R.

Luas lingkaran = R2

Luas persegi = (2R) x (2R) = 4R2

Perbandingan luas lingkaran dan luas persegi = 44R

R2

2

Jika metode Monte Carlo dipakai dengan titik uji sejumlah N dan jumlah titik yang masuk

(inside points) adalah M, maka hubungan perbandingan luas dua bangun di atas dan

perbandingan inside points (M) dan test points (N) adalah

N4

M

atau

N

Mx4

Diagram alir pembuktian nilai π dengan metode Monte Carlo dapat dilihat pada Gambar 5.5.

POLBAN


11

Gambar 5.5 Diagram alir pembuktian nilai π

POLBAN

12

Program dengan bahasa PHP

<?

// program pembuktian pi = 3,14...


$l=0;

for($l;$l<100;$l++)

{

$n=0;

$M=0;

$N=1000;

for($n;$n<$N;$n++)

{

//generate random number x and y

$xr=mt_rand(0,1000);

$x =0.001*$xr;

$yr=mt_rand(0,1000);

$y =0.001*$yr;

//calculate f(x)

$x2=pow($x,2);

$y2=pow($y,2);

$F=$x2+$y2;

if($F<1)

{

$M=$M+1;

}

//echo "$x,$y ";

}

$pi = 4*($M/$N);

$pi_array[] = $pi;

}

$pi_mean=array_sum($pi_array)/100;

?>

Hasil perhitungan nilai π dapat dilihat pada Tabel 5.3.

Tabel 5.3 Hasil perbandingan perhitungan luas dengan N berbeda

N Hasil Perhitungan

10 3,184

100 3,1432

1000 3.14044

10000 3.141684

Dari simulasi dengan N 100,1000, dan 10.000 terbukti bahwa nilai π = 3,14.....

POLBAN


13

5.3 Menghitung nilai probabilitas

Diketahui probabilitas P(hujan) = 0.50, P(angin) = 0.20, P(gempa) = 0.001. Ketiga kejadian

sangat mungkin terjadi bersamaan. Kemungkinan terjadinya hujan, angin, dan gempa secara

bersamaan adalah:

P(h+a+g) = 1 – (1-0,5) (1-0,2) (1-0,001) = 0,6004

Nilai probabilitas tersebut dapat dihitung dengan metode Monte Carlo dan diagram alir

pemecahan masalah tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.6.

Gambar 5.6 Diagram alir pembuktikan probabilitas kejadian

POLBAN

14

Program dengan php

<?

// program perhitungan probabilitas


$n=0;

$MHAG=0;

$MH=0;

$MA=0;

$MG=0;

$N=100000;

for($n;$n<$N;$n++)

{

$h=mt_rand(1,1000);

$a=mt_rand(1,1000);

$g=mt_rand(1,1000);

//hitung prob hujan atau angin atau gempa

if((0<$h and $h<501) or (0<$a and $a<201) or $g==1)

{

$MHAG=$MHAG+1;

$in1="Hujan Angin Gempa";

}

//hitung prob hujan

if(0<$h and $h<501)

{

$MH=$MH+1;

$in2="Hujan";

}

//hitung prob angin

if(0<$a and $a<201)

{

$MA=$MA+1;

$in3="Angin";

}

//hitung prob gempa

if($g==1)

{

$MG=$MG+1;

$in4="Gempa";

}

}

echo"Hujan Angin Gempa =", ($MHAG/$N)," ";

echo"Hujan =", ($MH/$N)," ";

echo"Angin =", ($MA/$N)," ";

echo"Gempa =", ($MG/$N)," ";

?>

POLBAN

15

Hasil

Hujan Angin Gempa =0.60056

Hujan =0.501

Angin =0.20023

Gempa =0.00093

Hasil perhitungan probabilitas hujan dan angin dan gempa dengan Monte Carlo adalah 0,60056

atau mendekati 0,6004. Untuk pengecekan, pada saat bersamaan juga dihitung probabilitas

hujan, angin, dan gempa. Nilai P(h) = 0,501, P(a) = 0,20023, dan P(g) = 0,00093. Hasil

perhitungan P(h+a+g) dengan rumus adalah 0.601285919. Perhitungan juga dapat dilakukan

dengan menggunakan Matlab untuk mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi.

Simulasi dengan MATLAB

% program perhitungan probabilitas hujan, angin, dan gempa

% Noor Cholis Basjaruddin

N = 1e7; % jumlah iterasi

n=0;

clear r

h = randi(1000,1,N);

a = randi(1000,1,N);

g = randi(1000,1,N);

MH =0;

MA =0;

MG =0;

MHAG =0;

for n=1:N-1;

% inside hujan

if 1 <= h(1,n) & h(1,n)<= 500

MH=MH+1;

end;

% inside angin

if 501 <= a(1,n) & a(1,n)<= 700

MA=MA+1;

end;

% inside gempa

if g(1,n) == 701

MG=MG+1;

end;

% inside hujan atau angin atau gempa

if h(1,n)<=500 | (501 <=a(1,n) & a(1,n)<=700) | g(1,n)==701

POLBAN


16

MHAG=MHAG+1;

end;

end;

PH=MH/N;

PA=MA/N;

PG=MG/N;

PHAG=MHAG/N;

disp('Probabilitas Hujan :');

disp(PH);

disp('Probabilitas Angin :');

disp(PA);

disp('Probabilitas Gempa :');

disp(PG);

disp('Probabilitas Hujan atau Angin atau Gempa :');

disp(PHAG);

Hasil Simulasi

Running-1

Probabilitas Hujan :

0.4998

Probabilitas Angin :

0.2001

Probabilitas Gempa :

0.0010

Probabilitas Hujan atau Angin atau Gempa :

0.6004

Running-2


0.5000


0.2002


0.0010


0.6005

Running-3


0.5001


0.1999


0.0010


0.6004

POLBAN


17

5.4 Penalaan PID dengan Metoda Monte Carlo

Metode Monte Carlo dapat digunakan untuk menentukan parameter kendali PID yaitu Kp, Ki,

dan Kd. Bilangan random dibangkitkan untuk ketiga parameter tersebut dan keluaran sistem

kendali diamati. Inside dalam MC ditentukan berdasarkan perbandingan kriteria sistem yang

diinginkan dan keluaran yang diamati. Nilai Kp, Ki, dan Kd selanjutnya dapat diperoleh dengan

cara mendapatkan nilai rata-rata dari beberapa kali perhitungan Kp, Ki, dan Kd. Tiap

perhitungan parameter tersebut dilaksanakan dengan N kali iterasi.

5.5 Robustness Analysis dengan Metoda Monte Carlo

Metode Monte Carlo dapat digunakan untuk menganalisis robustness sistem. Bilangan random

digunakan untuk mensimulasikan parameter gangguan, baik disturbance maupun perturbance.

Kinerja sistem diamati dan diberikan kriteria untuk menentukan inside/outside.

5.6 Penggunaan Monte Carlo pada Scheduling

Metode Monte Carlo dapat digunakan untuk optimasi dalam proses scheduling. Kombinasi

event dalam frame waktu atau tempat dinyatakan dalam bilangan random. Kriteria diberikan

untuk menentukan optimal atau tidak pada setiap kombinasi event. Kombinasi event yang

menghasilkan nilai optimal digunakan dalam scheduling.

6 Kesimpulan

Prinsip metode Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan acak untuk menguji sebuah

fungsi. Ketika diuji dengan bilangan acak, fungsi matematika tersebut akan menghasilkan nilai

yang benar atau salah. Hasil pengujian yang benar (inside) akan dihitung dan dibandingkan

dengan jumlah pengujian. Oleh karena itu semakin banyak pengujian maka akan diperoleh

hasil yang lebih teliti. Persoalan yang mendasar dalam penggunaan metode Monte Carlo adalah

bagaimana merumuskan masalah menjadi fungsi yang dapat diuji dengan bilangkan acak.

Penentuan inside dan outside menjadi kunci dalam penerapan metode Monte Carlo.

POLBAN


18

7 Daftar Pustaka

Kaveh Madani, Jay R. Lund, A Monte-Carlo game theoretic approach for Multi-Criteria

Decision Making under uncertainty, Advances in Water Resources, Volume 34, Issue 5, May

2011, Pages 607-616

Mateos, A. Jiménez, S. Ríos-Insua, Monte Carlo simulation techniques for group decision

making with incomplete information, Journal of Operational Research, Volume 174, Issue 3, 1

November 2006, Pages 1842-1864

Michael Jay Schillaci, Ph.D., A Monte-Carlo Calculation of Pi, Department of Computer

Science, Mathematics and Physics Roberts Wesleyan College, Rochester, NY

Sybert H. Stroeve, Henk A.P. Blom, G.J. (Bert) Bakker, Systemic accident risk assessment in

air traffic by Monte Carlo simulation, Elsevier Ltd., 2008

POLBAN

METODE MONTE CARLO DAN...

Documents

Transcript of METODE MONTE CARLO DAN...