Tabel Chebyshev dan Butterworth

Bab IITAPIS LOLOS BAWAH

JENIS BUTTERWORTH dan CHEBYSHEV(Oleh: Ir. Arfian Ahmad, M.Eng.Sc)

II. 1. Umum

Tapis lolos-bawah melewatkan satu sinyal dengan frekuensi rendah dan menahan frekuensi yang tinggi. Secara umum, interval pita-lolos adalah 0< ω < ωc, pita-stop adalah ωs > ω1 dan pita- transisi adalah ωc < ωt < ω1 , dimana ωc adalah frekuensi cutoff. Pada Gbr. 1 diperlihatkan amplitudo lolos-bawah dimana bagian yang diarsir menunjukan deviasi yang dapat ditoleransi dalam daerah pita-lolos dan pita-stop.

Gbr. 1. Satu jenis amplitudo lolos-bawah

Bila dinormalisasi rugi minimum pada 0 dB (untuk A = 1 pada Gbr. 1), maka respon lolos-bawah dalam dB ditunjukan pada Gbr. 2. Maksimum rugi pita lolos adalah α1 dB dan minimum rugi pita-stop adalah α2 dB (masing-masingnya ditunjukan dengan amplitudo A1 dan A2). Rugi α1 tidak akan melebihi 3 dB dan harga α2 sangat besar, dalam interval 20 ≤ α2 ≤ 100 dB (0,1 ≥ A2 ≥ 0,00001).

Gbr. 2. Rugi lolos-bawah dalam dB

Penguatan tapis lolos-bawah pada fungsi transfer s = 0 sebanding dengan besarnya amplitudo saat ω = 0 dimana penguatan tapis digambarkan pada Gbr. 1 dengan amplitudo A.

Terdapat beberapa jenis tapis lolos-bawah dengan spesifikasi parameter seperti A, A1, A2, ωc seperti pada Gbr. 1 dan α1, α2, ωc dan ω1 seperti pada Gbr. 2. Terdapat empat tipe tapis lolos-bawah yang populer, antara lain Butterworth, Chebyshev, Invers Chebychev dan Eliptik (Cauer). Tapis Butterworth mempunyai respon yang monoton seperti pada Gbr. 1 dan Gbr. 2 (Suatu respon secara monoton berkurang jika tidak ada kenaikan frekuensi). Respon Chebyshev mempunyai riple dalam pita-lolos dan monoton dalam pita-stop.

Arfian Ahmad Page 8

Gbr. 3. Respon tapis Chebyshev orde keenam

Respon Chebyshev orde-keenam diperlihatkan pada Gbr. 3. Respon invers Chebyshev monoton dalam daerah pita-lolos dan mempunyai riple pada pita-stop seperti yang terdapat pada Gbr. 4. Sedangkan respon tapis eliptik (Cauer) mempunyai riple dalam kedua pita-lolos dan pita-stop sebagaimana diperlihatkan dalam contoh orde-keenam pada Gbr. 5.

Gbr. 4. Respon orde-keenam tapis eliptik

Tapis lolos-bawah optimum adalah satu kondisi dimana amplitudonya memenuhi Gbr. 1 (atau Gbr.2) untuk orde n dan memberikan keleluasaan deviasi dalam pita-stop dan pita-lolos dengan lebar transisi minimum, yaitu jika A, A1, A2, n dan ωc diketahui maka ω1 minimum. Dalam hal semuanya-pole, maka tapis optimumnya adalah Chebyshev. Bagaimanapun dalam kasus yang umum, tapis eliptik adalah optimum dan jauh lebih baik dari pada tapis Chebyshev

Gbr. 5.Respon orde-keenam tapis eliptik

II. 2. Tapis Butterworth

Amplitudo fungsi transfer tapis lolos-bawah yang paling sederhana adalah tapis Butterworth, dimana untuk orde-ke n ditentukan oleh

Arfian Ahmad Page 9

|H ( jω )|= A

√1+(ω ωc)2 m

(1)

, dimana n = 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . . .

Gbr. 6. Respon amplitudo tapis lolos-bawah Butterworth

Respon Butterworth secara monoton berkurang (tidak pernah bertambah) seiring dengan bertambahnya frekuensi. Juga, respon meningkat dengan bertambahnya orde seperti yang diperlihatkan pada Gbr. 6 dimana beberapa respon Butterworth ditunjukan untuk A = 1.

Tapis Butterworth adalah sebuah tapis semuanya-pole yang mempunyai bentuk umum fungsi transfer

H (s )=

V out

V in

=K b0

sn+bn−1 sn−1+bn−2sn−2+. . . . . . . +b1s+b0 (2)

, dimana K adalah konstanta. Dalam hal dinormalisasi ωc = 1 rad/dt maka fungsi transfernya adalah

H (s )=

V out

V in

=∏k=1

n2 Ak

s2+ak s+bk (3)

, untuk n = 2, 4, 6, 8, . . . . . . . dan

H (s )=

V out

V in

=A0

s+b0∏k=1

(n−1 )2 Ak

s2+ak s+bk (4)

, untuk n = 1, 3, 5, 7, . . . . . . . Dalam hal kedua b0 = 1 dan k = 1, 2, 3, . . . , maka koefisien di atas diberikan oleh

ak=2sin

(2k−1 ) π2n bk = 1 (5)

Arfian Ahmad Page 10

Penguatan tapis Butterworth dijabarkan oleh persamaan (2) secara jelas dengan K (harga dari fungsi transfer pada s = 0). Jika tapis dibentuk secara bertingkat (kaskade) dengan faktor bagian-bagian ditunjukan oleh persamaan (3) atau (4), maka Ak dan/atau A0 merupakan penguatan bagian. Penguatan tapis secara keseluruhan merupakan hasil kali dari penguatan-penguatan bagian. Respon Butterworth adalah paling datar disekitar ω = 0 dari suatu tapis orde-ke n yang semuanya-pole dan dengan alasan ini disebut tapis datar secara maksimum. Dengan demikian untuk frekuensi rendah respon dari tapis Butterworth mendekati respon ideal. Bagaimanapun untuk frekuensi yang mendekati titik cutoff dan pita-stop, terlihat bahwa tapis Butterworth dibawah tapis Chebyshev yang akan dibahas berikut ini.

Dengan kata lain bahwa respon fasa dari tapis Butterworth lebih baik (lebih mendekati linier) dari tapis-tapis Chebyshev, invers Chebyshev dan Eliptik dalam hal perbandingan orde. Ini konsisten dengan aturan umum untuk tapis-tapis jenis ini, antara lain amplitudo yang lebih baik, fasa yang paling jelek dan sebaliknya. Hasil laboratorium dari tapis lolos-bawah Butterworth yang dibuat memberikan respon amplitudo orde-keenam seperti yang diperlihatkan pada Gbr. 7.

Gbr.7. Respon orde-keenam aktual dari tapis Butterworth

II. 3. Tapis Chebyshev

Tapis lolos-bawah Chebyshev adalah tapis yang semua-kutub optimum dengan respon amplitudo

|H ( jω )|= K

√1+ε2 Cn2 (ω ωc

) (6)

, dimana n = 1, 2, 3, 4, . . . . , ε dan K adalah konstanta serta Cn adalah polinomial Chebyshev bentuk pertama derajat n yang diberikan oleh persamaan

Cn ( x )=cos ( n cos−1 x )

(7)

Amplitudo K mencapai puncaknya pada titik-titik Cn adalah nol. Karena titik-titik ini terdistribusi sepanjang pita-lolos, maka respon Chebyshev mempunyai riple dalam pita-lolos dan monoton ditempat lain. Lebar riple ditentukan oleh harga ε dan angkanya ditentukan oleh n. Harga K menentukan penguatan dari tapis. Beberapa respon tapis Chebyshev diperlihatkan pada Gbr. 8


untuk K = 1 dan ωc =1 rad/dt. Tapis Chebyshev kadang-kadang disebut juga tapis-riple sama (equiripple-filter) karena amplitudo riplenya sama. Pada Gbr. 8 diperlihatkan untuk K = 1 dimana lebar riplenya (RW) diberikan oleh persamaan

RW=1− 1

√1+ε2 (8)

Gbr.8. Respon Amplitudo dari tapis lolos-bawah Chebyshev

Dengan demikian, RW bisa dibuat sedemikian kecil dengan membuat ε cukup kecil. Besaran konstanta riple ini dinyatakan dalam dB dengan menghitung rugi pita-lolos yang diizinkan dan dinyatakan dengan persamaan

α=−20 log10( 1

√1+ε 2 )=10 log10 (1+ε2)(9)

, dan bisa digunakan sebagai ciri dari tapis Chebyshev. Secara umum persamaan (9) bisa diubah menjadi

ε=√10α

10−1 (10)

Dari persamaan (9), nilai terbesar dari riple yang diizinkan pada tapis Chebyshev adalah 3 dB untuk ε = 1 (pastinya, karena log 2 tidak persis sama dengan 0,3 maka diambil ε = 0,99763).

Dengan membandingkan antara Gbr. 1 dan Gbr. 8 maka dihasilkan A = 1 dan A1 = 1/(1+ε2)½. Sebagai contoh dalam hal ini, A2 juga bisa ditentukan lebih dahulu untuk menentukan harga ω1. Frekuensi ωc = 1 rad/dt adalah titik cutoff atau titik terminal dari kanal riple. Lebih spesifiknya dapat dilihat pada ω3dB, yaitu titik dimana respon turun 3dB maka

ω3 dB=cosh ( 1n

cosh−1 1ε )

(11)

Perlu dicatat bahwa ωc = ω3dB jika ε = 1 dimana dalam hal ini didapatkan tapis Chebyshev 3 dB.


Fungsi transfer tapis lolos-bawah Chebyshev identik dengan tapis Butterworth yang diberikan oleh persamaan-persamaan (2), (3) dan (4). Respon amplitudo dari tapis Chebyshev untuk orde tertentu lebih baik dari tapis Butterworth dalam arti bahwa lebar transisi dari Chebyshev lebih kecil. Bagaimanapun respon fasa Chebyshev lebih jelek dari pada Butterworth (lebih tidak linier). Respon fasa Chebyshev untuk n = 2 s/d 7 diperlihatkan pada Gbr. 9. Untuk perbandingan, respon fasa orde-keenam dari tapis Butterworth diperlihatkan dengan garis rigid. Perlu juga diperhatikan bahwa respon fasa orde yang lebih tinggi dari tapis Chebyshev lebih jelek dari pada orde yang lebih rendah.

GBr. 9. Respon fasa tapis Butterworth dan Chebyshev

Ini sesuai dengan kenyataan bahwa ampiltudo tapis Chebyshev pada orde yang lebih tinggi lebih besar dari orde yang lebih rendah. Respon amplitudo 1 dB orde-keempat dari tapis Chebyshev diperlihatkan pada Gbr. 10.

Gbr. 10. Respon aktual orde-keempat dari tapis Chebyshev

II. 4. Pemilihan Orde Minimum

Sebagaimana terlihat pada Gbr. 6 dan Gbr. 8 bahwa orde tertinggi dari tapis Butterworth dan Chebyshev memberikan respon terbaik. Bagaimanapun, orde tertinggi memerlukan rangkaian yang lebih rumit yang mengakibatkan biaya tinggi. Oleh karena itu menjadi perhatian bagi perencana


untuk menentukan orde minimum yang diperlukan tapis untuk memenuhi batasan-batasan yng diberikan.

Dengan kata lain disarankan bahwa dalam kasus umum seperti pada Gbr. 2 diberikan maksimum rugi pita-lolos yang diizinkan α1 (dB), rugi minimum pita-stop yang diizinkan α2 (dB), frekuensi cut-off ωc (rad/dt) atau fc (Hz), dan lebar transisi yang diizinkan. Lebar transisi (TW : transition width) diberikan oleh persamaan

TW =ω1−ωc (12)Permasalahannya adalah untuk menentukan orde n yang akan memenuhi semua kondisi ini. Pada tapis Butterworth dengan α1 = 3 dB, orde minimum bisa ditentukan dengan menggunakan kondisi terdahulu pada persamaan (1) dan menentukan harga n dengan hasil diberikan oleh persamaan

n=log(10

α2

10−1)2 log(ω1

ωc)

(13)

, dimana logaritmanya bisa dinyatakan dengan logaritma natural (ln) atau logaritma dengan bilangan dasar 10. Dari persamaan (12) bisa ditulis

ω1

ωc

=TWωc

+1 (14)

yang bisa digunakan dalam persamaan (13) yang menghubungkan n terhadap lebar transisi ω1. Besaran TW/ωc adalah lebar transisi yang dinormalisasi dan tanpa satuan. Oleh karena itu TW dan ωc bisa diberikan satuan rad/dt atau Hz.

Cara yang sama dengan menggunakan persamaan (6) untuk K = 1, maka orde minimum untuk tapis Chebyshev diberikan oleh persamaan

n=

cosh−1√ (10

α 2

10−1)(10

α1

10−1)cosh−1(ω1

ωc)

(15)

Persamaan (14) bisa digunakan untuk mengeliminasi ω1. Persamaan (13) dan (15) bisa digunakan untuk menentukan lebar pita transisi pada tapis Butterworth dan Chebyshev untuk orde tertentu. Dengan mengubah persamaan (13) menjadi


(ω1

ωc)2 n

=10

α2

10−1

atau

ω1

ωc

=2n√10

α 2

10−1 (16)

, dimana persamaan (16) ini identik dengan persamaan (14) sehingga dihasilkan

TWωc

=2 n√10

α2

10−1−1 (17)

Selanjutnya persamaan (15) diubah menjadi

ω1

ωc

=cosh ( 1n

cosh−1√10

α 2

10−1

10α1

10−1

−1) (18)

yang identik dengan persamaan (14) yang menghasilkan

TWωc

=cosh ( 1n

cosh−1√10

α2

10−1

10α1

10−1

−1)−1

(19)

ContohBila α1 = 3 dB, α2 = 20 dB, fc = 1000 Hz dengan lebar pita transisi tidak melebihi 300 Hz. Bandingkanlah unjuk kerja antara tapis Butterworth dengan Chebyshev.

JawabDari persamaan (14) dapat ditentukan perbandingan antara frekuensi-stop dan frekuensi-cutoff, yaitu:

ω1

ωc

=TWωc

+1=3001000

+1=1,3

Dengan menggunakan persamaan (13), maka didapat besarnya orde minimum untuk tapis Butterworth, yaitu

n=log(10

α2

10−1)2 log(ω1

ωc)

=log (10

2010−1)

2 log(13001000)

=8 , 76≈9

, yang berarti bahwa orde minimum untuk lebar transisi di atas adalah 9 (dibulatkan keatas).

Selanjutnya gunakan persamaan (15) untuk menentukan orde minimum bila yang digunakan adalah tapis Chebyshev, yaitu


n=

cosh−1√ (10

α 2

10−1)(10

α1

10−1)cosh−1(ω1

ωc)

=

cosh−1√1020

10−1

103

10−1

cosh(13001000 )

=2,99

0 ,7564=3 , 95≈4

Dari hasil perhitungan di atas terlihat bahwa bila ditinjau dari respon amplitudo tapis Chebyshev jauh lebih baik dari tapis Butterworth. Dalam hal tampilan fungsi yang sama, tapis Chebyshev mempunyai kompleksitas/keruwetan yang lebih dari dua kali bila dibandingkan dengan tapis Butterworth. Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (17) dapat ditentukan perbandingan antara lebar pita transisi terhadap frekuensi cutoff (hanya untuk tapis Butterworth, n = 9), yaitu

TWωc

=2 n√10

α2

10−1−1=18√10

2010−1−1=0 , 291

dalam satuan rad/dt atau Hz. Dari hasil di atas dapat dilihat bahwa TW = 0,291fc yang menunjukan konsistenan bahwa pada soal yang sudah dinyatakan TW ≤ 300 Hz.

II. 5. Tapis Lolos-Bawah: Penguatan Tak Hingga – Umpan Balik Ganda

Terdapat beberapa cara untuk membangun tapis lolos bawah Chebyshev maupun Butterworth. Pada bagian berikut ini akan dibahas beberapa rangkaian umum yang digunakan dan diawali dengan pembahasan rangkaian sederhana dan dilanjutkan dengan rangkaian yang lebih kompleks.

Pada tapis lolos bawah orde-kedua dengan frekuensi cutoff ωc rad/dt, fungsi transfer untuk semua-pole diberikan oleh persamaan

V out

V in

=KC ωc

2

s2+Bωc s+Cωc2

(20)

Konstanta B dan C adalah koefisien yang dinormalisasi, karena untuk ωc = 1 fungsi transfer pada persamaan (2) untuk n = 2 menjadi lebih sederhana (koefisien-koefisien ini diberikan dalam table pada Lampiran A untuk tapis Butterworth dan Chebyshev) dan K adalah penguatan yang ditentukan.

Suatu rangkaian tapis lolos-bawah yang paling sederhana dengan fungsi transfer yang dinyatakan pada persamaan (20) dapat dilihat pada Gbr. 11. Rangkaian ini disebut dengan Umpan Balik Ganda – Penguatan Tak Hingga (Infinite-Gain Multiple-Feedback : IG-MFB) karena rangkaian ini mempunyai dua umpan balik melalui kapasitor C1 dan R2 dan karena penguat operasional lebih berfungsi sebagai piranti penguat tak hingga dari pada piranti penguat-berhingga. Rangkaian yang merealisasikan persamaan (20) dengan penguatan membalik –K (K > 0) dan

Cωc2= 1

R2R3C1C2

Bωc=1

C2( 1

R1

+1R2

+1R3

)

K=R2

R1 (21)


Gbr. 11. Tapis lolos bawah MFB orde dua

Tahanan yang memenuhi persamaan (20) diberikan oleh persamaan

R2=2 (K+1 )

{BC2+√B2 C22−4CC 1 C2 ( K+1 ) }ωc

R1=R2

KR3=

1

CC1C2 ω22 R2 (22)

, dimana C1 dan C2 adalah sembarang konstanta.

Karena itu untuk harga K, B, C dan ωc yang diketahui, bisa memilih harga-harga C1 dan C2 serta menghitung harga tahanan yang diperlukan. Kapasitansi sebaiknya berharga standar yang menghasilkan harga ril dari R2 dan dalam hal ini memenuhi hubungan

C1≤

B2 C2

4 C ( K+1 ) (23)

Suatu yang baik dalam hal ini adalah memilih harga standar dari C2 mendekati 10/fc µF dan memilih harga standar yang ada lebih besar dari C1 yang memenuhi persamaan (23). Tahanan sebaiknya mendekati harga yang dihitung dengan persamaan (22). Orde yang lebih tinggi memerlukan peralatan yang lebih kritis. Jika hasil perhitungan tidak tersedia, maka semua tahanan bisa dikalikan dengan suatu faktor dan kapasitansi dibagi dengan faktor yang sama.

Contoh 1Buatlah suatu tapis Chebyshev MFB 0,5 dB orde-kedua dengan pita lolos 1000 Hz dan penguatan 2 kali.

JawabanTingkat penguatan K = 2. ωc = 2π(1000). Tentukan koefisien ternormalisasi dari tabel Lampiran A untuk n = 2 dan PRW = 0,5 didapat konstanta B = 1,425625 dan C = 1,516203. Dengan memilih C2 = 10/fc = 10/1000 = 0,01 µF = 10-8 F dan dengan menggunakan persamaan (23) dihasilkan

C1≤

B2 C2

4 C ( K+1 )=

(1 ,425625 )2 (0 , 01 )4 (1 ,516203 ) (2+1 )

=0 ,0011μF

Dengan pembulatan, diambil harga C1 = 0,001 F = 1 nF, maka selanjutnya hitung tahanan-tahanan dengan menggunakan persamaan (20), yaitu


R2=2 ( K+1 )

{BC2+√B2C22−4 CC1 C2 ( K+1 )}ωc

=2 (2+1 )

{(1 , 425625 ) (10−8 )+√ (1, 425625 )2 (10−8 )2−4 (1, 516203 ) (10−9 ) (10−8 ) (2+1 )}2000 π

=6×108

{1,425625+√0,212963 }2000 π=5 ,06×104=50 , 6×103 Ω=50 , 6 k Ω

R1=

R2

K=50 , 6

2k Ω=25 ,3 kΩ

, dan

R3=1

CC1C2 ω22 R2

= 1

(1, 516203 ) (10−9 ) (10−8 ) (2000π )2( 50 ,6×103 )=3,3×104=33 k Ω

Untuk hasil yang baik dalam merealisasikan perancangan pilih besaran standar pabrik dari elemen yang digunakan mendekati sekali dengan hasil perhitungan dengan rangkaian seperti Gbr. 11 di atas. Tapis orde yang lebih tinggi memerlukan elemen yang lebih akurat dibandingkan dengan tapis orde yang lebih rendah. Sebagaiman yang sudah dijelaskan bahwa tampilan tapis tidak akan berubah jika semua tahanan dikalikan dengan suatu faktor dan kapasitansi dibagi dengan faktor yang sama. Disamping itu, impedansi masukan dari penguat operasional sebaiknya paling kurang 10Req dimana

Req=R3+

R1 R2

R1+R2

Penguatan loop-terbuka dari penguat operasional sebaiknya paling kurang 50 kali amplitudo tapis pada fc dan slew-ratenya sebaiknya paling kurang ½ωc x 10-6 dikali tegangan luaran peak-peak.ContohRancanglah suatu tapis Butterworth MFB orde-keenam dengan fc = 1000 Hz dengan penguatan 8 kali.

JawabanUntuk membuat tapis orde-keenam, maka akan diperlukan tiga tingkat kaskade orde-kedua dimana setiap bagiannya mempunyai fungsi transfer seperti persamaan (20). Dengan memilih setiap bagiannya mempunyai penguatan 2 kali, menghasilkan penguatan tapis yang dibutugkan sebesar 2x2x2=8. Dari tabel lampiran A, untuk bagian pertama dari kaskade didapat B = 0,517638 dan C = 1. Kembali, dengan memilih C2 = 10/fc = 10/1000 = 0,01 µF = 10-8 F dan dengan menggunakan persamaan (23) maka dihasilkan

C1≤

B2 C2

4 C ( K+1 )=

(0 ,517638 )2 (10−8 )4 (1 ) (2+1 )

=0 ,00022×10−6 F

Dengan pembulatan, diambil harga C1 = 0,0002 F = 2x10-10 F = 200 pF, maka selanjutnya hitung tahanan dengan menggunakan persamaan (20), yaitu


R2=2 ( K+1 )

{BC2+√B2C22−4 CC1 C2 ( K+1 )}ωc

=2 (2+1 )

{(0 , 517638 ) (10−8 )+√ (0 ,517638 )2 (10−8 )2−4 (1 ) (2×10−10 )( 10−8 ) (2+1 ) }2000 π

=6×108

{0,517638+√0,0279491 }2000 π=1,394×105=139 , 4×103Ω=139 , 4 kΩ

R1=

R2

K=139 , 4

2k Ω=69 , 7 k Ω

, dan

R3=1

CC1C2 ω22 R2

= 1

(1 ) (2×10−10 ) (10−8 ) (2000 π )2 ( 139 , 4×103)=9 , 08×104=90 , 8k Ω

Untuk bagian yang lain dari kaskade berikutnya didapatkan dengan cara yang sama dan dengan dikaskadekan ketiga bagian tersebut maka didapatkan tapis Butterworth orde-keenam. Rangkaian yang dihasilkan mempunyai respon amplitudo seperti pada Gbr. 7.Karena kesederhanaan rangkaiannya, maka tapis MFB ini merupakan salah satu jenis penguat-membalik yang populer. Rangkaian ini juga mempunyai keunggulan kestabilan karakteristik yang baik dan impedansi luaran yang rendah, karena itu dengan mudah dapat dikaskadekan dengan bagian lain untuk membentuk tapis dengan orde yang lebih tinggi. Salah satu kelemahan dari rangkaian ini adalah tidak dapat mencapai faktor kualitas Q pasangan-pole yang tinggi tanpa bentangan yang besar dari harga elemen dan sensitifitas yang tinggi untuk perubahan harga elemen. Untuk hasil yang bagus, kedua penguatan K dan faktor kualitas Q sebaiknya dibatasi kira-kira 10. Penguatan bisa lebih tinggi jika Q lebih kecil dengan menjaga batasan, misalkan KQ = 100 dengan Q ≤ 10. Deangan mengacu pada persamaan ωp = √C, maka faktor kualitas pasangan-pole diberikan oleh persamaan Q = √C/B. Pada lampiran A diberikan faktor kualitas tingkat tertinggi dalam tapis lolos-bawah Butterworth orde-keenam sebesar Q = 1/0,517638 = 1,93 untuk tingkat pertama.

II. 6. Tapis Lolos- Bawah VCVS

Rangkaian tapis lolos-bawah orde-kedua yang secara luas digunakan dengan penguatan tidak membalik (positive gain) diperlihatkan pada Gbr. 12.

Gbr. 12. Tapis lolos bawah VCVS orde-kedua


Rangkaian ini kadang-kadang disebut tapis VCVS karena penguat operasionalnya dan dua resistor R3 dan R4 yang terhubung membentuk sumber tegangan kontrol-tegangan (Voltage-Control Voltage Source : VCVS).

Rangkaian ini merealisasikan fungsi tapis lolos-bawah orde-kedua dengan

Cωc2= 1

R1R2C1C2 ;

Bωc=1

C2( 1

R1

+1R2

)+ 1R2 C1

(1−μ ) ;

K=μ=1+R4

R3 (24)

Besaran µ ≥ 1 merupakan penguatan dari VCVS sebagaimana halnya penguatan tapis. Harga-harga tahanan yang memenuhi persamaan (24) diberikan oleh persamaan

R1=2

[ BC 2+√ {B2+4 C (K−1 ) }C22−4 CC1 C2] ωc

(25)

R2=1

CC1C2 R1ωc2

; R3=

K ( R1+R2)K−1

K≠1 ;

R4=K ( R1+R2)

, dimana C1 dan C2 adalah sembarang konstanta. Tahanan R3 dan R4 adalah tahanan yang dipilih sedemikian rupa sehingga dc-offset dari penguat operasional menjadi minim (idealnya tegangan offset diantara terminal masukan sebaiknya nol).

Dari persamaan (25), jika K = 1 maka R1 dan R2 dapat dicari tetapi dalam hal ini R3 = ∞ (rangkaian terbuka) dan R4 = 0 (rangkaian terhubung pendek). Untuk dc offset minimum, R4 = R1 + R2, tetapi dalam kebanyakan kerja nonkritis rangkaian terhubung singkat akan mencukupi dimana dalam hal ini VCVS merupakan pengikut tegangan (voltage follower). Tegangan luaran sama atau mengikuti tegangan masukan.

Perancangan tapis VCVS dilakukan sama seperti tapis MFB. Pemilihan harga standar dari C2 sebaiknya mendekati 10/fc µF dan harga C1 memenuhi pertaksamaan

C1≤

{B2+4C ( K−1 ) }C2

4C (26)

Kemudian tahanan-tahanan ditentukan dari persamaan (25) dengan memodifikasi harga di atas jika K = 1.

Sebagaimana dijelaskan di atas, rangkaian VCVS mencapai penguatan yang tidak membalik dengan jumlah elemen yang minim (hanya membutuhkan lebih satu tahanan dibandingkan dengan tapis MFB). Tapis ini mempunyai impedansi luaran yang rendah, variasi harga elemen yang cukup lebar dan kemampuan penguatan yang relatif tinggi serta penalaan yang relatif mudah. Penguatan bisa diatur secara tepat, misalnya dengan pengaturan harga R3 dan R4 dengan menggunakan


potensiometer. Sama seperti tapis MFB, tapis VCVS sebaiknya digunakan untuk faktor pasangan-pole dengan Q ≤ 10. Sama seperti tapis MFB di atas, , impedansi masukan dari penguat operasional sebaiknya paling kurang 10Req dimana

Req=R1+ R2

II. 7. Tapis Lolos-Bawah Biquad

Tapis lolos-bawah orde-kedua yang realisasi fungsi transfernya dinyatakan oleh persamaan (20) adalah rangkaian biquad yang dilukiskan pada Gbr. 13.

Gbr. 13. Tapis lolos-bawah biquad orde-kedua

Rangkaian ini mempunyai elemen yang lebih banyak dibandingkan dengan rangkaian MFB dan VCVS, tetapi merupakan rangkaian yang lebih baik karena kemudahan penalaannya dan kestabilan yang sempurna. Faktor Q pasangan-pole lebih dari 100 bisa dicapai dengan mudah dan relatif mudah untuk mengkaskadekan beberapa bagian biquad untuk mendapatkan tapis dengan orde yang lebih tinggi.

Rangkaian untuk merealisasikan persamaan (20) dengan penguatan tidak-membalik K dan

Cωc2= 1

R3 R4 C12

;

Bωc=1

R2 C1 ; K=

R3

R1 (27)

, dan harga tahanan ditentukan oleh persamaan

R1=1

KCC 12 ωc

2 R4 ;

R2=1

BC1ωc ;

R3=1

CC12ωc

2R4 (28)

, dengan C1 dan R4 adalah sembarang konstanta. Jika C1 dipilih mendekati 10/fc, harga yang layak untuk R4 adalah

R4=1

ωc C1 (29)


, dimana

R1=R4

KC ; R2=

R4

B ; R3=

R4

C (30)

Rangkain biquad relatif lebih mudah ditala sebagaimana terlihat pada persamaan (30). Bila diketahui R4, maka untuk mengatur B (respon pita-lolos) dengan memvariasikan R2 dan untuk mengatur C (fc) dengan memvariasikan R3. Kemudian dengan menetapkan C secara tepat dan memvariasikan R1 untuk mengatur K. Jika penguatan membalik yang diinginkan, luaran Vo bisa diambil sebagai noda a dan dengan menjaga harga elemen sama seperti sebelumnya.

II. 8. Tapis Orde- Kedua Yang Ditala

Tapis orde-kedua yang ditala atau tingkat orde-kedua dari tapis orde-tertinggi dapat jauh lebih mudah diselesaikan jika perancang mengetahui bagaimana ketajaman respon yang seharusnya. Dalam hal fungsi orde-kedua lolos-bawah, amplitudo akan mempunyai nilai puncak Km selama frekuensi fm memberikan B2/C < 2. Respon ini diperlihatkan pada Gbr.14a dan harga Km dan fm diberikan oleh persamaan

Km= 2CK

B√4C−B2 (31)

f m=f c √C− B2

2 (32)

Gbr. 14. Respon amplitudo lolos-bawah: (a). Q > 0,707 dan (b). Q ≤ 0,707

Dalam hal pasangan-pole Q (=√C/B), terjadi bubungan seperti pada Gbr.14b jika Q > 1/√2 = 0,707. Jika Q ≤ 0,707 (atau B2/C ≥ 2) maka tidak terjadi bubungan dan responnya seperti pada Gbr. 14b. Dalam kedua gambar, fc adalah frekuensi cut-off dari tapis dan amplitudonya diberikan oleh

Kc=KC

√(C−1 )2+B2 (33)

Contoh


Rancanglah sebuah tapis Butterworth orde-keempat dengan fc = 1000 Hz dan penguatan setiap seksi K = 2.

JawabanDengan menggunakan table pada Lampiran A, maka untuk tingkat pertama B = 0,765367 dan C = 1 Dari persamaan (31)

Km= 2 CK

B√4 C−B2=

2 (1 ) (2 )

0 ,765367√4 (1 )−( 0 ,765367 )2=2 , 8284

Dan dari persamaan (32)

f m=f c √C− B2

2=1000√1−

(0 , 765367 )2

2=841 Hz

Pada fc dimana kondisi ini terjadi adalah pada titik 3-dB dimana dengan menggunaan persamaan (33) didapatkan amplitudonya, yaitu

Kc=KC

√(C−1 )2+B2=

2 (1 )

√(1−1 )2+(0 ,765367 )2=2,6131

Karena itu, amplitudo sebaiknya mirip Gbr. 14a (karena Q =1/0,765367=1,31) dengan puncak amplitudo sebesar 2,8284 terjadi pada 841 Hz dan suatu amplitudo sebesar 2,6131 terjadi pada 1000 Hz. Tentu saja harga dc amplitudo adalah K = 2.

Untuk tingkat kedua didapat B = 1,847759 dan C = 1. Oleh karena itu Q = 1/B = 0,54 dan amplitudo pada 1000 Hz adalah 2,6131 x 1,0824 =2,828. Harga terakhir adalah 0,707 x 4 sebagaimana seharusnya.

II. 9. Tapis Orde-Ganjil

Dalam hal tapis Chebyshev atau Butterworth orde-ganjil, satu tingkat mesti mempunyai fungsi transfer orde-kesatu seperti faktor pertama pada persamaan (4). Bentuk umum frekuensi cutoff ωc = 2πfc rad/dt dengan faktor orde-kesatu mempunyai bentuk

V o

V i

=KC ωc

s+Cωc (34)

, dimana K adalah penguatan tingkat dan C ditentukan sebagai koefisien tingkat pertama yang didapat dari tabel Lampiran A.

Rangkaian yang memenuhi persamaan (34) untuk penguatan K > 1 ditunjukan oleh Gbr. 15. Harga tahanan R2 dan R3 dipilih untuk mengurangi dc offset dari penguat operasional. Penguatan K bisa diatur dengan menggunakan potensiometer sebagai pengganti R2 dan R3 dengan center-tap terhubung pada masukan membalik dari penguat operasional serta frekuensi cutoff fc bisa diatur


dengan mengatur tahanan R1. Kapasitansi C1 yang dipilih sebaiknya mendekati 10/fc dan tahanan diberikan oleh persamaan

R1=1

ωc C1 C ;

R2=KR1

K−1 ; R3=KR1 (35)

Gbr. 15. Rangkaian tapis lolos-bawah orde-pertama

Gbr. 16. Tapis lolos-bawah seksi orde-pertama dengan penguatan satu.

Jika penguatan yang diinginkan K = 1, bisa menggunakan Gbr. 16 sebagai tingkat orde-kesatu. Dalam hal ini R1 diberikan oleh persamaan (35) dan C1 sembarangan. Harga tahanan R2 dan R3 dipilih untuk mengurangi dc offset dari penguat operasional.

ContohRancanglah tapis Butterworth orde ketiga dengan fc = 1000 Hz dan penguatan 2 kali.

JawabanDari table Lampiran A, tingkat orde-pertama mempunyai C = 1 dalam persamaan (34), dan tingkat orde-kedua mempunyai B = C =1 dalam persamaan (20). Yang akan diambil adalah K =1 dengan rangkaian seperti pada Gbr. 16. Dengan memilih C1 = 10/fc = 0,01 µF dan dengan menggunakan persamaan (35) dihasilkan

R1=1

ωc C1 C= 1

(2000 π ) (10−8) (1 )=15 ,915 k Ω


Tabel Chebyshev dan Butterworth

Documents

Transcript of Tabel Chebyshev dan Butterworth