MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CIENCIAS

EXAMEN TRIGONOMETRÍA I

1. Sean a y b dos ángulos tales que 54

=atg siendo 2π

<a y 73cos −=b siendo

ππ<< b

2.

Halla, sin utilizar la calculadora: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

2cot,2),cos(),( batgbabasen 2 puntos

2. Se quiere construir un puente entre los puntos A y B de la siguiente figura. Se

sabe que º93ˆ =O , º48ˆ =A y que la distancia, medida en línea recta entre los puntos A y O es de 75 m. Calcula la longitud del puente. 1,5 puntos

3. Resuelve las ecuaciones:

a. 255 2 =+ xtgxtg b. xsenx =2cos 2,5 puntos

4. Comprueba la identidad: xtg

xtgxsen 2122+

= 1,25 puntos

5. Simplifica la expresión: ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− atgatgatga

44cot ππ 1,25 puntos

6. Representa gráficamente la función: y = sen4x 1,5 puntos

MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO CIENCIAS

SOLUCIONES

1) Empezamos hallando las restantes razones trigonométricas de a y b:

54

=atg siendo 2π

<aaaa

atg 2222

cos1

2541

cos1

25161

cos11 =→=+→=+→

41415

415cos

4125cos2 ==⇒= aa (1º cuad)

41414

54

415cos =⋅=⋅=→ atgaasen

73cos −=b siendo ππ

<< b2

4940

4991cos1 22 =−=−=→ bbsen

7102

4940

=±=bsen (segundo cuadrante)3102

cos−==→

bbsenbtg

287410104112

41415

7102

73

41414coscos)( −−

=⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⋅−⋅=− absenbasenbasen

2871084115

7102

41414

73

41415coscos)cos( +

−=⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=−=+ bsenasenbaba

940

95258

25958

541

542

122 22 =

⋅⋅

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=−

=atg

atgatg

=−+

=

+−

±=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

bb

bbbtg

bcos1cos1

cos1cos1

1

2

12

cot (1ºcuad)52

104

731731

==+

−=

2) º93ˆ =O , º48ˆ =A y que la distancia entre los puntos A y O es de 75 m

el tercer ángulo: º39)4893(180ˆ =+−=B aplicamos el teorema del seno:

→=Osen

ABBsen

AO9339

75sen

xsen

=

msensenx 119

399375

==

3) a) 255 2 =+ xtgxtg xtxzxtgxtg 502552 =→=−+→

2515

21

2811

−==

→−

=+±−

=xtgxtg

zkx

kxk

kx

36'19º2336º9

180'33º116180º45

5+=

+=→

++

=→

b) xsenx =2cos xsenxsenxsenxsenxsenx =−−→=−→ 2222 1cos

1121

21

4811012 2

−=→−

=→=

+±−=⇒=→=−+

xsen

xsenzxsenzxsenxsen

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kk

x360º150

360º30++

= y kx 360º270 +=

4) xtg

xtgxsen 2122+

=x

xxsenxx

xsen

x

xxsen

xxsencos

cos2cos

1:cos

2

cos1

cos2

cos22

2

2

===→

xxsenxxsen cos2cos2 =→

5) ( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− atgatgatga

44cot ππ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−−

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

atgtg

atgtg

atgtg

atgtgatg

atg4

14

41

41π

π

π

π

( ) ( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

atgatgatg

atgatg

atgatg

atgatg

atgatg

2

2222

1111

11

111

( ) 441

411

212112

2

2

222

==−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

atgatg

atgatg

atgatg

atgatgatgatgatg

atgatg

6) 4xseny = es una sinusoide, hacemos la tabla de valores (en radianes):

x 0 π π2 π3 π4

y 0 22 1

22

− 0