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TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 1

PR1. (ESPCEX (AMAN) 2020) Na figura abaixo está representado um trecho

do gráfico de uma função real da forma y m sen (nx) k,= + com n 0.

Os valores de m, n e k, são, respectivamente

A) 3,3

π e 1.−

B) 6,6

π e 1.

C) 3,6

π− e 1.

D) 3,3

π− e 1.

E) 3,6

π e 1.−

MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA III

2

PR2. (UFRGS 2019) Considere a função real de variável real

f(x) 3 5 sen (2x 4).= − + Os valores de máximo, mínimo e o período de f(x)

são, respectivamente,

A) 2, 8, .π−

B) 8, 2, .π−

C) . 2, 8.π −

D) , 8, 2.π −

E) 8, , 2.π −

PR3. (ENEM 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa

roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao

plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do

ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à

sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em

relação ao solo, em função de t.

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 3

Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

A expressão da função altura é dada por

A) f(t) 80 sen(t) 88= + .

B) f(t) 80 cos(t) 88= + .

C) f(t) 88 cos(t) 168= + .

D) f(t) 168 sen(t) 88 cos(t)= + .

E) f(t) 88 sen(t) 168 cos(t)= + .

PR4. (ENEM PPL) Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por

y a sen[b(x c)],= + em que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa

permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) A) a.

B) b.

C) c.

D) a e b.

E) b e c.


4

PR5. (MACKENZIE) O número de soluções que a equação 24 cos x cos2x cosx 2− + = admite no intervalo [0, 2 ]π é

A) 0 .

B) 1.

C) 2 .

D) 3 .

E) 4 . PR6. (FAMERP 2020) A figura indica os gráficos de uma reta r e uma

senoide s, de equações 5

y2

= e y 1 3sen(2x),= + em um plano cartesiano de

eixos ortogonais.

Sendo P um ponto de intersecção dos gráficos, conforme mostra a figura, sua abscissa, convertida para graus, é igual a

A) 275 .

B) 240 .

C) 225 .

D) 210 .

E) 195 .

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 5

PR7. (ENEM) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do

quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função

xP(x) 8 5cos ,

6

π π− = +

onde x representa o mês do ano, sendo x 1=

associado ao mês de janeiro, x 2= ao mês de fevereiro, e assim

sucessivamente, até x 12= associado ao mês de dezembro.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é A) janeiro. B) abril. C) junho. D) julho. E) outubro. PR8. (IFBA) A partir do solo, o pai observa seu filho numa roda gigante. Considere a altura A, em metros, do filho em relação ao solo, dada pela

função ( )A(t) 12,6 4 sen[( 18) t 26 ],π= + − onde o tempo (t) é dado em

segundos e a medida angular em radianos. Assim sendo, a altura máxima e mínima e o tempo gasto para uma volta completa, observados pelo pai, são, respectivamente: A) 10,6 metros; 4,6 metros e 40 segundos. B) 12,6 metros; 4,0 metros e 26 segundos. C) 14,6 metros; 6,6 metros e 24 segundos. D) 14,6 metros; 8,4 metros e 44 segundos. E) 16,6 metros; 8,6 metros e 36 segundos.


6

PR9. (FGV) O número de quartos ocupados em um hotel varia de acordo com a época do ano. Estima-se que o número de quartos ocupados em cada mês de determinado

ano seja dado por Q(x) 150 30cos x6

π = +

em que x é estabelecido da

seguinte forma: x 1= representa o mês de janeiro, x 2= representa o mês de

fevereiro, x 3= representa o mês de março, e assim por diante.

Em junho, em relação a março, há uma variação porcentual dos quartos ocupados em

A) 20%−

B) 15%−

C) 30%−

D) 25%−

E) 50%−

PR10. (IFPE) Na cidade de Recife, mesmo que muito discretamente, devido à pequena latitude em que nos encontramos, percebemos que, no verão, o dia se estende um pouco mais em relação à noite e, no inverno, esse fenômeno se inverte. Já em outros lugares do nosso planeta, devido a grandes latitudes, essa variação se dá de forma muito mais acentuada. É o caso de Ancara, na

Turquia, onde a duração de luz solar L, em horas, no dia d do ano, após 21

de março, é dada pela função:

2L(d) 12 2,8 sen (d 80)

365

π = + −

Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a mínima duração de luz solar durante um dia em Ancara.

A) 12,8 e 12 .

B) 14,8 e 9,2 .

C) 12,8 e 9,2 .

D) 12 e 12 .

E) 14,8 e 12 .

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 7

SOLUÇÃO PR1

[D]

Do gráfico, temos f(0) 1.= Logo, vem

1 m sen(n 0) k k 1= + =

Sabendo que a função seno é crescente no primeiro quadrante, podemos

concluir que m 0. Ademais, como 1 senx 1,− temos

1 senx 1 1 sen(nx) 1

m msen(nx) m

m 1 msen(nx) 1 m 1.

− −

−

+ + − +

Mas sabemos que 2 msen(nx) 1 4− + e, portanto, vem m 3.= −

Ainda do gráfico, podemos afirmar que o período da função é 6. Logo, sendo

n 0, temos

26 n .

| n | 3

π π= =

SOLUÇÃO PR2

[B] Calculando:

f(x) 3 5 sen (2x 4)

f(x) 3 5 8 máxsen (2x 4) 1

f(x) 3 5 2 mín

2 2Período

k 2

π ππ

= − +

= + = + =

= − = −

= =


8

SOLUÇÃO PR3

[A]

A função f é do tipo f(t) a bsen(mt).= + Logo, sendo f(0) 88,= temos a 88.=

Ademais, pelo gráfico, sabemos que o período de f é 2π e, portanto, vem

m 1.=

Finalmente, como f 168,2

π =

obtemos

168 88 b b 80.= + =

A resposta é f(t) 88 80sent.= +

SOLUÇÃO PR4

[B]

Reescrevendo a equação da onda, temos y a sen(bx bc).= + Logo, o período

da onda é dado por 2

,b

π dependendo, portanto, apenas do parâmetro b.

SOLUÇÃO PR5

[D]

( )

( )

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

sen x

2

2

4cos x cos2x cosx 2

4cos x cos x sen x cosx 2

4cos x cos x sen x cosx 2

3cos x 1 cos x cosx 2

2cos x cosx 1 0

1 1 4 2 1cosx

2 2

− + =

− − + =

− + + =

+ − + =

+ − =

− − −=

1cos x

2= ou cosx 1= −

De 1

cosx , x 0,2 ,2

π=

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 9

x3

π= ou

5x .

3

π=

De cosx 1, x 0,2 ,π= −

x .π=

Assim, a equação 24cos x cos2x cosx 2, x 0,2 ,π− + = admite três

soluções. SOLUÇÃO PR6

[E] Tem-se que

5 11 3sen2x sen2x

2 2

sen2x sen6

2x 2k6

ou

2x 2k6

x k , k12

ou .

5x k , k

12

π

ππ

ππ π

ππ

ππ

+ = =

=

= +

= − +

= +

= +

Logo, sendo x12

π= a menor raiz positiva da função e

2

| 2 |

ππ= o seu período,

podemos concluir que a abscissa de P é 13

rad,12 12

π ππ+ = ou seja,

=

13 180195 .

12


10

SOLUÇÃO PR7

[D]

A produção é máxima quando preço é mínimo, ou seja, quando

xcos 1.

6

π π− = −

O menor valor positivo de x para o qual se tem o preço

mínimo é tal que

x xcos cos 2k

6 6

x 12k 7, k .

π π π ππ π π

− − = = +

= +

Portanto, para k 0,= segue que x 7,= e o mês de produção máxima desse

produto é julho

SOLUÇÃO PR8

[E]

A função seno varia de 1+ (máximo) a 1− (mínimo), logo os valores máximos

e mínimos de A(t) serão:

( )

( )

( )

máximo sen[( 18) t 26 ] 1

A(t) 12,6 4 1 A(t) 16,6 metros

mínimo sen[( 18) t 26 ] 1

A(t) 12,6 4 1 A(t) 8,6 metros

π

π

→ − =

= + → =

→ − = −

= + − → =

Com essas informações já é possível responder à questão. Calculando ainda o tempo gasto para uma volta completa, pode-se escrever:

( )

( )

( )

( )

sen[( 18) t 26 ] 1

t 26 1t 26 t 26 9 t 35

18 2 18 2

sen[( 18) t 26 ] 1

3 t 26 3t 26 t 26 27 t 53

18 2 18 2

π

π π

π

π π

− =

− − = → = → − = → =

− = −

− − = → = → − = → =

Logo, para sair do ponto mais baixo até o ponto mais alto (meia volta) o filho

leva 53 35 18 s.− = Assim, para dar uma volta completa levará 36s.

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 11

SOLUÇÃO PR9

[A] O número de quartos ocupados em junho é dado por:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Q 6 150 30cos 66

Q 6 150 30cos

Q 6 150 30 1

Q 6 120

π

π

= +

= +

= + −

=

O número de quartos ocupados em março é dado por:

( )

( )

( )

( )

Q 3 150 30cos 36

Q 3 150 30cos2

Q 3 150 30 0

Q 3 150

π

π

= +

= +

= +

=

A variação porcentual pedida é dada por:

( ) ( )

( )

Q 6 Q 3100%

Q 3

120 150100%

150

30100%

150

20%

−

−

−

−


12

SOLUÇÃO PR10

[B]

Considerando a função dada por: 2

L(d) 12 2,8 sen (d 80) ,365

π = + −

temos

que:

O maior valor de 2

sen (d 80)365

π −

é ( 1)+ e o menor é ( 1).−

Logo,

Máxima duração solar ( )L(d) 12 2,8 1 L(d) 14,8 horas = + + =

Mínima duração solar ( )L(d) 12 2,8 1 L(d) 9,2 horas = + − =

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 13

PC1. (ENEM PPL 2019) Os movimentos ondulatórios (periódicos) são

representados por equações do tipo Asen(wt ),θ + que apresentam

parâmetros com significados físicos importantes, tais como a frequência

2w ,

T

π= em que T é o período; A é a amplitude ou deslocamento máximo;

θ é o ângulo de fase 2

0 ,w

πθ que mede o deslocamento no eixo

horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento.

O gráfico representa um movimento periódico, P P(t),= em centímetro, em

que P é a posição da cabeça do pistão do motor de um carro em um instante

t, conforme ilustra a figura.


14

A expressão algébrica que representa a posição P(t), da cabeça do pistão,

em função do tempo t é

A) P(t) 4sen(2t)= .

B) P(t) 4sen(2t)= − .

C) P(t) 4sen(4t)= − .

D) P(t) 4sen 2t4

π = +

.

E) P(t) 4sen 4t4

π = +

.

PC2. (ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

A função t

h(t) 4 4sen2 2

β π = + −

definida para t 0 descreve como varia a

altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara

de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão

indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 15

O valor do parâmetro ,β que é dado por um número inteiro positivo, está

relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor

tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4

segundos após o início do funcionamento (instante t 0),= a altura da base do

pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3

como aproximação para .π

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro ,β de forma que o motor a

ser construído tenha boa potência, é

A) 1.

B) 2.

C) 4.

D) 5.

E) 8.

PC3. (IMED 2018) A atração gravitacional que existe entre a Terra e a Lua provoca, entre outros fenômenos, o da chamada maré astronômica, que se caracteriza pelo periódico aumento e diminuição do nível do mar. Medindo e tabulando essas variações, os estudiosos do assunto podem descrever matematicamente o comportamento do nível do mar em determinado local por meio de uma função. A fórmula a seguir corresponde a medições feitas na cidade de Boston, no dia 10 de fevereiro de 1990.

h(t) 1,5 1,4 cos t6

π = +

Nessa função, h(t) (em metros) corresponde à altura do nível do mar, e t, ao

tempo transcorrido desde a meia-noite (em horas). Com base nessas informações, quantas horas se passaram desde o início da medição até que o

nível do mar tenha atingido 2,2 metros pela primeira vez?

A) 2 horas

B) 3 horas

C) 4 horas

D) 5 horas

E) 6 horas


16

PC4. (UFRGS 2018) Um ponto A, que se movimenta sobre uma

circunferência, tem sua posição p(t), considerada na vertical, no instante t,

descrita pela relação p(t) 100 20 sen (t),= − para t 0. Nesse caso, a medida

do diâmetro dessa circunferência é

A) 30.

B) 40.

C) 50.

D) 80.

E) 120.

PC5. (EBMSP 2018) A forma de onda senoidal ocorre, naturalmente, na natureza, como se pode observar nas ondas do mar, na propagação do som e da luz, no movimento de um pêndulo, na variação da pressão sanguínea do coração etc.

Um determinado fenômeno periódico é modelado através da função

f(x) 1 2 sen 2x ,6

π = + +

parcialmente representada no gráfico.

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 17

Sendo P e Q pontos desse gráfico, é correto afirmar que o par ordenado que

representa Q é

A) 25

,1 224

π +

.

B) 13

,1 312

π +

.

C) 7

, 3 26

π +

.

D) 5

,1 34

π +

.

E) 17

,1 212

π +

.

PC6. (UNIOESTE 2018) Em uma área de proteção ambiental existe uma população de coelhos. Com o aumento natural da quantidade de coelhos, há muita oferta de alimento para os predadores. Os predadores com a oferta de alimento também aumentam seu número e abatem mais coelhos. O número de coelhos volta então a cair. Forma-se assim um ciclo de oscilação do número de coelhos nesta reserva.

Considerando-se que a população p(t) de coelhos fica bem modelada por

2 tp(t) 1.000 250 sen ,

360

π = −

sendo t 0 a quantidade de dias decorridos, e

o argumento da função seno é medido em radianos, pode-se afirmar que

A) a população de coelhos é sempre menor ou igual a 1.000 indivíduos.

B) em quatro anos a população de coelhos estará extinta.

C) a população de coelhos dobrará em 3 anos.

D) a quantidade de coelhos só volta a ser de 1.000 indivíduos depois de 360

dias.

E) a população de coelhos atinge seu máximo em 1.250 indivíduos.


18

PC7. (UECE 2018) Seja →f : definida por 3

f(x) .2 sen x

=+

Se M e m

são respectivamente os valores máximo e mínimo que a função f assume, o

valor do produto M m é

A) 2,0.

B) 3,5.

C) 3,0.

D) 1,5.

PC8. (UFJF-PISM 2 2018) Determine o conjunto solução para a equação

26 sen (x) 9 sen (x) 3 0.− + =

A) 5

x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k2 6 6

π π ππ π π

= + = + = +

.

B) 5

x ; x 2k ou x 2k ou x 2k , k4 3 6

π π ππ π π

= + = + = +

.

C) x ; x 2k ou x 2k , k4

ππ π

= = +

.

D) x ; x ou x4 3

π π = =

.

E) x ; x ou x ou x6 2 4

π π π = = =

.

PC9. (ACAFE) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para

isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1

hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t 0)= e os

dados foram representados pela função periódica t

T(t) 24 3cos ,6 3

π π = + +

em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e

T(t), a temperatura (em C) no instante t.

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 19

O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente:

A) 6 h, 25,5 C e 10 h.

B) 12 h, 27 C e 10 h.

C) 12 h, 27 C e 15 h.

D) 6 h, 25,5 C e 15 h.

PC10. (IFSC) Um professor de Matemática, ao acompanhar o desfile da Oktoberfest, percebeu que havia um ponto marcado na roda de uma carroça, representado abaixo como ponto A. Ele percebeu, ainda, que a carroça se

deslocava a uma velocidade constante e que a roda, com 1m de diâmetro,

levava 3 segundos para completar uma volta.

Considere que o ponto A toca o solo e atinge a maior altura possível. Sobre a função que descreve a altura em que o ponto A está em relação ao solo (em metros), em função do tempo (em segundos), é CORRETO afirmar que:

A) A função é afim, e seu coeficiente angular é 3.

B) A função é periódica, sua imagem é o conjunto [0, 1] e seu período é 3

segundos.

C) A função pode ser representada pela equação y 3x 1,= + em que x

corresponde ao tempo decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A.

D) A função pode ser representada pela equação y x 3,= + em que x


E) A função pode ser representada pela equação y 3x² 1,= + em que x



20

PC11. (PUCSP) Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era

estimado que, no ano de 2015 x,+ com x {0,1, 2, , 9, 10}, o valor

arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em

milhões de dólares, poderia ser obtido pela função f(x) 250 12cos x .3

π = +

Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que: A) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. B) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. C) poderá superar 300 milhões de dólares. D) nunca será inferior a 250 milhões de dólares. PC12. (PUCRS) O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar.

Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na representação gráfica de uma função A) logarítmica. B) exponencial. C) seno ou cosseno.

D) polinomial de grau 1.

E) polinomial de grau 2.

TRIGONOMETRIA III

MATEMÁTICA 21

PC13. (ENEM PPL) Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho

de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T,

em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função

T(h) A B sen (h 12) ,12

π = + −

sendo h o tempo, medido em horas, a partir da

meia-noite (0 h 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular.

Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26 C,

a mínima 18 C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que

durante a manhã. Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?

A) A 18 e B 8= = .

B) A 22 e B 4= = − .

C) A 22 e B 4= = .

D) A 26 e B 8= = − .

E) A 26 e B 8= = .

PC14. (UCS) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média

diária T, em °C, possa ser expressa, em função do tempo t , em dias

decorridos desde o início do ano, por 2 (t 105)

T(t) 14 12sen .364

π − = +

Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de A) julho. B) setembro. C) junho. D) dezembro. E) março.


22

PC15. (UFSM) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função

( ) ( )N x 180 54cos x 16

π = − −

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num

Centro de Saúde, com x 1= correspondendo ao mês de janeiro, x 2,= ao

mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a A) 693. B) 720. C) 747. D) 774. E) 936.

1 A 6 E 11 B

2 D 7 C 12 C

3 A 8 A 13 B

4 B 9 C 14 A

5 D 10 B 15 B

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