MATEM£¾TICA - MATEM£¾TICA 1 PR1. (ESPCEX (AMAN) 2020) Na figura abaixo...

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  • TRIGONOMETRIA III

    MATEMÁTICA 1

    PR1. (ESPCEX (AMAN) 2020) Na figura abaixo está representado um trecho

    do gráfico de uma função real da forma y m sen (nx) k,=  + com n 0.

    Os valores de m, n e k, são, respectivamente

    A) 3, 3

    π e 1.−

    B) 6, 6

    π e 1.

    C) 3, 6

    π − e 1.

    D) 3, 3

    π − e 1.

    E) 3, 6

    π e 1.−

  • MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA III

    2

    PR2. (UFRGS 2019) Considere a função real de variável real

    f(x) 3 5 sen (2x 4).= − + Os valores de máximo, mínimo e o período de f(x)

    são, respectivamente,

    A) 2, 8, .π−

    B) 8, 2, .π−

    C) . 2, 8.π −

    D) , 8, 2.π −

    E) 8, , 2.π −

    PR3. (ENEM 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa

    roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

    A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao

    plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do

    ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à

    sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em

    relação ao solo, em função de t.

  • TRIGONOMETRIA III

    MATEMÁTICA 3

    Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

    A expressão da função altura é dada por

    A) f(t) 80 sen(t) 88= + .

    B) f(t) 80 cos(t) 88= + .

    C) f(t) 88 cos(t) 168= + .

    D) f(t) 168 sen(t) 88 cos(t)= + .

    E) f(t) 88 sen(t) 168 cos(t)= + .

    PR4. (ENEM PPL) Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por

    y a sen[b(x c)],=  + em que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa

    permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) A) a.

    B) b.

    C) c.

    D) a e b.

    E) b e c.

  • MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA III

    4

    PR5. (MACKENZIE) O número de soluções que a equação 24 cos x cos2x cosx 2− + = admite no intervalo [0, 2 ]π é

    A) 0 .

    B) 1.

    C) 2 . D) 3 .

    E) 4 . PR6. (FAMERP 2020) A figura indica os gráficos de uma reta r e uma

    senoide s, de equações 5

    y 2

    = e y 1 3sen(2x),= + em um plano cartesiano de

    eixos ortogonais.

    Sendo P um ponto de intersecção dos gráficos, conforme mostra a figura, sua abscissa, convertida para graus, é igual a

    A) 275 .

    B) 240 .

    C) 225 .

    D) 210 .

    E) 195 .

  • TRIGONOMETRIA III

    MATEMÁTICA 5

    PR7. (ENEM) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

    A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do

    quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função

    x P(x) 8 5cos ,

    6

    π π−  = +  

      onde x representa o mês do ano, sendo x 1=

    associado ao mês de janeiro, x 2= ao mês de fevereiro, e assim

    sucessivamente, até x 12= associado ao mês de dezembro.

    Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

    Na safra, o mês de produção máxima desse produto é A) janeiro. B) abril. C) junho. D) julho. E) outubro. PR8. (IFBA) A partir do solo, o pai observa seu filho numa roda gigante. Considere a altura A, em metros, do filho em relação ao solo, dada pela

    função ( )A(t) 12,6 4 sen[( 18) t 26 ],π= +  − onde o tempo (t) é dado em segundos e a medida angular em radianos. Assim sendo, a altura máxima e mínima e o tempo gasto para uma volta completa, observados pelo pai, são, respectivamente: A) 10,6 metros; 4,6 metros e 40 segundos. B) 12,6 metros; 4,0 metros e 26 segundos. C) 14,6 metros; 6,6 metros e 24 segundos. D) 14,6 metros; 8,4 metros e 44 segundos. E) 16,6 metros; 8,6 metros e 36 segundos.

  • MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA III

    6

    PR9. (FGV) O número de quartos ocupados em um hotel varia de acordo com a época do ano. Estima-se que o número de quartos ocupados em cada mês de determinado

    ano seja dado por Q(x) 150 30cos x 6

    π  = +  

      em que x é estabelecido da

    seguinte forma: x 1= representa o mês de janeiro, x 2= representa o mês de fevereiro, x 3= representa o mês de março, e assim por diante.

    Em junho, em relação a março, há uma variação porcentual dos quartos ocupados em

    A) 20%−

    B) 15%−

    C) 30%−

    D) 25%−

    E) 50%−

    PR10. (IFPE) Na cidade de Recife, mesmo que muito discretamente, devido à pequena latitude em que nos encontramos, percebemos que, no verão, o dia se estende um pouco mais em relação à noite e, no inverno, esse fenômeno se inverte. Já em outros lugares do nosso planeta, devido a grandes latitudes, essa variação se dá de forma muito mais acentuada. É o caso de Ancara, na

    Turquia, onde a duração de luz solar L, em horas, no dia d do ano, após 21

    de março, é dada pela função:

    2 L(d) 12 2,8 sen (d 80)

    365

    π  = +  − 

     

    Determine, em horas, respectivamente, a máxima e a mínima duração de luz solar durante um dia em Ancara.

    A) 12,8 e 12 .

    B) 14,8 e 9,2 .

    C) 12,8 e 9,2 .

    D) 12 e 12 .

    E) 14,8 e 12 .

  • TRIGONOMETRIA III

    MATEMÁTICA 7

    SOLUÇÃO PR1

    [D]

    Do gráfico, temos f(0) 1.= Logo, vem

    1 m sen(n 0) k k 1=   +  =

    Sabendo que a função seno é crescente no primeiro quadrante, podemos

    concluir que m 0. Ademais, como 1 senx 1,−   temos

    1 senx 1 1 sen(nx) 1

    m msen(nx) m

    m 1 msen(nx) 1 m 1.

    −    −  

       −

     +  +  − +

    Mas sabemos que 2 msen(nx) 1 4−  +  e, portanto, vem m 3.= −

    Ainda do gráfico, podemos afirmar que o período da função é 6. Logo, sendo

    n 0, temos

    2 6 n .

    | n | 3

    π π =  =

    SOLUÇÃO PR2

    [B] Calculando:

    f(x) 3 5 sen (2x 4)

    f(x) 3 5 8 máx sen (2x 4) 1

    f(x) 3 5 2 mín

    2 2 Período

    k 2

    π π π

    = − +

    = + =  + =   

    = − = − 

     = =

  • MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA III

    8

    SOLUÇÃO PR3

    [A]

    A função f é do tipo f(t) a bsen(mt).= + Logo, sendo f(0) 88,= temos a 88.=

    Ademais, pelo gráfico, sabemos que o período de f é 2π e, portanto, vem

    m 1.=

    Finalmente, como f 168, 2

    π  = 

      obtemos

    168 88 b b 80.= +  =

    A resposta é f(t) 88 80sent.= +

    SOLUÇÃO PR4

    [B]

    Reescrevendo a equação da onda, temos y a sen(bx bc).=  + Logo, o período

    da onda é dado por 2

    , b

    π dependendo, portanto, apenas do parâmetro b.

    SOLUÇÃO PR5

    [D]

    ( )

    ( )

    2

    2

    2 2 2

    2 2 2

    2 2

    sen x

    2

    2

    4cos x cos2x cosx 2

    4cos x cos x sen x cosx 2

    4cos x cos x sen x cosx 2

    3cos x 1 cos x cosx 2

    2cos x cosx 1 0

    1 1 4 2 1 cosx

    2 2

    − + =

    − − + =

    − + + =

    + − + =

    + − =

    −  −   − =

    1 cos x

    2 = ou cosx 1= −

    De   1

    cosx , x 0,2 , 2

    π= 

  • TRIGONOMETRIA III

    MATEMÁTICA 9

    x 3

    π = ou

    5 x .

    3

    π =

    De  cosx 1, x 0,2 ,π= −  x .π=

    Assim, a equação  24cos x cos2x cosx 2, x 0,2 ,π− + =  admite três soluções. SOLUÇÃO PR6

    [E] Tem-se que

    5 1 1 3sen2x sen2x

    2 2

    sen2x sen 6

    2x 2k 6

    ou

    2x 2k 6

    x k , k 12

    ou .

    5 x k , k

    12

    π

    π π

    π π π

    π π

    π π

    + =  =

     =

    = +

    = − +

    = + 

    = + 

    Logo, sendo x 12

    π = a menor r