VESTIBULAR IME 2009 (MATEMÁTICA FÍSICA QUÍMICA) · PDF fileGGE RESPONDE...

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    MATEMTICA

    01. Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operao , definida por X Y = (X Y) U (Y X). Pode-se afirmar que a) (X Y) (X Y) = b) (X Y) (X Y) = c) (X Y) (Y X) = d) (X Y) U (X Y) = X e) (X Y) U (Y X) = X RESOLUO: Representando x y por diagrama, temos:

    a) (X Y) (X Y) = (Verdadeiro) b) (X Y) (X Y) = x y (Falso) c) (X Y) (Y X) = y x (Falso) d) (X Y) U (X Y) = x y (Falso) e) (X Y) U (Y X) = x y (Falso) ALTERNATIVA A

    02. Seja z = . ei um nmero complexo onde e so, respectivamente, o mdulo e o argumento de z e i a unidade imaginria. Sabe-se que = 2a cs , onde a uma constante real positiva. A representao de z no plano complexo : a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    RESOLUO Seja Z = x + iy, a representao cartesiana do complexo Z. Z = ei , representao polar do complexo Z. Sabendo que = 2acos, substituindo em Z = ei . Obtemos que Z= 2acos.ei Mas ei = cos + isen, deste modo Z= 2acos(cos + i sen) Z = 2acos2 + 2acosseni Ento a parametrizao de X = 2acos2 e Y= 2acossen.

    ==sencosa2Y

    cosa2x 2

    =

    +=

    2asenY2

    2cos1a2x ;

    R 2

    cos2 1 = cos pois2

    +

    Assim

    =+=

    2asenY)2cos1(aX

    =+=

    2asenY2cosaaX

    ==

    2asenY2cosaaX

    Elevando ao quadrado; temos que

    =

    =

    2senaY

    2cosa)ax(222

    222 adicionando as equaes, temos

    que (xa)2+ y2=a2(cos22 + sen22). Como cos2 2+ sen2=1. Para todo 2 R. Obtemos (x-a)2 + y2= a2. Equao da circunferncia do centro C(a,o) e r=a (raio)

    ALTERNATIVAA

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    03. Seja A uma matriz quadrada inversvel de ordem 4 tal que o resultado da soma (A4 + 3 A3) uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A

    a) 81 b) 27 c) 3 d) 27 e) 81 Resoluo A4+3 A3=0 A4=-3A3 det(A4)= det(-3A3) (detA)4=(-3)4=(detA)3

    0]81A[det)A(det 3 =

    Mas A inversvel detA=81 ALTERNATIVA E

    04. Seja log 5 = m, log 2 = p e N = 125 35 2

    5,1562 . O valor de

    log5 N, em funo de m e p,

    a) m15

    p6m75 +

    b) m15

    p6m70

    c) m15

    p6m75

    d) m15

    p6m70 +

    e) p15

    p6m70 +

    RESOLUO: log5 = m log2 = p

    151

    531

    53

    5

    151

    31

    35 2log5,1562log5log

    2

    5,15625log +=

    255 log15

    110

    5,1562log313 +=

    ( )5

    2105

    65 log

    log151log5log

    313 +=

    ( )mp

    15125log6

    313 5 +=

    ( )( )mp

    1512log5log6

    313 55 ++=

    mp

    151

    5log2log16

    313

    +=

    m15p

    mp5

    313

    +=

    m15p

    m3p

    353 +=

    m15p6m70

    m15pp5m25m45

    =+

    =

    ALTERNATIVA B

    05. Sabe-se que . x,)41(2

    22yxsen

    x2cos

    2 +

    += Uma outra expresso

    para y a) 2

    b) xsen2

    2

    c) xsen22

    2

    d) xcos2

    2

    e) xcos22

    2 RESOLUO:

    R e x )41(2

    22yxsen

    x2cos

    2 +

    +=

    Temos que Rx ,2

    x2cos1xsen2 =

    Assim

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +=

    2

    )x2cos1(2

    x2cos

    2x2cos1

    x2cos

    sen

    x2cos

    212

    22

    412

    22

    )41(2

    22y 2

    x2cos

    1

    x2cos

    x2cos1

    1x2cos

    x2cos1

    x2cos

    221

    221

    )21(2)21(2

    )21(222y

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +=

    2

    222

    2 . 2

    22

    222

    222

    yx2cos

    x2cos

    x2cosx2cos

    x2cos

    x2cos

    x2cos

    =+

    +=

    +

    +

    =

    Logo xsen21-cos2x 222y ==

    xsen2 22y = ALTERNATIVA C 06. Um tringulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B) e C

    ) so, respectivamente, os ngulos opostos aos lado b e c, o

    valor deCtgBtg)

    )

    a) bcbaccba

    222

    222

    +

    +

    b) 222222

    cbacba

    +

    +

    c) 222222

    cbacba

    +

    +

    d) bcbaccba

    222

    222

    +

    +

    e) cb

    RESOLUO:

    R2CCsen ,

    R2bBsen ==

    ))

    ab2cbaCcos ,

    ac2bcaBcos

    222222 +=

    +=

    ))

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    ===BcosCcos

    CsenBsen

    CcosCsenBcosBsen

    CtgBtg

    )

    )

    )

    )

    )

    )

    )

    )

    )

    )

    222

    222

    222

    222

    bcacba

    bcaac2

    ab2cba

    cb

    +

    +=

    +

    +

    ALTERNATIVA B

    07. Os centros das faces de um tetraedro regular so os vrtices de um tetraedro interno. Se a razo entre os volumes dos

    tetraedros interno e original vale nm , onde m e n so inteiros

    positivos primos entre si, o valor de m + n a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 RESOLUO:

    AB = BC = CD = AC = AD = BD = a MN base media do BCD

    Mn = 2a

    AGH ~ AMN:

    3aGH

    32

    AMAG

    MNGH

    ===

    =

    =

    =

    271

    31

    nm

    aGH

    nm 33

    m + n = 28 ALTERNATIVA C

    08. Os raios dos crculos circunscritos aos tringulos ABD e ACD de um losango ABCD so, respectivamente,

    225 e 25. A rea do

    losango ABCD ?

    S(ABD)= 21 S (ABCD)

    )I( )ABCD(S25BD x

    2)ABCD(S

    2254.

    BD . x . x 2==

    S(ACD)= 21 S(ABCD)

    )II( )ABCD(S . 225 ACx

    2)ABCD(S

    4.25 AC. x . x 2

    ==

    Substituindo (I) em (II)

    4y2BD AC 25

    BD.x225 AC.x 22

    ===

    Pitgoras (III) xy5x)y2(y:ABP 22222 ==+

    S(ABCD)= (IV) y42

    y2.y4 2=

    Substituindo (III) e (IV) em (I)

    400)ABCD(510yy425

    y2.y5 22 ===

    ALTERNATIVA D

    09. Seja A (a, b) o ponto da cnica x2 y2 = 27 mais prximo da reta 4x 2y + 3 = 0. O valor de a + b a) 9 b) 4 c) 0 d) 4 e) 9 RESOLUO: x2 y2 = 27 x0x y0y = 27 (reta tangente)

    00

    0y27x

    yx

    y =

    4x 2y + 3 = 0 2y = 4x + 3 y = 2x + 23

    000

    0 y2x2yx

    ==

    27yy427yx 20

    220

    20 ==

    27y3 20 = 3y9y 020 ==

    =+==

    =+==

    9yx6x3y9yx6x3y

    0000

    0000

    127y

    27x 22

    =

    a2 = 27 b2 = 27 33a = 33b =

    23

    43

    ( )0;33( )0;33

    4x 2y + 3 = 0 (r) d(6,3) reta r

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    20

    21

    )2(4

    3326422

    =+

    +

    d(-6, -3) reta r

    20

    15

    )2(4

    3)3(2)6(422

    =

    +

    +

    (-6; -3) mais prximo a + b = - 6 +(-3) = - 9 ALTERNATIVA E

    10. Seja o sistema de equaes lineares dadas por

    . O valor de

    51 yY 37 +

    a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60 RESOLUO: Somando-se todas as equaes:

    310101010101054321 yyyyy =++++

    31yyyyy 54321 =++++ Subtraindo-se da primeira e da ltima ficamos com:

    5129y1295

    521y215

    5y

    1y

    5

    1

    ==

    ==

    5240

    5387147

    51293

    521737

    51 yY =+

    =

    +

    =+

    483751 yY =+

    ALTERNATIVA D

    11. Uma urna contm cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposio, 3 bolas desta urna, sendo o nmero da primeira bola, o da segunda e o da terceira. Dada a equao quadrtica x2 + x + = 0, a alternativa que expressa a probabilidade das razes desta equao serem reais a) 12519 b) 6023 c) 12526 d) 6026 e) 6025 RESOLUO: Espao amostral = x3 onde x = {1, 2, 3, 4, 5}. # = 53 = 125 Evento. E = {(, , ) e / 2 4 0} E = E1 UE2 UE3 UE4 UE5 onde Ec = {(, , ) E/ = i} E1: = 1 4 1 E1 = #E1 = 0 E2: = 2 4 4

    1 = = 1 #E2 = 0 E2 = {(1, 2, 1)} E3: = 3 4 9 2, 25 = 1 {1, 2} = 2 = 1 E3 = {(1, 3, 1); (1, 3, 2); (2, 3, 1)} #E3 = 3 E4: = 4 4 16

    4 = 1 {1, 2, 3, 4} = 2 {1, 2} = 3 = 1 = 4 = 1 E4 = {(1, 4, 1); (1, 4, 2); (1, 4, 3); (1, 4, 4); (2, 4, 1); (2, 4, 2); (3, 4, 1); (4, 4, 1)} #E4 = 8 E5 : = 5 4 25 6,25 = 1 {1, 2, 3, 4, 5} = 2 {1, 2, 3} = 3 {1, 2} = 4 1 = 5 = 1 E5 = {(1, 5, 1); (1, 5, 2); (1, 5, 3); (1, 5, 4); (1, 5, 5); (2, 5, 1); (2, 5, 2); (2, 5, 3); (3, 5, 1); (3, 5, 2); (4, 5, 1); (5, 5, 1)} #E5 = 12 #E = 24

    12524)E(P =

    SEM ALTERNATIVA 12. dada uma PA de razo r. Sabe-se que o quadrado de qualquer nmero par x, x > 2, pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos desta PA, onde n igual metade de x. O valor de r a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 16 RESOLUO

    n2x2xn ondexn

    2ana 21 ===

    +

    2211 )n2(xn2

    r)1n(aa==

    ++

    21 n4n2

    r)1n(2a2

    =

    +

    2a1 +(n-1)r=8n a1 +(n-1)r=8n-a1=an

    r)1n(a-an(I) n8aan

    1

    1

    =

    =+

    r)1n(n8an2 +=

    (I) 2

    r )1n(n8an +=

    21)r-(n8n- n8ann8a1

    +==

    2r)1n(n8a1

    =

    ran2

    r)12(2.8a2 +=+

    =

    r28r16r28

    2r16

    +=++=+

    r = 8 ALTERNATIVA C

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    13. Se as curvas y = x2 + ax + b e x = y2 + cy + d se interceptam em quatro pontos distintos, a soma das ordenadas destes