GGERESPONDEVESTIBULARIME2009(MATEMTICAFSICAQUMICA)

1www.gge.com.br

MATEMTICA

01. Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operao , definida por X Y = (X Y) U (Y X). Pode-se afirmar que a) (X Y) (X Y) = b) (X Y) (X Y) = c) (X Y) (Y X) = d) (X Y) U (X Y) = X e) (X Y) U (Y X) = X RESOLUO: Representando x y por diagrama, temos:

a) (X Y) (X Y) = (Verdadeiro) b) (X Y) (X Y) = x y (Falso) c) (X Y) (Y X) = y x (Falso) d) (X Y) U (X Y) = x y (Falso) e) (X Y) U (Y X) = x y (Falso) ALTERNATIVA A

02. Seja z = . ei um nmero complexo onde e so, respectivamente, o mdulo e o argumento de z e i a unidade imaginria. Sabe-se que = 2a cs , onde a uma constante real positiva. A representao de z no plano complexo : a)

b)

c)

d)

e)

RESOLUO Seja Z = x + iy, a representao cartesiana do complexo Z. Z = ei , representao polar do complexo Z. Sabendo que = 2acos, substituindo em Z = ei . Obtemos que Z= 2acos.ei Mas ei = cos + isen, deste modo Z= 2acos(cos + i sen) Z = 2acos2 + 2acosseni Ento a parametrizao de X = 2acos2 e Y= 2acossen.

==sencosa2Y

cosa2x 2

=

+=

2asenY2

2cos1a2x ;

R 2

cos2 1 = cos pois2

+

Assim

=+=

2asenY)2cos1(aX

=+=

2asenY2cosaaX

==

2asenY2cosaaX

Elevando ao quadrado; temos que

=

=

2senaY

2cosa)ax(222

222 adicionando as equaes, temos

que (xa)2+ y2=a2(cos22 + sen22). Como cos2 2+ sen2=1. Para todo 2 R. Obtemos (x-a)2 + y2= a2. Equao da circunferncia do centro C(a,o) e r=a (raio)

ALTERNATIVAA

GGERESPONDEVESTIBULARIME2009(MATEMTICAFSICAQUMICA)

2www.gge.com.br

03. Seja A uma matriz quadrada inversvel de ordem 4 tal que o resultado da soma (A4 + 3 A3) uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A

a) 81 b) 27 c) 3 d) 27 e) 81 Resoluo A4+3 A3=0 A4=-3A3 det(A4)= det(-3A3) (detA)4=(-3)4=(detA)3

0]81A[det)A(det 3 =

Mas A inversvel detA=81 ALTERNATIVA E

04. Seja log 5 = m, log 2 = p e N = 125 35 2

5,1562 . O valor de

log5 N, em funo de m e p,

a) m15

p6m75 +

b) m15

p6m70

c) m15

p6m75

d) m15

p6m70 +

e) p15

p6m70 +

RESOLUO: log5 = m log2 = p

151

531

53

5

151

31

35 2log5,1562log5log

2

5,15625log +=

255 log15

110

5,1562log313 +=

( )5

2105

65 log

log151log5log

313 +=

( )mp

15125log6

313 5 +=

( )( )mp

1512log5log6

313 55 ++=

mp

151

5log2log16

313

+=

m15p

mp5

313

+=

m15p

m3p

353 +=

m15p6m70

m15pp5m25m45

=+

=

ALTERNATIVA B

05. Sabe-se que . x,)41(2

22yxsen

x2cos

2 +

+= Uma outra expresso

para y a) 2

b) xsen2

2

c) xsen22

2

d) xcos2

2

e) xcos22

2 RESOLUO:

R e x )41(2

22yxsen

x2cos

2 +

+=

Temos que Rx ,2

x2cos1xsen2 =

Assim

+

+=

+

+=

+

+=

2

)x2cos1(2

x2cos

2x2cos1

x2cos

sen

x2cos

212

22

412

22

)41(2

22y 2

x2cos

1

x2cos

x2cos1

1x2cos

x2cos1

x2cos

221

221

)21(2)21(2

)21(222y

+

+=

+

+=

+

+=

2

222

2 . 2

22

222

222

yx2cos

x2cos

x2cosx2cos

x2cos

x2cos

x2cos

=+

+=

+

+

=

Logo xsen21-cos2x 222y ==

xsen2 22y = ALTERNATIVA C 06. Um tringulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B) e C

) so, respectivamente, os ngulos opostos aos lado b e c, o

valor deCtgBtg)

)

a) bcbaccba

222

222

+

+

b) 222222

cbacba

+

+

c) 222222

cbacba

+

+

d) bcbaccba

222

222

+

+

e) cb

RESOLUO:

R2CCsen ,

R2bBsen ==

))

ab2cbaCcos ,

ac2bcaBcos

222222 +=

+=

))

GGERESPONDEVESTIBULARIME2009(MATEMTICAFSICAQUMICA)

3www.gge.com.br

===BcosCcos

CsenBsen

CcosCsenBcosBsen

CtgBtg

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

222

222

222

222

bcacba

bcaac2

ab2cba

cb

+

+=

+

+

ALTERNATIVA B

07. Os centros das faces de um tetraedro regular so os vrtices de um tetraedro interno. Se a razo entre os volumes dos

tetraedros interno e original vale nm , onde m e n so inteiros

positivos primos entre si, o valor de m + n a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 RESOLUO:

AB = BC = CD = AC = AD = BD = a MN base media do BCD

Mn = 2a

AGH ~ AMN:

3aGH

32

AMAG

MNGH

===

=

=

=

271

31

nm

aGH

nm 33

m + n = 28 ALTERNATIVA C

08. Os raios dos crculos circunscritos aos tringulos ABD e ACD de um losango ABCD so, respectivamente,

225 e 25. A rea do

losango ABCD ?

S(ABD)= 21 S (ABCD)

)I( )ABCD(S25BD x

2)ABCD(S

2254.

BD . x . x 2==

S(ACD)= 21 S(ABCD)

)II( )ABCD(S . 225 ACx

2)ABCD(S

4.25 AC. x . x 2

==

Substituindo (I) em (II)

4y2BD AC 25

BD.x225 AC.x 22

===

Pitgoras (III) xy5x)y2(y:ABP 22222 ==+

S(ABCD)= (IV) y42

y2.y4 2=

Substituindo (III) e (IV) em (I)

400)ABCD(510yy425

y2.y5 22 ===

ALTERNATIVA D

09. Seja A (a, b) o ponto da cnica x2 y2 = 27 mais prximo da reta 4x 2y + 3 = 0. O valor de a + b a) 9 b) 4 c) 0 d) 4 e) 9 RESOLUO: x2 y2 = 27 x0x y0y = 27 (reta tangente)

00

0y27x

yx

y =

4x 2y + 3 = 0 2y = 4x + 3 y = 2x + 23

000

0 y2x2yx

==

27yy427yx 20

220

20 ==

27y3 20 = 3y9y 020 ==

=+==

=+==

9yx6x3y9yx6x3y

0000

0000

127y

27x 22

=

a2 = 27 b2 = 27 33a = 33b =

23

43

( )0;33( )0;33

4x 2y + 3 = 0 (r) d(6,3) reta r

GGERESPONDEVESTIBULARIME2009(MATEMTICAFSICAQUMICA)

4www.gge.com.br

20

21

)2(4

3326422

=+

+

d(-6, -3) reta r

20

15

)2(4

3)3(2)6(422

=

+

+

(-6; -3) mais prximo a + b = - 6 +(-3) = - 9 ALTERNATIVA E

10. Seja o sistema de equaes lineares dadas por

. O valor de

51 yY 37 +

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60 RESOLUO: Somando-se todas as equaes:

310101010101054321 yyyyy =++++

31yyyyy 54321 =++++ Subtraindo-se da primeira e da ltima ficamos com:

5129y1295

521y215

5y

1y

5

1

==

==

5240

5387147

51293

521737

51 yY =+

=

+

=+

483751 yY =+

ALTERNATIVA D

11. Uma urna contm cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposio, 3 bolas desta urna, sendo o nmero da primeira bola, o da segunda e o da terceira. Dada a equao quadrtica x2 + x + = 0, a alternativa que expressa a probabilidade das razes desta equao serem reais a) 12519 b) 6023 c) 12526 d) 6026 e) 6025 RESOLUO: Espao amostral = x3 onde x = {1, 2, 3, 4, 5}. # = 53 = 125 Evento. E = {(, , ) e / 2 4 0} E = E1 UE2 UE3 UE4 UE5 onde Ec = {(, , ) E/ = i} E1: = 1 4 1 E1 = #E1 = 0 E2: = 2 4 4

1 = = 1 #E2 = 0 E2 = {(1, 2, 1)} E3: = 3 4 9 2, 25 = 1 {1, 2} = 2 = 1 E3 = {(1, 3, 1); (1, 3, 2); (2, 3, 1)} #E3 = 3 E4: = 4 4 16

4 = 1 {1, 2, 3, 4} = 2 {1, 2} = 3 = 1 = 4 = 1 E4 = {(1, 4, 1); (1, 4, 2); (1, 4, 3); (1, 4, 4); (2, 4, 1); (2, 4, 2); (3, 4, 1); (4, 4, 1)} #E4 = 8 E5 : = 5 4 25 6,25 = 1 {1, 2, 3, 4, 5} = 2 {1, 2, 3} = 3 {1, 2} = 4 1 = 5 = 1 E5 = {(1, 5, 1); (1, 5, 2); (1, 5, 3); (1, 5, 4); (1, 5, 5); (2, 5, 1); (2, 5, 2); (2, 5, 3); (3, 5, 1); (3, 5, 2); (4, 5, 1); (5, 5, 1)} #E5 = 12 #E = 24

12524)E(P =

SEM ALTERNATIVA 12. dada uma PA de razo r. Sabe-se que o quadrado de qualquer nmero par x, x > 2, pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos desta PA, onde n igual metade de x. O valor de r a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 16 RESOLUO

n2x2xn ondexn

2ana 21 ===

+

2211 )n2(xn2

r)1n(aa==

++

21 n4n2

r)1n(2a2

=

+

2a1 +(n-1)r=8n a1 +(n-1)r=8n-a1=an

r)1n(a-an(I) n8aan

1

1

=

=+

r)1n(n8an2 +=

(I) 2

r )1n(n8an +=

21)r-(n8n- n8ann8a1

+==

2r)1n(n8a1

=

ran2

r)12(2.8a2 +=+

=

r28r16r28

2r16

+=++=+

r = 8 ALTERNATIVA C

GGERESPONDEVESTIBULARIME2009(MATEMTICAFSICAQUMICA)

5www.gge.com.br

13. Se as curvas y = x2 + ax + b e x = y2 + cy + d se interceptam em quatro pontos distintos, a soma das ordenadas destes