Matematinė analizė ir tiesinė algebra

3-4 paskaitos.

2

• Tegu y=f(x) ir Δx yra funkcijos argumento pokytis taške x, o Δy=f(x+Δx)-f(x) – atitinkamas funkcijos pokytis. Funkcijos išvestine taške x (žymima f’(x)) vadinama riba

•Jei riba neegzistuoja, sakoma, kad funkcija išvestinės taške neturi.

•Jei funkcija turi išvestinę taške x, tai ji vadinama diferencijuojama taške x. Išvestinės skaičiavimas vadinamas funkcijos diferencijavimu.

•Jei funkcija f(x) turi išvestinę taške x, tai ji yra tolydi šiame taške.

Funkcijos išvestinė

.)()(

limlim)(00 x

xfxxf

x

yxf

xx

3

• Išvestinės f’(x) geometrinė interpretacija: tai yra kampo, kurį sudaro funkcijos f(x) liestinė taške (x, f(x)) su Ox ašimi, tangentas.

•Kita vertus, santykis Δy/Δx yra funkcijos kitimo vidutinis greitis, kai argumentas kinta intervale [x; x+Δx]. Vadinasi, riba

rodo funkcijos kitimo momentinį greitį (funkcijos kitimo greitį momentu x).

•Pavyzdžiui, tegu K=K(x) yra gamybos kaštų K priklausomybė nuo produkcijos kiekio x. Šios funkcijos pokytis ΔK=K(x+Δx)-K(x) yra gamybos kaštų pokytis, atitinkantis produkcijos kiekio pokytį Δx. Tuomet santykis ΔK/Δx yra vidutinis kaštų kitimo greitis produkcijos kiekio intervale [x; x+Δx] ir momentinis (ribinis) gamybos kaštų kitimo greitis, esant gamybos lygiui x, gaunamas apskaičiavus ribą

Išvestinės interpretacijos

.)()(

lim0 x

xKxxKx

)(lim0

xfx

yx

4

• Pastoviosios funkcijos išvestinė lygi nuliui.

• Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija, tai su bet kuria konstanta c

• Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai

• Išvada. Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai su bet kuriomis konstantomis a ir b

Diferencijavimo taisyklės

)()( xfcxfc

)()()()( xgxfxgxf

)()()()( xgbxfaxbgxaf

5

• Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos, tai

• Jei f(x) yra diferencijuojama funkcija ir f(x)≠0, tai

•Jei f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos funkcijos ir g(x)≠0, tai

Diferencijavimo taisyklės

)()()()()()( xgxfxgxfxgxf

.))((

)(

)(

12xf

xf

xf

2))((

)()()()(

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

6

Diferencijavimo taisyklės

0c

uccu )(

•Pažymėję u=f(x), v=g(x), galime parašyti

vuvu )(

vuvuuv )(

2

1

v

v

v

2v

vuvu

v

u

7

Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė

1 ,)( 1 xkxx kk

0 ,ln)( ,)( aaaaee xxxx

1 ,0 ,ln

1log ,

1)(ln a aa

axx

xx

22 1

1) arcctg( ,

1

1) arctg(

xx

xx

xxxx sin)cos( ,cos)(sin

,sin

1) ctg( ,

cos

1) tg(

22 xx

xx

22 1

1)(arccos ,

1

1)(arcsin

xx

xx

8

•Teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama ir monotoniška intervale (a; b). Tada f(x) turi atvirkštinę funkcija g(x), funkcija g(x) yra diferencijuojama savo apibrėžimo srityje (c; d), ir kiekvienam x iš intervalo (c; d)

•Teorema (sudėtinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad f(x) yra diferencijuojama taške x, o funkcija g(y) yra diferencijuojama taške y=f(x). Tuomet sudėtinė funkcija F(x)=g(f(x)) taip pat yra diferencijuojama taške x ir

arba

Diferencijavimo taisyklės

))((

1)(

xgfxg

)())(()( xfxfgxF

xyx fgF

9

• Funkcijos f(x) diferencialu dy taške x vadinama sandauga f’(x)Δx, t.y.

• Vietoje Δx galime rašyti dx, nes dx=x’Δx=Δx. Taigi

arba

t.y. funkcijos išvestinė yra lygi funkcijos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui. Šiuo santykiu dažnai žymima išvestinė.

• Kai argumento pokytis Δx yra mažas, tai Δy ≈ dy. Todėl diferencialas yra naudojamas skaičiuojant funkcijų reikšmes ir vertinant paklaidų didumą. Tarkime Δy yra f(x) pokytis taške x, atitinkantis argumento pokytį Δx. Tuomet, jei f(x) yra žinoma, tai funkcijas reikšmes x aplinkoje galima įvertinti kaip

Diferencialas

xxfy )(d

.)()()( xxfxfxxf

xxfy d)(d

),(d

dxf

x

y

10

• Funkcijos f(x) n-oji išvestinė yra (n-1)-osios išvestinės išvestinė. Šios išvestinės žymimos

arba

• Leibnico formulė

Aukštesniųjų eilių išvestinės

)( , ... ),( ),( ),( )( xfxfxfxf n

.d

d , ... ,

d

d ,

d

d ,

d

d n

3

3

2

2

nx

y

x

y

x

y

x

y

.)(0

)()()(

n

k

knkkn

n vuCuv

11

Elementariųjų funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinių lentelė

1 ,))(1)...(1())(( )( nkaxnkkkax nknk

0 ,)(ln)( ,)( )()( aaaaee nxnxxnx

1 ,)!1(

)1()(ln 1)(

nx

nx

nnn

xnxxnx nn

2cos)(cos ,

2sin)(sin )()(

1

)(

)(

!)1(

1

nn

n

ax

n

ax

1

21

121

)(

21

)(

2 )(

1

)(

1!)1(

))((

11nn

nnn

xxxxxx

n

xxxxqpxx

12

• Dar viena ekonomikoje taikoma rodiklių kitimo greičio charakteristika yra elastingumas. Funkcijos y=f(x) santykine išvestine, arba elastingumu, kintamojo x atžvilgiu taške x vadinama riba

•Elastingumas nesunkiai išreiškiamas funkcijos y=f(x) išvestine

•Elastingumo ekonominė prasmė yra procentinis funkcijos y pokytis argumento reikšmei pakitus vienu procentu: Ex(y) didumas rodo, keliais procentais pakito y, kai kintamasis x pakito vienu procentu.

Išvestinės taikymai. Elastingumas

.0 ,0 ,:lim0

yx

x

x

y

y(y)E

xx

).(limlim00

xyy

x

x

y

y

x

x

y

y

x(y)E

xxx

13

• Sprendžiame lygtį f(x)=0. Jei pradinis artinys x0 toks, kad

tai

kur a yra lygties šaknis: f(a)=0, o

Išvestinės taikymai. Netiesinių lygčių sprendimas Niutono metodu.

,lim axnn

),( 02

00 xf)|(xf)|f(x

.)(

)(

1

11

n

nnn xf

xfxx

14

• Tarkime, kad f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos taško a aplinkoje, išskyrus galbūt patį tašką a, g(x)≠0 ir g’(x)≠0 toje aplinkoje, ir

Tuomet:

jei dešinės pusės riba egzistuoja arba yra +∞ arba -∞.

•Pastaba. Lopitalio taisyklė taikytina ir tada, kai f(x)/g(x) yra neapibrėžtumas ∞/∞ taške a. Taisyklė galiojo ir kai a=∞ arba a=-∞.

Išvestinės taikymai. Lopitalio taisyklė

.0)(lim)(lim

xgxfaxax

,)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfaxax

15

• Tarkime, kad funkcija f(x) turi visas išvestines taško a aplinkoje. Tuomet toje aplinkoje

Išvestinės taikymai. Teiloro formulė

.)(!

)()(

0

)(

n

nn

axn

afxf

16

• Lagranžo teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi uždarame intervale [a; b] ir turi išvestinę bent atvirame intervale, tai yra toks taškas c, a<c<b, kad galioja lygybė

vadinama Lagranžo, arba baigtinių pokyčių, formule.

•Išvestine yra patogu naudotis, tiriant funkcijas bei braižant jų grafikus. Remiantis Lagranžo teorema, įrodomas funkcijos pastovumo kriterijus ir didėjimo bei mažėjimo požymiai.

•Funkcija y=f(x) yra pastovi intervale tada ir tik tada, kai jos išvestinė šiame intervale yra lygi nuliui.

•Jei funkcija y=f(x) intervale didėja (mažėja), tai jos išvestinė šiame intervale tenkina nelygybę f’(x)≥0 (f’(x)≤0 ).

•Jei funkcijos y=f(x) išvestinė intervale yra teigiama (neigiama), tai funkcija šiame intervale yra didėjanti (mažėjanti).

Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai

),)(()()( abcfafbf

17

• Funkcijos y=f(x) reikšmė f(a) vadinama funkcijos lokaliu maksimumu (minimumu), jei yra taško a aplinka, kurioje galioja nelygybė f(x) < f(a) (f(x) > f(a)).

•Funkcijos maksimumai ir minimumai vadinami jos ekstremumais, o tos argumento reikšmės, kuriose įgyjami ekstremumai, - ekstremumo taškais.

Kaip randami funkcijos ekstremumo taškai?

•Teorema. Tegu funkcija y=f(x) intervalo (a; b) taške c įgyja ekstremumą. Jei šiame taške egzistuoja išvestinė f’(c) , tai ji yra f’(c)=0.

•Ieškant ekstremumo reikia tirti ne tik tuos taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, bet ir tuos, kuriose išvestinė neegzistuoja. Visi tokie taškai vadinami kritiniais taškais.

Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai

18

• Teorema (pakankamos ekstremumo sąlygos). Tarkime, kad funkcija y=f(x) yra tolydi atvirame intervale ir diferencijuojama kiekviename to intervalo taške, išskyrus galbūt jo vidinį tašką c. Tuomet

1) jei f’(x)>0 į kairę nuo c ir f’(x)<0 į dešinę nuo c, tai f(c) yra lokalusis maksimumas;

2) jei f’(x)<0 į kairę nuo c ir f’(x)>0 į dešinę nuo c, tai f(c) yra lokalusis minimumas;

3) jei f’(x) turi tą patį ženklą abipus taško c, tai f(c) nėra nei minimumas, nei maksimumas.

• Teorema. Tarkime, f’(c)=0. Jei f’’(c)<0, tai f(c) yra lokalusis maksimumas. Jei f’’(c)>0, tai f(c) yra lokalusis minimumas.

Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai