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MATEMÁTICA I ALGEBRA TOMO I
ING. RAÚL MARTÍNEZ
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 1
PROLOGO
Este trabajo fue elaborado específicamente para el programa de ingreso MATEMATICA I de la
FIUNA, no contiene la materia básica, es por eso se recomienda leerlo conjuntamente o
posteriormente al libro de Baldor u otro análogo.
El principal objetivo de este escrito es que la facultad de Ingeniería, sea más accesible a la
gran mayoría de los bachilleres y que deje de ser una opción favorable a una elite que puede
solventar los cursillos particulares.
De esta manera el autor está rindiendo tributo a la facultad en donde adquirió sus
conocimientos matemáticos.
Con este trabajo el autor quiere homenajear al EX DECANO de la facultad de Ingeniería UNA.
Ingeniero........ PALEARI, último bastión y baluarte (En la universidad) de resistencia al
oscurantismo que asoló a nuestro país, haciendo votos para que en breve vuelvan a trinar
“Los ruiseñores” (Grupo Vocal DOS) en esta facultad.
Todo indica que el Paraguay como el ave FENIX, está renaciendo de las cenizas y es en la
universidad que serán pulidas sus alas para adentrarnos en el tercer milenio, y de esta
juventud serán escogidos los artesanos artífices.
Cirino Raúl Martínez Princigalli
ING. DE MINAS.
(U.F.M.G.)
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 2
TOMO I
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE FRACCIONES ALGEBRAICAS
POTENCIACION-RADICACION-EXPONENTE FRACCIONARIO
ECUACIONES
CANTIDADES IMAGINARIAS-NUMEROS COMPLEJOS
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO A UNA INCOGNITA
ECUACI8ONES IRRACIONALES
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 3
CAPITULO 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expressiones algebraicas y transcendentes
Expresiones racionales e irracionales
Expresiones enteras y fraccionarias
Expresiones de una y de mas de una variable
Termino algebraico
Monomios y polinomios
Grado de las expresiones algebraicas
Expresion general de un polinomio
Nociones de funciones
Ejercicios propuestos
CAPITULO 2 POLINOMIOS IDENTICOS
Polinomios idénticos
Polinomios idénticamente nulos
Aplicaciones de los polinomios idénticos: Metodo de los coeficientes a determinar
Metodo de Descartes – Ejercicios
CAPITULO 3 DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR BINOMIOS
Generalidades
Teorema del resto ( Teorema de D Alembert )
Formacion del cociente en base al esquema de Ruffini Briot ( o Horner )
Teoremas de divisibilidad de polinomios por binomios
Aplicaciones practicas de la divisibilidad de polinomios por binomios
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos sobre fracciones algebraicas
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 4
capitulo 4 potenciacion - radicación - exponente fraccionario
Generalidades
Propiedades
Racionalizante de una expresión irracional ( 3 casos )
Ejercicios propuestos
CAPITULO 5 ECUACIONES
Igualdad – Clasificacion
Clasificacion de las ecuaciones
Resolucion de una ecuación – Principios
Ecuacion de primer grado o lineal con una incognita
Ejercicos propuestos
Sistemas de ecuaciones – Clasificacion
Resolucion y transformación de los sistemas de ecuaciones : Principios
Ejercicios propuestos
Sistemas de ecuaciones lineales resueltos por artificios
Ejercicios propuestos
CAPITULO 6 CANTIDADES IMAGINARIAS - NUMEROS COMPLEJOS
Generalidades
Operaciones con los números imaginarios puros – Ejercicios
Numeros complejos – Forma binomica o algebraica
Operaciones con números complejos – Ejercicios
Forma trigonométrica de un numero complejo
Modulo o argumento de un numero complejo – Ejercicios
Operaciones con números complejos en la forma trigonométrica – Ejercicios
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 5
CAPITULO 7 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO A UNA INCOGNITA
Ecuacion general y ecuaciones incompletas
Resolucion de la ecuación de segundo grado : Metodo de Bhaskara
Propiedades de las raíces y aplicaciones
Transformadas de una ecuación de segundo grado
Ecuaciones con raíces comunes
Descomposicion en factores del trinomio de segundo grado
Ejercicios propuestos
Ecuaciones bicuadradas
Descomposicion en factores del trinomio bicuadrado
Ejercicios propuestos
CAPITULO 8 ECUACIONES IRRACIONALES
Generalidades
Racionalizacion por potenciación : 6 Tipos
Racionalizacion por incognitas auxiliares : 5 Tipos
Sistemas de ecuaciones irracionales
Ejercicios propuestos
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 6
Expresiones Algebraicas
Es el conjunto de números y letras que están relacionados entre sí por medio de
operaciones de: suma, resta multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación
Ejemplos:
√ ; √
;
Clasificación: existen varios criterios para clasificar las expresiones algebraicas.
Expresiones Algebraicas propiamente dicha y Expresiones Transcendentes
Expresiones algebraicas propiamente dichas: son las expresiones en que
la parte literal están sometidos únicamente a operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y radicación, no incluyendo las
potencias de exponente literal ni las raíces de índice literal. Ejemplo:
√
; √
√
Expresiones Transcendentales: son las expresiones en que además de las
operaciones anteriores, también figuran potencias con exponente literal,
radicales con índices literales, logaritmos y funciones trigonométricas.
Ejemplo:
; √
Expresiones Racionales e irracionales:
Expresiones racionales: son los que no contienen letras o parte literal bajo
el signo radical o con exponente fraccionario.
Ejemplo:
; √ ;
Expresiones irracionales: son las expresiones en que la parte literal está
bajo el signo radical o tiene exponente fraccionario.
Ejemplo: √ ; √ +b ;
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 7
Expresiones enteras y fraccionarias:
Expresiones enteras: son las expresiones que no contienen parte literal en
el denominador ni parte literal con exponente negativo.
Ejemplo: – ;
;
Expresiones fraccionarias: son las expresiones en que la parte literal esta en
el denominador o tienen exponente negativo.
Ejemplo:
;
;
Observación: Estas clasificaciones pueden decir respecto a una sola letra, a varios o a todas las letras. En caso de que una determinada clasificación sea relativa a una letra es necesario decirlo o
expresarlo y cuando fuere para todas las letras que figuran en la expresión se puede omitir
expresarlo.
Ejemplos: √
………………{
Pero si lo consideramos con respecto a todas las letras es una expresión transcendente,
irracional y fraccionaria.
Expresiones de una variable y de más de una variable
Expresiones de una variable: cuando la parte literal consta de una sola letra o
variable.
Ejemplo: ; √ ;
son expresiones de una sola variable.
OBS: algunas veces hacemos una ressalva; con respecto a otras letras
por ejemplo: Siendo y constante la expresión.
……………..……representa una expresión a una variable .
Expresiones de dos o más variables: es cuando la parte literal de una expresión
consta de dos o más letras o variables:
Ejemplo: …………………………Expresión de 2 variables.
………………..Expresión de 3 variables.
ALGEBRA
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Término Algebraico
Es la parte fundamental o elemento constitutivo de las expresiones algebraicas y es el
conjunto de números y letras relacionados entre sí por cualquier operación aritmética menos
la suma y resta.
El término consta de tres partes: signo, coeficiente y parte literal
Ejemplo: ; √
Monomios e Polinomios:
Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término.
Polinomio: es la expresión algebraica constituida por dos o más términos
cuando queremos especificar el número de términos podemos llamarlo
binomio; trinomio etc. o también simplemente polinomio.
Grado de las expresiones algebraicas: nuevamente el grado de una expresión
algebraica puede ser relativa a una letra, varias letras o a todas las letras.
Grado de un monomio: el grado de un monomio con respecto a una letra es
el exponente de dicha letra.
El grado de un monomio en relación a un conjunto de letras es la suma de
los exponentes de dichas letras.
Cuando no se dice con respecto a que letra entiéndase con respecto a todos
y en este caso es la suma de todos los exponentes.
Ejemplo: ………………………… 6
OBS: cuando el monomio es fraccionario el grado estará dado por la diferencia entre el grado
del numerador y el grado del denominador.
Ejemplo:
………………………………………………….. es un monomio de 3° grado
Cuando el monomio es irracional: es solo transformar las letras bajo el signo radical con exponente fraccionario y se aplica el mismo principio
Ejemplo: √ …………………………………………………………….Es un monomio de grado
√
…………………………………………………………Es un monomio de grado
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 9
EXPRESIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO
La expresión general de un polinomio en la variable , es un polinomio en que tanto los
coeficientes y los exponentes son representados en forma literal, exigiendo un determinado
orden. La representación más utilizada es:
Las letras en mayusculas con los subíndices, representan los coeficientes, siendo un
número entero y positivo, este polinomio representa un polinomio entero y racional en .
Observar que en todos los términos, la suma de los subíndices del coeficiente y
exponente de la variable es igual a .
También es conveniente observar que si el polinomio es completo el número de
término será términos, es decir el grado del polinomio más uno.
Es común también referirse a un polinomio en como:
La expresión general del polinomio es de mucha utilidad, pues podemos referirnos a
cualquier término, coeficiente o variable fácilmente.
Ejemplo 1: Si tenemos un polinomio de 12 grados, es decir .
El coeficiente del octavo termino será , y la variable será (Termino central).
El polinomio tendrá en total 13 términos (Si fuera completo).
El último término, es decir el término independiente de será .
El termino que ocupa el décimo lugar será
Ejemplo 2: Escribir la expresión general de un polinomio utilizando en los coeficientes la letra
“ ” y en el exponente “ ” y la variable “ ”.
ALGEBRA
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Ejemplo 3: Cuando escribimos un polinomio.
…………………………………………………….En este polinomio.
los términos desde hasta inclusive, no existen, es decir son cero y podríamos
representar también el mismo polinomio de la forma:
El número de términos de este polinomio completo será términos.
Ejemplo 4: Cuando escribimos un polinomio de la siguiente forma:
Con esta expresión queremos indicar que los coeficientes de , hasta el coeficiente de
inclusive es uno.
Este polinomio es un polinomio completo y tendrá términos.
Supongamos que , entonces el termino que ocupa el lugar 12 será: .
Obs.: Existen otras formas de representar un polinomio general en , como:
ALGEBRA
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Nociones de funciones
Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver problemas técnicos y, por
consiguiente matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en
dependencia a la variación de otra.
Al estudiar el movimiento , el espacio recorrido es una variable que depende del
tiempo que duró el movimiento. De este modo el espacio recorrido es función del
tiempo…..…. .
En este caso, la variable independiente, libre o argumento es el tiempo , y la variable
dependiente o subordinada es el espacio .
Al estudiar el área o el perímetro de un cuadrado, tenemos que ambas variables son
dependientes de la medida de lado que sería en este caso la variable independiente,
y tendremos
Con estos símbolos queremos indicar que las
variables de área y perímetro, ambas variables dependientes de una única
variable independiente, el lado ; pero por medio de diferentes operaciones
algebraicas, es decir:
Así para representar varias expresiones diferentes con una misma variable , podemos
expresar con los símbolos.
….
…….
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1- Calcular el valor numérico de:
a)
Rta.: 1.814.400
b) {
Rta.: 81
c) Rta.: 0
d) Rta.: 0
e) Rta.:
f) Rta.: 1
g) Rta.:
h) Rta.: 0
I) Rta.: 8
j)
Rta.:
k) Rta.:
l) Rta.:
2- Representar en forma general un polinomio en , siendo el mayor exponente un número
par y su coeficiente .
3- Representar en forma general un polinomio , de grado impar, siendo el coeficiente del
término de mayor grado
4- Siendo un polinomio entero y racional en , y siendo el mayor grado de la variable igual a 10
Escribir el término central.
Escribir el penúltimo termino.
Escribir el termino que ocupa el 5 lugar.
5- En un polinomio completo, entero y racional en , de grado .
Cual es el número de términos de este polinomio.
Escribir la parte literal de 5º término.
6- Representar en forma general, dos polinomios enteros y racionales y completos en , de
grados .
En uno utilizar en los coeficientes la letra y en el otro .
Representar la suma de dichos polinomios.
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POLINOMIOS IDÉNTICOS - Generalidades
Cuando resolvemos una ecuación, buscamos las raíces, es decir los valores de la
variable independiente que hacen verdadera la expresión algebraica.
Si la ecuación es de 1º grado tendrá una raíz, si fuere de de 2º grado tendrá dos raíces,
y en general, si es de grado, tendrá raíces.
Al sustituir los valores de estas raíces en la expresión algebraica, tendremos siempre
una igualdad entre el 1º miembro y el 2º miembro de la ecuación, y esta igualdad se
verificara únicamente para las raíces de dicha ecuación.
Por otra parte es frecuente encontrar expresiones algebraicas en que el 1º miembro es
siempre igual al 2º miembro, independientemente del valor atribuido a la variable.
Para una mejor comprensión analizaremos el ejemplo:
Sabemos por aritmética que en una división entera o inexacta, siempre se cumple que el
dividendo (D) es igual al divisor por el cociente más el resto, es decir
Luego aplicando dicho principio o ley matemática podemos escribir.
Esta expresión siempre será verdadera para cualquier valor atribuido a la variable, entonces
decimos que estas dos expresiones son idénticas.
{
𝐷 𝑑 ∙ 𝑐 𝑟
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Polinomios idénticos. Definición
Dos polinomios son idénticos entre si cuando sus valores numéricos son iguales para
todos los valores atribuidos a la variable. (Consideraremos solamente los polinomios a una
variable)
Las condiciones para que dos polinomios racionales y enteros sean idénticos entre si en
relación a una variable son:
Sean del mismo grado.
Los coeficientes de las potencias del mismo grado de la variable sean iguales.
Sean los polinomios idénticos 2
Para que estos polinomios sean idénticos deben cumplir la 1º condición: que sean del mismo grado, es decir debemos completar el 2º polinomio.
La relación de identidad es:
La segunda condición requiere:
{
Obs.: Para verificar una identidad, basta efectuar las operaciones indicadas en los dos
miembros y comparar los resultados, si fueren iguales termino a término, la identidad es
verdadera.
Se acostumbra también transformar uno de los miembros hasta obtener el otro.
ALGEBRA
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Ejemplos:
1- Determinar los valores de , que verifican la identidad.
–
Aplicando la condición de identidad de dos polinomios, tendremos
{
{
2- Determinar en la siguiente identidad:
Efectuando los productos indicados y factoreando los términos del mismo grado de x,
tendremos:
Aplicando las condiciones de identidad de dos polinomios tendremos:
{
{
Resolviendo el
Sistema tendremos
Que resolviendo el
sistema
ALGEBRA
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POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Generalidades: Aplicando el concepto de polinomios idénticos entre sí, podemos decir que
un polinomio es idénticamente nulo cuando es idéntico al polinomio del mismo grado cuyos
coeficientes son iguales a cero. Es decir:
El polinomio
es idénticamente nulo si:
Definición: Un polinomio es idénticamente nulo cuando su valor numérico es nulo para todos
y cualquier valor atribuido a la variable o a las variables.
La condición para que un polinomio entero y racional sea idénticamente nulo en relación a una variable, es necesario y suficiente que los coeficientes de todas las potencias de la variable que figuran en el polinomio, inclusive el de la potencia cero, sean nulos. Sea el polinomio
La condición para que este polinomio sea idénticamente nulo es que:
{
{
Ejemplo 1: Determinar los valores de los parámetros y , de forma que el polinomio
sea idénticamente nulo.
Por la condición, para que el polinomio sea idénticamente nulo tendremos:
{
{
Resolviendo el sistema
tendremos
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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 17
Ejemplo 2: Determinar los valores de que verifiquen la identidad
–
Aplicando la condición para que sea idénticamente nulo tendremos:
{
Resolviendo el sistema con las 3 primeras ecuaciones tendremos: {
El valor no satisface la 4º ecuación, por tanto dicho polinomio no puede ser
idénticamente nulo.
Ejemplo 3: Determinar los valores de para los cuales:
Aplicando la condición tendremos
{
Resolviendo el sistema tendremos {
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Aplicaciones de los polinomios idénticos
Los polinomios idénticos tienen muchas aplicaciones en algebra y calculo, nosotros
mostraremos algunos de los más utilizados con algunos ejemplos.
Antes de adentrarnos en los procesos vamos a recordar someramente algunos conceptos
básicos del algebra.
En una división exacta de polinomios. ∙
En una división entera o inexacta de polinomios se cumple la siguiente relación
El grado del cociente en una división de polinomios es la diferencia entre el grado del
dividendo y el grado del divisor.
El grado del resto de una división entre polinomios, cuando la división es inexacta es un
grado menor que el grado del divisor.
El numero de términos de un polinomio completo de grado es términos.
Decimos que una fracción algebraica es propia cuando el grado del numerador es
menor que el grado del denominador.
Una división inexacta también puede ser representada por la expresión
𝐷 𝑑 ∙ 𝑐 𝑟
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Método de los coeficientes a determinar o método de Descartes.
Este método utilizamos cuando queremos determinar un polinomio que cumpla con
determinadas condiciones.
Formamos dicho polinomio con coeficientes literales a determinar, utilizando las
condiciones exigidas por el problema, obtenemos polinomios idénticos y de esta forma
determinamos los coeficientes literales.
Ejemplo 1. Hallar el cociente y el resto de la división de por
sin efectuar la división.
El grado del cociente será de 1º grado…………………………………………………....…………….. .
El resto de la división será lo máximo: 2º grado ……………………………………………….
Utilizando la ecuación ∙ ………………………………..…formamos la identidad.
Efectuando los productos indicados y reagrupando los términos del mismo grado en ,
tendremos:
Aplicando la condición de identidad de dos polinomios tendremos
{
[
Luego 2
Resolviendo el
sistema
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Ejemplo 2: Hallar los valores de que tornan el polinomio
divisible por , y determinar el
cociente.
El cociente será de 1º grado………
Luego tendremos:
Aplicando las condiciones de identidad:
{
[
El cociente es:
Ejemplo 3: Deducir las condiciones para que la expresión:
sea independiente de .
Que dicha expresión sea independiente de quiere decir que el cociente será un
número (Escalar) independiente de y no habrá resto.
Es decir,
……………………….……………..Siendo una constante.
Por la condición de identidad tendremos
8
Eliminando el escalar de estas ecuaciones tendremos
que es la condición pedida, es decir que los coeficientes de las potencias iguales sean proporcionales.
Resolviendo el
sistema
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 21
Ejemplo 4: Deducir la condición para que sea un trinomio cuadrado perfecto.
El trinomio solo podrá ser cuadrado de un binomio de la forma
Luego…………..
Por la condición de identidad tendremos: 6
Elevando al cuadrado la ( 2 ) tendremos: …………………………. ( 4 ) ( 1 ) y ( 3 ) en ( 4 ) ………………………………. Que es la condición pedida; mas adelante veremos que esta expresión es denominada discriminante de la ecuación de 2° grado.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 22
EJERCICIOS PROPUESTOS:
7- Verificar la identidad atribuida a Lagrange.
8- Determinar los valores de para los cuales el polinomio Es idéntico a cero.
Rta.: {
9- Verificar si el polinomio puede ser idéntico al polinomio
Rta.:
10- Determinar en la identidad
Rta.: {
11- Determinar por el método de Descartes el cociente y el resto de las divisiones.
a) por
b) por
Rta.: a) {
b) {
12- Utilizando el concepto de polinomios idénticos, determinar y de forma que sea divisible por .
Rta.: 2
13- Determinar por el método de Descartes y , de modo que el resto de la división
del polinomio por sea .
Rta.: {
14- Hallar los valores de para los cuales la expresión
es independiente de .
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 23
15- Verificar las identidades
a)
b) 0
1
c) ( √ ) √
d)
e) (
*
(
)
f)
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APLICACIÓN DE POLINOMIOS IDÉNTICOS EN LA DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES
RACIONALES
Las fracciones racionales a descomponer en una suma algebraica de fracciones más
simples, son las que tienen por denominador un polinomio racional y entero de una variable y
por numerador un polinomio de la misma naturaleza mas de grado menor que el
denominador, es decir una fracción propia.
Para hacer la descomposición, es necesario descomponer el denominador en sus factores primos,
los cuales deberán ser de primer grado o de segundo grado, pudiendo ser repetidos o no.
Designando por el polinomio numerador y el polinomio denominador.
Dependiendo de los factores del denominador se pueden presentar 4 casos.
1º Caso: Cuando el denominador consta de factores simples de 1º grado sin repetición
En este caso formaremos la siguiente identidad.
2º Caso: Cuando el denominador consta de factores simples de 1º grado con repetición.
En este caso la correspondiente identidad será:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 25
3º Caso: Cuando el denominador contiene factores simples de 2º grado sin repetición.
En este caso la identidad será:
4º Caso: Cuando el denominador de la fracción contiene factores de segundo grado repetidos.
En este caso la identidad será:
Obs.: En los 4 casos el numerador de cada fracción siempre es de 1 grado menor que el factor
simple del denominador.
También podemos tener una mezcla de dos o más casos en un mismo ejercicio, por ejemplo:
A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de los 4 casos
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 26
Ejemplo 1: Descomponer en fracciones simples
Factoreando el denominador
Luego formamos la identidad:
Como los denominadores son iguales podemos escribir:
Por condición de identidad de polinomios tendremos:
8
……………. Resolviendo el sistema tendremos: {
Por tanto tendremos:
( )
( )
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 27
Ejemplo 2: Descomponer en fracciones simples
Factoreando el denominador:
tendremos:
– ( – )
{
{
Luego:
Resolviendo el Sistema
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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 28
Ejemplo 3: Descomponer la fracción
{
{
Luego:
Resolviendo el Sistema
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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 29
Ejemplo 4: Descomponer en fracciones simples:
( )
Efectuando las operaciones indicadas en el 2º miembro, agrupando términos semejantes e
igualando los numeradores de esta última expresión, tendremos:
Aplicando las condiciones de identidad:
{
{
Luego tendremos:
Veamos a continuación un ejemplo cuando el grado del numerador es mayor o igual al grado
del numerador.
Resolviendo el Sistema
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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 30
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
Ejemplo 5: Descomponer en fracciones
Aplicando la formula ∙
…………. ( 1 )
Ahora procedemos con la fracción
Factoreando el denominador:
Ahora formamos la identidad
( – )
……………..(2)
Luego{
{
Luego la ecuación (2) será:
Llevando esta expresión en la identidad (1) tendremos:
Resolviendo
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 31
Ejercicios propuestos:
9 - Descomponer en fracciones parciales:
a)
Rta.:
b)
Rta.:
c)
Rta.:
d)
Rta.:
( )
e)
Rta.:
f)
Rta.:
( )
( )
g)
( ) Rta.:
h)
Rta.:
i)
Rta.:
j)
( ) Rta.:
k)
( ) Rta.:
l)
( ) Rta.:
( )
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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 32
10- Expresar las siguientes fracciones en forma entera o mixta con fracciones simples:
a)
Rta.:
b)
Rta.:
c)
Rta.:
d)
Rta.:
e)
Rta.:
( )
f)
Rta.:
g)
Rta.:
h)
Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 33
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR BINOMIOS: y .
Generalidades: En este capítulo estudiaremos las reglas para encontrar de una manera fácil y
rápida el resto y el cociente de un polinomio racional y entero en , por binomios de la forma
y , es decir por binomios de 1º grado.
También estudiaremos la divisibilidad de polinomios por productos de binomios de 1ºgrado.
Existen varios métodos y procesos para efectuar estas divisiones:
División convencional de un polinomio por otro polinomio.
División por medio de los coeficientes.
Método de los coeficientes a determinar o método de Descartes, utilizando el concepto
de polinomios idénticos.
Existen otros varios métodos para la determinación del resto y del cociente de estas
divisiones.
En este capítulo abordaremos el teorema del resto, la ley de formación del cociente y algunos
teoremas de divisibilidad.
Antes de adentrarnos en el asunto es conveniente abordar algunos conceptos preliminares.
Polinomio: Es una expresión algebraica de varios términos, es por tanto una suma algebraica
de monomios.
El grado del polinomio es el mayor grado entre los términos de dicho polinomio (Es decir, el
termino con mayor exponente de la variable considerada).
La expresión general de un polinomio en es:
Para representarlo gráficamente en un sistema cartesiano ortogonal damos valores a como
abscisas, y su correspondiente valor de como ordenada.
Polinomio entero: Es el polinomio en que la variable considerada no figura en el denominador
o no tiene exponente negativo. (Es decir, todos sus términos son expresiones enteras).
Polinomio Racional: Es el polinomio en que la variable considerada no figura bajo el signo
radical o con exponente fraccionario. (Es decir sus términos son expresiones racionales).
Polinomio completo: Un polinomio es completo con respecto a una variable cuando contiene
todas las potencias enteras inferiores al grado del polinomio, inclusive la potencia cero.
(Termino independiente).
Obs.: Completar un polinomio quiere decir colocar los términos faltantes con coeficiente cero.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 34
En los ejercicios de aplicación utilizaremos algunos conceptos básicos.
División exacta: Es la división en que el resto es igual a cero, y se lo
representa:
………………… ∙ ……………………………… {
División entera o inexacta: Es la división en que el resto no es igual a cero y se
lo representa:
∙
{
Obs.: Estas expresiones son leyes de la división instituidas en aritmética, pero totalmente
validas en algebra.
* Si el polinomio dividendo es de grado , y el polinomio divisor es de grado ,
entonces el cociente será de grado – .
** El resto en una división algebraica, será siempre un grado menor que el grado del
divisor.
*** Un polinomio de grado y completo en relación a , tendrá términos.
- En los ejercicios de aplicación utilizaremos también el concepto de polinomios idénticos.
(Ver capitulo referente).
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 35
TEOREMA DEL RESTO o Teorema de D`Alembert.
1º Caso: El resto de dividir un polinomio entero y racional en , por un binomio de la forma , es el valor numérico que toma el polinomio para
H) Sea el polinomio dividendo, entero y racional en .
Sea el divisor de 1º grado y el resto de la división.
T)
D) Sea el cociente de la división, que será un polinomio de la misma naturaleza
que el dividendo, pero de un grado menor porque el divisor es de 1º grado.
El resto será independiente de la variable , porque el resto es un grado menor que
el divisor.
Entonces por definición de división inexacta tendremos:
………………………………………………….(1)
Esta expresión algebraica representa una identidad y podemos dar cualquier valor a la
variable .
Haciendo en la identidad (1) tendremos:
Siendo
Será: ………………………… que es la tesis.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 36
2º Caso: El resto de dividir un polinomio entero y racional en , por un binomio de la forma
, es el valor numérico que toma el dividendo para
.
H) Sea el polinomio dividendo, entero y racional en .
Sea el divisor y el resto de la división.
T) (
)
D) Sea el cociente de la división, que será un polinomio de la misma naturaleza
que el dividendo, pero 1 grado menor pues el divisor es de 1º grado.
El resto será independiente de por el mismo motivo.
Por definición de división inexacta tenemos la identidad:
Dando a la variable el valor de ( ) en (1) tendremos:
(
) * (
) + (
)
Pero * (
) +
Luego (
) ………………………….que es la tesis.
Consecuencias:
1- Para determinar el resto de la división de un polinomio racional y entero en , por un binomio de la forma se sustituye en dicho polinomio dividendo la por el segundo término del divisor cambiado de signo.
2- Para determinar el resto de la división de un polinomio racional y entero en , por un binomio de la forma , se sustituye en el polinomio dividendo la por el segundo término del divisor con signo cambiado y dividido por el coeficiente del primer término.
Si (cero) es divisible por
Si (– ) (cero) es divisible por
Análogamente:
Si (
) (cero) es divisible por
Si (
) (cero) es divisible por
La reciproca de estas afirmaciones también son verdaderas y se los puede aplicar.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 37
EJEMPLOS:
1 - Determinar el resto de la división del polinomio por sin
efectuar la división.
2 - Sin efectuar la división verificar si el polinomio es divisible entre
.
( *
( )
(
)
(
)
Luego el polinomio es divisible por:
3 - Determinar los posibles valores de a para que el polinomio
sea divisible por el binomio .
–
Rta: 2
4 - Hallar en el polinomio , de tal modo que al dividirlo por
de resto .
5 - Determinar el resto de la división del polinomio por
[ ]
–
6 - Determinar el resto de la división del polinomio por
[ ]
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 38
7 - Determinar el resto de la división de
por .
[ ]
8 - Determinar el resto de la división del polinomio
por
Sustituyendo en el polinomio la por
⁄
(
*
(
)
(
)
(
)
A continuación mostraremos 3 ejercicios que se resuelven por medio de artificios simples.
9 - Determinar el resto de la división del polinomio
por
Hacemos y sustituimos todos los contenidos en el dividendo, por . De
esta forma tendremos:
Y aplicando el teorema del resto tendremos:
Obs.: Una vez efectuada la sustitución, la variable si subsiste en el polinomio funciona
como coeficiente literal.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 39
10 - Determinar el resto de la división del polinomio
por .
Hacemos y sustituyendo en el dividendo y divisor tendremos:
Luego el resto es
11 - Determinar el resto de dividir el polinomio por
Haciendo y sustituyendo en el dividendo y divisor tendremos:
A continuación mostraremos unos ejercicios de aplicación del teorema del resto, utilizando
conceptos de polinomios idénticos y el método de Descartes (coeficientes a determinar).
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 40
12 - Sabiendo que el resto de dividir un polinomio entre es 4, que dividido por
da resto 1 y que dividido por da resto 9.
Hallar el resto de dividir dicho polinomio por el producto .
Sabemos que:
{
}
En base al teorema del resto.
El nuevo divisor en este caso será de 3º grado, entonces el resto de dividir el
polinomio por dicho divisor será un polinomio de 2º grado……..
Por definición de división inexacta ∙ y formamos la identidad.
En esta expresión representa el cociente de la división.
Por ser la expresión (1) una identidad será verdadera para cualquier valor atribuido a la
variable .
Luego daremos a valores para los cuales conocemos el valor de y que también
anulan el producto del divisor por el cociente.
…………………………………….
…………………………………………(1)
…………………………………….
…………………………..(2)
……………………………………..
………………………..(3)
Luego tendremos el sistema:
{
Que resolviendo tendremos ………….. {
Luego el resto ………………………………….
ALGEBRA
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13 - Un polinomio dividido por da resto , el cociente de dicha división por
– , da un resto igual a 2. Se pide el resto de dividir entre .
Por definición de división inexacta tendremos la 1º identidad.
∙ ……………………………(1)
Aplicando nuevamente con la 2º condición del problema tendremos una 2º identidad.
…………………………..(2)
Siendo el primer cociente y el segundo cociente, llevando ( 2 ) en ( 1 )
tendremos:
[ ]
Luego
14 - El resto de dividir entre es 5 y el resto de dividir el cociente por
es . Hallar el resto de dividir entre
Formamos las identidades: ……………………………. ( 1 )
…………………………. ( 2 )
Llevando (2) en (1) tendremos:
* +
…………..…………… ( 3 )
Haciendo en esta identidad tendremos resto.
Luego
Entonces al dividir por el resto será
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FORMACION DEL COCIENTE EN BASE AL ESQUEMA DE RUFFINI- BRIOt (O HORNER)
La ley de formación de los coeficientes del cociente de la división de un polinomio entero y
racional en , por un binomio de la forma es conocida como regla de .
En la aplicación de la ley de formación del cociente, el polinomio dividendo deber ser
completo, y estar ordenado según las potencias decrecientes de la variable , de modo que si
el polinomio es incompleto es preciso completarlo.
El ultimo termino del dividendo no influye en la formación del cociente, de modo que al
cambiar el valor de , el cociente no se modifica, solamente el resto.
La ley de formación del cociente también puede ser deducida de la aplicación convencional de
la división de polinomios.
Nosotros no deduciremos esta ley de formación del cociente pero analizaremos algunos
ejemplos.
1º Caso: Cuando el divisor es un binomio de la forma
Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de
por
La primera cosa a hacer es completar y ordenar el polinomio
Luego montamos 7 casilleros (grado del polinomio )
El cociente será
Si quisiéramos expresar el polinomio como factores tendremos:
Esto lo hacemos aplicando la ley de la división ∙
Es importante saber que la división también podría ser hecha en la forma convencional.
ALGEBRA
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2º Ejemplo:
Determinar el cociente y el resto de la división de por
[ ]
1 0
1 0
Cociente:
Resto: 0
3º Ejemplo:
Determinar el cociente y el resto de la división de:
Desarrollando el dividendo y ordenando con respecto a la variable “ “ tendremos:
[ ]
Cociente:
Resto:
ALGEBRA
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4º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de por
[ ]
1 0 0
1 c
Cociente:
Resto:
Obs.: En este caso consideramos la variable por conveniencia, pero saldría el mismo
resultado si consideráramos como variable a la letra a, aunque el proceso será más
dispendioso.
5º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de
por
…………………
1 4 4 0 … … … 0 1 3 0
0 0 4
1 0 0 … … .0. 0 1 1 0
Cociente:
Resto:
ALGEBRA
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2º Caso: Cuando el divisor es un binomio de la forma
En este caso se divide el divisor por el coeficiente del 1° termino de
dicho divisor: y tendremos como nuevo divisor:
, y procedemos como
en el caso anterior con la siguiente “advertencia”.
Al dividir el divisor por un número, el cociente quedará multiplicado por ese mismo
número, luego será necesario que para obtener el cociente real, dividamos el
cociente obtenido por .
El resto no sufre alteración.
Ilustraremos el método con algunos ejemplos.
1º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de
por .
Efectuaremos la divición ( )
2
3
Cociente obtenido:
Cociente real:
Resto:
ALGEBRA
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2º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de
Luego tendremos que efectuar
6 5 3a 3 4a
8 2a 4 3a 12 4a
6 3 2a 9 3a 15 4a
Cociente provisorio: 3
Cociente real:
Resto:
Obs.: Dividiendo el dividendo y el divisor por el coeficiente del 1º termino del divisor , el cociente no se altera y el resto queda dividido por ese número, por tanto cuando el resto es diferente de cero debemos multiplicar por .
Para ilustrar este proceso, lo utilizamos en el ejemplo anterior:
- Determinar el cociente y el resto de la división de:
Luego tendremos que efectuar:
2
4
Cociente Real:
Resto provisorio:
Resto Real:
ALGEBRA
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Ejemplo 3: Determinar el cociente y el resto de la división de:
por
Luego tendremos:
Cociente: Resto:
Obs.: En este ejercicio podríamos hacer una sustitución provisoria
y tendríamos:
Aquí emplearíamos el método normal y luego haríamos nuevamente la sustitución
para presentar el resultado.
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CASOS ESPECIALES DE LA DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL EN X POR UN
BINOMIO DE LA FORMA
1º Caso: División de polinomio por el binomio .
En base al teorema del resto para .
Obs.: Para hallar el cociente podríamos aplicar el método de Ruffini, completando previamente el polinomio dividendo.
Dejamos a cargo del alumno esta práctica.
2º Caso: División del polinomio por el binomio .
Aplicando el teorema del resto, haciendo en el polinomio.
…………… {
Luego : es divisible por cuando .
3º Caso: División del polinomio por el binomio .
Aplicando el teorema del resto, haciendo en el polinomio
…………… {
Luego es divisible por cuando
Luego 𝑥𝑛 𝑎𝑛 siempre será
divisible por 𝑥 𝑎 para 𝑛
par o impar
ALGEBRA
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4º Caso: División del polinomio entre el binomio .
Aplicando el teorema del resto, haciendo en el polinomio.
Luego : nunca será divisible por el binomio
5º Caso: Cuando el exponente del polinomio dividendo es múltiplo del exponente divisor.
La división del polinomio por el binomio de la forma .
En este caso haremos una sustitución provisoria. 2
De esta forma la expresión original se transforma en:
De esta forma encajamos nuevamente en los casos anteriores y no debemos olvidar
de presentar el resultado con las variables originales, haciendo nuevamente la
sustitución inversa.
ALGEBRA
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Productos notables deducidos de estos casos analizados:
……. Y así sucesivamente.
Ejemplos:
1-
2-
3- Calcular la expresión que se debe multiplicar por para obtenerse .
Sea dicha expresión, luego: ∙
4- Calcular la expresión que debe ser multiplicada por √
√
para
obtenerse:
Sea dicha expresión……. ∙ ( √
√
)
√
√
( √
* ( √ )
( √
* ( √ ) (√
)
( √
) ( √ ) ( √
)
√
√
√
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TEOREMA DE DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR BINOMIOS.
Estos teoremas son de fácil demostración, en este folleto lo enunciamos y explicaremos su significado.
TEOREMA 1: Cuando un polinomio racional y entero en , es divisible separadamente por dos
o más binomios de primer grado en , será divisible por el producto de estos
binomios.
H) Sea un polinomio entero y racional en
es divisible por
es divisible por
es divisible por
T) será divisible por el producto
Es decir,
( ) …………………..
OBS: El teorema similar de aritmética es: “ Si un N° es divisible por dos N° primos relativos,
será divisible por su producto”.
Teorema reciproco: Cuando un polinomio racional y entero en es divisible por el producto
de dos o más binomios de primer grado en , será divisible
separadamente por dichos factores.
ALGEBRA
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TEOREMA 2: Cuando un polinomio racional y entero en , y los respectivos cocientes al dividirlo por , se anulan veces, para , entonces dicho polinomio es divisible por .
H) Sea un polinomio racional y entero en .
……………………………………………………….Primera vez
∙
…………………………………………………….…Segunda vez
………………………………………………………Tercera vez
.……………………………….. Enesima vez
T)
1° Teorema reciproco: Si es la mayor potencia de que divide , el
cociente de la división de por no será divisible por
es decir no se anula para .
2° Teorema reciproco: Cuando el cociente de la división de por , no es
divisible por , es decir no se anula para , entonces
será la mayor potencia de que divide
TEOREMA 3: Cuando un polinomio racional y entero en , es divisible separadamente por
y por , será divisible por su producto
.
H) Sea un polinomio racional y entero en .
es divisible por –
es divisible por
T) será divisible por – – .
ALGEBRA
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TEOREMA 4: Cuando un polinomio racional y entero en de grado , se anula para valores
distintos de , dicho polinomio será igual al coeficiente del 1º termino del
polinomio por los factores que se obtienen al restar de cada uno de los
valores.
H) Sea el polinomio
Este polinomio se anula para
T)
TEOREMA 5: Cuando un polinomio racional y entero en de n grado, se anula para más de
valores distintos de , dicho polinomio es idénticamente nulo.
TEOREMA 6: Cuando dos polinomios racionales y enteros en , de grado, tienen valores
numéricos iguales para más de valores distintos de , son idénticos entre sí.
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Ejemplo 1: Hallar el valor de m para que el polinomio sea
divisible por .
(– ) (
)
(– )
(– )
Luego el polinomio será y aplicando
Cociente Provisorio : Cociente real:
OBS: Este ejercicio también puede ser resuelto aplicando directamente
Resto:
Cociente:
Ejemplo 2: Determinar n de modo que el polinomio sea divisible
por .
Escribiendo de otra manera el divisor [ ] y aplicando el
teorema del resto tendremos:
Que resolviendo esta última ecuación tendremos:
El cociente ya obtuvimos en ejercicios anteriores.
ALGEBRA
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Ejemplo 3: Determinar y de modo que el polinomio sea divisible
por y hallar el cociente.
Para que sea divisible por tendrá que serlo por y por .
Luego aplicando el teorema del resto :
8
Luego tendremos: [
Resolviendo el sistema: …………………..… {
Y el polinomio dividendo será:
Para hallar el cociente , hacemos , de esta forma tendremos:
Y haciendo nuevamente la sustitución inversa, tendremos:
Cociente
ALGEBRA
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Ejemplo 4°: Determinar los valores de y para los cuales el polinomio
es divisible por el polinomio y formar el
cociente.
Luego para que el polinomio dividendo sea divisible por el producto de estos tres binomios
tendrá que serlo por cada uno en separado, aplicando a cada uno el teorema del resto
tendremos:
……………………….…
………………….……
Luego tendremos: [
Resolviendo el sistema: {
Tendremos el polinomio dividendo ………………… .
Para hallar el cociente debemos aplicar el metodo de sucesivamente para
y
Luego ……………………………. Cociente
ALGEBRA
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5º Ejemplo: Verificar si el polinomio es divisible
por y formar el cociente.
Luego el polinomio dado es divisible por el producto.
Desarrollando el polinomio y ordenando con respecto a la variable ; tendremos:
Aquí podemos observar a simple vista que es divisible por y el cociente
será:
– ( – )
Luego el polinomio original será:
En esta expresión ( 2 ) vemos que uno de los factores del divisor está con
signo cambiado; luego el cociente será :
La expresión ( 1 ) también se podría procesar de otra forma
ALGEBRA
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6º Ejemplo: Hallar la relación que debe existir entre y , diferentes de cero, para que
sea divisible por el cuadrado de un binomio.
Designemos por el binomio y determinemos el cociente del polinomio
por .
Este cociente se debe anular para
Luego tenemos el sistema ………………… 2
Eliminando de estas dos ecuaciones tendremos:
Que es la relación solicitada.
7º Ejemplo: Probar que es divisible por el
producto , cuando n es impar.
Aplicando el teorema del resto para tendremos
Esta expresión solo puede ser nula para impar.
Luego el polinomio dado solo será divisible por cuando n es un número impar.
Procediendo de forma análoga, también queda probado que el polinomio solo será
divisible por o cuando es un número impar.
ALGEBRA
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8º Ejemplo: Mostrar que siendo n entero y positivo, la expresión
es divisible por .
Factoreando el divisor tendremos:
El factor .
Aplicando el teorema del resto para estos binomios tendremos
………….. …………………………………………...
………. ……
….. (
)
(
)
(–
) ……
Luego el polinomio dado será divisible por el producto de estos binomios, es decir por
para cualquier numero entero y positivo .
ALGEBRA
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9° Ejemplo: Verificar si el polinomio :
, es divisible por , y
determinar la mayor potencia de que divide el polinomio y formar el
cociente de esta división.
– …………….………………………………………………………
………………… ………………….
…….... ……
Por el método de Ruffini ya podemos concluir que únicamente el polinomio y el primer cociente dan resto cero cuando divididos por , luego el polinomio será divisible por y el cociente correspondiente será:
…………………
También podríamos aplicar el teorema del resto al polinomio y a los sucesivos cocientes como ilustraremos a seguir.
……… …………
…………. –
………… ⏟
…..
Porque el polinomio de grado , tiene términos
De esta forma confirmamos el resultado anteriormente expuesto.
………
0
ALGEBRA
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10º Ejemplo: Calcular los valores de y , para los cuales el polinomio
, es divisible por el producto de
Desarrollando y ordenando el polinomio tendremos:
Formamos el sistema de ecuaciones igualando a cero los restos
{
Que resolviendo el sistema tendremos : {
También podríamos utilizar otro procedimiento; obtenemos el primer cociente por medio de
en …………. ……………………………( 1 )
en ……... …..…..….( 2 )
en ……….. …………………..…….…( 3 )
Luego tendremos el sistema: {
Que resolviendo nos dará el mismo resultado obtenido por el otro proceso.
………………...
…………………
ALGEBRA
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ALGUNAS APLICACIONES PRACTICAS DE LA DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR
BINOMIOS DE LA FORMA
FACTOREO DE SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES UTILIZANDO LOS
PRODUCTOS NOTABLES ANALIZADOS.
Siendo un número impar tendremos
Asi tendremos:
Ejemplos:
1)
2)
3)
ALGEBRA
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1- FACTOREO DE DIFERENCIA DE POTENCIAS PARES.
2
Así tendremos:
2
2
2
En general diferencias de potencias pares, se factoriza por el método diferencia de cuadrados, pudiendo utilizarse el proceso mostrado arriba en casos específicos que así lo requiera el ejercicio.
Luego:
Ejemplos:
( √ ) √
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √
) ( √
)
(√ √ ) ( √ √ )
[ ] [ ]
Obs.: Este ejercicio se puede también resolver considerando un trinomio en la variable .
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 64
A continuación analizaremos algunos casos especiales que desembocan en diferencia de
cuadrados.
- Casos especiales o artificios.
*
√
( √ ) ( √ )
*
√
( √ ) ( √ )
*
(√ )
( √ ) ( √ )
Ejemplos:
1- ( √ ) ( √ )
2- ( √ ) ( √ )
3- ( √ ) ( √ )
4-
5- ( √ ) ( √ )
6- ( √ ) ( √ )
7- ( √ ) ( √ )
Y así sucesivamente podemos aplicar estos tres casos particulares.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 65
Otros ejemplos:
8- Descomponer en 6 factores.
( √ ) √
( √ )( √ ) ( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
9- Descomponer en 7 factores: 89 xyx
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
10- Descomponer
Este ejercicio nos induce a pensar en el cuadrado de un trinomio, vamos a desenvolver dicho
trinomio para ver que se puede hacer.
Ahora transformaremos la expresión dada:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 66
FACTOREO DE POLINOMIOS RACIONALES Y ENTEROS EN X POR BINOMIOS
DE PRIMER GRADO
La teoría de divisibilidad de polinomios por binomios, nos permite montar un proceso para descomponer en sus factores primos dicho polinomio.
Sea el polinomio:
.
Los divisores binomios de 1º grado que este polinomio puede admitir son:
o , siendo y números enteros y primos entre sí.
Para que el polinomio sea divisible por un binomio de la forma o
“ES NECESARIO PERO NO SUFICIENTE “ que:…………………………… {
Siendo todos los divisores primos y compuestos de
Siendo , todos los divisores primos y compuestos de
En estas condiciones tendremos que todos los “posibles” divisores binomios de serán:
{
{
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
{
Cuando los coeficientes del binomio no son primos entre si, debe ser factorizado y
eliminado.
La condición necesaria y suficiente para que sea divisible por un binomio de 1º grado es que al aplicar el teorema del resto el polinomio se anule.
A continuación ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.
ALGEBRA
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Ejemplo 1: Descomponer en sus factores primos el polinomio.
Los divisores de 2 son: 1 ; 2. Los divisores de 12 son: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Luego los probables divisores del polinomio son: ; ; ; ; ; ; .
No consideramos los factores porque los coeficientes no son primos entre sí, y al factorizar el factor común tendremos: y estos factores binomios ya figuran entre los divisores.
Apliquemos el teorema del resto para ; ……………………..
Ahora debemos aplicar el método de para hallar el cociente.
. Luego tendremos:
……………………………
…………………………
………………………
…..(4)
Cuando llegamos a un cociente de 2º grado, se puede continuar con el mismo procedimiento, pero es más fácil factorizarlo por la forma convencional:
Luego el polinomio factorizado será:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 68
Ejemplo 2: Descomponer
Los probables divisores son:
……………………………
……………(1)
–
…………………………
…….(2)
………………
…….
…....(3)
Factorizando el trinomio Luego tendremos:
𝑥
…….. 𝑥
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 69
3º Ejemplo: Descomponer
Los divisores probables son:
…..
) …….…………………. ( 1 )
………………..
…..
Como el trinomio no se puede factorizar, por tanto:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 70
Caso Especial: descomposición en factores de expresiones cíclicas.
Se dice que una expresión es cíclica, cuando al sustituir.
}
Ejemplos:
Existen varios procesos y artificios para factorizar estas expresiones, desde factor común por
agrupamiento o completando cuadrados o cubos de trinomios.
Nosotros ilustraremos aquí con ejemplos un proceso general para factorizar estas
expresiones.
Ejemplo 1: Descomponer en factores
Debemos investigar si la expresión es cíclica.
haciendo en la expresión…………….……….2
tendremos: ………que es la misma expresión original.
Luego la expresión dada es cíclica.
Verifiquemos si la expresión es divisible por – , aplicando el teorema del resto.
…………..
Luego esta expresión es divisible por , y por ser cíclica también será divisible por
y por .
Puesto que la expresión dada es de tercer grado no podrá contener otros factores literales,
pero podrá contener algún factor numérico.
Entonces formamos la identidad:
Siendo un numero no depende de los valores dados a las variables.
Luego hacemos
{
y tendremos:
– – –
Luego:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 71
Algunas veces estos ejercicios son fácilmente factorizables de otra forma, como por ejemplo
el ejercicio anterior.
Ordenando y agrupando con respecto a la variable tendremos:
…….……. (Trinomio 2º grado en .)
[ ]
O también podríamos
[ ]
También podríamos aplicar sucesivamente el teorema del resto a sus respectivos cocientes
por el método de .
En este ejercicio mostraremos diferentes caminos que podríamos adoptar, en general estos
ejercicios presentan esa particularidad.
Ejemplo 2: Descomponer en factores
verifiquemos si es divisible por .
Análogamente podemos verificar que será divisible por y
Luego podemos escribir la identidad
Siendo un numero a determinar, dando cualquier valor a las variables, por ejemplo:
tendremos.
Luego:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 72
EJERCICIOS PROPUESTOS:
11- Determinar el cociente y el resto de dividir los polinomios.
a) por
Rta.:
b) por
Rta.:
c) por
Rta.:
d)
–
por
Rta.:
e) por
Rta.:
f) por
Rta.:
g) por
Rta.:
h) por
Rta.:
i) por
Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 73
12- Determinar el cociente y el resto de dividir los polinomios.
a) por
Rta.:
b) por
Rta.:
c) por
Rta.:
d)
por (
)
Rta.:
e) por
Rta.:
13- Demostrar que es divisible por y formar el cociente.
Rta.: ; Resto: 0
14- Verificar si es divisible por y determinar la más alta
potencia de que lo divide y formar el cociente.
Rta.:
Cociente:
15- Mostrar que es divisible por , pero no lo es por y formar el cociente.
Rta.: Cociente :
16- Verificar si es divisible por y
formar el cociente.
Rta.: Cociente :
17- Verificar si es divisible por y
formar el cociente.
Rta.: Cociente :
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 74
18- Verificar si es divisible por y formar el cociente.
Rta.:
19- Verificar si es divisible por el producto y
formar el cociente.
Rta.: Cociente :
20- Determinar m de modo que sea divisible
por y formar el cociente.
Rta.:
Cociente : 21- Determinar m y n de forma que sea divisible por y
formar el cociente. Rta.: ;
Cociente :
22- Determinar los valores de y para que el polinomio
sea divisible por y
formar el cociente.
Rta.: ; ;
Cociente :
23- Determinar y de modo que el polinomio
sea divisible por el producto
y formar el cociente.
Rta.: ; ;
Cociente :
24- Siendo un polinomio que al dividir por da resto 6 y el dividir por da
resto 18. Calcular el resto de dividir dicho polinomio por el producto .
Rta.: Resto :
25- Descomponer en factores los siguientes polinomios.
a) Rta.:
b) Rta.:
c) Rta.:
d) Rta.:
e) Rta.:
f) Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 75
26- Siendo y los restos de dividir un polinomio entre los binomios y
respectivamente.
Calcular el resto de dividir dicho polinomio por .
Rta.: Resto :
27- Un polinomio dividido por da resto y dividido por da resto .
¿Qué resto dará si es dividido por ?
Rta.:
28- Calcular el valor de , para el cual existe un valor común que anula a los polinomios
y .
Rta.:
29- Determinar si el polinomio , es divisible por
. Justificar la respuesta.
Rta.: es divisible por si es par
30- Sabiéndose pues es una raíz de . Calcular el valor de a.
Rta.:
31- En un polinomio de 3º grado en , , el coeficiente de es 1.
Si y , calcular
Rta.:
32- Sabiendo que los restos de dividir el polinomio por y
respectivamente son . Demostrar que el resto de dividir dicho polinomio
por el producto es:
33- Un polinomio dividido por , da resto 6 y divido por da resto 8. ¿Cuál es el
resto de dividir por ? Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 76
Ejercicios propuestos sobre fracciones algebraicas
Simplificación, Suma y resta, multiplicación, división y fracciones complejas.
( Ejercicios extraídos de Algebra Sinesio Farias )
1)
( )
( )
( ) Rta:
2)
Rta:
3)
Rta:
4)
Rta:
5)
( ) ( )
( ) ( )
Rta :
6)
∙ Rta:
7)
(
)
(
) Rta:
8)
Rta: 1
9)
Rta :
10)
0 ( )
( ) 1
( ) * ( ) + ( )* ( ) +
* ( ) +
Rta:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 77
11) Simplificar :
a) ( )
( ) Rta:
b) ( )
( ) ( ) Rta:
c)
Rta:
d) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
. / ( )
Rta:
Efectuar las siguientes operaciones a seguir.
12)
Rta:
13)
Rta:
14)
Rta:
15)
Rta: 1
16)
Rta: 1
17)
Rta: 1
18)
Rta: 0
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 78
19)
Rta:
20)
Rta:
21)
Rta: 1
22) ( )
( )
Rta: 0
23)
Rta:
24)
Rta:
25)
Rta:
26)
Rta:
27)
Rta:
28)
Rta:
29)
Rta:
30)
(
) (
) Rta:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 79
31) (
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
Rta:
32) (
)
Rta:
33)
. /
Rta:
34)
.
/
Rta:
35)
( )
( )
(
) Rta:
36) (
)(
)
(
)
Rta:
37) 6
( *
7 6
7
Rta :
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 80
38) (
) (
( ) * Rta.:
39) .
/ .
/ (
) Rta.:
40) (
) (
) Rta.:
41) (
) (
) Rta.:
42) (
) Rta.:
43) (
*
Rta.:
44) (
) (
* Rta.:
45) (
)
(
) (
) Rta.:
46)
0
.
/ (
) 1 Rta.:
47) (
) [ ( ) ( )
( ) ( ) ] Rta.:
48)
Rta.: ( )
( )
49)
Rta.:
50) (
) (
) Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 81
POTENCIACION – RADICACION – EXPONENTE.FRACCIONARIO
En este capítulo presentaremos únicamente los aspectos básicos de estas operaciones,
no daremos una explicación pormemorizada de las diferentes operaciones, pues se supone
que el alumno ya está familiarizado con el álgebra básica.
La idea de presentar este capítulo es más una oportunidad de presentarles una buena
variedad de ejercicios para ejercitar y aprimorizar el conocimiento.
1- Algunas propiedades de la potenciación:
Para elevar un producto de dos o más factores a una potencia , se eleva cada
factor a dicha potencia . (Prop. Distributiva)
Para elevar una potencia a una potencia , se multiplica el
exponente por .
Para elevar una fracción a la potencia , se eleva cada término de la fracción a
la potencia
(
)
2- La radicación es una operación contraria de la potenciación, es decir siendo √
tendremos
Algunas propiedades de la radicación
Cuando es un número par √
, la raíz tiene doble signo, es
decir tenemos dos resultados.
Cuando es un número impar √ , la raíz tiene el mismo
signo del radicando y es única.
Cuando es un número par y el radicando es una cantidad negativa, no existe
raíz real, en este caso surgen los números imaginarios y consecuentemente los
números complejos.
√
…………………….Dos resultados Imaginarios.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 82
Para extraer la raíz de un producto, se extrae la raíz de cada factor.
(Propiedad Distributiva)
√
√
√
√
Para extraer la raíz de una fracción, se extrae la raíz de cada término de la
fracción.
√
√
√
Para extraer la raíz de una potencia, se divide el exponente de la potencia por
el índice de la raíz.
√
⁄ …..... * Cuando es múltiplo de
⁄ es un número
entero.
*Cuando no es divisible por , se genera
el exponente fraccionario.
Para elevar una raíz a una potencia , se eleva el radicando a la potencia .
( √
)
√
Para extraer la raíz de otra raíz, se multiplican los índices.
√√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 83
3- Exponentes negativos y fraccionarios.
Estas expresiones representan en forma simultánea 2 ó 3 operaciones.
….........................2 operaciones (División y potenciación)
√
….........................2 operaciones (Potenciación y radicación)
√
………………….........3 operaciones (División, potenciación, radicación)
Particularidades:
Multiplicación de potencias con la misma base
División de potencias de la misma base
Potenciación de exponentes negativos y fraccionarios.
.
/
Radicación de exponentes negativos y fraccionarios.
√
√
A continuación daremos algunos ejemplos, recomendamos que el alumno procure hacerlo
primero y después verifique los pasos seguidos.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 84
Ejemplo 1: Reducir – Simplificar – Sumar.
√
√ √ √
√ √
√ √ √
√
√ √
√
√
Ejemplo 2: Reducir o Simplificar o Sumar.
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √
Ejemplo 3:
√
√
√
√ √ √
√ √
Ejemplo 4: Efectuar el producto.
( √ ) ( √ √ )
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 85
Ejemplo 5: Efectuar: ( √ √
) ( √
√
)
√ √
√ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
Ejemplo 6: Calcular: (√ √ )
( √ ) ( √ )
√ √ ( √ )
( √ )
√ √ √ √
√ √
Ejemplo 7: Simplificar: √ √
√
√
√ √
√ √
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 86
Ejemplo 8: Simplificar:
√
√
√
√
√√√
√
√
√
√
√√√
√√
√√
√
√
√
∙ √
√
√
√
√ √
√
Ejemplo 9: Calcular la expresión para √
Antes de hacer la substitución de la variable , combiene transformarla primero
√
4
√
5
Luego: [
√
]
[
√
]
[
√
]
√
√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 87
Racionalizante de una expresión irracional
Es la expresión más simple por la cual se debe multiplicar una expresión irracional para
obtener un producto racional.
No existe una regla general para hallar el racionalizante, por que varía con el tipo de la
expresión.
En la mayoría de los casos el racionalizante se obtiene a partir de las identidades de
factores de .
Estas identidades se fundamentan en la aplicación del teorema del resto para establecer
la divisibilidad de binomios por binomios .
Es decir:
……….Siempre es divisible.
……….Es divisible cuando número par
………..Es divisible cuando número impar
……….Nunca es divisible.
Obs.: Estas reglas son definidas aplicando el teorema del resto.
Generalizando las identidades tendremos:
8
9
{
} IMPAR.
ALGEBRA
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Ejemplos:
Determinación del racionalizante de una expresión irracional.
1º Caso: Expresiones del tipo: √
Racionalizante √
√ Racionalizante √ Ejemplos:
Expresión Irracional Racionalizante Producto Obtenido
√ √
√ √
√
√
√
√ –
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 89
2º Caso: Expresiones del tipo:
2 √ √
√
√
En este caso utilizaremos las identidades: {
Ejemplos:
Expresión Irracional Racionalizante Producto Obtenido
( √ ) ( √ ) √
( √ – √ ) ( √ √ ) ( √ ) ( √ )
( √
√
) ( √ √
√
) ( √
) ( √
)
( √
) ( √
√
) (√
)
El Racionalizante de ( √
)
Es *√
– √ +
y el Producto Obtenido será
Observación: La expresión irracional y su respectivo racionalizante podrían invertirse.
En el ultimo ejemplo podríamos escribir
El racionalzante de [ √ √
]
es : [ √ ]
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 90
3º Caso: En realidad este caso es una continuación del 2º caso y utiliza el mismo principio
algebraico.
Expresiones del tipo:
√
√
………………………..………………………………………….…………….. par o impar.
√
√
……………………..…………………………………….……….. par.
√
√
……………………………………………………………………….. impar.
Ejemplos:
Expresión Irracional Racionalizante
( √
√
) ( √ √
√
√
)
( √
) ( √
√
√
√
)
( √
) ( √ √
√
)
( √
) ( √
√ √
√ )
Observación: Cuando las expresiones tienen diferentes índices del radical √
√
,
se reducen a expresiones con el mismo índice del radical, y tendremos uno de los
casos analizados.
Ejemplo: √ √
√
√
Luego tendremos:
(√ √
) (√ √
√
√
√
√
)
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 91
4- Fracciones irracionales:
Un problema característico de las fracciones irracionales es la racionalización del
numerador o del denominador.
a- Racionalización del denominador: Para racionalizar el denominador de una fracción,
se multiplican los dos términos de la fracción por el racionalizante del denominador.
b- Racionalización del numerador: Se procede en forma análoga, multiplicando los dos
términos de la fracción por el racionalizante del numerador.
En algunos casos, la racionalización exige más de una operación.
Ejemplos: 1- Racionalizar los denominadores de las fracciones:
a)
√
√ ∙
√
√
√
√
b)
√
√
∙
√
√
√
√
c)
√
∙ √
√
√
∙
√
2- Racionalizar el denominador de la fracción: √
√ √ √ √
√
√ √ √ √
√
√ √
( √ )
( √ √ ) ∙
( √ √ )
( √ √ )
√
3- Racionalizar el denominador de la fracción:
√
(√ ) ∙
(√ )
( √ )
( √ )
(√ )
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 92
4- Racionalizar el denominador de la fracción:
√ √ √
√ √ √
[( √ √ ) √ ] ∙
(√ √ √ )
[ ( √ √ ) √ ]
( √ √ √ )
√
( √ √ √ )
( √ ) ∙
( √ )
( √ ) √ √ √
5- Racionalizar el denominador de la fracción:
√
( √
)∙( √
√ )
( √
√
)
( )( √
√ )
( √
√
)
6- Racionalizar el denominador de la fracción:
√
( √
) ∙
(√
√
√
)
( √
√
√
)
√
√
√
7- Racionalizar el denominador de la fracción:
√ √
√ √
( √
√
) ∙
( √
√
√
√
√
√
)
( √
√ ∙
√ ∙
√ ∙
√ ∙
√ )
( √ √
√
√
√
)
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 93
8- Racionalizar el denominador de la fracción:
√ √
√ √ ∙
√ √
√ √
√ √
√
√ √
√ ∙
√
√
√ √
9- Simplificar la fracción: √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√ √ √ √
√ √
√
( √ √ )
( √
√
√ )
( √
√ ) ∙
( √
√ √
)
( √
√ √
)
√
√
√
10- Simplificar la fracción: √
√
( √
√ √ )
( √
√ )
( √
√ √
) ∙
( √
√ )
( √
√ )
√ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 94
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1 - Efectuar las operaciones indicadas:
a) √
√
Rta:
b) ( √ √ ) ( √ √ ) Rta: √
c) ( √ √
) ( √
√ ) Rta: √
√
√
d) (√ √
√
√
)
Rta:
e)
√
√
√
√
Rta:
f)
√
√
√
√
√ –
√
√
Rta: √
2- Calcular las expresiones:
a) √ √
√ √
Rta: √
b) √
√
√
√
√
√ √
Rta: √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 95
3- Racionalizar los denominadores de las fracciones:
a) √
√
Rta: √
b) √
√ Rta:
√
c)
√ Rta: √
d)
√ √ Rta: √ √
e) √ √ √
√ √ √ Rta:
√ √
f)
√
Rta:
√
√
g)
√
Rta: √
√
h) √
√
√
√ √
Rta:
√
√
4- Simplificar las fracciones:
a) ( ) √
√ Rta:
√
√
b) ( √ √ √ ) ( √ √ √ )
( √ √ √ ) ( √ √ √ ) Rta:
√
c) √ √
Rta:
5- Siendo , racionalizar el denominador de la Fracción:
√ √ √ √
Rta: √ √ √ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 96
6- Calcular el valor de las siguientes expresiones:
a) √
√ ; para
.√
√
/ Rta: √
b)
√
; para
√
Rta:
c) √ √
√ √ ; para
Rta:
d)
*
+ [ √
√
] ; para √(
)
Rta: √ (
)
e) Calcular el valor de la expresión , para
√ √
√ √
Rta:
7- Demostrar la identidad:
√
√
√
8 - Racionalizar el denominador: √
√ √
Rta: √ ( √ √ ) ( √ )
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 97
9 - Efectuar: las operaciones y multiplicar:
a) . √
√
/ . √
√
/ Rta.: 0
b) ( √
√ ) 4
√ 5 Rta.: √
10 - Racionalizar el denominador de las fracciones
a) √ √
√ √ Rta.: √
b) √
√
√
√ Rta.:
c)
√ √
Rta.:
√ √
√ √
11- Efectuar y simplificar:
a) √
√
Rta.: √
b) √√
√√
√ √
√√
Rta.: √
√
c) √ √
√√
√√
√ √
Rta.: √
d) √
√
Rta.: √
e) √ ( √
√
*
Rta.: √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 98
12- verificar si las siguientes identidades son falsas o verdaderas:
a) √
b) √ √ √
√ √ √ √
c) √ √
√ √
√
d) √
√
√
√
e) √
√ ( – )
f)
√
√
√
g)
√
13 - Simplificar:
a)
Rta.:
b) (
)
Rta.:
c) ∙
∙ Rta.:
d) √
√
√
Rta.: 0
e) (√
√ *
Rta.:
f)
√
√
√
√
Rta.:
g) √ √
√ √ Rta.:
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 99
14- Simplificar las siguientes expresiones:
a)
√
√ Rta.:
√
b) √
( )
(√ ) Rta.:
√
c)
⁄ *
⁄ + Rta.:
√
15- Demostrar que
⁄
⁄
⁄
⁄ , se reduce a:
⁄
⁄
⁄ si
⁄
⁄
⁄
16- Efectuar y simplificar:
a) √
Rta.:
b) √√
Rta.:
c) √
Rta.: √
d) √
Rta.:
e) √
Rta.:
f) √
Rta.:
√
g) .
√ √
/
Rta.: √
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 100
17- Simplificar:
a) ( √ ∙ √ √ √ √ )
√ Rta.: √
b) ( √
* (
√
* Rta.:
18-Racionalizar los denominadores de las siguientes funciones:
a) √
√√
Rta.: √
√√
b) √
√√ Rta.: ( √ )√√
c) √
√√ √ Rta.: √ (√√ √ )
d) √ √
√√ √ Rta.:
√ √ √ √√ √
e) √ √
√ √ √
√ √ √
Rta.: √ √
f)
√ √ Rta.: √ √
g)
√
√
Rta.: √ (√ √ )
h) √ √ √ √
√ √ √ √ Rta.:
√ √
i) √ √ √ √
√ √ √ √ Rta.:
√ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 101
19- Hallar el valor de las siguientes expresiones:
a) √ √ √ Rta.:
b) √ √ √ √ Rta.: 2
c) √ √ √ Rta.: 30
d) (√ √ √ √ )
Rta.:
e) (√√√√ )
Rta.:
20- Simplificar los siguientes radicales:
a) √ Rta.: √
b) √ Rta.: √
c) √ (
) Rta.:
d) √ (
)
Rta.: √
e) (
)
Rta.:
f)
(
)
( √
) Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 102
ECUACIONES
1- Igualdad: Cuando dos expresiones algebraicas adquieren igual valor numérico al
sustituir sus letras por cualquier sistema de valores numéricos, se dice que forman una
igualdad, y lo representamos escribiendo el signo entre ambas expresiones, que
denominamos primer miembro y segundo miembro de la igualdad respectivamente.
2- Clases de igualdades: se distinguen dos tipos de igualdades
1) Igualdad numérica: formada por números
Ejemplo:
2) Igualdad literal: constituida por letras, que a su vez podrán ser:
b-1) Igualdad absoluta o identidades: es la igualdad que se verifica para cualquier sistema de valores numéricos atribuidos a sus letras. Las identidades expresan una ley o propiedad matemática.
Ejemplos:
…............La suma de dos números
multiplicada por uno de ellos, es igual al cuadrado de este último
más el producto de ambos.
…………..La diferencia del cuadrado
de dos números es igual al producto de su suma por su
diferencia.
……………….La mitad del triplo de un
número es igual a este número más su mitad.
b-2) Igualdades condicionales o ecuaciones: son igualdades que
solo se satisfacen para determinados valores numéricos de las
incógnitas, los cuales convierten la ecuación en una identidad.
Los valores numéricos que satisfacen o verifican una ecuación
reciben el nombre de soluciones de la ecuación o raíces de la
ecuación.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 103
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES: Existen varios criterios para clasificarlas:
Dependiendo de la naturaleza de las expresiones:
a) ECUACIONES ALGEBRAICAS: son aquellas en que las incógnitas, únicamente están
sujetas a operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.
Cuando existen la potenciación o radicación, la incógnita no figura en el exponente o en
el índice del radical.
Ejemplos:
√ √
Las ecuaciones algebraicas a su vez se clasifican en:
Ecuaciones algebraicas racionales: cuando la incógnita no se encuentra bajo el
signo radical o no posee exponente fraccionario.
Ejemplo:
√ √ √ ........................Respecto a .
Ecuaciones algebraicas irracionales: cuando la incógnita está bajo el signo
radical o posee exponente fraccionario.
Ejemplo: √ √
⁄
⁄
Ecuaciones numéricas o singulares (Particulares) : son las ecuaciones en que
las únicas letras que figuran son las incógnitas.
Ejemplo:
Ecuaciones literales o generales: son las ecuaciones que además de las incógnitas contienen una o más letras llamadas parámetros. Los coeficientes (parámetros) se representan por las primeras letras del alfabeto y las incógnitas por las ultimas .
Ejemplos:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 104
Ecuaciones enteras: cuando no contienen ninguna incógnita en el denominador.
Ejemplo:
Ecuaciones fraccionarias: son las ecuaciones en que la incógnita figura en el denominador de los términos fraccionarios o cuando la incógnita posee exponente negativo.
Ejemplo:
b) ECUACIONES TRANSCEDENTES: son las ecuaciones en que las incógnitas están sujetas
a otras operaciones diferentes de las operaciones fundamentales; es decir potencias en
que las incógnitas figura en el exponente o también raíces, logaritmos, funciones
trigonométricas o series indefinidas.
Ejemplos:
√
Las ecuaciones transcendentes a su vez se clasifican en:
Ecuaciones transcendentes exponenciales: cuando la incógnita figura en el
exponente o en el índice del radical.
Ejemplo:
Ecuaciones transcendentes logarítmicas: cuando tenemos logaritmos de
expresiones conteniendo la incógnita.
Ejemplo:
Ecuaciones transcendentes Trigonometricas: cuando tenemos funciones
trigonométricas de expresiones con la incógnita.
Ejemplo:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 105
Dependiendo del número de incógnitas:
a) ECUACIONES CON UNA INCOGNITA: son las ecuaciones que contienen una sola letra
representando la incógnita.
Las ecuaciones algebraicas enteras y racionales con una incógnita se podrán reducir a la
forma general.
………… ( 1 )
El primer miembro de esta ecuación es un polinomio.
El grado de la ecuación es el mayor exponente de la incógnita.
La ecuación será completa o incompleta de un cierto grado, según que lo sea dicho
polinomio.
Cuando el primer miembro de la ecuación en la forma general, puede
descomponerse en factores de primer grado de la forma podríamos escribir
en esta otra forma:
…………….. ……………… ( 2 )
Siendo y diferente de , los únicos valores de la variable que verifican
la ecuación son:
Estos valores son las raíces de la ecuación, luego podremos escribir:
“TODA ECUACION ALGEBRAICA DE GRADO ENESIMO “ ”, TIENE RAICES”
El algebra es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio y la resolución
de las ecuaciones.
Dependiendo del grado las ecuaciones con incógnita podrán ser:
Ecuaciones de primer grado o lineales con una incógnita: Este tipo de ecuaciones
siempre pueden ser reducidas a la forma
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas con una incógnita: son las que pueden
ser reducidas a la forma:
En general tendremos:
………………………………. Ec. de tercer grado
……………………. Ec. de cuarto grado.
……… Ec. de grado
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 106
Ecuaciones de una incógnita con formas particulares:
Ecuaciones Binomiales: son las que tienen solamente dos términos
algebraicos y son de la forma:
Ecuaciones Bicuadradas: son las ecuaciones que pueden reducirse a la forma:
Ecuaciones Reciprocas: son las ecuaciones en que los coeficientes de los
términos equidistantes de los extremos son iguales en
valor absoluto.
b) ECUACIONES CON DOS O MAS INCOGNITAS: son las ecuaciones que contienen dos o
más letras que representan una incógnita, cada una.
El grado de una ecuación de varias incógnitas es la mayor suma obtenida al sumar los
exponentes de las incógnitas en cada término.
Ecuación completa o incompleta: Una ecuación algebraica racional y entera, reducida o
escrita en la forma …….. 2 incognitas.
…….. 3 incognitas.
………………… …….. …………………..
Es completa, cuando el 1º miembro de la ecuación es un polinomio completo
respecto a las incógnitas, es decir posee todos los términos de todos los grados, desde
cero hasta el grado de la ecuación y de cada grado de todas las incógnitas.
Ejemplo:
La ecuación será incompleta cuando el 1º miembro es un polinomio incompleto con
respecto a las incógnitas, es decir no contiene todos los términos con todos los grados
de las incógnitas.
Ejemplo:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 107
Dependiendo de la naturaleza de las raíces:
a) ECUACION IMPOSIBLE: una ecuación es imposible cuando no admite ninguna raíz
o solución o cuando la raíz es infinita.
Ejemplo: ∙ …………………..… Es una ecuación imposible.
Resolviendo …………………..…
Tener raíz infinita equivalente a no tener raíz o solución
b) ECUACION DETERMINADA: una ecuación es determinada cuando tiene un número
finito de raíces o de soluciones.
Ejemplo: ............................ {
Esta ecuación tiene dos y solamente dos raíces, luego es una ecuación
determinada.
c) ECUACION INDETERMINADA: es cuando admite una infinidad de raíces o de soluciones
(infinitas soluciones).
Ejemplo: Sea ........ y siendo ,
Tendremos ∙
Cualquier valor de , verifica la ecuación, luego admite infinitas soluciones.
OBS: Normalmente las ecuaciones con una incógnita son determinadas y los de más de una
incógnita son indeterminadas.
ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dicen
equivalentes, es decir, que las soluciones de la una son también soluciones de la otra.
Ejemplo:
3
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 108
RESOLUCION DE UNA ECUACION: resolver una ecuación es efectuar en ella todas las
operaciones necesarias para obtener sus soluciones o raíces.
Para conseguirlo se la transforma sucesivamente en otros equivalentes, hasta conseguir una
que sea sencilla y permita hallar fácilmente el valor de la incógnita.
Estas transformaciones se basan en algunos principios que se derivan del axioma:
UNA IGUALDAD NO SE ALTERA CUANDO SUS DOS MIEMBROS SE SOMETEN A LAS MISMAS
OPERACIONES.
Dichos principios son básicamente:
1º PRINCIPIO: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo
número o expresión entera con respecto a la incógnita, resulta otra ecuación
equivalente.
2º PRINCIPIO: Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo
número o por una expresión algebraica independiente de la incógnita, que no sea cero ni
infinito, resulta otra ecuación equivalente a la propuesta.
CONSECUENCIAS:
* Cambio de signo: para cambiar de signo a todos los términos de una ecuación,
bastará multiplicar ambos miembros por
* Supresión de factores: Toda ecuación se podrá simplificar, cuando ambos miembros
tengan algún factor común numérico o literal independiente de las incógnitas,
suprimiendo dicho factor en los dos miembros.
* Transposición de factores y divisores, independientes de la incógnita:
En una ecuación, todo término que figure como factor de un miembro puede pasar al
otro como divisor de todo el miembro.
En una ecuación, todo término que figure como divisor de un miembro podrá pasar al otro
como factor.
* Eliminar denominadores de una ecuación: cuando estos denominadores son
independientes de la incógnita.
Bastará para conseguirlo multiplicar los dos miembros por el producto de los
denominadores o por su MCM, simplificando luego los términos fraccionarios que resulten.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 109
3º PRINCIPIO: Multiplicando ambos miembros de una ecuación por una expresión algebraica
dependiente de la incógnita, la ecuación resultante puede contener raíces que no sean de la
ecuación primitiva, denominadas raíces extrañas.
Sea la ecuación …………………………………………….( 1 )
Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por una expresión dependiente de la
incógnita , tendremos:
……………………..( 2 )
Si la ecuación ( 2 ) tuviere raíces extrañas, estas serán las raíces de
CONSECUENCIAS:
* Eliminar denominadores de una ecuación: cuando estos denominadores son
dependientes de la incógnita. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el
MCM de los denominadores y simplifican los términos fraccionarios.
Cuando se introducen raíces extrañas, es fácil verificar, pues estas anulan el MCM de
los denominadores.
4º PRINCIPIO: Dividiendo ambos miembros de una ecuación por una expresión algebraica
dependiente de la incógnita, la ecuación resultante no contiene todas las raíces de la ecuación
primitiva.
Sea la ecuación ∙ …………………………………. ( 1 )
Dividiendo ambos miembros de (1) por la expresión , tendremos
……………………. ( 2 )
Esta misma ecuación resultante (2) no será equivalente a (1), se perderán las raíces de .
Luego, cuando se divide una ecuación por una expresión o función de la incógnita, debemos
descomponerla en dos ecuaciones.
En este caso seria …. 2
Este nuevo sistema ( a ) , ( b ) será equivalente a la ecuación ( 1 ).
CONSECUENCIA:
* Descomposición de ecuaciones.
Sea la ecuación ……………………………( 1 )
En la cual el primer miembro se puede escribir en la forma
…………… .
Que llevando en ( 1 ) tendremos:
………………. …………..( 2 )
Esta ecuación (2), es satisfecha por todos los valores de que anulan separadamente los factores.
Luego podremos descomponer en ecuaciones:
{
Que serán equivalentes a la ecuación primitiva ( 1 )
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 110
5º PRINCIPIO: Elevando los dos miembros de una ecuación a una potencia cualquiera, entera
y positiva, generalmente se introducen raíces extrañas.
Sea la ecuación ………………………… ( 1 )
Elevando ambos miembros a la enésima potencia, tendremos:
[ ] [ ]
Esta expresión ( 2 ) podrá ser escrita en la forma:
[ ] [ ]
[ ] [ { }
{ } { }
]
Esta última expresión podrá ser desmembrada en dos ecuaciones:
[ ] ……………………… ………………( a )
{ } { }
{ } { } …......( b )
La ecuación ( a ) es equivalente a la ecuación primitiva ( 1 ), pero la ecuación ( b ), generalmente
introduce raíces extrañas y deben ser verificados si satisfacen la ecuación propuesta.
Este principio tiene mucha aplicación en las ecuaciones irracionales.
Ejemplo: Sea la ecuación √
√
Elevando ambos miembros tendremos:
……………. 2
El valor verifica la ecuación propuesta, pero el valor no verifica, por tanto es una
raíz extraña.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 111
6º PRINCIPIO: Extrayendo raíz enésima “ ” a los dos miembros de una ecuación, se
pierden algunas raíces.
Sea la ecuación [ ] [ ]
( 1 )
Extrayendo raíz enésima “ ” a ambos miembros de ( 1 ) , tendremos:
………………………… ( 2 )
Esta ecuación ( 2 ) no contendrá todas las raíces de ( 1 ), pues como analizamos en el ítem
anterior ( 5º principio ), se perderían las raíces de la ecuación ( b ).
{ } { }
{ } { } ……. (b)
CASO ESPECIAL DE LA RAIZ CUADRADA: Cuando se extrae la raíz cuadrada a los dos
miembros de una ecuación se debe colocar el doble signo al segundo miembro .
Sea la ecuación : [ ] [ ]
…………………………… ( 1 )
Esta ecuación ( 1 ) podrá ser escrita en la forma :
[ ] [ ]
………………………. ( a )
que podemos desmembrar en dos ecuaciones:
2 [ ] [ ]
[ ] [ ]
Luego al aplicar raíz cuadrada a la ecuación (1) , tendremos las ecuaciones (a) y (b) que
serán equivalentes a ( 1 )
Ejemplo: Resolver la ecuación
2
ALGEBRA
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ECUACION DE PRIMER GRADO O LINEAL CON UNA INCOGNITA:
Es la ecuación en que la incógnita esta elevada al exponente uno.
Resolver una ecuación es efectuar con ella las transformaciones precisas para hallar los
valores de la incógnita.
La ecuación de primer grado siempre podrá reducirse a la forma general
…………………..( 1 )
Análisis y discusión de la raíz de una ecuación de primer grado.
Sea la ecuación de primer grado ……………………. ( 1 )
La solución de esta ecuación será
{ }
Si …………………………………………… ………………. Solución determinada
……………….. Una solución
Si ……………………………………………. ……………… Ecuación imposible
………………. Ecuación indeterminada
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 113
APLICACIONES:
Ejemplo ① : Resolver y discutir la ecuación en la cual
es un parámetro, es decir podrá tener un valor numérico cualquiera.
( )
..............Esta expresión es la raíz de la ecuación propuesta pero con la
condición de que
Es decir pues con este valor la raíz no tendrá sentido.
Ejemplo ②: Resolver y discutir la ecuación:
…………( 1 ) en
la cual el parámetro puede recibir un valor numérico.
Para es decir , es denominador de una fracción será nulo y
la fracción
carecerá de sentido.
Luego …… Primera condición en esta ecuación
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por
tendremos:
………….
Luego ……..
……….. que es la solución de la ecuación propuesta.
Pero en este caso necesitamos establecer más otra condición
Es decir
Ejemplo ③: Resolver y discutir la ecuación
De la ecuación tenemos
que es la solución de la ecuación propuesta,
pero debemos respetar la condición
Es decir 2
Cuando……. …………..
………… Ecuación indeterminada.
Cuando……. …………..
…………. Ecuación imposible.
Condición 2
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 114
ECUACIONES QUE SE REDUCEN FACILMENTE A OTRA DE PRIMER GRADO.
Las ecuaciones que se pueden reducir a otra de primer grado son aquellas cuyo segundo
miembro es nulo y el primero puede reducirse a un producto de factores de 1º grado.
Ejemplo 1: …………………… ( 1 )
Para que un producto de varios factores sea nulo, es necesario y suficiente que uno de ellos
lo sea.
Luego las raíces de la ecuación ( 1 ) serán, las de las ecuaciones:
{
{
Ejemplo 2:
[ ]
……………………2
Ejemplo 3:
Multiplicando ambos miembros por , tendremos:
que simplificando tendremos la solución que es la solución de la ecuación primitiva porque no anula ninguno de los denominadores.
* OBS: Ecuación literal de primer grado con una incógnita: Cuando la ecuación literal contiene
fracciones cuyos denominadores son literales, no se podrá dar a las letras valores que anulen
a dichos denominadores.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 115
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.
Rta.:
2.
Rta.:
3.
Rta.:
4.
Rta.:
5.
Rta.:
6.
Rta.:
7.
Rta.:
8.
Rta.:
9.
10.
Rta.:
11. Rta.: 2
12. √
Rta.: 1
13.
Rta.:
14.
Rta.:
15.
Rta.: 2
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 116
16.
Rta.:
17.
( )
Rta.:
18.
Rta.:
19.
Rta.:
20.
Rta.:
21. Rta.:
22. Resolver la ecuación
, y verificar en que condiciones es imposible e
indeterminado.
Rta.: 2
23. Resolver y analizar la ecuación:
siendo ...,
Rta.: 2
24. Resolver Y analizar la ecuación:
Rta.: No es imposible ni indeterminada para ningún valor de .
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 117
SISTEMA DE ECUACIONES:
Sistema de ecuaciones es el conjunto de ecuaciones que son satisfechas simultáneamente por
los mismos valores de las incógnitas.
Las ecuaciones que forman un sistema son denominadas ecuaciones simultáneas.
La solución de un sistema es el conjunto de valores, uno para cada incógnita, los cuales
sustituidos en las ecuaciones; la transforman en igualdades numéricas o identidades
algebraicas.
Un sistema de ecuaciones puede tener más de un conjunto solución.
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen el mismo número de ecuaciones, de incógnitas y
las mismas soluciones.
Los sistemas equivalentes pueden sustituirse mutuamente.
En general los sistemas de ecuaciones poseen el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas.
Cuando existen más ecuaciones que incógnitas, las ecuaciones excedentes pueden servir de
verificación.
Cuando existen menos ecuaciones que incógnitas el sistema posee una infinidad de
soluciones.
CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:
Existen varios criterios para clasificar los sistemas de ecuaciones:
1) Dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones:
a) Sistema de ecuaciones transcendentes: cuando por lo menos una ecuación del
sistema es una ecuación trascendente.
b) Sistema de ecuaciones irracional: cuando posee por lo menos una ecuación
irracional.
c) Sistema de 1º grado o lineal: cuando todas son ecuaciones lineales o de 1º
grado.
d) Sistemas de ecuaciones de 2º grado: cuando todas o por lo menos una de ellas
es una ecuación de 2º grado.
e) Sistema de ecuación de 3º grado: cuando solo contiene ecuaciones de 3º grado,
o por lo menos una de ellas y las restantes de grado inferior.
..............................................
etc., etc.,.......
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 118
2) Dependiendo del número de ecuaciones:
Siendo y , dos números enteros y positivos;
a) SISTEMA DE ECUACIONES a incógnitas
b) SISTEMA DE ECUACIONES a incógnitas.
c) SISTEMA DE ECUACIONES a incógnitas.
3) Dependiendo del tipo de raíces o soluciones:
a) SISTEMA DETERMINADO: un sistema es determinado cuando tiene un número finito de
soluciones.
Normalmente, los sistemas de ecuaciones a incógnitas son determinados y el
número de soluciones depende del grado del sistema y de las ecuaciones que forman.
b) SISTEMA INDETERMINADO: un sistema es indeterminado cuando admita una infinidad
de soluciones.
Los sistemas de ecuaciones a incógnitas son indeterminados, por que las
ecuaciones solo permiten que se obtengan los valores de las incógnitas en función
de las incógnitas restantes.
Atribuyendo valores arbitrarios o convenientes a estas incógnitas restantes,
obtenemos un conjunto solución para el sistema y dando otros valores arbitrarios
tendremos otro conjunto solución, es por eso que estos sistemas admiten infinitas
soluciones.
Excepcionalmente un sistema de ecuaciones a incógnitas puede ser indeterminado.
c) SISTEMA IMPOSIBLE: un sistema es imposible cuando no admite solución.
Por ejemplo: 2
Este sistema es imposible, pues no existen valores de que torne ,
simultáneamente igual a 7 y 4.
d) SISTEMA COMPATIBLE O INCOMPATIBLE: Esta denominación se utiliza en los sistemas
de ecuaciones y incógnitas; es decir cuando tenemos más ecuaciones que
incógnitas.
Se resuelve ecuaciones a incógnitas, y las soluciones obtenidas
llevamos a confirmar en los restantes de las ecuaciones.
Cuando lo verifican el sistema es compatible.
Cuando no lo verifican el sistema es incompatible.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 119
RESOLUCION Y TRANSFORMACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Para resolver los sistemas de ecuaciones es necesario efectuar algunas transformaciones que
están regidas por principios específicos.
Los principios estudiados para una ecuación, son aplicables a cada una de las ecuaciones del
sistema en forma aislada.
Los principios específicos a sistemas de ecuaciones son:
1º PRINCIPIO: Sustituyendo una o más ecuaciones de un sistema por ecuaciones equivalentes,
se obtiene un sistema equivalente.
2º PRINCIPIO: Sustituyendo una de las ecuaciones de un sistemas por la suma o la diferencia con
otra (u otras), también del sistema, se obtiene un sistema equivalente al dado.
CONSECUENCIAS: * Se puede sustituir varias ecuaciones de un sistema, cada una
por su suma o diferencia con cualquiera de las otras.
* Antes de efectuar la suma o diferencia de las ecuaciones,
podemos multiplicar cada una por un número o expresión
algebraica independiente de la incógnita.
METODOS DE ELIMINACION DE INCÓGNITAS: Existen varios métodos de eliminación de
incógnitas, los principales son:
a) Método de sustitución.
b) Método de igualación o comparación.
c) Método de adición; substracción o reducción.
d) Método de Beyout.
OBSERVACION: En general los sistemas de ecuaciones simples, como las dos ecuaciones con 2
incógnitas, se llegan al resultado fácilmente sin necesidad de utilizar un “PROCESO”, pero los
sistemas de 3 o más ecuaciones e incógnitas, debemos ser organizados, ordenados y tener un
proceso operacional.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 120
RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
La resolución de un sistema de ecuaciones lineales consta de dos fases:
a) Eliminación de incógnitas.
b) Resolución propiamente dicha.
a) ELIMINACION DE INCOGNITAS: En esta fase, partiendo de un sistema de ecuaciones a
incógnitas:
{
Llegamos a otro sistema equivalente al dado, con el mismo número de ecuaciones y de
incógnitas, pero de la forma:
{
Este nuevo sistema es llamado SISTEMA FINAL.
En este sistema final: La primera ecuación tendrá solo una incógnita.
La segunda, dos incógnitas.
La tercera, tres incógnitas.
..........................................
La enésima ecuación tendrá, incógnita.
La determinación del sistema final es hecha por operaciones sucesivas, eliminándose primero
una de las incógnitas, después otra y así sucesivamente.
Eliminar una incógnita entre ecuaciones de incógnitas, es combinar las n ecuaciones por
medio de operaciones apropiadas de modo a obtener un sistema ecuaciones y de
incógnitas.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 121
EJEMPLO 1: Sea el sistema:
{
Eliminando la variable “ ”:
De y ......................... –
– –
– –
De y ................................................... –
– –
–
De y ........ ................... ……….....
…………
Luego el primer sistema intermediario será:
{
Eliminando la variable “ ”
De y .....................
De y .....................
ALGEBRA
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El segundo sistema intermediario será:
2
Eliminando “ ”
en ..............
y en .............
Llevando estos valores en (1) tendremos:
OBS: En la elección de cual incógnita eliminar y el método a utilizar, se eligen las más fáciles y
convenientes.
EJEMPLO 2: Sea el sistema:
{
Eliminando los denominadores y simplificando tendremos el sistema equivalente al dado:
{
Eliminando la variable “ ” tendremos el 1º sistema intermediario:
ALGEBRA
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{
Eliminando la letra “ ” tendremos el 2º sistema intermediario.
2
Eliminando la letra “ ”, tendremos la ecuación final
en …………
y
en
De
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 124
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1- {
Rta.:
{
2-
{
Rta.:
{
3-
{
Rta.:
{
4- 8
Rta.:
{
5- {
Rta.: {
6-
{
Rta.: 2
7-
{
Rta.: 8
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 125
8-
{
Rta.: {
9-
{
Rta.: {
10-
{
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
Rta.: {
11-
{
Rta.:
{
( )
( )
12-
{
Rta.:
{
13- {
Rta.:2
14-
{
Rta.:2
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 126
15-
{
Rta.:{
16- {
Rta.:2
17-
{
(
)
Rta.:
{
18-
{
Rta.: {
19-
{
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 127
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES RESUELTAS POR ARTIFICIOS.
Algunos sistemas lineales se resuelven de forma más fácil utilizando artificios de cálculo, a
continuación daremos algunos ejemplos:
1º TIPO DE ARTIFICIOS:
1- Ecuaciones simultaneas con incógnitas en los denominadores.
Utilizaremos el método “SUBSTITUCION PROVISORIA DE VARIABLE”
Ejemplo 1:
Resolver el sistema:
{
Utilizaremos las incógnitas auxiliares y
Hacemos la {
} substitución en las ecuaciones originales
De incógnitas.
Y tendremos ... 8
Resolviendo el nuevo sistema (3) y (4) tendremos…………….... 2
Luego: {
} que son las soluciones del sistema propuesto.
OBSERVACION: A continuación mostraremos algunos ejercicios que después de una pequeña modificación, desembocan nuevamente en este proceso.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 128
Ejemplo 2:
Sea el sistema
{
Estas tres ecuaciones pueden ser invertidas, porque tienen la forma de proporciones, luego tendremos:
{
}
{
Con este nuevo sistema y , utilizamos el artificio de “substitución provisoria de variables”.
Ejemplo 3:
{
Este ejercicio lo someteremos al mismo proceso anterior, y tendremos:
{
}
{
A este nuevo sistema formado por las ecuaciones y aplicamos el artificio de “substitución provisoria de variable”
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 129
Ejemplo 4:
“Doble substitución provisoria de variables”
Sea el sistema:
{
Si eliminamos los denominadores tendremos un sistema de 2º grado, pero haciendo uso de incógnitas auxiliares podemos reducir a un sistema de 1º grado.
Haciendo {
} En las ecuaciones originales del sistema
Tendremos:
{
A estas ecuaciones y en las incógnitas y , aplicamos nuevamente el artificio de substitución provisoria de variables, eligiendo otras letras del alfabeto.
Haciendo:
{
}
en las ecuaciones y
Tendremos: {
Resolviendo este sistema, tendremos los valores para las incógnitas y , que a su vez nos darán los valores de las incógnitas auxiliares y .
Con estos valores tendremos la solución del sistema original con las incógnitas .
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 130
Ejemplo 5:
Sea el sistema:
Separando las ecuaciones tendremos:
{
{
A este nuevo sistema podemos aplicar el artificio “Substitución provisoria de variables”
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 131
2º TIPO DE ARTIFICIO:
Ejemplo 1:
Sea el sistema: 8
La ecuación (1) podemos escribir:
Aplicando la propiedad de las razones continuas: “La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como antecedente es a su consecuente”, tendremos:
Llevando (2) en (3) tendremos:
Luego:
{
OBSERVACION: A continuación mostraremos algunos ejercicios que después de una pequeña modificación, desembocan de nuevo en este proceso.
Ejemplo 2:
2
La ecuación (1) podemos escribir:
O también
Ejemplo 3:
8
La ecuación (1) podemos escribir:………………………………………………………..
Ejemplo 4:
8
Aplicando raíz cúbica a toda la ecuación (1) , tendremos: √
√
√
O también…………………………………………… √
√
√
ALGEBRA
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3º TIPO DE ARTIFICIO:
Sea el sistema: {
Estas ecuaciones podemos escribir en la forma:
{
Estas tres ecuaciones del sistema podemos asociar o relacionar con una ecuación única de 3º grado en la variable :
Que se anula para {
} es decir, es divisible por los binomios
Aplicando la propiedad: “Todo polinomio racional y entero que es divisible por binomios de 1º grado, podrá ser escrito como producto del coeficiente de 1º termino del polinomio por los binomios de 1º grado”.
Luego la ecuación podemos escribir:
Que desarrollando el 2º miembro:
Aplicando el concepto de identidad de polinomios, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes; es decir:
8
De (6) tenemos:
{
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 133
Ejercicios propuestos para este tipo de artificio:
a)
{
Sugestión: Utilizar el polinomio auxiliar:
Rta.: {
b) {
Sugestión: Utilizar el polinomio auxiliar:
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 134
4º TIPO DE ARTIFICIO:
Sea el sistema:
{
Haciendo , y substituyendo en las ecuaciones tendremos:
{
Luego:
}
(
* (
*
(
)
Llevando este valor de en las ecuaciones tendremos los valores de las
incógnitas.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 135
Ejercicios propuestos para resolver por artificios:
71.
{
Rta.:
{
72.
{
Rta.: {
73.
{
Rta.:
{
74.
{
Rta.: {
75.
Rta.: ,
76. {
Rta.: {
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 136
77. {
Rta.: { √
√
√
78. 8
Rta.: ,
79. 8
Rta.: {
80. 8
Rta.: 8
81.
{
Rta.: 2
82.
{
Rta.:
{
83.
{
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 137
84.
{
Rta.: {
85.
{
Rta.:
{
86.
{
Rta.:
{
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 138
Cantidades imaginarias - numeros complejos
Las operaciones directas (Suma, multiplicación y potenciación) no crearon problema de
cálculo, por ser siempre realizables.
En cambio las operaciones inversas (Resta, división y radicación), crearon el problema al no
ser realizables en algunos casos dentro del campo de los números naturales.
RESTA …… Minuendo Substraendo Números negativos.
DIVISIÓN … Dividendo y Divisor: Primos relativos Números fraccionarios.
RADICACIÓN…
{
√
Pues no existe ningún numero (Positivo o negativo) que elevado a una potencia par , nos
reproduzca el radicando negativo
LAS RAÍCES DE ÍNDICE PAR DE CANTIDADES NEGATIVAS NO TIENEN SOLUCION DENTRO DEL
CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.
Debido a esto fueron llamados números imaginarios, pues solo existen en la imaginación.
Sin embargo, mismo siendo imaginarios tienen mucha aplicación dentro del campo de la
matemática avanzada y debido a eso lo estudiaremos.
Ejemplos:
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √
√
√
√ √ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 139
En los ejemplos que acabamos de mostrar, analizamos algunos números imaginarios puros y
para explicitarlo mejor en su significado, utilizamos las reglas básicas del algebra en lo
referente a la multiplicación de radicales, para presentarlo como el producto de dos factores:
Una parte real y el otro factor √ que es el causante de la imposibilidad.
A este factor de ser el causante de la imposibilidad de ser un número real, fue convencionado
llamarlo unidad imaginaria y para facilitar su escritura, su notación es:
√ ………. Unidad imaginaria.
Todo numero imaginario, con tal de que el índice de la raíz sea un numero par puede ser
escrito en la forma:
…………………….Siendo: {
Una vez hecha esta transición, es decir el numero imaginario fue puesto en la forma , pasa
a comportarse como una expresión algebraica y específicamente como un monomio, siendo la
parte literal la letra , y su coeficiente , que podrá ser de cualquier naturaleza (Racional,
irracional, positivo, negativo, etc.) como también podrá ser una expresión algebraica
cualquiera.
Ejemplos: √
√
√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 140
Operaciones con los números imaginarios puros:
Las leyes de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y radicación con los números
imaginarios puros, son idénticas a las normas del algebra convencional. A continuación
haremos una analogía:
………………………….
……………………
( )
…………………….( )
√ ……………………….√
La única diferencia en estas operaciones con los números imaginarios es que los resultados no
pueden tener potencias de la unidad imaginaria.
Esto es debido a que las potencias de i son cíclicas; es decir:
(√ )
}
}
Esto nos muestra que las potencias de las unidades imaginarias son cíclicas, y sea cual fuere su
valor solo puede tener 4 valores.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 141
Estos 4 valores son:
{
Estos valores debemos memorizarlos o saber deducirlos.
Cuando el exponente es mayor a 4 , debemos dividir el exponente por 4 y lo sustituimos por
el resto de la división.
Si la división es exacta el resto será cero, esto significa que es un múltiplo de 4 y su valor será
1, pero también podríamos recordar que cualquier cantidad con exponente cero es igual a la
unidad, es decir
Entonces los resultados obtenidos en los ejemplos de las operaciones con los números
imaginarios serán:
Ejemplos:
………………..2
Obs.: y ……números enteros.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 142
Ejercicios propuestos:
1- Reducir la expresión:
a) √
√ √ √
( ) ( )
Rta.:
b)
Rta.:
c) ( √ )
(√ √ )
(√ )
( √ √ ) Rta.: 3
2- Calcular: a)
b)
c)
d)
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 143
NÚMEROS COMPLEJOS: Forma binómica o algebraica:
A las expresiones binómicas cuya forma general es , constituidas por un termino real y
un termino imaginario puro , se denominan “cantidades complejas o números
complejos”. A los coeficientes y se los llama componentes de la compleja.
Particularidades de los números complejos:
a) Si en la expresión se tiene , la misma se reduce a “ ”
Luego: “Todo numero real puede ser considerado como un numero complejo, que
tiene nula la parte imaginaria”
b) Si en la expresión se tiene , la misma se reduce a “ ”
Luego: “Todo numero imaginario puro puede ser considerado como un numero
complejo, en donde la parte real es cero”
c) Si un número complejo es nulo, sus componentes son nulos.
Es decir: Si …….. Entonces .
d) Si dos números complejos son iguales, necesariamente serán iguales: sus componentes
reales y sus componentes de la parte imaginaria.
Es decir: Si ………. {
e) Dos números complejos se llaman “CONJUGADOS”, cuando difieren solamente en el
signo de la parte imaginaria. ( ).
Es decir: y …. son complejos conjugados.
f) Dos números complejos se llaman “OPUESTOS” cuando difieren solamente en el signo
de sus componentes.
Es decir: y …. son complejos opuestos.
g) En el campo de los números complejos no se define la relación orden, es decir, no
existe un número complejo mayor o menor que otro.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 144
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
1- Suma algebraica: La suma de varias complejas dadas en forma algebraica es en general,
una compleja cuya parte real es la suma algebraica de las partes reales de las complejas y
la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los complejos sumandos.
Ejemplo: a) Sumar:
b) Simplificar:
( )
2- Multiplicación:
a) El producto de un número real por una compleja, es otra compleja.
Es decir …… es un número real.
Ejemplo:
b) Producto de dos complejas
Si …….… ………. El producto será un imaginario puro.
Si …….… ……….. El producto será un número real.
El producto de dos complejas conjugadas es un número real:
Luego: El producto de dos complejos puede ser un número real, un imaginario puro o
una compleja, inclusive puede ser cero.
Ejemplos:
b1)
b2)
Producto de varias complejas:
Para obtener el producto final, se multiplica la primera compleja por la segunda,
obteniéndose en general una compleja, la cual a su vez se multiplica por el tercer factor y así
sucesivamente hasta multiplicar con la ultima compleja.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 145
3- División:
a) La división entre una compleja y un número real , es otra compleja.
Es decir:
b) El cociente de la división de un número real por una compleja es otra compleja.
Es decir:
…. Racionalizando tendremos.
c) Cociente entre dos complejas:
En este caso racionalizamos el denominador
Dependiendo del resultado del producto en el numerador de la fracción: El cociente
entre dos números complejos puede ser un número complejo, un número real o un
imaginario puro.
4- Potenciación de números complejos:
Cuando el exponente es 2 o 3 generalmente se utilizan las formulas del algebra básica,
es decir:
.
Pero cuando el exponente es mayor que 3, se puede utilizar el triangulo de Tartaglia, o
el desarrollo del binomio de Newton:
La potencia de exponente natural de una compleja puede ser un número real, un
imaginario puro o una compleja.
Ejercicios propuestos:
a) Rta.:
b) ( )
Rta.:
c) Rta.:
d) (√ ) Rta.: √
e)
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 146
5- Radicación de números complejos:
Nosotros focalizaremos nuestra atención en dos casos:
a) Raíz cuadrada de un numero complejo: √
Indudablemente la raíz cuadrada de este número complejo deberá ser otro número
complejo, pues al elevar al cuadrado dicha raíz deberá reproducirnos el complejo
radicando.
Luego podremos escribir: √
(√ )
….
Aplicando la condición de polinomios idénticos a la expresión tendremos:
2
Resolviendo el sistema obtenemos los valores de e .
b) Raíz cúbica de un número complejo √
Procedemos con un razonamiento análogo al anterior y tendremos:
√
(√
)
….
Aplicando la condición de polinomios idénticos a la expresión ) tendremos:
2
Resolviendo el sistema tendremos e .
ALGEBRA
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Ejercicios propuestos:
1- Resolver las ecuaciones en el conjunto de números complejos:
a) Rta.:
b) Rta.:2
c) Rta.:
{
√
√
2- Determine de modo que el número complejo , sea un imaginario puro.
Rta.:
3- Determine para que el número complejo , sea un número real.
Rta.:
4- Determine e para que el número complejo , sea:
a) un número real. Rta.:
b) un número imaginario puro. Rta.:
5- Siendo , determine los valores reales de para:
a) La parte real de sea positiva. Rta.:
b) La parte imaginaria de sea negativa. Rta.:
6- Siendo , determine los números reales y , tal que .
Rta.: 8
7- Calcular y para que .
Rta.: {
ALGEBRA
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8- Determine el número complejo tal que: .
Obs.: … representa la conjugada de
Rta.:
9- Efectuar:
a) ( ) (
) (
) Rta.:
b) Rta.:
c) Rta.:
d) Rta.:
e) ( √
*
Rta.:
√
10- Determine e de modo que
Rta.: 8
11- Siendo el polinomio
Calcular: a) Rta.:
b) ( √ ) Rta.: √
12- Determine el número complejo , de modo que .
Rta.:
13- Determinar los números complejos y de modo que:
a) 2
Rta.: 8
b) 2
Rta.: 2
ALGEBRA
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14- Calcular:
a) √
√ Rta.:
√
b) (
)
Rta.:
c) (
) Rta.:
15- Escriba en la forma , la expresión
Rta.:
16- Dadas las funciones: 2
. Calcular:
( ) ( )
Rta.:
18- Escriba el resultado de la operación a seguir en la forma algebraica.
∑
∑
19- ¿Cual debe ser el valor de , de modo que el número complejo
, sea real?
20- Calcular:
.
21- Dado √
, calcular
22- Calcular:
a)
b)
ALGEBRA
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23- Determinar y de modo que , sea la raíz de la ecuación
Con y reales.
(Obs.: Para que sea la raíz de la ecuación debe verificarla).
24- Resolver el sistema en el campo de los números complejos.
2
25- Resolver la ecuación y hallar el valor de “ ” para que tenga solución real.
(
)
… Rta: 2
26- Sabiendo que . Hallar e .
27- Hallar las raíces cúbicas de:
√
28- Resolver el siguiente sistema en el campo de los números complejos:
2
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Ecuaciones de 2º grado a una incógnita
Toda ecuación completa de 2º grado a una incógnita puede ser reducida a la forma:
Generalmente se considera positivo, y siendo y positivos o negativos.
Cuando y son números fraccionarios, se eliminan los denominadores para darle a
los coeficientes la forma de números enteros.
Cuando a es un numero negativo se multiplica toda la ecuación por para que se vuelva
positivo.
Dividiendo la ecuación (1) por a (coeficiente del primer termino )
Tendremos
Esta ecuación es de la forma, que es denominada ecuación
reducida de 2º grado.
Formas de las ecuaciones incompletas:
Las ecuaciones incompletas de 2º grado pueden reducirse a una de las formas siguientes:
a)
b)
c)
Resolución de Esta ecuación admite dos raíces iguales o una raíz dupla 2
Resolución de
Se descompone la ecuación en factores:
Para que este producto sea cero tendremos dos posibilidades:
………….1º posibilidad
………...2º posibilidad
Resolución de
√ …………………………………………..
{
√
√
ALGEBRA
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RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE 2º GRADO A UNA INCÓGNITA.
Método de Bhaskara: Este método consiste esencialmente en transformar el primer miembro
de la ecuación en el cuadrado perfecto de un binomio de 1º grado.
Sea la ecuación
Multiplicando por ……………..
Ordenando y completando…………
Factoreando y Transp.term. ……….
Extrayendo raíz a ambos miembros… √
√
√
Que es la formula general para resolver la ecuación de 2º grado.
Desmembrando la formula general tendremos que las raíces son:
√
√
√
√
Tipos de raíces de una ecuación en función del discriminante:
Se denomina discriminante de la ecuación de 2º grado a la expresión ,
debido a que dependiendo del valor que adquiere esta expresión va a determinar la
naturaleza de las raíces de dicha ecuación.
………………….La ecuación tendrá dos raíces reales y diferentes.
………………….Dos raíces iguales es decir una raíz dupla.
………………….Dos raíces imaginarias y conjugadas.2
Observación: Es fácilmente demostrable que si una ecuación de 2º grado de coeficientes reales:
a) Admite una raíz , la otra raíz será necesariamente , es decir
serán números complejos conjugados.
b) Y si una de las raíces es del tipo √ , la otra necesariamente será √ .
(En este caso la ecuación deberá tener coeficientes racionales).
ALGEBRA
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Ejercicios propuestos:
1- * Rta.: 8
* Rta.:
* Rta.: 8
* Rta.: 8
* Rta.: {
√
√
* Rta.:
* Rta.: {
√
√
* Rta.: {
2- Resolver las siguientes ecuaciones:
* Rta.: {
*
√ Rta.: √
*
* Rta.:
;
*
Rta.: [
√
√
* Rta.: [
* Rta.: 6
*
√
√
√ Rta.: 6
√
√
ALGEBRA
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3- Sin calcular las raíces, determinar la naturaleza de las raíces de:
*
*
*
*
*
*
*
*
4- Determinar , de modo que la ecuación , tenga una raíz dupla.
Rta.: 8
5- Hallar el valor de m para que la ecuación , sean reales y desiguales.
Rta.:
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PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Existen muchas relaciones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación de 2º grado, pero
dos son las fundamentales y el resto puede ser deducido de estos dos:
Sea la ecuación
Las raíces de esta ecuación son:
{
√
√
La ecuación (1) también puede ser escrita en la forma.
…………………………….…..
Y es en esta ecuación que nosotros trabajaremos:
Sumando las raíces y , tendremos:
√
√
Luego
………………….………..
Multiplicando las raíces y , tendremos:
6
√
7 6
√
7
.
/
4√
5
Luego
………………………………….
Comparando la ecuación con las ecuaciones y , podemos concluir que la suma de
las raíces es igual al coeficiente de término de 1º grado con signo cambiado y el producto de
las raíces es igual al término independiente.
ALGEBRA
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Aplicaciones de las propiedades de las raíces:
1- Formar la ecuación de 2º que tenga por raíces ( √ ) y ( √ ).
Aplicando la propiedad tendremos:
√ √
( √ ) ( √ )
Luego la ecuación será
2- Hallar dos números conociendo su suma y su producto.
Hallar dos números cuya suma sea
y el producto sea
.
Formamos la ecuación
Cuyas raíces
y
son los números pedidos.
Ejercicios propuestos:
1- Formar la ecuación de 2º grado que tenga por raíces y
. Rta.:
2- Formar las ecuaciones que tengan por raíces:
a) (
) y (
) Rta.:
b)
,
Rta.:
3- Siendo
y
, formar la ecuación de 2º grado que tenga por raíces:
2
Rta.:
4- Hallar dos expresiones algebraicas cuya suma sea
y cuyo producto sea
.
Rta:
;
.
ALGEBRA
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Otros tipos de ejercicios:
1- Determinar la relación que debe haber entre los coeficientes de la ecuación
para que sus raíces sean iguales.
…………..……….. Es la condición impuesta por el problema.
√
√
√
√ .………… que es la condición pedida.
Obs.: A este mismo resultado llegaríamos si imponemos que la condición para que las raíces
sean iguales, el discriminante. .
2- Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación ,
para que las raíces sean recíprocas, es decir una sea la inversa de la otra.
……………………….... Es la condición exigida.
Luego
6
√
7 6
√
7
……… Es la condición exigida para que se cumpla la condición del problema.
ALGEBRA
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3- Determinar la relación que deben satisfacer los coeficientes de la ecuación
para que la diferencia de las raíces sea igual a .
La condición del problema es que , luego
4
√
5 4
√
5
√
√
√
√
Que es la relación pedida
4- Determinar de modo que una de las raíces de la ecuación
sea el triple de la otra.
√
[
√
]
√ √
√
√
[ ]
…..…………..… 8
ALGEBRA
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TRANSFORMADAS DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO.
Transformada de una ecuación de 2º grado en otra ecuación de 2º grado
, cuyas raíces estén en una relación dada con la primera.
Ejemplos:
1- Dada la ecuación , formar otra ecuación de 2º grado cuyas raíces
sean los cuadrados de las raíces de esta ecuación dada.
La relación entre las raíces es √ ,
que llevamos en la primera ecuación y tendremos:
( √ ) ( √ )
√
√ ………………..…Elevando al cuadrado ambos miembros.
Tendremos:
…..….Que es la ecuación transformada pedida.
2- Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean las raíces de
multiplicada por
.
Luego la condición es
Y tendremos: ( )
( )
………. Que es la ecuación transformada pedida.
3- Hallar la ecuación de 2º grado cuyas raíces sean las raíces de la ecuación ,
aumentadas de
.
La condición exigida es
( )
( )
………. Que es la transformada pedida.
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ECUACIONES CON RAÍCES COMUNES:
1- Determinar de modo que las ecuaciones y , tengan una raíz común.
Designemos por dicha raíz común, entonces deberá verificar ambas ecuaciones:
{
Eliminando el término por reducción:
Luego
…………….……….. Que llevamos en la 1º ecuación:
(
)
(
)
Simplificando ……………….…..8
2- Determinar la condición que deben satisfacer dos ecuaciones de 2º grado, para que tengan las mismas raíces: Sean las ecuaciones
Designando por y las raíces comunes de estas ecuaciones, y aplicando a ambas ecuaciones la propiedad de las raíces:
{
}
Luego:
La condición exigida es
………………..… es decir los coeficientes de ambas
ecuaciones deben ser proporcionales.
Ejemplo: Determinar y de modo que las ecuaciones:
y tengan las mismas raíces.
La condición es:
Es decir: 2
Resolviendo tendremos:
y
.
ALGEBRA
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DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DEL TRINOMIO DE 2º GRADO.
Sea el trinomio ……………..
Igualando a cero dicho trinomio y resolviendo la ecuación.
Sean y sus raíces.
Por la propiedad de las raíces tendremos: {
Transformando el polinomio y substituyendo (2) y (3) en esta expresión tendremos:
*
+
*
+
*
+
[
]
Luego para descomponer un trinomio en sus factores, se iguala a cero el trinomio y se halla
sus raíces y los tres factores serán:
- El coeficiente de
- menos una de las raíces.
- menos la otra raíz.
OBS.: Aplicando el teorema 4 de los teoremas de divisibilidad de polinomios por binomios,
llegaremos al mismo resultado.
También podríamos aplicar el teorema del resto y el método de división de y
llegaríamos al mismo resultado.
ALGEBRA
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Ejemplo 1: Descomponer el trinomio en factores:
Igualando a cero tendremos ………………………...…..8
Luego: ( ) (
) (
) (
)
.
Ejemplo 2: Descomponer en factores
Igualando a cero …
8
Luego ( ) (
)
( ) (
)
Ejemplo 3: Descomponer en factores
Igualamos a cero … 2
Luego
Ejemplo 4: Descomponer en factores binomios.
Igualamos a cero … ……………………………………………….2 √
√
Luego: ( √ ) ( √
)
ALGEBRA
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Ejercicios propuestos:
1- Resolver las ecuaciones:
a)
Rta.: 8
b)
Rta:2
c) ( ) (
) (
) (
) (
) (
) Rta.:{
d) Rta.: 2
e) Rta.: 2
f) Rta.: 2
g) Rta.:
{
h) Rta.:
{
I) Rta.:
{
j)
( )
( ) Rta.:
{
( )
( )
k) (
)
Rta.:
{
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 164
2- Determinar de modo que una de las raíces de la ecuación sea el doble de la otra.
Rta.: 2
3- Los catetos de un triangulo rectángulo son las raíces de la ecuación . Determinar de modo que la hipotenusa sea 26 metros y calcular los catetos.
Rta.: {
2
4- Determinar en la ecuación , de modo que las raíces
verifiquen la relación .
Rta.: {
5- Determinar de modo que la ecuación tenga una
raíz dupla y calcular la raíz.
Rta.: 2
6- Formar la ecuación que tenga por raíces los inversos de la ecuación .
Rta.:
7- Formar la ecuación que tenga por raíces los cuadrados de las raíces de la ecuación
Rta.:
8- Determinar para que las raíces de la ecuación sean reales y
analizar los signos.
Rta.:
9- Determinar los valores de para los cuales los valores de en la ecuación
sean reales.
Rta.: 2
10- En la ecuación , las raíces representan las
abscisas de los puntos y de un eje .
Determinar de modo que los puntos y sean simétricos en relación al origen ,
y calcular estas abscisas.
Rta.: {
√
√
ALGEBRA
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11- Hallar la ecuación de 2º grado en la cual una de las raíces es el triplo de la otra y la suma
de los cuadrados de las raíces es 40.
Rta.:
12- Hallar tres números enteros consecutivos (positivos)sabiendo que la suma de sus
cuadrados es igual a 1.202
Rta.: 19 ; 20 ; 21
13- Descomponer los siguientes trinomios en factores de 1er grado
a) Rta.:
b) Rta.:
c) Rta.:
14- Simplificar la fracción:
a)
Rta.:
b)
Rta.:
c)
Rta.:
d)
( √ ) ( √ ) Rta.:
√
√
15- Verificar las siguientes identidades.
a)
b)
c)
d)
e) ( √ )( √ )
f)
g)
h)
ALGEBRA
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ECUACIONES BICUADRADAS: Son las ecuaciones de 4º grado que únicamente contienen las
potencias pares de la incógnita, inclusive la potencia cero.
La ecuación bicuadrada general es de la forma
Se considera siempre positivo, pues en caso de que sea negativo basta multiplicar por .
Los coeficientes de la ecuación bicuadrada también pueden ser expresiones algebraicas.
Resolución de la ecuación bicuadrada:
Sea la ecuación
En esta ecuación haremos una sustitución provisoria . …………
Tendremos ……………
Esta ecuación es llamada reducida de la ecuación bicuadrada, porque es una ecuación de 2º grado.
Resolviendo esta ecuación en , tendremos √
Es decir: √
Luego por la ecuación (2) tendremos:
√ …………………………….
{
√ √
√ √
Y siendo √
También por la ecuación (2) tendremos:
√ ……………
{
√ √
√ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 167
Ejemplo 1: Resolver la ecuación
Haciendo , tendremos:
… √
Luego: …………………..…. 2
………………….…. 8
Ejemplo 2: Resolver la ecuación
Luego:
Haciendo …….
√
√
√
√
Entonces tendremos: √
…………………...…
{
√ √
√ √
También √
……….…
{
√ √
√ √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 168
Ejemplo 3: Sea la ecuación
Haciendo ………….. ….…….…..
√
Luego:
………………... {
√
√
………………... {
√
√
Ejemplo 4: Resolver la ecuación
Haciendo
( ) √ ( )
( )
√
√
√
{
2
2
Obs.: Cuando queremos trabajar con las propiedades de las raíces, debemos focalizarnos en la
ecuación reducida de la ecuación bicuadrada y luego pasarla a la ecuación original.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 169
Ejemplo 5: Formar la ecuación bicuadrada que tenga por raíces:
; y
Luego: ( )
( )
}
Entonces la ecuación bicuadrada será:
Ejemplo 6: Formar la ecuación bicuadrada que tenga por raíces: √
Luego:
8 [ ( √ )]
√
[ ( √ )] √
}
Luego: es la ecuación pedida.
Ejemplo 7: Formar la ecuación bicuadrada cuyas raíces son: (
)
{
(
*
(
*
{
}
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 170
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DEL TRINOMIO BICUADRADO
El trinomio bicuadrado , puede ser descompuesto en el producto del
coeficiente del primer término, por los cuatro factores binomios de 1º grado en , que se
obtiene restando de cada una de las raíces, es decir:
Obs.: La demostración de esta identidad es simple, pero no lo vamos a hacer aquí, pues
podríamos apelar a los teoremas relativos a la divisibilidad de polinomios por binomios para
fundamentar esta identidad.
Ejemplo 8: Descomponer en factores el trinomio
Resolviendo la ecuación: ………………..….
{
Luego:
( ) (
)
Ejemplo 9: Encontrar la ecuación bicuadrada que tenga por raíces √
Las raíces de la ecuación son:
{
( √ )
√
√
√
Luego: ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
Efectuando las operaciones y simplificando tendremos:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 171
Ejemplo 10: Descomponer en factores la expresión:
Considerando la expresión como un trinomio bicuadrado respecto a la letra a.
Igualando a cero esta expresión y resolviendo la ecuación resultante.
………….
{
Entonces:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 172
Ejercicios propuestos:
1- Resolver las ecuaciones:
a)
Rta:
√
b) Rta:
c) Rta: 2
d) Rta: 2
√
e) Rta: (
)
2. Formar las ecuaciones bicuadradas que tengan por raíces:
a)
Rta:
b) Rta:
c) . √
/ Rta:
d) (√ √ ) Rta:
e) ( √ ) Rta:
f) ( √ ) Rta:
3. Simplificar la fracción:
Rta:
4. Resolver la ecuación y demostrar que siendo , las
raíces forman una progresión aritmética.
Rta: √
y √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 173
Ecuaciones irracionales
Generalidades: la solución de ecuaciones irracionales comprende tres fases:
a) Racionalización: no existen métodos generales para la racionalización,
algunos procesos particulares son aplicables a gran número de
ecuaciones.
Los procesos más empleados son: la racionalización por potenciación y la
racionalización por incognitas auxiliares.
b) Resolución de la ecuación racional correspondiente:que podrá ser de
cualquier grado.
c) Verificación de las raíces: la ecuación racional correspondiente siempre
contiene las raíces de la ecuación original, pero puede contener raíces
extrañas porque en la mayoría de los casos la racionalización es hecha
por medio de potenciación de los dos miembros.
Racionalización por Potenciación: consiste en disponer convenientemente los radicales en
ambos miembros y elevar a una potencia conveniente.
Algunas veces es necesario repetir la operación para eliminar los radicales.
Los principales tipos de ecuaciones irracionales son:
Primer Tipo: son ecuaciones de las siguientes formas:
√
…………………………………… Un radical cualquiera y una parte
racional.
√
√
………………………... Dos radicales del mismo índice.
√
√
……………………….Dos radicales de índice diferentes.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 174
Ejemplo 1 : √
√
…………………………………
Ejemplo 2 : √
√
√
√
………………….. A la 6° potencia
……………..…..
Ejemplo 3: √
√
…………..… A la 6° potencia
…………………………………………….….
Ejemplo 4 : √
√
……………….. Al cubo.
…………..
6
Ejemplo 5 : √ √
√ √
√ ( )
( )
√ ( )
( )
( )
………………….
de esta ecuación obtenemos dos ecuaciones
…………………………………..( 1 )
…………………………………..( 2 )
Que resolviendo tendremos y
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 175
Ejemplo 6: √ √
√ √
√ √
Ejemplo 7:
(
)
(
)
(
)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 176
Segundo Tipo: son ecuaciones de la siguiente formas
√ √ ………………. Dos raíces cuadradas y una parte racional
√ √ √ …………….. Tres raíces cuadrados.
Ejemplo 1: √ √
√ √ …………….. Elevando al cuadrado
√
……………………………
Ejemplo 2: √
√
……………………... Elevando al cuadrado
Luego
√
Ejemplo 3: √ √ √
√ √ √
√ √
√
√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 177
Ejemplo 4 : √ √ √
√ √ √ ………. Elevando al cuadrado
√ ………………. Elevando al cuadrado
…………………..…. 0
Tercer Tipo : Estas ecuaciones son de la forma:
√ √ √ ……………………….. Tres raíces y una racional
√ √ √ √ ………………… Cuatro raíces cuadradas.
Ejemplo 1 : √ √ √
√ √ √ ........Elevando al Cuad.
√ √ ……………………..Elevano al Cuadrado
………………………………
Ejemplo 2 : √ √ √ √
√ √ √ √ …………Elevando al Cuadrado
√
√
Luego: ( √ )
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 178
Quarto Tipo : Estas ecuaciones son del tipo:
√
√
…………Dos raíces cúbicas y una parte racional
√
√
√
…………………. Tres raíces cúbicas
Consideremos la primera ecuación para ilustrar un proceso general.
√
√
………………………. ( 1 )
√
√
……………………………… Elevando al Cubo.
√
√
√
√
√
( √
√
) ………………………
( 1 ) en ………. √
√
………………..…………. Elevando al cubo
……..…….. Que es la ecuación transformada de la (1)
Ejemplo 1 : √
√
…………… Elevando al cubo
√
√
√
√
√
[ √
√
]⏟
√
…………………. 0
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 179
Ejemplo 2 : √
√
√
…………………….. Elevando al cubo
√
( √
√
)
√
∙ √
√
………………………. Elevando al cubo
Luego √
Ejemplo 3: √ √
√
……………...... Elevando al cubo
√
( √ √
) √
√
∙ √
√
√ ……………………………. Elevando al cuadrado
Luego √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 180
Quinto Tipo: Estas ecuaciones son de la forma.
√
√ ………………………………….
Para racionalizar estas ecuaciones se debe aislar el radical de índice en un
miembro y luego elevar la ecuación a la potencia
Ejemplo 1: √
√
√
– √ ……………. Elevando al cubo
√ ……………………………. Elevando al cuadrado
………………… 0
Ejemplo 2 : √
√
√
√ …..…Elevando al cubo
√
√
( √ ) ……………………………
De esta ecuación resultan dos ecuacion es: 0
√
[ √
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 181
Sexto Tipo : Son ecuaciones con radicales duplos; estas ecuaciones presentan formas
muy variadas.
Ejemplo 1 :
√
√
…………Elevando al cuadrado
√
………………….. Elevando al cuadrado
………………………………..
Ejemplo 2 : √ √ √ √ ……..Elevando al cuadrado
√ ………………………………. Elevando al cuadrado
………..…… 0
Ejemplo 3 : √ √
√ √
√
…………………Elevando al cubo
√ √ √( √ ) ( √ )
∙ . √ √
√ √
/
√
………………………………………..
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 182
Racionalización por incognitas auxiliares
No existe un proceso general y uniforme para resolver las ecuaciones utilizando las
incognitas auxiliares, por eso debemos analizar los principales tipos.
OBS: Denominamos ( función de la variable ) a una expresión algebraica
cualquiera con la variable
1° TIPO: √ ……………………………….. y Ctes.
Hacemos la substitución ………………………….
y tendremos :
Una vez resuelta esta ecuación llevamos las raíces en y volvemos a
resolverlo.
Ejemplo 1: √
Haciendo …………………………
Tendremos:
…………………………. 0
Luego llevamos estos valores en
Y tendremos:
……………….. √
……………….. 0
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 183
2° Ejemplo: √
Haciendo
…………………………0
8
}
{
√
3° Ejemplo: √
√
√
√
Haciendo
Obtenemos ……….. ………………. 0
Luego [
√
y [
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 184
2° TIPO: √ [ ]
√
Hacemos la suatitución y obtenemos
Ejemplo 1: √
√
√
√
Hacemos ……………………..
…………………….. {
}………. en
Ejemplo 2 : √
√
√
√
hacemos …………………….
…………………. [
]……… en
Ejemplo 3 : √
√
haciendo …………………………….
…………………… [
] ……… en
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 185
3° TIPO: √
√
Hacemos
Obtenemos:
Ejemplo 1: √ √
hacemos ……………………
……….. [
] ……… en
Ejemplo 2 : √ √
√ √
Hacemos …………………….
……………….. [
] ……… en
Ejemplo 3: √
√
haciendo
……………………………….
tenemos …………. [
] en
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 186
4° TIPO : Sean…………… 2
Estas ecuaciones serán de la forma:
√[ ]
√ ∙
√[ ]
Dividiendo toda la ecuación por √[ ]
tendremos: √ [
]
√
haciendo
tendremos :
Ejemplo 1: √
√
√
Dividiendo la expresión por √
Tendremos: √[ ( )
]
√
Haciendo
…………………………
tendremos …………………… 6
en
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 187
5° TIPO: √
√ ∙
√
Dividiendo la ecuación por √
tendremos : √
√
haciendo
tendremos :
Ejemplo:
√
√
√
Dividiendo por la expresión √
tendremos: √
√
haciendo
……………………..
tendremos: ………………. 6
Llevando estos resultados en
Tendremos ( )
(
)
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 188
Sistemas de ecuaciones irracionales
Los sistemas de ecuaciones irracionales, son racionalizados y una vez resueltos debemos
verificar los resultados.
Ejemplo 1: 6
Sumando y luego restando miembro a miembro respectivamente
Obtenemos: 6
Ejemplo 2: [
√
Racionalizando la ecuación ( 2 ) tendremos el sistema equivalente.
[
[
Ejemplo 3: 6 √ √
√ √
Racionalizando tendremos: [
] ……… [
Ejemplo 4: 6
Haciendo 6
7 [
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 189
Ejercicios propuestos
1) √
Rta:
2) √
√ Rta:
3)
√
Rta:
√
4) √ √
Rta:
5) (
)
(
)
Rta:
6) √
√
√ Rta:
7) √ √ Rta:
8) √ √ Rta: √
9) √ √ Rta:
10) √ √ √ Rta: √
11) √ √ √ Rta:
12) √ √ √ √ Rta:
13) √ √ √ Rta:
14) √
√
Rta: √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 190
15) √
√
Rta:
16) √
√
Rta: √
17) (
)
(
)
(
)
Rta: √
√
18) √
√
Rta:
19) √ √
Rta:
20) √ √ √ √ √
√ Rta:
21) √ √ √ √ Rta:
22) √ √ √ √ Rta:
23) √ Rta: √
24) √ √ √ Rta: √ √ √
25) √ Rta:
√
26) √
√
Rta:
√
27) √ √
Rta:
28) √ √
Rta:
29) √
√
Rta: √
30) √
√
Rta: √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 191
31) √
√
√
Rta:
32) √
√
√
Rta:
33) √
√
√
34) √
√
√
Rta: 0
35) √
√
√
Rta: (√ )
( √ )
36) √ √
√ √
√ √
√ √ Rta: 0
37) √ √
√ √ √ Rta:
√
38) √ √ √ √
Rta:
39) √
√
√ √
√ √ Rta:
Resolver los sistemas irracionales :
40) 0
√
√ Rta:
41) 0
√ √ Rta:
42) [ √ √ √
√ √ Rta: 16 ; 25
43) [ √
√ √ Rta: 36 ; 4
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 192
Ejercicios Variados
1- Juan y Pedro jugaron 12 partidos de ajedrez, Juan apostó 30 Gs. y Pedro apostó 20 Gs. Al
terminar de jugar, Juan ganó 40 Gs. ¿Cuántos partidos ganaron cada uno?
Rta.: {
2- Al dividir un número por 5 da 2 de resto y al dividirlo por 7 da 1 de resto. Si la suma de los
cocientes es 7, determine el número.
Rta.: 22
3- La edad de una persona son los de la de su hermano. Dentro de un número de años
igual a la edad actual del mayor, la suma de las edades será 75 años. Determine las edades
de cada uno de ellos.
Rta.: ,
4- El dinero que tiene Tomás es el triplo del que tiene Pedro y si Tomás le diera 200 Gs. a Pedro,
entonces Tomás tendrá el doble de lo que tendría Pedro. Calcular cuánto tiene cada uno.
Rta.: ,
5- El sueldo promedio mensual pagado a los 70 empleados de una compañía durante el año
de 1981 fue de 50.000 Gs. Si el sueldo promedio pagado a los varones fue de 52.000 Gs. y
el pagado a las mujeres fue de 42.000 Gs. Calcular el número de varones y de mujeres.
Rta.: {
6- La suma de la cifra de un número de dos cifras es de 10, cuando las cifras se invierten, se
obtiene un número que es 2 menos que el triplo del primero. Determinar el número
primitivo.
Rta.: 28
7- ¿Cuántos milésimos equivalen a 11/25?
Rta.: 440 milesimos
8- El producto de dos números es 10. El primero de ellos es igual al duplo del otro más uno
¿Cuáles son los números positivos que cumplen esa condición?
Rta.: 5 ; 2
9- Determinar dos lados de un triangulo rectángulo sabiendo que sus dimensiones son
números consecutivos.
Rta.: 3 ; 4 ; 5
10- Hallar el número que divivdo por 5 da 1 de resto, dividido por 6 da 2 de resto, dividido
por 7 da 5 de resto y que la suma de los cocientes es igual a la mitad de la diferencia
entre el número y 2
Rta.: N=26
11- y trabajando juntos pueden descargar un camión en 3,75 hs. solo, puede
descargarlo en 10 horas ¿Cuánto tiempo tardaría B trabajando solo?
Rta.: 6 horas
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 193
12- La longitud de una sala excede a su ancho en 10 m. Si la longitud se disminuye en 2 m y el
ancho se aumenta en 1 m., el área no varía. Hallar las dimensiones de la sala.
Rta.: ,
13- Padre e hijo con 100 fichas cada una, comenzaron a jugar dama. El padre pasaba 6 fichas
al hijo por cada partida que perdía y recibía 4 del hijo cuando ganaba. Después de 20
partidas el número de fichas del hijo era tres veces la del padre ¿Cuántas partidas ganó el
hijo ?
Rta.: 13 partidas
14- Encontrar la fracción equivalente a
tal que la diferencia de sus términos sea igual a 56.
Rta.: 21/77
15- Un grupo de albañiles debía realizar un trabajo de 432 m3. Pero cuatro de estos albañiles
no comparecieron al trabajo y en consecuencia de esto cada uno de los restantes tuvo
que hacer 9 m3 a más de lo que le correspondía. ¿Cuál es el número de albañiles
presentes al trabajo?
Rta.: 12 albañiles
16- Un comerciante tiene dos toneles de vino. El volumen del primero está para el volumen
del segundo como 5 para 4. El litro del primero cuesta tantos medios centavos de dólar
como litros contiene y el litro del segundo cuesta 0,25 menos que el litro del primero.
También se sabe que el valor total de los toneles es de 430,10 . Calcular el volumen de
cada tonel y el precio de cada uno.
Rta.: {
17- Una persona compró un terreno para construcción y un campo contiguo al terreno, juntos
tienen una superficie de 1 ha. y 56 a.
El terreno costó 19.200 Gs. y el campo 14.000 Gs. Sabiendo que el m2 del terreno costó 11
Gs. más que el m2 del campo ¿Cuáles son las superficies del terreno y del campo?
Rta.: {
18- Un caño de hierro pesa 65 Kg, otro caño de 3 m. más largo y cuyo peso, por metro es 2 Kg
superior al primero, pesa 120 kg. Calcular la longitud y los pesos por metro de los dos
caños. Sabiendo que son números enteros.
Rta.: {
19- Un ciclista vá de una ciudad A a otra B, distante 60 Km, con una cierta velocidad
constante. Al retornar de B para A, viaja durante una hora con la misma velocidad anterior,
pero es obligado a parar durante 20 min. Al continuar su viaje aumenta su velocidad en 4
Km/h ¿Cuál es la velocidad primitiva sabiendo que en la ida y en el retorno gastó e mismo
tiempo?
Rta.: V= 20 km/h
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 194
20- Compré cierta mercadería por 5000 Gs. y lo vendí ganando al 20% del precio de venta
¿Cuál fue el precio de venta? ¿Qué porcentaje sobre el precio de compra gané?
Rta.: ,
21- Un pedestre parte de A dirigiéndose para B, la distancia entre A y B es de 13200 m. Al
mismo tiempo, un vehículo parte de B para A. El cruzamiento se da después de 44 minutos
y el vehículo llega a A 105 minutos antes de la llegada del pedestre a B. Calcular la
velocidad del pedestre y del vehículo en m/min.
Rta.: {
22- Se han multiplicado entre sí dos números enteros, siendo el multiplicando 63 y el
producto 3339, pero ha habido un error tomando 3 en vez del 5 en las unidades del
multiplicador ¿Cuál debe ser el verdadero producto?
Rta.: 3465
23- Una vendedora de huevos, vende los 2/9 de su canasto, menos 5 huevos. Si añadiera 37 a
los que le quedan, el número primitivo quedaría aumentado de 1/6 ¿Cuántos huevos tenía
en el canasto?
Rta.: 108 huevos
24- ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo que falta para
acabarse?
Rta.: 9 hs a.m.
25- En una vasija de tres litros de capacidad, se vierten dos litros de vino y uno de agua. Se
vacía 1/3 de la mezcla y se llena con agua la vasija. Después se vacía 1/4 de la nueva
mezcla y se vuelve a llenar con agua, por último se vacía la mitad de esta postrera mezcla
y se llena nuevamente con agua. ¿Qué cantidad de vino contiene 1 litro de la última
mezcla?
Rta.:
26- Para vender a crédito un comerciante divide el precio de tabela por 0,80. ¿Cuál es el
aumento porcentual de la compra a crédito sobre el precio de tabela?
Rta.: 25 %
27- Necesito 150 m2 de tela para forrar una pared para exhibición de cine. En la tienda
encuentro la tela que necesito pero el vendedor me informa que esta tela encoje 15% del
largo y 10% del ancho. En el fardo de la tela está escrito que su ancho es de 1,5 m.
¿Cuántos metros de tela debo comprar para que después de mojado me dé justo la
cantidad necesaria?
Rta.: 130,72 m
28- Un comerciante mezcla 16 Kg de café cuyo precio es de 120 Gs./Kg. Con 4 Kg. de soja cuyo
precio es de 15 Gs./Kg. Para vender la mezcla con un beneficio de 20% ¿ A qué precio
debe vender el Kilo de la mezcla?
Rta.: 120 gs/kg
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 195
29- Un tren y un coche que va en dirección opuestas se cruzan y media hora después distan
entre sí 30 Km. Si la velocidad del tren es 4 veces la del coche ¿Cuáles son las dos
velocidades?
Rta.: {
30- Al fallecer un padre de familia dispone en su testamento lo que sigue: Al primogénito se le
dará 1000 más la 1/7 parte de lo restante de la fortuna, al siguiente hijo le deja 2000
más la 1/7 parte del segundo resto, y así sucesivamente.
Hallar la fortuna que deja en herencia a sus hijos, el número de herederos y la parte de
cada uno, sabiendo que todos reciben la misma cantidad.
Rta.: Fortuna = 36.000 $ ; c/u = 6.000 $ ; N° de hijos = 6
31- Un barril contiene 120 litros de vino y 180 litros de agua. Un segundo barril contiene 90
litros de vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros deben tomarse de cada uno de los barriles
para formar una mezcla que contenga 70 litros de vino y 70 litros de agua?
Rta.: ,
32- Un comerciante aumenta cada año su fortuna el tercio de su valor, y al fin de cada año
retira 1000 $ para los gastos.
Habiéndose duplicado la fortuna al fin del 3 año, se pregunta ¿Cuánto tenía al principio?
Rta.: 11.100 $
33- Un revendedor vende la mitad de las naranjas, más la mitad de una naranja; una segunda
vez vende la mitad del resto, mas media naranja, y así sucesivamente Después de tres
ventas no le quedan ninguna ¿Cuántas naranjas tenía?
Rta.: 7 Naranjas
34- Dos obreros trabajan juntos, el primero gana por día 1/3 más que el segundo. Al cabo de
cierto tiempo, el primero que ha trabajado 5 días más que el segundo, ha recibido 100.000
Gs. mientras que el otro ha recibido 60.000 Gs.
¿Cuánto gana cada uno por día?
Rta.: {
35- Hallar el precio que un comerciante debe poner a un artículo que a él le cuesta 12.000 gs.
para poder ofrecerlo con un descuento de 20% sobre el precio señalado y todavía, ganar
en la operación un 25% sobre el precio de venta.
Rta.: 18.750
36- Una columna de soldados marcha a una velocidad de 5 Km/h. Un enlace a caballo va
desde la cabeza de la columna y regresa inmediatamente empleando 10 minutos.
Suponiendo la velocidad del caballo 10 Km/h
Hallar la longitud de la columna.
Rta.: 625 m
37- Hallar un número de dos cifras sabiendo que si se divide por el número obtenido al
invertir sus cifras, el cociente es 2 y el resto 7, y si se divide por la suma de sus cifras, el
cociente es 7 y el resto 6.
Rta.: 83
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 196
38- Un comerciante compra determinado número de lapiceros por 180.000 Gs. y los vende
todos menos 6 con una ganancia de 2000 Gs. en cada lapicero. Sabiendo que con el dinero
recaudado en la venta podría haber comprado 30 lapiceros más que antes, Calcular el
precio de costo de cada lápiz.
Rta.: 3.000 gs c/u
39- Por medio de un grifo se llena un depósito en 4 horas. Por medio de otro grifo se
llena en 3 horas más que empleando los dos grifos y simultáneamente. Hallar en
cuanto tiempo se llena utilizando solo el grifo .
Rta.: 5 hs 16 min 30 seg
40- Demostrar que
∙
41- Efectuar:
42- Simplificar: (
)
(
)(
)∙
43- Pedro tiene pesos y Luis pesos. Pedro da cierto de pesos a Luis y entonces tiene
veces lo que tiene Luis. ¿Cuántos pesos le dio Pedro a Luis?
Rta.:
44- Un tanque se puede llenar por un grifo en horas y por otro en horas. Un desagüe lo
puede vaciar en horas. Si se abren simultáneamente los grifos y el desagüe. ¿En qué
tiempo se llenara el tanque?
Rta.:
45- puede hacer un trabajo en 8 días y en 12 días. trabaja un cierto número de días y
luego es sustituido por que termina la obra. Entre los dos demoran 11 días. ¿Cuántos
días trabajo cada uno?
Rta.: ,
46- Navegando a toda velocidad rio arriba un barco hace 18 kilómetros por hora. Navegando
a media velocidad rio abajo hace 15 kilómetros por hora. Hallar la velocidad de la
corriente.
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 197
47- En una granja
del número de gallinas blancas es igual a
del número de gallinas
pintadas;
del número de gallinas blancas, más 10 gallinas, es igual a la mitad del número
de gallinas pintadas. ¿Cuántas gallinas hay de cada clase?
Rta.: {
48- En una batalla del Norte de África había 4 tanques italianos por cada 3 tanques ingleses.
Durante la batalla los italianos perdieron 20 tanques y los ingleses 10 tanques, y quedaron
entonces 5 tanques italianos por cada 4 tanques ingleses. ¿Cuántos tanques italianos e
ingleses había al comienzo de la batalla?
Rta.: {
49- Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno
hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido el más
rápido alcanza al otro en 50 segundos. Hallar la velocidad de cada uno.
Rta.: {
50- Dos máquinas de imprenta trabajando juntos pueden imprimir un libro en 20 horas. A los
15 hs una de ellos se rompe y entonces tarda la otra 9 horas más en terminar el trabajo.
¿Cuántas horas necesitaría cada máquina para imprimir ella sola el libro?
Rta.: ,
51- Dos corredores se entrenan en una pista circular que tiene 180 de cia. Cuando corren
en sentidos opuestos se encuentran cada 15 segundos. Cuando corren en el mismo
sentido el más rápido alcanza al otro cada 90 segundos. Hallar la velocidad de cada uno.
Rta.: {
52- Cierto día la velocidad del viento era de 40 km/h a 2.000 pies de altura y de 25 km/h en el
mismo sentido a 6.000 pies de altura. Un aeroplano voló cierta distancia a 2.000 pies de
altura en 4 horas y regreso a 6.000 pies de altura en 5 horas. Hallar la velocidad del
aeroplano en aire tranquilo y la distancia que voló en la ida.
Rta.: ,
53- La suma de las tres cifras de un número es 13. Si el número de dos cifras formado por las
decena y unidades se divide por la cifra de las centenas el cociente es 6 y el resto 0. Si del
número se resta 270 resultan intercambiadas las cifras de las centenas y decenas pero se
conserva la cifra de las unidades. ¿Cuál es el número?
Rta.: 742
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 198
54- Tres jugadores , , convienen en que el perdedor duplicará el dinero de los otros dos.
Juegan tres partidos pierden el primer partido, pierde el segundo y el tercero. Si
cada jugador finaliza con 16 gs. ¿Cuánto tenia cada uno al comienzo del juego?
55- Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua. Si se añaden 8 litros de alcohol la
mezcla contendrá 90% de alcohol, pero si se añade 8 litros de agua la mezcla contendrá
75% de alcohol. Hallar las cantidades primitivas de alcohol y agua contenida en la mezcla.
56- Una compañía naviera concede un número fijo de horas de licencia por los 20 primeros
días de navegación corridos, y un cierto número de horas por cada día adicional en exceso.
Si por un viaje de 25 días se dieron 90 hs de licencia, y por uno de 40 días, 180 hs. Hallar el
fijo por los primeros 20 días y el adicional por día.
Rta.: ,
57- Resolver la ecuación:
a)
(
)
b)
58- y , trabajando juntos, pueden construir un muro en 10 días; y en 12 días; y
en 15 días. ¿En cuántos días lo construirán los tres juntos?
Rta.: 8 días
59- ¿Hasta qué distancia puede un hombre ir y volver en 6 hs, si a la ida va en n tranvía cuya
velocidad es 14 km/h y a la vuelta anda a razón de 4 km/h?
Rta.: 18
km
60- He comprado hielo a centavo por kilogramo. ¿A cuánto por tonelada (1.000 kg) debo
venderlo, después que ha perdido por fusión 10% de su peso, para ganar 15% del costo?
Rta.: 12 ,78 U$/ton
61- Dos trenes van de a por vías distintas, una de las cuales tiene 22,5 km más que la
otra. El tren que marcha por la vía más corta va en 6 hs y el otro, cuya velocidad por hora
es 15 km menos que la del primero va en horas. Hallese la longitud de cada vía.
Rta.: {
62- Los gastos de publicación de una revista ilustrada son
centavos por ejemplar. La
revista se vende a 6 centavos el ejemplar y por los anuncios se recibe 10% del precio de
todos los ejemplares vendidos después de los 10.000 ¿Cuál es el menor número de
ejemplares que deben venderse para no perder?
Rta.: 60.000 Ejenmplares
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 199
63- Un agricultor compro 10 vacas y 50 ovejas por US$ 750. Vendió las vacas ganando 10%
del costo y las ovejas ganando 30%, y recibió US$ 875 por todas las vacas y ovejas.
¿Cuánto por cabeza pago por las vacas y cuanto por las ovejas?
Rta.: {
64- El producto de dos números es 91 más 10 veces uno de ellos, y también a 51 más 10
veces el otro. Hállense los números.
Rta.: 13 y 17
65- Al mojar una pieza de tela, su largo y ancho disminuyen en un 12,5 y 6,25 por ciento,
respectivamente. Si el área disminuye en 11,5 , y la suma del largo y el ancho
disminuye en
m ¿Cuáles eran las dimensiones primitivas?
Rta.: ,
66- Se tiene un rectángulo de 10 por 8 cm y se desea ampliarlo de suerte que el área sea 2
veces mayor, sin cambiar la relación entre los lados. ¿Qué dimensiones debe tener el
nuevo rectángulo?
Rta.: { √
√
67- Un terreno rectangular tiene 30 de ancho y
% más de largo. ¿En cuántos metros
debe disminuirse el ancho y aumentarse el largo para que el perímetro aumentarse en 30
, sin cambiar el área?
Rta.: {
68- Formase con dos cuadrados una figura de seis lados como se ve aquí. El área de la figura
es 54 y el perímetro es 32 . Hállese los lados de los dos cuadrados.
69- En un número de tres dígitos, el tercero es la suma de los otros dos; el producto del
primero y tercero excede en 5 el cuadrado del segundo. Si al número se agrega 396, se
invierte el orden de los dígitos. Hállese el número.
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 200
SELECCIÓN DE TEMAS- AÑOS ANTERIORES.
1-) Efectuar:
a)
Rta.:
b) √ √ √ √ Rta.: √ √
c) , √ * √ √ +-
Rta.: √
d)
Rta.:
e)
Rta.:
f) [ ] Rta.:
g) √ √
√ √ *√ (√ )
+ Rta.: 1
h)
i) (√
√ ) .
√ / Rta.: √
j) ( ( ) ( )
( ) ( )* (
)
Rta.: 1
k) √ √ √ √
√ √ Rta.: √
l) (
) (
) Rta.:
m)
Rta.: 0
n) √ √ √ √ Rta.: √
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 201
2-) Una persona compro cierto número de libros por 42.000gs. Si hubiera comprado 2 libros
menos por la misma suma de dinero, cada libro le hubiera costado 700gs más. ¿Cuántos
libros compro?
Rta.: 12
3-) Una persona tenía un cierto capital del cual gasto los
, si después recibió 1.300gs y ahora
tiene 100gs más que al principio. ¿Cuál era su capital inicial?
Rta.: 1.600 Gs.
4-) A un alambre de 91 m de longitud se le dan tres cortes, de manera que la longitud de
cada trozo resultante es 50% mayor que el inmediato anterior. Hallar la longitud de cada
trozo.
Rta.: 11,2 ; 16,8 ; 25,2 ; 37,8
5-) Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son las reciprocas de las de la ecuación
.
Rta.:
6-) ¿Qué numero debe sumarse a los números 11 ; 6 ; 8 y 4 de tal modo que se
obtenga una proporción geométrica?
Rta.: 2
7-) Un canasto contiene 17 manzanas menos que otro. Si en el primer canasto ponemos cinco
manzanas tomadas del segundo, aquel contendrá un número de manzanas igual a
de los
que quedaron en el segundo. ¿Cuántas manzanas contienen cada canasto?
Rta.: 33 y 16
8-) Un obrero tarda 6 hs más otro obrero en efectuar un trabajo. Hallar el tiempo que
emplearía cada uno de ellos en realizar solo, sabiendo que juntos utilizan 4 hs en
efectuar el mencionado trabajo.
Rta.: 6 y 12 horas
9-) Si le diera a gs 30.000, ambos tendrían igual cantidad de dinero, pero si le diera a
gs 30.000, tendría el cuádruple de lo que le quedaría a ; ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Rta.: 130.000 ; 70.000
10-) Un empleado tiene un contrato de trabajo por 11 años. ¿Cuántos años ya trabajo, si los
del tiempo que ha trabajado son iguales a los
del tiempo que falta para cumplir el
contrato? Rta.: Trabajó 6 años
11-) Cierto número de personas ha hecho un gasto de 12000gs en un bar. En el momento de
pagar faltan 4 personas. La cuota de cada una de las personas restantes se aumenta en
500gs. ¿Cuántas personas estuvieron presentes inicialmente?
Rta.: 12 personas
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 202
12-) Una piscina de forma rectangular tiene 20 m de largo, por 8 m de ancho y está orillada por
un pasto de anchura uniforme. Si el área del paseo es de 288 m2. ¿Cuál es su anchura?
Rta.: 4 m
13-) Si se suma 4 al denominador y numerador de un quebrado, la fracción resultante es
reducible a
. Si se le resta 2 al numerador y denominador, la fracción resultante es
equivalente a
. ¿Cuál es la fracción original?
Rta.:
14-) La diferencia de dos números es igual a 2. Los
del mayor sumado al
del menor son
iguales a los
de dicha diferencia.
Hallar los 2 números.
Rta.: {
15-) Resolver las siguientes ecuaciones:
a) √
Rta.: 2
b)
Rta.: {
√
√
c)
{
Rta.: {
d) {
Rta.: {
e) √ √ √ Rta.:
f)
Rta.: {
√
√
g)
Rta.: {
√
√
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 203
16-) Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
{
Rta.: 8
b)
Rta.:
c) √ Rta.: 2
d) Rta.: 2
e)
Rta.: {
√
√
17-) Racionalizar el denominador de:
a) √ √
√ Rta.:
√ √
b) √ √
√ Rta.:
√ √
c)
√ √ √ Rta.:
(√ )( √ √ √ )
d) √ √ √
√ √ √ Rta.:
√ √
18-) Efectuar: 0(
)
(
)
1 0(
*
(
)
1 Rta.:
19-) Hallar “ ” en el polinomio , de tal modo que al dividirlo por
de resto
Rta.:
20-) Efectuar:
Rta.:
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 204
21-) Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:
Rta.:
22-) Efectuar:
√ √ √
√
Rta.: 1
23-) Simplificar:
.
/
Rta.:
24-) Hallar un número de dos cifras sabiendo que excede en una unidad al triple de la suma de
sus cifras y que invirtiendo el orden de las cifras se obtiene el número anterior aumentado
en 18
Rta.: 13
25-) Un jardín de forma rectangular esta rodeado por un camino de anchura constante. El área
del jardín es igual al área del camino. ¿Cuál es la anchura del camino si el jardín tiene 15 m
de ancho y 24 m de largo?
Rta.: 3,85 m
26-) Efectuar:
6√
√ √
7
Rta.: √
√
√ √
√ √
√
27-) Efectuar:
(
* (
*
Rta.: 0
28-) Un padre va con sus hijos al teatro y al querer sacar entradas de gs 3000 observa que le
falta dinero para pagar las entradas de 3 de ellos. Entonces compra entradas de gs 1500
para todos (padre e hijos) restándole gs 3000. Establecer el número de hijos y el capital
inicial del padre.
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 205
29-) Efectuar:
.
/
Rta.:
30-) Hallar el valor de “ ” en el polinomio de
manera que resulte divisible por
Rta.:
31-) Un comerciante pago 14,40 dólares por un cierto número de ventiladores. Si cada
ventilador hubiese costado 0,02 dólares mas, con la misma suma de dinero hubiese
comprado 24 ventiladores menos. ¿Cuántos ventiladores compro el comerciante ?
Rta.: 24
32-) Efectuar:
√ √ √
Rta.: √ ( √ √ )
33-) Simplificar:
0
1
Rta.:
34-) Una persona tenia una cierta cantidad de dinero y realizo los siguientes gastos:
1º)
de lo que tenia al principio y; 2º) los
de lo que le quedo. Si aun tiene gs 500,
¿Cuánto tenia al principio?
Rta.: 5.000 gs
35-) Factorizar:
Rta.:
36-) Efectuar: √
⁄
√
√
⁄
√
⁄
√
Rta.: 1
37-) El agua contenida en un tanque de agua que tiene la forma de un cilindro de revolución se
vacía en 3 hs. Si en cada hora, el nivel del agua baja la mitad de la altura más 1m,
determinar la altura inicial del agua en el tanque.
Rta.: 14 m
38-) Deducir las propiedades de las raíces de la ecuación
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 206
39-) Efectuar:
.
/
.
/
.
/
Rta.:
40-) Un obrero gasta diariamente los
de su jornal en su alimentación y el
del mismo en
otras atenciones. En 30 días laborales, de los cuales dejo de trabajar 2 días, ha ahorrado
40.000gs. ¿Cuál es su jornal?
Rta.: 20.000 gs/día
41-) Efectuar: √ √
√ √
√ √
42-) Hallar el valor de “ ” para que el valor numérico de
Sea
Y siendo y
Rta.: √
OBSERVACION: Los ejercicios que vienen a continuacion, son referentes a temas de años
posteriores al 2000.
43-) El resto de dividir el polinomio por el binomio
es igual a 10.
Utilizando la regla de Ruffini, determinar el valor de “ ” y el cociente de la división.
Rta.: {
44-) Simplificar:
Rta.:
45-) Resolver la ecuación , sabiendo que sus raíces son
reciprocas y de signos contrarios.
Rta.:
46-) Racionalizar el denominador de la fracción:
√
√ √
Rta.: √ √
47-) La diferencia de las raíces de la ecuación es igual a 1. Hallar .
Rta.:
ALGEBRA
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48-) Efectuar: a)
Rta.:
b)√ √ √
√ √ √
Rta.:
49-) Un hombre compro cierto número de caballos, pagando un total 2.000 U$. Sabiendo que
murieron 2 caballos, que vendió cada uno de los restantes en 60 U$ por encima del costo
y gano un total 80 U$. ¿Cuántos caballos compro y cuanto le costo cada uno ?
Rta.: 10 Caballos ; 200U$ c/u
50-) 87- Un obrero cavó un pozo en 21 días. Si hubiera trabajado en 2 hs menos por día,
hubiera empleado 6 días más para realizar el mismo trabajo. ¿Cuantas horas por día
trabajo el obrero?
Rta.: 9 horas
51-) Determinar el valor de a, de modo que el cociente de los complejos
sea un
imaginario puro.
Rta.:
52-) Si es un divisor de y de ,
determinar y .
Rta.: ,
53-) La suma de dos números complejos y , es igual a , y el
cociente
es un imaginario puro. Hallar los dos números complejos.
Rta.: ,
54-) Descomponer en fracciones simples:
Rta.:
55-) El producto de las complejas y , es igual a . Hallar
las dos complejas.
Rta.: 2
56-) Descomponer en fracciones simples
Rta.:
57-) Determinar el valor natural de , de manera que la diferencia de las raíces de la ecuación
sea igual a
.
Rta.: {
ALGEBRA
Cursillo π Ing. Raúl Martínez 208
58-) Dos obreros y recibieron gs 800.000 y gs 450.000, respectivamente. trabajo
cinco días más que . Si cada uno hubiera trabajado el número de días que trabajo el
otro, hubieran recibido la misma suma de dinero.
Calcular el número de días de trabajo de cada obrero y el jornal respectivo.
Rta.: {
59-) Aplicando el esquema de (o Hormer), calcular el valor de “ ” positivo
que hace exacta la división del trinomio por el binomio . Hallar
además el cociente que resulta de la división.
Rta.:
60-) Descomponer la fracción
, en fracciones parciales.
Rta.:
61-) Sin desarrollar el binomio , hallar el término que contiene .
Rta.:
62-) Determinar la cantidad compleja cuyo cuadrado es los
de su conjugada.
Rta.:
√
63-) Cierto numero de personas alquilo un ómnibus para una excursión. Si hubieran ido 10
personas mas, cada una hubiera pagado 5 dólares menos, y si hubieran ido 6 personas
menos, cada una hubiera pagado 5 dólares más. ¿Cuántas personas iban en la excursión y
cuanto pago cada una ?
Rta.: {
64-) Determinar el valor de y en la ecuación ,
sabiendo que la suma de las raíces es 4, y el producto de las mismas es
Rta.: ,
65-) Determinar la función lineal tal que y , siendo un numero real.
GRAFICO.
66-) Determinar el lugar que ocupa el termino independiente de “ ” y su respectivo valor en el
desarrollo de (
)
Rta.: {
67-) Hallar el máximo común divisor de los polinomios
Por el método de las divisiones sucesivas.
Rta.:
68-) Efectuar: √ √ √
√
⁄
√√ √
Rta.: √
ALGEBRA
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69-) Determinar el complejo de modo que al dividirlo por resulte
Rta.:
70-) Un comerciante compro bolígrafos por U$ 360. Los vende todos menos 2 con una ganancia
de U$ 3 por bolígrafo. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podrá comprar
40 bolígrafos más que antes, calcular el costo de cada bolígrafo.
Rta.:
71-) Aplicando el esquema de (o Horner), determinar:
a) El termino independiente de manera que el polinomio resulte
divisible por el binomio
b) El cociente que resulta de la división.
Rta.: {
72-) Descomponer la fracción
en fracciones simples.
Rta.:
73-) Resolver el sistema: 8
74-) Siendo , hallar los valores de la variable para los
cuales
Rta.: {
75-) Descomponer la fracción
en fracciones parciales.
Rta.:
76-) Efectuar:
Rta.:
77-) Tres jugadores se proponen jugar tres partidos con la condición de que: quien pierda un
juego deberá duplicar el capital que tenga cada uno de los otros dos, en ese momento.
Juegan y cada uno pierde un partido.
Calcular el capital inicial de cada jugador, sabiendo que al cabo de los tres partidos, cada
uno tiene U$ 16.
78-) Un polinomio entero en dividido separadamente por y da resto 6 y 18
respectivamente.
Hallar el resto de dividir el polinomio por el producto
79-) Resolver la ecuación:
ALGEBRA
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80-) Resolver la ecuación , sabiendo que sus raíces son
reales.
81-) Sean las personas y . Si A le diera $ 1 a , ambos tendrían lo mismo; si tuviera
$ 1 menos, tendría lo mismo que , y si tuviera $ 5 mas, tendría el doble de lo que tiene
. ¿Cuánto tiene cada persona ?
82-) Resolver el sistema de ecuaciones:
{
83-) Determinar m y n de modo que el polinomio sea divisible por
el polinomio
84-) Sabiendo que una de las raíces de la ecuación es de la forma ,
hallar los valores posibles de y escribir las ecuaciones respectivas.
85-) Descomponer en fracciones simples:
86-) Descomponer en factores:
87-) Simplificar:
88-) Efectuar:
√
89-) Determinar el polinomio que al dividirlo por
da por cociente
y por resto
90-) Simplificar:
91-) Siendo un numero natural, calcular el valor de
92-) Resolver la ecuación:
ALGEBRA
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93-) Hallar el valor de n de manera que la ecuación admita
una raíz igual al doble de la otra.
94-) Descomponer en fracciones simples:
95-) Descomponer en factores el polinomio: √ ( √ ) √
sabiendo que es divisible por el binomio: [ ( √ )]
96-) Hallar el termino en en el desarrollo de
97-) Racionalizar el denominador de la fracción:
√
√
√
√
√
98-) Dos obreros pueden terminar una obra en 12 días, después de trabajar juntos 4 días, el
más hábil cae enfermo y el otro acaba el trabajo en 18 días.
¿Cuántos días habría empleado cada obrero en hacer solo el trabajo?
99-) Hallar por divisiones sucesivas, el máximo común divisor de los polinomios
2
100-) Hallar el termino de octavo grado en correspondiente al desarrollo de
101-) Un comerciante compro cuadernos por U$ 540.
Los vendió todos menos 18, ganando U$ 2 en cada cuaderno. Sabiendo que con el dinero
recaudado en la venta podría haber comprado 90 cuadernos mas que antes.
Calcular el costo de cada cuaderno.
102-) Un grupo de amigos realizó una excursión pero, finalmente, no pudieron ir 10 de ellos por
que no disponían más que de un cierto número de vehículos; cinco de seis asientos, y el
resto de cuatro asientos. Si los cinco vehículos hubieran sido de cuatro asientos y el resto
de seis, hubieran podido ir todos. ¿Cuántos fueron los excursionistas y cuantos vehículos
fueron realmente utilizados?
103-) El resto de dividir el polinomio , siendo m un número a
determinar; por el binomio , es igual a 10. Hallar el o los cocientes de la división,
utilizando el esquema de .
104-) Descomponer en fracciones parciales
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105-) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales e indicando todos los pasos,
calcular:
*
+
(
)
106-) Diez obreros se comprometieron realizar una obra en 24 días. Trabajaron seis días a razón
de ocho horas diarias. En ese momento se le pidió que acaben la obra en ocho días antes
del plazo que les pidieron al principio. Se contrataron mas obreros y todos trabajaron 12
horas diarias, terminando la obra en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros adicionales fueron
contratados?
107-) Efectuar:
108-) Hallar el termino independiente de en el desarrollo de (√
)
109-) Un comerciante compró cierto número de unidades de un artículo por un total de US$ 720.
Hallar el número de unidades que compro, sabiendo que obtuvo una ganancia igual al
importe del costo de ocho de ellas al venderlas a US$ 40 cada una.
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213
TOMO II SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO RESUELTOS POR ARTIFICIOS
PROGRESIONES
LOGARITMOS
ANALISIS COMBINATORIO Y BINOMIO DE NEWTON
MATRICES Y DETERMINANTES
SELECCIÓN DE TEMAS DE AÑOS ANTERIORES
EJERCICIOS VARIADOS
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214
CAPITULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Generalidades
Sistema de dos ecuaciones de segundo grado
Ejercicios propuestos
Sistemas de segundo grado resueltos por artificios: 21 Casos
Ejercicios propuestos
CAPITULO 10 PROGRESIONES
Progresión Aritmética
Deducción de la fórmula para calcular el enésimo termino de P.A.
Anexo
Deducción para hallar la formula de la suma de los n primeros términos
Progresión armónica ( No figura en el programa de FIUNA ) Ejercicios
Progresión Geométrica o por cociente
Deducción de la fórmula para hallar el enésimo término de una P.G.
Anexo
Deducción de la fórmula para calcular la suma de los primeros términos
Anexo
Progresión infinita o secuencia
Suma de los términos de una progresión geométrica infinita y decreciente
Ejercicios de P.G. infinitas
Ejercicios propuestos - Misceláneas
CAPITULO 11 LOGARITMOS
Definiciones
Propiedades de los logaritmos
Anexo
1* Grupo de ejercicios - Ejercicios propuestos
2* Grupo de ejercicios - Ejercicios propuestos
3* Grupo de ejercicios: Primer sub grupo – Ejercicios
Segundo sub grupo – Ejercicios
Tercer sub grupo – Ejercicios
Cuarto sub grupo – Ejercicios
Misceláneas
Función exponencial creciente y decreciente
Ejercicios propuestos sobre inecuaciones exponenciales
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215
CAPITULO 12 ANALISIS COMBINATORIO Y BINOMIO DE NEWTON
Factorial de n - Ejercicios
Permutaciones simples
Arreglos simples
Combinaciones simples
Ejercicios
Propiedades de las combinaciones: Combinaciones complementarias
Propiedad de Stteffel
Ejercicios propuestos
Triangulo de Tartaglia
Producto de Stevin
Binomio de Newton
Propiedades del Binomio de Newton
Ejercicios Propuestos
CAPITULO 13 MATRICES Y DETERMINANTES
Definición
Clasificación de matrices
Matriz cuadrada
Clasificación de las matrices cuadradas
Matriz inversa
Igualdad de matrices
Operaciones básicas con matrices: Suma de matrices
Producto de un escalar por una matriz
Propiedades de estas operaciones
Ejercicios propuestos
Productos de matrices
Propiedades de la multiplicación de matrices
Ejercicios propuestos
Determinantes de una matriz cuadrada
Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada
Adjunto o cofactor de un elemento
Desarrollo de los determinantes: Determinantes de orden
Determinantes de orden
Regla de Sarrus
Método de Laplace
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216
Propiedades de los determinantes
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Método de determinantes: Regla de Hamer
Matrices inversible - Propiedades
Determinación de la matriz inversa: 1º Método de ecuaciones
Combinación Lineal de líneas de una matriz
Dependencia lineal o independencia lineal de líneas
Operaciones elementales de líneas de una matriz
Segundo Método para hallar la matriz inversa: Matriz ampliada
Tercer Método para hallar : Método del adjunto o cofactor
Sistema de ecuaciones lineales
Recolección de sistemas lineales: 1º Método matricial
2º Método{
Rango de una matriz
Determinación del rango de una matriz: Método de Gaus
Ejercicios de matrices y determinantes-Misceláneas
CAPITULO 14
Selección de temas de años anteriores
Ejercicios variados
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217
SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1 - Generalidades : Un sistema de ecuaciones es de segundo grado cuando por lo menos una
de las ecuaciones del sistema es de 2° grado.
La resolución de un sistema de ecuaciones consiste en eliminar variables hasta obtener
una ecuación final con una variable y la solución del sistema comienza con esta ecuación final.
El grado de la ecuación final depende del grado de las ecuaciones del sistema;
normalmente es el producto de los grados de las ecuaciones del sistema y es por eso que el
algebra elemental no siempre puede resolver todos los sistemas de 2° grado.
Pero siempre hay excepciones y existen artificios algebraicos que tornan posible
resolver sistemas de ecuaciones de 2° grado.
La ecuación completa de segundo grado a dos incógnitas es de la forma:
Siendo : {
} …………………………… denominados términos cuadrados.
……………………………………. denominado término rectángulo
{
} …………………..…………… denominados términos lineales.
…………………………………… denominado término independiente.
No siempre una ecuación de segundo grado a dos incógnitas es completa, en general faltan
algunos términos.
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218
SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE 2° GRADO
Sea el sistema :
{
El proceso general para resolver estas ecuaciones consiste en eliminar por
reducción o suma uno de los términos cuadrados; por ejemplo el término de ambas
ecuaciones.
En estas condiciones obtendríamos una ecuación del tipo:
………………………… ( )
De esta ecuación despejamos la variable ; obteniendo
………………………………………
Que llevamos en una de las dos ecuaciones originales ( 1 ) o ( 2 ) y obtenemos en general
una ecuación de 4° grado que es la ecuación final del sistema.
Este proceso general queda reducido cuando las ecuaciones no son completas con respecto
a los términos cuadrados.
Ejemplo 1 : Sea el sistema:
{
Restando miembro a miembro tendremos:
Luego
…………………………… ( a )
( a ) en ( 1 ) …… (
) (
)
(
)
Simplificando:
Resolviendo esta ecuación tendremos:
{
}
……………………………… en ( a ) tendremos ……….……
{
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219
Ejemplo 2
2
de ( 1 )
…………………… ( a )
( a ) en ( 2 ) ………………
que resolviendo tendremos …… {
Llevando estos valores en ( a ) obtendremos : 8
Ejemplo 3
2
de ( 2 ) ………………
……………………………. ( a )
( a ) en ( 1 ) ……………………………
que resolviendo tendremos {
en ( a ) …………………{
ALGEBRA
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220
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) 2
Rta.: 2
2
2) {
Rta.: 2
8
3) 2
Rta.: 2
{
4) 2
Rta.: 2
{
5) {
Rta.: 2
{
6)
{
Rta.: 8
8
8
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221
SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO RESUELTOS POR ARTIFICIOS
Los artificios utilizados para resolver estos sistemas tienen por base las propiedades de la
ecuación de 2° grado, debido a eso lo recordaremos un poco.
Sea la ecuación de 2° grado ……………………(1)
En su forma reducida tendremos:
…………….(2)
Que representa la misma ecuación, es decir una ecuación equivalente.
Las propiedades de las raíces son:
[
∙
Luego conociendo la suma y el producto de las raíces podemos reescribir la ecuación original
Primeramente analizamos los principales casos con ecuaciones literales y luego hacemos
ejemplos numéricos.
1° Caso: sea el sistema:
0
Luego formamos la ecuación de 2° grado
Resolviendo la ecuación
√
√
√
}
√
√
ALGEBRA
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222
2° Caso :
0
Elevando la ecuación (1) al cuadrado tendremos:
de (2) ………………………………………
Luego √ ……………………………………………….
Combinando la ecuación com tendremos 2 sistemas.
2
√ y 2
√
ALGEBRA
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223
3° Caso :
0
Luego formamos el sistema 2 √
√
Otra forma de resolver el sistema:
0
Elevando la ecuación ( 2 ) al cuadrado, formamos el nuevo sistema
0
Luego formamos la ecuación
Que resolviendo tendremos 2
y todo funciona como una ecuación bicuadrada
√
√
ALGEBRA
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224
4° Caso :
0
Elevando ( 1 ) al cuadrado …………………………….
( 2 )…………………………
………………
Luego tenemos el sistema: 8
5° Caso :
0
Elevando al cuadrado la ecuación ( 1 ) y cambiando de signo.
( 2 ) ………………………………………….
y formamos el sistema 8
ALGEBRA
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225
6° Caso:
0
La segunda ecuación escribimos
………………………….
y formamos el sistema : 8
7° Caso :
6
de la ecuación ( 2 )……………
……………….
y formamos el sistema : 8
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226
8° Caso :
6
de (1) ……………..
…………..
y formamos el sistema 2
9° Caso :
0
De la ecuación ( 2 ) …………
…………………………
( 1 ) en ( m )
Luego
………………………………. ( 3 )
y formamos el sistema: 8
ALGEBRA
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227
10° Caso :
6
Transformando la ecuación ( 1 ) y ( 2 ) …….….6
Multiplicando y dividiendo miembro a miembro tendremos
8
{
√
√
OBS: Para combinar los signos debemos tener en cuenta ( 1 ) y ( 2 )
11° Caso:
0
De la ecuación ( 2 ) ….. ……………….
Haciendo 2
0
que ya se puede resolver fácilmente ; llevando los resultados de y en ( 3 ) y ( 4 )
ALGEBRA
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228
12° Caso :
0
Elevando la ecuación ( 1 ) al cubo
…………………………
Luego formamos el sistema: 8
13° Caso :
0
Factoreando la ecuación ( 2 ) ……………
…………………
y formamos el sistema : 8
ALGEBRA
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229
14° Caso :
0
Elevando ( 1 ) al cuadrado
………………
Elevando al cuadrado
……………
( 2 ) en ………………
…………………………….
Resolviendo esta ecuación de 2° grado en
tendremos: √
……………………………..
Luego formamos el sistema : 8
√
15° Caso :
[
de la ecuación ( 2 ) ……………………
………………..
en ……………….……. ……..……………………...
Esta ecuación puede ser descompuesta en dos 2
que combinando con ( 1 ) formamos los sistemas equivalentes.
2
y 2
Nuevamente aplicamos el 4° Caso y el 3° Caso respectivamente.
ALGEBRA
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230
16° Caso :
0
Estas ecuaciones homogéneas pueden ser resueltas por un artificio especial
Haciendo ……………………..
( a ) en ( 1 ) y ( 2 ) …………………. 2
O también ………………………………. 2
Dividiendo m. a m. las ecuaciones y tendremos :
Luego 8
9.…………………en
17° Caso :
0
Estas ecuaciones son denominadas ecuaciones simétricas o cíclicos, porque no se alteran al intercambiar la por la , y viceversa. Los sistemas de este tipo pueden ser resueltos por un artificio especial.
*
Llevando en ( 1 ) y ( 2 ) obtendremos:
[
Una vez resuelto este sistema llevamos en
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231
18° Caso :
[
Multiplicando m. a m. estas tres ecuaciones tendremos :
. . . √ ………………. Llevando sucesivamente ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) en tendremos la solución del sistema propuesto . 19° Caso :
[
Efectuando los productos tendremos : {
Sumando miembro a miembro
…………………………
Llevando ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) sucesivamente en tendremos.
{
}
Multiplicando m. a m. la ecuación tendremos.
( ) ( ) –
√( ) ( ) ( )
………………………
Combinando nuevamente la ecuación con las ecuaciones obtendremos los
resultados de las ecuaciones propuestas.
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232
20° Caso :
Separando las ecuaciones :
{
o también …
{
haciendo la substitución de variables …
{
}
en ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) tendremos:
[
Esta ecuación y ya son fácilmente resueltos y luego tendremos la misma
ecuación del 18° Caso.
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233
21° Caso :
[
Efectuando las operaciones :
{
Sumando m. a m. estas ecuaciones tendremos :
√ …………………………………
Llevando en ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) respectivamente
tendremos …….
{
√
√
√
ALGEBRA
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234
EJERCICIOS PROPUESTOS: ( SISTEMAS DE 2° GRADO POR ARTIFICIO)
1 ) 2
Rta : {
{
2 ) 2
Rta : {
{
3 ) {
Rta : 2
2
4 ) {
Rta : 2
2
5 ) {
Rta : {
{
6) {
Rta : {
√
√
{
√
√
7) {
Rta : 2
2
{
√
√
8 ) {
Rta : ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
9 ) {
Rta : ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
10 ) {
Rta : ⏟ ⏟
( √ )
√
}
11 ) {
Rta : ⏟ ⏟
12 ) {
Rta : ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
ALGEBRA
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235
13 ) 2
– Rta :
14 ) 2
Rta :
15 ) 2
Rta : √
√
√ √
√ √
16 ) {
Rta :
17 ) {
Rta : √ √ √
18)
Rta :(
) (
)
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236
PROGRESION ARITMETICA
Una progresión aritmética (o por diferencia) es una sucesión en la cual, cada término después
del primero se obtiene sumando al término procedente un mismo número fijo, llamado razón
o diferencia común.
Luego:
. . .……...………......
........................
La razón (diferencia) puede ser:
..........Progresión aritmética CRECIENTE
.......... Progresión aritmética CONSTANTE
.......... Progresión aritmética DECRECIENTE
.............es el 1º término de la progresión
.............es el 2º término de la progresión
............ ´´ ´´ 3º ´´ ´´ ´´ ´´
………………es el penúltimo termino de la progreción.
............es el último o enésimo término de la progresión.
…………..es la razón o diferencia común.
Obs.: Siempre será posible formar una proporsión aritmética con cuatro términos
consecutivos cualesquiera de una progresión aritmética.
También con cuatro términos consecutivos dos a dos.
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237
DEDUCCION ARITMETICA PARA CALCULAR EL ENESIMO TÉRMINO DE UN P.A.
Consideremos la progresión aritmética
En que: ............ es el primer término.
...............es la razón o diferencia.
...............es el enésimo ( ) término.
...............es el número de términos.
Queremos calcular el valor del término que está en el enésimo ( ) lugar.
Sabemos que en toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior, más la razón, es decir:
Vemos que cada término es igual al primer término de la progresión , más tantas veces la
razón como términos le proceden.
Por consiguiente como al término le proceden términos,
Tendremos:
Que es la fórmula para calcular el enésimo termino, de un P.A. conociendo , y .
ALGEBRA
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238
ANEXO:
1- En una progresión aritmética siempre podremos expresar cualquier término en función del primero y de la razón.
Esta propiedad es muy utilizada para resolver varios problemas.
Formando ecuaciones cuando se conoce por ejemplo la suma de dos o mas términos
cualesquiera.
2- En una progresión aritmética finita, los términos que están en los extremos se llaman
extremos y los términos entre los extremos se llaman medios.
3- Interpolar o insertar medios aritméticos entre dos números dados, consiste en
formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los números dados.
4- En una progresión aritmética finita, la suma de dos términos equidistantes de los
extremos es igual a la suma de los extremos.
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
Obs.: Si el número de términos de una P.A., es impar, la suma de los extremos es igual al doble del término central.
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239
DEDUCCION DE LA FORMULA PARA HALLAR LA SUMA DE DOS “ ” PRIMEROS
TERMINOS.
Sea la progresión aritmética ∙ ∙ ∙ ∙
En que:
{
Designando por la suma de los términos de esta P.A. tendremos:
(La 2º expresión está escrita en orden inverso)
Sumando miembro a miembro estas dos igualdades tendremos los siguientes pares de
sumas parciales.
}
Es decir:
⏟
Luego
Es decir:
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240
EJERCICIO ESPECIAL DE P.A. (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
-Calcular la suma de los cuadrados de los primeros números naturales.
Utilizamos la formula
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙
∙ ∙
}
Sumando m. a m.
[
] [
]
( )
( )
Siendo
Calcular una fórmula para hallar la suma de los cubos de los primeros números naturales
Obs.: Proceder de forma análoga partiendo de
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241
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE
Es una sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene multiplicando el
término precedente por un mismo número fijo llamado cociente o razón común .
Siendo así la sucesión.
Es una expresión geométrica cuando:
Cuando esta razón es:
Progresión geométrica CRECIENTE
”” ”” CONSTANTE
”” ”” DECRECIENTE
”” ”” DE TERMINOS CON SIGNOS ALTERNADOS
En la progresión de arriba:
Es el 1º término de la P.G.
Es el 2º término de la P.G.
Es el 3º término de la P.G.
Es el enésimo termino de la P.G
OBS.: En toda progresión geométrica, siempre será posible formar una proporción geométrica
con cuatro términos consecutivos.
También con cuatro términos consecutivos dos a dos.
Y con tres términos consecutivos podremos formar una proporción continua.
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242
DEDUCCION DE LA FORMA PARA HALLAR EL ENESIMO TÉRMINO DE UNA P.G.
Consideremos la P.G. ∙∙ ∙∙
Siendo:
{
Queremos calcular la fórmula para hallar el valor de en función de los otros datos.
Sabemos por definición de P.G., que cada término después del 1º, es igual al anterior
multiplicado por la razón, es decir
Vemos que cada término es igual al primer término de la progresión , multiplicado por la
razón , elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden.
Como al término enésimo le preceden términos tendremos:
Que es la formula buscada.
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243
ANEXO:
1- En una progresión geométrica, siempre podremos expresar cualquier término de la
progresión en función del 1º término y de la razón.
Ej.:
Esta particularidad nos permite resolver varios problemas, formando las ecuaciones
correspondientes.
2- Los términos que se encuentran entre dos términos cualesquiera de una progresión
geométrica se llaman medios geométricos entre esos dos términos.
3- Interpolar medios geométricos entre dos números, es formar una PG cuyos extremos
sean los números dados.
4- En una progresión geométrica finita, el producto de dos términos equidistantes de los
extremos es igual al producto de los extremos.
En la progresión geométrica
∙∙
∙∙
Tendremos:
OBS.: Cuando el numero de términos de una progresión geométrica es un número
IMPAR, el producto de los extremos es igual al cuadrado del término central.
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244
DEDUCCION DE LA FORMULA PARA CALULAR LA SUMA DE LOS “ ” PRIMEROS TÉRMINOS.
Sea la progresión geométrica finita.
∙∙
∙∙
Siendo: {
Llamando a la suma de los términos de esa progresión geométrica, tendremos:
Multiplicando esta expresión por tendremos:
Escribiendo convenientemente estas dos expresiones para restar miembro a miembro, la 1º
de la 2º, tendremos:
– –
Al efectuar esta resta debemos tener en cuenta que cada término multiplicado por la razón da
el siguiente término.
Factorizando en (1) .............. –
O también
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245
ANEXO:
1- La progresión aritmética y geométrica son secuencias de números que están relacionados
entre sí en diferentes jerarquías de operaciones.
Progresión aritmética......................... se suma la razón
Progresión geométrica....................... se multiplica la razón
Este hecho facilita mucho la fijación de las formulas
P.A. ................................
P.G. ................................
Las operaciones de las formulas suben una jerarquía
Esta analogía no es posible hacer con la suma de los términos porque en la progresión
geométrica su correspondiente será el producto de los primeros términos, es decir:
...............................P.A.
Producto de los términos √ ∙
.............................P.G.
2- Siempre será posible formar una proporción aritmética o geométrica de cuatro términos
consecutivos de una P.A. o P.G. respectivamente.
3- Es utilizada como notación de la progresión aritmética.
4- Es utilizada como notación de la progresión geométrica.
∙∙
∙∙
5- Si en un determinado problema no especifica que tipo de progresión es pero da términos
para saberlo, la primera cosa que debemos hacer es identificarla.
6- No siempre los problemas de progresiones se resuelven con las formulas, algunas veces la
solución está en formar ecuaciones utilizando los conceptos de progresión o también
podrán utilizarse en combinaciones con las proporciones correspondientes.
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246
PROGRESIÓN INFINITA O SECUENCIA
En realidad toda progresión es una secuencia infinita de términos en dos sentidos, creciente y decreciente.
Ej.: .............
Pero al decir progresión estamos considerando una parte limitada de la secuencia finita, es
decir una progresión finita con un número determinado de términos.
Cuando tenemos una progresión geométrica decreciente, es decir:
En este caso el termino va disminuyendo con el aumento de y en el limite cuando tiende
al infinito, el termino general será tan pequeño que podríamos considerarlo despreciable, y
en este caso podríamos calcular la suma de los términos cuando tiende al infinito.
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA.
La fórmula para calcular la suma de los términos de P.G. es:
∙
∙
∙
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247
EJEMPLOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICA INFINITAS.
1º EJEMPLO: ∙∙
∙∙
Calcular la suma de los términos cuando
2º EJEMPLO: Calcule la fracción generatriz del decimal .....
3º EJEMPLO: Hallar la fracción generatriz de .......
…
Luego:
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248
EJERCICIOS PROPUESTOS: P.G. INFINITAS.
1- Calcular la suma de los términos de las progresiones:
a.
b.
/
c.
2- Obtenga la fracción generatriz de los siguientes decimales.
a) 0.4233.... b) 1.355.... c) 2.25151....
3- Resolver las ecuaciones donde el primer miembro es una P.G. infinita.
a)
b)
c)
4- Los radios de infinitos círculos se dan por los términos de la progresión( ).
Calcular la suma de las áreas de los círculos.
5- Cuál es el valor de la expresión
6- Una pelota es lanzada en la vertical hacia el suelo, desde una altura . Cada vez que
golpea el suelo, sube hasta la mitad de la altura de la que cayó. Determine la distancia
total recorrida por la pelota en su trayectoria, hasta alcanzar el reposo.
7- El lado de un triangulo equilátero mide 3 cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se
obtiene un nuevo triangulo equilátero.
Uniendo los puntos medios de los lados del nuevo triangulo se obtiene otro triangulo equilátero y así sucesivamente.
a) Determine la suma de los perímetros de todos los triángulos.
b) Determine la suma de las áreas de todos los triángulos.
8- Determine el valor de que satisface la igualdad.
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249
EJERCICIOS SOBRE PROGRESIONES
A) Progresiones aritméticas:
1- Hallar la razón en cada una de las P.A.
a) .............................Rta.:
b) ...................................................Rta.: 3
2- Escribir los tres términos siguientes en cada P.A.
a) Rta.:
b) Rta.:
c) Rta.: (
) (
)
d) ( √ ) ( √ ) Rta.: ( √ ) ( √ ) ( √ )
3- Formar la progresión aritmética, sabiendo que: 2
Rta.:
4- Sabiendo que y . Determinar el 5º término de la P.A.
Rta.:
5- ¿Cuántos múltiplos de 12 existen entre 100 y 900? Rta.: 66
6- La ganancia de un obrero esta en P.A.
El tercer mes gano 540.000gs, el quinto mes 600.000gs y el último mes 840.000gs.
¿Cuántos meses trabajo el obrero? Rta.: 13 meses.
7- Las perdidas de tres años de una casa de comercio están en progresión aritmética.
El último año perdió 300.000gs y la pérdida de cada año fue de 60.000gs menos que el
año anterior. ¿Cuánto perdió el primer año? Rta.: 420.000
8- Luisa hace una compra pagadera en 10 cuotas. Abono 180.000gs por la primera
cuota. Si cada cuota posterior sufre un aumento de 10.000gs en relación a la cuota
anterior. ¿Cuántos gs abonara por la última cuota? Rta.: 270.000
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250
9- Hallar el primer término de una P.A., cuyo cuarto termino es 27 y el noveno término es 52.
Rta.: 12
10- Interpolar 6 medios aritméticos entre 1 y
Rta.:
11- Determinar la media aritmética entre y
Rta.:
12- La suma de los 10 términos consecutivos de una P.A. es 120 y el primer término es 3. Determinar los términos de dicha progresión.
Rta.: 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 21
13- El tercer término de una progresión aritmética es 14 y el noveno . Encontrar la suma de los 12 primeros términos.
Rta.:
14- Formar la progresión aritmética cuyo primer termino es 1 y la suma de los cinco
primeros términos es igual a
de la suma de los cinco términos siguientes.
Rta.:
15- Los números de una rifa están numerados del 1 al 100. El comprador paga lo que le indica
el número elegido. Hallar la recaudación sabiendo que se vendieron todos los números.
Rta.: 5050
16- Una persona ahorra cada mes 100 dólares más que en el mes anterior. En 10 años sus
ahorros suman 720.000 dólares. Determinar cuanto ahorro el primer y ultimo mes
Rta.: 2
17- Hallar cuantos meses se empleara en saldar una deuda de 2775 U$ pagando 20U$ el
primer mes, 25 U$ el segundo; 30 U$ el tercero y así sucesivamente.
Rta.: 30 meses
18- Hallar el valor de cada uno de los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que el
menor vale 30º y todos ellos forman una P.A.
Rta.: 30° ; 70° ; 110° ; 150°
19- Las edades de 4 hermanos suman 72 y están en P.A. Sabiendo que la edad del mayor
duplica a la del menor, determinar las edades de los 4 hermanos.
Rta.: 12 ; 16 ; 20 ; 24
20- Resolver la ecuación: .
Sabiendo que los términos del primer miembro forman una P.A. Rta.:
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251
B) Progresiones geométricas:
21- Escribir los tres términos siguientes en las P.G.
a) Rta.:
b)
Rta.: ⁄ ⁄ ⁄
c)
Rta.:
d) Rta.:
22- La razón de una P.G. de cinco términos es 4 y el último término es 1.280. ¿Cuál es el
primer término de dicha progresión?
Rta.:
23- El tercer término de una P.G. es 28 y el quinto término es 112. Formar la progresión.
Rta.: 7 ; 14 ; 28 ; 56 ; 112
24- En una P.G. De razón positiva, la suma del tercer término con el 4º es 240 y la suma del quinto con el sexto es 3840. Formar la progresión.
Rta.: 3 : 12 : 48 : 192 : 768 : 3072
25- La suma de tres números que están en progresión geométrica es 28 y el producto entre ellos es 512. Calcular los tres números.
Rta.:
26- Hallar el valor de para que la sucesión: y sea una progresión geométrica.
Rta.: ⁄
27- En una progresión geométrica el segundo término es igual a 6 y el quinto término es
.
Formar la progresión. Rta.:
28- Interpolar 5 medios geométricos entre
y
. Rta.:
29- ¿Cuántos medios geométricos debemos insertar entre 1 y 625 a fin de obtener una P.G. cuya razón sea 5.?
Rta.: 3
30- Hallar la media geométrica positiva de
y 18. Rta.: 3
31- El valor del 3º término de una P.G. es 32 y la diferencia entre el 4º y el 2º término es 120. Calcular la razón y la suma de los 4 primeros términos.
Rta.: 2
32- ¿Cuántos términos debemos considerar en la progresión geométrica: , para obtener una suma de 1533 ? Rta.: 9 terminos
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252
MISCELANEAS SOBRE PROGRESIONES:
1- Hallar la suma de los 100 primeros números naturales. Rta.: 5050
2- Hallar la suma de los primeros números pares. Rta.:
3- Hallar la suma de los primeros números impares. Rta.:
4- Un cuerpo cae sin velocidad inicial, de cierta altura y recorre en el 1º segundo 4,9mts. Si en
cada segundo siguiente aumenta el espacio en 9,8 mts que es la aceleración de la
gravedad, y tarda en llegar al suelo 10 segundos, averígüese la altura de donde cayo dicho
cuerpo.
Rta.: 490 m
5- ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 hs si no suena más que a las horas?
Rta.: 2460
6- Hallar la suma de los 40 primeros múltiplos de 3. Rta.: 1830
7- Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 que siguen a 60.
8- Un vagón se desprende de un tren que sube por una pendiente, recorre durante el primer
segundo 0,30 mts, durante el segundo ; durante el tercero , durante el
cuarto . ¿Cuánto recorre un minuto que dura su descenso? Rta.: 1080 mts
9- Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al
lado de una calzada; los árboles están a 6 mts de distancia, y el montón de arena esta a 10
mts antes del 1º árbol. ¿Qué camino habrá recorrido después de haber terminado su
trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? Rta.: 5820 mts
10- El producto de 5 números en P.A. Es 12320 y su suma 40. ¿Cuáles son estos 5 números?
Rta.: 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14
11- Un coronel que manda 3003 hombres quiere formar sus soldados en triangulo de manera
que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas
filas habrá? Rta.: 77 filas
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253
12- Hallar las sumas de las primeras potencias pares de 2.
Rta.:
13- Averiguar los 4 ángulos de un cuadrilátero sabiendo que estos ángulos están en progresión
geométrica y que el último es igual a 9 veces el segundo.
Rta.:
14- Dividir 221 en tres partes que forman una P.G., tal que el tercer termino exceda al primero
en 136.
Rta.:
15- La suma de los tres términos de una P.G. es 248 y la diferencia de los términos extremos
192. ¿Cuáles son esos tres términos?
Rta.:
16- Hallar 4 números en P.G., tales que la suma de los dos primeros sea 28 y la de los dos
últimos 175.
Rta.:
17- Una progresión geométrica tiene 6 términos, la razón es igual al 1º término con signo
contrario y la diferencia de los dos primeros términos es 42. Encontrar la suma de los
términos.
Rta.: 2
18- Determinar una progresión geométrica de 7 términos conociendo la suma 26 de los tres
primeros y la suma 2.106 de los tres últimos.
Rta.: 2 : 6 : 18 : 54 : 162 : 486 : 1458
19- En una progresión geométrica de 7 términos, la suma de los 6 últimos términos, es el doble
de la suma de los 6 primeros.
Sabiendo que esta ultima es
, determinar la progresión.
Rta.:
20- La suma de los términos de una progresión geométrica de 5 términos es 484, la de los
términos de orden par es igual a 120. Determinar la progresión.
Rta.: 4 : 12 : 36 : 108 : 324
21- ¿Pueden los números 12, 20 y 35 formar parte de una progresión aritmética o geométrica?
Rta.: NO
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254
22- Un alga crece de modo que cada día ella cubre una superficie de área igual al doble de la
cubierta el día anterior. Si el alga cubre la superficie de un lago en 100 días. ¿Cuántos días
son necesarios para que dos algas de la misma especie de la anterior cubran la superficie
del mismo lago?
Rta.: 99 dias
23- Los frutos de un árbol atacados por insectos, fueron pudriéndose día tras día, siguiendo los
términos de una progresión geométrica de primer termino 1 y razón 3, es decir en el primer
día se perdió 1 fruto, en el 2º día otros 3 , en el 3º día 9 frutos , y así sucesivamente. Si en
el séptimo día se perdieron los últimos frutos. Calcular el número de frutos atacados por
los insectos.
Rta.: 1.093
24- El numero 38 se divide en tres partes positivas formando una progresión geométrica, de
tal modo que si se adiciona una unidad a la segunda parte, se obtiene una progresión
aritmética. Hallar la mayor de las tres partes.
Rta.: 2
25- Una cierta especia de bacteria se divide en dos, cada 20 minutos y otra, cada 30 minutos.
Determine después de tres hs. La razón entre el número de bacterias de la primera y el de
la segunda especie, originada por una bacteria de cada especie.
Rta.: 8
26- Si . Calcular el valor de .
Rta.:
27- La media aritmética de los 20 números pares consecutivos comenzando en 6 y terminando
en 44 es: Rta.: 25
28- Dos caminantes inician juntos una caminata. Uno de ellos camina uniformemente 10 km
por día, y el otro camina 8 Km en el primer día y acelera al paso de manera a caminar más
Km a cada día que sigue. ¿Cuál es el número de días caminados para que el segundo
caminante alcance al primero?
Rta.: 9 dias
29- Un atleta corre siempre 500 mts más que el día anterior. Se sabe que al final de 15 días
corrió un total de 67500 mts. Calcular el número de mts recorrido en el tercer día.
Rta.: m
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255
30- Encontrar cinco números enteros consecutivos, tales que el número que ocupa la posición
central sea la media aritmética de los otros.
Rta.:
31- Hallar dos números cuya media aritmética sea
y cuya media geométrica 30.
Rta.: 75 y 12
32- Una progresión geométrica de razón positiva consta de 4 términos. Sabiendo que la suma
de los dos primeros es 8, y que la correspondiente de las ultimas dos es 72. Determinar
dicha progresión.
Rta.: 2 : 6 : 18 : 54
33- En una progresión aritmética creciente de 6 términos, la suma de los términos de orden
impar es 27 y la suma de los términos de orden par es 36. Escriba la P.A.
Rta.:
34- Determine la P.A. Creciente de tres términos no nulos, en que el término medio es igual al
producto de los extremos y el producto de los tres términos es igual a la suma de ellos.
Rta.: ( √ ) ( √ )
35- Si es la suma de los impares del 1 al 49 y si
es la suma de los pares de 2 a 50 . Calcule – .
Rta.:
36- Los números que expresan el lado, la diagonal y el área de un cuadrado están en P.A. En
ese orden. Determine el lado del cuadrado.
Rta.: √
37- Un librero coloca 27 libros en un estante, de izquierda a derecha, en orden creciente de
precios. Si el precio de cada libro difiere de los adyacentes en 2 unidades monetarias, y el
precio del libro mas barato es igual a 12,5 % del precio del más caro. ¿Cuánto cuesta el
libro más caro?
Rta.:
38- Las progresiones aritméticas y tienen 100 términos
cada una. El numero de términos iguales en las dos progresiones es:
Rta.: 26
39- Determine el valor de , de modo que los números formen
en este orden una P.G.
Rta.:
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256
40- Dados los números 1 , 3, y 4 en este orden, determine el número que se debe sumar a
cada uno de ellos para que se tenga una progresión geométrica.
Rta.:
41- En una progresión geométrica creciente, el segundo termino es igual a √ y el tercer
termino es el doble que el primero. Calcule la suma de los 12 primeros términos de la
progresión.
Rta.: √
42- Se compra un automóvil que se pagara en 7 cuotas crecientes: el 1º pago a realizarse es de
1000 unidades monetarias y cada una de las siguientes es el doble de la anterior. ¿Cuál es
el precio del automóvil?
Rta.: 127.000
43- Sabiendo que los números 2 , están simultáneamente en P.A. y P.G.
Calcule e .
Rta.:
44- Se dan 3 números enteros en progresión geométrica cuya suma es 26. Determine esos
números sabiendo que el primero, el doble del segundo y el triple del tercero forman una
progresión aritmética.
Rta.: {
45- Resolver el sistema.
8
Rta.:
{
46- La suma de los términos de orden impar de una P.G. infinita es 20 y la suma de los
términos de orden par es 10.
El tercer término de esa progresión geométrica es:
Rta.:
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257
47- En la serie de los grupos impares se forman los grupos siguientes:
( 1 ) …… ( 3 ; 5) ……. (7 ; 9 ; 11) ……. (13 ; 15 ; 17 ; 19) ……(23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41)……............
Tales que el primer grupo contiene un número, el segundo dos, el tercero tres, y así
sucesivamente. Se desea hallar la suma de los números contenidos en el enésimo grupo.
48- Hallar la suma de las 8 primeras potencias de 3. Rta.: 9.840
49- Hallar la suma de las primeras potencias de . Rta.:
50- Hallar la suma de las primeras potencias de 5. Rta.:
51- Hallar el límite de la suma de los términos al infinito.
a)
Rta.:
b) √
√
√
Rta.: √
c) Rta.:
52- Hallar el límite de la serie (termino enésimo)
cuyos
numeradores están en progresión aritmética y denominadores en progresión geométrica.
Rta.:
53- En un círculo de radio , se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un círculo,
en este otro cuadrado, y así indefinidamente. Se quiere saber 1º el límite de la suma de las
ares de los círculos. 2º El límite de la suma de las áreas de los cuadrados.
54- La suma al infinito de los términos de una progresión geométrica es 6 , la suma de los 2
primeros es
. Hallar la progresión.
Rta.: 8
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258
55- El numero de bacterias en un cultivo está aumentando un 20 % cada
hora, si al
principio había 250.000 bacterias. ¿Cuántas habrá después de 6 horas?
Rta.: 2.229.025 bacterias
56- De un recipiente que contiene 10 litros de alcohol se saca 1 litro de alcohol y se reemplaza
con agua, después se saca 1 litro de la mezcla y se reemplaza con agua. Efectuando la
operación 25 veces. ¿Que cantidad de alcohol queda en el recipiente?
Rta.: litros
57- En una fiesta que fue asistida por 100 personas que deben saludarse entre si.
La primera persona saluda a las otras 99, la segunda que ya saluda a la primera saluda a las
otras 98 restantes, la tercera saluda a las otras 97 restantes y así por adelante. ¿Cuantos
saludos fueron realizados en esa fiesta?
Rta.: 4.949 saludos
58- La longitud de cada oscilación de un péndulo es 90 % de la longitud precedente. ¿Cuántas
oscilaciones se necesitan para que el péndulo se amortigüe a una oscilación cuya longitud
sea menor que
de la longitud de la oscilación inicial?
Rta.: 8 oscilaciones
59- Un recipiente contiene 10 litros de anticongelante pero se saca un litro de liquido y se
substituye por un litro de agua. Si esta operación se repite varias veces. ¿después de
cuantas habrá menos de un litro de anticongelante en el recipiente?
60- Hallar la suma de los primeros términos, múltiplos de 3, que siguen a 60.
Rta.:
61- Calcular de modo que los números , formen una progresión geométrica.
Rta.:
62- Sea la progresión aritmética. ,
determinar el valor máximo posible de la razón de la progresión.
Rta.: 54
63- En las siguientes progresiones determinar el menor valor común en las mismas y el lugar
que ocupan en cada una de las progresiones.
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259
Rta.: {
64- El término del lugar de una progresión aritmética es y el término del lugar de una
progresión aritmética es y el término del lugar es . Hallar el término del lugar .
Rta.:
65- ¿ Cuántos términos serán necesarios para ?
Si
66- Sea
Formar la progresión para que la suma sea siempre
Rta.:
67- Hallar la suma de los 247 primeros términos de una , sabiendo que el termino del lugar
vale,
Rta.:
68- Calcular el primer término y la razón de una progresión aritmética de 100 términos,
sabiendo que la suma de sus términos es 100 y el último termino es 100.
Rta.: {
69- Determinar la progresión aritmética en la cual la suma de los términos sea ,
cualquiera sea el valor de .
Rta.:
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260
LOGARITMO
En esta fase de nuestro estudio vamos a profundizar un poco más de lo que ya estudiamos en aritmética.
La logaritmación es una operación inversa de la potenciación, es decir:
Siendo la potencia............................
La logaritmación es una operación en que se conoce la potencia y la base , buscamos el exponente .
El símbolo utilizado para indicar esta operación es en este caso.
Una perfecta comprensión de estas dos expresiones, solucionan la mayoría de los problemas.
DEFINICIONES:
a. Logaritmo de un número: es el exponente a que debemos elevar otro número llamado base para obtener el número dado.
Ej.: ........................ por que ........................
b. Base: cualquier número POSITIVO se puede tomar como base de un sistema de logaritmo.
La notación es colocar la base como sub–índice de logaritmo
c. Logaritmo decimal o vulgar: Es el logaritmo que utiliza como base el numero 10. En este caso fue convencionado no colocar la base 10 como sub–índice del logaritmo.
Ej.: .............................
.............................
..............................
...........................
...........................
d. Logaritmo natural o neperiano: Es el logaritmo que adopta como base el numero inconmensurable ...(logaritmo hiperbólico) La notación utilizada para este logaritmo es:
Ej.:
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261
PARTICULARIDADES DE LOS LOGARITMOS:
1- La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativa.
2- Los números negativos no tienen logaritmo.
3- En todo sistema el logaritmo de 1 es cero.
4- En todo sistema el logaritmo de la base es 1
5- Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo
6- Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
Todo numero mayor que la base tiene logaritmo positivo.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
1- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
H) Sean y los factores.
T)
D) Llamemos e a los logaritmos de y respectivamente y por la propia definición de
logaritmo podemos escribir:
Multiplicando miembro a miembro estas dos ultimas igualdades, tendremos:
Ahora bien si es el exponente a que se debe elevar la base para obtener .
Por definición de logaritmo podemos escribir
Sustituyendo en esta ecuación , la e por sus valores dados arriba, tendremos:
..............................Que es la tesis.
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262
2- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del
divisor.
H ) Sea el dividendo y el divisor.
T ) ( )
D ) Llamemos e a los logaritmos de y respectivamente y por la propia definición
de los logaritmos podemos escribir.
Dividiendo miembro a miembro estas dos últimas igualdades tendremos:
Ahora bien si es el exponente a que se debe elevar la base , para obtener
, por
la propia definición de logaritmo podemos escribir.
( ) .................(1)
Sustituyendo las e por sus valores dados arriba, tendremos
( ) .......................Que es la tesis
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263
3- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
H ) Sea la potencia ……………….. 2
T )
D) Llamemos al logaritmo de , luego por definición de logaritmo tendremos:
Elevando ambos miembros de la segunda igualdad a la potencia n tendremos:
Ahora bien si es el exponente a que debemos elevar la base para obtener , por la
propia definición de logaritmo tendremos:
Sustituyendo la por su valor dado arriba, tendremos
……………..… Que es la tesis
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264
4- Cambio de base de un sistema de logaritmo .
H) Sea …….. En que la base es , y queremos expresar en otro sistema cuya base es .
T)
D) Llamemos al logaritmo en base de , y por definición de logaritmo podemos escribir.
Aplicando el logaritmo en base a ambos miembros de esta ultima relación, tendremos:
Pero el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la
base .
La ecuación (1) se puede escribir
Despejando de la ecuación (2) tendremos:
En la ecuación (3) sustituyendo la por su valor dado arriba tendremos:
…………………………..Que es la tesis.
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265
ANEXO: LOGARITMO; ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.
1- La mayoría de los problemas sobre logaritmos se resuelven con los siguientes ítems:
a) Con una buena comprensión del concepto de logaritmo.
Si
b) Con un buen manejo de las reglas básicas del algebra, especialmente
- Teoría de los exponentes CAP XXX.... Baldor
- Radicación y Potenciación
c) Conocimiento de las propiedades de los logaritmos.
- Logaritmo de un producto.
- Logaritmo de un cociente.
- Logaritmo de una potencia.
- Cambio de base
d) Es importante tener siempre presente que la logaritmación es una operación
aritmética como cualquiera y también sigue algunas leyes fundamentales.
- Ley de uniformidad: Si aplicamos logaritmo (en una misma base) a ambos
miembros de una igualdad, la igualdad subsiste.
Ej.:
Si fuese conveniente podríamos escribir :
También podríamos hacer la operación inversa.
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266
EJERCICIOS SOBRE LOGARITMOS.
1º GRUPO DE EJERCICIOS:
Ejemplo 1: Calcular el valor de , y siendo √
En primer lugar la cantidad sub – radical es negativa y la raíz impar de una cantidad negativa
es también negativa, luego es negativa.
√
6√
7
[
]
[
]
OBS: Si nosotros utilizamos correctamente la maquinita y calculamos por la fórmula
convencional debemos llegar al mismo resultado.
Si el ejercicio hubiese pedido calcular el logaritmo de , deberíamos parar en
.
El análisis preliminar a respecto del signo del resultado es necesario, pues no existe
logaritmo de cantidades negativas.
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267
EJERCICIOS PROPUESTOS PARA 1º GRUPO.
1-) Calcular por logaritmo el valor .
a) ( )( )
b) √( )
( )
( )
c) √
√
d) [
√ ]
2-) Calcular el logaritmo de las siguientes expresiones.
a) √
b)
√
√ √
c) √
d) √( )( )
e) √
f) √
3-) Decir si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas, en caso de que sea falsa expresar correctamente.
a)
b)
c) √
d)
e) ( )
f)
g) √
h)
i) √
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268
4-) Calcular el valor de por logaritmo neperiano.
a) ( )
√
b) (
)
5-) Calcular el logaritmo natural de la expresión. √( )
√
√
√
√
6-) El ángulo del circulo inscripto en un triangulo esta dado por la fórmula
√( )( )( )
En la cual
Hallar cuando y
7-) La relación entre el volumen y la presión a que esta sometido un gas (a temperatura
constante) esta dada por la formula.
Si , hallar la presión cuando
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269
2º GRUPO DE EJERCICIOS: Estos ejercicios tienen por finalidad ejercitar al estudiante a
manosear el concepto de logaritmo, potenciación, radicación y exponentes fraccionarios y
negativos.
1-) Verifique las propociciones siguientes y escríbalas de forma logarítmica con una base
apropiada.
a)
⁄
b)
⁄
c) ( )
⁄
d)
⁄ e) (
)
⁄
2-) Escriba las ecuaciones siguientes en forma exponencial y verifíquelas.
a) b) ( )
c)
(
)
d) ( )
3-) Calcule los valores de las expresiones siguientes usando la definición de logaritmo.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
√
i)
(
) j)
√ k)
l)
4-) Usando y , calcule las expresiones siguientes sin usar
calculadoras.
a) b) c)
d) e) f) √
5-) Escriba cada una de las expresiones siguientes como el logaritmo de una expresión.
a) b)
c)
d)
e) f)
g)
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270
6-) Compruebe las igualdades siguientes sin usar calculadora.
a) ( ) (
) (
)
b) (
) ( )
(
)
7-) Establecer la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada enunciado falso por su correspondiente proposición verdadera. a)
para todo numero real .
b) Dado que podemos decir que
c)
d)
e) La función exponencial representa crecimiento exponencial si y decaimiento
exponencial si
f) La función representa crecimiento exponencial si y decaimiento
exponencial si
g)
h) Si .............. debe ser > que 10
i)
j)
k)
l)
8-) Siendo y Calcular
√ √ √
9-) Siendo ;
y
.
Calcular:
a) b)
10-) Siendo ;
Calcule
( )
en función de y .
Sabiendo que y
Rta.:
11-) Encuentre el valor de , sabiendo que:
Rta.:
12-) Siendo . Calcule
Rta.:
13-) Siendo y
. Calcule
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271
3º GRUPO DE EJERCICIOS: En este grupo de ejercicios verdaderamente estamos entrando
en las ecuaciones exponenciales, aquí utilizaremos todos los artificios de los ejercicios
anteriores, también utilizaremos otros artificios semejantes.
Para una mejor comprensión vamos a clasificar las ecuaciones exponenciales en sub. grupos.
1º SUB GRUPO: Estas ecuaciones son muy fáciles de solucionar y se basan en el siguiente principio.
“TODA IGUALDAD DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE IMPLICA QUE LOS EXPONENTES
TAMBIÉN SON IGUALES”
( )
Entonces estas ecuaciones deben ser resueltas, primeramente igualando las bases por medio
de artificios algebraicos para después igualar los exponentes.
Ejemplos: a)
………………..
b)
[ ]
……..… ……..
c) ( )
( )
( )
( )
………....
Ejercicios propuestos :
1) 6)
2) 7) √
3) 8) (√ )
4) 9) √
5) √
10)
√
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272
2° SUB GRUPO: Estas ecuaciones tienen la características de que no pueden reducirse a
potencias de la misma base, en este caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de la
ecuación y lo desarrollamos, teniendo presente en todo momento que el logaritmo de un
número cualquiera es otro número.
Ejemplos:
a)
b)
Ejercicios propuestos :
1) 6)
2) 7) ∙ ∙
3) 8) ∙ ∙
4) 9) (√
)
5)
10)
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273
3º SUB GRUPO: En estos ejercicios pueden aparecer bases iguales y también diferentes, pero
aparecen las operaciones de adición o substracción, lo cual nos impide aplicar logaritmo, pues
el logaritmo de una suma no está definido.
En estos casos debemos utilizar algunos artificios que veremos a continuación.
Ejemplo 1:
∙
∙ ........... Substitución provisoria
√
{
Llevando este valor en tendremos …....
Ejemplo 2:
∙ ∙
∙
∙
(
*
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274
Ejemplo 3: ∙
∙
√
{
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejercicios propuestos :
1-)
2-)
3-)
4-)
5-)
6-)
7-) ∙ ∙
8-) ∙
9-)
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275
4º GRUPO DE EJERCICIOS:
Estos ejercicios son llamados “ecuaciones logarítmicas” y generalmente se presentan
expresiones en que ya fueron aplicados logaritmos de una misma base a ambos miembros de
una igualdad.
En este caso debemos hacer la operación contraria y volver a encontrar la operación original.
Ejemplo 1:
[ ]
√
2
Ejemplo 2:
............ Por definición de logaritmo
En este ejercicio también podríamos aplicar otra técnica.
Ejemplo 3:
*
+
Ejemplo 4:
* ( )
+
1º OPCION: ( )
2º OPCION: *
( )
+
OBS: Si el ejercicio viniese con logaritmo de bases diferentes, entonces aplicamos la propiedad de CAMBIO DE BASE, cuidando de elegir una base apropiada que facilite.
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276
Ejemplo 5:
En este caso la base adecuada seria el , luego tendremos:
Ejemplo 6: √
√
√
√ √ ............ √
√
√
Ejemplo 7:
Sustitución de variable
…………………………
…………….2
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277
MISCELANEAS:
1. (√
) Rta.:
2. Rta.:
3. Rta.:
4.
Rta.:
5.
Rta.: √
6. Rta.:
7. Rta.:
8. Rta.: {
9. Rta.: {
10. Rta.:
11. √ √ Rta.:
12. √ Rta.:
13. {
Rta.:
14. (
)
Rta.:
15. √ √
Rta.:
16. √ √
Rta.:
17. Rta.:
18. Sabiendo que . Calcular sin maquinita
19. Calcular el valor de . Siendo
20. Simplificar la expresión
21. Rta.:
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278
22. Rta.:
23. ( )
Rta.:
24. ( )
Rta.:
25. √ Rta.:
26.
Rta.:
27. √
Rta.:
28. √ Rta.:
29. Rta.:
30.
Rta.:
31.
Rta.:
32. Rta.:
33. Rta.:
34. { √
Rta.:
35. 2
Rta.:
36. (√ )
Rta.:
37. Rta.:
38. Rta.:
39. ( )
Rta.:
40. Rta.:
41. Rta.: √
42. ( )
Rta.:
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279
43.
Rta.:
44. Rta.:
45. Rta.:
46.
Rta.:
47. √ √
√
48.
Rta.:
49. 2
50. (
)
Rta.:
51. El producto de las raíces de la ecuación es:
52. ( )
Rta.:
53. El valor de en el sistema abajo es:
2
Rta.:
54. Calcular la diferencia entre la mayor y la menor de las raíces de la ecuación
Rta.: 1
55. Aplicando la definición de logaritmo calcular el valor de las siguientes expresiones
a) √
b)
c) √
d)
√
e)
Rta.:
f) √
√ Rta.:
g)
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280
56. Calcular el logaritmo de en base
57. Cual es el valor de a siendo
Rta.:
58. Sabiendo que el logaritmo de en base 4 es
. Calcular
Rta.:
59.
60. Determinar el valor de las expresiones
a)
b)
61. Resolver las ecuaciones:
a) [
]
b) {
[
]}
c)
d)
Rta.:
e)
Rta.:
62. Siendo la solución de la ecuación
; Calcular
63. Siendo ;
Calcular √ Rta.:
64. Sabiendo que
Calcular √
65.
66.
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281
67.
68.
69.
70. (
) Rta.:
71. √ Rta.:
72. {
Rta.:
73. Siendo ; ;
Calcular: a) √ Rta.: 3
b) Rta.: 13
74.
Rta.:
75. √
Rta.:
76.
77. 8
Rta.:
78. Determine de modo que la ecuación admita dos
raíces reales y diferentes.
79. Siendo √
; Calcular
Rta.: 2
80.
Rta.:
81. Calcular el valor de: (
√
√ )
82.
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282
83. Sabiendo que
Calcular: a)
b)
84. Si y . Calcular √
Rta.:
85. Si ( ) . Calcular
Rta.:
86. Siendo a una de las raíces de la ecuación . Calcular √
Rta.:
87. Las indicaciones y en la escala Ritcher de dos terremotos están relacionados por
la formula (
) , donde y miden la energía liberada por los
terremotos bajo la forma de ondas que se propagan por la corteza terrestre.
Hubo dos terremotos: uno correspondiente a y otro correspondiente a .
Calcular la razón
Rta.:
88. Siendo y
. Calcular el valor de la expresión:
Rta.:
89. Siendo ; Calcular el valor de:
(
* (
* (
*
90. Sabiendo que y . El valor de en la ecuación , es:
Rta.:
91. Si y . Expresar a en función de
Rta.:
92. Resolver la ecuación
Rta.:
93. Resolver la ecuación
94. Resolver (
) Rta.:
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283
95. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) Rta.:
b) √ Rta.:
c) Rta.:
d) Rta.:
e)
Rta.:
f) Rta.:
g) ( )
( )
h) {
Rta.:
i)
Rta.:
96. Verificar si son falsas o verdaderas las afirmaciones
a)
b) √
[ ]
97. Calcular el valor de las siguientes expresiones utilizando logaritmo natural.
a) √
b)
98. Resolver la ecuación
Rta.:
99. Aplicar logaritmo a las formulas
a)
b)
√
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284
100. Desarrollar aplicando las propiedades
a) [√
. /( )
]
b) [
( )
] c) √
101. Expresar como un solo logaritmo
a) [ ]
b)
c)
*
+
102. Calcula los logaritmos indicados
a)
b)
c) √
d) √
e)
103. Resolver las siguientes ecuaciones
a)
b)
c)
d) √ √
e)
f)
g)
h)
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285
i){
j) {
104. Resuelve los siguientes ejercicios
a) Si ; Hallar
b) Si ; Hallar
c) Dado ; Hallar
d) Dado ; Hallar
e) Si ; Hallar
f) Si ; Hallar
g) Si ; Hallar
h) Si √
; Hallar .
i) Si √ ; Hallar
j) Si √ ; Hallar
105. Calcule el valor de que satisface :
106. Al resolver ; para t en función de
, se obtiene:
a) (
) b)
c) d)
107. Dada la función . Hallar el valor de en función de
108. Si e verifican el sistema
{
Y si ; Calcular
109. Usando los valores de e ,al resolver el sistema:
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286
{
En ; Calcular
110. El doble del valor de que satisface el sistema:
{
Es el logaritmo en base 2 de un numero ; Calcular .
111. Si e verifican el sistema
{
Sabiendo que
; Calcular (
)
112. Resolver las ecuaciones:
a)
b)
c)
d) | | | |
Sugestión: Hacer | | Rta.:
113. Resolver la ecuación
Siendo y
114. Resolver el sistema:
2 √
115. Resolver las ecuaciones
a) p/
b) p/
116. Determinar dos números positivos cuya suma es igual a 25 y tales que la suma de sus
logaritmos en base 10 sea igual a 2.
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287
117. La diferencia entre los logaritmos de base 2 de dos números e en este orden, es
igual a 3. ¿cual es el cociente entre e ?
118. Resolver la ecuación √
√
119. Resolver el sistema:
8
120. Sean todos mayores que 1 y sea un numero positivo, tal que:
; ;
Determinar
121. Determinar una raíz de la ecuación
(√ )
122. Sea un numero tal que su cuadrado es y su cubo es .
Dada la ecuación
Demostrar que la suma de las raíces es menor que cero.
123. Siendo √ ; Calcular el valor de
124. Hallar las sumas de las raíces de la ecuación
125. Resolver la ecuación
126. Hallar la expresión
√
127. Resolver las ecuaciones:
a)
b)
128. Resolver:
ALGEBRA
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288
√
[
]
Rta.: {
129. Hallar el valor de
Rta.: √
130. Resolver los siguientes ejercicios:
a) Rta:
b) Rta: {
c) Si la base de un logaritmo es
, Calcular sabiendo
Rta: {
131. Siendo [
√
][
]
Resolver la ecuación …… Rta.: {
132. Resolver:
√
√ √
133. Hallar en: ( ) ( )
134. Sabiendo que , admite raíces iguales y además se cumple:
√
Hallar el valor numérico de .
135. Resolver las siguientes ecuaciones:
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289
a)
........Rta: 2
b) ........Rta: 2
c) ........Rta: 3
d) ........Rta: 3
e) ........Rta: {
f) Siendo ........Rta:
136. Resolver: ........Rta:
137. Resolver:
........Rta: 0,374
138. Demostrar las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
OBSERVACION: *El logaritmo de 0 (cero) es
*La base del sistema de logaritmo natural, neperiano o hiperbólico es el
numero e.
(
)
(
*
139. Resolver
∙ ∙ ∙ ....... Rta.:
140. Resolver:
….... Rta:
141. Demostrar que: ∙ ∙ ∙
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290
142. Si
Demostrar:
143. Si
Probar que son lados de un triangulo rectángulo de hipotenusa a.
144. Dada la ecuación cuyas raíces sean y .
Demostrar:
145. Sabiendo que (
(
)*
Probar que:
146. Si
………......; demostrar que:
[ ]
√
147. Siendo (
) ; demostrar que (
)
148. Siendo [ ]
( )
Demostrar que a y b son lados de un triangulo a los cuales se oponen los ángulos y .
149. Demostrar que representan términos de una progresión geométrica y se verifica
la siguiente igualdad:
, además se sabe que y son
términos de una progresión aritmética.
Rta.:
150. A partir de la expresión
( )
Demostrar que ... siendo e la base de los logaritmos naturales.
151. Sabiendo que
√
Demostrar que
152. Sabiendo que (
√ )
Demostrar que ...
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291
153. Demostrar que si (hipotenusa); y (catetos) son los lados de un triangulo
rectángulo; se verifica:
∙
154. Hallar el valor de ; sabiendo que
; y se cumple
√
... Rta.:
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292
FUNCIÓN EXPONENCIAL CRECIENTE Y DECRECIENTE
a) Exponencial creciente: Una función exponencial es creciente cuando la base es un
número .
…
Decimos que una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente
también aumenta .
Entonces es una inecuación exponencial creciente.
Si............... ...
También si ...
b) Exponencial decreciente:Una función exponencial es decreciente cuando la base es un
número y mayor que cero.
Decimos que una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente , la
variable disminuye.
Entonces es una inecuación exponencial decreciente.
Si......... ...
También si ...
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293
EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES EXPONENCIALES
1-) (√ )
2-) ( )
3-)
4-) ( )
5-) ( )
6-)
7-)
8-)
Resolver la inecuación simultanea
Determine el dominio de la función
√
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294
ANALISIS COMBINATORIO.
Factorial de . Se llama factorial de al producto de todos los números naturales desde
1 hasta , ambos inclusive.
Para designar abreviadamente el factorial de se emplea la notación de que se lee:
factorial de .
Por lo tanto
También
Obs.: Por definición como también
EJERCICIOS.
1- Simplificar: a)
b)
c)
d)
e)
f)
2- Demostrar:
3- Resolver la ecuación:
4- Simplificando:
se obtiene:
5- Simplificar:
6- El valor de que satisface la ecuación:
7- Resolver las ecuaciones:
a)
b)
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295
PERMUTACIONES SIMPLES: Permutar significa cambiar, luego permutaciones simples
son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto,
intercambiando sus lugares.
En estas condiciones cada grupo contendrá todos los elementos del conjunto original. El
numero de permutaciones de un conjunto de elementos, se representa mediante el
símbolo “ ” ..............
EJEMPLO: Dado el conjunto { } de 3 elementos.
Las permutaciones posibles de este conjunto serán:
Que serán: ; ; ; ; ; .
ARREGLOS SIMPLES: Arreglos de elementos tomados a .
Son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal forma
que cada grupo tenga elementos .
También podemos cambiar el orden de los elementos.
El numero de arreglos de un conjunto de elementos tomados de a se escribe:
EJEMPLO: Sea el conjunto { } y queremos saber cuantos grupos de 2 letras
podemos formar con estos elementos.
( )
Arreglos posibles.
Obs.: Cuando tendremos
Es decir los arreglos en este caso serán iguales a permutación.
ALGEBRA
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296
COMBINACIONES SIMPLES: Combinaciones de elementos tomados de a .
Son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal
forma que cada grupo tenga elementos .
En este caso no podemos cambiar el orden de los elementos.
El numero de combinaciones de elementos tomados a , se escribe:
EJEMPLOS: Sea el conjunto { } el número de combinaciones o grupos de 2 letras
deferentes será:
( )
Combinaciones posibles.
.
EJERCICIOS:
1. De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 7 cuadros en fila, sabiendo que uno
de ellos debe estar siempre:
a) En el centro Rta: 720 maneras.
b) En uno de los extremo Rta: 1440 maneras.
2. De cuantas maneras pueden sentarse en una fila de 8 asientos, 4 hombres y 4 mujeres,
alternándose hombre y mujer . Rta:1152 maneras.
3. Si 4 personas suben a un ómnibus en el que hay 10 asientos vacíos, de cuantas
maneras pueden sentarse. Rta: 5040 maneras.
4. De cuantas maneras se pueden elegir presidente, vicepresidente y tesorero para una
comisión de entre 10 candidatos? Rta: 720 maneras.
5. De un grupo de 10 alumnos se deben elegir 3 representantes, cuantos grupos posibles
tenemos: Rta: 120 grupos.
6. Una empresa tiene 5 directores y 10 gerentes. ¿Cuántas comisiones distintas se
pueden formar, constituidas por 1 director y 4 gerentes? Rta: 1050.
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297
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES:
a) Combinaciones complementarias: El número de combinaciones de elementos tomados
a es igual al número de combinaciones de elementos tomados a .
Es decir:
………… Los números superiores son complementarios respecto a .
[ ]
……….. Luego esta demostrada la identidad.
Obs.: Esta propiedad es muy utilizada en el binomio de Newton.
b) Propiedad de Stteffel:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) *
+ ( )
( ) ( ) *
+
( )
( ) ( )
…………………………………..….… Luego la identidad queda demostrada.
Obs.: Aplicando sucesivamente la formula de Stteffel, tendremos la conocida formula:
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298
EJERCICIOS:
1- Si y
………..…. Calcular
2- Calcular , sabiendo
3- Calcular en: a)
b)
c)
Rta:
d)
Rta:
e)
4- Verificar la identidad …….
5- Demostrar que
es igual al producto de tres números naturales
consecutivos.
6- Si
hallar el valor de .
7- Demostrar que
8- Determinar el valor de a en la siguiente expresión.
……… Rta:
9- Siendo
Hallar el valor de .
………. Rta: .
10- Calcular y , sabiendo que las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes:
……..…Rta.: 2
Obs.: Ecuaciones equivalentes son las que sus coeficientes son proporcionales.
11- Siendo
Demostrar que es la suma de los términos de una progresión aritmética de razón cuyo 1º término es y ultimo es 1.
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299
12- Determinar en:
………. Rta:
13- Hallar sabiendo que
...…….. Rta:
14- Hallar y de: 2
...……...Rta:
15- Determinar los valores de y para que se cumpla:
….…….Rta:
16- Hallar y , sabiendo que las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes.
{
………..Rta:
17- Determinar y en la relación.
…….....Rta:
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300
BINOMIO DE NEWTON
Se conoce como binomio de Newton el desarrollo de binomio de la forma para
cualquier exponente .
Es evidente que para hallar las potencias por procedimientos ordinarios es solo multiplicar de
forma sucesiva.
Antes de adentrarnos al binomio de Newton propiamente, veremos algunos artificios
utilizados para obtener el desarrollo del binomio.
a) Triangulo de Pascal o Tartaglia: consiste en un ingenioso artificio por el cual se obtiene los
coeficientes de los términos del binomio llamados coeficientes binomiales.
1
2
1 1
2¹
1 2 1
2²
1 3 3 1
2³
1 4 6 4 1
2
1 5 10 10 5 1
2
1 6 15 20 15 6 1
2
1 7 21 35 35 21 7 1 2
1 8 28 56 70 56 28 8 1 2
……
……
……
..
Cualquier numero en el triangulo es la suma de los dos números mas cercanos del renglón de
arriba del numero.
Del desarrollo de cualquier potencia del binomio obtenemos:
El exponente de a comienza con y va disminuyendo y el exponente de comienza
con cero y va aumentando hasta .
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301
El desarrollo es un polinomio homogéneo en .
Cuando el binomio es de la forma , el signo de los términos va en forma intercalada
comenzando por el signo positivo.
OBS.: Una particularidad notable es que la suma de los coeficientes binomiales del desarrollo
de es siempre , como ilustramos en la figura, mas adelante mostraremos esta
propiedad con el binomio de Newton.
b) Producto de Stevin: El binomio de Newton puede ser inducido a partir del producto de Stevin.
Consideremos el producto …………………………..
Teniendo factores.
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
…………………………………..
………………………..………...
...…………………………………
………………………….………..
……………………………………
……………………………………
Observando atentamente el comportamiento del producto de estos binomios, vemos que los
coeficientes de la variable , son combinaciones de los términos independientes de los
factores de los binomios.
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302
c) Binomio de Newton:
En el producto de Stevin, hagamos y tendremos factores iguales a , es decir .
…………………………..
…………………………..
..………………………..
…………………………..
…………………..………
……………………….…
……………………..……
…………………….…
……………………..……
……………………..……
.…………………………
.……………………..……
⏟
…………………...
⏟
…………………………...
…………………….……..
⏟
…………………………..
De esta forma obtenemos la conocida expresión del binomio de Newton
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303
PROPIEDADES:
1- Los coeficientes de los términos extremos son iguales a la unidad.
2- Los coeficientes de cualquier término es igual al número de combinaciones de elementos, tomados de una cantidad igual al número de términos precedentes.
Es decir el término de orden … (Que ocupa el lugar ); será:
[ ]
En este caso tendremos el termino general del binomio de Newton y para obtener un
termino cualquiera podemos darle a , valores [
]
3- El binomio de Newton fue deducido para entero y positivo, mas se puede aplicar
cualquiera sea la naturaleza de ; es decir negativo, fraccionario.
4- Cuando es entero y positivo, el numero de términos en el desarrollo es limitado e igual
a términos.
5- Cuando es negativo o fraccionario, el número de términos es ilimitado (infinito).
6- Términos centrales en el desarrollo del Binomio de Newton.
a) Cuando es un número PAR.
En este caso el numero de términos será un numero impar, y habrá un
termino central en el desarrollo.
El lugar que ocupa el término será
⁄
⁄
⁄
b) Cuando es un número IMPAR.
En este caso el numero de términos será que será par, de modo que
tendremos dos términos centrales.
El lugar que ocupa el primero será
……………. 1º término central.
El lugar que ocupa el 2º término central será
……………. 2º termino central.
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304
7- Términos equidistantes de los extremos.
Siendo ……... con entero y positivo.
Considerando el término
[ ] , el término equidistante de los
extremos ocupara la posición – en el desarrollo del mismo.
[ ]
[ ]
El concepto del término central y término simétrico solo puede hablarse para binomios
con exponentes enteros y positivos.
8- Los coeficientes binomiales de dos términos equidistantes de los extremos son iguales; es
decir:
[ ]
Esto es debido a una propiedad de las combinaciones, cuando el número superior es
complementario respecto a .
9- El termino de mayor coeficiente binomial (Se refiere a
) en el desarrollo del binomio de
Newton, es el que ocupa la posición central.
10- Cuando los dos términos del binomio son negativos (– )
, los términos del
desarrollo serán todos positivos o todos negativos, según que el exponente de la potencia
sea respectivamente par o impar.
11- Cuando el binomio es de la forma podemos transformar.
[ ]
Siendo el término general [ ] .
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305
EJERCICIOS:
1- Determine el termino central del desarrollo del binomio (
)
2- En el binomio (
*
escriba el termino que contiene
3- ¿Cuál es el valor del termino independiente de en el desarrollo de (
√ )
?
4- En el desarrollo de donde , el coeficiente numérico del termino en es
ocho veces el del termino en . Calcular .
5- Determine los valores de que vuelven iguales el 4º y 5º términos en el desarrollo de
(
)
6- Sabiendo que los coeficientes del 3º termino y del 8º termino en el desarrollo de
son iguales, determine el valor de .
7- Uno de los términos del desarrollo de es . Sabiendo que a no depende
de . Calcular el valor de a.
8- Hallar el 9º termino de (√ √ )
9- Termino medio de (
)
10- Hallar los primeros 4° términos del desarrollo de
11- Hallar el termino medio de (√ √ )
12- Calcular el coeficiente de , en el desarrollo de
13- Hallar el termino que contiene , en el desarrollo de
14- Calcular las potencias siguientes de números complejos.
a.
b.
15- Los tres primeros coeficientes en el desarrollo de (
)
están en progresión
aritmética. Calcular el valor de .
16- Cual es el valor del termino independiente de en el desarrollo de ( )
( )
…Rta.:
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306
17- En el desarrollo del binomio (√ )
donde , la diferencia entre los coeficientes
del 3º y del 2º términos es igual a 90. Calcular el valor del término independiente de
en ese desarrollo.
18- Calcular el valor de para que el quinto termino sea independiente de .
. √
/
19- Determinar el valor de “ ” para que en el desarrollo del binomio de Newton exista un
término independiente de . El binomio es (
)
20- Sin efectuar el desarrollo del binomio, hallar el término independiente en . Calcular
también el valor de a para que dicho termino valga 240.
( )
………………………………Rta.:
21- Calcular el 8º termino y el termino central en
( )
Rta.:8
22- Dado el binomio (
)
se pide , sabiendo que los exponentes de las de dos
términos simétricos son 30 y respectivamente. Hallar dichos términos.
Rta.:
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307
MATRICES Y DETERMINANTES.
1- Definición: Llamamos matriz a un objeto matemático, constituido por un conjunto
ordenado de números, dispuestos en filas (líneas) y columnas, colocadas entre corchetes.
Si el arreglo tiene filas y columnas, se dice que la matriz es de orden
Ejemplo: 0
1 En este ejemplo el orden es , es decir 2 filas y 3 columnas.
En forma genérica se tiene:
[
]
Los elementos de una matriz pueden ser numéricos, funciones o matrices (sub. matrices).
Es decir:
*
+ [
] 0
*
+
1
En general se utilizan letras mayúsculas para indicar matrices genéricas y letras minúsculas
para indicar los elementos.
En la matriz de arriba
La matriz se puede representar abreviadamente * ( ) +
Siendo , -
, -
Los elementos están afectados de dos sub. Índices, donde el primero, , representa la
fila y el segundo , indica la columna a los cuales cada elemento pertenece.
En este capítulo estudiaremos las matrices y ciertas operaciones algebraicas definidas
sobre ellas. Este material es principalmente operacional.
Los elementos de las matrices son escalares, pudiendo ser real o numero complejo.
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308
TIPOS DE MATRICES:
1- MATRIZ RECTANGULAR: Es cuando el número de filas es distinto al número de columnas.
Ejemplo: 0
1
2- MATRIZ FILA: Es la matriz de orden , es decir una sola columna.
Asi:
[
]
Ejemplo:
[
]
Una matriz con una columna se lo llama VECTOR COLUMNA.
3- MATRIZ COLUMNA: Es la matriz de una sola fila, es decir de orden
Asi: [ ]
Una matriz con una fila se lo llama VECTOR FILA.
4- MATRIZ DE UN SOLO ELEMENTO: Es la matriz que cuenta con un solo elemento.
Ejemplo: [ ] puede asociarse a un solo escalar, que cumple con todas las
propiedades del algebra escalar.
Asi: [ ]
5- MATRIZ REAL: Es la matriz en donde todos sus elementos son números reales.
Ejemplo: 0
1
6- MATRIZ COMPLEJA: Es aquella que posee uno o más elementos imaginarios o complejos.
Ejemplo: *
+
7- MATRIZ CERO: Es una matriz en que sus componentes son todos iguales a cero, se llama
matriz cero y se denota por 0. (Matriz nula)
[
]
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309
8- MATRIZ TRANSPUESTA: La transpuesta de una matriz , representado por , es la
matriz que se obtiene de , cambiando las filas por las columnas.
[
]
[
]
Obsérvese que si es una matriz , entonces la matriz será una matriz
La operación transpuesta de matrices satisface las propiedades siguientes:
a)
b)
c) ….. Siendo escalar.
d)
9- MATRIZ OPUESTA: Se denomina matriz opuesta de una matriz , a la matriz – cuyos
elementos son los simétricos de los elementos correspondientes de .
Ejemplo: 0
1 0
1
Se observa que la opuesta de la matriz se obtiene cambiándose los signos de todos los
elementos de .
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310
10- MATRICES ESCALONADAS:
a) Matriz escalonada por filas: Una matriz esta escalonada por filas, si el primer
elemento distinto de cero de una fila esta a la derecha del primer elemento distinto
de ceo de la fila anterior.
[
]
* Otra definición: Una matriz es una matriz escalonada, o se dice que esta en forma
escalonada cuando los elementos nulos aumenta de una fila para otra, pudiendo llegar
a ser todos nulos los elementos de la última fila.
OBS.: Al 1º elemento diferente de cero en cada fila se lo denomina elemento
distinguido. (Fueron colocados en un circulo).
b) Matriz escalonada por columnas: Una matriz esta escalonada por columnas si el
primer elemento distinto de cero de una columna esta por debajo del primer
elemento distinto de cero de la columna anterior.
[
]
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311
12- MATRIZ CUADRADA: Es una matriz en que el número de filas es igual al número de
columnas.
Para referirse a una matriz cuadrada se puede decir que su orden es en vez de .
Más adelante le dedicaremos un estudio especial debido a su importancia.
Ejemplos: 0
1 Es una matriz cuadrada de orden 2.
[
] Es una matriz cuadrada de orden 3.
Los elementos de una matriz cuadrada, donde , forman una diagonal llamada
diagonal principal.
La otra diagonal se llama diagonal secundaria.
[
]
- Clasificación de las matrices cuadradas.
12-1: MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada donde los componentes o elementos
que no están en la diagonal principal son todos nulos o ceros.
Ejemplo:
[
]
Diagonal Secundaria
Diagonal Principal
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312
12-2: MATRIZ UNIDAD O MATRIZ IDENTIDAD : es un caso particular de la matriz diagonal
(los elementos que no están en la diagonal son ceros) y todos los elementos de la diagonal
son 1.
[
]
Esta matriz es el similar en aritmética al escalar 1 en que, para toda matriz cuadrada
del mismo orden.
OBS.: La matriz , para un escalar, se llama
MATRIZ ESCALAR: es una matriz diagonal, donde los componentes de la diagonal son
todos iguales a .
Ejemplo: 0
1
12-3 Matriz triangular superior o simplemente matriz triangular: es una matriz cuadrada
cuyos componentes debajo de la diagonal principal son todos cero.
[
∙ ∙ ∙
]
12-4 Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos encima de la
diagonal principal son cero.
[
]
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313
12-5 MATRIZ INVERSA:
Dados los números reales y , donde y .
En Artimética {
Podemos tener
Luego tendremos
es el inverso de .
Utilizamos un procedimiento análogo para dos matrices cuadradas y .
Si existe una matriz tal que
Se dice que la matriz es la inversa de y se indica
Luego
OBSERVACIONES:
a) es una matriz identidad del mismo orden que la matriz .
b) Si existe la inversa, se dice que la matriz es INVERSIBLE y en caso contrario NO
INVERSIBLE o SINGULAR.
c) Si la matriz A es INVERSIBLE, el inverso o resultado es único.
d) Para que una matriz cuadrada sea inversible el valor calculado de su determinante debe ser
diferente de cero.
0
12-6 MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada se dice que simétrica cuando .
Es decir los elementos colocados simétricamente en relación a la diagonal principal deben ser
iguales.
[
]
[
]
12-7. MATRIZ ANTISIMETRICA: Una matriz cuadrada , se dice que es antisimétrica si .
12-8 MATRIZ ORTOGONAL: Toda matriz , tal que se llama matriz ortogonal.
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314
13- IGUALDAD DE MATRICES:
Dos matrices y son iguales si para todos
Es decir, ambas matrices deben ser del mismo orden y los elementos correspondientes o del
mismo índice son iguales.
Siendo [
] [
]
Entonces ….. si:
14- OPERACIONES BASICAS CON MATRICES
a) Suma de matrices: Si y son matrices del mismo orden, se define la matriz como
suma de la matriz y , siempre que se verifique para los distintos
valores de
Es decir: Sea y
Entonces
Obs.: La resta o substracción de matrices se efectúa sumando con la matriz opuesta del
sustraendo.
Es decir:
Siendo la matriz opuesta a la matriz , es decir con todos sus elementos cambiados de signo
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315
b) Producto de un escalar por una matriz:
Siendo una matriz y sea un escalar cualquiera.
Para obtener el producto , se multiplican todos los elementos de la matriz por la
constante .
[
] [
]
Propiedades de estas operaciones:
Sean y dos matrices de orden .
Sea la matriz nula de orden
Sean y dos escalares cualquiera
1-
2- ……… Propiedad conmutativa.
3- …..….. Propiedad asociativa – disociativa.
4- ………. El escalar es distributivo respecto a la suma.
5-
6-
3
………. Cuando el escalar es la unidad o el cero.
7- ………. Propiedad conmutativa.
8-
9-
10- ; ……………..
OBSERVACION: La suma o resta de matrices de diferentes ordenes, no está definida.
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316
EJERCICIOS:
1- Calcular e para que la matriz [
] sea simétrica.
2- Calcule sabiendo que
0
1 0
1 0
1
3- Determinar si existen valores de que convierten en idéntica a las matrices.
0
1 *
+
4- Si [
]
y [
]. Calcular 6
7 tal que
5- Dadas las matrices [
] ; [
] y [
]
Calcular: a)
b)
c)
d) Calcular la matriz de modo que *
*
6- Sabiendo que 0
1
y 0
1
Hallar las matrices y tales que 2
7- Calcule la matriz , sabiendo que [
]
; *
+
y
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317
c) PRODUCTO DE MATRICES
Sean y . Para poder multiplicar con , la condición es que el numero
de columnas de la 1º matriz sea igual al nº de filas de la 2º matriz.
El orden de la matriz producto será , es decir el nº de filas del producto coincide
con el de la 1º matriz y el nº de columnas con el de la 2º matriz.
Para obtener el producto se multiplican fila por columna, es decir, cada elemento de una fila
se multiplica por el elemento correspondiente de una columna y luego los productos con
adicionados.
Por tanto para obtener el elemento de la matriz producto, se multiplican los elementos
de 1º fila de por los de la 1º columna de y sumándose los productos obtenidos:
Ejemplo: Multiplicar 0
1
y [
]
∙ 0
1 [
] 0
1
∙ 0
1 0
1
OBSERVACION: También se pueden multiplicar dos matrices utilizando la transpuesta de la
matriz multiplicador, a algunas personas les resulta más fácil.
0
1
*
+ *
+ [
]
[
] *
+
También llegamos al mismo resultado por otro mecanismo parecido.
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318
Propiedad de la multiplicación de matrices:
1- Propiedad asociativa
2- En lo general el producto de matrices no es conmutativo, es decir
3- Si no implica que y
En caso de que y se los denomina verdaderos divisores de la matriz cero.
4- Si .… No implica que
5-
6- …. Propiedad distributiva respecto a la adición de matrices por la
derecha
7- .… Propiedad distributiva por la izquierda.
OBSERVACIONES:
* El producto de matrices no es conmutativo es decir , pero algunas veces
ocurre y en este caso se dice que las matrices y conmutan.
* En la multiplicación de matrices no tiene validez el elemento nulo del producto.
. No implica .
8- ………. Siendo Escalar.
9- ...…….. Válida para matriz cuadrada.
EJERCICIOS:
1) Calcule y , reales de modo que la matriz *
+ . Verifique la condición .
Rta.:
2) Efectuar:
[
]
[
]
3) Dada la matriz *
+. Halle la matriz , tal que: , siendo *
+
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319
4) Dada la ecuación matricial , siendo *
+ y *
+ . Hallar la
matriz .
5) Dadas las matrices 0
1
y [
]
Verificar que
6) Dada la matriz cuadrada [
]
Verificar
7) Efectuar: a) [
] [
] b) 0
1 0
1
8) Siendo 0
1 ; 0
1 y 0
1
Hallar: a)
b)
c)
d)
9) Verificar si el producto de [
] *
+ igualado a la matriz *
+ es equivalente al
sistema de ecuaciones:
{
10) Escríbase el conjunto de ecuaciones {
en forma de ecuación matricial.
11) Haciendo . ¿Satisface 0
1 la ecuación ?
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320
12) Si y son matrices , demuestre las siguientes proposiciones
a)
b)
c)
d)
13) Demuestre para matrices
a) El producto de dos matrices puede ser la matriz cero, aunque ninguna de ellas sea cero.
b) Verifique con las matrices 0
1 y 0
1
c) Demuestre que el cuadrado de una matriz puede ser la matriz cero aun cuando la matriz misma no sea cero.
d) Verifique con la matriz 0
1
14) Si , cada una de las matrices se denomina INVERSA MULTIPLICATIVA de la otra. Verifique si las siguientes matrices son inversas.
a) 0
1 ; 0
1
b) 0
1 ; 0
1
15) Toda matriz , tal que se llama matriz ORTOGONAL. Demuestre que cada una de las siguientes matrices es ORTOGONAL.
a)
[
√
√
]
b)
[
√
√
√
√
]
c) [
]
16) Resolver la siguiente ecuación matricial.
[ ] [
] [
]
OBS.: Para resolver esta ecuación matricial debemos efectuar las multiplicaciones y al final tendremos una matriz que será igual a la matriz nula, y aplicamos los medios de resolución convencionales.
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321
17) Sean [
] [
]
Resolver el siguiente sistema….. {
18) Resolver: [
]
[
] 6
7 [ ]
19) Resolver la siguiente ecuación matricial
[
] [
] [
]
Rta.:
20) Calcular la matriz [ ]
Sabiendo que [ ] [
] 0
1
OBS.: Para que esta igualdad pueda ser cierto, es necesario que la matriz sea de orden
, debemos hallar sus elementos.
Rta.: 0
1
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322
15- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.
A continuación daremos algunas definiciones simples y otra más precisa del determinante.
- El determinante de una matriz cuadrada es una función pre-establecida con los elementos
de una matriz cuadrada.
- También podríamos decir que es el valor numérico que se obtiene al someter los elementos de una matriz cuadrada a determinadas operaciones aritméticas y siguiendo un determinado orden.
- Representando el determinante de orden por: …
|
|
|
|
El determinante de una matriz de orden n es el polinomio constituido por la suma algebraica
de todos los productos posibles, cada uno de factores y de tal forma que:
* En cada producto figure solamente un elemento de cada fila y uno solo de cada columna.
* Luego tendremos productos.
* El signo de cada producto es positivo o negativo, según que el Nº de inversiones de
los sub. Índices sea par o impar.
Aplicando esta regla tendremos:
a) Siendo ……….. …
b) Siendo |
| ………... …
…
Luego
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323
c) Siendo: |
| …………… 8
8
8
Luego
Podemos observar que en este caso de una matriz cuadrada de orden el número de
productos de tres elementos cada uno es pues
OBS.: Numero de inversión quiere decir cuántas veces se cambia el orden natural de los
índices.
OBS.: Cada grupo de elementos de los productos, muestra las PERMUTACIONES SIMPLES
posibles de los índices de las letras y .
(PERMUTACIONES sin repetición)…………..
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324
NOTACIONES DE UN DETERMINANTE:
En general un determinante de orden se lo representa también:
|
|
|
|
Con esta notación, cada elemento se caracteriza por dos sub. Índices, el primero indica la fila y
el segundo la columna a los que pertenece.
Así pues, es el elemento de la segunda fila y tercera columna.
La diagonal principal de un determinante está formado por los elementos de la matriz
situados sobre la recta que une el primer elemento de la primera fila con el último de la
última fila, es decir: ………..… con
Siendo una matriz cuadrada, el determinante de se lo representa.
| |
; ; ;
- MENOR COMPLEMENTARIO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN
o de su DETERMINANTE | |
Es el determinante de orden que se obtiene a partir de la matriz o de su
determinante | | , al suprimir la fila i y la columna j del elemento considerado.
Se lo representa por
Ejemplo: |
|
|
| ………….. |
|
|
| |
|
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325
- ADJUNTO, COMPLEMENTO ALGEBRAICO O COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UNA
MATRIZ CUADRADA DE ORDEN
El adjunto de un elemento es el producto del menor complementario de dicho elemento por
. El exponente de será la suma de los números de fila y columna a que
pertenezca dicho elemento y se simboliza por
Es decir
Adjunto de menor complementario de
Ejemplo: Hallar el menor complementario y el adjunto del elemento de la matriz .
|
|
|
| |
|
- DESARROLLO DE LOS DETERMINANTES:
Para no tener que estar formando las debidas permutaciones con sus respectivos signos cada
vez que calculamos el determinante de una matriz cuadrada, fueron ideados algunos métodos
o procesos mecánicos que facilitan los cálculos.
a) Determinante de una matriz de primer orden:
| | | |
Ejemplo: | | | |
b) Determinante de una matriz de orden
| | |
|
Luego | | |
|
“El desarrollo de un determinante de orden , es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria”
ALGEBRA
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326
Ejemplo: | | | √
√ | √ √
| |
c) Determinante de una matriz de orden (Regla de Sarrus)
Sea | | |
|
Hemos visto que el determinante de , esta dado por
| | [ ] [ ]
Si colocamos la misma matriz y copiamos las dos primeras filas a continuación de la 3° fila.
|
|
|
|
}
}
Ejemplo: Calcular | |
por la regla de Sarrus
| | |
|
|
|
|
|
OBS.: La regla de Sarrus solo se aplica para determinantes de orden 3.
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327
d) Determinante de una matriz de orden .
Este método utiliza la reducción de su orden y es aplicado para cualquier valor de , y se
llama: DESARROLLO LAPLACIANO O METODO DE LAPLACE.
Mediante este método se desarrolla un determinante de orden , en una suma de
determinantes de orden
Así: dado | | |
|
Para el desarrollo laplaciano se utiliza las siguientes reglas.
| | ∑
Esta regla quiere decir: “La suma algebraica del producto de cada elemento de una fila por su
adjunto correspondiente”
Luego: | |
| | |
| |
| |
|
| | |
| |
| |
|
O también podríamos trabajar con cualquier columna.
| | ∑
Esta regla quiere decir “La suma algebraica del producto de cada elemento de una columna
por su adjunto correspondiente”
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328
EJERCICIOS:
1- Hallar en |
| Rta:
2- Hallar en: |
|
|
| Rta: {
√
√
3- Resolver el siguiente determinante:
| | |
|
|
|
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329
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:
1° PROPIEDAD: El valor del determinante de una matriz cuadrada es igual al valor del
determinante de la transpuesta de dicha matriz.
Es decir | | |
|
| | |
|
2° PROPIEDAD: Si se permutan dos líneas paralelas el valor absoluto del determinante no
se altera, pero el signo queda cambiado.
| | |
|
Ahora si intercambiamos la 1° y la 2° fila tendremos:
|
|
3° PROPIEDAD: Si en un determinante se multiplica o divide una línea por un mismo
número, el determinante queda multiplicado o dividido por dicho número.
| | |
|
Si multiplicamos la 2° columna por 2 tendremos:
|
| | |
El determinante queda multiplicado por 2.
Si dividimos la 1° columna por 2 tendremos:
|
|
| |
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330
4° PROPIEDAD: Si dos líneas paralelas en un determinante son proporcionales, o
particularmente iguales, el determinante es cero.
Así | | |
|
5° PROPIEDAD: Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras paralelas,
entonces el valor del determinante es cero.
Combinación lineal: Una fila de un determinante es combinación lineal de otras líneas
paralelas, si se verifica que cada elemento de la primera es igual a
la suma algebraica de los elementos correspondientes de las otras
dos líneas, multiplicados por un escalar.
Así:…….. | | |
| ….. Porque la 3° fila es la suma algebraica de la 1° y 2° fila.
6° PROPIEDAD: Si a los elementos de una línea de un determinante se le suma los elementos
correspondientes de otra línea paralela multiplicados por un numero distinto de cero, el valor
del determinante no se altera.
Si | | |
|
Si multiplicamos la 1° fila por 2 y sumamos a la 2° fila se tiene
|
| ………. …… |
| … No se altera
7° PROPIEDAD: Si a los elementos de una línea de un determinante, se suma la combinación
lineal de dos líneas paralelas, el valor del determinante no se altera.
Siendo | | |
|
|
| ………….. ….. |
|
OBS.: Cuando decimos línea quiere decir fila o columna, indistintamente por la 1° propiedad.
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331
5- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
Llamamos sistemas de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. (Ecuación lineal es aquella en que las variables son de 1° grado)
Ejemplo:
{
En este sistema tenemos variables o incógnitas y tenemos ecuaciones.
Algunas veces y en general es decir el Nº de ecuaciones es igual al Nº de incógnitas,
pero esto no siempre ocurre.
La secuencia es la solución del sistema si satisface todas las ecuaciones
del sistema y en este caso decimos que son sus raíces o soluciones.
Un sistema S de ecuaciones se clasifica en:
a) Sistema posible o compatible: Cuando posee o tiene solución.
- Sistema compatible determinado: Cuando la solución es única.
- Sistema indeterminado: Cuando tiene más de una solución.
b) Sistema imposible o incompatible: Cuando no posee solución.
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar sus raíces o el valor de cada incógnita que satisface cada una de las ecuaciones.
Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones.
a) Método convencional del algebra … {
b) Método por determinantes: REGLA DE CRAMER.
c) Método matricial.
d) Matriz escalonada.
e) Matriz ampliada.
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332
6- METODO DE DETERMINANTES: REGLA DE CRAMER.
La regla de CRAMER es una técnica que nos permite resolver sistemas cuadrados es decir,
sistemas en que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
Sea el sistema …
{
Llamamos al determinante de orden , formados con los coeficientes de cada ecuación
del sistema.
||
||
Llamamos al determinante que se obtiene al sustituir en la columna de los coeficientes
por la columna de los términos independientes.
Siendo , la regla de Cramer expresa:
|
|
|
|
|
|
|
|
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333
Ejemplo: Resolver el sistema. {
|
| ……… Como el sistema es compatible y determinado.
|
|
|
|
|
|
Luego:
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) {
2) {
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334
6- MATRICES INVERSIBLES: Se dice que una matriz cuadrada es inversible si existe una
matriz con la propiedad de que:
Donde es la matriz identidad y del mismo orden de y .
Tal matriz es única.
es la matriz inversa de y se escribe
Luego
OBS.:
- es una matriz identidad del mismo orden que las matrices y .
- Si existe la inversa, se dice que es inversible y en caso contrario no inversible o singular.
- Si la matriz cuadrada es inversible, ella es única.
- Para que una matriz cuadrada sea inversible es decir, exista su matriz inversa, es
necesario que el determinante de esa matriz sea diferente de cero.
Es decir………. Si
Propiedades:
1-
2-
3-
4-
Si
Multiplicado por la izquierda por …..
11 ABBBx
Multiplicado por la izquierda por ………………………
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335
DETERMINACION DE LA MATRIZ INVERSA:
1° METODO: Método de ecuaciones: este método se acostumbra usar en matrices de orden
, pues en matrices de orden mayor se vuelve muy trabajoso, pero continúa siendo válida.
Ejemplo: Encontrar la inversa de la matriz *
+.
Si existe la inversa será de la forma: [
]
Luego:
*
+ [
] *
+
0
1 *
+
Luego: 2
y 2
Resolviendo los sistemas de ecuaciones tendremos:
……..Luego: *
+
OBS.: Puede comprenderse fácilmente porque no es utilizado este método en matrices de
orden mayor o igual a 3, pues tendríamos 9 incógnitas y nueve ecuaciones en grupos de 3.
EJERCICIOS:
1- Determine la inversa de las matrices:
a) 0
1
b) [
]
2- Demuestre que [
] es la inversa de [
]
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336
Antes de estudiar el segundo método analizaremos otros aspectos:
Puesto que los determinantes se parecen a las matrices se debe tener cuidado de saber con
cual de los dos se está trabajando, antes de efectuar alguna operación matemática.
Una matriz es un arreglo de números.
Un determinante es un número real determinado, definido por un arreglo y que se obtiene
por medio de una regla especifica llamada “desarrollo del determinante”.
El nombre “DETERMINANTE” es debido a que dependiendo de un valor, un sistema de
ecuaciones podrá tener o no solución, es decir, cuando el determinante formado con los
coeficientes de las incógnitas de un sistema es cero, dicho sistema de ecuaciones es imposible
o indeterminado.
No olvidemos que una de las principales aplicaciones de las matrices es la solución de
sistemas de ecuaciones.
La solución de un sistema de ecuaciones, consiste en la aplicación de tres operaciones
fundamentales a las ecuaciones lineales del sistema:
1- Intercambio de dos ecuaciones.
2- Multiplicación de todos los términos de una ecuación por un escalar no nulo.
3- Suma de una ecuación a otra multiplicada por un escalar.
Cada vez que efectuamos una de esas operaciones en el sistema obtenemos un nuevo sistema
con las mismas soluciones. Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes.
Efectuando esas operaciones una tras otra de modo sistemático, llegamos por fin a un sistema
equivalente que puede resolverse a simple vista.
COMBINACION LINEAL:
Sea la matriz (
)
Siendo Escalares (numero) no todos iguales a cero.
3 Combinación lineal de líneas o (columnas o filas).
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337
DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL DE LINEAS.
Sea ….. Una combinación lineal y
Si y siendo al menos dos de los
Entonces decimos que están en dependencia lineal, es decir son:
Lianealmente dependientes
Si
Cuando esto ocurre: Si y solo si todos los
Entonces decimos que: son: Lianealmente independientes
OBS.: El mismo raciocinio análogo podemos utilizar para las columnas.
Cuando decimos línea de una matriz nos estamos refiriendo indistintamente a filas o columnas.
OPERACIONES ELEMENTALES DE LINEAS DE UNA MATRIZ:
1- Transposición de dos filas
2- Multiplicación de todos los elementos de una fila por un escalar no nulo.
3- Adicionando a una fila el producto de otra (u otras) por un escalar.
MATRIZ EQUIVALENTE A OTRA: Toda matriz obtenida por operaciones elementales de líneas
es equivalente a la matriz dada.
………( equivalente a )
Si es obtenida mediante operaciones elementales de líneas de .
Observación Importante : Es importante tener presente que cuando estamos lidiando con
una matriz cuadrada, continua valido lo anterior, pero con respecto al determinante de dicha
matriz cuadrada ocurren cambios.
Operación 1- El valor absoluto del determinante no varía, pero tiene signo contrario.
Operación 2- El determinante queda multiplicado por dicho escalar.
Operación 3- El determinante no varía.
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338
2° METODO DE LA MATRIZ AMPLIADA:
Para hallar la matriz inversa de la matriz , trabajamos con la matriz ampliada con la matriz
identidad y lo sometemos a las operaciones elementales de matrices de tal forma a pasar de:
[
]
a [
]
La matriz de la parte de la derecha, la matriz , es la matriz inversa deseada de la
matriz ….
Si es una matriz singular [ ], en el proceso uno de los elementos de la
diagonal se convierte en cero, y no será posible transformar en la matriz identidad.
Ejemplo 1: Hallar la matriz inversa de [
]
[ ] [
] [
]
[
] [
]
[
] [
]
[
] Luego [
]
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339
Ejemplo 2: Encontrar la matriz inversa 0
1
[
]
→ [
]
→
[
]
[
]
→ [
]
→ [
]
Luego 0
1
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340
3° METODO: Método del adjunto o cofactor.
Dada la matriz [ ], hallar su matriz inversa [ ]
[ ] [
]
Para hallar su inversa se siguen los procesos a) ; b) ; c) y d) respectivamente.
a) Se halla la matriz transpuesta de [ ]
[ ] [
]
b) Se halla la matriz adjunta [ ] de [ ]
[ ] [
]
Siendo …… Adjunto o cofactor.
c) Se calcula el determinante | | de [ ]
|
|
d) Por ultimo la matriz inversa estará dada por la siguiente expresión:
[ ] | |
∙ [ ] , es decir:
[ ]
[
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
]
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341
Ejemplo: Hallar la matriz inversa de: [
]
a) [
]
b)
{
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[
]
c)
|
|
|
|
d) Luego la matriz inversa estará dada por:
[
]
Resultado idéntico obtenido por el método anterior.
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342
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
Esta compuesta por expresiones lineales. (Es decir que los términos tienen variables con exponente 1)
Por ejemplo 2
Es un sistema de ecuaciones lineales.
Pero la ecuación ………. No es una ecuación lineal.
Los métodos utilizados en la solución de los sistemas lineales de ecuaciones son varios: Reducción; por sustitución, igualación, método de determinantes o Cramer, y por el método matricial.
Un sistema de ecuaciones lineales de “ ” incógnitas y “ ” ecuaciones es de la siguiente forma.
El sistema de arriba se simboliza como sigue:
……… Siendo:
[
]
[
]
y [
]
Matriz formada por los coeficientes de las variables
Matriz formada por las incógnitas
Matriz formada por las constantes de las ecuaciones.
Por tanto el sistema en forma matricial es:
[
]
[
]
[
]
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343
El sistema de ecuaciones analizado, también se lo puede representar por la matriz.
[
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
∙∙∙
]
Llamada matriz ampliada o matriz aumentada.
Se puede ver que el sistema de ecuaciones esta determinado completamente por su matriz
ampliada.
RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES.
1- Método Matricial:
Se tiene
Siendo … la matriz inversa de .
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344
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema por el método matricial.
{
La solución esta dada por
[
] [
] [
]
Ahora debemos hallar
a) [
]
b)
{
|
|
|
|
|
|
{
|
|
|
|
|
|
{
|
|
|
|
|
|
[
]
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345
c)
|
|
|
|
Luego
[
]
Entonces: [
]
[
]
[
]
[ (
)
(
)
(
)]
[
] [
]
Las raíces del sistema dado son:
{
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346
2° METODO:
8
–
El método consiste en la aplicación de las operaciones elementales entre filas a las ecuaciones
lineales del sistema.
Cada vez que efectuamos una de esas operaciones en el sistema obtendremos un nuevo
sistema con las mismas soluciones.
Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes.
Efectuando esas operaciones una tras otra de modo sistemático llegamos por fin a un sistema
equivalente que puede resolverse a simple vista.
Ilustraremos el método con un ejemplo.
Ejemplo: Sea el sistema
8
Para evitar trabajo no copiamos las letras ni los signos de igualdad, trabajamos con la matriz
ampliada obtenida adjuntando la matriz de las constantes de las ecuaciones con la matriz
formada con los coeficientes de las variables.
6
7
Nuestro objetivo es de: por medio de operaciones fila en esta matriz ampliada llegar a otra
matriz equivalente por fila del tipo:
6
7
En cualquier fase del proceso podemos poner las letras e intercalar los signos de
igualdad en las verticales correspondientes obteniendo ecuaciones equivalentes a las
ecuaciones originales.
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347
[
] → [
]
→ →
[
]
→ [
] → [
]
Al llegar a esta fase del proceso, el correspondiente sistema de ecuaciones viene dado por:
{
En este punto del proceso podríamos resolver el sistema fácilmente por los medios
convencionales.
Pero también podríamos continuar con el proceso de Gauss – Jordan, transformando en ceros
los elementos arriba de la diagonal de 1.
[
] ← [
]
→ →
[
]
Una vez que hemos llegado a la matriz ampliada en esta forma, podemos escribir la solución
del sistema. {
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348
RANGO DE UNA MATRIZ:
Se dice que una matriz cuadrada o rectangular no nula, cuyos elementos son números de
cualquier naturaleza es de rango , si y solo si tiene por lo menos una sub. Matriz REGULAR
(No singular) es decir cuyo determinante es no nulo, de orden .
Habiendo sub. Matrices de órdenes mayores que , deberán ser todas singulares (de
determinantes nulos).
es el máximo de los órdenes de los sub. Determinantes (menores) no nulos, extraídos de la
matriz.
El rango coincide con el número de líneas paralelas linealmente independientes que hay en la
misma.
Notación: o .
OBSERVACIONES:
- Una matriz cuadrada de orden , tal que su tiene por .
- Una matriz fila o columna tiene rango .
- Una matriz rectangular o cuadrada con un solo elemento no nulo .
- Una matriz identidad de orden tiene .
DETERMINACION DE RANGO DE UNA MATRIZ:
Calculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
Con las transformaciones elementales que colocamos a seguir, es fácil comprobar que no
varía el rango.
* Si se permutan 2 filas o 2 columnas el rango no varía.
* Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no varía.
* Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no
nulo el rango no varía.
* Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que sean
proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe.
0det nr
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349
METODO DE GAUSS. El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a
una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal
principal se anulen ( ; )
Para conseguir “triangularizar” la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no
nulos, salvo que la fila sea nula.
Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número de filas
no nulas de la matriz obtenida.
Ejemplo de matriz triangular
[
]
Ejemplos: Hallar el rango de las matrices:
a)
[
] →
[
]
Como la matriz escalonada por filas tiene 2 filas rango
b)
[
]
[
]
→ [
]
Luego rango ( )
c)
[
]
Luego rango
… Debido a que el rango fila es igual al rango
columna, hallamos primero la transpuesta de 𝐴 y
luego lo reducimos a la forma escalonada.
Las 2 columnas de esta matriz son linealmente
independientes ya que la una no es múltiplo de la
otra.
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350
EJERCICIOS SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES – MISCELANEAS.
1- Calcular la suma de los elementos de la 3° fila de la matriz ( ) y siendo
2
Rta.:
2- Sea ( ) , y siendo
Calcular si 0
1
3- Calcular para que la matriz
6
7 Sea simétrica Rta.: ,
4- Calcular sabiendo que:
*
+ *
+ *
+ Rta.: {
5- Si 0
1 y 0
1
Resolver el sistema {
6- Calcular y , números reales de modo que la matriz no nula *
+
Verifique la condición
7- Para que valores de e las matrices *
+ y [
] conmutan?
Rta.: {
8- Las matrices y son cuadradas de orden .
Demuestre que [ ( )]
9- Calcular el valor de , siendo |
|
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351
10- Resolver la inecuación: |
|
11- Utilizando las propiedades de los determinantes probar que
|
| |
|
12- Siendo y matrices reales de orden , verifique las afirmaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
13- Si el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es 5. Entonces el determinante
de la matriz será:
14- Si [
] y . Calcular (
)
15- Resolver el sistema {
por el método matricial.
16- Hallar y
Sabiendo: *
+ *
+ *
+
17- Sean *
+
y [
]
. Calcular
18- Hallar la transpuesta de la matriz [
]
19- Sea una matriz cualquiera ¿Bajo qué condiciones el producto está definido?
¿Bajo qué condiciones la suma está definida?
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352
20- Sea 0
1 . Hallar a)
b)
21- Dada la matriz [
]
a) Reducir a la forma escalonada por filas.
b) Reducir a la forma escalonada por columnas.
c) Reducir a la forma canónica (Cuando simultáneamente esta escalonada por filas y
por columnas y además la diagonal está compuesta por 1).
22- Sea *
+ ………….. Hallar: a)
b)
c)
23- 0
1 0
1 [
] [
]
Calcular: a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
24- Reducir a la forma escalonada por filas y luego a la forma canónica.
[
]
[
]
25- Hallar las inversas de las matrices:
a) 0
1 b) 0
1 c) [
] d) [
] e) [
]
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353
26- Mostrar que las operaciones de inversa y transpuesta conmutan; esto es .
Así, un particular es inversible si y solo si es inversible.
27- ¿Cuándo es una matriz diagonal [
] inversible? ¿Y cuál es su inversa ?
28- Sea una matriz cuadrada de orden . Mostrar que es inversible si y solo si
29- Hallar el rango de cada una de las matrices:
a)
[
]
b)
[
]
c)
[
]
d)
[
]
30- Hallar ejemplos de matrices , y tales que:
a) Rta.: 0
1 0
1
b) Rta.: 0
1 0
1
c) Rta.: 0
1 0
1
d) Rta.: 0
1 0
1
31- Siendo [
]. Hallar la matriz es decir
Rta.: [
]
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354
32- Calcular las siguientes determinantes o los determinantes de las matrices:
a) 0
1 b) |
| c) |
|
d) |
| e) [
] f)
[
]
33- Determinar el valor de de forma que
|
| …………….……………..…………….…………….Rta.:
34- Verificar las siguientes determinantes:
a) |
|
|
|
b) |
|
35- Hallar el cofactor de 7 en la matriz
[
]
Rta: 61
36- Siendo [
]
Calcular: a)
b)
c) Verificar ( ) | |
d) Hallar
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355
37- Siendo 0
1
a) Hallar
b) Mostrar que ( )
38- Resolver los sistemas de ecuaciones usando determinantes
a) 2
b) 2
c) {
39- Calcular el determinante de cada matriz.
a) 0
1 b) [
] c) [
]
d) [
] e)
[
]
40- Sea la matriz
[
]
Hallar el cofactor de ; ;
41- Sea [
] . Calcular: 2
42- Determinar la matriz general , para la cual
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356
43- Siendo una matriz diagonal [
]
Y una matriz triangular [
].
Mostrar que: a) es una matriz diagonal.
b) es una matriz triangular.
c) es inversible si todos
d) es inversible si todos los
e) Mostrar que la inversa de , si existe es de la forma
[
]
Es decir, los elementos de la diagonal de son los inversos correspondientes de la
diagonal de .
44- Resolver el sistema de ecuaciones por el método matricial
{
45- Resolver por el método de escalonamiento el sistema de ecuaciones
{
46- Resolver las ecuaciones matriciales
a) 0
1 0
1
b) 0
1 0
1
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357
47- Para una matriz cualquiera , su transpuesta se designa por .
¿Esta siempre definida la adición de y de su transpuesta?. Explique.
48- Demuestre que para toda matriz
a)
b)
¿Se cumplen estas propiedades para una matriz cualquiera?
49- Siendo 0
1 e 0
1
Demuestre que
50- Explíquese como el producto matricial 0
1 0
1
igualado a la matriz 0
1
es equivalente a 2
51- Resolver la ecuación matricial
0
1 0
1 Siendo 0
1
52- Verifique si la ecuación matricial
0
1 0
1 Tiene a 0
1 por solución.
53- Haciendo
¿Satisface 0
1
la ecuación ?
54- Demuestre que el cuadrado de una matriz puede ser la matriz cero aun cuando la matriz
misma no sea cero. (Considerar una matriz )
55- Resolver el sistema por el método matricial de matriz inversa.
2
56- Encuentre una matriz 0
1 tal que: 0
1 0
1
OBS.: Utilizar matriz inversa.
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358
57- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de determinantes.
a) {
b) {
58- Demuestre que:
|
| |
| |
| |
|
59- Determine el valor de
a) |
| b) |
|
60- Calcular el determinante siguiente, sacando primeramente todos los factores comunes
posibles y desarrollando en seguida. Compruébese mediante desarrollo directo.
|
|
61- En la matriz siguiente, multiplíquese cada elemento de la 2° fila por 3 y fórmese una nueva
matriz sumando estos resultados a los elementos correspondientes de la primera fila.
Demuéstrese mediante desarrollo directo que el valor del determinante de la matriz original
es igual al de la nueva matriz.
|
|
62- Determinar las raíces de las ecuaciones
a) |
| b) |
|
63- Utilizando las propiedades de los determinantes, determinar las raíces de la ecuación.
|
|
|
|
ALGEBRA
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359
64- Demuéstrese que:
|
| |
|
65- Dada , hallar [
]
66- Determinar los valores de las matrices e de orden dos, que verifican el siguiente
sistema:
0
1 ; 0
1
67- Determinar (sin calcular el determinante de ); a partir de la siguiente igualdad
Siendo datos:
es la matriz identidad ; [
]
68- Dadas las matrices:
[
] ; [
]. Resolver el sistema 2
69- Siendo:
0
1 ; 0
1.
Calcular , tal que
70- Sabiendo que [
] ¿ Es {
solución del siguiente sistema?
{
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360
71- Resolver:
0
1
0
1 [
] 0
1
72- Demostrar la siguiente igualdad aplicando propiedades de los determinantes.
|
|
|
|
73- Resolver por el método matricial
{
Rta.:
{
74- Aplicando el método matricial por escalonamiento, resolver el sistema
{
Rta.: {
75- Resolver la ecuación
|
|
|
|
76- Calcular los siguientes determinantes.
a) |
|
b) |
| c) |
|
d) |
| e) |
|
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361
77- Hallar el valor de para que |
|
78- Resolver los siguientes sistemas por el método matricial.
a)
{
b) {
c)
{
d)
{
79- Escribir los menores complementarios y los adjuntos de los elementos de la cuarta fila del
determinante.
|
|
|
|
80- Descomponer en factores el determinante:
|
| Rta:
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362
SELECCIÓN DE TEMAS- AÑOS ANTERIORES.
1- Los términos séptimo, décimo y ultimo de una progresión aritmética son: 16; 22 y 32
respectivamente. Hallar el número de términos de la progresión.
Rta.:
2- La suma de los dos términos de una progresión aritmética es 4 y el sexto término es 38.
Hallar el noveno término de la progresión.
Rta.:
3- Los tres primeros términos de una progresión son:
y
.
Hallar el vigésimo
término.
Rta.:
4- Determinar la suma de los 20 primero términos de la progresión cuyos primero tres
términos son: 9 ; 6 y 3.
Rta.:
5- En una progresión aritmética la razón es 3, el término enésimo es 23 y la suma de los n
términos es 98. Determinar el número de términos de la progresión.
6- El 5º término de una progresión geométrica es 9. El 11º término es 6561. Hallar el primer
término.
7- La suma del cuarto y décimo termino de una progresión aritmética es 60 y la relación del
segundo al décimo termino es igual a
. Hallar el primer término de la progresión.
8- Hallar el vigésimo término de una progresión sabiendo que sus tres primeros términos son:
√ √ 23
9- Utilizando los siguientes datos ;
Calcular
√ .
10- Escribir la expresión logarítmica de la siguiente expresión y calcular el valor de ;
utilizando logaritmos.
√
11- Utilizando los siguientes datos:
Calcular:
√
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363
12- Siendo: y
Calcular: ( )
( )
13- Utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos de los números, demostrar
que:
( ) (
) ( )
14- Calcular el valor de , utilizando logaritmos.
15- Sin utilizar la maquinita de calcular, demostrar que:
√ √
16- Sabiendo que y
Calcular:
√
17- Calcular, utilizando las propiedades de los logaritmos:
18- Utilizando las propiedades de los logaritmos de los números y los siguientes valores:
y . Calcular: √
19- Utilizando logaritmos, calcular el valor de N en las siguientes expresiones:
a) √
( )
b) √
c)
20- Demostrar: El resto de dividir un polinomio racional y entero en por un binomio de la
forma , se obtiene substituyendo en el polinomio dado la por a.
21- Deducir la formula para calcular la suma de términos de una progresión geométrica.
22- La razón de una progresión aritmética es 2 y el séptimo término es el triple del segundo.
Formar la progresión.
23- Encontrar cinco números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos
primeros es
y la de los dos últimos es 24.
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364
24- Demostrar:
25- El primer término de una progresión aritmética es 3 y la suma de los 12 primeros
términos es 168. ¿Cuántos términos a partir del cuarto, sumaran igual que el undécimo y el
duodécimo términos de la progresión?
26- Utilizando las propiedades de los logaritmos, calcular:
27- Los dos primeros términos de una progresión aritmética de 280 términos son
y 2.
Calcular la suma de los 80 últimos términos.
28- Sin utilizar maquinita verificar la siguiente identidad.
29- Los tres primeros términos de una progresión de doce términos son
;
y
Determinar la suma de los cinco últimos términos.
30- Resolver la ecuación:
31- La suma de los tres números en progresión aritmética es igual a 3. El cociente de dividir el
primer término por el tercero es √ . Hallar los tres términos de la progresión.
32- Efectuar:
33- Calcular: sabiendo que
34- Hallar cuatro números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos
primeros es 38 y la suma de los dos últimos es 175.
35- Siendo ; hallar
36- En una progresión aritmética de 11 términos, la suma de todos los términos es igual a 176
y la diferencia de los extremos es igual a 30. Hallar el quinto término de la progresión.
37- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) b)
38- La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es igual a
√ . Sabiendo que la razón es √ , calcular el segundo termino de la progresión.
39- Verificar la siguiente identidad:
√ , efectuando transformaciones
exclusivamente en el primer miembro.
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40- Definir:
a) Matriz simétrica.
b) Progresión geométrica.
c) Cantidad compleja.
d) Matriz inversa.
e) Expresiones irracionales conjugadas.
f) Unidad imaginaria (definición y notación)
g) Matriz transpuesta de una matriz de orden
h) Progresión aritmética.
i) Enunciar cinco propiedades de los determinantes.
j) Factorial de un numero .
k) Expresión algebraica irracional.
l) Matriz diagonal.
41- Una pequeña compañía mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8 hs de mano de obra y U$ 60 en materiales, en tanto que cada sillón
se puede construir por U$ 35 en 6 hs.
Por semana, la compañía dispone de 340 hs de mano de obra y puede comprar U$ 2250
en materiales. ¿Cuántos sillones y sofás pueden producir, por semana, usando todos los
recursos materiales y humanos?
42- Dada la matriz , hallar ; [
]
43- Dadas las matrices y , determinar
0
1 0
1
44- Resolver la ecuación: |
|
45- Resolver la desigualdad:
| |
46- Resolver la ecuación:
47- Hallar el valor de “ ”, sabiendo que los números:
y están en ese orden en progresión aritmética.
48- Aplicando exclusivamente las propiedades de los logaritmos, calcular
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49- Resolver la ecuación:
50- La suma de tres términos consecutivos de una progresión geométrica creciente es 26. Si se
reste 8 del tercer termino, la misma se transforma en una progresión aritmética. Formar
las dos progresiones.
51- Hallar el valor de que satisface la ecuación:
Siendo: [
] [
] ; 0
1
52- La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica creciente es
28. Si a los mismos se les resta respectivamente 1 , 3 y 9, la progresión se transforma en
aritmética. Hallar dichos términos.
53- Sean las matrices 0
1
y 0
1
Calcular la matriz
54- Sean las matrices 0
1
y 0
1
Calcular la matriz transpuesta de
55- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método matricial 2
56- Si
Hallar: a) [ ]
b) [ ]
57- Resolver la ecuación:
58- Aplicando las propiedades de los logaritmos, calcular el valor de
59- Sean las progresiones crecientes:
2
Hallar el valor de y el de
60- Definir: a) Matriz de orden
b) Factorial de un numero .
c) Expresión algebraica racional.
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61- En una carpintería fabrican sillas, mesas y armarios a razón de 350 piezas por mes. Las
horas de mano de obra y las planchas de madera que exige cada mueble se muestran en
la siguiente tabla:
Si se han trabajado 1050 horas y utilizado 625 planchas, calcular cuantas unidades de
cada mueble se han fabricado.
62- Dada la matriz: 0
1 y siendo
Hallar: a)
b)
63- Definir el dominio y el rango de la función
, para que exista la inversa.
64- Resolver la ecuación
65- Resolver:
0
1
[
]
[
]
66- Resolver la ecuación:
Verificar los valores de en la ecuación dada.
67- La suma de los términos extremos de una progresión aritmética de cuatro términos es
igual a 11 y el producto de los medios es igual a 24.
Escribir las progresiones posibles.
68- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método matricial
{
69- a) Determinar el dominio de la función √
b) Dada la función , hallar y .
SILLAS MESAS ARMARIOS
Horas por unidad 2 3 5
Planchas por unidad 1 2 3
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70- Resolver la ecuación:
71- La suma de los dos primeros términos de una progresión geométrica de seis términos es
igual a 9 y la suma de los dos últimos es 144.
Formar todas las progresiones posibles.
72- Un establecimiento de comidas elabora tres tipos de productos y con tres
ingredientes en las cantidades que refleja la tabla siguiente:
x y z
A 15 5 2
B 20 10 0
C 20 8 5
Si el costo de cada producto es gs 200, gs 2600 y gs 3150 respectivamente. Hallar el
costo unitario de cada ingrediente. Resolver el sistema de ecuaciones utilizando,
exclusivamente, determinantes.
73- Calcular el valor de e que resultan de multiplicar la matriz por su transpuesta, siendo
el producto la matriz .
[
] [
]
74- Resolver la ecuación, sin calcular logaritmo de números e indicando todos los pasos:
( )
(
)
75- Resolver la ecuación:
Verificar en la ecuación dada, el o los valores de obtenidos.
76- El primer término de una progresión aritmética de 15 términos es . La suma de los
cinco últimos términos es igual a 155. Formar la progresión.
77- En una progresión geométrica de seis términos, la suma de los términos que ocupan el
lugar impar es 1365 y la suma de los que ocupan el lugar par es 5460.
Hallar el primer término y la razón de la progresión.
78- Un país importa 210 vehículos mensualmente de las marcas al precio de U$ 12000,
U$ 15000 y U$ 20000, respectivamente. El total de la importación asciende a U$ 3.320.000
y de la marca se importa el 40% de la suma de las otras dos marcas. ¿Cuántos vehículos de
cada marca están en ese país?
OBS: Resolver el sistema de ecuaciones lineales formado, calculando la matriz inversa de
la matriz de los coeficientes de las incógnitas. Se recomienda operar con números
fraccionarios en todo el cálculo.
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79- Resolver las ecuaciones:
a)
b) (
)
80- Formar la equidiferencia continua determinada por los términos de la progresión
aritmética creciente que ocupan el lugar 29, 28 y 27, siendo su primer termino igual a 7
y la suma de sus primeros 40 términos igual a 4960.
81- Hallar la función cuadrática sabiendo que
Resolver el sistema de ecuaciones lineales formado, calculando la matriz inversa de los
coeficientes de las incógnitas. Se recomienda operar con números fraccionarios en todo el
cálculo.
82- Dadas las matrices y , hallar el valor de y el de para que se verifique .
[
] [
] 0
1
83- a) Dadas las funciones y , hallar [ ] y
[ ]
b) Hallar el dominio y el rango de la función √
84- Resolver la ecuación:
√
85- Dos términos consecutivos de una progresión aritmética creciente son 56 y 106. Dos
términos consecutivos de una progresión geométrica creciente son 16 y 32. Los términos
que ocupan el sexto lugar en ambas progresiones son iguales. La diferencia entre el cuarto
término de la progresión aritmética y el cuarto término de la progresión geométrica es 92.
Hallar el primer término de cada una de las progresiones.
86- Dadas las matrices y , determinar la matriz para que se verifique que
[
] [ ]
87- a) Sin usar los logaritmos de los números, resolver la siguiente ecuación:
b) Resolver la siguiente ecuación, verificando las raíces de la ecuación:
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88- a) Determinar el dominio de la función
b) Determinar el dominio y el rango de la función:
89- Hallar el enésimo término de un P.A., sabiendo que la suma de los 40 primeros términos
es 430 y que la suma de los 60 primeros términos es 945.