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MATEMÁTICA I ALGEBRA TOMO I ING. RAÚL MARTÍNEZ

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MATEMÁTICA I ALGEBRA TOMO I

ING. RAÚL MARTÍNEZ

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 1

PROLOGO

Este trabajo fue elaborado específicamente para el programa de ingreso MATEMATICA I de la

FIUNA, no contiene la materia básica, es por eso se recomienda leerlo conjuntamente o

posteriormente al libro de Baldor u otro análogo.

El principal objetivo de este escrito es que la facultad de Ingeniería, sea más accesible a la

gran mayoría de los bachilleres y que deje de ser una opción favorable a una elite que puede

solventar los cursillos particulares.

De esta manera el autor está rindiendo tributo a la facultad en donde adquirió sus

conocimientos matemáticos.

Con este trabajo el autor quiere homenajear al EX DECANO de la facultad de Ingeniería UNA.

Ingeniero........ PALEARI, último bastión y baluarte (En la universidad) de resistencia al

oscurantismo que asoló a nuestro país, haciendo votos para que en breve vuelvan a trinar

“Los ruiseñores” (Grupo Vocal DOS) en esta facultad.

Todo indica que el Paraguay como el ave FENIX, está renaciendo de las cenizas y es en la

universidad que serán pulidas sus alas para adentrarnos en el tercer milenio, y de esta

juventud serán escogidos los artesanos artífices.

Cirino Raúl Martínez Princigalli

ING. DE MINAS.

(U.F.M.G.)

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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 2

TOMO I

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE FRACCIONES ALGEBRAICAS

POTENCIACION-RADICACION-EXPONENTE FRACCIONARIO

ECUACIONES

CANTIDADES IMAGINARIAS-NUMEROS COMPLEJOS

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO A UNA INCOGNITA

ECUACI8ONES IRRACIONALES

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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 3

CAPITULO 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expressiones algebraicas y transcendentes

Expresiones racionales e irracionales

Expresiones enteras y fraccionarias

Expresiones de una y de mas de una variable

Termino algebraico

Monomios y polinomios

Grado de las expresiones algebraicas

Expresion general de un polinomio

Nociones de funciones

Ejercicios propuestos

CAPITULO 2 POLINOMIOS IDENTICOS

Polinomios idénticos

Polinomios idénticamente nulos

Aplicaciones de los polinomios idénticos: Metodo de los coeficientes a determinar

Metodo de Descartes – Ejercicios

CAPITULO 3 DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR BINOMIOS

Generalidades

Teorema del resto ( Teorema de D Alembert )

Formacion del cociente en base al esquema de Ruffini Briot ( o Horner )

Teoremas de divisibilidad de polinomios por binomios

Aplicaciones practicas de la divisibilidad de polinomios por binomios

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos sobre fracciones algebraicas

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Cursillo π Ing. Raúl Martínez 4

capitulo 4 potenciacion - radicación - exponente fraccionario

Generalidades

Propiedades

Racionalizante de una expresión irracional ( 3 casos )

Ejercicios propuestos

CAPITULO 5 ECUACIONES

Igualdad – Clasificacion

Clasificacion de las ecuaciones

Resolucion de una ecuación – Principios

Ecuacion de primer grado o lineal con una incognita

Ejercicos propuestos

Sistemas de ecuaciones – Clasificacion

Resolucion y transformación de los sistemas de ecuaciones : Principios

Ejercicios propuestos

Sistemas de ecuaciones lineales resueltos por artificios

Ejercicios propuestos

CAPITULO 6 CANTIDADES IMAGINARIAS - NUMEROS COMPLEJOS

Generalidades

Operaciones con los números imaginarios puros – Ejercicios

Numeros complejos – Forma binomica o algebraica

Operaciones con números complejos – Ejercicios

Forma trigonométrica de un numero complejo

Modulo o argumento de un numero complejo – Ejercicios

Operaciones con números complejos en la forma trigonométrica – Ejercicios

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CAPITULO 7 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO A UNA INCOGNITA

Ecuacion general y ecuaciones incompletas

Resolucion de la ecuación de segundo grado : Metodo de Bhaskara

Propiedades de las raíces y aplicaciones

Transformadas de una ecuación de segundo grado

Ecuaciones con raíces comunes

Descomposicion en factores del trinomio de segundo grado

Ejercicios propuestos

Ecuaciones bicuadradas

Descomposicion en factores del trinomio bicuadrado

Ejercicios propuestos

CAPITULO 8 ECUACIONES IRRACIONALES

Generalidades

Racionalizacion por potenciación : 6 Tipos

Racionalizacion por incognitas auxiliares : 5 Tipos

Sistemas de ecuaciones irracionales

Ejercicios propuestos

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Expresiones Algebraicas

Es el conjunto de números y letras que están relacionados entre sí por medio de

operaciones de: suma, resta multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación

Ejemplos:

√ ; √

;

Clasificación: existen varios criterios para clasificar las expresiones algebraicas.

Expresiones Algebraicas propiamente dicha y Expresiones Transcendentes

Expresiones algebraicas propiamente dichas: son las expresiones en que

la parte literal están sometidos únicamente a operaciones de suma, resta,

multiplicación, división, potenciación y radicación, no incluyendo las

potencias de exponente literal ni las raíces de índice literal. Ejemplo:

; √

Expresiones Transcendentales: son las expresiones en que además de las

operaciones anteriores, también figuran potencias con exponente literal,

radicales con índices literales, logaritmos y funciones trigonométricas.

Ejemplo:

; √

Expresiones Racionales e irracionales:

Expresiones racionales: son los que no contienen letras o parte literal bajo

el signo radical o con exponente fraccionario.

Ejemplo:

; √ ;

Expresiones irracionales: son las expresiones en que la parte literal está

bajo el signo radical o tiene exponente fraccionario.

Ejemplo: √ ; √ +b ;

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Expresiones enteras y fraccionarias:

Expresiones enteras: son las expresiones que no contienen parte literal en

el denominador ni parte literal con exponente negativo.

Ejemplo: – ;

;

Expresiones fraccionarias: son las expresiones en que la parte literal esta en

el denominador o tienen exponente negativo.

Ejemplo:

;

;

Observación: Estas clasificaciones pueden decir respecto a una sola letra, a varios o a todas las letras. En caso de que una determinada clasificación sea relativa a una letra es necesario decirlo o

expresarlo y cuando fuere para todas las letras que figuran en la expresión se puede omitir

expresarlo.

Ejemplos: √

………………{

Pero si lo consideramos con respecto a todas las letras es una expresión transcendente,

irracional y fraccionaria.

Expresiones de una variable y de más de una variable

Expresiones de una variable: cuando la parte literal consta de una sola letra o

variable.

Ejemplo: ; √ ;

son expresiones de una sola variable.

OBS: algunas veces hacemos una ressalva; con respecto a otras letras

por ejemplo: Siendo y constante la expresión.

……………..……representa una expresión a una variable .

Expresiones de dos o más variables: es cuando la parte literal de una expresión

consta de dos o más letras o variables:

Ejemplo: …………………………Expresión de 2 variables.

………………..Expresión de 3 variables.

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Término Algebraico

Es la parte fundamental o elemento constitutivo de las expresiones algebraicas y es el

conjunto de números y letras relacionados entre sí por cualquier operación aritmética menos

la suma y resta.

El término consta de tres partes: signo, coeficiente y parte literal

Ejemplo: ; √

Monomios e Polinomios:

Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término.

Polinomio: es la expresión algebraica constituida por dos o más términos

cuando queremos especificar el número de términos podemos llamarlo

binomio; trinomio etc. o también simplemente polinomio.

Grado de las expresiones algebraicas: nuevamente el grado de una expresión

algebraica puede ser relativa a una letra, varias letras o a todas las letras.

Grado de un monomio: el grado de un monomio con respecto a una letra es

el exponente de dicha letra.

El grado de un monomio en relación a un conjunto de letras es la suma de

los exponentes de dichas letras.

Cuando no se dice con respecto a que letra entiéndase con respecto a todos

y en este caso es la suma de todos los exponentes.

Ejemplo: ………………………… 6

OBS: cuando el monomio es fraccionario el grado estará dado por la diferencia entre el grado

del numerador y el grado del denominador.

Ejemplo:

………………………………………………….. es un monomio de 3° grado

Cuando el monomio es irracional: es solo transformar las letras bajo el signo radical con exponente fraccionario y se aplica el mismo principio

Ejemplo: √ …………………………………………………………….Es un monomio de grado

…………………………………………………………Es un monomio de grado

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EXPRESIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO

La expresión general de un polinomio en la variable , es un polinomio en que tanto los

coeficientes y los exponentes son representados en forma literal, exigiendo un determinado

orden. La representación más utilizada es:

Las letras en mayusculas con los subíndices, representan los coeficientes, siendo un

número entero y positivo, este polinomio representa un polinomio entero y racional en .

Observar que en todos los términos, la suma de los subíndices del coeficiente y

exponente de la variable es igual a .

También es conveniente observar que si el polinomio es completo el número de

término será términos, es decir el grado del polinomio más uno.

Es común también referirse a un polinomio en como:

La expresión general del polinomio es de mucha utilidad, pues podemos referirnos a

cualquier término, coeficiente o variable fácilmente.

Ejemplo 1: Si tenemos un polinomio de 12 grados, es decir .

El coeficiente del octavo termino será , y la variable será (Termino central).

El polinomio tendrá en total 13 términos (Si fuera completo).

El último término, es decir el término independiente de será .

El termino que ocupa el décimo lugar será

Ejemplo 2: Escribir la expresión general de un polinomio utilizando en los coeficientes la letra

“ ” y en el exponente “ ” y la variable “ ”.

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Ejemplo 3: Cuando escribimos un polinomio.

…………………………………………………….En este polinomio.

los términos desde hasta inclusive, no existen, es decir son cero y podríamos

representar también el mismo polinomio de la forma:

El número de términos de este polinomio completo será términos.

Ejemplo 4: Cuando escribimos un polinomio de la siguiente forma:

Con esta expresión queremos indicar que los coeficientes de , hasta el coeficiente de

inclusive es uno.

Este polinomio es un polinomio completo y tendrá términos.

Supongamos que , entonces el termino que ocupa el lugar 12 será: .

Obs.: Existen otras formas de representar un polinomio general en , como:

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Nociones de funciones

Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver problemas técnicos y, por

consiguiente matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en

dependencia a la variación de otra.

Al estudiar el movimiento , el espacio recorrido es una variable que depende del

tiempo que duró el movimiento. De este modo el espacio recorrido es función del

tiempo…..…. .

En este caso, la variable independiente, libre o argumento es el tiempo , y la variable

dependiente o subordinada es el espacio .

Al estudiar el área o el perímetro de un cuadrado, tenemos que ambas variables son

dependientes de la medida de lado que sería en este caso la variable independiente,

y tendremos

Con estos símbolos queremos indicar que las

variables de área y perímetro, ambas variables dependientes de una única

variable independiente, el lado ; pero por medio de diferentes operaciones

algebraicas, es decir:

Así para representar varias expresiones diferentes con una misma variable , podemos

expresar con los símbolos.

….

…….

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1- Calcular el valor numérico de:

a)

Rta.: 1.814.400

b) {

Rta.: 81

c) Rta.: 0

d) Rta.: 0

e) Rta.:

f) Rta.: 1

g) Rta.:

h) Rta.: 0

I) Rta.: 8

j)

Rta.:

k) Rta.:

l) Rta.:

2- Representar en forma general un polinomio en , siendo el mayor exponente un número

par y su coeficiente .

3- Representar en forma general un polinomio , de grado impar, siendo el coeficiente del

término de mayor grado

4- Siendo un polinomio entero y racional en , y siendo el mayor grado de la variable igual a 10

Escribir el término central.

Escribir el penúltimo termino.

Escribir el termino que ocupa el 5 lugar.

5- En un polinomio completo, entero y racional en , de grado .

Cual es el número de términos de este polinomio.

Escribir la parte literal de 5º término.

6- Representar en forma general, dos polinomios enteros y racionales y completos en , de

grados .

En uno utilizar en los coeficientes la letra y en el otro .

Representar la suma de dichos polinomios.

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POLINOMIOS IDÉNTICOS - Generalidades

Cuando resolvemos una ecuación, buscamos las raíces, es decir los valores de la

variable independiente que hacen verdadera la expresión algebraica.

Si la ecuación es de 1º grado tendrá una raíz, si fuere de de 2º grado tendrá dos raíces,

y en general, si es de grado, tendrá raíces.

Al sustituir los valores de estas raíces en la expresión algebraica, tendremos siempre

una igualdad entre el 1º miembro y el 2º miembro de la ecuación, y esta igualdad se

verificara únicamente para las raíces de dicha ecuación.

Por otra parte es frecuente encontrar expresiones algebraicas en que el 1º miembro es

siempre igual al 2º miembro, independientemente del valor atribuido a la variable.

Para una mejor comprensión analizaremos el ejemplo:

Sabemos por aritmética que en una división entera o inexacta, siempre se cumple que el

dividendo (D) es igual al divisor por el cociente más el resto, es decir

Luego aplicando dicho principio o ley matemática podemos escribir.

Esta expresión siempre será verdadera para cualquier valor atribuido a la variable, entonces

decimos que estas dos expresiones son idénticas.

{

𝐷 𝑑 ∙ 𝑐 𝑟

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Polinomios idénticos. Definición

Dos polinomios son idénticos entre si cuando sus valores numéricos son iguales para

todos los valores atribuidos a la variable. (Consideraremos solamente los polinomios a una

variable)

Las condiciones para que dos polinomios racionales y enteros sean idénticos entre si en

relación a una variable son:

Sean del mismo grado.

Los coeficientes de las potencias del mismo grado de la variable sean iguales.

Sean los polinomios idénticos 2

Para que estos polinomios sean idénticos deben cumplir la 1º condición: que sean del mismo grado, es decir debemos completar el 2º polinomio.

La relación de identidad es:

La segunda condición requiere:

{

Obs.: Para verificar una identidad, basta efectuar las operaciones indicadas en los dos

miembros y comparar los resultados, si fueren iguales termino a término, la identidad es

verdadera.

Se acostumbra también transformar uno de los miembros hasta obtener el otro.

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Ejemplos:

1- Determinar los valores de , que verifican la identidad.

Aplicando la condición de identidad de dos polinomios, tendremos

{

{

2- Determinar en la siguiente identidad:

Efectuando los productos indicados y factoreando los términos del mismo grado de x,

tendremos:

Aplicando las condiciones de identidad de dos polinomios tendremos:

{

{

Resolviendo el

Sistema tendremos

Que resolviendo el

sistema

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POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

Generalidades: Aplicando el concepto de polinomios idénticos entre sí, podemos decir que

un polinomio es idénticamente nulo cuando es idéntico al polinomio del mismo grado cuyos

coeficientes son iguales a cero. Es decir:

El polinomio

es idénticamente nulo si:

Definición: Un polinomio es idénticamente nulo cuando su valor numérico es nulo para todos

y cualquier valor atribuido a la variable o a las variables.

La condición para que un polinomio entero y racional sea idénticamente nulo en relación a una variable, es necesario y suficiente que los coeficientes de todas las potencias de la variable que figuran en el polinomio, inclusive el de la potencia cero, sean nulos. Sea el polinomio

La condición para que este polinomio sea idénticamente nulo es que:

{

{

Ejemplo 1: Determinar los valores de los parámetros y , de forma que el polinomio

sea idénticamente nulo.

Por la condición, para que el polinomio sea idénticamente nulo tendremos:

{

{

Resolviendo el sistema

tendremos

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Ejemplo 2: Determinar los valores de que verifiquen la identidad

Aplicando la condición para que sea idénticamente nulo tendremos:

{

Resolviendo el sistema con las 3 primeras ecuaciones tendremos: {

El valor no satisface la 4º ecuación, por tanto dicho polinomio no puede ser

idénticamente nulo.

Ejemplo 3: Determinar los valores de para los cuales:

Aplicando la condición tendremos

{

Resolviendo el sistema tendremos {

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Aplicaciones de los polinomios idénticos

Los polinomios idénticos tienen muchas aplicaciones en algebra y calculo, nosotros

mostraremos algunos de los más utilizados con algunos ejemplos.

Antes de adentrarnos en los procesos vamos a recordar someramente algunos conceptos

básicos del algebra.

En una división exacta de polinomios. ∙

En una división entera o inexacta de polinomios se cumple la siguiente relación

El grado del cociente en una división de polinomios es la diferencia entre el grado del

dividendo y el grado del divisor.

El grado del resto de una división entre polinomios, cuando la división es inexacta es un

grado menor que el grado del divisor.

El numero de términos de un polinomio completo de grado es términos.

Decimos que una fracción algebraica es propia cuando el grado del numerador es

menor que el grado del denominador.

Una división inexacta también puede ser representada por la expresión

𝐷 𝑑 ∙ 𝑐 𝑟

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Método de los coeficientes a determinar o método de Descartes.

Este método utilizamos cuando queremos determinar un polinomio que cumpla con

determinadas condiciones.

Formamos dicho polinomio con coeficientes literales a determinar, utilizando las

condiciones exigidas por el problema, obtenemos polinomios idénticos y de esta forma

determinamos los coeficientes literales.

Ejemplo 1. Hallar el cociente y el resto de la división de por

sin efectuar la división.

El grado del cociente será de 1º grado…………………………………………………....…………….. .

El resto de la división será lo máximo: 2º grado ……………………………………………….

Utilizando la ecuación ∙ ………………………………..…formamos la identidad.

Efectuando los productos indicados y reagrupando los términos del mismo grado en ,

tendremos:

Aplicando la condición de identidad de dos polinomios tendremos

{

[

Luego 2

Resolviendo el

sistema

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ALGEBRA

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Ejemplo 2: Hallar los valores de que tornan el polinomio

divisible por , y determinar el

cociente.

El cociente será de 1º grado………

Luego tendremos:

Aplicando las condiciones de identidad:

{

[

El cociente es:

Ejemplo 3: Deducir las condiciones para que la expresión:

sea independiente de .

Que dicha expresión sea independiente de quiere decir que el cociente será un

número (Escalar) independiente de y no habrá resto.

Es decir,

……………………….……………..Siendo una constante.

Por la condición de identidad tendremos

8

Eliminando el escalar de estas ecuaciones tendremos

que es la condición pedida, es decir que los coeficientes de las potencias iguales sean proporcionales.

Resolviendo el

sistema

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Ejemplo 4: Deducir la condición para que sea un trinomio cuadrado perfecto.

El trinomio solo podrá ser cuadrado de un binomio de la forma

Luego…………..

Por la condición de identidad tendremos: 6

Elevando al cuadrado la ( 2 ) tendremos: …………………………. ( 4 ) ( 1 ) y ( 3 ) en ( 4 ) ………………………………. Que es la condición pedida; mas adelante veremos que esta expresión es denominada discriminante de la ecuación de 2° grado.

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

7- Verificar la identidad atribuida a Lagrange.

8- Determinar los valores de para los cuales el polinomio Es idéntico a cero.

Rta.: {

9- Verificar si el polinomio puede ser idéntico al polinomio

Rta.:

10- Determinar en la identidad

Rta.: {

11- Determinar por el método de Descartes el cociente y el resto de las divisiones.

a) por

b) por

Rta.: a) {

b) {

12- Utilizando el concepto de polinomios idénticos, determinar y de forma que sea divisible por .

Rta.: 2

13- Determinar por el método de Descartes y , de modo que el resto de la división

del polinomio por sea .

Rta.: {

14- Hallar los valores de para los cuales la expresión

es independiente de .

Rta.: {

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15- Verificar las identidades

a)

b) 0

1

c) ( √ ) √

d)

e) (

*

(

)

f)

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APLICACIÓN DE POLINOMIOS IDÉNTICOS EN LA DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES

RACIONALES

Las fracciones racionales a descomponer en una suma algebraica de fracciones más

simples, son las que tienen por denominador un polinomio racional y entero de una variable y

por numerador un polinomio de la misma naturaleza mas de grado menor que el

denominador, es decir una fracción propia.

Para hacer la descomposición, es necesario descomponer el denominador en sus factores primos,

los cuales deberán ser de primer grado o de segundo grado, pudiendo ser repetidos o no.

Designando por el polinomio numerador y el polinomio denominador.

Dependiendo de los factores del denominador se pueden presentar 4 casos.

1º Caso: Cuando el denominador consta de factores simples de 1º grado sin repetición

En este caso formaremos la siguiente identidad.

2º Caso: Cuando el denominador consta de factores simples de 1º grado con repetición.

En este caso la correspondiente identidad será:

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3º Caso: Cuando el denominador contiene factores simples de 2º grado sin repetición.

En este caso la identidad será:

4º Caso: Cuando el denominador de la fracción contiene factores de segundo grado repetidos.

En este caso la identidad será:

Obs.: En los 4 casos el numerador de cada fracción siempre es de 1 grado menor que el factor

simple del denominador.

También podemos tener una mezcla de dos o más casos en un mismo ejercicio, por ejemplo:

A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de los 4 casos

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Ejemplo 1: Descomponer en fracciones simples

Factoreando el denominador

Luego formamos la identidad:

Como los denominadores son iguales podemos escribir:

Por condición de identidad de polinomios tendremos:

8

……………. Resolviendo el sistema tendremos: {

Por tanto tendremos:

( )

( )

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Ejemplo 2: Descomponer en fracciones simples

Factoreando el denominador:

tendremos:

– ( – )

{

{

Luego:

Resolviendo el Sistema

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Ejemplo 3: Descomponer la fracción

{

{

Luego:

Resolviendo el Sistema

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ALGEBRA

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Ejemplo 4: Descomponer en fracciones simples:

( )

Efectuando las operaciones indicadas en el 2º miembro, agrupando términos semejantes e

igualando los numeradores de esta última expresión, tendremos:

Aplicando las condiciones de identidad:

{

{

Luego tendremos:

Veamos a continuación un ejemplo cuando el grado del numerador es mayor o igual al grado

del numerador.

Resolviendo el Sistema

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𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥

Ejemplo 5: Descomponer en fracciones

Aplicando la formula ∙

…………. ( 1 )

Ahora procedemos con la fracción

Factoreando el denominador:

Ahora formamos la identidad

( – )

……………..(2)

Luego{

{

Luego la ecuación (2) será:

Llevando esta expresión en la identidad (1) tendremos:

Resolviendo

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ALGEBRA

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Ejercicios propuestos:

9 - Descomponer en fracciones parciales:

a)

Rta.:

b)

Rta.:

c)

Rta.:

d)

Rta.:

( )

e)

Rta.:

f)

Rta.:

( )

( )

g)

( ) Rta.:

h)

Rta.:

i)

Rta.:

j)

( ) Rta.:

k)

( ) Rta.:

l)

( ) Rta.:

( )

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 32

10- Expresar las siguientes fracciones en forma entera o mixta con fracciones simples:

a)

Rta.:

b)

Rta.:

c)

Rta.:

d)

Rta.:

e)

Rta.:

( )

f)

Rta.:

g)

Rta.:

h)

Rta.:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 33

DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR BINOMIOS: y .

Generalidades: En este capítulo estudiaremos las reglas para encontrar de una manera fácil y

rápida el resto y el cociente de un polinomio racional y entero en , por binomios de la forma

y , es decir por binomios de 1º grado.

También estudiaremos la divisibilidad de polinomios por productos de binomios de 1ºgrado.

Existen varios métodos y procesos para efectuar estas divisiones:

División convencional de un polinomio por otro polinomio.

División por medio de los coeficientes.

Método de los coeficientes a determinar o método de Descartes, utilizando el concepto

de polinomios idénticos.

Existen otros varios métodos para la determinación del resto y del cociente de estas

divisiones.

En este capítulo abordaremos el teorema del resto, la ley de formación del cociente y algunos

teoremas de divisibilidad.

Antes de adentrarnos en el asunto es conveniente abordar algunos conceptos preliminares.

Polinomio: Es una expresión algebraica de varios términos, es por tanto una suma algebraica

de monomios.

El grado del polinomio es el mayor grado entre los términos de dicho polinomio (Es decir, el

termino con mayor exponente de la variable considerada).

La expresión general de un polinomio en es:

Para representarlo gráficamente en un sistema cartesiano ortogonal damos valores a como

abscisas, y su correspondiente valor de como ordenada.

Polinomio entero: Es el polinomio en que la variable considerada no figura en el denominador

o no tiene exponente negativo. (Es decir, todos sus términos son expresiones enteras).

Polinomio Racional: Es el polinomio en que la variable considerada no figura bajo el signo

radical o con exponente fraccionario. (Es decir sus términos son expresiones racionales).

Polinomio completo: Un polinomio es completo con respecto a una variable cuando contiene

todas las potencias enteras inferiores al grado del polinomio, inclusive la potencia cero.

(Termino independiente).

Obs.: Completar un polinomio quiere decir colocar los términos faltantes con coeficiente cero.

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En los ejercicios de aplicación utilizaremos algunos conceptos básicos.

División exacta: Es la división en que el resto es igual a cero, y se lo

representa:

………………… ∙ ……………………………… {

División entera o inexacta: Es la división en que el resto no es igual a cero y se

lo representa:

{

Obs.: Estas expresiones son leyes de la división instituidas en aritmética, pero totalmente

validas en algebra.

* Si el polinomio dividendo es de grado , y el polinomio divisor es de grado ,

entonces el cociente será de grado – .

** El resto en una división algebraica, será siempre un grado menor que el grado del

divisor.

*** Un polinomio de grado y completo en relación a , tendrá términos.

- En los ejercicios de aplicación utilizaremos también el concepto de polinomios idénticos.

(Ver capitulo referente).

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 35

TEOREMA DEL RESTO o Teorema de D`Alembert.

1º Caso: El resto de dividir un polinomio entero y racional en , por un binomio de la forma , es el valor numérico que toma el polinomio para

H) Sea el polinomio dividendo, entero y racional en .

Sea el divisor de 1º grado y el resto de la división.

T)

D) Sea el cociente de la división, que será un polinomio de la misma naturaleza

que el dividendo, pero de un grado menor porque el divisor es de 1º grado.

El resto será independiente de la variable , porque el resto es un grado menor que

el divisor.

Entonces por definición de división inexacta tendremos:

………………………………………………….(1)

Esta expresión algebraica representa una identidad y podemos dar cualquier valor a la

variable .

Haciendo en la identidad (1) tendremos:

Siendo

Será: ………………………… que es la tesis.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 36

2º Caso: El resto de dividir un polinomio entero y racional en , por un binomio de la forma

, es el valor numérico que toma el dividendo para

.

H) Sea el polinomio dividendo, entero y racional en .

Sea el divisor y el resto de la división.

T) (

)

D) Sea el cociente de la división, que será un polinomio de la misma naturaleza

que el dividendo, pero 1 grado menor pues el divisor es de 1º grado.

El resto será independiente de por el mismo motivo.

Por definición de división inexacta tenemos la identidad:

Dando a la variable el valor de ( ) en (1) tendremos:

(

) * (

) + (

)

Pero * (

) +

Luego (

) ………………………….que es la tesis.

Consecuencias:

1- Para determinar el resto de la división de un polinomio racional y entero en , por un binomio de la forma se sustituye en dicho polinomio dividendo la por el segundo término del divisor cambiado de signo.

2- Para determinar el resto de la división de un polinomio racional y entero en , por un binomio de la forma , se sustituye en el polinomio dividendo la por el segundo término del divisor con signo cambiado y dividido por el coeficiente del primer término.

Si (cero) es divisible por

Si (– ) (cero) es divisible por

Análogamente:

Si (

) (cero) es divisible por

Si (

) (cero) es divisible por

La reciproca de estas afirmaciones también son verdaderas y se los puede aplicar.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 37

EJEMPLOS:

1 - Determinar el resto de la división del polinomio por sin

efectuar la división.

2 - Sin efectuar la división verificar si el polinomio es divisible entre

.

( *

( )

(

)

(

)

Luego el polinomio es divisible por:

3 - Determinar los posibles valores de a para que el polinomio

sea divisible por el binomio .

Rta: 2

4 - Hallar en el polinomio , de tal modo que al dividirlo por

de resto .

5 - Determinar el resto de la división del polinomio por

[ ]

6 - Determinar el resto de la división del polinomio por

[ ]

Page 39: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 38

7 - Determinar el resto de la división de

por .

[ ]

8 - Determinar el resto de la división del polinomio

por

Sustituyendo en el polinomio la por

(

*

(

)

(

)

(

)

A continuación mostraremos 3 ejercicios que se resuelven por medio de artificios simples.

9 - Determinar el resto de la división del polinomio

por

Hacemos y sustituimos todos los contenidos en el dividendo, por . De

esta forma tendremos:

Y aplicando el teorema del resto tendremos:

Obs.: Una vez efectuada la sustitución, la variable si subsiste en el polinomio funciona

como coeficiente literal.

Page 40: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 39

10 - Determinar el resto de la división del polinomio

por .

Hacemos y sustituyendo en el dividendo y divisor tendremos:

Luego el resto es

11 - Determinar el resto de dividir el polinomio por

Haciendo y sustituyendo en el dividendo y divisor tendremos:

A continuación mostraremos unos ejercicios de aplicación del teorema del resto, utilizando

conceptos de polinomios idénticos y el método de Descartes (coeficientes a determinar).

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 40

12 - Sabiendo que el resto de dividir un polinomio entre es 4, que dividido por

da resto 1 y que dividido por da resto 9.

Hallar el resto de dividir dicho polinomio por el producto .

Sabemos que:

{

}

En base al teorema del resto.

El nuevo divisor en este caso será de 3º grado, entonces el resto de dividir el

polinomio por dicho divisor será un polinomio de 2º grado……..

Por definición de división inexacta ∙ y formamos la identidad.

En esta expresión representa el cociente de la división.

Por ser la expresión (1) una identidad será verdadera para cualquier valor atribuido a la

variable .

Luego daremos a valores para los cuales conocemos el valor de y que también

anulan el producto del divisor por el cociente.

…………………………………….

…………………………………………(1)

…………………………………….

…………………………..(2)

……………………………………..

………………………..(3)

Luego tendremos el sistema:

{

Que resolviendo tendremos ………….. {

Luego el resto ………………………………….

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 41

13 - Un polinomio dividido por da resto , el cociente de dicha división por

– , da un resto igual a 2. Se pide el resto de dividir entre .

Por definición de división inexacta tendremos la 1º identidad.

∙ ……………………………(1)

Aplicando nuevamente con la 2º condición del problema tendremos una 2º identidad.

…………………………..(2)

Siendo el primer cociente y el segundo cociente, llevando ( 2 ) en ( 1 )

tendremos:

[ ]

Luego

14 - El resto de dividir entre es 5 y el resto de dividir el cociente por

es . Hallar el resto de dividir entre

Formamos las identidades: ……………………………. ( 1 )

…………………………. ( 2 )

Llevando (2) en (1) tendremos:

* +

…………..…………… ( 3 )

Haciendo en esta identidad tendremos resto.

Luego

Entonces al dividir por el resto será

Page 43: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 42

FORMACION DEL COCIENTE EN BASE AL ESQUEMA DE RUFFINI- BRIOt (O HORNER)

La ley de formación de los coeficientes del cociente de la división de un polinomio entero y

racional en , por un binomio de la forma es conocida como regla de .

En la aplicación de la ley de formación del cociente, el polinomio dividendo deber ser

completo, y estar ordenado según las potencias decrecientes de la variable , de modo que si

el polinomio es incompleto es preciso completarlo.

El ultimo termino del dividendo no influye en la formación del cociente, de modo que al

cambiar el valor de , el cociente no se modifica, solamente el resto.

La ley de formación del cociente también puede ser deducida de la aplicación convencional de

la división de polinomios.

Nosotros no deduciremos esta ley de formación del cociente pero analizaremos algunos

ejemplos.

1º Caso: Cuando el divisor es un binomio de la forma

Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de

por

La primera cosa a hacer es completar y ordenar el polinomio

Luego montamos 7 casilleros (grado del polinomio )

El cociente será

Si quisiéramos expresar el polinomio como factores tendremos:

Esto lo hacemos aplicando la ley de la división ∙

Es importante saber que la división también podría ser hecha en la forma convencional.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 43

2º Ejemplo:

Determinar el cociente y el resto de la división de por

[ ]

1 0

1 0

Cociente:

Resto: 0

3º Ejemplo:

Determinar el cociente y el resto de la división de:

Desarrollando el dividendo y ordenando con respecto a la variable “ “ tendremos:

[ ]

Cociente:

Resto:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 44

4º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de por

[ ]

1 0 0

1 c

Cociente:

Resto:

Obs.: En este caso consideramos la variable por conveniencia, pero saldría el mismo

resultado si consideráramos como variable a la letra a, aunque el proceso será más

dispendioso.

5º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de

por

…………………

1 4 4 0 … … … 0 1 3 0

0 0 4

1 0 0 … … .0. 0 1 1 0

Cociente:

Resto:

Page 46: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 45

2º Caso: Cuando el divisor es un binomio de la forma

En este caso se divide el divisor por el coeficiente del 1° termino de

dicho divisor: y tendremos como nuevo divisor:

, y procedemos como

en el caso anterior con la siguiente “advertencia”.

Al dividir el divisor por un número, el cociente quedará multiplicado por ese mismo

número, luego será necesario que para obtener el cociente real, dividamos el

cociente obtenido por .

El resto no sufre alteración.

Ilustraremos el método con algunos ejemplos.

1º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de

por .

Efectuaremos la divición ( )

2

3

Cociente obtenido:

Cociente real:

Resto:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 46

2º Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de

Luego tendremos que efectuar

6 5 3a 3 4a

8 2a 4 3a 12 4a

6 3 2a 9 3a 15 4a

Cociente provisorio: 3

Cociente real:

Resto:

Obs.: Dividiendo el dividendo y el divisor por el coeficiente del 1º termino del divisor , el cociente no se altera y el resto queda dividido por ese número, por tanto cuando el resto es diferente de cero debemos multiplicar por .

Para ilustrar este proceso, lo utilizamos en el ejemplo anterior:

- Determinar el cociente y el resto de la división de:

Luego tendremos que efectuar:

2

4

Cociente Real:

Resto provisorio:

Resto Real:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 47

Ejemplo 3: Determinar el cociente y el resto de la división de:

por

Luego tendremos:

Cociente: Resto:

Obs.: En este ejercicio podríamos hacer una sustitución provisoria

y tendríamos:

Aquí emplearíamos el método normal y luego haríamos nuevamente la sustitución

para presentar el resultado.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 48

CASOS ESPECIALES DE LA DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL EN X POR UN

BINOMIO DE LA FORMA

1º Caso: División de polinomio por el binomio .

En base al teorema del resto para .

Obs.: Para hallar el cociente podríamos aplicar el método de Ruffini, completando previamente el polinomio dividendo.

Dejamos a cargo del alumno esta práctica.

2º Caso: División del polinomio por el binomio .

Aplicando el teorema del resto, haciendo en el polinomio.

…………… {

Luego : es divisible por cuando .

3º Caso: División del polinomio por el binomio .

Aplicando el teorema del resto, haciendo en el polinomio

…………… {

Luego es divisible por cuando

Luego 𝑥𝑛 𝑎𝑛 siempre será

divisible por 𝑥 𝑎 para 𝑛

par o impar

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 49

4º Caso: División del polinomio entre el binomio .

Aplicando el teorema del resto, haciendo en el polinomio.

Luego : nunca será divisible por el binomio

5º Caso: Cuando el exponente del polinomio dividendo es múltiplo del exponente divisor.

La división del polinomio por el binomio de la forma .

En este caso haremos una sustitución provisoria. 2

De esta forma la expresión original se transforma en:

De esta forma encajamos nuevamente en los casos anteriores y no debemos olvidar

de presentar el resultado con las variables originales, haciendo nuevamente la

sustitución inversa.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 50

Productos notables deducidos de estos casos analizados:

……. Y así sucesivamente.

Ejemplos:

1-

2-

3- Calcular la expresión que se debe multiplicar por para obtenerse .

Sea dicha expresión, luego: ∙

4- Calcular la expresión que debe ser multiplicada por √

para

obtenerse:

Sea dicha expresión……. ∙ ( √

)

( √

* ( √ )

( √

* ( √ ) (√

)

( √

) ( √ ) ( √

)

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 51

TEOREMA DE DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR BINOMIOS.

Estos teoremas son de fácil demostración, en este folleto lo enunciamos y explicaremos su significado.

TEOREMA 1: Cuando un polinomio racional y entero en , es divisible separadamente por dos

o más binomios de primer grado en , será divisible por el producto de estos

binomios.

H) Sea un polinomio entero y racional en

es divisible por

es divisible por

es divisible por

T) será divisible por el producto

Es decir,

( ) …………………..

OBS: El teorema similar de aritmética es: “ Si un N° es divisible por dos N° primos relativos,

será divisible por su producto”.

Teorema reciproco: Cuando un polinomio racional y entero en es divisible por el producto

de dos o más binomios de primer grado en , será divisible

separadamente por dichos factores.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 52

TEOREMA 2: Cuando un polinomio racional y entero en , y los respectivos cocientes al dividirlo por , se anulan veces, para , entonces dicho polinomio es divisible por .

H) Sea un polinomio racional y entero en .

……………………………………………………….Primera vez

…………………………………………………….…Segunda vez

………………………………………………………Tercera vez

.……………………………….. Enesima vez

T)

1° Teorema reciproco: Si es la mayor potencia de que divide , el

cociente de la división de por no será divisible por

es decir no se anula para .

2° Teorema reciproco: Cuando el cociente de la división de por , no es

divisible por , es decir no se anula para , entonces

será la mayor potencia de que divide

TEOREMA 3: Cuando un polinomio racional y entero en , es divisible separadamente por

y por , será divisible por su producto

.

H) Sea un polinomio racional y entero en .

es divisible por –

es divisible por

T) será divisible por – – .

Page 54: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 53

TEOREMA 4: Cuando un polinomio racional y entero en de grado , se anula para valores

distintos de , dicho polinomio será igual al coeficiente del 1º termino del

polinomio por los factores que se obtienen al restar de cada uno de los

valores.

H) Sea el polinomio

Este polinomio se anula para

T)

TEOREMA 5: Cuando un polinomio racional y entero en de n grado, se anula para más de

valores distintos de , dicho polinomio es idénticamente nulo.

TEOREMA 6: Cuando dos polinomios racionales y enteros en , de grado, tienen valores

numéricos iguales para más de valores distintos de , son idénticos entre sí.

Page 55: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 54

Ejemplo 1: Hallar el valor de m para que el polinomio sea

divisible por .

(– ) (

)

(– )

(– )

Luego el polinomio será y aplicando

Cociente Provisorio : Cociente real:

OBS: Este ejercicio también puede ser resuelto aplicando directamente

Resto:

Cociente:

Ejemplo 2: Determinar n de modo que el polinomio sea divisible

por .

Escribiendo de otra manera el divisor [ ] y aplicando el

teorema del resto tendremos:

Que resolviendo esta última ecuación tendremos:

El cociente ya obtuvimos en ejercicios anteriores.

Page 56: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 55

Ejemplo 3: Determinar y de modo que el polinomio sea divisible

por y hallar el cociente.

Para que sea divisible por tendrá que serlo por y por .

Luego aplicando el teorema del resto :

8

Luego tendremos: [

Resolviendo el sistema: …………………..… {

Y el polinomio dividendo será:

Para hallar el cociente , hacemos , de esta forma tendremos:

Y haciendo nuevamente la sustitución inversa, tendremos:

Cociente

Page 57: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 56

Ejemplo 4°: Determinar los valores de y para los cuales el polinomio

es divisible por el polinomio y formar el

cociente.

Luego para que el polinomio dividendo sea divisible por el producto de estos tres binomios

tendrá que serlo por cada uno en separado, aplicando a cada uno el teorema del resto

tendremos:

……………………….…

………………….……

Luego tendremos: [

Resolviendo el sistema: {

Tendremos el polinomio dividendo ………………… .

Para hallar el cociente debemos aplicar el metodo de sucesivamente para

y

Luego ……………………………. Cociente

Page 58: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 57

5º Ejemplo: Verificar si el polinomio es divisible

por y formar el cociente.

Luego el polinomio dado es divisible por el producto.

Desarrollando el polinomio y ordenando con respecto a la variable ; tendremos:

Aquí podemos observar a simple vista que es divisible por y el cociente

será:

– ( – )

Luego el polinomio original será:

En esta expresión ( 2 ) vemos que uno de los factores del divisor está con

signo cambiado; luego el cociente será :

La expresión ( 1 ) también se podría procesar de otra forma

Page 59: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 58

6º Ejemplo: Hallar la relación que debe existir entre y , diferentes de cero, para que

sea divisible por el cuadrado de un binomio.

Designemos por el binomio y determinemos el cociente del polinomio

por .

Este cociente se debe anular para

Luego tenemos el sistema ………………… 2

Eliminando de estas dos ecuaciones tendremos:

Que es la relación solicitada.

7º Ejemplo: Probar que es divisible por el

producto , cuando n es impar.

Aplicando el teorema del resto para tendremos

Esta expresión solo puede ser nula para impar.

Luego el polinomio dado solo será divisible por cuando n es un número impar.

Procediendo de forma análoga, también queda probado que el polinomio solo será

divisible por o cuando es un número impar.

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 59

8º Ejemplo: Mostrar que siendo n entero y positivo, la expresión

es divisible por .

Factoreando el divisor tendremos:

El factor .

Aplicando el teorema del resto para estos binomios tendremos

………….. …………………………………………...

………. ……

….. (

)

(

)

(–

) ……

Luego el polinomio dado será divisible por el producto de estos binomios, es decir por

para cualquier numero entero y positivo .

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 60

9° Ejemplo: Verificar si el polinomio :

, es divisible por , y

determinar la mayor potencia de que divide el polinomio y formar el

cociente de esta división.

– …………….………………………………………………………

………………… ………………….

…….... ……

Por el método de Ruffini ya podemos concluir que únicamente el polinomio y el primer cociente dan resto cero cuando divididos por , luego el polinomio será divisible por y el cociente correspondiente será:

…………………

También podríamos aplicar el teorema del resto al polinomio y a los sucesivos cocientes como ilustraremos a seguir.

……… …………

…………. –

………… ⏟

…..

Porque el polinomio de grado , tiene términos

De esta forma confirmamos el resultado anteriormente expuesto.

………

0

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 61

10º Ejemplo: Calcular los valores de y , para los cuales el polinomio

, es divisible por el producto de

Desarrollando y ordenando el polinomio tendremos:

Formamos el sistema de ecuaciones igualando a cero los restos

{

Que resolviendo el sistema tendremos : {

También podríamos utilizar otro procedimiento; obtenemos el primer cociente por medio de

en …………. ……………………………( 1 )

en ……... …..…..….( 2 )

en ……….. …………………..…….…( 3 )

Luego tendremos el sistema: {

Que resolviendo nos dará el mismo resultado obtenido por el otro proceso.

………………...

…………………

Page 63: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 62

ALGUNAS APLICACIONES PRACTICAS DE LA DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS POR

BINOMIOS DE LA FORMA

FACTOREO DE SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES UTILIZANDO LOS

PRODUCTOS NOTABLES ANALIZADOS.

Siendo un número impar tendremos

Asi tendremos:

Ejemplos:

1)

2)

3)

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 63

1- FACTOREO DE DIFERENCIA DE POTENCIAS PARES.

2

Así tendremos:

2

2

2

En general diferencias de potencias pares, se factoriza por el método diferencia de cuadrados, pudiendo utilizarse el proceso mostrado arriba en casos específicos que así lo requiera el ejercicio.

Luego:

Ejemplos:

( √ ) √

( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √

) ( √

)

(√ √ ) ( √ √ )

[ ] [ ]

Obs.: Este ejercicio se puede también resolver considerando un trinomio en la variable .

Page 65: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 64

A continuación analizaremos algunos casos especiales que desembocan en diferencia de

cuadrados.

- Casos especiales o artificios.

*

( √ ) ( √ )

*

( √ ) ( √ )

*

(√ )

( √ ) ( √ )

Ejemplos:

1- ( √ ) ( √ )

2- ( √ ) ( √ )

3- ( √ ) ( √ )

4-

5- ( √ ) ( √ )

6- ( √ ) ( √ )

7- ( √ ) ( √ )

Y así sucesivamente podemos aplicar estos tres casos particulares.

Page 66: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 65

Otros ejemplos:

8- Descomponer en 6 factores.

( √ ) √

( √ )( √ ) ( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ )

9- Descomponer en 7 factores: 89 xyx

( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )

10- Descomponer

Este ejercicio nos induce a pensar en el cuadrado de un trinomio, vamos a desenvolver dicho

trinomio para ver que se puede hacer.

Ahora transformaremos la expresión dada:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 66

FACTOREO DE POLINOMIOS RACIONALES Y ENTEROS EN X POR BINOMIOS

DE PRIMER GRADO

La teoría de divisibilidad de polinomios por binomios, nos permite montar un proceso para descomponer en sus factores primos dicho polinomio.

Sea el polinomio:

.

Los divisores binomios de 1º grado que este polinomio puede admitir son:

o , siendo y números enteros y primos entre sí.

Para que el polinomio sea divisible por un binomio de la forma o

“ES NECESARIO PERO NO SUFICIENTE “ que:…………………………… {

Siendo todos los divisores primos y compuestos de

Siendo , todos los divisores primos y compuestos de

En estas condiciones tendremos que todos los “posibles” divisores binomios de serán:

{

{

……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………….

{

Cuando los coeficientes del binomio no son primos entre si, debe ser factorizado y

eliminado.

La condición necesaria y suficiente para que sea divisible por un binomio de 1º grado es que al aplicar el teorema del resto el polinomio se anule.

A continuación ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.

Page 68: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 67

Ejemplo 1: Descomponer en sus factores primos el polinomio.

Los divisores de 2 son: 1 ; 2. Los divisores de 12 son: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

Luego los probables divisores del polinomio son: ; ; ; ; ; ; .

No consideramos los factores porque los coeficientes no son primos entre sí, y al factorizar el factor común tendremos: y estos factores binomios ya figuran entre los divisores.

Apliquemos el teorema del resto para ; ……………………..

Ahora debemos aplicar el método de para hallar el cociente.

. Luego tendremos:

……………………………

…………………………

………………………

…..(4)

Cuando llegamos a un cociente de 2º grado, se puede continuar con el mismo procedimiento, pero es más fácil factorizarlo por la forma convencional:

Luego el polinomio factorizado será:

Page 69: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 68

Ejemplo 2: Descomponer

Los probables divisores son:

……………………………

……………(1)

…………………………

…….(2)

………………

…….

…....(3)

Factorizando el trinomio Luego tendremos:

𝑥

…….. 𝑥

Page 70: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 69

3º Ejemplo: Descomponer

Los divisores probables son:

…..

) …….…………………. ( 1 )

………………..

…..

Como el trinomio no se puede factorizar, por tanto:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 70

Caso Especial: descomposición en factores de expresiones cíclicas.

Se dice que una expresión es cíclica, cuando al sustituir.

}

Ejemplos:

Existen varios procesos y artificios para factorizar estas expresiones, desde factor común por

agrupamiento o completando cuadrados o cubos de trinomios.

Nosotros ilustraremos aquí con ejemplos un proceso general para factorizar estas

expresiones.

Ejemplo 1: Descomponer en factores

Debemos investigar si la expresión es cíclica.

haciendo en la expresión…………….……….2

tendremos: ………que es la misma expresión original.

Luego la expresión dada es cíclica.

Verifiquemos si la expresión es divisible por – , aplicando el teorema del resto.

…………..

Luego esta expresión es divisible por , y por ser cíclica también será divisible por

y por .

Puesto que la expresión dada es de tercer grado no podrá contener otros factores literales,

pero podrá contener algún factor numérico.

Entonces formamos la identidad:

Siendo un numero no depende de los valores dados a las variables.

Luego hacemos

{

y tendremos:

– – –

Luego:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 71

Algunas veces estos ejercicios son fácilmente factorizables de otra forma, como por ejemplo

el ejercicio anterior.

Ordenando y agrupando con respecto a la variable tendremos:

…….……. (Trinomio 2º grado en .)

[ ]

O también podríamos

[ ]

También podríamos aplicar sucesivamente el teorema del resto a sus respectivos cocientes

por el método de .

En este ejercicio mostraremos diferentes caminos que podríamos adoptar, en general estos

ejercicios presentan esa particularidad.

Ejemplo 2: Descomponer en factores

verifiquemos si es divisible por .

Análogamente podemos verificar que será divisible por y

Luego podemos escribir la identidad

Siendo un numero a determinar, dando cualquier valor a las variables, por ejemplo:

tendremos.

Luego:

Page 73: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 72

EJERCICIOS PROPUESTOS:

11- Determinar el cociente y el resto de dividir los polinomios.

a) por

Rta.:

b) por

Rta.:

c) por

Rta.:

d)

por

Rta.:

e) por

Rta.:

f) por

Rta.:

g) por

Rta.:

h) por

Rta.:

i) por

Rta.:

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ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 73

12- Determinar el cociente y el resto de dividir los polinomios.

a) por

Rta.:

b) por

Rta.:

c) por

Rta.:

d)

por (

)

Rta.:

e) por

Rta.:

13- Demostrar que es divisible por y formar el cociente.

Rta.: ; Resto: 0

14- Verificar si es divisible por y determinar la más alta

potencia de que lo divide y formar el cociente.

Rta.:

Cociente:

15- Mostrar que es divisible por , pero no lo es por y formar el cociente.

Rta.: Cociente :

16- Verificar si es divisible por y

formar el cociente.

Rta.: Cociente :

17- Verificar si es divisible por y

formar el cociente.

Rta.: Cociente :

Page 75: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 74

18- Verificar si es divisible por y formar el cociente.

Rta.:

19- Verificar si es divisible por el producto y

formar el cociente.

Rta.: Cociente :

20- Determinar m de modo que sea divisible

por y formar el cociente.

Rta.:

Cociente : 21- Determinar m y n de forma que sea divisible por y

formar el cociente. Rta.: ;

Cociente :

22- Determinar los valores de y para que el polinomio

sea divisible por y

formar el cociente.

Rta.: ; ;

Cociente :

23- Determinar y de modo que el polinomio

sea divisible por el producto

y formar el cociente.

Rta.: ; ;

Cociente :

24- Siendo un polinomio que al dividir por da resto 6 y el dividir por da

resto 18. Calcular el resto de dividir dicho polinomio por el producto .

Rta.: Resto :

25- Descomponer en factores los siguientes polinomios.

a) Rta.:

b) Rta.:

c) Rta.:

d) Rta.:

e) Rta.:

f) Rta.:

Page 76: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 75

26- Siendo y los restos de dividir un polinomio entre los binomios y

respectivamente.

Calcular el resto de dividir dicho polinomio por .

Rta.: Resto :

27- Un polinomio dividido por da resto y dividido por da resto .

¿Qué resto dará si es dividido por ?

Rta.:

28- Calcular el valor de , para el cual existe un valor común que anula a los polinomios

y .

Rta.:

29- Determinar si el polinomio , es divisible por

. Justificar la respuesta.

Rta.: es divisible por si es par

30- Sabiéndose pues es una raíz de . Calcular el valor de a.

Rta.:

31- En un polinomio de 3º grado en , , el coeficiente de es 1.

Si y , calcular

Rta.:

32- Sabiendo que los restos de dividir el polinomio por y

respectivamente son . Demostrar que el resto de dividir dicho polinomio

por el producto es:

33- Un polinomio dividido por , da resto 6 y divido por da resto 8. ¿Cuál es el

resto de dividir por ? Rta.:

Page 77: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 76

Ejercicios propuestos sobre fracciones algebraicas

Simplificación, Suma y resta, multiplicación, división y fracciones complejas.

( Ejercicios extraídos de Algebra Sinesio Farias )

1)

( )

( )

( ) Rta:

2)

Rta:

3)

Rta:

4)

Rta:

5)

( ) ( )

( ) ( )

Rta :

6)

∙ Rta:

7)

(

)

(

) Rta:

8)

Rta: 1

9)

Rta :

10)

0 ( )

( ) 1

( ) * ( ) + ( )* ( ) +

* ( ) +

Rta:

Page 78: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 77

11) Simplificar :

a) ( )

( ) Rta:

b) ( )

( ) ( ) Rta:

c)

Rta:

d) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( )

. / ( )

Rta:

Efectuar las siguientes operaciones a seguir.

12)

Rta:

13)

Rta:

14)

Rta:

15)

Rta: 1

16)

Rta: 1

17)

Rta: 1

18)

Rta: 0

Page 79: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 78

19)

Rta:

20)

Rta:

21)

Rta: 1

22) ( )

( )

Rta: 0

23)

Rta:

24)

Rta:

25)

Rta:

26)

Rta:

27)

Rta:

28)

Rta:

29)

Rta:

30)

(

) (

) Rta:

Page 80: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 79

31) (

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

Rta:

32) (

)

Rta:

33)

. /

Rta:

34)

.

/

Rta:

35)

( )

( )

(

) Rta:

36) (

)(

)

(

)

Rta:

37) 6

( *

7 6

7

Rta :

Page 81: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 80

38) (

) (

( ) * Rta.:

39) .

/ .

/ (

) Rta.:

40) (

) (

) Rta.:

41) (

) (

) Rta.:

42) (

) Rta.:

43) (

*

Rta.:

44) (

) (

* Rta.:

45) (

)

(

) (

) Rta.:

46)

0

.

/ (

) 1 Rta.:

47) (

) [ ( ) ( )

( ) ( ) ] Rta.:

48)

Rta.: ( )

( )

49)

Rta.:

50) (

) (

) Rta.:

Page 82: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 81

POTENCIACION – RADICACION – EXPONENTE.FRACCIONARIO

En este capítulo presentaremos únicamente los aspectos básicos de estas operaciones,

no daremos una explicación pormemorizada de las diferentes operaciones, pues se supone

que el alumno ya está familiarizado con el álgebra básica.

La idea de presentar este capítulo es más una oportunidad de presentarles una buena

variedad de ejercicios para ejercitar y aprimorizar el conocimiento.

1- Algunas propiedades de la potenciación:

Para elevar un producto de dos o más factores a una potencia , se eleva cada

factor a dicha potencia . (Prop. Distributiva)

Para elevar una potencia a una potencia , se multiplica el

exponente por .

Para elevar una fracción a la potencia , se eleva cada término de la fracción a

la potencia

(

)

2- La radicación es una operación contraria de la potenciación, es decir siendo √

tendremos

Algunas propiedades de la radicación

Cuando es un número par √

, la raíz tiene doble signo, es

decir tenemos dos resultados.

Cuando es un número impar √ , la raíz tiene el mismo

signo del radicando y es única.

Cuando es un número par y el radicando es una cantidad negativa, no existe

raíz real, en este caso surgen los números imaginarios y consecuentemente los

números complejos.

…………………….Dos resultados Imaginarios.

Page 83: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 82

Para extraer la raíz de un producto, se extrae la raíz de cada factor.

(Propiedad Distributiva)

Para extraer la raíz de una fracción, se extrae la raíz de cada término de la

fracción.

Para extraer la raíz de una potencia, se divide el exponente de la potencia por

el índice de la raíz.

⁄ …..... * Cuando es múltiplo de

⁄ es un número

entero.

*Cuando no es divisible por , se genera

el exponente fraccionario.

Para elevar una raíz a una potencia , se eleva el radicando a la potencia .

( √

)

Para extraer la raíz de otra raíz, se multiplican los índices.

√√

Page 84: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 83

3- Exponentes negativos y fraccionarios.

Estas expresiones representan en forma simultánea 2 ó 3 operaciones.

….........................2 operaciones (División y potenciación)

….........................2 operaciones (Potenciación y radicación)

………………….........3 operaciones (División, potenciación, radicación)

Particularidades:

Multiplicación de potencias con la misma base

División de potencias de la misma base

Potenciación de exponentes negativos y fraccionarios.

.

/

Radicación de exponentes negativos y fraccionarios.

A continuación daremos algunos ejemplos, recomendamos que el alumno procure hacerlo

primero y después verifique los pasos seguidos.

Page 85: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 84

Ejemplo 1: Reducir – Simplificar – Sumar.

√ √ √

√ √

√ √ √

√ √

Ejemplo 2: Reducir o Simplificar o Sumar.

√ √

√ √ √ √

√ √

√ √ √ √

√ √

Ejemplo 3:

√ √ √

√ √

Ejemplo 4: Efectuar el producto.

( √ ) ( √ √ )

√ √ √ √

√ √ √ √

√ √

Page 86: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 85

Ejemplo 5: Efectuar: ( √ √

) ( √

)

√ √

√ √

√ √

Ejemplo 6: Calcular: (√ √ )

( √ ) ( √ )

√ √ ( √ )

( √ )

√ √ √ √

√ √

Ejemplo 7: Simplificar: √ √

√ √

√ √

√ √

Page 87: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 86

Ejemplo 8: Simplificar:

√√√

√√√

√√

√√

∙ √

√ √

Ejemplo 9: Calcular la expresión para √

Antes de hacer la substitución de la variable , combiene transformarla primero

4

5

Luego: [

]

[

]

[

]

Page 88: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 87

Racionalizante de una expresión irracional

Es la expresión más simple por la cual se debe multiplicar una expresión irracional para

obtener un producto racional.

No existe una regla general para hallar el racionalizante, por que varía con el tipo de la

expresión.

En la mayoría de los casos el racionalizante se obtiene a partir de las identidades de

factores de .

Estas identidades se fundamentan en la aplicación del teorema del resto para establecer

la divisibilidad de binomios por binomios .

Es decir:

……….Siempre es divisible.

……….Es divisible cuando número par

………..Es divisible cuando número impar

……….Nunca es divisible.

Obs.: Estas reglas son definidas aplicando el teorema del resto.

Generalizando las identidades tendremos:

8

9

{

} IMPAR.

Page 89: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 88

Ejemplos:

Determinación del racionalizante de una expresión irracional.

1º Caso: Expresiones del tipo: √

Racionalizante √

√ Racionalizante √ Ejemplos:

Expresión Irracional Racionalizante Producto Obtenido

√ √

√ √

√ –

Page 90: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 89

2º Caso: Expresiones del tipo:

2 √ √

En este caso utilizaremos las identidades: {

Ejemplos:

Expresión Irracional Racionalizante Producto Obtenido

( √ ) ( √ ) √

( √ – √ ) ( √ √ ) ( √ ) ( √ )

( √

) ( √ √

) ( √

) ( √

)

( √

) ( √

) (√

)

El Racionalizante de ( √

)

Es *√

– √ +

y el Producto Obtenido será

Observación: La expresión irracional y su respectivo racionalizante podrían invertirse.

En el ultimo ejemplo podríamos escribir

El racionalzante de [ √ √

]

es : [ √ ]

Page 91: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 90

3º Caso: En realidad este caso es una continuación del 2º caso y utiliza el mismo principio

algebraico.

Expresiones del tipo:

………………………..………………………………………….…………….. par o impar.

……………………..…………………………………….……….. par.

……………………………………………………………………….. impar.

Ejemplos:

Expresión Irracional Racionalizante

( √

) ( √ √

)

( √

) ( √

)

( √

) ( √ √

)

( √

) ( √

√ √

√ )

Observación: Cuando las expresiones tienen diferentes índices del radical √

,

se reducen a expresiones con el mismo índice del radical, y tendremos uno de los

casos analizados.

Ejemplo: √ √

Luego tendremos:

(√ √

) (√ √

)

Page 92: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 91

4- Fracciones irracionales:

Un problema característico de las fracciones irracionales es la racionalización del

numerador o del denominador.

a- Racionalización del denominador: Para racionalizar el denominador de una fracción,

se multiplican los dos términos de la fracción por el racionalizante del denominador.

b- Racionalización del numerador: Se procede en forma análoga, multiplicando los dos

términos de la fracción por el racionalizante del numerador.

En algunos casos, la racionalización exige más de una operación.

Ejemplos: 1- Racionalizar los denominadores de las fracciones:

a)

√ ∙

b)

c)

∙ √

2- Racionalizar el denominador de la fracción: √

√ √ √ √

√ √ √ √

√ √

( √ )

( √ √ ) ∙

( √ √ )

( √ √ )

3- Racionalizar el denominador de la fracción:

(√ ) ∙

(√ )

( √ )

( √ )

(√ )

Page 93: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 92

4- Racionalizar el denominador de la fracción:

√ √ √

√ √ √

[( √ √ ) √ ] ∙

(√ √ √ )

[ ( √ √ ) √ ]

( √ √ √ )

( √ √ √ )

( √ ) ∙

( √ )

( √ ) √ √ √

5- Racionalizar el denominador de la fracción:

( √

)∙( √

√ )

( √

)

( )( √

√ )

( √

)

6- Racionalizar el denominador de la fracción:

( √

) ∙

(√

)

( √

)

7- Racionalizar el denominador de la fracción:

√ √

√ √

( √

) ∙

( √

)

( √

√ ∙

√ ∙

√ ∙

√ ∙

√ )

( √ √

)

Page 94: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 93

8- Racionalizar el denominador de la fracción:

√ √

√ √ ∙

√ √

√ √

√ √

√ √

√ ∙

√ √

9- Simplificar la fracción: √

√ √

√ √ √ √

√ √

( √ √ )

( √

√ )

( √

√ ) ∙

( √

√ √

)

( √

√ √

)

10- Simplificar la fracción: √

( √

√ √ )

( √

√ )

( √

√ √

) ∙

( √

√ )

( √

√ )

√ √

Page 95: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 94

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1 - Efectuar las operaciones indicadas:

a) √

Rta:

b) ( √ √ ) ( √ √ ) Rta: √

c) ( √ √

) ( √

√ ) Rta: √

d) (√ √

)

Rta:

e)

Rta:

f)

√ –

Rta: √

2- Calcular las expresiones:

a) √ √

√ √

Rta: √

b) √

√ √

Rta: √

Page 96: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 95

3- Racionalizar los denominadores de las fracciones:

a) √

Rta: √

b) √

√ Rta:

c)

√ Rta: √

d)

√ √ Rta: √ √

e) √ √ √

√ √ √ Rta:

√ √

f)

Rta:

g)

Rta: √

h) √

√ √

Rta:

4- Simplificar las fracciones:

a) ( ) √

√ Rta:

b) ( √ √ √ ) ( √ √ √ )

( √ √ √ ) ( √ √ √ ) Rta:

c) √ √

Rta:

5- Siendo , racionalizar el denominador de la Fracción:

√ √ √ √

Rta: √ √ √ √

Page 97: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 96

6- Calcular el valor de las siguientes expresiones:

a) √

√ ; para

.√

/ Rta: √

b)

; para

Rta:

c) √ √

√ √ ; para

Rta:

d)

*

+ [ √

] ; para √(

)

Rta: √ (

)

e) Calcular el valor de la expresión , para

√ √

√ √

Rta:

7- Demostrar la identidad:

8 - Racionalizar el denominador: √

√ √

Rta: √ ( √ √ ) ( √ )

Page 98: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 97

9 - Efectuar: las operaciones y multiplicar:

a) . √

/ . √

/ Rta.: 0

b) ( √

√ ) 4

√ 5 Rta.: √

10 - Racionalizar el denominador de las fracciones

a) √ √

√ √ Rta.: √

b) √

√ Rta.:

c)

√ √

Rta.:

√ √

√ √

11- Efectuar y simplificar:

a) √

Rta.: √

b) √√

√√

√ √

√√

Rta.: √

c) √ √

√√

√√

√ √

Rta.: √

d) √

Rta.: √

e) √ ( √

*

Rta.: √

Page 99: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 98

12- verificar si las siguientes identidades son falsas o verdaderas:

a) √

b) √ √ √

√ √ √ √

c) √ √

√ √

d) √

e) √

√ ( – )

f)

g)

13 - Simplificar:

a)

Rta.:

b) (

)

Rta.:

c) ∙

∙ Rta.:

d) √

Rta.: 0

e) (√

√ *

Rta.:

f)

Rta.:

g) √ √

√ √ Rta.:

Page 100: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 99

14- Simplificar las siguientes expresiones:

a)

√ Rta.:

b) √

( )

(√ ) Rta.:

c)

⁄ *

⁄ + Rta.:

15- Demostrar que

⁄ , se reduce a:

⁄ si

16- Efectuar y simplificar:

a) √

Rta.:

b) √√

Rta.:

c) √

Rta.: √

d) √

Rta.:

e) √

Rta.:

f) √

Rta.:

g) .

√ √

/

Rta.: √

Page 101: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 100

17- Simplificar:

a) ( √ ∙ √ √ √ √ )

√ Rta.: √

b) ( √

* (

* Rta.:

18-Racionalizar los denominadores de las siguientes funciones:

a) √

√√

Rta.: √

√√

b) √

√√ Rta.: ( √ )√√

c) √

√√ √ Rta.: √ (√√ √ )

d) √ √

√√ √ Rta.:

√ √ √ √√ √

e) √ √

√ √ √

√ √ √

Rta.: √ √

f)

√ √ Rta.: √ √

g)

Rta.: √ (√ √ )

h) √ √ √ √

√ √ √ √ Rta.:

√ √

i) √ √ √ √

√ √ √ √ Rta.:

√ √

Page 102: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 101

19- Hallar el valor de las siguientes expresiones:

a) √ √ √ Rta.:

b) √ √ √ √ Rta.: 2

c) √ √ √ Rta.: 30

d) (√ √ √ √ )

Rta.:

e) (√√√√ )

Rta.:

20- Simplificar los siguientes radicales:

a) √ Rta.: √

b) √ Rta.: √

c) √ (

) Rta.:

d) √ (

)

Rta.: √

e) (

)

Rta.:

f)

(

)

( √

) Rta.:

Page 103: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 102

ECUACIONES

1- Igualdad: Cuando dos expresiones algebraicas adquieren igual valor numérico al

sustituir sus letras por cualquier sistema de valores numéricos, se dice que forman una

igualdad, y lo representamos escribiendo el signo entre ambas expresiones, que

denominamos primer miembro y segundo miembro de la igualdad respectivamente.

2- Clases de igualdades: se distinguen dos tipos de igualdades

1) Igualdad numérica: formada por números

Ejemplo:

2) Igualdad literal: constituida por letras, que a su vez podrán ser:

b-1) Igualdad absoluta o identidades: es la igualdad que se verifica para cualquier sistema de valores numéricos atribuidos a sus letras. Las identidades expresan una ley o propiedad matemática.

Ejemplos:

…............La suma de dos números

multiplicada por uno de ellos, es igual al cuadrado de este último

más el producto de ambos.

…………..La diferencia del cuadrado

de dos números es igual al producto de su suma por su

diferencia.

……………….La mitad del triplo de un

número es igual a este número más su mitad.

b-2) Igualdades condicionales o ecuaciones: son igualdades que

solo se satisfacen para determinados valores numéricos de las

incógnitas, los cuales convierten la ecuación en una identidad.

Los valores numéricos que satisfacen o verifican una ecuación

reciben el nombre de soluciones de la ecuación o raíces de la

ecuación.

Page 104: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 103

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES: Existen varios criterios para clasificarlas:

Dependiendo de la naturaleza de las expresiones:

a) ECUACIONES ALGEBRAICAS: son aquellas en que las incógnitas, únicamente están

sujetas a operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.

Cuando existen la potenciación o radicación, la incógnita no figura en el exponente o en

el índice del radical.

Ejemplos:

√ √

Las ecuaciones algebraicas a su vez se clasifican en:

Ecuaciones algebraicas racionales: cuando la incógnita no se encuentra bajo el

signo radical o no posee exponente fraccionario.

Ejemplo:

√ √ √ ........................Respecto a .

Ecuaciones algebraicas irracionales: cuando la incógnita está bajo el signo

radical o posee exponente fraccionario.

Ejemplo: √ √

Ecuaciones numéricas o singulares (Particulares) : son las ecuaciones en que

las únicas letras que figuran son las incógnitas.

Ejemplo:

Ecuaciones literales o generales: son las ecuaciones que además de las incógnitas contienen una o más letras llamadas parámetros. Los coeficientes (parámetros) se representan por las primeras letras del alfabeto y las incógnitas por las ultimas .

Ejemplos:

Page 105: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 104

Ecuaciones enteras: cuando no contienen ninguna incógnita en el denominador.

Ejemplo:

Ecuaciones fraccionarias: son las ecuaciones en que la incógnita figura en el denominador de los términos fraccionarios o cuando la incógnita posee exponente negativo.

Ejemplo:

b) ECUACIONES TRANSCEDENTES: son las ecuaciones en que las incógnitas están sujetas

a otras operaciones diferentes de las operaciones fundamentales; es decir potencias en

que las incógnitas figura en el exponente o también raíces, logaritmos, funciones

trigonométricas o series indefinidas.

Ejemplos:

Las ecuaciones transcendentes a su vez se clasifican en:

Ecuaciones transcendentes exponenciales: cuando la incógnita figura en el

exponente o en el índice del radical.

Ejemplo:

Ecuaciones transcendentes logarítmicas: cuando tenemos logaritmos de

expresiones conteniendo la incógnita.

Ejemplo:

Ecuaciones transcendentes Trigonometricas: cuando tenemos funciones

trigonométricas de expresiones con la incógnita.

Ejemplo:

Page 106: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 105

Dependiendo del número de incógnitas:

a) ECUACIONES CON UNA INCOGNITA: son las ecuaciones que contienen una sola letra

representando la incógnita.

Las ecuaciones algebraicas enteras y racionales con una incógnita se podrán reducir a la

forma general.

………… ( 1 )

El primer miembro de esta ecuación es un polinomio.

El grado de la ecuación es el mayor exponente de la incógnita.

La ecuación será completa o incompleta de un cierto grado, según que lo sea dicho

polinomio.

Cuando el primer miembro de la ecuación en la forma general, puede

descomponerse en factores de primer grado de la forma podríamos escribir

en esta otra forma:

…………….. ……………… ( 2 )

Siendo y diferente de , los únicos valores de la variable que verifican

la ecuación son:

Estos valores son las raíces de la ecuación, luego podremos escribir:

“TODA ECUACION ALGEBRAICA DE GRADO ENESIMO “ ”, TIENE RAICES”

El algebra es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio y la resolución

de las ecuaciones.

Dependiendo del grado las ecuaciones con incógnita podrán ser:

Ecuaciones de primer grado o lineales con una incógnita: Este tipo de ecuaciones

siempre pueden ser reducidas a la forma

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas con una incógnita: son las que pueden

ser reducidas a la forma:

En general tendremos:

………………………………. Ec. de tercer grado

……………………. Ec. de cuarto grado.

……… Ec. de grado

Page 107: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 106

Ecuaciones de una incógnita con formas particulares:

Ecuaciones Binomiales: son las que tienen solamente dos términos

algebraicos y son de la forma:

Ecuaciones Bicuadradas: son las ecuaciones que pueden reducirse a la forma:

Ecuaciones Reciprocas: son las ecuaciones en que los coeficientes de los

términos equidistantes de los extremos son iguales en

valor absoluto.

b) ECUACIONES CON DOS O MAS INCOGNITAS: son las ecuaciones que contienen dos o

más letras que representan una incógnita, cada una.

El grado de una ecuación de varias incógnitas es la mayor suma obtenida al sumar los

exponentes de las incógnitas en cada término.

Ecuación completa o incompleta: Una ecuación algebraica racional y entera, reducida o

escrita en la forma …….. 2 incognitas.

…….. 3 incognitas.

………………… …….. …………………..

Es completa, cuando el 1º miembro de la ecuación es un polinomio completo

respecto a las incógnitas, es decir posee todos los términos de todos los grados, desde

cero hasta el grado de la ecuación y de cada grado de todas las incógnitas.

Ejemplo:

La ecuación será incompleta cuando el 1º miembro es un polinomio incompleto con

respecto a las incógnitas, es decir no contiene todos los términos con todos los grados

de las incógnitas.

Ejemplo:

Page 108: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 107

Dependiendo de la naturaleza de las raíces:

a) ECUACION IMPOSIBLE: una ecuación es imposible cuando no admite ninguna raíz

o solución o cuando la raíz es infinita.

Ejemplo: ∙ …………………..… Es una ecuación imposible.

Resolviendo …………………..…

Tener raíz infinita equivalente a no tener raíz o solución

b) ECUACION DETERMINADA: una ecuación es determinada cuando tiene un número

finito de raíces o de soluciones.

Ejemplo: ............................ {

Esta ecuación tiene dos y solamente dos raíces, luego es una ecuación

determinada.

c) ECUACION INDETERMINADA: es cuando admite una infinidad de raíces o de soluciones

(infinitas soluciones).

Ejemplo: Sea ........ y siendo ,

Tendremos ∙

Cualquier valor de , verifica la ecuación, luego admite infinitas soluciones.

OBS: Normalmente las ecuaciones con una incógnita son determinadas y los de más de una

incógnita son indeterminadas.

ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dicen

equivalentes, es decir, que las soluciones de la una son también soluciones de la otra.

Ejemplo:

3

Page 109: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 108

RESOLUCION DE UNA ECUACION: resolver una ecuación es efectuar en ella todas las

operaciones necesarias para obtener sus soluciones o raíces.

Para conseguirlo se la transforma sucesivamente en otros equivalentes, hasta conseguir una

que sea sencilla y permita hallar fácilmente el valor de la incógnita.

Estas transformaciones se basan en algunos principios que se derivan del axioma:

UNA IGUALDAD NO SE ALTERA CUANDO SUS DOS MIEMBROS SE SOMETEN A LAS MISMAS

OPERACIONES.

Dichos principios son básicamente:

1º PRINCIPIO: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo

número o expresión entera con respecto a la incógnita, resulta otra ecuación

equivalente.

2º PRINCIPIO: Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo

número o por una expresión algebraica independiente de la incógnita, que no sea cero ni

infinito, resulta otra ecuación equivalente a la propuesta.

CONSECUENCIAS:

* Cambio de signo: para cambiar de signo a todos los términos de una ecuación,

bastará multiplicar ambos miembros por

* Supresión de factores: Toda ecuación se podrá simplificar, cuando ambos miembros

tengan algún factor común numérico o literal independiente de las incógnitas,

suprimiendo dicho factor en los dos miembros.

* Transposición de factores y divisores, independientes de la incógnita:

En una ecuación, todo término que figure como factor de un miembro puede pasar al

otro como divisor de todo el miembro.

En una ecuación, todo término que figure como divisor de un miembro podrá pasar al otro

como factor.

* Eliminar denominadores de una ecuación: cuando estos denominadores son

independientes de la incógnita.

Bastará para conseguirlo multiplicar los dos miembros por el producto de los

denominadores o por su MCM, simplificando luego los términos fraccionarios que resulten.

Page 110: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 109

3º PRINCIPIO: Multiplicando ambos miembros de una ecuación por una expresión algebraica

dependiente de la incógnita, la ecuación resultante puede contener raíces que no sean de la

ecuación primitiva, denominadas raíces extrañas.

Sea la ecuación …………………………………………….( 1 )

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por una expresión dependiente de la

incógnita , tendremos:

……………………..( 2 )

Si la ecuación ( 2 ) tuviere raíces extrañas, estas serán las raíces de

CONSECUENCIAS:

* Eliminar denominadores de una ecuación: cuando estos denominadores son

dependientes de la incógnita. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el

MCM de los denominadores y simplifican los términos fraccionarios.

Cuando se introducen raíces extrañas, es fácil verificar, pues estas anulan el MCM de

los denominadores.

4º PRINCIPIO: Dividiendo ambos miembros de una ecuación por una expresión algebraica

dependiente de la incógnita, la ecuación resultante no contiene todas las raíces de la ecuación

primitiva.

Sea la ecuación ∙ …………………………………. ( 1 )

Dividiendo ambos miembros de (1) por la expresión , tendremos

……………………. ( 2 )

Esta misma ecuación resultante (2) no será equivalente a (1), se perderán las raíces de .

Luego, cuando se divide una ecuación por una expresión o función de la incógnita, debemos

descomponerla en dos ecuaciones.

En este caso seria …. 2

Este nuevo sistema ( a ) , ( b ) será equivalente a la ecuación ( 1 ).

CONSECUENCIA:

* Descomposición de ecuaciones.

Sea la ecuación ……………………………( 1 )

En la cual el primer miembro se puede escribir en la forma

…………… .

Que llevando en ( 1 ) tendremos:

………………. …………..( 2 )

Esta ecuación (2), es satisfecha por todos los valores de que anulan separadamente los factores.

Luego podremos descomponer en ecuaciones:

{

Que serán equivalentes a la ecuación primitiva ( 1 )

Page 111: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 110

5º PRINCIPIO: Elevando los dos miembros de una ecuación a una potencia cualquiera, entera

y positiva, generalmente se introducen raíces extrañas.

Sea la ecuación ………………………… ( 1 )

Elevando ambos miembros a la enésima potencia, tendremos:

[ ] [ ]

Esta expresión ( 2 ) podrá ser escrita en la forma:

[ ] [ ]

[ ] [ { }

{ } { }

]

Esta última expresión podrá ser desmembrada en dos ecuaciones:

[ ] ……………………… ………………( a )

{ } { }

{ } { } …......( b )

La ecuación ( a ) es equivalente a la ecuación primitiva ( 1 ), pero la ecuación ( b ), generalmente

introduce raíces extrañas y deben ser verificados si satisfacen la ecuación propuesta.

Este principio tiene mucha aplicación en las ecuaciones irracionales.

Ejemplo: Sea la ecuación √

Elevando ambos miembros tendremos:

……………. 2

El valor verifica la ecuación propuesta, pero el valor no verifica, por tanto es una

raíz extraña.

Page 112: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 111

6º PRINCIPIO: Extrayendo raíz enésima “ ” a los dos miembros de una ecuación, se

pierden algunas raíces.

Sea la ecuación [ ] [ ]

( 1 )

Extrayendo raíz enésima “ ” a ambos miembros de ( 1 ) , tendremos:

………………………… ( 2 )

Esta ecuación ( 2 ) no contendrá todas las raíces de ( 1 ), pues como analizamos en el ítem

anterior ( 5º principio ), se perderían las raíces de la ecuación ( b ).

{ } { }

{ } { } ……. (b)

CASO ESPECIAL DE LA RAIZ CUADRADA: Cuando se extrae la raíz cuadrada a los dos

miembros de una ecuación se debe colocar el doble signo al segundo miembro .

Sea la ecuación : [ ] [ ]

…………………………… ( 1 )

Esta ecuación ( 1 ) podrá ser escrita en la forma :

[ ] [ ]

………………………. ( a )

que podemos desmembrar en dos ecuaciones:

2 [ ] [ ]

[ ] [ ]

Luego al aplicar raíz cuadrada a la ecuación (1) , tendremos las ecuaciones (a) y (b) que

serán equivalentes a ( 1 )

Ejemplo: Resolver la ecuación

2

Page 113: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 112

ECUACION DE PRIMER GRADO O LINEAL CON UNA INCOGNITA:

Es la ecuación en que la incógnita esta elevada al exponente uno.

Resolver una ecuación es efectuar con ella las transformaciones precisas para hallar los

valores de la incógnita.

La ecuación de primer grado siempre podrá reducirse a la forma general

…………………..( 1 )

Análisis y discusión de la raíz de una ecuación de primer grado.

Sea la ecuación de primer grado ……………………. ( 1 )

La solución de esta ecuación será

{ }

Si …………………………………………… ………………. Solución determinada

……………….. Una solución

Si ……………………………………………. ……………… Ecuación imposible

………………. Ecuación indeterminada

Page 114: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 113

APLICACIONES:

Ejemplo ① : Resolver y discutir la ecuación en la cual

es un parámetro, es decir podrá tener un valor numérico cualquiera.

( )

..............Esta expresión es la raíz de la ecuación propuesta pero con la

condición de que

Es decir pues con este valor la raíz no tendrá sentido.

Ejemplo ②: Resolver y discutir la ecuación:

…………( 1 ) en

la cual el parámetro puede recibir un valor numérico.

Para es decir , es denominador de una fracción será nulo y

la fracción

carecerá de sentido.

Luego …… Primera condición en esta ecuación

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por

tendremos:

………….

Luego ……..

……….. que es la solución de la ecuación propuesta.

Pero en este caso necesitamos establecer más otra condición

Es decir

Ejemplo ③: Resolver y discutir la ecuación

De la ecuación tenemos

que es la solución de la ecuación propuesta,

pero debemos respetar la condición

Es decir 2

Cuando……. …………..

………… Ecuación indeterminada.

Cuando……. …………..

…………. Ecuación imposible.

Condición 2

Page 115: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 114

ECUACIONES QUE SE REDUCEN FACILMENTE A OTRA DE PRIMER GRADO.

Las ecuaciones que se pueden reducir a otra de primer grado son aquellas cuyo segundo

miembro es nulo y el primero puede reducirse a un producto de factores de 1º grado.

Ejemplo 1: …………………… ( 1 )

Para que un producto de varios factores sea nulo, es necesario y suficiente que uno de ellos

lo sea.

Luego las raíces de la ecuación ( 1 ) serán, las de las ecuaciones:

{

{

Ejemplo 2:

[ ]

……………………2

Ejemplo 3:

Multiplicando ambos miembros por , tendremos:

que simplificando tendremos la solución que es la solución de la ecuación primitiva porque no anula ninguno de los denominadores.

* OBS: Ecuación literal de primer grado con una incógnita: Cuando la ecuación literal contiene

fracciones cuyos denominadores son literales, no se podrá dar a las letras valores que anulen

a dichos denominadores.

Page 116: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 115

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.

Rta.:

2.

Rta.:

3.

Rta.:

4.

Rta.:

5.

Rta.:

6.

Rta.:

7.

Rta.:

8.

Rta.:

9.

10.

Rta.:

11. Rta.: 2

12. √

Rta.: 1

13.

Rta.:

14.

Rta.:

15.

Rta.: 2

Page 117: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 116

16.

Rta.:

17.

( )

Rta.:

18.

Rta.:

19.

Rta.:

20.

Rta.:

21. Rta.:

22. Resolver la ecuación

, y verificar en que condiciones es imposible e

indeterminado.

Rta.: 2

23. Resolver y analizar la ecuación:

siendo ...,

Rta.: 2

24. Resolver Y analizar la ecuación:

Rta.: No es imposible ni indeterminada para ningún valor de .

Page 118: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 117

SISTEMA DE ECUACIONES:

Sistema de ecuaciones es el conjunto de ecuaciones que son satisfechas simultáneamente por

los mismos valores de las incógnitas.

Las ecuaciones que forman un sistema son denominadas ecuaciones simultáneas.

La solución de un sistema es el conjunto de valores, uno para cada incógnita, los cuales

sustituidos en las ecuaciones; la transforman en igualdades numéricas o identidades

algebraicas.

Un sistema de ecuaciones puede tener más de un conjunto solución.

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen el mismo número de ecuaciones, de incógnitas y

las mismas soluciones.

Los sistemas equivalentes pueden sustituirse mutuamente.

En general los sistemas de ecuaciones poseen el mismo número de ecuaciones que de

incógnitas.

Cuando existen más ecuaciones que incógnitas, las ecuaciones excedentes pueden servir de

verificación.

Cuando existen menos ecuaciones que incógnitas el sistema posee una infinidad de

soluciones.

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:

Existen varios criterios para clasificar los sistemas de ecuaciones:

1) Dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones:

a) Sistema de ecuaciones transcendentes: cuando por lo menos una ecuación del

sistema es una ecuación trascendente.

b) Sistema de ecuaciones irracional: cuando posee por lo menos una ecuación

irracional.

c) Sistema de 1º grado o lineal: cuando todas son ecuaciones lineales o de 1º

grado.

d) Sistemas de ecuaciones de 2º grado: cuando todas o por lo menos una de ellas

es una ecuación de 2º grado.

e) Sistema de ecuación de 3º grado: cuando solo contiene ecuaciones de 3º grado,

o por lo menos una de ellas y las restantes de grado inferior.

..............................................

etc., etc.,.......

Page 119: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 118

2) Dependiendo del número de ecuaciones:

Siendo y , dos números enteros y positivos;

a) SISTEMA DE ECUACIONES a incógnitas

b) SISTEMA DE ECUACIONES a incógnitas.

c) SISTEMA DE ECUACIONES a incógnitas.

3) Dependiendo del tipo de raíces o soluciones:

a) SISTEMA DETERMINADO: un sistema es determinado cuando tiene un número finito de

soluciones.

Normalmente, los sistemas de ecuaciones a incógnitas son determinados y el

número de soluciones depende del grado del sistema y de las ecuaciones que forman.

b) SISTEMA INDETERMINADO: un sistema es indeterminado cuando admita una infinidad

de soluciones.

Los sistemas de ecuaciones a incógnitas son indeterminados, por que las

ecuaciones solo permiten que se obtengan los valores de las incógnitas en función

de las incógnitas restantes.

Atribuyendo valores arbitrarios o convenientes a estas incógnitas restantes,

obtenemos un conjunto solución para el sistema y dando otros valores arbitrarios

tendremos otro conjunto solución, es por eso que estos sistemas admiten infinitas

soluciones.

Excepcionalmente un sistema de ecuaciones a incógnitas puede ser indeterminado.

c) SISTEMA IMPOSIBLE: un sistema es imposible cuando no admite solución.

Por ejemplo: 2

Este sistema es imposible, pues no existen valores de que torne ,

simultáneamente igual a 7 y 4.

d) SISTEMA COMPATIBLE O INCOMPATIBLE: Esta denominación se utiliza en los sistemas

de ecuaciones y incógnitas; es decir cuando tenemos más ecuaciones que

incógnitas.

Se resuelve ecuaciones a incógnitas, y las soluciones obtenidas

llevamos a confirmar en los restantes de las ecuaciones.

Cuando lo verifican el sistema es compatible.

Cuando no lo verifican el sistema es incompatible.

Page 120: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 119

RESOLUCION Y TRANSFORMACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Para resolver los sistemas de ecuaciones es necesario efectuar algunas transformaciones que

están regidas por principios específicos.

Los principios estudiados para una ecuación, son aplicables a cada una de las ecuaciones del

sistema en forma aislada.

Los principios específicos a sistemas de ecuaciones son:

1º PRINCIPIO: Sustituyendo una o más ecuaciones de un sistema por ecuaciones equivalentes,

se obtiene un sistema equivalente.

2º PRINCIPIO: Sustituyendo una de las ecuaciones de un sistemas por la suma o la diferencia con

otra (u otras), también del sistema, se obtiene un sistema equivalente al dado.

CONSECUENCIAS: * Se puede sustituir varias ecuaciones de un sistema, cada una

por su suma o diferencia con cualquiera de las otras.

* Antes de efectuar la suma o diferencia de las ecuaciones,

podemos multiplicar cada una por un número o expresión

algebraica independiente de la incógnita.

METODOS DE ELIMINACION DE INCÓGNITAS: Existen varios métodos de eliminación de

incógnitas, los principales son:

a) Método de sustitución.

b) Método de igualación o comparación.

c) Método de adición; substracción o reducción.

d) Método de Beyout.

OBSERVACION: En general los sistemas de ecuaciones simples, como las dos ecuaciones con 2

incógnitas, se llegan al resultado fácilmente sin necesidad de utilizar un “PROCESO”, pero los

sistemas de 3 o más ecuaciones e incógnitas, debemos ser organizados, ordenados y tener un

proceso operacional.

Page 121: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 120

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales consta de dos fases:

a) Eliminación de incógnitas.

b) Resolución propiamente dicha.

a) ELIMINACION DE INCOGNITAS: En esta fase, partiendo de un sistema de ecuaciones a

incógnitas:

{

Llegamos a otro sistema equivalente al dado, con el mismo número de ecuaciones y de

incógnitas, pero de la forma:

{

Este nuevo sistema es llamado SISTEMA FINAL.

En este sistema final: La primera ecuación tendrá solo una incógnita.

La segunda, dos incógnitas.

La tercera, tres incógnitas.

..........................................

La enésima ecuación tendrá, incógnita.

La determinación del sistema final es hecha por operaciones sucesivas, eliminándose primero

una de las incógnitas, después otra y así sucesivamente.

Eliminar una incógnita entre ecuaciones de incógnitas, es combinar las n ecuaciones por

medio de operaciones apropiadas de modo a obtener un sistema ecuaciones y de

incógnitas.

Page 122: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 121

EJEMPLO 1: Sea el sistema:

{

Eliminando la variable “ ”:

De y ......................... –

– –

– –

De y ................................................... –

– –

De y ........ ................... ……….....

…………

Luego el primer sistema intermediario será:

{

Eliminando la variable “ ”

De y .....................

De y .....................

Page 123: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 122

El segundo sistema intermediario será:

2

Eliminando “ ”

en ..............

y en .............

Llevando estos valores en (1) tendremos:

OBS: En la elección de cual incógnita eliminar y el método a utilizar, se eligen las más fáciles y

convenientes.

EJEMPLO 2: Sea el sistema:

{

Eliminando los denominadores y simplificando tendremos el sistema equivalente al dado:

{

Eliminando la variable “ ” tendremos el 1º sistema intermediario:

Page 124: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 123

{

Eliminando la letra “ ” tendremos el 2º sistema intermediario.

2

Eliminando la letra “ ”, tendremos la ecuación final

en …………

y

en

De

Page 125: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 124

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1- {

Rta.:

{

2-

{

Rta.:

{

3-

{

Rta.:

{

4- 8

Rta.:

{

5- {

Rta.: {

6-

{

Rta.: 2

7-

{

Rta.: 8

Page 126: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 125

8-

{

Rta.: {

9-

{

Rta.: {

10-

{

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

Rta.: {

11-

{

Rta.:

{

( )

( )

12-

{

Rta.:

{

13- {

Rta.:2

14-

{

Rta.:2

Page 127: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 126

15-

{

Rta.:{

16- {

Rta.:2

17-

{

(

)

Rta.:

{

18-

{

Rta.: {

19-

{

Rta.: {

Page 128: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 127

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES RESUELTAS POR ARTIFICIOS.

Algunos sistemas lineales se resuelven de forma más fácil utilizando artificios de cálculo, a

continuación daremos algunos ejemplos:

1º TIPO DE ARTIFICIOS:

1- Ecuaciones simultaneas con incógnitas en los denominadores.

Utilizaremos el método “SUBSTITUCION PROVISORIA DE VARIABLE”

Ejemplo 1:

Resolver el sistema:

{

Utilizaremos las incógnitas auxiliares y

Hacemos la {

} substitución en las ecuaciones originales

De incógnitas.

Y tendremos ... 8

Resolviendo el nuevo sistema (3) y (4) tendremos…………….... 2

Luego: {

} que son las soluciones del sistema propuesto.

OBSERVACION: A continuación mostraremos algunos ejercicios que después de una pequeña modificación, desembocan nuevamente en este proceso.

Page 129: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 128

Ejemplo 2:

Sea el sistema

{

Estas tres ecuaciones pueden ser invertidas, porque tienen la forma de proporciones, luego tendremos:

{

}

{

Con este nuevo sistema y , utilizamos el artificio de “substitución provisoria de variables”.

Ejemplo 3:

{

Este ejercicio lo someteremos al mismo proceso anterior, y tendremos:

{

}

{

A este nuevo sistema formado por las ecuaciones y aplicamos el artificio de “substitución provisoria de variable”

Page 130: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 129

Ejemplo 4:

“Doble substitución provisoria de variables”

Sea el sistema:

{

Si eliminamos los denominadores tendremos un sistema de 2º grado, pero haciendo uso de incógnitas auxiliares podemos reducir a un sistema de 1º grado.

Haciendo {

} En las ecuaciones originales del sistema

Tendremos:

{

A estas ecuaciones y en las incógnitas y , aplicamos nuevamente el artificio de substitución provisoria de variables, eligiendo otras letras del alfabeto.

Haciendo:

{

}

en las ecuaciones y

Tendremos: {

Resolviendo este sistema, tendremos los valores para las incógnitas y , que a su vez nos darán los valores de las incógnitas auxiliares y .

Con estos valores tendremos la solución del sistema original con las incógnitas .

Page 131: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 130

Ejemplo 5:

Sea el sistema:

Separando las ecuaciones tendremos:

{

{

A este nuevo sistema podemos aplicar el artificio “Substitución provisoria de variables”

Page 132: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 131

2º TIPO DE ARTIFICIO:

Ejemplo 1:

Sea el sistema: 8

La ecuación (1) podemos escribir:

Aplicando la propiedad de las razones continuas: “La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como antecedente es a su consecuente”, tendremos:

Llevando (2) en (3) tendremos:

Luego:

{

OBSERVACION: A continuación mostraremos algunos ejercicios que después de una pequeña modificación, desembocan de nuevo en este proceso.

Ejemplo 2:

2

La ecuación (1) podemos escribir:

O también

Ejemplo 3:

8

La ecuación (1) podemos escribir:………………………………………………………..

Ejemplo 4:

8

Aplicando raíz cúbica a toda la ecuación (1) , tendremos: √

O también…………………………………………… √

Page 133: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 132

3º TIPO DE ARTIFICIO:

Sea el sistema: {

Estas ecuaciones podemos escribir en la forma:

{

Estas tres ecuaciones del sistema podemos asociar o relacionar con una ecuación única de 3º grado en la variable :

Que se anula para {

} es decir, es divisible por los binomios

Aplicando la propiedad: “Todo polinomio racional y entero que es divisible por binomios de 1º grado, podrá ser escrito como producto del coeficiente de 1º termino del polinomio por los binomios de 1º grado”.

Luego la ecuación podemos escribir:

Que desarrollando el 2º miembro:

Aplicando el concepto de identidad de polinomios, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes; es decir:

8

De (6) tenemos:

{

Page 134: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 133

Ejercicios propuestos para este tipo de artificio:

a)

{

Sugestión: Utilizar el polinomio auxiliar:

Rta.: {

b) {

Sugestión: Utilizar el polinomio auxiliar:

Rta.: {

Page 135: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 134

4º TIPO DE ARTIFICIO:

Sea el sistema:

{

Haciendo , y substituyendo en las ecuaciones tendremos:

{

Luego:

}

(

* (

*

(

)

Llevando este valor de en las ecuaciones tendremos los valores de las

incógnitas.

Page 136: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 135

Ejercicios propuestos para resolver por artificios:

71.

{

Rta.:

{

72.

{

Rta.: {

73.

{

Rta.:

{

74.

{

Rta.: {

75.

Rta.: ,

76. {

Rta.: {

Page 137: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 136

77. {

Rta.: { √

78. 8

Rta.: ,

79. 8

Rta.: {

80. 8

Rta.: 8

81.

{

Rta.: 2

82.

{

Rta.:

{

83.

{

Rta.: {

Page 138: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 137

84.

{

Rta.: {

85.

{

Rta.:

{

86.

{

Rta.:

{

Page 139: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 138

Cantidades imaginarias - numeros complejos

Las operaciones directas (Suma, multiplicación y potenciación) no crearon problema de

cálculo, por ser siempre realizables.

En cambio las operaciones inversas (Resta, división y radicación), crearon el problema al no

ser realizables en algunos casos dentro del campo de los números naturales.

RESTA …… Minuendo Substraendo Números negativos.

DIVISIÓN … Dividendo y Divisor: Primos relativos Números fraccionarios.

RADICACIÓN…

{

Pues no existe ningún numero (Positivo o negativo) que elevado a una potencia par , nos

reproduzca el radicando negativo

LAS RAÍCES DE ÍNDICE PAR DE CANTIDADES NEGATIVAS NO TIENEN SOLUCION DENTRO DEL

CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.

Debido a esto fueron llamados números imaginarios, pues solo existen en la imaginación.

Sin embargo, mismo siendo imaginarios tienen mucha aplicación dentro del campo de la

matemática avanzada y debido a eso lo estudiaremos.

Ejemplos:

√ √ √ √

√ √ √ √

√ √ √

√ √ √

Page 140: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 139

En los ejemplos que acabamos de mostrar, analizamos algunos números imaginarios puros y

para explicitarlo mejor en su significado, utilizamos las reglas básicas del algebra en lo

referente a la multiplicación de radicales, para presentarlo como el producto de dos factores:

Una parte real y el otro factor √ que es el causante de la imposibilidad.

A este factor de ser el causante de la imposibilidad de ser un número real, fue convencionado

llamarlo unidad imaginaria y para facilitar su escritura, su notación es:

√ ………. Unidad imaginaria.

Todo numero imaginario, con tal de que el índice de la raíz sea un numero par puede ser

escrito en la forma:

…………………….Siendo: {

Una vez hecha esta transición, es decir el numero imaginario fue puesto en la forma , pasa

a comportarse como una expresión algebraica y específicamente como un monomio, siendo la

parte literal la letra , y su coeficiente , que podrá ser de cualquier naturaleza (Racional,

irracional, positivo, negativo, etc.) como también podrá ser una expresión algebraica

cualquiera.

Ejemplos: √

Page 141: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 140

Operaciones con los números imaginarios puros:

Las leyes de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y radicación con los números

imaginarios puros, son idénticas a las normas del algebra convencional. A continuación

haremos una analogía:

………………………….

……………………

( )

…………………….( )

√ ……………………….√

La única diferencia en estas operaciones con los números imaginarios es que los resultados no

pueden tener potencias de la unidad imaginaria.

Esto es debido a que las potencias de i son cíclicas; es decir:

(√ )

}

}

Esto nos muestra que las potencias de las unidades imaginarias son cíclicas, y sea cual fuere su

valor solo puede tener 4 valores.

Page 142: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 141

Estos 4 valores son:

{

Estos valores debemos memorizarlos o saber deducirlos.

Cuando el exponente es mayor a 4 , debemos dividir el exponente por 4 y lo sustituimos por

el resto de la división.

Si la división es exacta el resto será cero, esto significa que es un múltiplo de 4 y su valor será

1, pero también podríamos recordar que cualquier cantidad con exponente cero es igual a la

unidad, es decir

Entonces los resultados obtenidos en los ejemplos de las operaciones con los números

imaginarios serán:

Ejemplos:

………………..2

Obs.: y ……números enteros.

Page 143: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 142

Ejercicios propuestos:

1- Reducir la expresión:

a) √

√ √ √

( ) ( )

Rta.:

b)

Rta.:

c) ( √ )

(√ √ )

(√ )

( √ √ ) Rta.: 3

2- Calcular: a)

b)

c)

d)

Page 144: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 143

NÚMEROS COMPLEJOS: Forma binómica o algebraica:

A las expresiones binómicas cuya forma general es , constituidas por un termino real y

un termino imaginario puro , se denominan “cantidades complejas o números

complejos”. A los coeficientes y se los llama componentes de la compleja.

Particularidades de los números complejos:

a) Si en la expresión se tiene , la misma se reduce a “ ”

Luego: “Todo numero real puede ser considerado como un numero complejo, que

tiene nula la parte imaginaria”

b) Si en la expresión se tiene , la misma se reduce a “ ”

Luego: “Todo numero imaginario puro puede ser considerado como un numero

complejo, en donde la parte real es cero”

c) Si un número complejo es nulo, sus componentes son nulos.

Es decir: Si …….. Entonces .

d) Si dos números complejos son iguales, necesariamente serán iguales: sus componentes

reales y sus componentes de la parte imaginaria.

Es decir: Si ………. {

e) Dos números complejos se llaman “CONJUGADOS”, cuando difieren solamente en el

signo de la parte imaginaria. ( ).

Es decir: y …. son complejos conjugados.

f) Dos números complejos se llaman “OPUESTOS” cuando difieren solamente en el signo

de sus componentes.

Es decir: y …. son complejos opuestos.

g) En el campo de los números complejos no se define la relación orden, es decir, no

existe un número complejo mayor o menor que otro.

Page 145: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 144

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

1- Suma algebraica: La suma de varias complejas dadas en forma algebraica es en general,

una compleja cuya parte real es la suma algebraica de las partes reales de las complejas y

la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los complejos sumandos.

Ejemplo: a) Sumar:

b) Simplificar:

( )

2- Multiplicación:

a) El producto de un número real por una compleja, es otra compleja.

Es decir …… es un número real.

Ejemplo:

b) Producto de dos complejas

Si …….… ………. El producto será un imaginario puro.

Si …….… ……….. El producto será un número real.

El producto de dos complejas conjugadas es un número real:

Luego: El producto de dos complejos puede ser un número real, un imaginario puro o

una compleja, inclusive puede ser cero.

Ejemplos:

b1)

b2)

Producto de varias complejas:

Para obtener el producto final, se multiplica la primera compleja por la segunda,

obteniéndose en general una compleja, la cual a su vez se multiplica por el tercer factor y así

sucesivamente hasta multiplicar con la ultima compleja.

Page 146: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 145

3- División:

a) La división entre una compleja y un número real , es otra compleja.

Es decir:

b) El cociente de la división de un número real por una compleja es otra compleja.

Es decir:

…. Racionalizando tendremos.

c) Cociente entre dos complejas:

En este caso racionalizamos el denominador

Dependiendo del resultado del producto en el numerador de la fracción: El cociente

entre dos números complejos puede ser un número complejo, un número real o un

imaginario puro.

4- Potenciación de números complejos:

Cuando el exponente es 2 o 3 generalmente se utilizan las formulas del algebra básica,

es decir:

.

Pero cuando el exponente es mayor que 3, se puede utilizar el triangulo de Tartaglia, o

el desarrollo del binomio de Newton:

La potencia de exponente natural de una compleja puede ser un número real, un

imaginario puro o una compleja.

Ejercicios propuestos:

a) Rta.:

b) ( )

Rta.:

c) Rta.:

d) (√ ) Rta.: √

e)

Page 147: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 146

5- Radicación de números complejos:

Nosotros focalizaremos nuestra atención en dos casos:

a) Raíz cuadrada de un numero complejo: √

Indudablemente la raíz cuadrada de este número complejo deberá ser otro número

complejo, pues al elevar al cuadrado dicha raíz deberá reproducirnos el complejo

radicando.

Luego podremos escribir: √

(√ )

….

Aplicando la condición de polinomios idénticos a la expresión tendremos:

2

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de e .

b) Raíz cúbica de un número complejo √

Procedemos con un razonamiento análogo al anterior y tendremos:

(√

)

….

Aplicando la condición de polinomios idénticos a la expresión ) tendremos:

2

Resolviendo el sistema tendremos e .

Page 148: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 147

Ejercicios propuestos:

1- Resolver las ecuaciones en el conjunto de números complejos:

a) Rta.:

b) Rta.:2

c) Rta.:

{

2- Determine de modo que el número complejo , sea un imaginario puro.

Rta.:

3- Determine para que el número complejo , sea un número real.

Rta.:

4- Determine e para que el número complejo , sea:

a) un número real. Rta.:

b) un número imaginario puro. Rta.:

5- Siendo , determine los valores reales de para:

a) La parte real de sea positiva. Rta.:

b) La parte imaginaria de sea negativa. Rta.:

6- Siendo , determine los números reales y , tal que .

Rta.: 8

7- Calcular y para que .

Rta.: {

Page 149: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 148

8- Determine el número complejo tal que: .

Obs.: … representa la conjugada de

Rta.:

9- Efectuar:

a) ( ) (

) (

) Rta.:

b) Rta.:

c) Rta.:

d) Rta.:

e) ( √

*

Rta.:

10- Determine e de modo que

Rta.: 8

11- Siendo el polinomio

Calcular: a) Rta.:

b) ( √ ) Rta.: √

12- Determine el número complejo , de modo que .

Rta.:

13- Determinar los números complejos y de modo que:

a) 2

Rta.: 8

b) 2

Rta.: 2

Page 150: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 149

14- Calcular:

a) √

√ Rta.:

b) (

)

Rta.:

c) (

) Rta.:

15- Escriba en la forma , la expresión

Rta.:

16- Dadas las funciones: 2

. Calcular:

( ) ( )

Rta.:

18- Escriba el resultado de la operación a seguir en la forma algebraica.

19- ¿Cual debe ser el valor de , de modo que el número complejo

, sea real?

20- Calcular:

.

21- Dado √

, calcular

22- Calcular:

a)

b)

Page 151: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 150

23- Determinar y de modo que , sea la raíz de la ecuación

Con y reales.

(Obs.: Para que sea la raíz de la ecuación debe verificarla).

24- Resolver el sistema en el campo de los números complejos.

2

25- Resolver la ecuación y hallar el valor de “ ” para que tenga solución real.

(

)

… Rta: 2

26- Sabiendo que . Hallar e .

27- Hallar las raíces cúbicas de:

28- Resolver el siguiente sistema en el campo de los números complejos:

2

Page 152: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 151

Ecuaciones de 2º grado a una incógnita

Toda ecuación completa de 2º grado a una incógnita puede ser reducida a la forma:

Generalmente se considera positivo, y siendo y positivos o negativos.

Cuando y son números fraccionarios, se eliminan los denominadores para darle a

los coeficientes la forma de números enteros.

Cuando a es un numero negativo se multiplica toda la ecuación por para que se vuelva

positivo.

Dividiendo la ecuación (1) por a (coeficiente del primer termino )

Tendremos

Esta ecuación es de la forma, que es denominada ecuación

reducida de 2º grado.

Formas de las ecuaciones incompletas:

Las ecuaciones incompletas de 2º grado pueden reducirse a una de las formas siguientes:

a)

b)

c)

Resolución de Esta ecuación admite dos raíces iguales o una raíz dupla 2

Resolución de

Se descompone la ecuación en factores:

Para que este producto sea cero tendremos dos posibilidades:

………….1º posibilidad

………...2º posibilidad

Resolución de

√ …………………………………………..

{

Page 153: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 152

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE 2º GRADO A UNA INCÓGNITA.

Método de Bhaskara: Este método consiste esencialmente en transformar el primer miembro

de la ecuación en el cuadrado perfecto de un binomio de 1º grado.

Sea la ecuación

Multiplicando por ……………..

Ordenando y completando…………

Factoreando y Transp.term. ……….

Extrayendo raíz a ambos miembros… √

Que es la formula general para resolver la ecuación de 2º grado.

Desmembrando la formula general tendremos que las raíces son:

Tipos de raíces de una ecuación en función del discriminante:

Se denomina discriminante de la ecuación de 2º grado a la expresión ,

debido a que dependiendo del valor que adquiere esta expresión va a determinar la

naturaleza de las raíces de dicha ecuación.

………………….La ecuación tendrá dos raíces reales y diferentes.

………………….Dos raíces iguales es decir una raíz dupla.

………………….Dos raíces imaginarias y conjugadas.2

Observación: Es fácilmente demostrable que si una ecuación de 2º grado de coeficientes reales:

a) Admite una raíz , la otra raíz será necesariamente , es decir

serán números complejos conjugados.

b) Y si una de las raíces es del tipo √ , la otra necesariamente será √ .

(En este caso la ecuación deberá tener coeficientes racionales).

Page 154: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 153

Ejercicios propuestos:

1- * Rta.: 8

* Rta.:

* Rta.: 8

* Rta.: 8

* Rta.: {

* Rta.:

* Rta.: {

* Rta.: {

2- Resolver las siguientes ecuaciones:

* Rta.: {

*

√ Rta.: √

*

* Rta.:

;

*

Rta.: [

* Rta.: [

* Rta.: 6

*

√ Rta.: 6

Page 155: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 154

3- Sin calcular las raíces, determinar la naturaleza de las raíces de:

*

*

*

*

*

*

*

*

4- Determinar , de modo que la ecuación , tenga una raíz dupla.

Rta.: 8

5- Hallar el valor de m para que la ecuación , sean reales y desiguales.

Rta.:

Page 156: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 155

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Existen muchas relaciones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación de 2º grado, pero

dos son las fundamentales y el resto puede ser deducido de estos dos:

Sea la ecuación

Las raíces de esta ecuación son:

{

La ecuación (1) también puede ser escrita en la forma.

…………………………….…..

Y es en esta ecuación que nosotros trabajaremos:

Sumando las raíces y , tendremos:

Luego

………………….………..

Multiplicando las raíces y , tendremos:

6

7 6

7

.

/

4√

5

Luego

………………………………….

Comparando la ecuación con las ecuaciones y , podemos concluir que la suma de

las raíces es igual al coeficiente de término de 1º grado con signo cambiado y el producto de

las raíces es igual al término independiente.

Page 157: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 156

Aplicaciones de las propiedades de las raíces:

1- Formar la ecuación de 2º que tenga por raíces ( √ ) y ( √ ).

Aplicando la propiedad tendremos:

√ √

( √ ) ( √ )

Luego la ecuación será

2- Hallar dos números conociendo su suma y su producto.

Hallar dos números cuya suma sea

y el producto sea

.

Formamos la ecuación

Cuyas raíces

y

son los números pedidos.

Ejercicios propuestos:

1- Formar la ecuación de 2º grado que tenga por raíces y

. Rta.:

2- Formar las ecuaciones que tengan por raíces:

a) (

) y (

) Rta.:

b)

,

Rta.:

3- Siendo

y

, formar la ecuación de 2º grado que tenga por raíces:

2

Rta.:

4- Hallar dos expresiones algebraicas cuya suma sea

y cuyo producto sea

.

Rta:

;

.

Page 158: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 157

Otros tipos de ejercicios:

1- Determinar la relación que debe haber entre los coeficientes de la ecuación

para que sus raíces sean iguales.

…………..……….. Es la condición impuesta por el problema.

√ .………… que es la condición pedida.

Obs.: A este mismo resultado llegaríamos si imponemos que la condición para que las raíces

sean iguales, el discriminante. .

2- Hallar la relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación ,

para que las raíces sean recíprocas, es decir una sea la inversa de la otra.

……………………….... Es la condición exigida.

Luego

6

7 6

7

……… Es la condición exigida para que se cumpla la condición del problema.

Page 159: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 158

3- Determinar la relación que deben satisfacer los coeficientes de la ecuación

para que la diferencia de las raíces sea igual a .

La condición del problema es que , luego

4

5 4

5

Que es la relación pedida

4- Determinar de modo que una de las raíces de la ecuación

sea el triple de la otra.

[

]

√ √

[ ]

…..…………..… 8

Page 160: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 159

TRANSFORMADAS DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO.

Transformada de una ecuación de 2º grado en otra ecuación de 2º grado

, cuyas raíces estén en una relación dada con la primera.

Ejemplos:

1- Dada la ecuación , formar otra ecuación de 2º grado cuyas raíces

sean los cuadrados de las raíces de esta ecuación dada.

La relación entre las raíces es √ ,

que llevamos en la primera ecuación y tendremos:

( √ ) ( √ )

√ ………………..…Elevando al cuadrado ambos miembros.

Tendremos:

…..….Que es la ecuación transformada pedida.

2- Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean las raíces de

multiplicada por

.

Luego la condición es

Y tendremos: ( )

( )

………. Que es la ecuación transformada pedida.

3- Hallar la ecuación de 2º grado cuyas raíces sean las raíces de la ecuación ,

aumentadas de

.

La condición exigida es

( )

( )

………. Que es la transformada pedida.

Page 161: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 160

ECUACIONES CON RAÍCES COMUNES:

1- Determinar de modo que las ecuaciones y , tengan una raíz común.

Designemos por dicha raíz común, entonces deberá verificar ambas ecuaciones:

{

Eliminando el término por reducción:

Luego

…………….……….. Que llevamos en la 1º ecuación:

(

)

(

)

Simplificando ……………….…..8

2- Determinar la condición que deben satisfacer dos ecuaciones de 2º grado, para que tengan las mismas raíces: Sean las ecuaciones

Designando por y las raíces comunes de estas ecuaciones, y aplicando a ambas ecuaciones la propiedad de las raíces:

{

}

Luego:

La condición exigida es

………………..… es decir los coeficientes de ambas

ecuaciones deben ser proporcionales.

Ejemplo: Determinar y de modo que las ecuaciones:

y tengan las mismas raíces.

La condición es:

Es decir: 2

Resolviendo tendremos:

y

.

Page 162: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 161

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DEL TRINOMIO DE 2º GRADO.

Sea el trinomio ……………..

Igualando a cero dicho trinomio y resolviendo la ecuación.

Sean y sus raíces.

Por la propiedad de las raíces tendremos: {

Transformando el polinomio y substituyendo (2) y (3) en esta expresión tendremos:

*

+

*

+

*

+

[

]

Luego para descomponer un trinomio en sus factores, se iguala a cero el trinomio y se halla

sus raíces y los tres factores serán:

- El coeficiente de

- menos una de las raíces.

- menos la otra raíz.

OBS.: Aplicando el teorema 4 de los teoremas de divisibilidad de polinomios por binomios,

llegaremos al mismo resultado.

También podríamos aplicar el teorema del resto y el método de división de y

llegaríamos al mismo resultado.

Page 163: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 162

Ejemplo 1: Descomponer el trinomio en factores:

Igualando a cero tendremos ………………………...…..8

Luego: ( ) (

) (

) (

)

.

Ejemplo 2: Descomponer en factores

Igualando a cero …

8

Luego ( ) (

)

( ) (

)

Ejemplo 3: Descomponer en factores

Igualamos a cero … 2

Luego

Ejemplo 4: Descomponer en factores binomios.

Igualamos a cero … ……………………………………………….2 √

Luego: ( √ ) ( √

)

Page 164: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 163

Ejercicios propuestos:

1- Resolver las ecuaciones:

a)

Rta.: 8

b)

Rta:2

c) ( ) (

) (

) (

) (

) (

) Rta.:{

d) Rta.: 2

e) Rta.: 2

f) Rta.: 2

g) Rta.:

{

h) Rta.:

{

I) Rta.:

{

j)

( )

( ) Rta.:

{

( )

( )

k) (

)

Rta.:

{

Page 165: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 164

2- Determinar de modo que una de las raíces de la ecuación sea el doble de la otra.

Rta.: 2

3- Los catetos de un triangulo rectángulo son las raíces de la ecuación . Determinar de modo que la hipotenusa sea 26 metros y calcular los catetos.

Rta.: {

2

4- Determinar en la ecuación , de modo que las raíces

verifiquen la relación .

Rta.: {

5- Determinar de modo que la ecuación tenga una

raíz dupla y calcular la raíz.

Rta.: 2

6- Formar la ecuación que tenga por raíces los inversos de la ecuación .

Rta.:

7- Formar la ecuación que tenga por raíces los cuadrados de las raíces de la ecuación

Rta.:

8- Determinar para que las raíces de la ecuación sean reales y

analizar los signos.

Rta.:

9- Determinar los valores de para los cuales los valores de en la ecuación

sean reales.

Rta.: 2

10- En la ecuación , las raíces representan las

abscisas de los puntos y de un eje .

Determinar de modo que los puntos y sean simétricos en relación al origen ,

y calcular estas abscisas.

Rta.: {

Page 166: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 165

11- Hallar la ecuación de 2º grado en la cual una de las raíces es el triplo de la otra y la suma

de los cuadrados de las raíces es 40.

Rta.:

12- Hallar tres números enteros consecutivos (positivos)sabiendo que la suma de sus

cuadrados es igual a 1.202

Rta.: 19 ; 20 ; 21

13- Descomponer los siguientes trinomios en factores de 1er grado

a) Rta.:

b) Rta.:

c) Rta.:

14- Simplificar la fracción:

a)

Rta.:

b)

Rta.:

c)

Rta.:

d)

( √ ) ( √ ) Rta.:

15- Verificar las siguientes identidades.

a)

b)

c)

d)

e) ( √ )( √ )

f)

g)

h)

Page 167: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 166

ECUACIONES BICUADRADAS: Son las ecuaciones de 4º grado que únicamente contienen las

potencias pares de la incógnita, inclusive la potencia cero.

La ecuación bicuadrada general es de la forma

Se considera siempre positivo, pues en caso de que sea negativo basta multiplicar por .

Los coeficientes de la ecuación bicuadrada también pueden ser expresiones algebraicas.

Resolución de la ecuación bicuadrada:

Sea la ecuación

En esta ecuación haremos una sustitución provisoria . …………

Tendremos ……………

Esta ecuación es llamada reducida de la ecuación bicuadrada, porque es una ecuación de 2º grado.

Resolviendo esta ecuación en , tendremos √

Es decir: √

Luego por la ecuación (2) tendremos:

√ …………………………….

{

√ √

√ √

Y siendo √

También por la ecuación (2) tendremos:

√ ……………

{

√ √

√ √

Page 168: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 167

Ejemplo 1: Resolver la ecuación

Haciendo , tendremos:

… √

Luego: …………………..…. 2

………………….…. 8

Ejemplo 2: Resolver la ecuación

Luego:

Haciendo …….

Entonces tendremos: √

…………………...…

{

√ √

√ √

También √

……….…

{

√ √

√ √

Page 169: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 168

Ejemplo 3: Sea la ecuación

Haciendo ………….. ….…….…..

Luego:

………………... {

………………... {

Ejemplo 4: Resolver la ecuación

Haciendo

( ) √ ( )

( )

{

2

2

Obs.: Cuando queremos trabajar con las propiedades de las raíces, debemos focalizarnos en la

ecuación reducida de la ecuación bicuadrada y luego pasarla a la ecuación original.

Page 170: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 169

Ejemplo 5: Formar la ecuación bicuadrada que tenga por raíces:

; y

Luego: ( )

( )

}

Entonces la ecuación bicuadrada será:

Ejemplo 6: Formar la ecuación bicuadrada que tenga por raíces: √

Luego:

8 [ ( √ )]

[ ( √ )] √

}

Luego: es la ecuación pedida.

Ejemplo 7: Formar la ecuación bicuadrada cuyas raíces son: (

)

{

(

*

(

*

{

}

Page 171: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 170

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DEL TRINOMIO BICUADRADO

El trinomio bicuadrado , puede ser descompuesto en el producto del

coeficiente del primer término, por los cuatro factores binomios de 1º grado en , que se

obtiene restando de cada una de las raíces, es decir:

Obs.: La demostración de esta identidad es simple, pero no lo vamos a hacer aquí, pues

podríamos apelar a los teoremas relativos a la divisibilidad de polinomios por binomios para

fundamentar esta identidad.

Ejemplo 8: Descomponer en factores el trinomio

Resolviendo la ecuación: ………………..….

{

Luego:

( ) (

)

Ejemplo 9: Encontrar la ecuación bicuadrada que tenga por raíces √

Las raíces de la ecuación son:

{

( √ )

Luego: ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )

Efectuando las operaciones y simplificando tendremos:

Page 172: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 171

Ejemplo 10: Descomponer en factores la expresión:

Considerando la expresión como un trinomio bicuadrado respecto a la letra a.

Igualando a cero esta expresión y resolviendo la ecuación resultante.

………….

{

Entonces:

Page 173: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 172

Ejercicios propuestos:

1- Resolver las ecuaciones:

a)

Rta:

b) Rta:

c) Rta: 2

d) Rta: 2

e) Rta: (

)

2. Formar las ecuaciones bicuadradas que tengan por raíces:

a)

Rta:

b) Rta:

c) . √

/ Rta:

d) (√ √ ) Rta:

e) ( √ ) Rta:

f) ( √ ) Rta:

3. Simplificar la fracción:

Rta:

4. Resolver la ecuación y demostrar que siendo , las

raíces forman una progresión aritmética.

Rta: √

y √

Page 174: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 173

Ecuaciones irracionales

Generalidades: la solución de ecuaciones irracionales comprende tres fases:

a) Racionalización: no existen métodos generales para la racionalización,

algunos procesos particulares son aplicables a gran número de

ecuaciones.

Los procesos más empleados son: la racionalización por potenciación y la

racionalización por incognitas auxiliares.

b) Resolución de la ecuación racional correspondiente:que podrá ser de

cualquier grado.

c) Verificación de las raíces: la ecuación racional correspondiente siempre

contiene las raíces de la ecuación original, pero puede contener raíces

extrañas porque en la mayoría de los casos la racionalización es hecha

por medio de potenciación de los dos miembros.

Racionalización por Potenciación: consiste en disponer convenientemente los radicales en

ambos miembros y elevar a una potencia conveniente.

Algunas veces es necesario repetir la operación para eliminar los radicales.

Los principales tipos de ecuaciones irracionales son:

Primer Tipo: son ecuaciones de las siguientes formas:

…………………………………… Un radical cualquiera y una parte

racional.

………………………... Dos radicales del mismo índice.

……………………….Dos radicales de índice diferentes.

Page 175: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 174

Ejemplo 1 : √

…………………………………

Ejemplo 2 : √

………………….. A la 6° potencia

……………..…..

Ejemplo 3: √

…………..… A la 6° potencia

…………………………………………….….

Ejemplo 4 : √

……………….. Al cubo.

…………..

6

Ejemplo 5 : √ √

√ √

√ ( )

( )

√ ( )

( )

( )

………………….

de esta ecuación obtenemos dos ecuaciones

…………………………………..( 1 )

…………………………………..( 2 )

Que resolviendo tendremos y

Page 176: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 175

Ejemplo 6: √ √

√ √

√ √

Ejemplo 7:

(

)

(

)

(

)

Page 177: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 176

Segundo Tipo: son ecuaciones de la siguiente formas

√ √ ………………. Dos raíces cuadradas y una parte racional

√ √ √ …………….. Tres raíces cuadrados.

Ejemplo 1: √ √

√ √ …………….. Elevando al cuadrado

……………………………

Ejemplo 2: √

……………………... Elevando al cuadrado

Luego

Ejemplo 3: √ √ √

√ √ √

√ √

Page 178: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 177

Ejemplo 4 : √ √ √

√ √ √ ………. Elevando al cuadrado

√ ………………. Elevando al cuadrado

…………………..…. 0

Tercer Tipo : Estas ecuaciones son de la forma:

√ √ √ ……………………….. Tres raíces y una racional

√ √ √ √ ………………… Cuatro raíces cuadradas.

Ejemplo 1 : √ √ √

√ √ √ ........Elevando al Cuad.

√ √ ……………………..Elevano al Cuadrado

………………………………

Ejemplo 2 : √ √ √ √

√ √ √ √ …………Elevando al Cuadrado

Luego: ( √ )

Page 179: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 178

Quarto Tipo : Estas ecuaciones son del tipo:

…………Dos raíces cúbicas y una parte racional

…………………. Tres raíces cúbicas

Consideremos la primera ecuación para ilustrar un proceso general.

………………………. ( 1 )

……………………………… Elevando al Cubo.

( √

) ………………………

( 1 ) en ………. √

………………..…………. Elevando al cubo

……..…….. Que es la ecuación transformada de la (1)

Ejemplo 1 : √

…………… Elevando al cubo

[ √

]⏟

…………………. 0

Page 180: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 179

Ejemplo 2 : √

…………………….. Elevando al cubo

( √

)

∙ √

………………………. Elevando al cubo

Luego √

Ejemplo 3: √ √

……………...... Elevando al cubo

( √ √

) √

∙ √

√ ……………………………. Elevando al cuadrado

Luego √

Page 181: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 180

Quinto Tipo: Estas ecuaciones son de la forma.

√ ………………………………….

Para racionalizar estas ecuaciones se debe aislar el radical de índice en un

miembro y luego elevar la ecuación a la potencia

Ejemplo 1: √

– √ ……………. Elevando al cubo

√ ……………………………. Elevando al cuadrado

………………… 0

Ejemplo 2 : √

√ …..…Elevando al cubo

( √ ) ……………………………

De esta ecuación resultan dos ecuacion es: 0

[ √

Page 182: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 181

Sexto Tipo : Son ecuaciones con radicales duplos; estas ecuaciones presentan formas

muy variadas.

Ejemplo 1 :

…………Elevando al cuadrado

………………….. Elevando al cuadrado

………………………………..

Ejemplo 2 : √ √ √ √ ……..Elevando al cuadrado

√ ………………………………. Elevando al cuadrado

………..…… 0

Ejemplo 3 : √ √

√ √

…………………Elevando al cubo

√ √ √( √ ) ( √ )

∙ . √ √

√ √

/

………………………………………..

Page 183: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 182

Racionalización por incognitas auxiliares

No existe un proceso general y uniforme para resolver las ecuaciones utilizando las

incognitas auxiliares, por eso debemos analizar los principales tipos.

OBS: Denominamos ( función de la variable ) a una expresión algebraica

cualquiera con la variable

1° TIPO: √ ……………………………….. y Ctes.

Hacemos la substitución ………………………….

y tendremos :

Una vez resuelta esta ecuación llevamos las raíces en y volvemos a

resolverlo.

Ejemplo 1: √

Haciendo …………………………

Tendremos:

…………………………. 0

Luego llevamos estos valores en

Y tendremos:

……………….. √

……………….. 0

Page 184: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 183

2° Ejemplo: √

Haciendo

…………………………0

8

}

{

3° Ejemplo: √

Haciendo

Obtenemos ……….. ………………. 0

Luego [

y [

Page 185: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 184

2° TIPO: √ [ ]

Hacemos la suatitución y obtenemos

Ejemplo 1: √

Hacemos ……………………..

…………………….. {

}………. en

Ejemplo 2 : √

hacemos …………………….

…………………. [

]……… en

Ejemplo 3 : √

haciendo …………………………….

…………………… [

] ……… en

Page 186: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 185

3° TIPO: √

Hacemos

Obtenemos:

Ejemplo 1: √ √

hacemos ……………………

……….. [

] ……… en

Ejemplo 2 : √ √

√ √

Hacemos …………………….

……………….. [

] ……… en

Ejemplo 3: √

haciendo

……………………………….

tenemos …………. [

] en

Page 187: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 186

4° TIPO : Sean…………… 2

Estas ecuaciones serán de la forma:

√[ ]

√ ∙

√[ ]

Dividiendo toda la ecuación por √[ ]

tendremos: √ [

]

haciendo

tendremos :

Ejemplo 1: √

Dividiendo la expresión por √

Tendremos: √[ ( )

]

Haciendo

…………………………

tendremos …………………… 6

en

Page 188: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 187

5° TIPO: √

√ ∙

Dividiendo la ecuación por √

tendremos : √

haciendo

tendremos :

Ejemplo:

Dividiendo por la expresión √

tendremos: √

haciendo

……………………..

tendremos: ………………. 6

Llevando estos resultados en

Tendremos ( )

(

)

Page 189: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 188

Sistemas de ecuaciones irracionales

Los sistemas de ecuaciones irracionales, son racionalizados y una vez resueltos debemos

verificar los resultados.

Ejemplo 1: 6

Sumando y luego restando miembro a miembro respectivamente

Obtenemos: 6

Ejemplo 2: [

Racionalizando la ecuación ( 2 ) tendremos el sistema equivalente.

[

[

Ejemplo 3: 6 √ √

√ √

Racionalizando tendremos: [

] ……… [

Ejemplo 4: 6

Haciendo 6

7 [

Page 190: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 189

Ejercicios propuestos

1) √

Rta:

2) √

√ Rta:

3)

Rta:

4) √ √

Rta:

5) (

)

(

)

Rta:

6) √

√ Rta:

7) √ √ Rta:

8) √ √ Rta: √

9) √ √ Rta:

10) √ √ √ Rta: √

11) √ √ √ Rta:

12) √ √ √ √ Rta:

13) √ √ √ Rta:

14) √

Rta: √

Page 191: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 190

15) √

Rta:

16) √

Rta: √

17) (

)

(

)

(

)

Rta: √

18) √

Rta:

19) √ √

Rta:

20) √ √ √ √ √

√ Rta:

21) √ √ √ √ Rta:

22) √ √ √ √ Rta:

23) √ Rta: √

24) √ √ √ Rta: √ √ √

25) √ Rta:

26) √

Rta:

27) √ √

Rta:

28) √ √

Rta:

29) √

Rta: √

30) √

Rta: √

Page 192: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 191

31) √

Rta:

32) √

Rta:

33) √

34) √

Rta: 0

35) √

Rta: (√ )

( √ )

36) √ √

√ √

√ √

√ √ Rta: 0

37) √ √

√ √ √ Rta:

38) √ √ √ √

Rta:

39) √

√ √

√ √ Rta:

Resolver los sistemas irracionales :

40) 0

√ Rta:

41) 0

√ √ Rta:

42) [ √ √ √

√ √ Rta: 16 ; 25

43) [ √

√ √ Rta: 36 ; 4

Page 193: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 192

Ejercicios Variados

1- Juan y Pedro jugaron 12 partidos de ajedrez, Juan apostó 30 Gs. y Pedro apostó 20 Gs. Al

terminar de jugar, Juan ganó 40 Gs. ¿Cuántos partidos ganaron cada uno?

Rta.: {

2- Al dividir un número por 5 da 2 de resto y al dividirlo por 7 da 1 de resto. Si la suma de los

cocientes es 7, determine el número.

Rta.: 22

3- La edad de una persona son los de la de su hermano. Dentro de un número de años

igual a la edad actual del mayor, la suma de las edades será 75 años. Determine las edades

de cada uno de ellos.

Rta.: ,

4- El dinero que tiene Tomás es el triplo del que tiene Pedro y si Tomás le diera 200 Gs. a Pedro,

entonces Tomás tendrá el doble de lo que tendría Pedro. Calcular cuánto tiene cada uno.

Rta.: ,

5- El sueldo promedio mensual pagado a los 70 empleados de una compañía durante el año

de 1981 fue de 50.000 Gs. Si el sueldo promedio pagado a los varones fue de 52.000 Gs. y

el pagado a las mujeres fue de 42.000 Gs. Calcular el número de varones y de mujeres.

Rta.: {

6- La suma de la cifra de un número de dos cifras es de 10, cuando las cifras se invierten, se

obtiene un número que es 2 menos que el triplo del primero. Determinar el número

primitivo.

Rta.: 28

7- ¿Cuántos milésimos equivalen a 11/25?

Rta.: 440 milesimos

8- El producto de dos números es 10. El primero de ellos es igual al duplo del otro más uno

¿Cuáles son los números positivos que cumplen esa condición?

Rta.: 5 ; 2

9- Determinar dos lados de un triangulo rectángulo sabiendo que sus dimensiones son

números consecutivos.

Rta.: 3 ; 4 ; 5

10- Hallar el número que divivdo por 5 da 1 de resto, dividido por 6 da 2 de resto, dividido

por 7 da 5 de resto y que la suma de los cocientes es igual a la mitad de la diferencia

entre el número y 2

Rta.: N=26

11- y trabajando juntos pueden descargar un camión en 3,75 hs. solo, puede

descargarlo en 10 horas ¿Cuánto tiempo tardaría B trabajando solo?

Rta.: 6 horas

Page 194: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 193

12- La longitud de una sala excede a su ancho en 10 m. Si la longitud se disminuye en 2 m y el

ancho se aumenta en 1 m., el área no varía. Hallar las dimensiones de la sala.

Rta.: ,

13- Padre e hijo con 100 fichas cada una, comenzaron a jugar dama. El padre pasaba 6 fichas

al hijo por cada partida que perdía y recibía 4 del hijo cuando ganaba. Después de 20

partidas el número de fichas del hijo era tres veces la del padre ¿Cuántas partidas ganó el

hijo ?

Rta.: 13 partidas

14- Encontrar la fracción equivalente a

tal que la diferencia de sus términos sea igual a 56.

Rta.: 21/77

15- Un grupo de albañiles debía realizar un trabajo de 432 m3. Pero cuatro de estos albañiles

no comparecieron al trabajo y en consecuencia de esto cada uno de los restantes tuvo

que hacer 9 m3 a más de lo que le correspondía. ¿Cuál es el número de albañiles

presentes al trabajo?

Rta.: 12 albañiles

16- Un comerciante tiene dos toneles de vino. El volumen del primero está para el volumen

del segundo como 5 para 4. El litro del primero cuesta tantos medios centavos de dólar

como litros contiene y el litro del segundo cuesta 0,25 menos que el litro del primero.

También se sabe que el valor total de los toneles es de 430,10 . Calcular el volumen de

cada tonel y el precio de cada uno.

Rta.: {

17- Una persona compró un terreno para construcción y un campo contiguo al terreno, juntos

tienen una superficie de 1 ha. y 56 a.

El terreno costó 19.200 Gs. y el campo 14.000 Gs. Sabiendo que el m2 del terreno costó 11

Gs. más que el m2 del campo ¿Cuáles son las superficies del terreno y del campo?

Rta.: {

18- Un caño de hierro pesa 65 Kg, otro caño de 3 m. más largo y cuyo peso, por metro es 2 Kg

superior al primero, pesa 120 kg. Calcular la longitud y los pesos por metro de los dos

caños. Sabiendo que son números enteros.

Rta.: {

19- Un ciclista vá de una ciudad A a otra B, distante 60 Km, con una cierta velocidad

constante. Al retornar de B para A, viaja durante una hora con la misma velocidad anterior,

pero es obligado a parar durante 20 min. Al continuar su viaje aumenta su velocidad en 4

Km/h ¿Cuál es la velocidad primitiva sabiendo que en la ida y en el retorno gastó e mismo

tiempo?

Rta.: V= 20 km/h

Page 195: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 194

20- Compré cierta mercadería por 5000 Gs. y lo vendí ganando al 20% del precio de venta

¿Cuál fue el precio de venta? ¿Qué porcentaje sobre el precio de compra gané?

Rta.: ,

21- Un pedestre parte de A dirigiéndose para B, la distancia entre A y B es de 13200 m. Al

mismo tiempo, un vehículo parte de B para A. El cruzamiento se da después de 44 minutos

y el vehículo llega a A 105 minutos antes de la llegada del pedestre a B. Calcular la

velocidad del pedestre y del vehículo en m/min.

Rta.: {

22- Se han multiplicado entre sí dos números enteros, siendo el multiplicando 63 y el

producto 3339, pero ha habido un error tomando 3 en vez del 5 en las unidades del

multiplicador ¿Cuál debe ser el verdadero producto?

Rta.: 3465

23- Una vendedora de huevos, vende los 2/9 de su canasto, menos 5 huevos. Si añadiera 37 a

los que le quedan, el número primitivo quedaría aumentado de 1/6 ¿Cuántos huevos tenía

en el canasto?

Rta.: 108 huevos

24- ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo que falta para

acabarse?

Rta.: 9 hs a.m.

25- En una vasija de tres litros de capacidad, se vierten dos litros de vino y uno de agua. Se

vacía 1/3 de la mezcla y se llena con agua la vasija. Después se vacía 1/4 de la nueva

mezcla y se vuelve a llenar con agua, por último se vacía la mitad de esta postrera mezcla

y se llena nuevamente con agua. ¿Qué cantidad de vino contiene 1 litro de la última

mezcla?

Rta.:

26- Para vender a crédito un comerciante divide el precio de tabela por 0,80. ¿Cuál es el

aumento porcentual de la compra a crédito sobre el precio de tabela?

Rta.: 25 %

27- Necesito 150 m2 de tela para forrar una pared para exhibición de cine. En la tienda

encuentro la tela que necesito pero el vendedor me informa que esta tela encoje 15% del

largo y 10% del ancho. En el fardo de la tela está escrito que su ancho es de 1,5 m.

¿Cuántos metros de tela debo comprar para que después de mojado me dé justo la

cantidad necesaria?

Rta.: 130,72 m

28- Un comerciante mezcla 16 Kg de café cuyo precio es de 120 Gs./Kg. Con 4 Kg. de soja cuyo

precio es de 15 Gs./Kg. Para vender la mezcla con un beneficio de 20% ¿ A qué precio

debe vender el Kilo de la mezcla?

Rta.: 120 gs/kg

Page 196: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 195

29- Un tren y un coche que va en dirección opuestas se cruzan y media hora después distan

entre sí 30 Km. Si la velocidad del tren es 4 veces la del coche ¿Cuáles son las dos

velocidades?

Rta.: {

30- Al fallecer un padre de familia dispone en su testamento lo que sigue: Al primogénito se le

dará 1000 más la 1/7 parte de lo restante de la fortuna, al siguiente hijo le deja 2000

más la 1/7 parte del segundo resto, y así sucesivamente.

Hallar la fortuna que deja en herencia a sus hijos, el número de herederos y la parte de

cada uno, sabiendo que todos reciben la misma cantidad.

Rta.: Fortuna = 36.000 $ ; c/u = 6.000 $ ; N° de hijos = 6

31- Un barril contiene 120 litros de vino y 180 litros de agua. Un segundo barril contiene 90

litros de vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros deben tomarse de cada uno de los barriles

para formar una mezcla que contenga 70 litros de vino y 70 litros de agua?

Rta.: ,

32- Un comerciante aumenta cada año su fortuna el tercio de su valor, y al fin de cada año

retira 1000 $ para los gastos.

Habiéndose duplicado la fortuna al fin del 3 año, se pregunta ¿Cuánto tenía al principio?

Rta.: 11.100 $

33- Un revendedor vende la mitad de las naranjas, más la mitad de una naranja; una segunda

vez vende la mitad del resto, mas media naranja, y así sucesivamente Después de tres

ventas no le quedan ninguna ¿Cuántas naranjas tenía?

Rta.: 7 Naranjas

34- Dos obreros trabajan juntos, el primero gana por día 1/3 más que el segundo. Al cabo de

cierto tiempo, el primero que ha trabajado 5 días más que el segundo, ha recibido 100.000

Gs. mientras que el otro ha recibido 60.000 Gs.

¿Cuánto gana cada uno por día?

Rta.: {

35- Hallar el precio que un comerciante debe poner a un artículo que a él le cuesta 12.000 gs.

para poder ofrecerlo con un descuento de 20% sobre el precio señalado y todavía, ganar

en la operación un 25% sobre el precio de venta.

Rta.: 18.750

36- Una columna de soldados marcha a una velocidad de 5 Km/h. Un enlace a caballo va

desde la cabeza de la columna y regresa inmediatamente empleando 10 minutos.

Suponiendo la velocidad del caballo 10 Km/h

Hallar la longitud de la columna.

Rta.: 625 m

37- Hallar un número de dos cifras sabiendo que si se divide por el número obtenido al

invertir sus cifras, el cociente es 2 y el resto 7, y si se divide por la suma de sus cifras, el

cociente es 7 y el resto 6.

Rta.: 83

Page 197: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 196

38- Un comerciante compra determinado número de lapiceros por 180.000 Gs. y los vende

todos menos 6 con una ganancia de 2000 Gs. en cada lapicero. Sabiendo que con el dinero

recaudado en la venta podría haber comprado 30 lapiceros más que antes, Calcular el

precio de costo de cada lápiz.

Rta.: 3.000 gs c/u

39- Por medio de un grifo se llena un depósito en 4 horas. Por medio de otro grifo se

llena en 3 horas más que empleando los dos grifos y simultáneamente. Hallar en

cuanto tiempo se llena utilizando solo el grifo .

Rta.: 5 hs 16 min 30 seg

40- Demostrar que

41- Efectuar:

42- Simplificar: (

)

(

)(

)∙

43- Pedro tiene pesos y Luis pesos. Pedro da cierto de pesos a Luis y entonces tiene

veces lo que tiene Luis. ¿Cuántos pesos le dio Pedro a Luis?

Rta.:

44- Un tanque se puede llenar por un grifo en horas y por otro en horas. Un desagüe lo

puede vaciar en horas. Si se abren simultáneamente los grifos y el desagüe. ¿En qué

tiempo se llenara el tanque?

Rta.:

45- puede hacer un trabajo en 8 días y en 12 días. trabaja un cierto número de días y

luego es sustituido por que termina la obra. Entre los dos demoran 11 días. ¿Cuántos

días trabajo cada uno?

Rta.: ,

46- Navegando a toda velocidad rio arriba un barco hace 18 kilómetros por hora. Navegando

a media velocidad rio abajo hace 15 kilómetros por hora. Hallar la velocidad de la

corriente.

Rta.: {

Page 198: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 197

47- En una granja

del número de gallinas blancas es igual a

del número de gallinas

pintadas;

del número de gallinas blancas, más 10 gallinas, es igual a la mitad del número

de gallinas pintadas. ¿Cuántas gallinas hay de cada clase?

Rta.: {

48- En una batalla del Norte de África había 4 tanques italianos por cada 3 tanques ingleses.

Durante la batalla los italianos perdieron 20 tanques y los ingleses 10 tanques, y quedaron

entonces 5 tanques italianos por cada 4 tanques ingleses. ¿Cuántos tanques italianos e

ingleses había al comienzo de la batalla?

Rta.: {

49- Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno

hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido el más

rápido alcanza al otro en 50 segundos. Hallar la velocidad de cada uno.

Rta.: {

50- Dos máquinas de imprenta trabajando juntos pueden imprimir un libro en 20 horas. A los

15 hs una de ellos se rompe y entonces tarda la otra 9 horas más en terminar el trabajo.

¿Cuántas horas necesitaría cada máquina para imprimir ella sola el libro?

Rta.: ,

51- Dos corredores se entrenan en una pista circular que tiene 180 de cia. Cuando corren

en sentidos opuestos se encuentran cada 15 segundos. Cuando corren en el mismo

sentido el más rápido alcanza al otro cada 90 segundos. Hallar la velocidad de cada uno.

Rta.: {

52- Cierto día la velocidad del viento era de 40 km/h a 2.000 pies de altura y de 25 km/h en el

mismo sentido a 6.000 pies de altura. Un aeroplano voló cierta distancia a 2.000 pies de

altura en 4 horas y regreso a 6.000 pies de altura en 5 horas. Hallar la velocidad del

aeroplano en aire tranquilo y la distancia que voló en la ida.

Rta.: ,

53- La suma de las tres cifras de un número es 13. Si el número de dos cifras formado por las

decena y unidades se divide por la cifra de las centenas el cociente es 6 y el resto 0. Si del

número se resta 270 resultan intercambiadas las cifras de las centenas y decenas pero se

conserva la cifra de las unidades. ¿Cuál es el número?

Rta.: 742

Page 199: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 198

54- Tres jugadores , , convienen en que el perdedor duplicará el dinero de los otros dos.

Juegan tres partidos pierden el primer partido, pierde el segundo y el tercero. Si

cada jugador finaliza con 16 gs. ¿Cuánto tenia cada uno al comienzo del juego?

55- Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua. Si se añaden 8 litros de alcohol la

mezcla contendrá 90% de alcohol, pero si se añade 8 litros de agua la mezcla contendrá

75% de alcohol. Hallar las cantidades primitivas de alcohol y agua contenida en la mezcla.

56- Una compañía naviera concede un número fijo de horas de licencia por los 20 primeros

días de navegación corridos, y un cierto número de horas por cada día adicional en exceso.

Si por un viaje de 25 días se dieron 90 hs de licencia, y por uno de 40 días, 180 hs. Hallar el

fijo por los primeros 20 días y el adicional por día.

Rta.: ,

57- Resolver la ecuación:

a)

(

)

b)

58- y , trabajando juntos, pueden construir un muro en 10 días; y en 12 días; y

en 15 días. ¿En cuántos días lo construirán los tres juntos?

Rta.: 8 días

59- ¿Hasta qué distancia puede un hombre ir y volver en 6 hs, si a la ida va en n tranvía cuya

velocidad es 14 km/h y a la vuelta anda a razón de 4 km/h?

Rta.: 18

km

60- He comprado hielo a centavo por kilogramo. ¿A cuánto por tonelada (1.000 kg) debo

venderlo, después que ha perdido por fusión 10% de su peso, para ganar 15% del costo?

Rta.: 12 ,78 U$/ton

61- Dos trenes van de a por vías distintas, una de las cuales tiene 22,5 km más que la

otra. El tren que marcha por la vía más corta va en 6 hs y el otro, cuya velocidad por hora

es 15 km menos que la del primero va en horas. Hallese la longitud de cada vía.

Rta.: {

62- Los gastos de publicación de una revista ilustrada son

centavos por ejemplar. La

revista se vende a 6 centavos el ejemplar y por los anuncios se recibe 10% del precio de

todos los ejemplares vendidos después de los 10.000 ¿Cuál es el menor número de

ejemplares que deben venderse para no perder?

Rta.: 60.000 Ejenmplares

Page 200: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 199

63- Un agricultor compro 10 vacas y 50 ovejas por US$ 750. Vendió las vacas ganando 10%

del costo y las ovejas ganando 30%, y recibió US$ 875 por todas las vacas y ovejas.

¿Cuánto por cabeza pago por las vacas y cuanto por las ovejas?

Rta.: {

64- El producto de dos números es 91 más 10 veces uno de ellos, y también a 51 más 10

veces el otro. Hállense los números.

Rta.: 13 y 17

65- Al mojar una pieza de tela, su largo y ancho disminuyen en un 12,5 y 6,25 por ciento,

respectivamente. Si el área disminuye en 11,5 , y la suma del largo y el ancho

disminuye en

m ¿Cuáles eran las dimensiones primitivas?

Rta.: ,

66- Se tiene un rectángulo de 10 por 8 cm y se desea ampliarlo de suerte que el área sea 2

veces mayor, sin cambiar la relación entre los lados. ¿Qué dimensiones debe tener el

nuevo rectángulo?

Rta.: { √

67- Un terreno rectangular tiene 30 de ancho y

% más de largo. ¿En cuántos metros

debe disminuirse el ancho y aumentarse el largo para que el perímetro aumentarse en 30

, sin cambiar el área?

Rta.: {

68- Formase con dos cuadrados una figura de seis lados como se ve aquí. El área de la figura

es 54 y el perímetro es 32 . Hállese los lados de los dos cuadrados.

69- En un número de tres dígitos, el tercero es la suma de los otros dos; el producto del

primero y tercero excede en 5 el cuadrado del segundo. Si al número se agrega 396, se

invierte el orden de los dígitos. Hállese el número.

Page 201: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 200

SELECCIÓN DE TEMAS- AÑOS ANTERIORES.

1-) Efectuar:

a)

Rta.:

b) √ √ √ √ Rta.: √ √

c) , √ * √ √ +-

Rta.: √

d)

Rta.:

e)

Rta.:

f) [ ] Rta.:

g) √ √

√ √ *√ (√ )

+ Rta.: 1

h)

i) (√

√ ) .

√ / Rta.: √

j) ( ( ) ( )

( ) ( )* (

)

Rta.: 1

k) √ √ √ √

√ √ Rta.: √

l) (

) (

) Rta.:

m)

Rta.: 0

n) √ √ √ √ Rta.: √

Page 202: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 201

2-) Una persona compro cierto número de libros por 42.000gs. Si hubiera comprado 2 libros

menos por la misma suma de dinero, cada libro le hubiera costado 700gs más. ¿Cuántos

libros compro?

Rta.: 12

3-) Una persona tenía un cierto capital del cual gasto los

, si después recibió 1.300gs y ahora

tiene 100gs más que al principio. ¿Cuál era su capital inicial?

Rta.: 1.600 Gs.

4-) A un alambre de 91 m de longitud se le dan tres cortes, de manera que la longitud de

cada trozo resultante es 50% mayor que el inmediato anterior. Hallar la longitud de cada

trozo.

Rta.: 11,2 ; 16,8 ; 25,2 ; 37,8

5-) Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son las reciprocas de las de la ecuación

.

Rta.:

6-) ¿Qué numero debe sumarse a los números 11 ; 6 ; 8 y 4 de tal modo que se

obtenga una proporción geométrica?

Rta.: 2

7-) Un canasto contiene 17 manzanas menos que otro. Si en el primer canasto ponemos cinco

manzanas tomadas del segundo, aquel contendrá un número de manzanas igual a

de los

que quedaron en el segundo. ¿Cuántas manzanas contienen cada canasto?

Rta.: 33 y 16

8-) Un obrero tarda 6 hs más otro obrero en efectuar un trabajo. Hallar el tiempo que

emplearía cada uno de ellos en realizar solo, sabiendo que juntos utilizan 4 hs en

efectuar el mencionado trabajo.

Rta.: 6 y 12 horas

9-) Si le diera a gs 30.000, ambos tendrían igual cantidad de dinero, pero si le diera a

gs 30.000, tendría el cuádruple de lo que le quedaría a ; ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Rta.: 130.000 ; 70.000

10-) Un empleado tiene un contrato de trabajo por 11 años. ¿Cuántos años ya trabajo, si los

del tiempo que ha trabajado son iguales a los

del tiempo que falta para cumplir el

contrato? Rta.: Trabajó 6 años

11-) Cierto número de personas ha hecho un gasto de 12000gs en un bar. En el momento de

pagar faltan 4 personas. La cuota de cada una de las personas restantes se aumenta en

500gs. ¿Cuántas personas estuvieron presentes inicialmente?

Rta.: 12 personas

Page 203: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 202

12-) Una piscina de forma rectangular tiene 20 m de largo, por 8 m de ancho y está orillada por

un pasto de anchura uniforme. Si el área del paseo es de 288 m2. ¿Cuál es su anchura?

Rta.: 4 m

13-) Si se suma 4 al denominador y numerador de un quebrado, la fracción resultante es

reducible a

. Si se le resta 2 al numerador y denominador, la fracción resultante es

equivalente a

. ¿Cuál es la fracción original?

Rta.:

14-) La diferencia de dos números es igual a 2. Los

del mayor sumado al

del menor son

iguales a los

de dicha diferencia.

Hallar los 2 números.

Rta.: {

15-) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) √

Rta.: 2

b)

Rta.: {

c)

{

Rta.: {

d) {

Rta.: {

e) √ √ √ Rta.:

f)

Rta.: {

g)

Rta.: {

Page 204: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 203

16-) Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

{

Rta.: 8

b)

Rta.:

c) √ Rta.: 2

d) Rta.: 2

e)

Rta.: {

17-) Racionalizar el denominador de:

a) √ √

√ Rta.:

√ √

b) √ √

√ Rta.:

√ √

c)

√ √ √ Rta.:

(√ )( √ √ √ )

d) √ √ √

√ √ √ Rta.:

√ √

18-) Efectuar: 0(

)

(

)

1 0(

*

(

)

1 Rta.:

19-) Hallar “ ” en el polinomio , de tal modo que al dividirlo por

de resto

Rta.:

20-) Efectuar:

Rta.:

Page 205: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 204

21-) Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:

Rta.:

22-) Efectuar:

√ √ √

Rta.: 1

23-) Simplificar:

.

/

Rta.:

24-) Hallar un número de dos cifras sabiendo que excede en una unidad al triple de la suma de

sus cifras y que invirtiendo el orden de las cifras se obtiene el número anterior aumentado

en 18

Rta.: 13

25-) Un jardín de forma rectangular esta rodeado por un camino de anchura constante. El área

del jardín es igual al área del camino. ¿Cuál es la anchura del camino si el jardín tiene 15 m

de ancho y 24 m de largo?

Rta.: 3,85 m

26-) Efectuar:

6√

√ √

7

Rta.: √

√ √

√ √

27-) Efectuar:

(

* (

*

Rta.: 0

28-) Un padre va con sus hijos al teatro y al querer sacar entradas de gs 3000 observa que le

falta dinero para pagar las entradas de 3 de ellos. Entonces compra entradas de gs 1500

para todos (padre e hijos) restándole gs 3000. Establecer el número de hijos y el capital

inicial del padre.

Rta.: {

Page 206: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 205

29-) Efectuar:

.

/

Rta.:

30-) Hallar el valor de “ ” en el polinomio de

manera que resulte divisible por

Rta.:

31-) Un comerciante pago 14,40 dólares por un cierto número de ventiladores. Si cada

ventilador hubiese costado 0,02 dólares mas, con la misma suma de dinero hubiese

comprado 24 ventiladores menos. ¿Cuántos ventiladores compro el comerciante ?

Rta.: 24

32-) Efectuar:

√ √ √

Rta.: √ ( √ √ )

33-) Simplificar:

0

1

Rta.:

34-) Una persona tenia una cierta cantidad de dinero y realizo los siguientes gastos:

1º)

de lo que tenia al principio y; 2º) los

de lo que le quedo. Si aun tiene gs 500,

¿Cuánto tenia al principio?

Rta.: 5.000 gs

35-) Factorizar:

Rta.:

36-) Efectuar: √

Rta.: 1

37-) El agua contenida en un tanque de agua que tiene la forma de un cilindro de revolución se

vacía en 3 hs. Si en cada hora, el nivel del agua baja la mitad de la altura más 1m,

determinar la altura inicial del agua en el tanque.

Rta.: 14 m

38-) Deducir las propiedades de las raíces de la ecuación

Page 207: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 206

39-) Efectuar:

.

/

.

/

.

/

Rta.:

40-) Un obrero gasta diariamente los

de su jornal en su alimentación y el

del mismo en

otras atenciones. En 30 días laborales, de los cuales dejo de trabajar 2 días, ha ahorrado

40.000gs. ¿Cuál es su jornal?

Rta.: 20.000 gs/día

41-) Efectuar: √ √

√ √

√ √

42-) Hallar el valor de “ ” para que el valor numérico de

Sea

Y siendo y

Rta.: √

OBSERVACION: Los ejercicios que vienen a continuacion, son referentes a temas de años

posteriores al 2000.

43-) El resto de dividir el polinomio por el binomio

es igual a 10.

Utilizando la regla de Ruffini, determinar el valor de “ ” y el cociente de la división.

Rta.: {

44-) Simplificar:

Rta.:

45-) Resolver la ecuación , sabiendo que sus raíces son

reciprocas y de signos contrarios.

Rta.:

46-) Racionalizar el denominador de la fracción:

√ √

Rta.: √ √

47-) La diferencia de las raíces de la ecuación es igual a 1. Hallar .

Rta.:

Page 208: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 207

48-) Efectuar: a)

Rta.:

b)√ √ √

√ √ √

Rta.:

49-) Un hombre compro cierto número de caballos, pagando un total 2.000 U$. Sabiendo que

murieron 2 caballos, que vendió cada uno de los restantes en 60 U$ por encima del costo

y gano un total 80 U$. ¿Cuántos caballos compro y cuanto le costo cada uno ?

Rta.: 10 Caballos ; 200U$ c/u

50-) 87- Un obrero cavó un pozo en 21 días. Si hubiera trabajado en 2 hs menos por día,

hubiera empleado 6 días más para realizar el mismo trabajo. ¿Cuantas horas por día

trabajo el obrero?

Rta.: 9 horas

51-) Determinar el valor de a, de modo que el cociente de los complejos

sea un

imaginario puro.

Rta.:

52-) Si es un divisor de y de ,

determinar y .

Rta.: ,

53-) La suma de dos números complejos y , es igual a , y el

cociente

es un imaginario puro. Hallar los dos números complejos.

Rta.: ,

54-) Descomponer en fracciones simples:

Rta.:

55-) El producto de las complejas y , es igual a . Hallar

las dos complejas.

Rta.: 2

56-) Descomponer en fracciones simples

Rta.:

57-) Determinar el valor natural de , de manera que la diferencia de las raíces de la ecuación

sea igual a

.

Rta.: {

Page 209: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 208

58-) Dos obreros y recibieron gs 800.000 y gs 450.000, respectivamente. trabajo

cinco días más que . Si cada uno hubiera trabajado el número de días que trabajo el

otro, hubieran recibido la misma suma de dinero.

Calcular el número de días de trabajo de cada obrero y el jornal respectivo.

Rta.: {

59-) Aplicando el esquema de (o Hormer), calcular el valor de “ ” positivo

que hace exacta la división del trinomio por el binomio . Hallar

además el cociente que resulta de la división.

Rta.:

60-) Descomponer la fracción

, en fracciones parciales.

Rta.:

61-) Sin desarrollar el binomio , hallar el término que contiene .

Rta.:

62-) Determinar la cantidad compleja cuyo cuadrado es los

de su conjugada.

Rta.:

63-) Cierto numero de personas alquilo un ómnibus para una excursión. Si hubieran ido 10

personas mas, cada una hubiera pagado 5 dólares menos, y si hubieran ido 6 personas

menos, cada una hubiera pagado 5 dólares más. ¿Cuántas personas iban en la excursión y

cuanto pago cada una ?

Rta.: {

64-) Determinar el valor de y en la ecuación ,

sabiendo que la suma de las raíces es 4, y el producto de las mismas es

Rta.: ,

65-) Determinar la función lineal tal que y , siendo un numero real.

GRAFICO.

66-) Determinar el lugar que ocupa el termino independiente de “ ” y su respectivo valor en el

desarrollo de (

)

Rta.: {

67-) Hallar el máximo común divisor de los polinomios

Por el método de las divisiones sucesivas.

Rta.:

68-) Efectuar: √ √ √

√√ √

Rta.: √

Page 210: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 209

69-) Determinar el complejo de modo que al dividirlo por resulte

Rta.:

70-) Un comerciante compro bolígrafos por U$ 360. Los vende todos menos 2 con una ganancia

de U$ 3 por bolígrafo. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podrá comprar

40 bolígrafos más que antes, calcular el costo de cada bolígrafo.

Rta.:

71-) Aplicando el esquema de (o Horner), determinar:

a) El termino independiente de manera que el polinomio resulte

divisible por el binomio

b) El cociente que resulta de la división.

Rta.: {

72-) Descomponer la fracción

en fracciones simples.

Rta.:

73-) Resolver el sistema: 8

74-) Siendo , hallar los valores de la variable para los

cuales

Rta.: {

75-) Descomponer la fracción

en fracciones parciales.

Rta.:

76-) Efectuar:

Rta.:

77-) Tres jugadores se proponen jugar tres partidos con la condición de que: quien pierda un

juego deberá duplicar el capital que tenga cada uno de los otros dos, en ese momento.

Juegan y cada uno pierde un partido.

Calcular el capital inicial de cada jugador, sabiendo que al cabo de los tres partidos, cada

uno tiene U$ 16.

78-) Un polinomio entero en dividido separadamente por y da resto 6 y 18

respectivamente.

Hallar el resto de dividir el polinomio por el producto

79-) Resolver la ecuación:

Page 211: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 210

80-) Resolver la ecuación , sabiendo que sus raíces son

reales.

81-) Sean las personas y . Si A le diera $ 1 a , ambos tendrían lo mismo; si tuviera

$ 1 menos, tendría lo mismo que , y si tuviera $ 5 mas, tendría el doble de lo que tiene

. ¿Cuánto tiene cada persona ?

82-) Resolver el sistema de ecuaciones:

{

83-) Determinar m y n de modo que el polinomio sea divisible por

el polinomio

84-) Sabiendo que una de las raíces de la ecuación es de la forma ,

hallar los valores posibles de y escribir las ecuaciones respectivas.

85-) Descomponer en fracciones simples:

86-) Descomponer en factores:

87-) Simplificar:

88-) Efectuar:

89-) Determinar el polinomio que al dividirlo por

da por cociente

y por resto

90-) Simplificar:

91-) Siendo un numero natural, calcular el valor de

92-) Resolver la ecuación:

Page 212: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 211

93-) Hallar el valor de n de manera que la ecuación admita

una raíz igual al doble de la otra.

94-) Descomponer en fracciones simples:

95-) Descomponer en factores el polinomio: √ ( √ ) √

sabiendo que es divisible por el binomio: [ ( √ )]

96-) Hallar el termino en en el desarrollo de

97-) Racionalizar el denominador de la fracción:

98-) Dos obreros pueden terminar una obra en 12 días, después de trabajar juntos 4 días, el

más hábil cae enfermo y el otro acaba el trabajo en 18 días.

¿Cuántos días habría empleado cada obrero en hacer solo el trabajo?

99-) Hallar por divisiones sucesivas, el máximo común divisor de los polinomios

2

100-) Hallar el termino de octavo grado en correspondiente al desarrollo de

101-) Un comerciante compro cuadernos por U$ 540.

Los vendió todos menos 18, ganando U$ 2 en cada cuaderno. Sabiendo que con el dinero

recaudado en la venta podría haber comprado 90 cuadernos mas que antes.

Calcular el costo de cada cuaderno.

102-) Un grupo de amigos realizó una excursión pero, finalmente, no pudieron ir 10 de ellos por

que no disponían más que de un cierto número de vehículos; cinco de seis asientos, y el

resto de cuatro asientos. Si los cinco vehículos hubieran sido de cuatro asientos y el resto

de seis, hubieran podido ir todos. ¿Cuántos fueron los excursionistas y cuantos vehículos

fueron realmente utilizados?

103-) El resto de dividir el polinomio , siendo m un número a

determinar; por el binomio , es igual a 10. Hallar el o los cocientes de la división,

utilizando el esquema de .

104-) Descomponer en fracciones parciales

Page 213: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

Cursillo π Ing. Raúl Martínez 212

105-) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales e indicando todos los pasos,

calcular:

*

+

(

)

106-) Diez obreros se comprometieron realizar una obra en 24 días. Trabajaron seis días a razón

de ocho horas diarias. En ese momento se le pidió que acaben la obra en ocho días antes

del plazo que les pidieron al principio. Se contrataron mas obreros y todos trabajaron 12

horas diarias, terminando la obra en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros adicionales fueron

contratados?

107-) Efectuar:

108-) Hallar el termino independiente de en el desarrollo de (√

)

109-) Un comerciante compró cierto número de unidades de un artículo por un total de US$ 720.

Hallar el número de unidades que compro, sabiendo que obtuvo una ganancia igual al

importe del costo de ocho de ellas al venderlas a US$ 40 cada una.

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ALGEBRA

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213

TOMO II SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO RESUELTOS POR ARTIFICIOS

PROGRESIONES

LOGARITMOS

ANALISIS COMBINATORIO Y BINOMIO DE NEWTON

MATRICES Y DETERMINANTES

SELECCIÓN DE TEMAS DE AÑOS ANTERIORES

EJERCICIOS VARIADOS

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ALGEBRA

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214

CAPITULO 9 SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Generalidades

Sistema de dos ecuaciones de segundo grado

Ejercicios propuestos

Sistemas de segundo grado resueltos por artificios: 21 Casos

Ejercicios propuestos

CAPITULO 10 PROGRESIONES

Progresión Aritmética

Deducción de la fórmula para calcular el enésimo termino de P.A.

Anexo

Deducción para hallar la formula de la suma de los n primeros términos

Progresión armónica ( No figura en el programa de FIUNA ) Ejercicios

Progresión Geométrica o por cociente

Deducción de la fórmula para hallar el enésimo término de una P.G.

Anexo

Deducción de la fórmula para calcular la suma de los primeros términos

Anexo

Progresión infinita o secuencia

Suma de los términos de una progresión geométrica infinita y decreciente

Ejercicios de P.G. infinitas

Ejercicios propuestos - Misceláneas

CAPITULO 11 LOGARITMOS

Definiciones

Propiedades de los logaritmos

Anexo

1* Grupo de ejercicios - Ejercicios propuestos

2* Grupo de ejercicios - Ejercicios propuestos

3* Grupo de ejercicios: Primer sub grupo – Ejercicios

Segundo sub grupo – Ejercicios

Tercer sub grupo – Ejercicios

Cuarto sub grupo – Ejercicios

Misceláneas

Función exponencial creciente y decreciente

Ejercicios propuestos sobre inecuaciones exponenciales

Page 216: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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215

CAPITULO 12 ANALISIS COMBINATORIO Y BINOMIO DE NEWTON

Factorial de n - Ejercicios

Permutaciones simples

Arreglos simples

Combinaciones simples

Ejercicios

Propiedades de las combinaciones: Combinaciones complementarias

Propiedad de Stteffel

Ejercicios propuestos

Triangulo de Tartaglia

Producto de Stevin

Binomio de Newton

Propiedades del Binomio de Newton

Ejercicios Propuestos

CAPITULO 13 MATRICES Y DETERMINANTES

Definición

Clasificación de matrices

Matriz cuadrada

Clasificación de las matrices cuadradas

Matriz inversa

Igualdad de matrices

Operaciones básicas con matrices: Suma de matrices

Producto de un escalar por una matriz

Propiedades de estas operaciones

Ejercicios propuestos

Productos de matrices

Propiedades de la multiplicación de matrices

Ejercicios propuestos

Determinantes de una matriz cuadrada

Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada

Adjunto o cofactor de un elemento

Desarrollo de los determinantes: Determinantes de orden

Determinantes de orden

Regla de Sarrus

Método de Laplace

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ALGEBRA

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216

Propiedades de los determinantes

Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Método de determinantes: Regla de Hamer

Matrices inversible - Propiedades

Determinación de la matriz inversa: 1º Método de ecuaciones

Combinación Lineal de líneas de una matriz

Dependencia lineal o independencia lineal de líneas

Operaciones elementales de líneas de una matriz

Segundo Método para hallar la matriz inversa: Matriz ampliada

Tercer Método para hallar : Método del adjunto o cofactor

Sistema de ecuaciones lineales

Recolección de sistemas lineales: 1º Método matricial

2º Método{

Rango de una matriz

Determinación del rango de una matriz: Método de Gaus

Ejercicios de matrices y determinantes-Misceláneas

CAPITULO 14

Selección de temas de años anteriores

Ejercicios variados

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ALGEBRA

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217

SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1 - Generalidades : Un sistema de ecuaciones es de segundo grado cuando por lo menos una

de las ecuaciones del sistema es de 2° grado.

La resolución de un sistema de ecuaciones consiste en eliminar variables hasta obtener

una ecuación final con una variable y la solución del sistema comienza con esta ecuación final.

El grado de la ecuación final depende del grado de las ecuaciones del sistema;

normalmente es el producto de los grados de las ecuaciones del sistema y es por eso que el

algebra elemental no siempre puede resolver todos los sistemas de 2° grado.

Pero siempre hay excepciones y existen artificios algebraicos que tornan posible

resolver sistemas de ecuaciones de 2° grado.

La ecuación completa de segundo grado a dos incógnitas es de la forma:

Siendo : {

} …………………………… denominados términos cuadrados.

……………………………………. denominado término rectángulo

{

} …………………..…………… denominados términos lineales.

…………………………………… denominado término independiente.

No siempre una ecuación de segundo grado a dos incógnitas es completa, en general faltan

algunos términos.

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218

SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE 2° GRADO

Sea el sistema :

{

El proceso general para resolver estas ecuaciones consiste en eliminar por

reducción o suma uno de los términos cuadrados; por ejemplo el término de ambas

ecuaciones.

En estas condiciones obtendríamos una ecuación del tipo:

………………………… ( )

De esta ecuación despejamos la variable ; obteniendo

………………………………………

Que llevamos en una de las dos ecuaciones originales ( 1 ) o ( 2 ) y obtenemos en general

una ecuación de 4° grado que es la ecuación final del sistema.

Este proceso general queda reducido cuando las ecuaciones no son completas con respecto

a los términos cuadrados.

Ejemplo 1 : Sea el sistema:

{

Restando miembro a miembro tendremos:

Luego

…………………………… ( a )

( a ) en ( 1 ) …… (

) (

)

(

)

Simplificando:

Resolviendo esta ecuación tendremos:

{

}

……………………………… en ( a ) tendremos ……….……

{

Page 220: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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219

Ejemplo 2

2

de ( 1 )

…………………… ( a )

( a ) en ( 2 ) ………………

que resolviendo tendremos …… {

Llevando estos valores en ( a ) obtendremos : 8

Ejemplo 3

2

de ( 2 ) ………………

……………………………. ( a )

( a ) en ( 1 ) ……………………………

que resolviendo tendremos {

en ( a ) …………………{

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ALGEBRA

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220

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) 2

Rta.: 2

2

2) {

Rta.: 2

8

3) 2

Rta.: 2

{

4) 2

Rta.: 2

{

5) {

Rta.: 2

{

6)

{

Rta.: 8

8

8

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ALGEBRA

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221

SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO RESUELTOS POR ARTIFICIOS

Los artificios utilizados para resolver estos sistemas tienen por base las propiedades de la

ecuación de 2° grado, debido a eso lo recordaremos un poco.

Sea la ecuación de 2° grado ……………………(1)

En su forma reducida tendremos:

…………….(2)

Que representa la misma ecuación, es decir una ecuación equivalente.

Las propiedades de las raíces son:

[

Luego conociendo la suma y el producto de las raíces podemos reescribir la ecuación original

Primeramente analizamos los principales casos con ecuaciones literales y luego hacemos

ejemplos numéricos.

1° Caso: sea el sistema:

0

Luego formamos la ecuación de 2° grado

Resolviendo la ecuación

}

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222

2° Caso :

0

Elevando la ecuación (1) al cuadrado tendremos:

de (2) ………………………………………

Luego √ ……………………………………………….

Combinando la ecuación com tendremos 2 sistemas.

2

√ y 2

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ALGEBRA

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223

3° Caso :

0

Luego formamos el sistema 2 √

Otra forma de resolver el sistema:

0

Elevando la ecuación ( 2 ) al cuadrado, formamos el nuevo sistema

0

Luego formamos la ecuación

Que resolviendo tendremos 2

y todo funciona como una ecuación bicuadrada

Page 225: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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224

4° Caso :

0

Elevando ( 1 ) al cuadrado …………………………….

( 2 )…………………………

………………

Luego tenemos el sistema: 8

5° Caso :

0

Elevando al cuadrado la ecuación ( 1 ) y cambiando de signo.

( 2 ) ………………………………………….

y formamos el sistema 8

Page 226: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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225

6° Caso:

0

La segunda ecuación escribimos

………………………….

y formamos el sistema : 8

7° Caso :

6

de la ecuación ( 2 )……………

……………….

y formamos el sistema : 8

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ALGEBRA

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226

8° Caso :

6

de (1) ……………..

…………..

y formamos el sistema 2

9° Caso :

0

De la ecuación ( 2 ) …………

…………………………

( 1 ) en ( m )

Luego

………………………………. ( 3 )

y formamos el sistema: 8

Page 228: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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227

10° Caso :

6

Transformando la ecuación ( 1 ) y ( 2 ) …….….6

Multiplicando y dividiendo miembro a miembro tendremos

8

{

OBS: Para combinar los signos debemos tener en cuenta ( 1 ) y ( 2 )

11° Caso:

0

De la ecuación ( 2 ) ….. ……………….

Haciendo 2

0

que ya se puede resolver fácilmente ; llevando los resultados de y en ( 3 ) y ( 4 )

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ALGEBRA

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228

12° Caso :

0

Elevando la ecuación ( 1 ) al cubo

…………………………

Luego formamos el sistema: 8

13° Caso :

0

Factoreando la ecuación ( 2 ) ……………

…………………

y formamos el sistema : 8

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ALGEBRA

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229

14° Caso :

0

Elevando ( 1 ) al cuadrado

………………

Elevando al cuadrado

……………

( 2 ) en ………………

…………………………….

Resolviendo esta ecuación de 2° grado en

tendremos: √

……………………………..

Luego formamos el sistema : 8

15° Caso :

[

de la ecuación ( 2 ) ……………………

………………..

en ……………….……. ……..……………………...

Esta ecuación puede ser descompuesta en dos 2

que combinando con ( 1 ) formamos los sistemas equivalentes.

2

y 2

Nuevamente aplicamos el 4° Caso y el 3° Caso respectivamente.

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230

16° Caso :

0

Estas ecuaciones homogéneas pueden ser resueltas por un artificio especial

Haciendo ……………………..

( a ) en ( 1 ) y ( 2 ) …………………. 2

O también ………………………………. 2

Dividiendo m. a m. las ecuaciones y tendremos :

Luego 8

9.…………………en

17° Caso :

0

Estas ecuaciones son denominadas ecuaciones simétricas o cíclicos, porque no se alteran al intercambiar la por la , y viceversa. Los sistemas de este tipo pueden ser resueltos por un artificio especial.

*

Llevando en ( 1 ) y ( 2 ) obtendremos:

[

Una vez resuelto este sistema llevamos en

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231

18° Caso :

[

Multiplicando m. a m. estas tres ecuaciones tendremos :

. . . √ ………………. Llevando sucesivamente ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) en tendremos la solución del sistema propuesto . 19° Caso :

[

Efectuando los productos tendremos : {

Sumando miembro a miembro

…………………………

Llevando ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) sucesivamente en tendremos.

{

}

Multiplicando m. a m. la ecuación tendremos.

( ) ( ) –

√( ) ( ) ( )

………………………

Combinando nuevamente la ecuación con las ecuaciones obtendremos los

resultados de las ecuaciones propuestas.

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232

20° Caso :

Separando las ecuaciones :

{

o también …

{

haciendo la substitución de variables …

{

}

en ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) tendremos:

[

Esta ecuación y ya son fácilmente resueltos y luego tendremos la misma

ecuación del 18° Caso.

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233

21° Caso :

[

Efectuando las operaciones :

{

Sumando m. a m. estas ecuaciones tendremos :

√ …………………………………

Llevando en ( 1 ) ( 2 ) y ( 3 ) respectivamente

tendremos …….

{

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234

EJERCICIOS PROPUESTOS: ( SISTEMAS DE 2° GRADO POR ARTIFICIO)

1 ) 2

Rta : {

{

2 ) 2

Rta : {

{

3 ) {

Rta : 2

2

4 ) {

Rta : 2

2

5 ) {

Rta : {

{

6) {

Rta : {

{

7) {

Rta : 2

2

{

8 ) {

Rta : ⏟ ⏟ ⏟ ⏟

9 ) {

Rta : ⏟ ⏟ ⏟ ⏟

10 ) {

Rta : ⏟ ⏟

( √ )

}

11 ) {

Rta : ⏟ ⏟

12 ) {

Rta : ⏟ ⏟ ⏟ ⏟

Page 236: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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235

13 ) 2

– Rta :

14 ) 2

Rta :

15 ) 2

Rta : √

√ √

√ √

16 ) {

Rta :

17 ) {

Rta : √ √ √

18)

Rta :(

) (

)

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236

PROGRESION ARITMETICA

Una progresión aritmética (o por diferencia) es una sucesión en la cual, cada término después

del primero se obtiene sumando al término procedente un mismo número fijo, llamado razón

o diferencia común.

Luego:

. . .……...………......

........................

La razón (diferencia) puede ser:

..........Progresión aritmética CRECIENTE

.......... Progresión aritmética CONSTANTE

.......... Progresión aritmética DECRECIENTE

.............es el 1º término de la progresión

.............es el 2º término de la progresión

............ ´´ ´´ 3º ´´ ´´ ´´ ´´

………………es el penúltimo termino de la progreción.

............es el último o enésimo término de la progresión.

…………..es la razón o diferencia común.

Obs.: Siempre será posible formar una proporsión aritmética con cuatro términos

consecutivos cualesquiera de una progresión aritmética.

También con cuatro términos consecutivos dos a dos.

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237

DEDUCCION ARITMETICA PARA CALCULAR EL ENESIMO TÉRMINO DE UN P.A.

Consideremos la progresión aritmética

En que: ............ es el primer término.

...............es la razón o diferencia.

...............es el enésimo ( ) término.

...............es el número de términos.

Queremos calcular el valor del término que está en el enésimo ( ) lugar.

Sabemos que en toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior, más la razón, es decir:

Vemos que cada término es igual al primer término de la progresión , más tantas veces la

razón como términos le proceden.

Por consiguiente como al término le proceden términos,

Tendremos:

Que es la fórmula para calcular el enésimo termino, de un P.A. conociendo , y .

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238

ANEXO:

1- En una progresión aritmética siempre podremos expresar cualquier término en función del primero y de la razón.

Esta propiedad es muy utilizada para resolver varios problemas.

Formando ecuaciones cuando se conoce por ejemplo la suma de dos o mas términos

cualesquiera.

2- En una progresión aritmética finita, los términos que están en los extremos se llaman

extremos y los términos entre los extremos se llaman medios.

3- Interpolar o insertar medios aritméticos entre dos números dados, consiste en

formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los números dados.

4- En una progresión aritmética finita, la suma de dos términos equidistantes de los

extremos es igual a la suma de los extremos.

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Obs.: Si el número de términos de una P.A., es impar, la suma de los extremos es igual al doble del término central.

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239

DEDUCCION DE LA FORMULA PARA HALLAR LA SUMA DE DOS “ ” PRIMEROS

TERMINOS.

Sea la progresión aritmética ∙ ∙ ∙ ∙

En que:

{

Designando por la suma de los términos de esta P.A. tendremos:

(La 2º expresión está escrita en orden inverso)

Sumando miembro a miembro estas dos igualdades tendremos los siguientes pares de

sumas parciales.

}

Es decir:

Luego

Es decir:

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240

EJERCICIO ESPECIAL DE P.A. (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

-Calcular la suma de los cuadrados de los primeros números naturales.

Utilizamos la formula

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

}

Sumando m. a m.

[

] [

]

( )

( )

Siendo

Calcular una fórmula para hallar la suma de los cubos de los primeros números naturales

Obs.: Proceder de forma análoga partiendo de

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241

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE

Es una sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene multiplicando el

término precedente por un mismo número fijo llamado cociente o razón común .

Siendo así la sucesión.

Es una expresión geométrica cuando:

Cuando esta razón es:

Progresión geométrica CRECIENTE

”” ”” CONSTANTE

”” ”” DECRECIENTE

”” ”” DE TERMINOS CON SIGNOS ALTERNADOS

En la progresión de arriba:

Es el 1º término de la P.G.

Es el 2º término de la P.G.

Es el 3º término de la P.G.

Es el enésimo termino de la P.G

OBS.: En toda progresión geométrica, siempre será posible formar una proporción geométrica

con cuatro términos consecutivos.

También con cuatro términos consecutivos dos a dos.

Y con tres términos consecutivos podremos formar una proporción continua.

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242

DEDUCCION DE LA FORMA PARA HALLAR EL ENESIMO TÉRMINO DE UNA P.G.

Consideremos la P.G. ∙∙ ∙∙

Siendo:

{

Queremos calcular la fórmula para hallar el valor de en función de los otros datos.

Sabemos por definición de P.G., que cada término después del 1º, es igual al anterior

multiplicado por la razón, es decir

Vemos que cada término es igual al primer término de la progresión , multiplicado por la

razón , elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden.

Como al término enésimo le preceden términos tendremos:

Que es la formula buscada.

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243

ANEXO:

1- En una progresión geométrica, siempre podremos expresar cualquier término de la

progresión en función del 1º término y de la razón.

Ej.:

Esta particularidad nos permite resolver varios problemas, formando las ecuaciones

correspondientes.

2- Los términos que se encuentran entre dos términos cualesquiera de una progresión

geométrica se llaman medios geométricos entre esos dos términos.

3- Interpolar medios geométricos entre dos números, es formar una PG cuyos extremos

sean los números dados.

4- En una progresión geométrica finita, el producto de dos términos equidistantes de los

extremos es igual al producto de los extremos.

En la progresión geométrica

∙∙

∙∙

Tendremos:

OBS.: Cuando el numero de términos de una progresión geométrica es un número

IMPAR, el producto de los extremos es igual al cuadrado del término central.

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244

DEDUCCION DE LA FORMULA PARA CALULAR LA SUMA DE LOS “ ” PRIMEROS TÉRMINOS.

Sea la progresión geométrica finita.

∙∙

∙∙

Siendo: {

Llamando a la suma de los términos de esa progresión geométrica, tendremos:

Multiplicando esta expresión por tendremos:

Escribiendo convenientemente estas dos expresiones para restar miembro a miembro, la 1º

de la 2º, tendremos:

– –

Al efectuar esta resta debemos tener en cuenta que cada término multiplicado por la razón da

el siguiente término.

Factorizando en (1) .............. –

O también

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245

ANEXO:

1- La progresión aritmética y geométrica son secuencias de números que están relacionados

entre sí en diferentes jerarquías de operaciones.

Progresión aritmética......................... se suma la razón

Progresión geométrica....................... se multiplica la razón

Este hecho facilita mucho la fijación de las formulas

P.A. ................................

P.G. ................................

Las operaciones de las formulas suben una jerarquía

Esta analogía no es posible hacer con la suma de los términos porque en la progresión

geométrica su correspondiente será el producto de los primeros términos, es decir:

...............................P.A.

Producto de los términos √ ∙

.............................P.G.

2- Siempre será posible formar una proporción aritmética o geométrica de cuatro términos

consecutivos de una P.A. o P.G. respectivamente.

3- Es utilizada como notación de la progresión aritmética.

4- Es utilizada como notación de la progresión geométrica.

∙∙

∙∙

5- Si en un determinado problema no especifica que tipo de progresión es pero da términos

para saberlo, la primera cosa que debemos hacer es identificarla.

6- No siempre los problemas de progresiones se resuelven con las formulas, algunas veces la

solución está en formar ecuaciones utilizando los conceptos de progresión o también

podrán utilizarse en combinaciones con las proporciones correspondientes.

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246

PROGRESIÓN INFINITA O SECUENCIA

En realidad toda progresión es una secuencia infinita de términos en dos sentidos, creciente y decreciente.

Ej.: .............

Pero al decir progresión estamos considerando una parte limitada de la secuencia finita, es

decir una progresión finita con un número determinado de términos.

Cuando tenemos una progresión geométrica decreciente, es decir:

En este caso el termino va disminuyendo con el aumento de y en el limite cuando tiende

al infinito, el termino general será tan pequeño que podríamos considerarlo despreciable, y

en este caso podríamos calcular la suma de los términos cuando tiende al infinito.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA.

La fórmula para calcular la suma de los términos de P.G. es:

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247

EJEMPLOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICA INFINITAS.

1º EJEMPLO: ∙∙

∙∙

Calcular la suma de los términos cuando

2º EJEMPLO: Calcule la fracción generatriz del decimal .....

3º EJEMPLO: Hallar la fracción generatriz de .......

Luego:

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248

EJERCICIOS PROPUESTOS: P.G. INFINITAS.

1- Calcular la suma de los términos de las progresiones:

a.

b.

/

c.

2- Obtenga la fracción generatriz de los siguientes decimales.

a) 0.4233.... b) 1.355.... c) 2.25151....

3- Resolver las ecuaciones donde el primer miembro es una P.G. infinita.

a)

b)

c)

4- Los radios de infinitos círculos se dan por los términos de la progresión( ).

Calcular la suma de las áreas de los círculos.

5- Cuál es el valor de la expresión

6- Una pelota es lanzada en la vertical hacia el suelo, desde una altura . Cada vez que

golpea el suelo, sube hasta la mitad de la altura de la que cayó. Determine la distancia

total recorrida por la pelota en su trayectoria, hasta alcanzar el reposo.

7- El lado de un triangulo equilátero mide 3 cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se

obtiene un nuevo triangulo equilátero.

Uniendo los puntos medios de los lados del nuevo triangulo se obtiene otro triangulo equilátero y así sucesivamente.

a) Determine la suma de los perímetros de todos los triángulos.

b) Determine la suma de las áreas de todos los triángulos.

8- Determine el valor de que satisface la igualdad.

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249

EJERCICIOS SOBRE PROGRESIONES

A) Progresiones aritméticas:

1- Hallar la razón en cada una de las P.A.

a) .............................Rta.:

b) ...................................................Rta.: 3

2- Escribir los tres términos siguientes en cada P.A.

a) Rta.:

b) Rta.:

c) Rta.: (

) (

)

d) ( √ ) ( √ ) Rta.: ( √ ) ( √ ) ( √ )

3- Formar la progresión aritmética, sabiendo que: 2

Rta.:

4- Sabiendo que y . Determinar el 5º término de la P.A.

Rta.:

5- ¿Cuántos múltiplos de 12 existen entre 100 y 900? Rta.: 66

6- La ganancia de un obrero esta en P.A.

El tercer mes gano 540.000gs, el quinto mes 600.000gs y el último mes 840.000gs.

¿Cuántos meses trabajo el obrero? Rta.: 13 meses.

7- Las perdidas de tres años de una casa de comercio están en progresión aritmética.

El último año perdió 300.000gs y la pérdida de cada año fue de 60.000gs menos que el

año anterior. ¿Cuánto perdió el primer año? Rta.: 420.000

8- Luisa hace una compra pagadera en 10 cuotas. Abono 180.000gs por la primera

cuota. Si cada cuota posterior sufre un aumento de 10.000gs en relación a la cuota

anterior. ¿Cuántos gs abonara por la última cuota? Rta.: 270.000

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250

9- Hallar el primer término de una P.A., cuyo cuarto termino es 27 y el noveno término es 52.

Rta.: 12

10- Interpolar 6 medios aritméticos entre 1 y

Rta.:

11- Determinar la media aritmética entre y

Rta.:

12- La suma de los 10 términos consecutivos de una P.A. es 120 y el primer término es 3. Determinar los términos de dicha progresión.

Rta.: 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 21

13- El tercer término de una progresión aritmética es 14 y el noveno . Encontrar la suma de los 12 primeros términos.

Rta.:

14- Formar la progresión aritmética cuyo primer termino es 1 y la suma de los cinco

primeros términos es igual a

de la suma de los cinco términos siguientes.

Rta.:

15- Los números de una rifa están numerados del 1 al 100. El comprador paga lo que le indica

el número elegido. Hallar la recaudación sabiendo que se vendieron todos los números.

Rta.: 5050

16- Una persona ahorra cada mes 100 dólares más que en el mes anterior. En 10 años sus

ahorros suman 720.000 dólares. Determinar cuanto ahorro el primer y ultimo mes

Rta.: 2

17- Hallar cuantos meses se empleara en saldar una deuda de 2775 U$ pagando 20U$ el

primer mes, 25 U$ el segundo; 30 U$ el tercero y así sucesivamente.

Rta.: 30 meses

18- Hallar el valor de cada uno de los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que el

menor vale 30º y todos ellos forman una P.A.

Rta.: 30° ; 70° ; 110° ; 150°

19- Las edades de 4 hermanos suman 72 y están en P.A. Sabiendo que la edad del mayor

duplica a la del menor, determinar las edades de los 4 hermanos.

Rta.: 12 ; 16 ; 20 ; 24

20- Resolver la ecuación: .

Sabiendo que los términos del primer miembro forman una P.A. Rta.:

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251

B) Progresiones geométricas:

21- Escribir los tres términos siguientes en las P.G.

a) Rta.:

b)

Rta.: ⁄ ⁄ ⁄

c)

Rta.:

d) Rta.:

22- La razón de una P.G. de cinco términos es 4 y el último término es 1.280. ¿Cuál es el

primer término de dicha progresión?

Rta.:

23- El tercer término de una P.G. es 28 y el quinto término es 112. Formar la progresión.

Rta.: 7 ; 14 ; 28 ; 56 ; 112

24- En una P.G. De razón positiva, la suma del tercer término con el 4º es 240 y la suma del quinto con el sexto es 3840. Formar la progresión.

Rta.: 3 : 12 : 48 : 192 : 768 : 3072

25- La suma de tres números que están en progresión geométrica es 28 y el producto entre ellos es 512. Calcular los tres números.

Rta.:

26- Hallar el valor de para que la sucesión: y sea una progresión geométrica.

Rta.: ⁄

27- En una progresión geométrica el segundo término es igual a 6 y el quinto término es

.

Formar la progresión. Rta.:

28- Interpolar 5 medios geométricos entre

y

. Rta.:

29- ¿Cuántos medios geométricos debemos insertar entre 1 y 625 a fin de obtener una P.G. cuya razón sea 5.?

Rta.: 3

30- Hallar la media geométrica positiva de

y 18. Rta.: 3

31- El valor del 3º término de una P.G. es 32 y la diferencia entre el 4º y el 2º término es 120. Calcular la razón y la suma de los 4 primeros términos.

Rta.: 2

32- ¿Cuántos términos debemos considerar en la progresión geométrica: , para obtener una suma de 1533 ? Rta.: 9 terminos

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252

MISCELANEAS SOBRE PROGRESIONES:

1- Hallar la suma de los 100 primeros números naturales. Rta.: 5050

2- Hallar la suma de los primeros números pares. Rta.:

3- Hallar la suma de los primeros números impares. Rta.:

4- Un cuerpo cae sin velocidad inicial, de cierta altura y recorre en el 1º segundo 4,9mts. Si en

cada segundo siguiente aumenta el espacio en 9,8 mts que es la aceleración de la

gravedad, y tarda en llegar al suelo 10 segundos, averígüese la altura de donde cayo dicho

cuerpo.

Rta.: 490 m

5- ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 hs si no suena más que a las horas?

Rta.: 2460

6- Hallar la suma de los 40 primeros múltiplos de 3. Rta.: 1830

7- Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 que siguen a 60.

8- Un vagón se desprende de un tren que sube por una pendiente, recorre durante el primer

segundo 0,30 mts, durante el segundo ; durante el tercero , durante el

cuarto . ¿Cuánto recorre un minuto que dura su descenso? Rta.: 1080 mts

9- Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al

lado de una calzada; los árboles están a 6 mts de distancia, y el montón de arena esta a 10

mts antes del 1º árbol. ¿Qué camino habrá recorrido después de haber terminado su

trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? Rta.: 5820 mts

10- El producto de 5 números en P.A. Es 12320 y su suma 40. ¿Cuáles son estos 5 números?

Rta.: 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14

11- Un coronel que manda 3003 hombres quiere formar sus soldados en triangulo de manera

que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas

filas habrá? Rta.: 77 filas

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253

12- Hallar las sumas de las primeras potencias pares de 2.

Rta.:

13- Averiguar los 4 ángulos de un cuadrilátero sabiendo que estos ángulos están en progresión

geométrica y que el último es igual a 9 veces el segundo.

Rta.:

14- Dividir 221 en tres partes que forman una P.G., tal que el tercer termino exceda al primero

en 136.

Rta.:

15- La suma de los tres términos de una P.G. es 248 y la diferencia de los términos extremos

192. ¿Cuáles son esos tres términos?

Rta.:

16- Hallar 4 números en P.G., tales que la suma de los dos primeros sea 28 y la de los dos

últimos 175.

Rta.:

17- Una progresión geométrica tiene 6 términos, la razón es igual al 1º término con signo

contrario y la diferencia de los dos primeros términos es 42. Encontrar la suma de los

términos.

Rta.: 2

18- Determinar una progresión geométrica de 7 términos conociendo la suma 26 de los tres

primeros y la suma 2.106 de los tres últimos.

Rta.: 2 : 6 : 18 : 54 : 162 : 486 : 1458

19- En una progresión geométrica de 7 términos, la suma de los 6 últimos términos, es el doble

de la suma de los 6 primeros.

Sabiendo que esta ultima es

, determinar la progresión.

Rta.:

20- La suma de los términos de una progresión geométrica de 5 términos es 484, la de los

términos de orden par es igual a 120. Determinar la progresión.

Rta.: 4 : 12 : 36 : 108 : 324

21- ¿Pueden los números 12, 20 y 35 formar parte de una progresión aritmética o geométrica?

Rta.: NO

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254

22- Un alga crece de modo que cada día ella cubre una superficie de área igual al doble de la

cubierta el día anterior. Si el alga cubre la superficie de un lago en 100 días. ¿Cuántos días

son necesarios para que dos algas de la misma especie de la anterior cubran la superficie

del mismo lago?

Rta.: 99 dias

23- Los frutos de un árbol atacados por insectos, fueron pudriéndose día tras día, siguiendo los

términos de una progresión geométrica de primer termino 1 y razón 3, es decir en el primer

día se perdió 1 fruto, en el 2º día otros 3 , en el 3º día 9 frutos , y así sucesivamente. Si en

el séptimo día se perdieron los últimos frutos. Calcular el número de frutos atacados por

los insectos.

Rta.: 1.093

24- El numero 38 se divide en tres partes positivas formando una progresión geométrica, de

tal modo que si se adiciona una unidad a la segunda parte, se obtiene una progresión

aritmética. Hallar la mayor de las tres partes.

Rta.: 2

25- Una cierta especia de bacteria se divide en dos, cada 20 minutos y otra, cada 30 minutos.

Determine después de tres hs. La razón entre el número de bacterias de la primera y el de

la segunda especie, originada por una bacteria de cada especie.

Rta.: 8

26- Si . Calcular el valor de .

Rta.:

27- La media aritmética de los 20 números pares consecutivos comenzando en 6 y terminando

en 44 es: Rta.: 25

28- Dos caminantes inician juntos una caminata. Uno de ellos camina uniformemente 10 km

por día, y el otro camina 8 Km en el primer día y acelera al paso de manera a caminar más

Km a cada día que sigue. ¿Cuál es el número de días caminados para que el segundo

caminante alcance al primero?

Rta.: 9 dias

29- Un atleta corre siempre 500 mts más que el día anterior. Se sabe que al final de 15 días

corrió un total de 67500 mts. Calcular el número de mts recorrido en el tercer día.

Rta.: m

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255

30- Encontrar cinco números enteros consecutivos, tales que el número que ocupa la posición

central sea la media aritmética de los otros.

Rta.:

31- Hallar dos números cuya media aritmética sea

y cuya media geométrica 30.

Rta.: 75 y 12

32- Una progresión geométrica de razón positiva consta de 4 términos. Sabiendo que la suma

de los dos primeros es 8, y que la correspondiente de las ultimas dos es 72. Determinar

dicha progresión.

Rta.: 2 : 6 : 18 : 54

33- En una progresión aritmética creciente de 6 términos, la suma de los términos de orden

impar es 27 y la suma de los términos de orden par es 36. Escriba la P.A.

Rta.:

34- Determine la P.A. Creciente de tres términos no nulos, en que el término medio es igual al

producto de los extremos y el producto de los tres términos es igual a la suma de ellos.

Rta.: ( √ ) ( √ )

35- Si es la suma de los impares del 1 al 49 y si

es la suma de los pares de 2 a 50 . Calcule – .

Rta.:

36- Los números que expresan el lado, la diagonal y el área de un cuadrado están en P.A. En

ese orden. Determine el lado del cuadrado.

Rta.: √

37- Un librero coloca 27 libros en un estante, de izquierda a derecha, en orden creciente de

precios. Si el precio de cada libro difiere de los adyacentes en 2 unidades monetarias, y el

precio del libro mas barato es igual a 12,5 % del precio del más caro. ¿Cuánto cuesta el

libro más caro?

Rta.:

38- Las progresiones aritméticas y tienen 100 términos

cada una. El numero de términos iguales en las dos progresiones es:

Rta.: 26

39- Determine el valor de , de modo que los números formen

en este orden una P.G.

Rta.:

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256

40- Dados los números 1 , 3, y 4 en este orden, determine el número que se debe sumar a

cada uno de ellos para que se tenga una progresión geométrica.

Rta.:

41- En una progresión geométrica creciente, el segundo termino es igual a √ y el tercer

termino es el doble que el primero. Calcule la suma de los 12 primeros términos de la

progresión.

Rta.: √

42- Se compra un automóvil que se pagara en 7 cuotas crecientes: el 1º pago a realizarse es de

1000 unidades monetarias y cada una de las siguientes es el doble de la anterior. ¿Cuál es

el precio del automóvil?

Rta.: 127.000

43- Sabiendo que los números 2 , están simultáneamente en P.A. y P.G.

Calcule e .

Rta.:

44- Se dan 3 números enteros en progresión geométrica cuya suma es 26. Determine esos

números sabiendo que el primero, el doble del segundo y el triple del tercero forman una

progresión aritmética.

Rta.: {

45- Resolver el sistema.

8

Rta.:

{

46- La suma de los términos de orden impar de una P.G. infinita es 20 y la suma de los

términos de orden par es 10.

El tercer término de esa progresión geométrica es:

Rta.:

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257

47- En la serie de los grupos impares se forman los grupos siguientes:

( 1 ) …… ( 3 ; 5) ……. (7 ; 9 ; 11) ……. (13 ; 15 ; 17 ; 19) ……(23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41)……............

Tales que el primer grupo contiene un número, el segundo dos, el tercero tres, y así

sucesivamente. Se desea hallar la suma de los números contenidos en el enésimo grupo.

48- Hallar la suma de las 8 primeras potencias de 3. Rta.: 9.840

49- Hallar la suma de las primeras potencias de . Rta.:

50- Hallar la suma de las primeras potencias de 5. Rta.:

51- Hallar el límite de la suma de los términos al infinito.

a)

Rta.:

b) √

Rta.: √

c) Rta.:

52- Hallar el límite de la serie (termino enésimo)

cuyos

numeradores están en progresión aritmética y denominadores en progresión geométrica.

Rta.:

53- En un círculo de radio , se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un círculo,

en este otro cuadrado, y así indefinidamente. Se quiere saber 1º el límite de la suma de las

ares de los círculos. 2º El límite de la suma de las áreas de los cuadrados.

54- La suma al infinito de los términos de una progresión geométrica es 6 , la suma de los 2

primeros es

. Hallar la progresión.

Rta.: 8

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258

55- El numero de bacterias en un cultivo está aumentando un 20 % cada

hora, si al

principio había 250.000 bacterias. ¿Cuántas habrá después de 6 horas?

Rta.: 2.229.025 bacterias

56- De un recipiente que contiene 10 litros de alcohol se saca 1 litro de alcohol y se reemplaza

con agua, después se saca 1 litro de la mezcla y se reemplaza con agua. Efectuando la

operación 25 veces. ¿Que cantidad de alcohol queda en el recipiente?

Rta.: litros

57- En una fiesta que fue asistida por 100 personas que deben saludarse entre si.

La primera persona saluda a las otras 99, la segunda que ya saluda a la primera saluda a las

otras 98 restantes, la tercera saluda a las otras 97 restantes y así por adelante. ¿Cuantos

saludos fueron realizados en esa fiesta?

Rta.: 4.949 saludos

58- La longitud de cada oscilación de un péndulo es 90 % de la longitud precedente. ¿Cuántas

oscilaciones se necesitan para que el péndulo se amortigüe a una oscilación cuya longitud

sea menor que

de la longitud de la oscilación inicial?

Rta.: 8 oscilaciones

59- Un recipiente contiene 10 litros de anticongelante pero se saca un litro de liquido y se

substituye por un litro de agua. Si esta operación se repite varias veces. ¿después de

cuantas habrá menos de un litro de anticongelante en el recipiente?

60- Hallar la suma de los primeros términos, múltiplos de 3, que siguen a 60.

Rta.:

61- Calcular de modo que los números , formen una progresión geométrica.

Rta.:

62- Sea la progresión aritmética. ,

determinar el valor máximo posible de la razón de la progresión.

Rta.: 54

63- En las siguientes progresiones determinar el menor valor común en las mismas y el lugar

que ocupan en cada una de las progresiones.

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259

Rta.: {

64- El término del lugar de una progresión aritmética es y el término del lugar de una

progresión aritmética es y el término del lugar es . Hallar el término del lugar .

Rta.:

65- ¿ Cuántos términos serán necesarios para ?

Si

66- Sea

Formar la progresión para que la suma sea siempre

Rta.:

67- Hallar la suma de los 247 primeros términos de una , sabiendo que el termino del lugar

vale,

Rta.:

68- Calcular el primer término y la razón de una progresión aritmética de 100 términos,

sabiendo que la suma de sus términos es 100 y el último termino es 100.

Rta.: {

69- Determinar la progresión aritmética en la cual la suma de los términos sea ,

cualquiera sea el valor de .

Rta.:

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260

LOGARITMO

En esta fase de nuestro estudio vamos a profundizar un poco más de lo que ya estudiamos en aritmética.

La logaritmación es una operación inversa de la potenciación, es decir:

Siendo la potencia............................

La logaritmación es una operación en que se conoce la potencia y la base , buscamos el exponente .

El símbolo utilizado para indicar esta operación es en este caso.

Una perfecta comprensión de estas dos expresiones, solucionan la mayoría de los problemas.

DEFINICIONES:

a. Logaritmo de un número: es el exponente a que debemos elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

Ej.: ........................ por que ........................

b. Base: cualquier número POSITIVO se puede tomar como base de un sistema de logaritmo.

La notación es colocar la base como sub–índice de logaritmo

c. Logaritmo decimal o vulgar: Es el logaritmo que utiliza como base el numero 10. En este caso fue convencionado no colocar la base 10 como sub–índice del logaritmo.

Ej.: .............................

.............................

..............................

...........................

...........................

d. Logaritmo natural o neperiano: Es el logaritmo que adopta como base el numero inconmensurable ...(logaritmo hiperbólico) La notación utilizada para este logaritmo es:

Ej.:

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261

PARTICULARIDADES DE LOS LOGARITMOS:

1- La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativa.

2- Los números negativos no tienen logaritmo.

3- En todo sistema el logaritmo de 1 es cero.

4- En todo sistema el logaritmo de la base es 1

5- Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

6- Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo

Todo numero mayor que la base tiene logaritmo positivo.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

1- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

H) Sean y los factores.

T)

D) Llamemos e a los logaritmos de y respectivamente y por la propia definición de

logaritmo podemos escribir:

Multiplicando miembro a miembro estas dos ultimas igualdades, tendremos:

Ahora bien si es el exponente a que se debe elevar la base para obtener .

Por definición de logaritmo podemos escribir

Sustituyendo en esta ecuación , la e por sus valores dados arriba, tendremos:

..............................Que es la tesis.

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262

2- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del

divisor.

H ) Sea el dividendo y el divisor.

T ) ( )

D ) Llamemos e a los logaritmos de y respectivamente y por la propia definición

de los logaritmos podemos escribir.

Dividiendo miembro a miembro estas dos últimas igualdades tendremos:

Ahora bien si es el exponente a que se debe elevar la base , para obtener

, por

la propia definición de logaritmo podemos escribir.

( ) .................(1)

Sustituyendo las e por sus valores dados arriba, tendremos

( ) .......................Que es la tesis

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263

3- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

H ) Sea la potencia ……………….. 2

T )

D) Llamemos al logaritmo de , luego por definición de logaritmo tendremos:

Elevando ambos miembros de la segunda igualdad a la potencia n tendremos:

Ahora bien si es el exponente a que debemos elevar la base para obtener , por la

propia definición de logaritmo tendremos:

Sustituyendo la por su valor dado arriba, tendremos

……………..… Que es la tesis

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264

4- Cambio de base de un sistema de logaritmo .

H) Sea …….. En que la base es , y queremos expresar en otro sistema cuya base es .

T)

D) Llamemos al logaritmo en base de , y por definición de logaritmo podemos escribir.

Aplicando el logaritmo en base a ambos miembros de esta ultima relación, tendremos:

Pero el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la

base .

La ecuación (1) se puede escribir

Despejando de la ecuación (2) tendremos:

En la ecuación (3) sustituyendo la por su valor dado arriba tendremos:

…………………………..Que es la tesis.

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265

ANEXO: LOGARITMO; ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

1- La mayoría de los problemas sobre logaritmos se resuelven con los siguientes ítems:

a) Con una buena comprensión del concepto de logaritmo.

Si

b) Con un buen manejo de las reglas básicas del algebra, especialmente

- Teoría de los exponentes CAP XXX.... Baldor

- Radicación y Potenciación

c) Conocimiento de las propiedades de los logaritmos.

- Logaritmo de un producto.

- Logaritmo de un cociente.

- Logaritmo de una potencia.

- Cambio de base

d) Es importante tener siempre presente que la logaritmación es una operación

aritmética como cualquiera y también sigue algunas leyes fundamentales.

- Ley de uniformidad: Si aplicamos logaritmo (en una misma base) a ambos

miembros de una igualdad, la igualdad subsiste.

Ej.:

Si fuese conveniente podríamos escribir :

También podríamos hacer la operación inversa.

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266

EJERCICIOS SOBRE LOGARITMOS.

1º GRUPO DE EJERCICIOS:

Ejemplo 1: Calcular el valor de , y siendo √

En primer lugar la cantidad sub – radical es negativa y la raíz impar de una cantidad negativa

es también negativa, luego es negativa.

6√

7

[

]

[

]

OBS: Si nosotros utilizamos correctamente la maquinita y calculamos por la fórmula

convencional debemos llegar al mismo resultado.

Si el ejercicio hubiese pedido calcular el logaritmo de , deberíamos parar en

.

El análisis preliminar a respecto del signo del resultado es necesario, pues no existe

logaritmo de cantidades negativas.

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267

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA 1º GRUPO.

1-) Calcular por logaritmo el valor .

a) ( )( )

b) √( )

( )

( )

c) √

d) [

√ ]

2-) Calcular el logaritmo de las siguientes expresiones.

a) √

b)

√ √

c) √

d) √( )( )

e) √

f) √

3-) Decir si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas, en caso de que sea falsa expresar correctamente.

a)

b)

c) √

d)

e) ( )

f)

g) √

h)

i) √

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268

4-) Calcular el valor de por logaritmo neperiano.

a) ( )

b) (

)

5-) Calcular el logaritmo natural de la expresión. √( )

6-) El ángulo del circulo inscripto en un triangulo esta dado por la fórmula

√( )( )( )

En la cual

Hallar cuando y

7-) La relación entre el volumen y la presión a que esta sometido un gas (a temperatura

constante) esta dada por la formula.

Si , hallar la presión cuando

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269

2º GRUPO DE EJERCICIOS: Estos ejercicios tienen por finalidad ejercitar al estudiante a

manosear el concepto de logaritmo, potenciación, radicación y exponentes fraccionarios y

negativos.

1-) Verifique las propociciones siguientes y escríbalas de forma logarítmica con una base

apropiada.

a)

b)

c) ( )

d)

⁄ e) (

)

2-) Escriba las ecuaciones siguientes en forma exponencial y verifíquelas.

a) b) ( )

c)

(

)

d) ( )

3-) Calcule los valores de las expresiones siguientes usando la definición de logaritmo.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

(

) j)

√ k)

l)

4-) Usando y , calcule las expresiones siguientes sin usar

calculadoras.

a) b) c)

d) e) f) √

5-) Escriba cada una de las expresiones siguientes como el logaritmo de una expresión.

a) b)

c)

d)

e) f)

g)

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270

6-) Compruebe las igualdades siguientes sin usar calculadora.

a) ( ) (

) (

)

b) (

) ( )

(

)

7-) Establecer la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada enunciado falso por su correspondiente proposición verdadera. a)

para todo numero real .

b) Dado que podemos decir que

c)

d)

e) La función exponencial representa crecimiento exponencial si y decaimiento

exponencial si

f) La función representa crecimiento exponencial si y decaimiento

exponencial si

g)

h) Si .............. debe ser > que 10

i)

j)

k)

l)

8-) Siendo y Calcular

√ √ √

9-) Siendo ;

y

.

Calcular:

a) b)

10-) Siendo ;

Calcule

( )

en función de y .

Sabiendo que y

Rta.:

11-) Encuentre el valor de , sabiendo que:

Rta.:

12-) Siendo . Calcule

Rta.:

13-) Siendo y

. Calcule

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271

3º GRUPO DE EJERCICIOS: En este grupo de ejercicios verdaderamente estamos entrando

en las ecuaciones exponenciales, aquí utilizaremos todos los artificios de los ejercicios

anteriores, también utilizaremos otros artificios semejantes.

Para una mejor comprensión vamos a clasificar las ecuaciones exponenciales en sub. grupos.

1º SUB GRUPO: Estas ecuaciones son muy fáciles de solucionar y se basan en el siguiente principio.

“TODA IGUALDAD DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE IMPLICA QUE LOS EXPONENTES

TAMBIÉN SON IGUALES”

( )

Entonces estas ecuaciones deben ser resueltas, primeramente igualando las bases por medio

de artificios algebraicos para después igualar los exponentes.

Ejemplos: a)

………………..

b)

[ ]

……..… ……..

c) ( )

( )

( )

( )

………....

Ejercicios propuestos :

1) 6)

2) 7) √

3) 8) (√ )

4) 9) √

5) √

10)

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272

2° SUB GRUPO: Estas ecuaciones tienen la características de que no pueden reducirse a

potencias de la misma base, en este caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de la

ecuación y lo desarrollamos, teniendo presente en todo momento que el logaritmo de un

número cualquiera es otro número.

Ejemplos:

a)

b)

Ejercicios propuestos :

1) 6)

2) 7) ∙ ∙

3) 8) ∙ ∙

4) 9) (√

)

5)

10)

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273

3º SUB GRUPO: En estos ejercicios pueden aparecer bases iguales y también diferentes, pero

aparecen las operaciones de adición o substracción, lo cual nos impide aplicar logaritmo, pues

el logaritmo de una suma no está definido.

En estos casos debemos utilizar algunos artificios que veremos a continuación.

Ejemplo 1:

∙ ........... Substitución provisoria

{

Llevando este valor en tendremos …....

Ejemplo 2:

∙ ∙

(

*

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274

Ejemplo 3: ∙

{

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejercicios propuestos :

1-)

2-)

3-)

4-)

5-)

6-)

7-) ∙ ∙

8-) ∙

9-)

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275

4º GRUPO DE EJERCICIOS:

Estos ejercicios son llamados “ecuaciones logarítmicas” y generalmente se presentan

expresiones en que ya fueron aplicados logaritmos de una misma base a ambos miembros de

una igualdad.

En este caso debemos hacer la operación contraria y volver a encontrar la operación original.

Ejemplo 1:

[ ]

2

Ejemplo 2:

............ Por definición de logaritmo

En este ejercicio también podríamos aplicar otra técnica.

Ejemplo 3:

*

+

Ejemplo 4:

* ( )

+

1º OPCION: ( )

2º OPCION: *

( )

+

OBS: Si el ejercicio viniese con logaritmo de bases diferentes, entonces aplicamos la propiedad de CAMBIO DE BASE, cuidando de elegir una base apropiada que facilite.

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276

Ejemplo 5:

En este caso la base adecuada seria el , luego tendremos:

Ejemplo 6: √

√ √ ............ √

Ejemplo 7:

Sustitución de variable

…………………………

…………….2

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277

MISCELANEAS:

1. (√

) Rta.:

2. Rta.:

3. Rta.:

4.

Rta.:

5.

Rta.: √

6. Rta.:

7. Rta.:

8. Rta.: {

9. Rta.: {

10. Rta.:

11. √ √ Rta.:

12. √ Rta.:

13. {

Rta.:

14. (

)

Rta.:

15. √ √

Rta.:

16. √ √

Rta.:

17. Rta.:

18. Sabiendo que . Calcular sin maquinita

19. Calcular el valor de . Siendo

20. Simplificar la expresión

21. Rta.:

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278

22. Rta.:

23. ( )

Rta.:

24. ( )

Rta.:

25. √ Rta.:

26.

Rta.:

27. √

Rta.:

28. √ Rta.:

29. Rta.:

30.

Rta.:

31.

Rta.:

32. Rta.:

33. Rta.:

34. { √

Rta.:

35. 2

Rta.:

36. (√ )

Rta.:

37. Rta.:

38. Rta.:

39. ( )

Rta.:

40. Rta.:

41. Rta.: √

42. ( )

Rta.:

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ALGEBRA

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279

43.

Rta.:

44. Rta.:

45. Rta.:

46.

Rta.:

47. √ √

48.

Rta.:

49. 2

50. (

)

Rta.:

51. El producto de las raíces de la ecuación es:

52. ( )

Rta.:

53. El valor de en el sistema abajo es:

2

Rta.:

54. Calcular la diferencia entre la mayor y la menor de las raíces de la ecuación

Rta.: 1

55. Aplicando la definición de logaritmo calcular el valor de las siguientes expresiones

a) √

b)

c) √

d)

e)

Rta.:

f) √

√ Rta.:

g)

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ALGEBRA

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280

56. Calcular el logaritmo de en base

57. Cual es el valor de a siendo

Rta.:

58. Sabiendo que el logaritmo de en base 4 es

. Calcular

Rta.:

59.

60. Determinar el valor de las expresiones

a)

b)

61. Resolver las ecuaciones:

a) [

]

b) {

[

]}

c)

d)

Rta.:

e)

Rta.:

62. Siendo la solución de la ecuación

; Calcular

63. Siendo ;

Calcular √ Rta.:

64. Sabiendo que

Calcular √

65.

66.

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ALGEBRA

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281

67.

68.

69.

70. (

) Rta.:

71. √ Rta.:

72. {

Rta.:

73. Siendo ; ;

Calcular: a) √ Rta.: 3

b) Rta.: 13

74.

Rta.:

75. √

Rta.:

76.

77. 8

Rta.:

78. Determine de modo que la ecuación admita dos

raíces reales y diferentes.

79. Siendo √

; Calcular

Rta.: 2

80.

Rta.:

81. Calcular el valor de: (

√ )

82.

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ALGEBRA

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282

83. Sabiendo que

Calcular: a)

b)

84. Si y . Calcular √

Rta.:

85. Si ( ) . Calcular

Rta.:

86. Siendo a una de las raíces de la ecuación . Calcular √

Rta.:

87. Las indicaciones y en la escala Ritcher de dos terremotos están relacionados por

la formula (

) , donde y miden la energía liberada por los

terremotos bajo la forma de ondas que se propagan por la corteza terrestre.

Hubo dos terremotos: uno correspondiente a y otro correspondiente a .

Calcular la razón

Rta.:

88. Siendo y

. Calcular el valor de la expresión:

Rta.:

89. Siendo ; Calcular el valor de:

(

* (

* (

*

90. Sabiendo que y . El valor de en la ecuación , es:

Rta.:

91. Si y . Expresar a en función de

Rta.:

92. Resolver la ecuación

Rta.:

93. Resolver la ecuación

94. Resolver (

) Rta.:

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283

95. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) Rta.:

b) √ Rta.:

c) Rta.:

d) Rta.:

e)

Rta.:

f) Rta.:

g) ( )

( )

h) {

Rta.:

i)

Rta.:

96. Verificar si son falsas o verdaderas las afirmaciones

a)

b) √

[ ]

97. Calcular el valor de las siguientes expresiones utilizando logaritmo natural.

a) √

b)

98. Resolver la ecuación

Rta.:

99. Aplicar logaritmo a las formulas

a)

b)

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284

100. Desarrollar aplicando las propiedades

a) [√

. /( )

]

b) [

( )

] c) √

101. Expresar como un solo logaritmo

a) [ ]

b)

c)

*

+

102. Calcula los logaritmos indicados

a)

b)

c) √

d) √

e)

103. Resolver las siguientes ecuaciones

a)

b)

c)

d) √ √

e)

f)

g)

h)

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285

i){

j) {

104. Resuelve los siguientes ejercicios

a) Si ; Hallar

b) Si ; Hallar

c) Dado ; Hallar

d) Dado ; Hallar

e) Si ; Hallar

f) Si ; Hallar

g) Si ; Hallar

h) Si √

; Hallar .

i) Si √ ; Hallar

j) Si √ ; Hallar

105. Calcule el valor de que satisface :

106. Al resolver ; para t en función de

, se obtiene:

a) (

) b)

c) d)

107. Dada la función . Hallar el valor de en función de

108. Si e verifican el sistema

{

Y si ; Calcular

109. Usando los valores de e ,al resolver el sistema:

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286

{

En ; Calcular

110. El doble del valor de que satisface el sistema:

{

Es el logaritmo en base 2 de un numero ; Calcular .

111. Si e verifican el sistema

{

Sabiendo que

; Calcular (

)

112. Resolver las ecuaciones:

a)

b)

c)

d) | | | |

Sugestión: Hacer | | Rta.:

113. Resolver la ecuación

Siendo y

114. Resolver el sistema:

2 √

115. Resolver las ecuaciones

a) p/

b) p/

116. Determinar dos números positivos cuya suma es igual a 25 y tales que la suma de sus

logaritmos en base 10 sea igual a 2.

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287

117. La diferencia entre los logaritmos de base 2 de dos números e en este orden, es

igual a 3. ¿cual es el cociente entre e ?

118. Resolver la ecuación √

119. Resolver el sistema:

8

120. Sean todos mayores que 1 y sea un numero positivo, tal que:

; ;

Determinar

121. Determinar una raíz de la ecuación

(√ )

122. Sea un numero tal que su cuadrado es y su cubo es .

Dada la ecuación

Demostrar que la suma de las raíces es menor que cero.

123. Siendo √ ; Calcular el valor de

124. Hallar las sumas de las raíces de la ecuación

125. Resolver la ecuación

126. Hallar la expresión

127. Resolver las ecuaciones:

a)

b)

128. Resolver:

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288

[

]

Rta.: {

129. Hallar el valor de

Rta.: √

130. Resolver los siguientes ejercicios:

a) Rta:

b) Rta: {

c) Si la base de un logaritmo es

, Calcular sabiendo

Rta: {

131. Siendo [

][

]

Resolver la ecuación …… Rta.: {

132. Resolver:

√ √

133. Hallar en: ( ) ( )

134. Sabiendo que , admite raíces iguales y además se cumple:

Hallar el valor numérico de .

135. Resolver las siguientes ecuaciones:

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289

a)

........Rta: 2

b) ........Rta: 2

c) ........Rta: 3

d) ........Rta: 3

e) ........Rta: {

f) Siendo ........Rta:

136. Resolver: ........Rta:

137. Resolver:

........Rta: 0,374

138. Demostrar las siguientes proposiciones:

a)

b)

c)

d)

e)

OBSERVACION: *El logaritmo de 0 (cero) es

*La base del sistema de logaritmo natural, neperiano o hiperbólico es el

numero e.

(

)

(

*

139. Resolver

∙ ∙ ∙ ....... Rta.:

140. Resolver:

….... Rta:

141. Demostrar que: ∙ ∙ ∙

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290

142. Si

Demostrar:

143. Si

Probar que son lados de un triangulo rectángulo de hipotenusa a.

144. Dada la ecuación cuyas raíces sean y .

Demostrar:

145. Sabiendo que (

(

)*

Probar que:

146. Si

………......; demostrar que:

[ ]

147. Siendo (

) ; demostrar que (

)

148. Siendo [ ]

( )

Demostrar que a y b son lados de un triangulo a los cuales se oponen los ángulos y .

149. Demostrar que representan términos de una progresión geométrica y se verifica

la siguiente igualdad:

, además se sabe que y son

términos de una progresión aritmética.

Rta.:

150. A partir de la expresión

( )

Demostrar que ... siendo e la base de los logaritmos naturales.

151. Sabiendo que

Demostrar que

152. Sabiendo que (

√ )

Demostrar que ...

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291

153. Demostrar que si (hipotenusa); y (catetos) son los lados de un triangulo

rectángulo; se verifica:

154. Hallar el valor de ; sabiendo que

; y se cumple

... Rta.:

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292

FUNCIÓN EXPONENCIAL CRECIENTE Y DECRECIENTE

a) Exponencial creciente: Una función exponencial es creciente cuando la base es un

número .

Decimos que una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente

también aumenta .

Entonces es una inecuación exponencial creciente.

Si............... ...

También si ...

b) Exponencial decreciente:Una función exponencial es decreciente cuando la base es un

número y mayor que cero.

Decimos que una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente , la

variable disminuye.

Entonces es una inecuación exponencial decreciente.

Si......... ...

También si ...

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293

EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES EXPONENCIALES

1-) (√ )

2-) ( )

3-)

4-) ( )

5-) ( )

6-)

7-)

8-)

Resolver la inecuación simultanea

Determine el dominio de la función

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294

ANALISIS COMBINATORIO.

Factorial de . Se llama factorial de al producto de todos los números naturales desde

1 hasta , ambos inclusive.

Para designar abreviadamente el factorial de se emplea la notación de que se lee:

factorial de .

Por lo tanto

También

Obs.: Por definición como también

EJERCICIOS.

1- Simplificar: a)

b)

c)

d)

e)

f)

2- Demostrar:

3- Resolver la ecuación:

4- Simplificando:

se obtiene:

5- Simplificar:

6- El valor de que satisface la ecuación:

7- Resolver las ecuaciones:

a)

b)

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295

PERMUTACIONES SIMPLES: Permutar significa cambiar, luego permutaciones simples

son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto,

intercambiando sus lugares.

En estas condiciones cada grupo contendrá todos los elementos del conjunto original. El

numero de permutaciones de un conjunto de elementos, se representa mediante el

símbolo “ ” ..............

EJEMPLO: Dado el conjunto { } de 3 elementos.

Las permutaciones posibles de este conjunto serán:

Que serán: ; ; ; ; ; .

ARREGLOS SIMPLES: Arreglos de elementos tomados a .

Son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal forma

que cada grupo tenga elementos .

También podemos cambiar el orden de los elementos.

El numero de arreglos de un conjunto de elementos tomados de a se escribe:

EJEMPLO: Sea el conjunto { } y queremos saber cuantos grupos de 2 letras

podemos formar con estos elementos.

( )

Arreglos posibles.

Obs.: Cuando tendremos

Es decir los arreglos en este caso serán iguales a permutación.

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296

COMBINACIONES SIMPLES: Combinaciones de elementos tomados de a .

Son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal

forma que cada grupo tenga elementos .

En este caso no podemos cambiar el orden de los elementos.

El numero de combinaciones de elementos tomados a , se escribe:

EJEMPLOS: Sea el conjunto { } el número de combinaciones o grupos de 2 letras

deferentes será:

( )

Combinaciones posibles.

.

EJERCICIOS:

1. De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 7 cuadros en fila, sabiendo que uno

de ellos debe estar siempre:

a) En el centro Rta: 720 maneras.

b) En uno de los extremo Rta: 1440 maneras.

2. De cuantas maneras pueden sentarse en una fila de 8 asientos, 4 hombres y 4 mujeres,

alternándose hombre y mujer . Rta:1152 maneras.

3. Si 4 personas suben a un ómnibus en el que hay 10 asientos vacíos, de cuantas

maneras pueden sentarse. Rta: 5040 maneras.

4. De cuantas maneras se pueden elegir presidente, vicepresidente y tesorero para una

comisión de entre 10 candidatos? Rta: 720 maneras.

5. De un grupo de 10 alumnos se deben elegir 3 representantes, cuantos grupos posibles

tenemos: Rta: 120 grupos.

6. Una empresa tiene 5 directores y 10 gerentes. ¿Cuántas comisiones distintas se

pueden formar, constituidas por 1 director y 4 gerentes? Rta: 1050.

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297

PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES:

a) Combinaciones complementarias: El número de combinaciones de elementos tomados

a es igual al número de combinaciones de elementos tomados a .

Es decir:

………… Los números superiores son complementarios respecto a .

[ ]

……….. Luego esta demostrada la identidad.

Obs.: Esta propiedad es muy utilizada en el binomio de Newton.

b) Propiedad de Stteffel:

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) *

+ ( )

( ) ( ) *

+

( )

( ) ( )

…………………………………..….… Luego la identidad queda demostrada.

Obs.: Aplicando sucesivamente la formula de Stteffel, tendremos la conocida formula:

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298

EJERCICIOS:

1- Si y

………..…. Calcular

2- Calcular , sabiendo

3- Calcular en: a)

b)

c)

Rta:

d)

Rta:

e)

4- Verificar la identidad …….

5- Demostrar que

es igual al producto de tres números naturales

consecutivos.

6- Si

hallar el valor de .

7- Demostrar que

8- Determinar el valor de a en la siguiente expresión.

……… Rta:

9- Siendo

Hallar el valor de .

………. Rta: .

10- Calcular y , sabiendo que las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes:

……..…Rta.: 2

Obs.: Ecuaciones equivalentes son las que sus coeficientes son proporcionales.

11- Siendo

Demostrar que es la suma de los términos de una progresión aritmética de razón cuyo 1º término es y ultimo es 1.

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299

12- Determinar en:

………. Rta:

13- Hallar sabiendo que

...…….. Rta:

14- Hallar y de: 2

...……...Rta:

15- Determinar los valores de y para que se cumpla:

….…….Rta:

16- Hallar y , sabiendo que las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes.

{

………..Rta:

17- Determinar y en la relación.

…….....Rta:

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300

BINOMIO DE NEWTON

Se conoce como binomio de Newton el desarrollo de binomio de la forma para

cualquier exponente .

Es evidente que para hallar las potencias por procedimientos ordinarios es solo multiplicar de

forma sucesiva.

Antes de adentrarnos al binomio de Newton propiamente, veremos algunos artificios

utilizados para obtener el desarrollo del binomio.

a) Triangulo de Pascal o Tartaglia: consiste en un ingenioso artificio por el cual se obtiene los

coeficientes de los términos del binomio llamados coeficientes binomiales.

1

2

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

2

1 5 10 10 5 1

2

1 6 15 20 15 6 1

2

1 7 21 35 35 21 7 1 2

1 8 28 56 70 56 28 8 1 2

……

……

……

..

Cualquier numero en el triangulo es la suma de los dos números mas cercanos del renglón de

arriba del numero.

Del desarrollo de cualquier potencia del binomio obtenemos:

El exponente de a comienza con y va disminuyendo y el exponente de comienza

con cero y va aumentando hasta .

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301

El desarrollo es un polinomio homogéneo en .

Cuando el binomio es de la forma , el signo de los términos va en forma intercalada

comenzando por el signo positivo.

OBS.: Una particularidad notable es que la suma de los coeficientes binomiales del desarrollo

de es siempre , como ilustramos en la figura, mas adelante mostraremos esta

propiedad con el binomio de Newton.

b) Producto de Stevin: El binomio de Newton puede ser inducido a partir del producto de Stevin.

Consideremos el producto …………………………..

Teniendo factores.

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

………………………..………...

...…………………………………

………………………….………..

……………………………………

……………………………………

Observando atentamente el comportamiento del producto de estos binomios, vemos que los

coeficientes de la variable , son combinaciones de los términos independientes de los

factores de los binomios.

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302

c) Binomio de Newton:

En el producto de Stevin, hagamos y tendremos factores iguales a , es decir .

…………………………..

…………………………..

..………………………..

…………………………..

…………………..………

……………………….…

……………………..……

…………………….…

……………………..……

……………………..……

.…………………………

.……………………..……

…………………...

…………………………...

…………………….……..

…………………………..

De esta forma obtenemos la conocida expresión del binomio de Newton

Page 304: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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303

PROPIEDADES:

1- Los coeficientes de los términos extremos son iguales a la unidad.

2- Los coeficientes de cualquier término es igual al número de combinaciones de elementos, tomados de una cantidad igual al número de términos precedentes.

Es decir el término de orden … (Que ocupa el lugar ); será:

[ ]

En este caso tendremos el termino general del binomio de Newton y para obtener un

termino cualquiera podemos darle a , valores [

]

3- El binomio de Newton fue deducido para entero y positivo, mas se puede aplicar

cualquiera sea la naturaleza de ; es decir negativo, fraccionario.

4- Cuando es entero y positivo, el numero de términos en el desarrollo es limitado e igual

a términos.

5- Cuando es negativo o fraccionario, el número de términos es ilimitado (infinito).

6- Términos centrales en el desarrollo del Binomio de Newton.

a) Cuando es un número PAR.

En este caso el numero de términos será un numero impar, y habrá un

termino central en el desarrollo.

El lugar que ocupa el término será

b) Cuando es un número IMPAR.

En este caso el numero de términos será que será par, de modo que

tendremos dos términos centrales.

El lugar que ocupa el primero será

……………. 1º término central.

El lugar que ocupa el 2º término central será

……………. 2º termino central.

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304

7- Términos equidistantes de los extremos.

Siendo ……... con entero y positivo.

Considerando el término

[ ] , el término equidistante de los

extremos ocupara la posición – en el desarrollo del mismo.

[ ]

[ ]

El concepto del término central y término simétrico solo puede hablarse para binomios

con exponentes enteros y positivos.

8- Los coeficientes binomiales de dos términos equidistantes de los extremos son iguales; es

decir:

[ ]

Esto es debido a una propiedad de las combinaciones, cuando el número superior es

complementario respecto a .

9- El termino de mayor coeficiente binomial (Se refiere a

) en el desarrollo del binomio de

Newton, es el que ocupa la posición central.

10- Cuando los dos términos del binomio son negativos (– )

, los términos del

desarrollo serán todos positivos o todos negativos, según que el exponente de la potencia

sea respectivamente par o impar.

11- Cuando el binomio es de la forma podemos transformar.

[ ]

Siendo el término general [ ] .

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305

EJERCICIOS:

1- Determine el termino central del desarrollo del binomio (

)

2- En el binomio (

*

escriba el termino que contiene

3- ¿Cuál es el valor del termino independiente de en el desarrollo de (

√ )

?

4- En el desarrollo de donde , el coeficiente numérico del termino en es

ocho veces el del termino en . Calcular .

5- Determine los valores de que vuelven iguales el 4º y 5º términos en el desarrollo de

(

)

6- Sabiendo que los coeficientes del 3º termino y del 8º termino en el desarrollo de

son iguales, determine el valor de .

7- Uno de los términos del desarrollo de es . Sabiendo que a no depende

de . Calcular el valor de a.

8- Hallar el 9º termino de (√ √ )

9- Termino medio de (

)

10- Hallar los primeros 4° términos del desarrollo de

11- Hallar el termino medio de (√ √ )

12- Calcular el coeficiente de , en el desarrollo de

13- Hallar el termino que contiene , en el desarrollo de

14- Calcular las potencias siguientes de números complejos.

a.

b.

15- Los tres primeros coeficientes en el desarrollo de (

)

están en progresión

aritmética. Calcular el valor de .

16- Cual es el valor del termino independiente de en el desarrollo de ( )

( )

…Rta.:

Page 307: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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306

17- En el desarrollo del binomio (√ )

donde , la diferencia entre los coeficientes

del 3º y del 2º términos es igual a 90. Calcular el valor del término independiente de

en ese desarrollo.

18- Calcular el valor de para que el quinto termino sea independiente de .

. √

/

19- Determinar el valor de “ ” para que en el desarrollo del binomio de Newton exista un

término independiente de . El binomio es (

)

20- Sin efectuar el desarrollo del binomio, hallar el término independiente en . Calcular

también el valor de a para que dicho termino valga 240.

( )

………………………………Rta.:

21- Calcular el 8º termino y el termino central en

( )

Rta.:8

22- Dado el binomio (

)

se pide , sabiendo que los exponentes de las de dos

términos simétricos son 30 y respectivamente. Hallar dichos términos.

Rta.:

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307

MATRICES Y DETERMINANTES.

1- Definición: Llamamos matriz a un objeto matemático, constituido por un conjunto

ordenado de números, dispuestos en filas (líneas) y columnas, colocadas entre corchetes.

Si el arreglo tiene filas y columnas, se dice que la matriz es de orden

Ejemplo: 0

1 En este ejemplo el orden es , es decir 2 filas y 3 columnas.

En forma genérica se tiene:

[

]

Los elementos de una matriz pueden ser numéricos, funciones o matrices (sub. matrices).

Es decir:

*

+ [

] 0

*

+

1

En general se utilizan letras mayúsculas para indicar matrices genéricas y letras minúsculas

para indicar los elementos.

En la matriz de arriba

La matriz se puede representar abreviadamente * ( ) +

Siendo , -

, -

Los elementos están afectados de dos sub. Índices, donde el primero, , representa la

fila y el segundo , indica la columna a los cuales cada elemento pertenece.

En este capítulo estudiaremos las matrices y ciertas operaciones algebraicas definidas

sobre ellas. Este material es principalmente operacional.

Los elementos de las matrices son escalares, pudiendo ser real o numero complejo.

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308

TIPOS DE MATRICES:

1- MATRIZ RECTANGULAR: Es cuando el número de filas es distinto al número de columnas.

Ejemplo: 0

1

2- MATRIZ FILA: Es la matriz de orden , es decir una sola columna.

Asi:

[

]

Ejemplo:

[

]

Una matriz con una columna se lo llama VECTOR COLUMNA.

3- MATRIZ COLUMNA: Es la matriz de una sola fila, es decir de orden

Asi: [ ]

Una matriz con una fila se lo llama VECTOR FILA.

4- MATRIZ DE UN SOLO ELEMENTO: Es la matriz que cuenta con un solo elemento.

Ejemplo: [ ] puede asociarse a un solo escalar, que cumple con todas las

propiedades del algebra escalar.

Asi: [ ]

5- MATRIZ REAL: Es la matriz en donde todos sus elementos son números reales.

Ejemplo: 0

1

6- MATRIZ COMPLEJA: Es aquella que posee uno o más elementos imaginarios o complejos.

Ejemplo: *

+

7- MATRIZ CERO: Es una matriz en que sus componentes son todos iguales a cero, se llama

matriz cero y se denota por 0. (Matriz nula)

[

]

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309

8- MATRIZ TRANSPUESTA: La transpuesta de una matriz , representado por , es la

matriz que se obtiene de , cambiando las filas por las columnas.

[

]

[

]

Obsérvese que si es una matriz , entonces la matriz será una matriz

La operación transpuesta de matrices satisface las propiedades siguientes:

a)

b)

c) ….. Siendo escalar.

d)

9- MATRIZ OPUESTA: Se denomina matriz opuesta de una matriz , a la matriz – cuyos

elementos son los simétricos de los elementos correspondientes de .

Ejemplo: 0

1 0

1

Se observa que la opuesta de la matriz se obtiene cambiándose los signos de todos los

elementos de .

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310

10- MATRICES ESCALONADAS:

a) Matriz escalonada por filas: Una matriz esta escalonada por filas, si el primer

elemento distinto de cero de una fila esta a la derecha del primer elemento distinto

de ceo de la fila anterior.

[

]

* Otra definición: Una matriz es una matriz escalonada, o se dice que esta en forma

escalonada cuando los elementos nulos aumenta de una fila para otra, pudiendo llegar

a ser todos nulos los elementos de la última fila.

OBS.: Al 1º elemento diferente de cero en cada fila se lo denomina elemento

distinguido. (Fueron colocados en un circulo).

b) Matriz escalonada por columnas: Una matriz esta escalonada por columnas si el

primer elemento distinto de cero de una columna esta por debajo del primer

elemento distinto de cero de la columna anterior.

[

]

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311

12- MATRIZ CUADRADA: Es una matriz en que el número de filas es igual al número de

columnas.

Para referirse a una matriz cuadrada se puede decir que su orden es en vez de .

Más adelante le dedicaremos un estudio especial debido a su importancia.

Ejemplos: 0

1 Es una matriz cuadrada de orden 2.

[

] Es una matriz cuadrada de orden 3.

Los elementos de una matriz cuadrada, donde , forman una diagonal llamada

diagonal principal.

La otra diagonal se llama diagonal secundaria.

[

]

- Clasificación de las matrices cuadradas.

12-1: MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada donde los componentes o elementos

que no están en la diagonal principal son todos nulos o ceros.

Ejemplo:

[

]

Diagonal Secundaria

Diagonal Principal

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312

12-2: MATRIZ UNIDAD O MATRIZ IDENTIDAD : es un caso particular de la matriz diagonal

(los elementos que no están en la diagonal son ceros) y todos los elementos de la diagonal

son 1.

[

]

Esta matriz es el similar en aritmética al escalar 1 en que, para toda matriz cuadrada

del mismo orden.

OBS.: La matriz , para un escalar, se llama

MATRIZ ESCALAR: es una matriz diagonal, donde los componentes de la diagonal son

todos iguales a .

Ejemplo: 0

1

12-3 Matriz triangular superior o simplemente matriz triangular: es una matriz cuadrada

cuyos componentes debajo de la diagonal principal son todos cero.

[

∙ ∙ ∙

]

12-4 Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos encima de la

diagonal principal son cero.

[

]

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313

12-5 MATRIZ INVERSA:

Dados los números reales y , donde y .

En Artimética {

Podemos tener

Luego tendremos

es el inverso de .

Utilizamos un procedimiento análogo para dos matrices cuadradas y .

Si existe una matriz tal que

Se dice que la matriz es la inversa de y se indica

Luego

OBSERVACIONES:

a) es una matriz identidad del mismo orden que la matriz .

b) Si existe la inversa, se dice que la matriz es INVERSIBLE y en caso contrario NO

INVERSIBLE o SINGULAR.

c) Si la matriz A es INVERSIBLE, el inverso o resultado es único.

d) Para que una matriz cuadrada sea inversible el valor calculado de su determinante debe ser

diferente de cero.

0

12-6 MATRIZ SIMÉTRICA: Una matriz cuadrada se dice que simétrica cuando .

Es decir los elementos colocados simétricamente en relación a la diagonal principal deben ser

iguales.

[

]

[

]

12-7. MATRIZ ANTISIMETRICA: Una matriz cuadrada , se dice que es antisimétrica si .

12-8 MATRIZ ORTOGONAL: Toda matriz , tal que se llama matriz ortogonal.

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314

13- IGUALDAD DE MATRICES:

Dos matrices y son iguales si para todos

Es decir, ambas matrices deben ser del mismo orden y los elementos correspondientes o del

mismo índice son iguales.

Siendo [

] [

]

Entonces ….. si:

14- OPERACIONES BASICAS CON MATRICES

a) Suma de matrices: Si y son matrices del mismo orden, se define la matriz como

suma de la matriz y , siempre que se verifique para los distintos

valores de

Es decir: Sea y

Entonces

Obs.: La resta o substracción de matrices se efectúa sumando con la matriz opuesta del

sustraendo.

Es decir:

Siendo la matriz opuesta a la matriz , es decir con todos sus elementos cambiados de signo

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315

b) Producto de un escalar por una matriz:

Siendo una matriz y sea un escalar cualquiera.

Para obtener el producto , se multiplican todos los elementos de la matriz por la

constante .

[

] [

]

Propiedades de estas operaciones:

Sean y dos matrices de orden .

Sea la matriz nula de orden

Sean y dos escalares cualquiera

1-

2- ……… Propiedad conmutativa.

3- …..….. Propiedad asociativa – disociativa.

4- ………. El escalar es distributivo respecto a la suma.

5-

6-

3

………. Cuando el escalar es la unidad o el cero.

7- ………. Propiedad conmutativa.

8-

9-

10- ; ……………..

OBSERVACION: La suma o resta de matrices de diferentes ordenes, no está definida.

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316

EJERCICIOS:

1- Calcular e para que la matriz [

] sea simétrica.

2- Calcule sabiendo que

0

1 0

1 0

1

3- Determinar si existen valores de que convierten en idéntica a las matrices.

0

1 *

+

4- Si [

]

y [

]. Calcular 6

7 tal que

5- Dadas las matrices [

] ; [

] y [

]

Calcular: a)

b)

c)

d) Calcular la matriz de modo que *

*

6- Sabiendo que 0

1

y 0

1

Hallar las matrices y tales que 2

7- Calcule la matriz , sabiendo que [

]

; *

+

y

Page 318: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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317

c) PRODUCTO DE MATRICES

Sean y . Para poder multiplicar con , la condición es que el numero

de columnas de la 1º matriz sea igual al nº de filas de la 2º matriz.

El orden de la matriz producto será , es decir el nº de filas del producto coincide

con el de la 1º matriz y el nº de columnas con el de la 2º matriz.

Para obtener el producto se multiplican fila por columna, es decir, cada elemento de una fila

se multiplica por el elemento correspondiente de una columna y luego los productos con

adicionados.

Por tanto para obtener el elemento de la matriz producto, se multiplican los elementos

de 1º fila de por los de la 1º columna de y sumándose los productos obtenidos:

Ejemplo: Multiplicar 0

1

y [

]

∙ 0

1 [

] 0

1

∙ 0

1 0

1

OBSERVACION: También se pueden multiplicar dos matrices utilizando la transpuesta de la

matriz multiplicador, a algunas personas les resulta más fácil.

0

1

*

+ *

+ [

]

[

] *

+

También llegamos al mismo resultado por otro mecanismo parecido.

Page 319: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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318

Propiedad de la multiplicación de matrices:

1- Propiedad asociativa

2- En lo general el producto de matrices no es conmutativo, es decir

3- Si no implica que y

En caso de que y se los denomina verdaderos divisores de la matriz cero.

4- Si .… No implica que

5-

6- …. Propiedad distributiva respecto a la adición de matrices por la

derecha

7- .… Propiedad distributiva por la izquierda.

OBSERVACIONES:

* El producto de matrices no es conmutativo es decir , pero algunas veces

ocurre y en este caso se dice que las matrices y conmutan.

* En la multiplicación de matrices no tiene validez el elemento nulo del producto.

. No implica .

8- ………. Siendo Escalar.

9- ...…….. Válida para matriz cuadrada.

EJERCICIOS:

1) Calcule y , reales de modo que la matriz *

+ . Verifique la condición .

Rta.:

2) Efectuar:

[

]

[

]

3) Dada la matriz *

+. Halle la matriz , tal que: , siendo *

+

Page 320: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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319

4) Dada la ecuación matricial , siendo *

+ y *

+ . Hallar la

matriz .

5) Dadas las matrices 0

1

y [

]

Verificar que

6) Dada la matriz cuadrada [

]

Verificar

7) Efectuar: a) [

] [

] b) 0

1 0

1

8) Siendo 0

1 ; 0

1 y 0

1

Hallar: a)

b)

c)

d)

9) Verificar si el producto de [

] *

+ igualado a la matriz *

+ es equivalente al

sistema de ecuaciones:

{

10) Escríbase el conjunto de ecuaciones {

en forma de ecuación matricial.

11) Haciendo . ¿Satisface 0

1 la ecuación ?

Page 321: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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320

12) Si y son matrices , demuestre las siguientes proposiciones

a)

b)

c)

d)

13) Demuestre para matrices

a) El producto de dos matrices puede ser la matriz cero, aunque ninguna de ellas sea cero.

b) Verifique con las matrices 0

1 y 0

1

c) Demuestre que el cuadrado de una matriz puede ser la matriz cero aun cuando la matriz misma no sea cero.

d) Verifique con la matriz 0

1

14) Si , cada una de las matrices se denomina INVERSA MULTIPLICATIVA de la otra. Verifique si las siguientes matrices son inversas.

a) 0

1 ; 0

1

b) 0

1 ; 0

1

15) Toda matriz , tal que se llama matriz ORTOGONAL. Demuestre que cada una de las siguientes matrices es ORTOGONAL.

a)

[

]

b)

[

]

c) [

]

16) Resolver la siguiente ecuación matricial.

[ ] [

] [

]

OBS.: Para resolver esta ecuación matricial debemos efectuar las multiplicaciones y al final tendremos una matriz que será igual a la matriz nula, y aplicamos los medios de resolución convencionales.

Page 322: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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321

17) Sean [

] [

]

Resolver el siguiente sistema….. {

18) Resolver: [

]

[

] 6

7 [ ]

19) Resolver la siguiente ecuación matricial

[

] [

] [

]

Rta.:

20) Calcular la matriz [ ]

Sabiendo que [ ] [

] 0

1

OBS.: Para que esta igualdad pueda ser cierto, es necesario que la matriz sea de orden

, debemos hallar sus elementos.

Rta.: 0

1

Page 323: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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322

15- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.

A continuación daremos algunas definiciones simples y otra más precisa del determinante.

- El determinante de una matriz cuadrada es una función pre-establecida con los elementos

de una matriz cuadrada.

- También podríamos decir que es el valor numérico que se obtiene al someter los elementos de una matriz cuadrada a determinadas operaciones aritméticas y siguiendo un determinado orden.

- Representando el determinante de orden por: …

|

|

|

|

El determinante de una matriz de orden n es el polinomio constituido por la suma algebraica

de todos los productos posibles, cada uno de factores y de tal forma que:

* En cada producto figure solamente un elemento de cada fila y uno solo de cada columna.

* Luego tendremos productos.

* El signo de cada producto es positivo o negativo, según que el Nº de inversiones de

los sub. Índices sea par o impar.

Aplicando esta regla tendremos:

a) Siendo ……….. …

b) Siendo |

| ………... …

Luego

Page 324: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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323

c) Siendo: |

| …………… 8

8

8

Luego

Podemos observar que en este caso de una matriz cuadrada de orden el número de

productos de tres elementos cada uno es pues

OBS.: Numero de inversión quiere decir cuántas veces se cambia el orden natural de los

índices.

OBS.: Cada grupo de elementos de los productos, muestra las PERMUTACIONES SIMPLES

posibles de los índices de las letras y .

(PERMUTACIONES sin repetición)…………..

Page 325: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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324

NOTACIONES DE UN DETERMINANTE:

En general un determinante de orden se lo representa también:

|

|

|

|

Con esta notación, cada elemento se caracteriza por dos sub. Índices, el primero indica la fila y

el segundo la columna a los que pertenece.

Así pues, es el elemento de la segunda fila y tercera columna.

La diagonal principal de un determinante está formado por los elementos de la matriz

situados sobre la recta que une el primer elemento de la primera fila con el último de la

última fila, es decir: ………..… con

Siendo una matriz cuadrada, el determinante de se lo representa.

| |

; ; ;

- MENOR COMPLEMENTARIO DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN

o de su DETERMINANTE | |

Es el determinante de orden que se obtiene a partir de la matriz o de su

determinante | | , al suprimir la fila i y la columna j del elemento considerado.

Se lo representa por

Ejemplo: |

|

|

| ………….. |

|

|

| |

|

Page 326: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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325

- ADJUNTO, COMPLEMENTO ALGEBRAICO O COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UNA

MATRIZ CUADRADA DE ORDEN

El adjunto de un elemento es el producto del menor complementario de dicho elemento por

. El exponente de será la suma de los números de fila y columna a que

pertenezca dicho elemento y se simboliza por

Es decir

Adjunto de menor complementario de

Ejemplo: Hallar el menor complementario y el adjunto del elemento de la matriz .

|

|

|

| |

|

- DESARROLLO DE LOS DETERMINANTES:

Para no tener que estar formando las debidas permutaciones con sus respectivos signos cada

vez que calculamos el determinante de una matriz cuadrada, fueron ideados algunos métodos

o procesos mecánicos que facilitan los cálculos.

a) Determinante de una matriz de primer orden:

| | | |

Ejemplo: | | | |

b) Determinante de una matriz de orden

| | |

|

Luego | | |

|

“El desarrollo de un determinante de orden , es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria”

Page 327: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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326

Ejemplo: | | | √

√ | √ √

| |

c) Determinante de una matriz de orden (Regla de Sarrus)

Sea | | |

|

Hemos visto que el determinante de , esta dado por

| | [ ] [ ]

Si colocamos la misma matriz y copiamos las dos primeras filas a continuación de la 3° fila.

|

|

|

|

}

}

Ejemplo: Calcular | |

por la regla de Sarrus

| | |

|

|

|

|

|

OBS.: La regla de Sarrus solo se aplica para determinantes de orden 3.

Page 328: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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327

d) Determinante de una matriz de orden .

Este método utiliza la reducción de su orden y es aplicado para cualquier valor de , y se

llama: DESARROLLO LAPLACIANO O METODO DE LAPLACE.

Mediante este método se desarrolla un determinante de orden , en una suma de

determinantes de orden

Así: dado | | |

|

Para el desarrollo laplaciano se utiliza las siguientes reglas.

| | ∑

Esta regla quiere decir: “La suma algebraica del producto de cada elemento de una fila por su

adjunto correspondiente”

Luego: | |

| | |

| |

| |

|

| | |

| |

| |

|

O también podríamos trabajar con cualquier columna.

| | ∑

Esta regla quiere decir “La suma algebraica del producto de cada elemento de una columna

por su adjunto correspondiente”

Page 329: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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328

EJERCICIOS:

1- Hallar en |

| Rta:

2- Hallar en: |

|

|

| Rta: {

3- Resolver el siguiente determinante:

| | |

|

|

|

Page 330: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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329

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

1° PROPIEDAD: El valor del determinante de una matriz cuadrada es igual al valor del

determinante de la transpuesta de dicha matriz.

Es decir | | |

|

| | |

|

2° PROPIEDAD: Si se permutan dos líneas paralelas el valor absoluto del determinante no

se altera, pero el signo queda cambiado.

| | |

|

Ahora si intercambiamos la 1° y la 2° fila tendremos:

|

|

3° PROPIEDAD: Si en un determinante se multiplica o divide una línea por un mismo

número, el determinante queda multiplicado o dividido por dicho número.

| | |

|

Si multiplicamos la 2° columna por 2 tendremos:

|

| | |

El determinante queda multiplicado por 2.

Si dividimos la 1° columna por 2 tendremos:

|

|

| |

Page 331: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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330

4° PROPIEDAD: Si dos líneas paralelas en un determinante son proporcionales, o

particularmente iguales, el determinante es cero.

Así | | |

|

5° PROPIEDAD: Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras paralelas,

entonces el valor del determinante es cero.

Combinación lineal: Una fila de un determinante es combinación lineal de otras líneas

paralelas, si se verifica que cada elemento de la primera es igual a

la suma algebraica de los elementos correspondientes de las otras

dos líneas, multiplicados por un escalar.

Así:…….. | | |

| ….. Porque la 3° fila es la suma algebraica de la 1° y 2° fila.

6° PROPIEDAD: Si a los elementos de una línea de un determinante se le suma los elementos

correspondientes de otra línea paralela multiplicados por un numero distinto de cero, el valor

del determinante no se altera.

Si | | |

|

Si multiplicamos la 1° fila por 2 y sumamos a la 2° fila se tiene

|

| ………. …… |

| … No se altera

7° PROPIEDAD: Si a los elementos de una línea de un determinante, se suma la combinación

lineal de dos líneas paralelas, el valor del determinante no se altera.

Siendo | | |

|

|

| ………….. ….. |

|

OBS.: Cuando decimos línea quiere decir fila o columna, indistintamente por la 1° propiedad.

Page 332: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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331

5- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

Llamamos sistemas de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. (Ecuación lineal es aquella en que las variables son de 1° grado)

Ejemplo:

{

En este sistema tenemos variables o incógnitas y tenemos ecuaciones.

Algunas veces y en general es decir el Nº de ecuaciones es igual al Nº de incógnitas,

pero esto no siempre ocurre.

La secuencia es la solución del sistema si satisface todas las ecuaciones

del sistema y en este caso decimos que son sus raíces o soluciones.

Un sistema S de ecuaciones se clasifica en:

a) Sistema posible o compatible: Cuando posee o tiene solución.

- Sistema compatible determinado: Cuando la solución es única.

- Sistema indeterminado: Cuando tiene más de una solución.

b) Sistema imposible o incompatible: Cuando no posee solución.

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar sus raíces o el valor de cada incógnita que satisface cada una de las ecuaciones.

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones.

a) Método convencional del algebra … {

b) Método por determinantes: REGLA DE CRAMER.

c) Método matricial.

d) Matriz escalonada.

e) Matriz ampliada.

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332

6- METODO DE DETERMINANTES: REGLA DE CRAMER.

La regla de CRAMER es una técnica que nos permite resolver sistemas cuadrados es decir,

sistemas en que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

Sea el sistema …

{

Llamamos al determinante de orden , formados con los coeficientes de cada ecuación

del sistema.

||

||

Llamamos al determinante que se obtiene al sustituir en la columna de los coeficientes

por la columna de los términos independientes.

Siendo , la regla de Cramer expresa:

|

|

|

|

|

|

|

|

Page 334: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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333

Ejemplo: Resolver el sistema. {

|

| ……… Como el sistema es compatible y determinado.

|

|

|

|

|

|

Luego:

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) {

2) {

Page 335: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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334

6- MATRICES INVERSIBLES: Se dice que una matriz cuadrada es inversible si existe una

matriz con la propiedad de que:

Donde es la matriz identidad y del mismo orden de y .

Tal matriz es única.

es la matriz inversa de y se escribe

Luego

OBS.:

- es una matriz identidad del mismo orden que las matrices y .

- Si existe la inversa, se dice que es inversible y en caso contrario no inversible o singular.

- Si la matriz cuadrada es inversible, ella es única.

- Para que una matriz cuadrada sea inversible es decir, exista su matriz inversa, es

necesario que el determinante de esa matriz sea diferente de cero.

Es decir………. Si

Propiedades:

1-

2-

3-

4-

Si

Multiplicado por la izquierda por …..

11 ABBBx

Multiplicado por la izquierda por ………………………

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335

DETERMINACION DE LA MATRIZ INVERSA:

1° METODO: Método de ecuaciones: este método se acostumbra usar en matrices de orden

, pues en matrices de orden mayor se vuelve muy trabajoso, pero continúa siendo válida.

Ejemplo: Encontrar la inversa de la matriz *

+.

Si existe la inversa será de la forma: [

]

Luego:

*

+ [

] *

+

0

1 *

+

Luego: 2

y 2

Resolviendo los sistemas de ecuaciones tendremos:

……..Luego: *

+

OBS.: Puede comprenderse fácilmente porque no es utilizado este método en matrices de

orden mayor o igual a 3, pues tendríamos 9 incógnitas y nueve ecuaciones en grupos de 3.

EJERCICIOS:

1- Determine la inversa de las matrices:

a) 0

1

b) [

]

2- Demuestre que [

] es la inversa de [

]

Page 337: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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336

Antes de estudiar el segundo método analizaremos otros aspectos:

Puesto que los determinantes se parecen a las matrices se debe tener cuidado de saber con

cual de los dos se está trabajando, antes de efectuar alguna operación matemática.

Una matriz es un arreglo de números.

Un determinante es un número real determinado, definido por un arreglo y que se obtiene

por medio de una regla especifica llamada “desarrollo del determinante”.

El nombre “DETERMINANTE” es debido a que dependiendo de un valor, un sistema de

ecuaciones podrá tener o no solución, es decir, cuando el determinante formado con los

coeficientes de las incógnitas de un sistema es cero, dicho sistema de ecuaciones es imposible

o indeterminado.

No olvidemos que una de las principales aplicaciones de las matrices es la solución de

sistemas de ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones, consiste en la aplicación de tres operaciones

fundamentales a las ecuaciones lineales del sistema:

1- Intercambio de dos ecuaciones.

2- Multiplicación de todos los términos de una ecuación por un escalar no nulo.

3- Suma de una ecuación a otra multiplicada por un escalar.

Cada vez que efectuamos una de esas operaciones en el sistema obtenemos un nuevo sistema

con las mismas soluciones. Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes.

Efectuando esas operaciones una tras otra de modo sistemático, llegamos por fin a un sistema

equivalente que puede resolverse a simple vista.

COMBINACION LINEAL:

Sea la matriz (

)

Siendo Escalares (numero) no todos iguales a cero.

3 Combinación lineal de líneas o (columnas o filas).

Page 338: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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337

DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL DE LINEAS.

Sea ….. Una combinación lineal y

Si y siendo al menos dos de los

Entonces decimos que están en dependencia lineal, es decir son:

Lianealmente dependientes

Si

Cuando esto ocurre: Si y solo si todos los

Entonces decimos que: son: Lianealmente independientes

OBS.: El mismo raciocinio análogo podemos utilizar para las columnas.

Cuando decimos línea de una matriz nos estamos refiriendo indistintamente a filas o columnas.

OPERACIONES ELEMENTALES DE LINEAS DE UNA MATRIZ:

1- Transposición de dos filas

2- Multiplicación de todos los elementos de una fila por un escalar no nulo.

3- Adicionando a una fila el producto de otra (u otras) por un escalar.

MATRIZ EQUIVALENTE A OTRA: Toda matriz obtenida por operaciones elementales de líneas

es equivalente a la matriz dada.

………( equivalente a )

Si es obtenida mediante operaciones elementales de líneas de .

Observación Importante : Es importante tener presente que cuando estamos lidiando con

una matriz cuadrada, continua valido lo anterior, pero con respecto al determinante de dicha

matriz cuadrada ocurren cambios.

Operación 1- El valor absoluto del determinante no varía, pero tiene signo contrario.

Operación 2- El determinante queda multiplicado por dicho escalar.

Operación 3- El determinante no varía.

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338

2° METODO DE LA MATRIZ AMPLIADA:

Para hallar la matriz inversa de la matriz , trabajamos con la matriz ampliada con la matriz

identidad y lo sometemos a las operaciones elementales de matrices de tal forma a pasar de:

[

]

a [

]

La matriz de la parte de la derecha, la matriz , es la matriz inversa deseada de la

matriz ….

Si es una matriz singular [ ], en el proceso uno de los elementos de la

diagonal se convierte en cero, y no será posible transformar en la matriz identidad.

Ejemplo 1: Hallar la matriz inversa de [

]

[ ] [

] [

]

[

] [

]

[

] [

]

[

] Luego [

]

Page 340: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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339

Ejemplo 2: Encontrar la matriz inversa 0

1

[

]

→ [

]

[

]

[

]

→ [

]

→ [

]

Luego 0

1

Page 341: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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340

3° METODO: Método del adjunto o cofactor.

Dada la matriz [ ], hallar su matriz inversa [ ]

[ ] [

]

Para hallar su inversa se siguen los procesos a) ; b) ; c) y d) respectivamente.

a) Se halla la matriz transpuesta de [ ]

[ ] [

]

b) Se halla la matriz adjunta [ ] de [ ]

[ ] [

]

Siendo …… Adjunto o cofactor.

c) Se calcula el determinante | | de [ ]

|

|

d) Por ultimo la matriz inversa estará dada por la siguiente expresión:

[ ] | |

∙ [ ] , es decir:

[ ]

[

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

]

Page 342: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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341

Ejemplo: Hallar la matriz inversa de: [

]

a) [

]

b)

{

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

[

]

c)

|

|

|

|

d) Luego la matriz inversa estará dada por:

[

]

Resultado idéntico obtenido por el método anterior.

Page 343: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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342

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:

Esta compuesta por expresiones lineales. (Es decir que los términos tienen variables con exponente 1)

Por ejemplo 2

Es un sistema de ecuaciones lineales.

Pero la ecuación ………. No es una ecuación lineal.

Los métodos utilizados en la solución de los sistemas lineales de ecuaciones son varios: Reducción; por sustitución, igualación, método de determinantes o Cramer, y por el método matricial.

Un sistema de ecuaciones lineales de “ ” incógnitas y “ ” ecuaciones es de la siguiente forma.

El sistema de arriba se simboliza como sigue:

……… Siendo:

[

]

[

]

y [

]

Matriz formada por los coeficientes de las variables

Matriz formada por las incógnitas

Matriz formada por las constantes de las ecuaciones.

Por tanto el sistema en forma matricial es:

[

]

[

]

[

]

Page 344: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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343

El sistema de ecuaciones analizado, también se lo puede representar por la matriz.

[

∙∙∙

∙∙∙

∙∙∙

∙∙∙

]

Llamada matriz ampliada o matriz aumentada.

Se puede ver que el sistema de ecuaciones esta determinado completamente por su matriz

ampliada.

RESOLUCION DE SISTEMAS LINEALES.

1- Método Matricial:

Se tiene

Siendo … la matriz inversa de .

Page 345: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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344

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema por el método matricial.

{

La solución esta dada por

[

] [

] [

]

Ahora debemos hallar

a) [

]

b)

{

|

|

|

|

|

|

{

|

|

|

|

|

|

{

|

|

|

|

|

|

[

]

Page 346: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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345

c)

|

|

|

|

Luego

[

]

Entonces: [

]

[

]

[

]

[ (

)

(

)

(

)]

[

] [

]

Las raíces del sistema dado son:

{

Page 347: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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346

2° METODO:

8

El método consiste en la aplicación de las operaciones elementales entre filas a las ecuaciones

lineales del sistema.

Cada vez que efectuamos una de esas operaciones en el sistema obtendremos un nuevo

sistema con las mismas soluciones.

Dos sistemas con las mismas soluciones se llaman equivalentes.

Efectuando esas operaciones una tras otra de modo sistemático llegamos por fin a un sistema

equivalente que puede resolverse a simple vista.

Ilustraremos el método con un ejemplo.

Ejemplo: Sea el sistema

8

Para evitar trabajo no copiamos las letras ni los signos de igualdad, trabajamos con la matriz

ampliada obtenida adjuntando la matriz de las constantes de las ecuaciones con la matriz

formada con los coeficientes de las variables.

6

7

Nuestro objetivo es de: por medio de operaciones fila en esta matriz ampliada llegar a otra

matriz equivalente por fila del tipo:

6

7

En cualquier fase del proceso podemos poner las letras e intercalar los signos de

igualdad en las verticales correspondientes obteniendo ecuaciones equivalentes a las

ecuaciones originales.

Page 348: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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347

[

] → [

]

→ →

[

]

→ [

] → [

]

Al llegar a esta fase del proceso, el correspondiente sistema de ecuaciones viene dado por:

{

En este punto del proceso podríamos resolver el sistema fácilmente por los medios

convencionales.

Pero también podríamos continuar con el proceso de Gauss – Jordan, transformando en ceros

los elementos arriba de la diagonal de 1.

[

] ← [

]

→ →

[

]

Una vez que hemos llegado a la matriz ampliada en esta forma, podemos escribir la solución

del sistema. {

Page 349: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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348

RANGO DE UNA MATRIZ:

Se dice que una matriz cuadrada o rectangular no nula, cuyos elementos son números de

cualquier naturaleza es de rango , si y solo si tiene por lo menos una sub. Matriz REGULAR

(No singular) es decir cuyo determinante es no nulo, de orden .

Habiendo sub. Matrices de órdenes mayores que , deberán ser todas singulares (de

determinantes nulos).

es el máximo de los órdenes de los sub. Determinantes (menores) no nulos, extraídos de la

matriz.

El rango coincide con el número de líneas paralelas linealmente independientes que hay en la

misma.

Notación: o .

OBSERVACIONES:

- Una matriz cuadrada de orden , tal que su tiene por .

- Una matriz fila o columna tiene rango .

- Una matriz rectangular o cuadrada con un solo elemento no nulo .

- Una matriz identidad de orden tiene .

DETERMINACION DE RANGO DE UNA MATRIZ:

Calculo del rango de una matriz por el método de Gauss.

Con las transformaciones elementales que colocamos a seguir, es fácil comprobar que no

varía el rango.

* Si se permutan 2 filas o 2 columnas el rango no varía.

* Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no varía.

* Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no

nulo el rango no varía.

* Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que sean

proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe.

0det nr

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349

METODO DE GAUSS. El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a

una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal

principal se anulen ( ; )

Para conseguir “triangularizar” la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no

nulos, salvo que la fila sea nula.

Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número de filas

no nulas de la matriz obtenida.

Ejemplo de matriz triangular

[

]

Ejemplos: Hallar el rango de las matrices:

a)

[

] →

[

]

Como la matriz escalonada por filas tiene 2 filas rango

b)

[

]

[

]

→ [

]

Luego rango ( )

c)

[

]

Luego rango

… Debido a que el rango fila es igual al rango

columna, hallamos primero la transpuesta de 𝐴 y

luego lo reducimos a la forma escalonada.

Las 2 columnas de esta matriz son linealmente

independientes ya que la una no es múltiplo de la

otra.

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350

EJERCICIOS SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES – MISCELANEAS.

1- Calcular la suma de los elementos de la 3° fila de la matriz ( ) y siendo

2

Rta.:

2- Sea ( ) , y siendo

Calcular si 0

1

3- Calcular para que la matriz

6

7 Sea simétrica Rta.: ,

4- Calcular sabiendo que:

*

+ *

+ *

+ Rta.: {

5- Si 0

1 y 0

1

Resolver el sistema {

6- Calcular y , números reales de modo que la matriz no nula *

+

Verifique la condición

7- Para que valores de e las matrices *

+ y [

] conmutan?

Rta.: {

8- Las matrices y son cuadradas de orden .

Demuestre que [ ( )]

9- Calcular el valor de , siendo |

|

Page 352: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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351

10- Resolver la inecuación: |

|

11- Utilizando las propiedades de los determinantes probar que

|

| |

|

12- Siendo y matrices reales de orden , verifique las afirmaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

13- Si el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es 5. Entonces el determinante

de la matriz será:

14- Si [

] y . Calcular (

)

15- Resolver el sistema {

por el método matricial.

16- Hallar y

Sabiendo: *

+ *

+ *

+

17- Sean *

+

y [

]

. Calcular

18- Hallar la transpuesta de la matriz [

]

19- Sea una matriz cualquiera ¿Bajo qué condiciones el producto está definido?

¿Bajo qué condiciones la suma está definida?

Page 353: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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352

20- Sea 0

1 . Hallar a)

b)

21- Dada la matriz [

]

a) Reducir a la forma escalonada por filas.

b) Reducir a la forma escalonada por columnas.

c) Reducir a la forma canónica (Cuando simultáneamente esta escalonada por filas y

por columnas y además la diagonal está compuesta por 1).

22- Sea *

+ ………….. Hallar: a)

b)

c)

23- 0

1 0

1 [

] [

]

Calcular: a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

24- Reducir a la forma escalonada por filas y luego a la forma canónica.

[

]

[

]

25- Hallar las inversas de las matrices:

a) 0

1 b) 0

1 c) [

] d) [

] e) [

]

Page 354: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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353

26- Mostrar que las operaciones de inversa y transpuesta conmutan; esto es .

Así, un particular es inversible si y solo si es inversible.

27- ¿Cuándo es una matriz diagonal [

] inversible? ¿Y cuál es su inversa ?

28- Sea una matriz cuadrada de orden . Mostrar que es inversible si y solo si

29- Hallar el rango de cada una de las matrices:

a)

[

]

b)

[

]

c)

[

]

d)

[

]

30- Hallar ejemplos de matrices , y tales que:

a) Rta.: 0

1 0

1

b) Rta.: 0

1 0

1

c) Rta.: 0

1 0

1

d) Rta.: 0

1 0

1

31- Siendo [

]. Hallar la matriz es decir

Rta.: [

]

Page 355: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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354

32- Calcular las siguientes determinantes o los determinantes de las matrices:

a) 0

1 b) |

| c) |

|

d) |

| e) [

] f)

[

]

33- Determinar el valor de de forma que

|

| …………….……………..…………….…………….Rta.:

34- Verificar las siguientes determinantes:

a) |

|

|

|

b) |

|

35- Hallar el cofactor de 7 en la matriz

[

]

Rta: 61

36- Siendo [

]

Calcular: a)

b)

c) Verificar ( ) | |

d) Hallar

Page 356: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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355

37- Siendo 0

1

a) Hallar

b) Mostrar que ( )

38- Resolver los sistemas de ecuaciones usando determinantes

a) 2

b) 2

c) {

39- Calcular el determinante de cada matriz.

a) 0

1 b) [

] c) [

]

d) [

] e)

[

]

40- Sea la matriz

[

]

Hallar el cofactor de ; ;

41- Sea [

] . Calcular: 2

42- Determinar la matriz general , para la cual

Page 357: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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356

43- Siendo una matriz diagonal [

]

Y una matriz triangular [

].

Mostrar que: a) es una matriz diagonal.

b) es una matriz triangular.

c) es inversible si todos

d) es inversible si todos los

e) Mostrar que la inversa de , si existe es de la forma

[

]

Es decir, los elementos de la diagonal de son los inversos correspondientes de la

diagonal de .

44- Resolver el sistema de ecuaciones por el método matricial

{

45- Resolver por el método de escalonamiento el sistema de ecuaciones

{

46- Resolver las ecuaciones matriciales

a) 0

1 0

1

b) 0

1 0

1

Page 358: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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357

47- Para una matriz cualquiera , su transpuesta se designa por .

¿Esta siempre definida la adición de y de su transpuesta?. Explique.

48- Demuestre que para toda matriz

a)

b)

¿Se cumplen estas propiedades para una matriz cualquiera?

49- Siendo 0

1 e 0

1

Demuestre que

50- Explíquese como el producto matricial 0

1 0

1

igualado a la matriz 0

1

es equivalente a 2

51- Resolver la ecuación matricial

0

1 0

1 Siendo 0

1

52- Verifique si la ecuación matricial

0

1 0

1 Tiene a 0

1 por solución.

53- Haciendo

¿Satisface 0

1

la ecuación ?

54- Demuestre que el cuadrado de una matriz puede ser la matriz cero aun cuando la matriz

misma no sea cero. (Considerar una matriz )

55- Resolver el sistema por el método matricial de matriz inversa.

2

56- Encuentre una matriz 0

1 tal que: 0

1 0

1

OBS.: Utilizar matriz inversa.

Page 359: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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358

57- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de determinantes.

a) {

b) {

58- Demuestre que:

|

| |

| |

| |

|

59- Determine el valor de

a) |

| b) |

|

60- Calcular el determinante siguiente, sacando primeramente todos los factores comunes

posibles y desarrollando en seguida. Compruébese mediante desarrollo directo.

|

|

61- En la matriz siguiente, multiplíquese cada elemento de la 2° fila por 3 y fórmese una nueva

matriz sumando estos resultados a los elementos correspondientes de la primera fila.

Demuéstrese mediante desarrollo directo que el valor del determinante de la matriz original

es igual al de la nueva matriz.

|

|

62- Determinar las raíces de las ecuaciones

a) |

| b) |

|

63- Utilizando las propiedades de los determinantes, determinar las raíces de la ecuación.

|

|

|

|

Page 360: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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359

64- Demuéstrese que:

|

| |

|

65- Dada , hallar [

]

66- Determinar los valores de las matrices e de orden dos, que verifican el siguiente

sistema:

0

1 ; 0

1

67- Determinar (sin calcular el determinante de ); a partir de la siguiente igualdad

Siendo datos:

es la matriz identidad ; [

]

68- Dadas las matrices:

[

] ; [

]. Resolver el sistema 2

69- Siendo:

0

1 ; 0

1.

Calcular , tal que

70- Sabiendo que [

] ¿ Es {

solución del siguiente sistema?

{

Page 361: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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360

71- Resolver:

0

1

0

1 [

] 0

1

72- Demostrar la siguiente igualdad aplicando propiedades de los determinantes.

|

|

|

|

73- Resolver por el método matricial

{

Rta.:

{

74- Aplicando el método matricial por escalonamiento, resolver el sistema

{

Rta.: {

75- Resolver la ecuación

|

|

|

|

76- Calcular los siguientes determinantes.

a) |

|

b) |

| c) |

|

d) |

| e) |

|

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361

77- Hallar el valor de para que |

|

78- Resolver los siguientes sistemas por el método matricial.

a)

{

b) {

c)

{

d)

{

79- Escribir los menores complementarios y los adjuntos de los elementos de la cuarta fila del

determinante.

|

|

|

|

80- Descomponer en factores el determinante:

|

| Rta:

Page 363: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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362

SELECCIÓN DE TEMAS- AÑOS ANTERIORES.

1- Los términos séptimo, décimo y ultimo de una progresión aritmética son: 16; 22 y 32

respectivamente. Hallar el número de términos de la progresión.

Rta.:

2- La suma de los dos términos de una progresión aritmética es 4 y el sexto término es 38.

Hallar el noveno término de la progresión.

Rta.:

3- Los tres primeros términos de una progresión son:

y

.

Hallar el vigésimo

término.

Rta.:

4- Determinar la suma de los 20 primero términos de la progresión cuyos primero tres

términos son: 9 ; 6 y 3.

Rta.:

5- En una progresión aritmética la razón es 3, el término enésimo es 23 y la suma de los n

términos es 98. Determinar el número de términos de la progresión.

6- El 5º término de una progresión geométrica es 9. El 11º término es 6561. Hallar el primer

término.

7- La suma del cuarto y décimo termino de una progresión aritmética es 60 y la relación del

segundo al décimo termino es igual a

. Hallar el primer término de la progresión.

8- Hallar el vigésimo término de una progresión sabiendo que sus tres primeros términos son:

√ √ 23

9- Utilizando los siguientes datos ;

Calcular

√ .

10- Escribir la expresión logarítmica de la siguiente expresión y calcular el valor de ;

utilizando logaritmos.

11- Utilizando los siguientes datos:

Calcular:

Page 364: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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363

12- Siendo: y

Calcular: ( )

( )

13- Utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos de los números, demostrar

que:

( ) (

) ( )

14- Calcular el valor de , utilizando logaritmos.

15- Sin utilizar la maquinita de calcular, demostrar que:

√ √

16- Sabiendo que y

Calcular:

17- Calcular, utilizando las propiedades de los logaritmos:

18- Utilizando las propiedades de los logaritmos de los números y los siguientes valores:

y . Calcular: √

19- Utilizando logaritmos, calcular el valor de N en las siguientes expresiones:

a) √

( )

b) √

c)

20- Demostrar: El resto de dividir un polinomio racional y entero en por un binomio de la

forma , se obtiene substituyendo en el polinomio dado la por a.

21- Deducir la formula para calcular la suma de términos de una progresión geométrica.

22- La razón de una progresión aritmética es 2 y el séptimo término es el triple del segundo.

Formar la progresión.

23- Encontrar cinco números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos

primeros es

y la de los dos últimos es 24.

Page 365: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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364

24- Demostrar:

25- El primer término de una progresión aritmética es 3 y la suma de los 12 primeros

términos es 168. ¿Cuántos términos a partir del cuarto, sumaran igual que el undécimo y el

duodécimo términos de la progresión?

26- Utilizando las propiedades de los logaritmos, calcular:

27- Los dos primeros términos de una progresión aritmética de 280 términos son

y 2.

Calcular la suma de los 80 últimos términos.

28- Sin utilizar maquinita verificar la siguiente identidad.

29- Los tres primeros términos de una progresión de doce términos son

;

y

Determinar la suma de los cinco últimos términos.

30- Resolver la ecuación:

31- La suma de los tres números en progresión aritmética es igual a 3. El cociente de dividir el

primer término por el tercero es √ . Hallar los tres términos de la progresión.

32- Efectuar:

33- Calcular: sabiendo que

34- Hallar cuatro números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos

primeros es 38 y la suma de los dos últimos es 175.

35- Siendo ; hallar

36- En una progresión aritmética de 11 términos, la suma de todos los términos es igual a 176

y la diferencia de los extremos es igual a 30. Hallar el quinto término de la progresión.

37- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) b)

38- La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es igual a

√ . Sabiendo que la razón es √ , calcular el segundo termino de la progresión.

39- Verificar la siguiente identidad:

√ , efectuando transformaciones

exclusivamente en el primer miembro.

Page 366: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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365

40- Definir:

a) Matriz simétrica.

b) Progresión geométrica.

c) Cantidad compleja.

d) Matriz inversa.

e) Expresiones irracionales conjugadas.

f) Unidad imaginaria (definición y notación)

g) Matriz transpuesta de una matriz de orden

h) Progresión aritmética.

i) Enunciar cinco propiedades de los determinantes.

j) Factorial de un numero .

k) Expresión algebraica irracional.

l) Matriz diagonal.

41- Una pequeña compañía mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8 hs de mano de obra y U$ 60 en materiales, en tanto que cada sillón

se puede construir por U$ 35 en 6 hs.

Por semana, la compañía dispone de 340 hs de mano de obra y puede comprar U$ 2250

en materiales. ¿Cuántos sillones y sofás pueden producir, por semana, usando todos los

recursos materiales y humanos?

42- Dada la matriz , hallar ; [

]

43- Dadas las matrices y , determinar

0

1 0

1

44- Resolver la ecuación: |

|

45- Resolver la desigualdad:

| |

46- Resolver la ecuación:

47- Hallar el valor de “ ”, sabiendo que los números:

y están en ese orden en progresión aritmética.

48- Aplicando exclusivamente las propiedades de los logaritmos, calcular

Page 367: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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366

49- Resolver la ecuación:

50- La suma de tres términos consecutivos de una progresión geométrica creciente es 26. Si se

reste 8 del tercer termino, la misma se transforma en una progresión aritmética. Formar

las dos progresiones.

51- Hallar el valor de que satisface la ecuación:

Siendo: [

] [

] ; 0

1

52- La suma de los tres primeros términos de una progresión geométrica creciente es

28. Si a los mismos se les resta respectivamente 1 , 3 y 9, la progresión se transforma en

aritmética. Hallar dichos términos.

53- Sean las matrices 0

1

y 0

1

Calcular la matriz

54- Sean las matrices 0

1

y 0

1

Calcular la matriz transpuesta de

55- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método matricial 2

56- Si

Hallar: a) [ ]

b) [ ]

57- Resolver la ecuación:

58- Aplicando las propiedades de los logaritmos, calcular el valor de

59- Sean las progresiones crecientes:

2

Hallar el valor de y el de

60- Definir: a) Matriz de orden

b) Factorial de un numero .

c) Expresión algebraica racional.

Page 368: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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367

61- En una carpintería fabrican sillas, mesas y armarios a razón de 350 piezas por mes. Las

horas de mano de obra y las planchas de madera que exige cada mueble se muestran en

la siguiente tabla:

Si se han trabajado 1050 horas y utilizado 625 planchas, calcular cuantas unidades de

cada mueble se han fabricado.

62- Dada la matriz: 0

1 y siendo

Hallar: a)

b)

63- Definir el dominio y el rango de la función

, para que exista la inversa.

64- Resolver la ecuación

65- Resolver:

0

1

[

]

[

]

66- Resolver la ecuación:

Verificar los valores de en la ecuación dada.

67- La suma de los términos extremos de una progresión aritmética de cuatro términos es

igual a 11 y el producto de los medios es igual a 24.

Escribir las progresiones posibles.

68- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método matricial

{

69- a) Determinar el dominio de la función √

b) Dada la función , hallar y .

SILLAS MESAS ARMARIOS

Horas por unidad 2 3 5

Planchas por unidad 1 2 3

Page 369: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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368

70- Resolver la ecuación:

71- La suma de los dos primeros términos de una progresión geométrica de seis términos es

igual a 9 y la suma de los dos últimos es 144.

Formar todas las progresiones posibles.

72- Un establecimiento de comidas elabora tres tipos de productos y con tres

ingredientes en las cantidades que refleja la tabla siguiente:

x y z

A 15 5 2

B 20 10 0

C 20 8 5

Si el costo de cada producto es gs 200, gs 2600 y gs 3150 respectivamente. Hallar el

costo unitario de cada ingrediente. Resolver el sistema de ecuaciones utilizando,

exclusivamente, determinantes.

73- Calcular el valor de e que resultan de multiplicar la matriz por su transpuesta, siendo

el producto la matriz .

[

] [

]

74- Resolver la ecuación, sin calcular logaritmo de números e indicando todos los pasos:

( )

(

)

75- Resolver la ecuación:

Verificar en la ecuación dada, el o los valores de obtenidos.

76- El primer término de una progresión aritmética de 15 términos es . La suma de los

cinco últimos términos es igual a 155. Formar la progresión.

77- En una progresión geométrica de seis términos, la suma de los términos que ocupan el

lugar impar es 1365 y la suma de los que ocupan el lugar par es 5460.

Hallar el primer término y la razón de la progresión.

78- Un país importa 210 vehículos mensualmente de las marcas al precio de U$ 12000,

U$ 15000 y U$ 20000, respectivamente. El total de la importación asciende a U$ 3.320.000

y de la marca se importa el 40% de la suma de las otras dos marcas. ¿Cuántos vehículos de

cada marca están en ese país?

OBS: Resolver el sistema de ecuaciones lineales formado, calculando la matriz inversa de

la matriz de los coeficientes de las incógnitas. Se recomienda operar con números

fraccionarios en todo el cálculo.

Page 370: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

ALGEBRA

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369

79- Resolver las ecuaciones:

a)

b) (

)

80- Formar la equidiferencia continua determinada por los términos de la progresión

aritmética creciente que ocupan el lugar 29, 28 y 27, siendo su primer termino igual a 7

y la suma de sus primeros 40 términos igual a 4960.

81- Hallar la función cuadrática sabiendo que

Resolver el sistema de ecuaciones lineales formado, calculando la matriz inversa de los

coeficientes de las incógnitas. Se recomienda operar con números fraccionarios en todo el

cálculo.

82- Dadas las matrices y , hallar el valor de y el de para que se verifique .

[

] [

] 0

1

83- a) Dadas las funciones y , hallar [ ] y

[ ]

b) Hallar el dominio y el rango de la función √

84- Resolver la ecuación:

85- Dos términos consecutivos de una progresión aritmética creciente son 56 y 106. Dos

términos consecutivos de una progresión geométrica creciente son 16 y 32. Los términos

que ocupan el sexto lugar en ambas progresiones son iguales. La diferencia entre el cuarto

término de la progresión aritmética y el cuarto término de la progresión geométrica es 92.

Hallar el primer término de cada una de las progresiones.

86- Dadas las matrices y , determinar la matriz para que se verifique que

[

] [ ]

87- a) Sin usar los logaritmos de los números, resolver la siguiente ecuación:

b) Resolver la siguiente ecuación, verificando las raíces de la ecuación:

Page 371: ALGEBRA TOMOI-II.pdf

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370

88- a) Determinar el dominio de la función

b) Determinar el dominio y el rango de la función:

89- Hallar el enésimo término de un P.A., sabiendo que la suma de los 40 primeros términos

es 430 y que la suma de los 60 primeros términos es 945.