Massivbau Formeln zur Berechnung

1. Grundsätzliches 1.1 Nachweiskonzept 1.1.1. Nachweisformat für ULS

dd RS ≤ • gewöhnliche Bemessungssituation

( ) ( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++= ∑ ∑>1

,,01,,i

ikiQkQikGd QQGS ψγγγ )

• außergewöhnliche Bemessungssituation

( ) ( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++= ∑>1

,,21,1,1,1,i

ikikdikGAd QQAGS ψψγ )∑ mit Ad = charakt. Wert der außergewöhnlichen E.

1.1.2. Nachweisformat SLS dd CE ≤

Cd Nennwert der Bauteileigenschaft Ed eingstellte Kenngröße • Seltene Kombination

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ++= ∑∑>1

,,01,i

ikikkd QQGE ψ

• Häufige Kombination

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ++= ∑∑>1

,,21,1,1i

ikikkd QQGE ψψ

• Quasi-Ständige Kombination

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ += ∑∑i

ikikd QGE ,,2ψ

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2. Stahlbetonbau 2.1 Baustoffe 2.1.1. Beton 2.1.1.1 Festigkeitsklassen fck = fcm – 1,64⋅σ Versuche fck = fcm – 8 N/mm² EC2 C f / fck,cyl 15/30 ck,cube202.1.1.2 Druckfestigkeit fck,cube20 = 0,95 fck, cube 15 = 1,18 fck,cyl

Betondruckfestigkeit zu bel. Zeitpunkt: ( ) ( ) cmcccm fttf β= mit ( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

5,0

1

281t

ts

cc etβ 2.1.1.3 Zugfestigkeit

32

32

00 10

85,1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ck

ck

ckctct

fff

ff

Streunung 95.0,05.0, 54,07,0 ctctmctctk ffff === 2.1.1.4 Elastizitätsmodul

31

31

00 10

21500 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= cm

Ecm

cmcEc

fff

EE αα mit αE Beiwert f. Zuschlag

2.1.1.5 Kriechen Zeitabhängige Vergrößerung der Verformung infolge Last

• bis 0,4 fc linearer Zusammenhang zwischen Kriechen und σ ( ) ( )( )0

0, ,,

ttt

ttc

cco ε

ε=Φ

• über 0,4 fc überproportionale Zunahme des Kriechens 2.1.2. Betonstahl Duktilitätsklassen: εuk ≥ 5,0 % und ft/ fy ≥ 1,08 hochduktile Klasse εuk ≥ 2,5 % und ft/ fy ≥ 1,03 normalduktile Klasse 2.2 Schnittgrößenermittlung 2.2.1. Tragwerksidealisierung 2.2.1.1 Ermittlung der Stützweiten Balken Schwerlinie Platten Mittelebene

∑+=i

ineff all ln Lichte Weite ai Abstand der rechnerischen Auflagerlinie von AL-Vorderkante

2.2.1.2 Mitwirkende Plattenbreite Zusammenwirken von Steg und Flansch schubfeste Verbindung • symmetrischer Plattenbalken

blbb weff ≤+= 051

• einseitiger Plattenbalken

10101 bblbb wweff +≤+=

2.2.2. Schnittgrößenumlagerung „Umlagerung“ der nach E-Theorie ermittelten Schnittgrößen: ΔM = Mel – Mvorh

• Umlagerungsfaktor : el

vorh

MM

=δ

• Umlagerungsgrad: ( )elel

vorhel

MM

MMM Δ

=−

=− δ1

Nachweis der plastischen Rotation: zulplerfpl ,, θθ ≤

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Verzichtbar, wenn: δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d für Betone bis C35/45 δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d für Betone ab C40/50 und δ ≥ 0,7 für hochduktilen Stahl δ ≥ 0,85 für normalduktilen Stahl 2.2.3. Vereinfachungen • Stützmoment bei frei drehbarer Lagerung:

8' sup

sup,

bFMM sdSdSd −=

• Stützmoment bei monolithischem Anschluß

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=≥−=

Stützen anderen alle 181min

Endfeld enInnenstütz für 121min

2'

2

2

sup/,

ndsd

ndsd

reliSdSdSd

lFM

lFMbVMM

2.3 Grenzzustand der Tragfähigkeit 2.3.1. Biegung mit Normalkraft 2.3.1.1 Inneres GG für QS mit rechteckiger Druckzone Bemessungsgleichung:

RdSd

RdSd

NNMM

≤

≤

Einwirkungen MSd und Nsd

h d

b

MSd

εc2

MSd

NSd

d1

d2

zs2

zs1

As2

As1

εs1

x=ξd

z=ζd

a=kax

Fsd2

Fcd

Fsd1

mit:

cdRcdRcd fbdfbxF ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ξαα 85,085,0

222 sssd AF σ=

111 sssd AF σ= Bedingung für Kräfte-GG:

SdsdcdsdRdRdSd NFFFNNN =−−=⇒= 21 QS ohne Druckbewehrung:

SdcdRssRd NbdfAN =⋅⋅⋅⋅−= ξασ 85,011

Für vorgegebene Dehnungsebene 1

185,0

s

cdRSds

bdfNA

σξα ⋅⋅⋅⋅+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅= 12

dhNzFM SdcdRd

mit ( )ξζ ⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=⋅= a

c kdd

xkdadaddz 111

geg. QS für jede Dehnungsebene erf. As1 + MRd; Bemessung MSd ≤ MRd Iteration 2.3.1.2 Druckbewehrung EC2 Begrenzung der Druckzonenhöhe ξ = x/d um rechnerischen Versagen ohne Ankündigung zu vermeiden Sicherstellen der Duktilität Sprödigkeit steigt mit zunehmender Betonfestigkeit ξ = x/d ≤ 0,45 für C12/15 bis C35/45

Seite 3 von 31

ξ = x/d ≤ 0,35 für C40/45 und höher Stahldehnung als Mindestmaß der Duktilität

εs1 = 4,278 ‰ für C12/15 bis C35/45 εs1 = 6,5 ‰ für C40/45 und höher Momentenanteil der von Druckbewehrung und zusätzl. Zugbewehrung aufgenommen wird:

lim,SdSdSd MMM −=Δ mit: MSd,lim Momentenateil, den QS ohne Druckbewehrung bei ξ = 0,45 bzw. ξ

= 0,35 entsprechen Betonfestigkeit aufnehmen kann ΔMSd Momentenanteil, der von Druckbewehrung zusätzl.

Zugbewehrung aufgenommen wird Da z = const.

( ) 2212

s

Sds ddh

MA

σ−−Δ

= mit:

• für εs ≥ 2,174 ‰ σs = fyd

• für εs < 2,174 ‰ σs =Es⋅εs und %35,02 xdx

s−

−=ε

( ) yd

Sds fddh

MA

211 −−

Δ=Δ

2.3.1.3 Bemessungshilfen 2.3.1.3.1 Allgemeines Bemessungsdiagramm

ζξαμ ⋅⋅⋅=⋅⋅

= Rcd

SdsSds fdb

M85,0

² als Eingangsgröße

Übergang zwischen Stahl- und Betonversagen εs = 20‰ und εc = -3,5 ‰ µSds = 0,096 Druckbewehrung:

µSds = 0,252 für C12/15 bis C35/45 µSds = 0,206 für C40/45 und höher erf. Bewehrungsfläche:

• ohne Druckbewehrung: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Sd

Sds

ss N

dM

Aζσ 1

11

• mit Druckbewehrung: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−Δ

+= SdSdsSds

sS N

ddM

dM

A2

lim,

11

1ζσ

21

21

ddM

A Sds

ss −

Δ=

σ

Betondruckkraft: cdcdcd fdbF ⋅⋅⋅= ν 2.3.1.3.2 kd-Verfahren

cdRcdRSds

d

fdb

fbddb

Mk

⋅⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅= ζξα

ζξα85,0

²²85,0

²1

2

cdRSds

d fb

Mdk

⋅⋅⋅⋅==

ζξα85,01 mit fcd [kn/cm²]

yd

SdSds

ydSd

Sdss f

Nd

Mf

Nz

MA 11

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ζ

mit yd

dcdR

yd fkf

f

2

s85,01k

⋅⋅⋅⋅=

⋅=

ξαζ

ydSd

Sdsss f

Nd

MkA 1

1 += mit fyd [kN/ cm²]

Grenzwert für Druckbewehrung:

cdd

fk

252,01

lim, = bis C35/45

Seite 4 von 31

cdd

fk

206,01

lim, = C40/45 und höher

1.

][][

][

mbkNmM

cmdkSds

d =

2. ][][][][ 1 mzkNNkNmMkNmM sSdSdSds −=3. ks ablesen

4. ²]/[

1][][

][²][1 cmkNf

kNNcmdkNmM

kcmAyd

SdSds

ss +=

2.3.1.3.3 ϖ-Verfahren

yd

Sd

yd

cdR

yd

Sd

yd

Sdss f

Nf

fbdfN

zfM

A +⋅⋅⋅⋅⋅

=+=ξα85,0

1

mit ξαω ⋅⋅= RM 85,0,1

yd

Sd

yd

cdMs f

Nf

fbdA +

⋅⋅⋅= ,11 ω

ζμ

ω SdsM =,1 mit ζξαμ ⋅⋅⋅= RSds 85,0

Vorgabe der Dehnungsebene alle notwendigen QS-Parameter Grenze für Druckbewehrung: ξlim = 0,45 bzw. µSds,lim =0,252 ξlim = 0,35 bzw. µSds,lim =0,206 Druckbewehrung:

( ) yd

cdSds

yd

Sdsss fdd

fdbzf

MAA

221

²−

⋅⋅⋅Δ=

Δ==Δ

μ

ddfdb

fA Sds

cd

yds

2

221

1−

Δ=

⋅⋅==Δ

μωω

Bemessungshilfen M,111 ωωω +Δ=

( )Sdcdyd

s Nfdbf

A +⋅⋅⋅= 111 ω

yd

cds f

fdbA ⋅⋅= 22 ω

2.3.1.3.4 µ-ν-Interaktionsdiagramm für symmetrische Bewehrung As1 = As2

1. Eingangswerte:

cd

SdSd bhf

N=ν

cd

SdSd fbh

M²

=μ

2. Diagramm mech. Bewehrungsgrad ϖtot

3.

cd

ydtotsstots

ff

bhAAA ω=+= 21,

2.3.1.4 Gegliederte Druckzone Plattenbalken Hohlkasten

2.3.1.4.1 Schlanke Plattenbalken b > 5⋅beff w Vernachlässigung der Druckkraft im Steg Fcd im Abstand hf/2 von oben

Seite 5 von 31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= Sd

f

Sds

ss N

hdM

A2/

1

11 σ

mit σs1 = fyd

Überprüfung des Druckgurtes:

( ) cdIRfefff

Sdsc f

hbhdM

85,02/ )( ≤

−=

ασ mit αR

(I) Tabelle

2.3.1.4.2 Gedrungener Plattenbalken b < 5⋅beff w Keine Vernachlässigung der Druckkraft im Steg

1. Liegt Nulllinie im Steg? 2. Nulllinie im Flansch Bemessung wie Rechteck-QS mit Breite beff 3. Nulllinie im Steg Bemessungshilfe für PB

Näherungsverfahren • Näherungsverfahren:

T-förmige Rechteckige Druckzone Unterschätzung von z sichere Seite effi bb λ= Tabelle

da x unbekannt Iteration: 1. Schätzung von ξ 2. mit x bi 3. Berechnung von ξ z.B. mit kd-Verfahren

• Bemessungshilfen entspricht ϖ-Verfahren

2.3.2. Querkraft Ermittlung von VSd

Ermittlung von VRd1

VRd1 ≥ VSd NSd < 0

und β>1

Ermittlung von VRd2

VRd2 ≥ VSd

Ermittlung von θ

θ<θmin oder

θ>θmax

Balken mit min ρw

Platte ohne min ρw

ja

ja

ja

nein nein

θ θ=45° θ=45° θ=θmin

θ>θmax ja

nein nein

Standardverfahren

QS/ B‘Festigkeit

ändern

ja

Verfahren mit var. Druckstrebenneigung

2.3.2.1 Bemessungswert der Querkraft Vsd • Unmittelbare (direkte) Stützung

Einleitung der äußeren Kräfte im Bereich des Auflagers direkt maßgebende Querkraft im Abstand 1,0⋅d

• Mittelbare (indirekte) Stützung direkter Kraftfluss zum AL nicht möglich Querkraft am AL-Rand maßgebend + Aufhängebewehrung

Seite 6 von 31

2.3.2.2 Bauteile ohne Q’Bewehrung ( )[ ]cpRdwRd kdbV σρτ 15,0402,1 11 ++⋅⋅= mit:

k Faktor für Maßstabseffekt - k=1 wenn <50% von As gestaffelt - 16,1k ≥−= d mit d[m]

ρl Bewehrungsgrad der Zugzone

02,01 ≤=c

sl A

Aρ

σcp Spannung infolge N bw kleinste QS-Breite in der Nutzhöhe

VRd2 ≥ VSd nur zu prüfen, wenn: • N vorhanden • Einzelkraft im AL-Bereich 2.3.2.3 Bauteile mit Q’Bewehrung 2.3.2.3.1 Standardverfahren

Druckstrebenwinkel θ=45° wdRdRd VVV += 13

( )αα cot1sin11

+−

=zfVV

aywd

RdSdsw

( )αν cot15,02 +⋅= zbfV wcdRd mit 5,0200

7,0 ≥−= ckfν ; bw = kleinste QS-Breite; z = 0,9⋅d

2.3.2.3.2 Verfahren mit variabler Druckstrebenneigung Steuerung der Q’Bewehrungsmenge durch Wahl von θ; je kleiner θ, desto kleine

Q’Bewehrungsmenge, desto größer ist Druckstrebenkraft kleinstmöglicher Winkel θ VRd2 = VSd

01cot²cot =+⋅

− θν

θSd

wcd

Vzbf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=ν

θcdw

Sd

fzbV2

arcsin21 mit z = 0,9d

Wenn N>0,4⋅fcd⋅Ac

01cot167,1²cot =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅− θ

σνθ

cd

cp

Sd

wcd

fVzbf

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅⋅=

cpcdw

Sd

fzbV

σνθ

67,12

arcsin21 mit z = 0,9d

Bedingungen für θ: o Balken mit konst Längsbewehrung

0,4 < cot θ < 2,5 21,8° ≤ θ ≤ 68,2° o Balken mit gestaffelter Längsbewehrung

0,5 < cot θ < 2,0 26,6° ≤ θ ≤ 63,4°

( ) ααθ sincotcot3 += zfaV ywdswRd und SdRd VV =3 ( )αθα cotcotsin1

+=

zfV

aywd

Sdsw

senkrechte Bügel θtanzf

Va

ywd

Sdsw =

2.3.2.4 Sonderfälle 2.3.2.4.1 Bauteile mit veränderlicher Höhe Neigung der Gurtkräfte Vertikale Komponenten in Richtung der Querkräfte aus : ∑ = 0V

tdccddSd VVVV −−= 0 mit: V0d Bemessungswert von V bei konst. Bauteilhöhe Vccd Querkraftkomponente der Betondruckkraft

( )( ) o

Sdsccd xz

xMV ϕtan=

Vtd Querkraftkomponente der Stahlzugkraft ( )

( ) uSdSds

td Nxz

xMV ϕtan⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2.3.2.4.2 Schub im Flansch von T-Trägern gegliederte Träger schubfeste Verbindung zwischen Steg und Druck-/ Zuggurt

Seite 7 von 31

• Druckgurt EC2 Druckkraft wird im Flansch von M=0 bis M=Mmax =MSds gleichmäßig aufgebaut

cc

ca

v

Sds

v

cdSd A

Aza

MaF

v == mit: av Abstand M=0 und Stelle von MSdsAcc Gesamtfläche der Druckzone Aca Fläche des Gurtes

fcdRd hfv 2,02 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

f

sfydfRdRd s

Afhv τ5,23

yd

fRdSd

f

sfsa f

hvsA

aτ5,2−

≥= mit: Asf Fläche des Bügels sf Abstand der Bügel im Druckgurt hf Dicke der Gurtplatte

• Zuggurt Annahme: Spannungen in allen Längsstäben gleich

tots

gurtsSd

Sds

tots

gurtsSdSd A

Aa

Nz

M

AA

aF

v,1

,1

,1

,11

νν

+==

yd

Sdsa f

va =

2.3.2.5 Durchstanzen Kombiniertes Biege-/ Schubversagen

- Biegebemessung - Schubbemessung

Schubbemessung ohne Q-Bewehrung 1Rdsd vv ≤ mit

uVv SdSd

β=

VSd gesamte Bemessungsquerkarft β Faktor für Exzentrizität - keine Ausmitten β=1 - Innenstützen β=1,15 - Außenstützen β=1,4 - Eckstützen β=1,5 u Umfang des krit. Rundschnitts

( )dkv lRdRd ρτ 402,11 += τRd Grundwert der Schubfestigkeit k Maßstabeffekt ( ) 0,16,1 ≥−= dk ρ1 Bewehrungsgrad der Zugbewehrung 015,011 ≤= yxl ρρρ d gemittelte statische Höhe

( )

2yx dd

d+

=

vSd > vRd1 Durchstanzbewehrung erf. • Betondruckstreben

12 6,1 RdRdSd vvv =≤ • Durchstanzbewehrung

∑+=≤ αsin13 uf

Avvv ydswRdRdsd mit : α = Neigung der Durchstanzbewehrung zur

Plattenebene

α

βsin

1

yd

rdSdsw f

uvVerfA

−≥

( )α

ρsin

6,0min min,loadcrit

wswAA

A−

=∑

Anordnung innerhalb der krit. Fläche mit: - konventioneller Bewehrung (aufgebogene Stäbe) - Dübelleisten

Seite 8 von 31

Biegebemessung: Mindestmomente SdSd Vm η=min Fundamentplatten:

Abminderung um Anteil der Bodenpressung pAVV critSdSd −=*

2.3.3. Torsion aufnehmbare Beanspruchung der Druckstreben TRd1 aufnehmbare Beanspruchung der Druckstreben TRd2

Druckstreben wendelförmig Quer- und Längbewehrung erf. 1. Wahl der Druckstrebenneigung 0,4 < cot θ < 2,5 2. Berechnung der QS-Werte tk

uAtc k ≤≤⋅2

mit: c Betondeckung A Gesamtfläche des QS u äußerer Umfang tk fiktive/ echte Wanddicke des Hohlkastens

3. Ermittlung der Tragfähigkeit der Druckstreben

( )θθ

νθν

tancot2

2sin1 +⋅

=⋅= kkcdkkcdRd

tAftAfT

mit ν analog Querkraftbemessung; Voll-QS --> 35,0200

7,07,0 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ckf

ν

4. Ermittlung der erf. Bügel- und Längsbewehrung

erf. Bügelbewehrung = θtan2 ywdk

Sdsw fA

Ta =

erf. Längsbewehrung = θtan2 ydk

kSdsl fA

uTA =

2.3.3.1 Bemessung nach EC2 für komb. Beanspruchung • Torsion mit Biegung/ Normalkraft

getrennte Bemessung TslMslsl AAA ,, +=

Wenn Zugspannungen infolge Torsion von Normalkraft überdrückt werden Asl,T 0 Hauptdruckspannungen ≤ α⋅fcd

• Torsion und Querkraft Getrennte Bemessung möglich, wenn:

o θ einheitlich bei Torsion und Querkraft o Begrenzung der Beanspruchung der Betondruckstreben durch Interaktionsregeln

12

2

2

1

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Rd

Sd

Rd

Sd

VV

TT

für Voll-QS, offene QS

121

≤+Rd

Sd

Rd

Sd

VV

TT

für Kasten-QS

TswVswsw aaa ,, += 2.3.4. ULS mit Tragwerksverformungen Druckkraft Standsicherheit = f(...,Verformung, ...) Vernachlässigbar, wenn MII ≤ 1,1 MI

EC2 Grenzwerte für Entscheidung:

Schlankheit il0=λ mit

c

c

AI

i = für Rechteck-QS i= 0,289⋅h

Seite 9 von 31

Bemessung von Druckgliedern

Bemessung als Einzeldruckglied Bemessung als Gesamtsystem

Ersatzlängenberechnung lo = β⋅l

Ber. der vorh. Schlankheit λ = lo/ i

Ber. der Grenzschlankheit λcrit

λ≤λcrit

Einfluß Th. II. Ordnung berücksichtigen

λ≤λcrit

e0/ h ≥ 0,1 Genaue Berechnung

• Modellstützenverfahren • μ-Nomogramm • e/d-Diagramm

Einfluß Th. II. Ordnung vernachlässigbar Bemessung mit NSd und MSd ≥NSd⋅h/20

ja

ja

nein

nein

2.3.4.1 Bemessung von Einzeldruckgliedern nach EC2 2.3.4.1.1 Arten von Einzeldruckgliedern • einzelne Druckglieder • Teile eines Gesamttragwerks Ersatzlänge l0 2.3.4.1.2 Ermittlung von l0

colll ⋅= β0 mit: β = Ersatzlängenbeiwert

• bei Einzelstützen Eulerfällen • bei Rahmentragwerken Nomogramme

verschiebl. Rahmen Verringerung von EIRiegel um 30% (Rissbildung)

mit ( )∑

∑

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

eff

bcm

col

colcm

BA

E

Ekk

lI

lI

α mit: Icol Trägheitsmoment der Stütze

Ib Trägheitsmoment der Balken leff wirksame Stützweiten der Balken α Beiwert für Einspannung am abliegenden Ende des Balkens kA,B ≥ 0,4 bei β=βmin bereits eingearbeitet Einspannung kA,B = 0

2.3.4.1.3 Anwendungskriterium für Th. II.Ordnung

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=u

critν

λ 1525

max

Druckglieder in unverschieblichen Rahmen ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

02

01225ee

critλ mit e01, e02 Lastausmitten nach

Th. I.Ordnung und cdc

Sdu fA

N min,=ν

• critλλ ≤ mit

Bemessung der Stabenden für NSd und 20/hNM SdSd = M-N-Interaktionsdiagramm

• critλλ > Modellstützenverfahren

Seite 10 von 31

2.3.4.1.4 Modellstützenverfahren Anwendbar für Rechteck-/ Kreis-QS mit

• 140<λ bzw. 400 <hl

• 1,00 ≥he

mit Sd

Sd

NM

e =0

Bemessung des kritischen QS für • NSd • MSd,tot = |Nsd|⋅etot

20 eeee atot ++= mit:

• Sd

Sd

NM

e 10 =

Druckglieder mit veränderl. Ausmitte e0 und konst. QS

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

=02

0102

4,04,06,0

maxe

eeee mit 0201 ee ≤

• 20lea ν= mit

⎩⎨⎧

≥=Systemeesgefährdetstabilitätnicht1/400

Systemeesgefährdetstabilität200/1

1001

tothν

Verringerung von ν um 2

/11 nn

+=α wenn vert. aussteifende Bauteile vorh.

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

rlKe 1²

101

012

mit: K1 Korrekturfaktor zur Sicherstellung ders allmählichen Übergangs vom ULS für Biegung mit N (λ≤25) zum Knickproblem (λ>25)

75,0201 −=λK für 15 ≤ λ ≤ 35

11 =K für λ > 35 1/r Stabverkrümmung im maßgebenden QS im ULS

Bewehrung fließt auf Zugseite, εc2 = -3,5‰

d

Kr

yd

9,021 2ε

=

mit: 12 ≤−

−=

balud

Sdud

NNNN

K

mit: totsydccdud AfAfN ,85,0 +⋅⋅=

ccdbal AfN 4,0= unverschiebl. TW mit monolithischen Stützen Verzicht auf Ermittlung der Kriechverformung sonst:

1,

,1Sd

cSdc M

M+=η mit MSd,c = kriecherzeugendes Moment unter quasi-ständiger Last

0,0 ll cc η= erf. Bewehrung mit µ-ν-Interaktionsdiagramm

2.3.4.2 Bemessungshilfen für einachsige Biegung mit Druckkraft 2.3.4.2.1 µ-Nomogramme

rechnerisch exakte Lösung für Modellstützenverfahren Eingangsparameter: • bezogenes Moment µSd unter berücksichtigung von ea und ggf. ec

ca eeee ++= 01

Seite 11 von 31

11 eNM SdSd =

cd

SdSd fhb

M⋅⋅

=²

11μ

• bezogene Stützenlänge hl0

• bezogene Längskraft cd

SdSd fhb

N⋅⋅

=ν

2.3.4.2.2 e/h-Diagramme bezogene Lastausmitte e1/h ersetzt µSd1

ca eeee ++= 01 2.3.4.3 Sonderfall: Zweiachsig knickgefährdetes Druckglied

Biegung in 2 Richtungen Getrennte Betrachtung für beide Richtungen möglich, wenn:

2,0≤

be

he

y

z

oder 2,0≤

he

be

z

y

mit ey, ez = e1 ohne ea !!

z-Achse stärkere Achse 2,0>ze

Nachweis über schwache Achse mit ( )azz eehhh

++=

12²5,0'

2.3.4.4 Konstruktive Durchbildung/ Mindestbewehrung Sicherung gegen Ausknicken der Längsstäbe Bügel:

• Mindeststab-∅: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥≤

=mattenBetonstahlbeimm

mmdbeidmmdbeimm

d slsl

sl

sw

52525,0206

min

• Maximalabstand: ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

mmhb

ds

sl

w

300,min

12minmax

• Maximalabstand an Übergreifungsstößen mit dsl> 14mm und an Lasteinleitungsbereichen: ww ssred max6,0max =

• cyd

Sds A

fN

A 003,015,0min, ≥= für Stützen

cs AA 004,0min, = für Wände • Obergrenze:

cs AA 08,0max, =

2.4 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit SLS 2.4.1. Begrenzung der Stahl- und Betonspannung 2.4.1.1 Begrenzung der Stahlspannung

zAM

ss =σ

seltene Lastkombination σs ≤ 400 MPa Kleinhalten der bleibenden plastischen Verformung

provs

reqsyds A

Af

,

,

4,1 δσ = mit δ angenommener Umlagerungsgrad ULS

Nachweis erfüllt, wenn Schnittgrößen nach E’Theorie ab Umlagerung von ≥ 20% Nachweis nötig

2.4.1.2 Begrenzung der Betonspannung

2xzb

Mc =σ

Seite 12 von 31

• quasi-ständige Lastkombination ckc f45,0≤σ

• seltene Lastkombination ckc f6,0≤σ

Erhöhung der Betondeckung Anordnung einer Querbewehrung smax = 12 ∅s,l

2.4.2. Begrenzung der Durchbiegung (Vereinfachter Nachweis nach EC2)

Begrenzung der Durchbiegung durch Einhaltung der zulässigen Biegeschlankheit d

leff mit

Tabelle ∑+=i

ineff all

Abminderung für: • Plattenbalken mit beff/ stegdicke ≥ 3 ⋅0,8 • Stützweiten > 7m / Trennwände 7/ leff • Flachdecken ln > 8,5m 8,5/ leff größere Schlankheit rechnerischer Nachweis (s.o.) f ≤ l/250 (l/ 500) 2.4.3. Beschränkung der Rissbreiten 2.4.3.1 Ermittlung der Rissbreiten 2.4.3.1.1 Rissbreite bei Einzelriss

Fs ≤ Ac,eff⋅fctm

( )ρασσ

esb

sses U

Al

+=

11

mit: σs Stahlspannung am Riss As Stahlfläche Us Umfang des Stahlstabes σb mittl. Verbundspannung αe = Es / Ecρ geometrischer Bewehrungsgrad = As/ Ac

( )cmsmeslw εε −= 2 2.4.3.1.2 Abgeschlossenes Rissbild

Fs > Ac,eff⋅fctm

sb

effcctmes U

Afl

σ,=

( )dhbA teffc −= 5,2,

[ ] 3,0

23,01²]/[31,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

mmwbmmNfcm

bmτ mit b= Faktor zur Beschreibung des

Schlupfverlaufs:5,1

85,11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

s

cr

FF

b

einfache Berechnung ctmbm f8,1=τ untere Grenze der Rissbreite: ( )cmsmeslw εε −=min obere Grenze der Rissbreite: ( )cmsmeslw εε −= 2max

2.4.3.2 Formeln zur Ermittlung der Rissbreite 2.4.3.2.1 Einzelriss

( )ρατσ

esbm

ss

Ew

+∅⋅

=12

4,0 2

Rissbreite unter langer, wiederholter Belastung

( )ρατσ

esbm

ss

Ew

+∅

=12

6,0 2

2.4.3.2.2 Abgeschlossene Rissbildung ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∅= ρα

ρσ

ρτ es

ctm

s

s

bm

sctm

Etf

Ef

w 16,02

Rissbreite unter langer, wiederholter Belastung ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∅= ρα

ρσ

ρτ es

ctm

s

s

bm

sctm

Etf

Ef

w 14,02

größte zulässige Stab-∅/ Stababstand

Seite 13 von 31

2.4.3.3 Beschränkung der Rissbreite nach EC2 EC2 ∅- und Stababstandstabelle Eingangsparameter Stahlspannung nach Rissbildung:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

zM

NA

s

ss

1σ unter quasi-ständiger Lastkombination (Druck +); z ≈ 0,9d

Erhöhung der Grenz-∅ möglich:

• bei Zwang um Faktor: ( ) 5,2105,2ctmctm f

dhhf

≥−

• bei Last um Faktor: ( ) 0,110

≥− dh

h

2.4.4. Verformungseinwirkung im Gebrauchszustand Mindestbewehrung:

( )II

I

s

cteffcts z

zzul

AtfA

σα ,⋅

= mit: α Völligkeitsbeiwert der Betonspannung in Zugzone

α = 0,5 für Biegezwang α = 1,0 für zentr. Zwang

fc ,efftz

(t) wirk. Biegezugfestigkeit zum Zeitpkt. der Rissbildung I, zII innerer Hebelarm, vor/ nach Rissbildung

Biegezwang z ≈ 0,8 zentr. Zwang z = 1,0

zulσs Tabelle

• Biegezwang: ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ4,0

=

• zentr. Zwang: ( )

s

ctctms zul

kAtfA

σ=

2.5 Diskontinuitätsbereiche 2.5.1. Stabwerkmodelle

Fachwerkanalogie 1. Festlegung sämtlicher RB

Geometrie Belastung AL-Bedingung

2. ALR für idealisiertes stat. Gesamtsystem 3. Eigentliche Modellbildung Weg der Lasten; Grundsätze:

a. Kraft versucht immer direkten Weg zum AL zu finden Lastpfade b. Lastpfade nicht kreuzen; beginnen/ enden im SP der Krafteinleitungs-/ AL-Flächen c. Verlauf der Lastpfade möglichst kurz/ stromlinienförmig ohne Knicke d. konz. Kräfte gleichmäßige Ausbreitung im Beton Lastpfade starke Krümmung

bei Einleitung; Verlauf ins Bauteilinnere e. Krümmung von Lastpfaden Umlenkkräfte

4. Stabwerkmodell (nur gerade Stäbe) 5. Kräfte an Einzelstäben Bemessung

yd

ss f

FerfA = (Zugstreben) und cd

cdc f

baF

6,0≤⋅

=σ (Druckstreben)

notwendige Verankerung muß sichergestellt sein Schlaufe Mindestbewehrung zur Min. von Rissen an Rändern/ Oberflächen 0,0015⋅Ac

2.5.2. Konsolen statische und geometrische Diskontinuität

Abgrenzung über ac/hc 4 Fälle Belastung VSd und HSd, wobei SdSd VH 2,0≥ (EC2 2.5.3.7.2 (4))

Seite 14 von 31

2.5.2.1 Kurze und mittlere Konsolen 2.5.2.1.1 Fall1: ac/hc < 0,5

HSd

VSd

d

hc

ah

ac

θ

a1

z0

FSd

Fwd

a2

As,Gurt

As,Bü

Bügel

Stabwerkmodell Bewehrung

Abdeckung von Fwd horiz. Bügel Einzellast direkte Ableitung über Druckgurt Zugband Fwd Spaltzugspannungen FSd ≥ 0,4⋅VSd• VSd > 0,3 VRd2 zusätzl geschlossene

horiz./ geneigte Bügel: GurtsBüs AA ,, 5,0≥

• yd

cdcGurts f

fAA 4,0, ≥ und hc ≥ 30 cm

als hor./ schräge Bügel

GurtsBüs AA ,, 4,0≥

2.5.2.1.2 Fall 2: 0,5 ≤ ac/hc ≤ 1

HSd

VSd

d

hc

ah

ac

θ

a1

z0

FSd

a2

As,Gurt

Bügel

Stabwerkmodell Bewehrung

As,Bü

konstr.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

4,01Rd

Sdo V

Vdz

mit: zbfV wcdRd ν21

2 = oder

zbfV wcdRd νθ

θ²cot1

cot2 +

= mit

5,0200

7,0 ≥−= ckfν

aus GG:

Sdh

Sdc

Sd Hz

zAV

za

F0

0

0

++=

Abdeckung von FSd Schlaufen yd

SdGurts f

FA ≥,

• VSd > VRd1 geschlossene vert. Bügel

yd

sdBüs f

VA

7,0, ≥

• yd

cdcGurts f

fAA 4,0, ≥ und hc ≥ 30 cm GurtsBüs AA ,, 4,0≥ als hor./ schräge Bügel

2.5.2.2 Lange Konsolen --> Fall 3+4: ac/hc >1 direkte Einleitung nicht mehr möglich Bemessung der Konsole als Kragarm

2.6 Platten 2.6.1. Abgrenzung von Platten • einachsig gespannte

Tragwirkung analog Balken (über kurze Spannweite), jedoch Behinderung der Querkontraktion Querzugspannungen Quermoment Querbewehrung

• mehrachsig gespannte Abtragung der vert. Lasten in mehr als 1 Richtung lx/ ly ≤ 2,5

• Kreisplatte Spzialfall einer mehrachsig gespannter Platte

• punktförmig gelagerte Platte Pilzdecken Flachdecken

2.6.2. Einachsig gespannte Platten 2.6.2.1 Tragverhalten Platten im Hochbau niedrige Beanspruchung Mindestdicke: h = 5cm ohne Q-Bewehrung

Seite 15 von 31

h= 20cm mit Q-Bewehrung 2.6.2.2 Schnittgrößenermittlung/ Biegebemessung Schnittgrößen wie bei Balken stat. Nutzhöhe h ≤ 7cm Vorsicht, da Bauteilungenauigkeiten Streuung von z Tragfähigkeit

Faktor 18

15≥

+=

dk SdSd mkm ⋅=cal

2.6.2.3 Einzellasten nur Teil der Platte an Lastabtragung beteiligt mitwirkende Breite Tabelle

hhbt ++= 10 2 2.6.2.4 Querkraftbemessung Platten wenn möglich ohne Q-Bewehrung i.d.R. sinnvoller h zu erhöhen, als Q-Bewehrung einzulegen VSd ≤ VRd1Verzicht auf Mindestquerkraftbewehrung möglich 2.6.3. Schnittgrößenermittlung bei mehrachsig gespannten Platten • Näherungsverfahren nach Marcus

Aufteilung von p in px und py + Kompatibilitätsbed. (wx(xi,yi) = wy(xi,yi))

yx ppp += und yx www == y

yy

x

xx

EIlp

EIlp

w44

3845

3845

==

Platten mit h = const. EIx = EIy

pkpll

lp x

xy

yx =

+= 44

4

und pkpll

lp y

xy

yy =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= 44

4

1 (weitere Lagerungsfälle Tabelle)

nur sinnvoll für ⅔ ≤ lx/ ly ≤ 3/2 • Verfahren mit Czerny-Tafeln 2.6.4. Punktförmig gelagerte Platten ( Flachdecken) 2.6.4.1 Durchstanzen Nachweis nach EC2: Q-Bewehrung kann entfallen, wenn 1Rdsd vv ≤ mit

uVv SdSd

β=

VSd gesamte Bemessungsquerkarft β Faktor für Exzentrizität - keine Ausmitten β=1 - Innenstützen β=1,15 - Außenstützen β=1,4 - Eckstützen β=1,5 u Umfang des krit. Rundschnitts

( )dkv lRdRd ρτ 402,11 += τRd Grundwert der Schubfestigkeit k Maßstabeffekt ( ) 0,16,1 ≥−= dk ρ1 Bewehrungsgrad der Zugbewehrung 015,011 ≤= yxl ρρρ d gemittelte statische Höhe

( )

2yx dd

d+

=

vSd > vRd1 Durchstanzbewehrung erf. • Betondruckstreben

2RdSd vv ≤

12 6,1 RdRd vv = • Durchstanzbewehrung

3Rdsd vv ≤

∑+= αsin13 uf

Avv ydswRdRd α = Neigung der Durchstanzbewehrung zur Plattenebene

α

βsin

1

yd

rdSdsw f

uvVerfA

−≥

Seite 16 von 31

( )α

ρsin

6,0min min,loadcrit

wswAA

A−

=∑

Anordnung innerhalb der krit. Fläche 2.6.5. Unterbrochene Stützung

geänderte Tragwirkung: • l/h ≤ 7 konstr. Bewehrung in Platte ohne rechn. Nachweis • 7 < l/h ≤ 15 Ersetzung durch deckengleichen UZ Bemessung als Balken mit bM,F für MFeld

und bM,S für MStützung • l/h ≥ 15 genauere Untersuchung nach Plattentheorie 2.6.6. Konstruktive Durchbildung • Mindestbewehrung

Längsbewehrung analog Balken; min. 20% der Längsbewehrung quer einlegen (bei Matten berücksichtigt) Mindestquerkraftbewehrung nicht erf.

• Verankerung der Längsbewehrung min. 50% der Feldbewehrung zum AL durchführen und verankern

• Nicht berücksichtigte Einspannung min. 25 % der Feldbewehrung in Streifen von min. 0,2⋅l an Oberseite am Rand

• Bewehrung freier Ränder Steckbügel und Längsbewehrung

2.7 Scheiben/ wandartige Träger Mindestbewehrung min. 0,15 % je Seite

( )⎩⎨⎧

≤>≥+

=1/6,0

1/2/315,0dlfürh

dlfürhlhz (für Zustand I) Zustand II z größer

z

MF Sd

Sd =

2.8 Grundlagen der Bewehrungsführung 2.8.1. Verankerungslängen

bd

ydsb f

fl ∅=

41

∅s Stab-∅ fbd Bemessungswert für Verbundspannung Tabelle

(Verbundbereich I) Verbundbereich II 0,7⋅fbd

Querdruck Faktor: ( ) 4,14,01

1≤

− p

Berücksichtigung der tatsächlichen Spannung in der Bewehrung

min,,

,, b

provs

reqsbanetb l

AA

ll ≥= α mit: αa Beiwert für Verankerungsart

yd

s

provs

reqs

fAA σ

=,

,

Mindestmaße: • Verankerung von Zugstäben:

⎩⎨⎧ ∅

≥=mm

ll sbb 100

103,0min,

• Verankerung von Druckstäben

⎩⎨⎧ ∅

≥=mm

ll sbb 100

106,0min,

2.8.2. Verankerung am Endauflager

435. s

sF

Aerf = mit daVF l

Sds = mit ( )αθ cotcot2

−=zal

2.8.3. Stöße • Übergreifungslänge

min,1, snetbs lll ≥= α mit:

Seite 17 von 31

⎩⎨⎧ ∅≥

≥mm

ll sbas 200

153,0 1min,

αα

α1 Faktor f. Abmessungen/ Anteil gestoßener Bew. α1 = 1 Druck-/ Zugstäbe mit Stoßanteil ≤ 30% und a ≥ 10⋅∅s und b ≥

5⋅∅sα1 = 1,4 Zugstöße mit:

(1) Stoßanteil ≥ 30% oder (2) a < 10⋅∅s und b < 5⋅∅s

α1 = 2,0 Zugstöße mit Stoßanteil ≥ 30%, a < 10⋅∅s und b < 5⋅∅s• Querbewehrung

o ∅s ≤ 16mm und o Stoßanteil ≤ 20% und o aus anderen Gründen Querbewehrung vorh

keine Q-Bewehrung erf.

o ∅s > 16mm und o Stoßanteil ≤ 20% keine Q-Bewehrung erf.

o Stoßanteil > 20% o a ≤ 10⋅∅s

Umschließung der gest. Bew mit Bügeln ∑ ∑≥ sst AA

o Stoßanteil > 20% o a > 10⋅∅s

min. ∑ ∑≥ sst AA als gerade Stäbe außen

2.8.4. Schubbewehrung • Längsrichtung:

o 1/5 VRd2 ≥ VSd smax = 0,8⋅d⋅ < 300 mm o 1/5 VRd2 < VSd < 2/3 VRd2 smax = 0,6⋅d < 300 mm o VSd > 2/3 VRd2 smax = 0,3⋅d < 300 mm

• Querrichtung o VSd ≤ 1/5 VRd2 smax < d < 800 mm o VSd > 1/5 VRd2 smax wie in Längsrichtung

2.8.5. Stützen 2.8.5.1 Längsbewehrung

cyd

Sds A

fN

A 003,015,0

min, ≥= und cs AA 08,0max, = (auch in Stößen)

Verteilung über QS: • polygonaler QS: in jeder Ecke ein Stab • Kreis-QS: mindestens 6 Stäbe

∅ > 12 mm 2.8.5.2 Querbewehrung

⎪⎩

⎪⎨⎧

∅≥

≥=∅

.max,.

41

16

LängsbewQuerbew

mm

Bügelmatten ∅ ≥ 5mm Verankerung geschlossene Bügel

Abstände: ⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∅<

300mmeSeitenläng

12 .Längsbew

a

2.8.6. Zugkraftdeckung

reine Biegung Zugkraft = ( ) ( )( )xzxMxFs =

gleichzeitige Wirkung einer Q-Kraft Erhöhung um ( ) ( ) ( αθ cotcot2

−=ΔxVxFs ) wg. Schrägrissen

verschieben der Zugkraftlinie um Versatzmaß ( )αθ cotcot2

−=zal

Seite 18 von 31

Abstufung der Bewehrung nach Momentenlinie Berücksichtigung der Verschiebung der Zugkraft infolge Q-Kraft Zugkraftdeckungslinie 2.8.7. Querkraft-/ Torsionsbewehrung Praxis vert. Bügel • Wahl eines konst. Grundraster (z.B. sBü = 30cm); ∅ nicht varieren, sondern Abstände/ Anzahl • Umschließen der Druckzone und der Längsbewehrung 2.8.8. Ober-/ Untergrenzen der Bewehrungsmenge 2.8.8.1 Mindestbiegebewehrung

dbf

dbA tyk

ts 0015,016,0min,1 ≥= mit bt = mittlere Breite der Zugzone

2.8.8.2 Mindestquerkraftbewehrung Tabelle ρw,min

αρ sinwwsw ba ≥ Mindestens 50% Bügel Platten bei rechnerisch erf. Bewehrung min 60% von ρw,min2.8.8.3 Höchstbewehrungsgrad

cs AA 04,0max, = nicht für Stoßbereiche

2.8.9. Sonstige Konstruktionsregeln • Mindestbetondeckung

min c hcc Δ+= minnom

• Mindestabstand der Bewehrung in abh. vom Größtkorn-∅ dg

o dg ≤ 32mm ⎩⎨⎧

≥mm

da g

20

o dg > 32mm mmda g 5+> • Mindestbiegerolldurchmesser • Stabbündel:

nn ∅=∅

Seite 19 von 31

3. Spannbetonbau 3.1 Allgemeines 3.1.1. Baustoffe

==> 755,0ck

c

ckWN

ff==

λβ WNcckf βλ=

3.1.2. Mindestanzahl der Spannglieder (EC2 Tab. 4.6) Art Mindestanzahl Einzelstäbe/ -drähte 3 Litze/ Spannglieder 7 Spannglieder außer Litzen 3 3.1.3. Mindestabstände (EC2 5.3.3) 3.1.3.1 Sofortiger Verbund

• waagrecht: ⎪⎩

⎪⎨

⎧∅

+≥

mm

mmds

g

duct

20

5

• senkrecht: ⎪⎩

⎪⎨

⎧∅≥mm

ds

g

duct

103.1.3.2 Nachträglicher Verbund

• waagrecht: ⎩⎨⎧

∅≥

ductduct

mms

40

• senkrecht: ⎩⎨⎧

∅≥

ductduct

mms

50

3.1.3.3 Mindestbetondeckung

⎩⎨⎧

∅≥

duct

cc

seUmweltklas aus minmin

nom c = min c + Δh 3.1.4. Querschnittwerte 3.1.4.1 Netto-QS

∑−= ductcnetc AAA ,

net

ductp

AAz

y ∑=Δ

( )∑ ∑−+Δ−Δ−= ductpductnetccnet IyyAyAII 2, ²

3.1.4.2 Ideeller QS

(∑ −+= 1, αpcic AAA ) mit c

p

EE

=α

( )i

ppi A

yAy ∑ −

=Δ1α

( ) ( ) ( )∑ ∑−+Δ−−+Δ+= pippicic IyyAyAII 11 22, αα

3.2 Vorspannung 3.2.1. Kennwerte des Spannverfahrens • Reibungsbeiwert µ Zulassung ansonsten EC2 4.2.3.5.5:

µ ≈ 0,17 kaltgezogener Draht µ ≈ 0,19 Litze µ ≈ 0,33 glatter Rundstab µ ≈ 0,65 gerippter Stab

• ungewollter Umlenkwinkel k ( 0,005 ≤ k ≤ 0,01) • Schlupf Δlsl

Seite 20 von 31

3.2.2. Vorspannkraft ( ) ( )tPPtPPPPPP tmtslcmt mit:

00 pmpm AP σ=

=Δ−Δ−Δ−Δ−==

0

0t bei Verluste

0 444 3444 21 μ − Δ

3.2.2.1 Maximal zul. Vorspannkraft • größte Spannung beim Spannvorgang:

00 pmpm AP σ= mit 1500f mit 1570/1770 St bei9,0

14168,0min p0,1k

1,0max,0 =

⎩⎨⎧

==

≤1350kp

pk

ff

σ

• größte Spannung auf Beton unmittelbar nach Spannvorgang

max,00 σpAP = mit

Überspannen auf

1500f mit 1570/1770 St bei 85,0

5,132775,0min p0,1k

1,00 =

⎩⎨⎧

==

≤1275kp

pkpm f

fσ

pkp AfP 1,00 95,0= in best. Fällen zul. ΔP = P0 – Pm0 dient zum Ausgleich von: - Ankerschlupf - elast. Verkürzung 3.2.2.2 Spannkraftverluste infolge Reibung t=0

( ) ( )[ ]∑−=Δ +Θ− kxiePxP μμ 10

( ) ( )∑= +Θ− kxopm

iex μσσ max,0

mit: µ Reibungsbeiwert

∑Θ i Summe der planmäßigen Umlenkwinkel über Länge x in

Bogenmaß

Parabelförmiger Verlauf ( ) xl

fxtot2

8=Θ

vert. + horiz. Umlenkwinkel ( ) ( )[ ] ( )[ ]22 xxx vh Θ+Θ=Θ k ungewollter Umlenkwinkel pro Länge im Bogenmaß x Länge des Spanngliedabschnittes

für ( ) 1,0≤+Θ∑ kxiμ ( ) ( )kxPxP i +Θ=Δ ∑μμ 0

3.2.2.3 Spannkraftverlust infolge Keilschlupf Nachweis i.a. für gemittelte Spanngliedlage

p

slpslsl E

ll

σΔ=Δ 5,0

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡Θ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−

−=k

PPP

l ma

slma

sl μ

μ

2

2ln für kleine Exponenten ( )slkl+Θμ mit

p

mapma A

P=σ

und p

slsl A

PΔ=Δσ

2²81350

²8

0

tot

tot

psl

totpm

pslsl

l

kl

f

El

kl

f

Ell <

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ=

μμσ für parabelförmigen Verlauf

21tot

pma

pslsl

l

r

Ell <

Δ=

μσ für Kreisbogen

Seite 21 von 31

( )( )slsl kllpm e +Θ+= μσ 12750

lsl

pslσΔ12750 ≤pmσ

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )slslslsl lkllkl

pmpmpsl ee +Θ−+Θ− −=−=Δ μμσσσ 1275127522 00 Kontrolle:

vorgegebenslp

slpslsl l

El

l ,

!5,0 Δ=

Δ=Δ

σ, da mit σpm0 = 1350 gerechnet, eigentlich Neuberechnung mit

( ) ( )( )slsl kllpm ex +Θ+== μσ 127500

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Θ−

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 22

00 02

lkl

pmpm exlxμ

σσ

3.2.2.4 Spannkraftverlust aus elast. Verformungen 3.2.2.4.1 sofortiger Verbund

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ²100 ip

i

i

i

ppm z

IA

AA

PP α mit ideellen QS-Werten

3.2.2.4.2 nachträglicher Verbund (EC2 4.2.3.5.5) zeitlich versetztes Vorspannen Näherung für viele Spannglieder

021

cpc

ppc E

Eσσ =Δ

mit: σcp0 Betonspannung in Höhe der gemittelten Spanngliedlage in Feldmitte

npmc

npmppm

c

ppm

npmc

p

c

pcp y

I

yAl

A

Al

yI

MA

N,

,00

,00

022 ∑∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+=σσ

σ

3.2.3. Spannkraftverlust infolge Kriechen, Schwinden, Relaxation zeitabhängig ( ) ( )( )

( )[ ]02

000,

,8,0111

,,

ttzIA

AA

ttEtt

cpc

c

c

p

cpcgprssrscp

ϕα

σσαϕσεσ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++Δ+=Δ ++

mit: • εs(t,t0) Schwindverformung

Endschwindmaß ∞,csε EC2 Tab. 3.4 in abh. von UA

d ceff

2= und RH

( ) ( sscsscs tttt −=− )βεε 0 mit ( ) RHcmscs f βεε =0 und ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

=−s

sss tth

tttt 2

0035,0β

• ϕ(t,t0) Kriechzah Endkriechzahl ( 0,t∞ )ϕ EC2 Tab. 3.3 ϕ(t,t0) = ϕ0⋅βc(t-t0) mit ϕo=ϕRH⋅β(fcm)⋅β(t0)

• Es = Ep • Δσpr Relaxationsverlust

EC2 Bild 4.8 für pk

p

fσ

(für Hochbauten 085,0 pgp σσ ≈ mit σpg0 = anfängliche

Seite 22 von 31

Spannung unter Dauerlast ( σpmo(l/2)) Δσpr,1000 1000,3 prpr σσ Δ=Δ ∞

• c

p

EE

=α

• zcp Schwerpunktabstand der Spannglieder pmcp yz = • σcg Betonspannung infolge quasi-ständiger EWK

pmcc

cg yIM

AN

+=σ

• σcp0 Betonspannungen in Spanngliedachse infolge Pm0 zu t0 i.d.R. σc,max – Reibung – Keilschlupf

npmc

npmppm

c

ppm

npmc

p

c

pcp y

I

yAl

A

Al

yI

MA

N,

,00

,00

022 ∑∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+=σσ

σ siehe 4.2.2.4.2

Achtung bei Kriechzahlen ϕ(∞,t0) und Schwindzahlen εcs∞ aus EC2: • σc(t0)≤ 0,45⋅fck • +10°C ≤ Frischbetontemp. ≤ +20°C • -20°C ≤ Temp. ≤ +40°C • Frischkonsistenzklasse S2 und S3

S1 0,7⋅Wert S2 1,2⋅Wert FM Konsistenz vor Zugabe

3.3 ULS 3.3.1. Sicherheitskonzept

⎩⎨⎧

==

=== Wirkungrungünstige bei 1,1

Wirkunggünstiger bei 9,00,1

,,sup

,,inf,,

tktk

tktktktkpd PPr

PPrPPP γ

Unterschied zur Stahlbetonbemessung: Spannstahlspannung = Vorspannung – Spannkraftverluste + Spannungszuwachs aus äußerer Last

Spannstahlmenge i.a. bereits aus SLS bekannt Biegebemessung = Best. der zusätzl. erf. As

3.3.2. Biegung mit Längskraft 3.3.2.1 Konzept A gesamte Spanngliedkraft als Widerstand 1. Transformation der angreifenden Schnittgrößen in Spanngliedachse:

SdSdp MM =

zNN SdSdp =

2. cdpf

SdpSdp fdb

M2=μ

3. ω ξ Δεp = εs

4. ( )

ps

pkpptot E

fγ

εεε 9,00 >Δ+=

Fliessen

13859,0 ==s

pkp

fγ

σ

mit : ( )

rscp

pmp r

E ++Δ= inf00 σ

ε

5. ( )Sdpcdp

p NbdfAerf += ωσ1.

6. ( )s

p

s

preqpprovps z

zAAAerf

σσ

.,.,. −= (zusätzliche Betonstahlmenge)

3.3.2.2 Konzept B: Vorspannung als Einwirkung, Zuwachs als Widerstand wenig praxisgerecht

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3.3.2.3 Konzept C: Gesamte Vorspannung als Einwirkung

1. Schätzung der Spannstahlkraft: 1385.9,0.0 ps

pkpPd Avorh

fAvorhPPF ==Δ+=

γ

2. Angreifende SG in Betonstahlachse ( )pspdsSdsdSds zzFzNMM −+−=

pdsdSds FNN −=

3. cds

SdsSds fbd

M2=μ

4. ω εs

5. Überprüfung der Spannstahlspannung inneres Spannglied

( )s

psccp d

dεεεε ++=Δ und ( )

rscp

pmp r

E ++Δ= inf00 σ

ε ( )pptot εεε Δ+= 0

1,7195000

13859,0, ==≥sp

pktotp E

fγ

ε ‰ Annahme korrekt

6. ( )Sdscdss

Nfbd −= ωσ1 Aerf. s

3.3.3. Querkraft 3.3.3.1 Bemessungswert der Querkraft VSd

günstige Wirkung der geneigten Spanngliedachse: pppmtdppmtdpddSd ArVPVVVV ψσψγ sinsin inf000 −=−=−=

V0d Bemessungswert der Querkraft im maßgebenden Schnitt 3.3.3.2 Aufnehmbare Querkraft

( )[ ]cpRdwRd kdbV σρτ 15,0402,1 11 ++⋅⋅= mit: k Faktor für Maßstabseffekt

- k=1 wenn <50% von As gestaffelt - 16,1k ≥−= d mit d[m]

ρl Bewehrungsgrad der Zugzone

02,01 ≤=c

sl A

Aρ

σcp c

ppmt

c

Sdcp A

ArA

N σσ inf==

bw kleinste QS-Breite in der Nutzhöhe VRd1 < VSd

( )αα cot1sin11

+−

=zfVV

aywd

RdSdsw

( )αν cot15,02 +⋅= zbfV wcdRd mit 5,0200

7,0 ≥−= ckfν ;

Zusätzliche Druckstrebenbeanspruchung durch Längsdruck

2,

2,2 167,1 Rdcd

effcpRdredRd V

fVV <⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

σ

mit:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

c

ydsppmt

c

sdeffcp A

fAArAN 2sup

,

σσ

3.4 SLS Manche Nachweise charakteristische Werte:

mtmtk PPrP 1,1infinf, ==

mtmtk PPrP 9,0supsup, == 3.4.1. Begrenzung der Spannungen • Betondruckspannungen mit Pm,t EC2, 4.4.1.2 (2)

|σc| ≤ 0,45 fck unter quasi-ständiger LK |σc| ≤ 0,6 fck unter seltener LK für Bauteile mit Umweltklasse 3 & 4

• Betonstahlspannungen mit Pk,t

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σs ≤ 0,8 fyk unter seltner LK σs ≤ fyk bei vorwiegend Zwang

• Spannstahlspannungen EC2, 4.4.1.1 (7) σp ≤ 0,75 fpk unter seltener LK nach Abzug aller Verluste

3.4.2. Begrenzung der Rissbreite Pk,t 3.4.2.1 Mindestbewährung bei Zwang Kann entfallen, wenn: • kein Zug im QS EC2 4.4.2.2 (6) • bei Rechteck-QS Erstrisstiefe kleiner als best. Maß EC2, 4.4.2.2 (7)

s

cteffctcs

AkfkA

σ,min, = mit: kc Beiwert für Spannungsverteilung bei Erstriß

kc = 1,0 für reinen Zug kc = 0,4 für reine Biegung

k Beiwert zur Berücksichtigung nichtlinearer Eigenspannungen k = 0,8 Zwang allgemein k = 0,8 für h ≤ 30cm k = 0,5 für h ≥ 80 cm k = 1,0 für äußeren Zwang

fct,eff wirksame Zugfestigkeit

iu

c

keffct

effct y

AP

kf

kfxh

+=−

,

, Höhe der Zugzone Act

σs aus Tabelle EC2, Tab. 4.11 3.4.2.2 Nachweis der Rissbreitenbeschränkung Zugkeildeckung

1. Spannung am oberen QS-Rand: occ

co yIM

AN

+=σ

2. Spannung in der Schwerachse: cmσ

3. Höhe der Zugzone: cmco

coth

σσσ+

=

4. Zugkeilkraft: ctct AF σ= mit σ-Verlauf 0 Δ-förmig; Act über hat

5. s

cts

FAerf

σ=. mit σs aus Tabelle EC2 Tab 4.11

3.4.3. Nachweis der Dekompression Pk,t unter häufiger LK (Brückenbau abh. von Anforderungsklasse)

c

kductp

c

unbestp

bestppkhäufigQG

c

kductp

c

unbestPkbestpkhäufigQGhäufigc

Ap

zI

zPM

Ap

zI

MMM

inf,.,

,inf,,

inf,..,,,,

025,02

025,02

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∅

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∅

+++

=

+

+

δδ

σ

3.5 Statisch unbestimmte Tragwerke (0ppxp SSS += )

ULS pxpqgdd SSS γ+= +, 3.5.1. SG über Wirkung von Anker- / Umlenkkräften

Betrachtung wie äußere Einwirkung 1. Erfassung des Spanngliedverlaufs Parabel y =ax² + bx +c

Verlauf: ²²

4 xlfy =

Verkrümmung rl

fay 1²

82'' ===

Umlenkkräfte innerhalb Parabel = konst.

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2. Überprüfung des min. Krümmungsradius Zulassung

''1y

R =

3. Umlenkkräfte

²²

dxydP

dxdPu ==

ψ

Parabel ²

82''lfPaPPyu ===

Kreis RPu =

4. Endmomente aus Verankerungskräften

( ) ( ) pp PfM ψcos00 =5. Schnittgrößen aus dieser Belastung = SG aus gesamter Wirkung Mp,tot 6. Aufteilung stat. best. – stat. unbest.

• stat. Best. Wirkung ( ) ( ) ( )xyPxM cpp ⋅−=0

• stat. unbest. Wirkung ( ) ( ) ( ) ( )xMxMxM ptotpx0−=

3.5.2. KGV mit Eigenspannungszustand 1. ( ) ( ) ( )xyPxM cpp ⋅−=0

2. ( )xM über stat. best. Haupsystem

3. ( ) ( ) ( )

( )∫= dxxEI

xMxMp0

10δ und ( ) ( )( )∫= dxxEI

xMxM11δ

4. 111101 δδδ X+= 11

101 δ

δ−=X

5. 11MXMpx =

6. ( )0ppxp MMM +=

3.6 Bauliche Durchbildung 3.6.1. Verankerungslänge

Analog Stahlbeton 3.6.2. Verankerung an Endauflagern

Analog Stahlbeton 3.6.3. Übergreifungsstöße

Analog Stahlbeton 3.6.4. Mindestbewehrungsgehalte • Mindestbewehrung zur Vermeidung eines Versagens ohne Vorankündigung

Analog Stahlbeton • Mindestbewehrung zur Vermeidung eines Versagens ohne Vorankündigung bei

Spanndrahtbrüchen

ηλsyk

cucts zf

WfA =min

mit:

häufigSd

seltenSd

MM

,

,=λ

3,1=η Beiwert zur Berücksichtigung der Spanngliedgröße 3.6.5. Höchstbewehrungsgehalte

Analog Stahlbeton 3.6.6. Mindestbügelbewehrung

Analog Stahlbeton 3.6.7. Höchstbügelabstände

Analog Stahlbeton 3.7 Besonderheiten 3.7.1. Besonderheiten: sofortiger Verbund • Spanngliedkraft wirkt auf ideellen QS • Kraft auf Widerlager/ Spannbett > Kraft auf ideellen QS (elastische Betonverkürzung)

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• Spannglieder i.d.R. gerade • Verankerung der Spannkräfte über Verbund • Abstufung der Spannkraft über Abisolieren von Spanndrähten möglich 3.7.2. Besonderheiten: ohne Verbund • Spannglieder nur an diskreten Stellen mit TW verbunden • εP ≠ εc Spannungsänderung von Spannstahl nicht aus Dehnungszustand • Spannglieder eigener Korrosionsschutz • Sorgfältige Ausbildung der Umlenkstellen/ Verankerungen

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4. Brückenbau

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5. Brandschutz 5.1 Nachweisformat

( ) ( )tRtE fidfid ,, ≤

5.2 Einwirkungen außergewöhnliche Kombination

( ) ( )∑ ∑ ∑>

+++=1

,2,1,1,1,,i

diikkkAGdfi tAQQGtE ψψγ

Vereinfachung: ( ) dfifid EtE η=, mit Ed aus kalter Bemessung

ξγγξϕ

ηQG

fi ++

= 1,10,1 mit

k

k

GQ

=ξ

globale Vereinfachung ηfi = 0,6

5.3 Nachweisverfahren Wirklichkeitsnahe Berechnung Vereinfachte Berechnung von

Rd,fi

Vereinfachter Nachweis

1. Ermittlung der genauen T-Verteilung im Bauteil FEM

2. Materialkennlinie für Materialtemperatur

3. Bemessung

1. Ermittlung der T-Verteilung Tafeln/ Diagramme

2. Reduzierung auf wirksamen QS ( beschädigte Zonen in abh. von t abziehen)

3. Abminderung der Bauteileigenschaften (f, E-Modul)

4. Ermittlung von Bauteilwiderstand

vereinfachte Ansätze in EC2, Teil 1-2

Nachweis durch Einhalten konstruktiver Regeln: • Mindestdicke • Mindestachsabstand der

Bewehrung • Länge der Stützbewehrung

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6. Erdbeben 1. Bestimmung der mitschwingenden Massen

vorhanden Anteil der Verkehrslast: ψ2⋅qk wirksamer Anteil: ϕ⋅ψ2⋅qk ϕ=1,0 im obersten Stockwerk ϕ=0,5 in allen anderen Stockwerken Eigengewicht der Decken g1k Eigengewicht Stützen/ Kern g3k

M1 M2

2. Bestimmung der Steifigkeit des Kerns I A EI

3. Bestimmung der ersten Eigenfrequenz Rayleigh-Verfahren (Energieerhaltung zu allen Zeitpunkten) ( ) ( ) ( ttutxw 111 sin, )ω=

max. Ekin:

( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ∫===l l l

kin dxxudxtxudxwE0 0 0

2 ²21²cos

21²

21 μωωωμμ mit µ = Masse pro Stablänge

max. Epot

( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ∫===l l l

pot dxxEIudxtxuEIdxEIwE0 0 0

2 '²'21sin'²'

21'²'

21 ω

Energieerhaltung: ( )

( )∫∫

=⇒=dxxu

dxxEIuEE potkin

²

'²'²

μω „Eigenfrequenz der Schwingung“

Iteration (z.B. mit Simpson-Regel)

ϖ² ωπ2

=T

4. Bestimmung der stat. Ersatzlasten (aus Antwortspektren) Parameter der Bodenklasse (s, β0, k1, k2, TB, TB C, TD) (EC8-1) Korrekturfaktor q = q0⋅kD⋅kR⋅kW (aus EC8-3) Bemessungsantwortspektrum

TBB<T<TC ( )q

sTSd

0β=

( ) gdgd aTSa =

Basisschubkraft ∑= igdb MaF

Verteilung auf Stockwerke: ∑

=ii

iibi Ms

MsFF

Torsionsmomente aus lea 005,0±= 5. Ermittlung der Verformungen

Elastische Verformungen:

max. Beschleunigung im obersten Stockwerk: 11

1maxMsFw =&&

max Verschiebung: ²

maxmaxω

wwel

&&=

Plast. Verformungen: elpl wqw maxmax = 6. Bemessungsschnittgrößen

Bemessungskombination: ∑∑ +++ kkdk QPEG 21 ψγ mit γ1 = Bedeutungsbeiwert 7. Modifikation der Bemessungsschnittgrößen

Erfassung höherer Eigenformen Erhöhung der Q-Kraft im Bereich der oberen Stockwerke Erfassen der Überfestigkeit Vermeidung eines spröden Querkarftversagens

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Erhöhung der Q-Kraft mit: ( )( ) qTSTS

MM

qq

e

ce

Sd

RdRd ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

2

1,0γ

ε

mit: q Verhaltensbeiwert γRd =1,15 Überfestigkeitsbeiwert des Stahls Se(Tc)=Se(T1) elastisches Antwortspektrum

Erhöhung der räumlichen Ausdehnung von Fließgelenken Erhöhung des Biegemomentes durch Versatzmaß

8. Bemessung im ULS Materialfestigkeiten Abfall unter zyklischer Beanspruchung Bemessung/ Konstruktion sinnvolle konstr. Durchbildung extrem wichtig (Plastifizierungen!)

9. Nachweis im SLS Begrenzung der Relativbeschleunigungen

Abminderung für Gebrauchsbeben

ν

rd

Seite 31 von 31