TU Dortmund Vorname - Fakultät Maschinenbau · C e x e y 45 45 v C, a C c) Bestimmen Sie die...

TU Dortmund

Fakultät Maschinenbau

Institut für Mechanik

Prof. Dr.-Ing. A. Menzel

Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)

Eine Kugel (Masse m1) bewegt sich in Punkt A mit der initialen Geschwindigkeit vA un-ter dem Winkel γ zur Horizontalen. Nach dem Auftreffen auf die zunächst glatte Bahn inPunkt B, stößt die Kugel vollkommen elastisch auf den Körper der Masse m2 in Punkt C.Anschließend bewegt sich dieser Körper über die Bahn zu Punkt F , wobei im Abschnittvon Punkt D bis E Reibung auftritt. Die genauen Abmessungen, sowie das zu verwen-dende Koordinatensystem sind der Abbildung zu entnehmen.

replacements

lb

r

x

y

αm1 m2h1 h2

h3

vA

g

µ=0

µ=0

µ1

ϕ

γ

A

B

C

D

EF

a)

Geben Sie für den Flug der Kugel von A nach B den Ortsvektor s(t) = x(t) ex + y(t) eyals Funktion der Zeit t in kartesischen Koordinaten an. (1,5 Punkte)

s(t) = ex+ ey

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vA in Abhängigkeit der in der Abbildung gegebenenGrößen, sodass die Kugel in Punkt B von oben auf die Bahn trifft. (1,0 Punkte)

vA =

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b)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vC der Kugel unmittelbar vor dem Stoß mit dem Kör-per der Masse m2. Der Höhenunterschied zwischen den Punkten B und C ist h2.

(1,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vB in B ist für diesen Aufgabenteil gegeben.

vC =

c)

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vC des Körpers (Masse m2) kurz nach dem vollkom-men elastischen Stoß und bestimmen Sie das Masseverhältnis von m1 und m2, sodass dieKugel nach dem Stoß in Ruhe bleibt. (1,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vC der Kugel kurz vor dem Stoß ist gegeben.

vC =m1

m2

=

d)

Berechnen Sie den maximalen Reibungskoeffizienten µ1 auf dem Bahnabschnitt von PunktD nach E, sodass der Körper (Masse m2) in Punkt F zum Stillstand kommt.

(1,5 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vC des Körpers (m2) kurz nach dem Stoß mit der Kugelkann als gegeben betrachtet werden und muss nicht ersetzt werden.

µ1 =

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e)

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ϕ in dem Abschnitt von E bis F . (2,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vC ist erneut gegeben.

ϕ =

Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit vE des Masseklotz in Punkt E, sodass derKörper (Masse m2) die Bahn im folgenden Streckenabschnitt nicht verlässt. (2,0 Punkte)

Hinweis: Die Geschwindigkeit vC ist erneut gegeben.

vE <

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Das nebenstehende System befindet sich imSchwerefeld. Es besteht aus einer drehbargelagerten Stange (Masse M , Länge L) anderen Ende ein Hohlrad (Masse m, Radiusr) mit sechs Speichen (jeweils Masse m/6)gelenkig angebracht ist. Das Hohlrad rolltschlupffrei auf einer Kreisbahn (Radius R)ab. Das Stangenende ist über ein Seil miteiner ungespannten Feder (Federkonstantek, ungespannte Länge x0) und einemDämpfer (Dämpferkonstante d) verbunden.

x

g ϕ

ψ

l0

k

d

R

M,L

m, r

m

6, r

NN

a)Geben Sie die Koordinaten x und ψ in Abhängigkeit der Koordinate ϕ an.(1,0 Punkte)

x(ϕ) = ψ(ϕ) =

b)Geben Sie die kinetische Energie Ekin des Systems inklusive aller Massenträgheitsmomentein Abhängigkeit der Koordinaten ϕ, ψ und x an. (3,0 Punkte)

Hinweis: Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a) sollen nicht eingesetzt werden. Das auf

seinen Schwerpunkt bezogene Massenträgheitsmoment eines Hohlrades der Masse M mitdem Radius R ist gegeben durch ΘHohlrad = M R2.

Ekin =

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c)Geben Sie die potentielle Energie Epot des Systems in Abhängigkeit der Koordinaten ϕ,ψ und x bezogen auf das vorgegebene Nullniveau NN an. (2,0 Punkte)

Hinweis: Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a) sollen nicht eingesetzt werden.

Epot =

d)Geben Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Kräfte in Abhängigkeit derKoordinaten ϕ, ψ und x an. (1,0 Punkte)

Hinweis: Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a) sollen nicht eingesetzt werden.

δW =

Aufgabenteil e) befindet sich auf der nächsten Seite!

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e)Für ein anderes konservatives System sind die kinetische und potentielle Energie in Ab-hängigkeit der Koordinate ϕ durch

Ekin =17

6ma2 ϕ2 ,

Epot = 3mg a cosϕ+ 2 c a2(sinϕ)2 +1

2c a2 (sinϕ)2 ,

vorgegeben.

Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen um die Lage ϕ=0.(2,0 Punkte)

Geben Sie die Eigenkreisfrequenz ω0 für kleine Auslenkungen um die Lage ϕ=0 an.(1,0 Punkte)

ω0 =

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Bei dem dargestellten Motor wird die Kur-belwelle AB durch eine Pleuelstange BC so-wie einen um den Winkel α geneigten Kol-ben in Punkt C angetrieben. Im dargestelltenZeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Kol-bens vC bekannt. Die Bezeichnungen und Ab-messungen können Sie der nebenstehendenSkizze entnehmen.

l

2 l

ω

A

B

C

ex

ey

β

α

vC

a)Bestimmen Sie die Lage rM = ryM ey des Momentanpols M der Pleuelstange BC undzeichen Sie diesen in obige Skizze ein. (2,0 Punkte)

ryM =

Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω gemäß des eingezeichneten Drehsinns für diedargestellte Lage des Systems. (2,0 Punkte)

ω =

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Der Motor ist nun zu einem anderen Zeit-punkt dargestellt. Die weiteren Bezeichnun-gen und Abmessungen können Sie der neben-stehenden Skizze entnehmen.

l

2 l

ω1, ω1

A

B

C

ex

ey

α

γ

vC

b)Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB sowie die Beschleunigung aB in Punkt B für diedargestellte Lage des Systems. Geben Sie die Vektorkomponenten im ex, ey-Koordina-tensystem an und nehmen Sie an, dass ω1 und ω1 bekannt sind. (3,0 Punkte)

Hinweis: Beachten Sie den eingezeichneten Drehsinn der gegebenen Größen.

vB = ex

+ ey

aB = ex

+ ey

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Der Motor ist nun erneut zu einem ande-ren Zeitpunkt dargestellt. Die Bezeichnungenund Abmessungen können Sie der nebenste-henden Skizze entnehmen.

l

2 l

ω2, ω2

A

B

C

ex

ey

45

45

vC , aC

c)Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω2 und den Betrag der Geschwindigkeit ‖vC‖in Punkt C für die dargestellte Lage des Systems. Beachten Sie die eingezeichnetenRichtungen/Drehsinne. Nehmen Sie dabei an, dass die Geschwindigkeit in Punkt B alsvB = vxB ex + vyB ey gegeben ist. (3,0 Punkte)

ω2 =

vC = ‖vC‖ =

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Fakultat Maschinenbau

Institut fur Mechanik



Fruhjahr 2016

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Fruhjahr 2016


Eine Punktmasse (Masse m) befindet sichauf einer reibungsfreien schiefen Ebene(Neigungswinkel α) im Schwerefeld derErde. Im Punkt A ist die GeschwindigkeitvA der Punktmasse bekannt.

x

yh

b

g

m

vAα

α

µ

A

B C

D

a)Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB der Punktmasse in Punkt B. (1,0 Punkte)

vB =

Wie groß muss die Geschwindigkeit vA mindestens sein, damit Punkt B erreicht wird?(1,0 Punkte)

vA ≥

b)Die Punktmasse verlasst die schiefe Ebene in Punkt B mit der nun vorgegebenen Ge-schwindigkeit vB > 0 und uberfliegt anschließend einen Spalt der Breite b. Geben siezunachst den Ortsvektor s(t) = x(t) ex + y(t) ey als Funktion der Zeit t in kartesischenKoordinaten an. (1,5 Punkte)

Hinweis: Verwenden Sie hier NICHT ihr Ergebnis fur vB aus Aufgabenteil a)!

s(t) = ex + ey

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Fruhjahr 2016


Geben Sie den Winkel α an, fur den die Punktmasse bei vorgegebener GeschwindigkeitvB exakt Punkt C erreicht. (1,5 Punkte)

Hinweis: sin(2α)=2 sin(α) cos(α)

α =

Wie groß ist die maximale Hohe ymax der Punktmasse beim Uberfliegen des Spaltes?

(1,0 Punkte)

Hinweis: Das obige Ergebnis fur α soll hier NICHT eingesetzt werden!

ymax =

c)Es soll nun davon ausgegangen werden, dass die Punktmasse exakt in Punkt C landet unddort die vorgegebene Geschwindigkeit vC entlang der reibungsbehafteten schiefen Ebene(Neigungswinkel α) aufweist. Geben Sie den Gleitreibungskoeffizienten µ an, fur den dieMasse genau in Punkt D zum Stillstand kommt. (1,0 Punkte)

Hinweis: vC soll NICHT eingesetzt werden!

µ =

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Fruhjahr 2016


d)Zwei Massen m1 und m2=2m1 bewegen sich auf einer reibungsfreien Bahn mit den Ge-schwindigkeiten v1 und v2=v1/2 in horizontaler Richtung.

m1 m2v1 v2

2 c

l1 l2 > l1

Bestimmen Sie die kinetische Energie nach einem vollplastischen Stoß beider Punktmas-sen. (1,0 Punkte)

Ekin =

Bestimmen Sie die bei diesem Stoß dissipierte Energie. (1,0 Punkte)

∆Ekin =

Die beiden Punktmassen treffen anschließend auf eine ungespannte Feder mit der Feder-steifigkeit 2 c. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v der Punktmassen als Funktion derFederstauchung ∆ l. (1,0 Punkte)

v(∆ l) =

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Fruhjahr 2016


Das dargestellte, im Schwerefeld der Erde befindliche System besteht aus einer abgesetztenRolle, einer masselosen Umlenkrolle sowie einem Masseklotz, welche alle eine homogeneDichteverteilung aufweisen. Die Teilelemente sind uber ein dehnstarres Seil in der ge-zeigten Weise miteinander verbunden. Des Weiteren besteht das System aus einer Feder(Federsteifigkeit c) sowie aus einem Dampfer (Dampferkonstante d). Alle weiteren Infor-mationen bezuglich des Systems und der jeweiligen Bestandteile sind der Zeichnung zuentnehmen. Die Feder ist in der dargestellten Lage ungespannt.

l

h

M,Θ

r1R1

ψ N.N.

ϕ

r2

m

c d

g

α

x

y

a)Geben Sie die Schwerpunkts- und Winkelgeschwindigkeit, x und ψ, der abgesetzten Rollesowie die Geschwindigkeit y des Masseklotzes in Abhangigkeit der Winkelgeschwindigkeitϕ der masselosen Umlenkrolle an. (1,5 Punkte)

x(ϕ) =

ψ(ϕ) =

y(ϕ) =

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Fruhjahr 2016


b)Hinweis: Fur die Losung der Teilaufgabe b) sollen NICHT die Ergebnisse aus Aufgaben-teil a) verwendet werden!

Bestimmen Sie die kinetische Energie des Systems Ekin in Abhangigkeit der vorgegebenenKoordinaten. (1,5 Punkte)

Ekin =

Bestimmen Sie die potentielle Energie des Systems Epot in Abhangigkeit der vorgegebenenKoordinaten bezogen auf das dargestellte Nullniveau N.N. (1,5 Punkte)

Epot =

Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Krafte in Abhangigkeit dervorgegebenen Koordinaten. (0,5 Punkte)

δW =

c)Im Folgenden sind die potentielle und kinetische Energie sowie die virtuelle Arbeit dernicht-konservativen Krafte eines schwingfahigen Systems gegeben. Bei den einzelnen Gro-ßen handelt es sich um eine Masse m, ein Tragheitsmoment Θ, eine Lange l, die Erdbe-schleunigung g sowie Federsteifigkeiten c und k. Der Winkel ϕ beschreibt den Freiheitsgraddes Systems, welches einem eingepragten Moment M0 cos(Ω t) ausgesetzt ist.

Ekin = 2Θ ϕ2

Epot = 5 c l2 [1− cos(ϕ)] + k ϕ3 + 7mg l

δW = 2M0 cos(ϕ) cos(Ω t) δϕ

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Fruhjahr 2016


Stellen Sie die Bewegungsgleichung bezuglich des Freiheitsgrades ϕ fur beliebig großeAuslenkungen auf. (2,0 Punkte)

Geben Sie die linearisierte Form der Bewegungsgleichung fur kleine Auslenkungen um dieAusgangslage (ϕ = 0) an. (1,5 Punkte)

Bestimmen Sie anhand der zuvor aufgestellten linearisierten Bewegungsgleichung die Ei-genkreisfrequenz ω und die Amplitude A der erregten Schwingung im eingeschwungenenZustand.

(1,5 Punkte)

ω =

A =

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Fruhjahr 2016


Dargestellt ist die Momentaufnahme eines kinematischen Systems zu einem bestimmtenZeitpunkt, in dem die Winkelbeschleunigung ω3 bekannt sei. Die Teilkorper des Systemsweisen eine homogene Masseverteilung sowie einen konstanten Querschnitt auf.

l

√5 l

l

l

A

O

B

C

S

ex

ey

1

23

ω1

ω2 ω3

a)Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten vA(ω1) = vAx

ex + vAyey und vB(ω3) = vBx

ex +vBy

ey, die Winkelgeschwindigkeiten ω1(ω3) und ω2(ω3) sowie die Geschwindigkeit vS(ω3) =vSx ex + vSy ey des Schwerpunktes S des Stabes 2. (6,0 Punkte)

Hinweis: Die unbekannten Winkelgeschwindigkeiten sind gemaß des durch das gegebeneKoordinatensystem definierten Drehsinns positiv anzunehmen.

vA(ω1) = ex + ey

vB(ω3) = ex + ey

ω1(ω3) = ω2(ω3) =

vS(ω3) = ex + ey

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Fruhjahr 2016


b)Fur das nun gegebene System sind die Winkelgeschwindigkeiten ω1, ω2 und ω3 sowie dieWinkelbeschleunigung ω3 in der dargestellten Konfiguration bekannt. Der Drehsinn dieserGroßen richtet sich nach dem vorgegebenen Koordinatensystem.

ll

l

A

O

B

C

ex

ey

1

2

3

ω1

ω2

ω3, ω3

Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω1 und ω2 der Stabe 1 und 2 fur die abgebildeteKonfiguration des Systems in Abhangigkeit der gegebenen Großen. (3,0 Punkte)

Hinweis: Die unbekannten Winkelbeschleunigungen sind gemaß des durch das gegebeneKoordinatensystem definierten Drehsinns positiv anzunehmen.

ω1 =

ω2 =

Geben Sie die Position rM = rMxex + rMy

ey des Momentanpols M fur Korper 2 in dergezeigten Konfiguration an. (1,0 Punkt)

rM = ex + ey

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Herbst 2015

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Herbst 2015


Das dargestellte System besteht aus einemstarren Dreieckstrager sowie zwei starrenKreisscheiben A und B. Der Dreieckstragersetzt sich dabei aus drei homogenen, starrenStaben zusammen und ist im Punkt Ofrei drehbar gelagert. Beide Kreisscheibenbewegen sich auf einer Kreisbahn und rollenin den dargestellten Beruhrpunkten C und Dschlupffrei ab. Die jeweiligen Abmessungenund Massen der Korper sind der nebenste-henden Zeichnung zu entnehmen.

l

A

B

C

D

O

m5, r

m4, r

m1

m2

m3

ϕ

β

αe r

eϕ

a)Bestimmen Sie die Ortsvektoren der Stabschwerpunkte im (er, eϕ)-System. (1,5 Punkte)

rS1= rS2

=

rS3=

Bestimmen Sie das Gesamttragheitsmoment Θ,O des aus den Staben mit den Massenm1, m2, m3 bestehenden Dreieckstragers bezuglich des Punktes O. (1,5 Punkte)

Θ,O =

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Herbst 2015


b)Geben Sie die kinetische Energie Ekin(ϕ, α, β) des Systems an. Verwenden Sie in diesemAufgabenteil den allgemeinen Ausdruck ΘO fur das Tragheitsmoment des Dreieckstragers.Die Winkelgeschwindigkeiten α und β sollen zunachst als unabhangig angesehen werden.(2,5 Punkte)

Ekin(ϕ, α, β) =

c)Spezifizieren Sie die Winkelgeschwindigkeiten α und β als Funktion von ϕ. (2,0 Punkte)

α(ϕ) = β(ϕ) =

d)Die kinetische Energie des Gesamtsystems lasst sich in der Form

Ekin =1

2Θsys ϕ

2

mit einem hier als bekannt vorausgesetzten Systemtragheitsmoment Θsys darstellen. Zu-satzlich greife ein konstantes Moment M0 in positiver Drehrichtung um das DrehzentrumO an, welches das System antreibt. Geben Sie auf Basis dieser Großen die Bewegungsglei-chung des Systems bezuglich ϕ an. (1,0 Punkte)

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Herbst 2015


Geben Sie die Losung der Bewegungsgleichung fur die Anfangsbedingungen

ϕ(t = 0) = 0 , ϕ(t = 0) = ϕ0

an. (1,5 Punkte)

ϕ(t) =

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Herbst 2015


Eine starre Stange (Masse M , Lange l) wird aus der dargestellten Ruhelage (ωS = 0) imSchwerefeld g losgelassen und stoßt im Punkt A vollkommen elastisch auf eine zylindri-sche Scheibe (Masse m, Radius r), welche zunachst auf der glatten Ebene zwischen A undB reibungsfrei gleitet. Zwischen den Punkten B und D ist die Bahn rauh (Reibkoeffizientµ), sodass die starre Scheibe dort ideal abrollt (Rollreibung ist zu vernachlassigen). ImPunkt D trifft die Scheibe vollkommen elastisch auf eine ideal glatte Platte, die von einerFeder (Federkonstante c) gehalten wird.

M

µ 6= 0

µ 6= 0

µ = 0

h

l

ωS

m, r

A

A′

B C

D

N.N.

gx

y

c

a)Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ωS sowie die Geschwindigkeit des Beruhrpunktes A′

der Stange unmittelbar vor dem Stoß mit der Scheibe an. (1,0 Punkte)

ωS = vA′ =

Berechnen Sie die Geschwindigkeit vA der Scheibe unmittelbar nach dem Stoß. In welchemVerhaltnis mussen die Massen m undM stehen, sodass die Stange nach dem Stoß in Ruheverweilt? (2,0 Punkte)

vA =m

M=

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Herbst 2015


b)Gehen Sie nun davon aus, dass die Geschwindigkeit der Scheibe unmittelbar nach demStoß durch vA = v0 gegeben ist. Berechnen Sie die Geschwindigkeit sowie die Winkelge-schwindigkeit der Scheibe in Punkt C. (1,0 Punkte)

vC = ωC =

c)Gehen Sie nun davon aus, dass die Geschwindigkeit der Scheibe in Punkt C durch vCgegeben ist. Berechnen Sie die maximale Stauchung ∆l der Feder wahrend des Kontaktesmit der Scheibe in Punkt D. (2,0 Punkte)

∆l =

d)

Ein Gleitkorper (Masse m) weist in der dar-gestellten Lage die Geschwindigkeit v0 aufund bewegt sich eine reibungsfreie Ebene hin-auf. In Punkt A (vertikaler Abstand h0) gehtdie Ebene in eine kreisformige Bahn (RadiusR) uber.

Welchen Wert vmin0 muss die Geschwindigkeit

des Korpers in der dargestellten Lage minde-stens haben, damit dieser den Punkt A er-reicht? (1,0 Punkte)

A

m

g

x

y

R ϕ

30

v0 h0

vmin0

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Herbst 2015


Berechnen Sie den maximalen Wert vmax0 des Korpers in der dargestellten Lage, sodass

dieser an keinem Punkt der kreisformigen Bahn diese verlasst. Tragen Sie auch wesentlichZwischenschritte in das folgende Kastchen ein. (3,0 Punkte)

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Herbst 2015


a)Fur ein schwingfahiges System bestehend aus Massen m, einer Feder c und einem Damp-fer d sind die kinetische Energie, die potentielle Energie und die generalisierte Kraft Qgegeben. Die Großen l und r sind systemspezifische Abmessungen und α ein Winkel.

Ekin(u) = mu2 , Epot(u) = mg [ (2 u+ l) sinα + 2 r cosα ] +c

2u2 , Q(u) = −d u .

Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems bezuglich u auf. (2,0 Punkte)

Bestimmen Sie basierend auf obiger Bewegungsgleichung den Abklingkoeffizientenδ, die Eigenfrequenz der ungedampften Schwingung ω, und die Eigenfrequenz der ge-dampften Schwingung ωd. (1,5 Punkte)

δ =

ω =

ωd =

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Herbst 2015


b)Das dargestellte System besteht aus einer Masse m2, zwei schlupffrei abrollenden Stufen-rollen, einer reibungsfrei gefuhrten starren Stange sowie einem Feder-Dampfer-Element,welches starr im Punkt A an das System angeschlossen ist. Ein auf der linken Stufenrolleaufgewickeltes Seil ist uber eine als masselos anzunehmende Umlenkrolle mit der Mas-se m2 verbunden. Die linke, massebehaftete Stufenrolle setzt sich aus zwei Vollzylindern(kleine Stufung: Radius r1, Masse 1/5M ; große Stufung: Radius R1, Masse 4/5M) zusam-men. Die dargestellte Feder ist fur den nicht naher spezifizierten Wert x=x0 entspannt.Beachten Sie, dass x=0 nicht die statische Ruhelage beschreibt!

x

d

cm1

α

r1 R1

r2

R2

M

A

ϕ

m2

yh

l

N.N.

g

Geben Sie die Geschwindigkeiten x und y als Funktion von ϕ an. (1,0 Punkte)

x(ϕ) =

y(ϕ) =

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Herbst 2015


Bestimmen Sie die potentielle Energie Epot des Systems in Abhangigkeit von x, y sowieden gegebenen Großen bezogen auf das dargestellte Nullniveau N.N. (3,0 Punkte)

Epot =

Bestimmen Sie die kinetische Energie Ekin des Systems in Abhangigkeit von x, y, ϕ undden gegebenen Großen. Beachten Sie, dass die Massentragheitsmomente nicht als gegebenangesehen werden konnen und demnach konkret bestimmt werden sollen. (2,5 Punkte)

Ekin =

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Fruhjahr 2015

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Fruhjahr 2015


Die dargestellte Punktmasse (Punkt C, Masse m) gleitet reibungsfrei in einer kreisformi-gen Fuhrung (Radius r). Die Punktmasse ist uber zwei gelenkig in Punkt B miteinandergekoppelten, masselosen Staben 1 und 2 mit dem Lager in Punkt A verbunden. Stab 1weist eine zeitlich konstante Winkelgeschwindigkeit ω1 auf. Fur den gezeigten Zustand desSystems gilt ϕ3 = π/4. Das System steht nicht unter dem Einfluss des Erd-Schwerefelds.

1

2

b a

2 a

rω1 = const.

ω2, ω2

ω3, ω3

ϕ3

A

BC

m

~ex

~ey

~er~et

Hinweis: Samtliche Losungen zu dieser Aufgabe sind bezuglich der in obiger Skizze vor-gegebenen Koordinaten-Basisvektoren ex, ey oder er, et anzugeben.

a)Berechnen Sie in Abhangigkeit von ω1 die Winkelgeschwindigkeiten ω2 des Stabs 2 und ω3

der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahnfuhrung sowie die Komponenten derGeschwindigkeit ~vC = vCr

er + vCtet in Punkt C bezuglich des ~er,~et-Koordinatensystems

oder ~vC = vCxex + vCy

ey bezuglich des ~ex,~ey-Koordinatensystems fur die dargestellteLage. (4,0 Punkte)

Losung in Kastchen auf der nachsten Seite eintragen!

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Fruhjahr 2015


ω2(ω1) = ω3(ω1) =

vCr= vCt

=

oder

vCx= vCy

=

b)Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω2 des Stabs 2 und ω3 der Punktmasse um denMittelpunkt der Kreisbahnfuhrung. ω2 und ω3 sind nun in allgemeiner Form vorgegeben.Verwenden Sie NICHT die in Aufgabenteil a) berechneten Werte. (3,0 Punkte)

ω2(ω1, ω2, ω3) =

ω3(ω1, ω2, ω3) =

c)Fur andere geometrische Abmessungen des Systems gilt ω3 = 4

√2ω1 und

ω3 = −4 [8 +√2]ω2

1. Berechnen Sie basierend auf diesen Vorgaben den Betrag der Auf-lagerreaktion in Punkt C sowie die Stabkraft S2 in Stab 2 fur den dargestellten Zustanddes Systems. (3,0 Punkte)

C =

S2 =

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Fruhjahr 2015


Der Boden und die Wande des dargestellten”Flipperautomaten“ sind als reibungsfrei

anzunehmen. Der Boden ist um den Winkel α geneigt. Eine dunne Zylinderscheibe derMasse m, welche als Punktmasse angenommen werden soll, soll mit Hilfe einer Feder (Fe-dersteifigkeit c) aus dem dargestellten Schacht bewegt werden. Zwischen den Punkten Aund B weist die Außenwand eine Kreisform auf (Radius r).

aa

b

rϕ

x

xy

y

z

α

m

A

B

C

D

D

~g

Schnitt D-D

a)Berechnen Sie die Bedingung fur die initiale, gesamte Federstauchung ∆l, sodass diePunktmasse den Punkt A erreicht und damit den Schacht verlasst. Es gilt dabei dieAnnahme ∆l ≪ a. (2,0 Punkte)

∆l

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Fruhjahr 2015


b)Die Geschwindigkeit der Punktmasse in Punkt A ist nun durch vA > 0 vorgegeben. StellenSie zunachst die Kraftesatze (Impulssatze) fur die Punktmasse in radialer und tangentialerRichtung fur beliebige Winkel ϕ unter der Annahme auf, dass die Punktmasse stets Kon-takt zur Wand hat. Spezifizieren Sie die auftretenden Beschleunigungen in Abhangigkeitder Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahnsowie deren Winkelbeschleunigung ω. (2,0 Punkte)

Geben Sie die konkreten Zusammenhange der Winkelgeschwindigkeit ω und der Winkel-beschleunigung ω der Punktmasse entlang der Kreisbahn in Abhangigkeit der gegebenenGroßen g, r, α, vA sowie des Winkels ϕ an. (3,0 Punkte)

ω =

ω =

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Fruhjahr 2015


c)Die als Punktmasse anzusehende Scheibe(Masse m) trifft nun mit der Geschwindig-keit

v = vx ex + vy ey

im Abstand d auf den linken”Flipper“ (Mas-

sentragheitsmoment Θ bezogen auf denDrehpunkt E) auf, dessen Winkelgeschwin-digkeit in diesem Moment ω betragt unddessen Oberkante exakt parallel zur x-Achseverlauft. Der nachfolgende Stoß ist alsvollkommen elastisch und die Oberflache des

”Flippers“ als perfekt glatt anzusehen.

d

f

x

y

ω

m

Θ

E

Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeit der Punktmasse v = vx ex + vy ey

unmittelbar nach dem Stoßvorgang unter der Voraussetzung, dass die Abmessung f ver-nachlassigt und somit der

”Flipper“ als horizontaler Stab angenahert werden kann.

(3,0 Punkte)

vx =

vy =

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Fruhjahr 2015


Das dargestellte System besteht aus einerstarren Kreisscheibe (Masse M , Radius R)welche uber zwei starre Stangen (Masse m,Lange l) mit einem Festlager verbunden istund schlupffrei auf dem Untergrund abrollt.Die wie dargestellt angebundene Feder (Fe-dersteifigkeit c) ist bei einer nicht naher spe-zifizierten Lange l0 entspannt.

M

R

m, l m, l

cA

B

C

ξ

x

y

NN

ψϕg

a)Geben Sie die Geschwindigkeiten ξ sowie ϕ als Funktion der Geschwindigkeit ψ sowie dengegebenen Großen an. (1,0 Punkte)

ξ(ψ) = ϕ(ψ) =

b)Berechnen Sie die Funktion der kinetischen Energie Ekin in Abhangigkeit der Koordinatenψ, ϕ und ξ sowie den gegebenen Großen. Verwenden Sie hier NICHT die in Aufgabenteila) berechneten kinematischen Zusammenhange. (3,0 Punkte)

Ekin(ψ, ϕ, ξ) =

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Frühjahr 2015


c)Bestimmen Sie die Funktion der potentiellen Energie Epot in Abhängigkeit von ψ und ξsowie den gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (1,0 Punkte)

Epot(ψ, ξ) =

d)Für ein anderes konservatives System mit einem Freiheitsgrad ϕ sind die Masse m, einRadius r sowie die potentielle und kinetische Energie zu

Epot(ϕ) =2

πmg r [1− cos(ϕ)] sowie Ekin(ϕ) = mr2 ϕ2

[

1−2

πcos(ϕ)

]

gegeben. Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung des Systemsbezüglich ϕ für große Auslenkungen auf. (3,0 Punkte)

Geben Sie die linearisierte Form der obigen Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungenum ϕ = 0 und kleine Geschwindigkeiten um ϕ = 0 an. (1,0 Punkte)

Bestimmen Sie die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems basierend auf derlinearisierten Bewegungsgleichung. (1,0 Punkte)

T =

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Herbst 2014

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Herbst 2014


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, welche durch dehnstar-re Seile miteinander verbunden sind. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen, wobei das Massentragheitsmoment der gesamten abgesetztenRolle 4 bezuglich des zugehorigen Schwerpunktes D durch θ4 gegeben ist und die Rolle2 als masselos angesehen werden soll. Der Kreisring 1 rollt dabei zu jedem Zeitpunktschlupffrei ab und die Seile sind stets gespannt.

µ0

m1

x1

M0

ϕ1

r1

ϕ2

2 r2

ϕ3

m3

x

y

r3

r4

R4

4

g

1

2

3

m4, θ4ϕ4

α

β

A

B

C

D

Erweitern Sie die folgenden Skizzen der Teilkorper 1, 3 und 4 zu vollstandigen Freikor-perbildern (inklusive etwaiger Auflagerreaktionen). (2,0 Punkte)

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Herbst 2014


a)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) des Kreisrings 1 bezuglich der x1-Koordinate an.(1,0 Punkte)

b)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des Kreisrings 1 bezuglich des Schwerpunktsund der ϕ1-Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massentragheitsmomentmittels der gegebenen Großen. (1,0 Punkte)

c)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der y-Koordinate an. (1,0Punkte)

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 4 bezuglich des Schwerpunkts undder ϕ4-Koordinate an. (1,0 Punkte)

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Herbst 2014


f)Geben Sie die folgenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten dereinzelnen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x1 an. (2,0 Punkte)

ϕ1(x1) =

ϕ2(x1) =

ϕ3(x1) =

ϕ4(x1) =

Berechnen Sie die von dem Moment M0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t =t1 verrichtete Arbeit WM0

. Das System befindet sich anfanglich in Ruhe (x1(t = 0) =0, x1(t = 0) = 0) und es gilt x1(t1) = a. (2,0 Punkte)

WM0=

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Herbst 2014


Die unten gezeigte Bahn besteht aus zwei reibungsbehafteten Ebenen (Gleitreibungskoef-fizient µ, Lange l) sowie zwei als reibungsfrei anzunehmenden Kreisbogen (Offnungswinkelα). Im Punkt D befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Federsteifigkeit c), wel-che in der dargestellten Lage entspannt ist. Bis zu einem Zeitpunkt t ≤ t0 wird ein alsPunktmasse anzusehender Korper (Masse m) im Punkt O in Ruhe gehalten. Dann wirddieser los gelassen, wobei vorausgesetzt werden soll, dass sich der Korper anschließendtatsachlich in Bewegung setzt (Hangabtriebskraft großer als Haftreibungskraft).

µ

µ

m

x

y

α

α

l

l

ϕ

r

r

g

c

O

A

BC

D

NN

a)Geben Sie die potenzielle Energie (Lageenergie) EO

pot des Korpers im Punkt O bezuglichdes angegebenen Nullniveaus NN an. (1,0 Punkte)

EOpot =

Geben Sie die verrichtete Reibarbeit WOAR auf der Strecke zwischen den Punkten O und

A an. (1,0 Punkte)

WOAR =

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Herbst 2014


Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB der Masse im Punkt B. (1,5 Punkte)

vB =

b)Die Geschwindigkeit des Korpers im Punkt B ist nun durch vB > 0 vorgegeben. BerechnenSie die Geschwindigkeit im Punkt C. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wertfur vB. (1,0 Punkte)

vC =

c)Die Geschwindigkeit des Korpers im Punkt C ist nun durch vC > 0 vorgegeben. Geben Siezunachst die Funktion der Geschwindigkeit v(ϕ) des Korpers in Abhangigkeit des Winkelsϕ an. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert fur vC. (1,5 Punkte)

v(ϕ) =

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Herbst 2014


Geben Sie des Weiteren die Funktion der Normalkraft N(ϕ) zwischen Korper und Bahnin Abhangigkeit des Winkels ϕ an. (1,5 Punkte)

N(ϕ) =

Geben Sie die Bedingung fur den Offnungswinkel α an, so dass der Korper an keiner Stelleder kreisformigen Bahn zwischen den Punkten C und D den Kontakt zu dieser verliert.(1,0 Punkte)

α

d)Die Geschwindigkeit des Korpers im Punkt D ist nun durch vD > 0 vorgegeben. GebenSie die Gleichung zur Bestimmung der Stauchung ∆l der Feder an. Ein Auflosen dieserGleichung nach ∆l ist nicht erforderlich. (1,5 Punkte)

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Herbst 2014


Das dargestellte System besteht aus zweistarren Kreisscheiben (Masse M1 bzw. M2,Radius jeweils R), welche uber eine starreStange (Masse m, Lange l) verbundensind und schlupffrei auf dem Untergrundabrollen. Die Bewegung findet auf einerschiefen Ebene (Neigungswinkel α) undunter Einfluss der Erdbeschleunigung gstatt. Die wie dargestellt angeknupfte Federist fur den nicht naher spezifizierten Wertξ = ξ0 entspannt. Beachten Sie, dass ξ = 0nicht die statische Ruhelage beschreibt.

M1, R

M2, R

m, l

c

α

ξ

x

NN

g

a)Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten ξ und x an. (1,0 Punkte)

ξ(x) =

b)Bestimmen Sie die potentielle Energie Epot in Abhangigkeit der Koordinate ξ und dengegebenen Großen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (3,0 Punkte)

Epot(ξ) =

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Herbst 2014


c)Bestimmen Sie die kinetische Energie Ekin in Abhangigkeit der Koordinate ξ und dengegebenen Großen. Beachten Sie, dass insbesondere die Massentragheitsmomente nichtals gegeben angesehen werden konnen. (2,0 Punkte)

Ekin(ξ) =

d)Fur einen nicht naher spezifizierten Sonderfall und unter Verwendung einer abweichendenKoordinate η ergeben sich im Folgenden die Energien des Systems zu

Epot(η) = 3mg η sin(α) + 1/2 c η2 , Ekin(η) = 2m η2 .

Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung dieses Sonderfalls be-zuglich η auf. (2,0 Punkte)

Bestimmen Sie, basierend auf obiger Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz ω0 sowiedie Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems. (2,0 Punkte)

ω0 = T =

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Fruhjahr 2014

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Fruhjahr 2014


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstarreSeile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigungg) befinden. Die jeweiligen Massen, Massentragheitsmomente und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. Rolle 2 wird von dem konstanten DrehmomentM0 angetrieben.Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Rolle 1 — welche zu allen Zeitpunkten schlupffreiabrollt — und der schiefen Ebene (Neigungswinkel α) betragt µ0. Das Massentragheits-moment der gesamten abgesetzen Rolle 3 ist durch θ3 gegeben.

µ0

m1

x1

M0

ϕ1

r1

ϕ2

m2

r2

ϕ3

m3, θ3

x3

r3

R3

m4

x4

g1

2

3

4

α

a)Tragen Sie im nachfolgenden Bild samtliche fehlenden Krafte bzw. Momente ein. Die Auf-lagersymbole sollen in der Zeichnung beibehalten und nicht freigeschnitten werden. (1,5Punkte)

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Fruhjahr 2014


b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 1 bezuglich der der x1-Koordinate an.(1,0 Punkte)

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezuglich des zugehorigen Mo-mentanpols und der ϕ1-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ1 mittels der gegebenen Großen.(1,0 Punkte)

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Großen. (1,0 Punkte)

e)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der x3-Koordinate an. (1,0Punkte)

f)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich ihres Schwerpunktesund der ϕ3-Koordinate an. (1,0 Punkte)

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Fruhjahr 2014


g)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 4 bezuglich der x4-Koordinate an. (1,0Punkte)

h)Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten x1, ϕ1, x3, ϕ3, x4 in Abhangigkeit von ϕ2 an.(2,5 Punkte)

x1 =

ϕ1 =

x3 =

ϕ3 =

x4 =

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Fruhjahr 2014


Eine Punktmasse m befindet sich auf der dargestellten Bahn und wird aus der Ruhe durcheine vorgespannte Feder (Federsteifigkeit c) auf reibungsfreiem Untergrund bis zum PunktA beschleunigt. An dieser Stelle (Punkt A) lost sich die Masse von der Feder. Die geradenAbschnitte der Bahn sind reibungsbehaftet (Reibkoeffizienten µ1 bzw. µ2) wahrend diekreisformigen Abschnitte (Radien R1 bzw. R2) reibungsfrei sind.

∆ x

µ = 0

µ = 0

µ = 0

µ1

µ2

l1

l2

R1

R2

α

mϕ

A B

C

D

E

N.N.

g

x

y

c

a)Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A in Abhangigkeit deraufgebrachten Federstauchung ∆x. (1,0 Punkte)

vA =

Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt B in Abhangigkeitvon ∆x an, nachdem diese uber den rauhen (Reibkoeffizient µ1) Bahnabschnitt AB derLange l1 geglitten ist. (1,0 Punkte)

vB =

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Fruhjahr 2014


b)Berechnen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit |v(ϕ)| der Punktmasse im Verlaufdes ersten reibungsfreien Kreisbogens BC in Abhangigkeit des Winkels ϕ und einer alsbekannt anzunehmenden Geschwindigkeit vB im Punkt B. (2,0 Punkte)

Setzen Sie nicht die Geschwindigkeit vB aus dem vorigen Aufgabenteil ein!

|v(ϕ)| =

Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D in Abhangigkeitvon vB an, nachdem diese uber den rauhen (Reibkoeffizient µ1) Bahnabschnitt CD derLange l2 geglitten ist. (2,0 Punkte)

vB =

c)Die beiden Bahnabschnitte AB und CD sind nun als reibungsfrei (µ1 = µ2 = 0) anzu-nehmen, die Punktmasse wird erneut durch Stauchung der Feder am Anfang der Bahnbeschleunigt. Berechnen Sie die maximale Vorspannkraft der Feder F0 so, dass die Punkt-masse im oberen Kreisbogen DE (Radius R2) nicht von der Bahn abhebt. Tragen Siedazu in dem folgenden Kastchen auch das Zwischenergebnis fur die Geschwindigkeit vDim Punkt D ein. (4,0 Punkte)

vD =

F0 =

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Fruhjahr 2014


Im dargestellten System wird ein Korper der Masse m reibungsfrei in einer Nut gefuhrtund ist durch eine Feder (Federsteifigkeit c) und einen Dampfer (Dampfungskonstanted) innerhalb der Nut gestutzt. Uber eine starre, masselose Stange der Lange l ist derKorper mit einer drehbaren Scheibe (Radius R, Masse M) exzentrisch (Exzentrizitat e)verbunden. Die Feder ist in der Lage ϕ = 0 ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zuvernachlassigen.

m

M

x

l

c

d

eR

ϕ

a)Bestimmen Sie mittels der gegebenen Großen die kinetische und potentielle Energie desGesamtsystems. Verwenden Sie dazu die Koordinaten ϕ und x. (2,0 Punkte)

Ekin =

Epot =

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Fruhjahr 2014


b)Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Lasten in Abhangigkeit derKoordinate x. (1,0 Punkte)

δW =

c)Geben Sie die kinematische Beziehung der Koordinate x als Funktion von ϕ fur großeAuslenkungen an. (2,5 Punkte)

x(ϕ) =

d)In dem unten dargestellten System rollt eine Scheibe (Masse M , Radius R) schlupffrei aufdem Untergrund ab. Eine Feder (Federsteifigkeit c) ist exzentrisch (Exzentrizitat e) ander Scheibe angebracht. An ihrem außeren Rand ist die Scheibe des Weiteren mit einemDampfer (Dampfungskonstante d) verbunden. In der dargestellten Ruhelage der Scheibe(ϕ = 0) ist die Feder ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachlassigen.

M

x

y

c

d

e

R

ϕ

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Fruhjahr 2014


Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems bezuglich der Koordinateϕ unter der Annahme kleiner Auslenkungen. Geben Sie unbedingt wesentliche Zwischen-schritte an, welche zur Losung der Aufgabe notwendig sind. (3,5 Punkte)

Wie lauten die Eigenkreisfrequenz ω0 und der Abklingkoeffizient δ des Systems? (1,0Punkte)

ω0 =

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Herbst 2013

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Herbst 2013


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der Korpersind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Massen 1 und 6auf rauhen schiefen Ebenen gleiten.

g

x1

x3

x4

x6

ϕ2

ϕ3

ϕ5

m 1 m2

m3

m4

m5 m6

R2

r2

R3

r5

βα

C

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Herbst 2013


a)Zeichnen Sie ein vollstandiges Freikorperbild (2 Punkte)

b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 1 bezuglich der x1-Koordinate an.(1 Punkt)

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an. Das Massentragheitsmoment der Rolle 2 ist dabei als θ2 vorgegeben.(1 Punkt)

d)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der x3-Koordinate an.(1 Punkt)

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Herbst 2013


e)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich des Punktes C und derϕ3-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ3 mittels der gegebenen Großen. (1 Punkt)

f)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 6 bezuglich der x6-Koordinate an.(1 Punkt)

g)Es sei nun das folgende modifizierte System gegeben. Geben Sie ϕ2, ϕ3 und x3 in Abhan-gigkeit von x1 fur das modifizierte System an. (3 Punkte)

ϕ2 =

x3 =

ϕ3 =

g

x1

x3

x4

ϕ2

ϕ3

m1 m2

m3

m4

R2

r2

R3

β

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Herbst 2013


Ein punktformiger Korper der Masse m gleitet von einer Kraft F angetrieben auf einerreibungsbehafteten schiefen Ebene vom Punkt O zum Punkt A. Auf dem reibungsbehaf-teten Abschnitt betragt der Gleitreibungskoeffizient µ. Die Kraft F wirkt ausschließlichim Abschnitt O − A auf das System ein. Samtliche Kreisbogen weisen den Radius r auf.

m

α

α

rr

µ

l1

g

cϕ0

ϕ0

∆l

A

B C

D

O

F

N.N.

a)Berechnen Sie die Große der richtungstreuen, zeitlich konstanten Kraft F , derart dass derMassenpunkt im Punkt A die Geschwindigkeit vA erreicht. Der Massenpunkt befindet sichim Punkt O in Ruhe.

F= 3,0 P.

b)Wie groß muss der Betrag der Geschwindigkeit vA mindestens sein, damit der Massen-punkt den Punkt B erreicht? Hinweis: Es soll hier davon ausgegangen werden, dass dieKraft F nicht mehr auf die Masse einwirkt und diese standigen Kontakt zur Bahn habensoll.

vA ≥ 1,0 P.

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Herbst 2013


c)Wie groß darf die Geschwindigkeit vA des Massenpunkts maximal sein, damit der Mas-senpunkt die Bahn auf seinem Weg vom Punkt A zum Punkt B nicht verlasst?

vA ≤ 3,0 P.

d)Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A ist nun durch vA so vorge-geben, dass beide Kriterien aus den vorherigen Teilaufgaben erfullt sind. Geben Sie dieGeschwindigkeit des Massenpunktes in Abhangigkeit der Geschwindigkeit vA im Punkt Dan.

vD= 1,0 P.

e)Im Punkt D stoßt der Massenpunkt gegen eine starre Kontaktplatte, die mit einer Federder Steifigkeit c verbunden ist. Legen Sie die Steifigkeit der Feder c so aus, dass sicheine maximale Stauchung der Feder von ∆l einstellt. Der Betrag der Geschwindigkeit derPunktmasse im Punkt D ist durch vD gegeben.

c= 2,0 P.

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Herbst 2013


Ein System aus starren, homogenen Staben (Lange 2 l und Lange l) und einer starren,homogenen Kreisscheibe (Radius l/2) ist im Punkt A drehbar gelagert. Die Komponentensind starr aneinander befestigt und das System ist daruber hinaus mit den dargestelltenFedern und Dampfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden.Im Punkt B wird das System durch eine zeitabhangige Kraft F (t) belastet, wobei in dergezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Ein-fluss der Schwerkraft ist zu vernachlassigen.

A

B

CD

F (t)

ll

l

ll/2

c

cT

d

m

2m

8m

ϕ

x

y

a)Berechnen Sie das Massentragheitsmoment θ(A) des Systems bezuglich des Punktes A.(1 Punkt)

θ(A) =

b)Geben Sie die horizontale Verschiebung xB des Punkte B sowie die horizontale Geschwin-digkeit xD des Punktes D in Abhangigkeit von ϕ und ϕ fur große Auslenkungen desSystems an. (2 Punkte)

xB =

xD =

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Herbst 2013


c)Geben Sie die potentielle Energie Epot bezuglich des Drehwinkels ϕ fur große Auslenkun-gen des Systems an. (1 Punkt)

Epot =

Das Massentragheitsmoment des Systems ist nun als θ gegeben. Geben Sie die Bewegungs-Differentialgleichung bezuglich des Drehwinkels ϕ fur große Auslenkungen des Systems an.(3 Punkte)

d)Es ist nun folgende Bewegungs-Differentialgleichung fur große Auslenkungen in φ gegeben:

4 θ φ+ 3 d l2 cos(φ) φ + c l2[7 sin(φ) cos(φ) + sin(φ) + 2 sin(φ)2

]= l cos(φ)F (t)

Geben Sie die linearisierte Form der gegebenen Bewegungs-Differentialgleichung fur kleineAuslenkungen (φ≪ 1) an. (1 Punkt)

Geben Sie fur F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion φ(t) fur den eingeschwungenenZustand an. Spezifizieren Sie dazu die Konstanten der allgemeinen Losung:

φ(t) = C cos(Ω t− φ0) (2 Punkte)

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Fruhjahr 2013

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Fruhjahr 2013


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g) befinden. Die beiden den Freiheitsgraden ϑ1 und ϑ2 zugeordne-ten Planetenrollen (je Radius r3, Masse m3) sind an einen ortsfest drehbar gelagertenPlanetentrager (Gesamtmasse M2) angeknupft und rollen in einem rauhen Hohlzylinderschlupffrei ab. Das Seil wird uber eine in Punkt A gelagerte Stufenrolle (Masse M1) ge-lenkt und von einem Masseklotz (Masse M0) gezogen.

g

α ψ

ϕ

ϑ1

ϑ2

x0M0

M2

r3, m3

r3, m3

r1

r2

R1

R2

ls

µ

µ

A

er

eϕ

a)Zeichnen Sie ein vollstandiges Freikorperbild, wobei Tragheitsterme vernachlassigt werdenkonnen.

g

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Fruhjahr 2013


b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) des Klotzes (Masse M0) bzgl. der x0-Koordinatean.

Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der in Punkt A gelagerten Stufenrolle bezug-lich ihres Schwerpunktes und der ψ-Koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massen-tragheit sei als θ1 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden.

Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des ortsfest drehbar gelagerten Planetentra-gers (Gesamtmasse M2) bezuglich seines Schwerpunktes und der ϕ-Koordinate an. Dieschwerpunktsbezogene Massentragheit sei als θ2 gegeben und soll hier nicht spezifiziertwerden.

c)Spezifizieren Sie nun das schwerpunktbezogene Massentragheitsmoment θ2 des Planeten-tragers. Der Planetentrager besteht aus einer Stufenrolle (kleine Stufung: Radius r2, Masse1/3M2, große Stufung: Radius R2, Masse 2/3M2) und zwei angeschweißten Staben (jeLange ls, Masse ms).

θ2 =

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Fruhjahr 2013


d)Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ϑ1 in Abhangigkeit von ϕ an.

ϑ1(ϕ) =

e)Geben Sie nun die Winkelgeschwindigkeiten ψ, ϕ, ϑ1 und ϑ2 in Abhangigkeit von x0 an.

ψ(x0) =

ϕ(x0) =

ϑ1(x0) =

ϑ2(x0) =

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Fruhjahr 2013


Ein punktformiger Korper der Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage herauseine glatte, schiefe Ebene (Lange L, µ = 0) herunterzugleiten. Im Punkt 1 geht die schie-fe Ebene tangential in eine rauhe Kreisbahn uber (Gleitreibungskoeffizient µ, Radius r,Winkel θ). Die Geschwindigkeit zwischen Punkt 1 und 2 ist mittels eines außeren Antriebskonstant gehalten, so dass in diesem Bereich v = const. und insbesondere |v1| = |v2| = vgilt.Die rauhe Kreisbahn mundet im Punkt 2 tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Nei-gungswinkel β, Lange L, µ=0). Im Punkt 3 befindet sich ein punktformiger Korper derMasse 2m, welcher dort in Ruhe gehalten wird. Im Punkt 3 geht die glatte, schiefe Ebenetangential in eine glatte Kreisbahn uber (µ=0). Im Punkt 4 befindet sich das Ende einerelastischen Feder (Steifigkeit/Federkonstante c). Das System befindet sich im Schwerfeldder Erde (Erdbeschleunigung g).

z

µ

θ

ϕ

`

β β

α

L/4

L

L

x

C

m

12

3 4

O

H r

r

N.N.

2m

ψ

g

a)Geben Sie die potentielle Energie EO

pot im Punkt O bezuglich des vorgegebenen NullniveausN.N. in Abhangigkeit der Großen m, g, H , r und ϕ an.

EOpot =

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Fruhjahr 2013


b)Geben Sie die Reibkraft R(ψ) als Funktion von ψ unter Berucksichtigung der Vorgabe|v1| = v bzgl. des Punktes 1 an.Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!

R(ψ) =

Berechnen Sie die auf der Strecke von Punkt 1 zu Punkt 2 verrichtete Reibarbeit WR.

WR =

c)Nehmen Sie an, dass nun |v3| = v am Punkt 3 vorgegeben ist. Geben Sie den Betragder Geschwindigkeit beider Massen v1 (fur Masse m) und v2 (fur Masse 2m) unmittelbarnach dem vollplastischen Stoß an.Hinweis: Mit Ausnahme des Kraftstoßes sind alle etwaigen Krafte wahrend des Stoßvor-gangs zu vernachlassigen!

|v1| =

|v2| =

d)Bestimmen Sie die Federsteifigkeit/Federkonstante c derart, dass die maximale Stauchungder Feder l/5 betragen soll. Nehmen Sie hier an, dass nur ein Korper der Masse 3mKontakt mit der Feder hat. Die Geschwindigkeit dieser Masse ist im Punkt 4 zu v4 =|v4| = 6 v vorgegeben.

c =

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Fruhjahr 2013


Das dargestellte System befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g).Das masselose Seil rollt schlupffrei uber zwei homogene Kreisscheiben (MassenM, m undRadien R, r). Dessen Ende ist mit einer Parallelschaltung einer Feder (Federsteifigkeit c)und eines Dampfers (Dampfungskonstante d) verbunden. Das Seil soll als stets gespanntangenommen werden. Die Feder ist in der Ausgangslage ungespannt.

c

d

y

h

g

M,R

m, rN.N.

Geg.: m, M, r, R, c, d, g.

a)Geben Sie die gesamte kinetische Energie Ekin sowie die gesamte potenzielle Energie Epot

des Systems in Abhangigkeit des Freiheitsgrades y an.

Ekin =

Epot =

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Fruhjahr 2013


b)Geben Sie die zugehorige Bewegungs-Differentialgleichung an.

c)Bei vernachlassigter Schwerkraft und Federsteifigkeit (g = c = 0) sowie einem be-stimmten, nicht naher aufgefuhrten Verhaltnis zwischen den Massen hat die Bewegungs-differentialgleichung die Form

5 m y + d y = 0.

Geben Sie y(t) fur die Anfangsbedingungen y(t = 0) = 0, y(t = 0) = dm

an.

y(t) =

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Herbst 2012

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Herbst 2012


Ein System aus starren, homogenen Staben ist im Punkt A drehbar gelagert und des Wei-teren mit den dargestellten Federn und Dampfern (Materialkonstanten sind der Zeichnungzu entnehmen) verbunden. Im Punkt D ist zusatzlich eine Punktmasse (Masse m) ange-bracht. Im Punkt E wird das System durch eine zeitabhangige Kraft F (t) belastet, wobeiin der gezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. DerEinfluss der Schwerkraft ist zu vernachlassigen.

A

B C

D

E

F (t)l

ll 2 l

c

cT

d

d

mm

4m

ϕ

x

y

a)Berechnen Sie das Massentragheitsmoment θ(A) des Systems bezuglich des Punktes A.

θ(A) =

b)Geben Sie die vertikale Verschiebung yB des Punktes B sowie die Geschwindigkeitskoordi-nate xD des Punktes D in Abhangigkeit von ϕ und ϕ fur große Auslenkungen des Systemsan.

yB = xD =

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Herbst 2012


c)Das Massentragheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie fur die An-nahme kleiner Auslenkungen (ϕ ≪ 1) die Bewegungs-Differentialgleichung bezuglich desDrehwinkels ϕ an.

Nennen Sie die Bedingung fur die Federkonstante c, so dass sich fur das gegebene Systemeine schwach gedampfte Schwingung ergeben wurde.

Spezifizieren Sie fur F (t) = F0 cos(Ω t) die Konstanten C und ϕ0 der allgemeinen Losung

ϕ(t) = C cos(Ω t− ϕ0)

fur den eingeschwungenen Zustand.

C =

ϕ0 =

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Herbst 2012


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstar-re, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld derErde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Rollen 1 und 3 auf rauhenEbenen schlupffrei abrollen. Dabei wird Rolle 1 von dem konstanten Drehmoment M0 dieschiefe Ebene hinauf angetrieben. Die Umlenkrolle in Punkt A ist als masselos anzusehen.

g

α

ϕ1

ϕ2

ϕ3

x1

x3

x4

M0

m1 m2

m3

m4

r1 r2

r3

R1

A

1 2

3

4

a)Zeichnen Sie ein vollstandiges Freikorperbild

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Herbst 2012


b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 1 bezuglich der x1-Koordinate an.

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ1-Koordinate an. Das Massentragheitsmoment dieser Rolle bezuglich ihres Schwer-punktes (identisch mit Mittelpunkt) ist als θ1 vorgegeben.

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an. Spezifizieren Sie das benotigte Massentragheitsmoment mittels dergegebenen Großen.

e)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der x3-Koordinate an.

f)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ3-Koordinate an. Spezifizieren Sie das benotigte Massentragheitsmoment mittels dergegebenen Großen.

g)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 4 bezuglich der x4-Koordinate an.

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Herbst 2012


h)Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten x1, ϕ2, x3, ϕ3 und x4 in Abhangigkeit von ϕ1

an.

x1(ϕ1) =

ϕ2(ϕ1) =

x3(ϕ1) =

ϕ3(ϕ1) =

x4(ϕ1) =

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Herbst 2012


Eine punktformiger Korper der Masse m rutscht aus seiner Ruhelage (Hohe h bezuglichN.N.) im Punkt O eine reibungslose Ebene hinab. Auf seinem Weg uber die Punkte Abis H passiert er 2 reibungsbehaftete Teilabschnitte mit den Gleitreibungskoeffizienten µ1

und µ2. Samtliche Kreisbogen weisen den Radius r auf.

N.N.

I

E

F

G H

O

x

y

A

B

C

D

~gm

h

α

α α

α

r

rr

rθ

µ1 µ2

l1

l2

l3γ γ

φ

a)Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten Aund B als Funktion des Winkels θ.

v(θ)A→B=

b)Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C.

vC=

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Herbst 2012


c)Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C ist nun durch vC vorgegeben,wobei diese als groß genug vorausgesetzt ist, um Punkt D zu erreichen. Geben Sie dieGeschwindigkeit der Punktmasse in Abhangigkeit der Große vC in den Punkten F und Gan.

vF=

vG=

d)Im Punkt G stoßt die Punktmasse mit dem gegebenen Geschwindigkeitsbetrag vG gegeneinen masselosen Stab, welcher mit einer Drehfeder (Federkonstante cT ) verbunden ist.Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten G undH .

φ=

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Fruhjahr 2012

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Fruhjahr 2012


Ein starrer Stab (Lange 2 l, Masse m) istwie dargestellt gelagert. Die im Punkt A be-findliche Drehfeder weist die Federsteifigkeit(Federkonstante) cT , der im Punkt B ange-schlossene viskose Dampfer die Dampferkon-stante d auf. Im Punkt C ist ein System ausparallel und seriell geschalteten Federn (Fe-dersteifigkeiten bzw. /-konstanten c1 bis c4)angebracht. Zudem wird das unter dem Ein-fluss des Schwerefelds (Erdbeschleunigung g)stehende System im Punkt C durch eine zeit-abhangige Kraft F (t) belastet. Fur den Zeit-punkt t = t0 = 0 gelte F (t0) = 0 sowie, dasssamtliche Federn ungespannt sind.

x

y

A

B

C

ϕ

F (t)

c1

c2

c3

c4

d

l

l

cT

g

m

a)Geben Sie die effektive Steifigkeit (Federkonstante) ceff des Federsystems in Abhangigkeitder Werte c1, c2, c3 und c4 an.

ceff =

b)Berechnen Sie das Massentragheitsmoment θ(A) des Stabes bezuglich des Punktes A.

θ(A) =

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Fruhjahr 2012


c)Geben Sie die den Betrag der Geschwindigkeit vB des Punktes B sowie die horizontaleVerschiebung xC des Punktes C in Abhangigkeit von ϕ und ϕ fur große Auslenkungendes Systems an.

vB =xC =

Die effektive Steifigkeit (Konstante) des Federsystems ist nun durch den Wert c vorgege-ben, ebenso ist der Wert fur das Massentragheitsmoment des Stabes bezuglich des PunktesA als θ festgelegt. Fur die Federkonstante der Drehfeder gilt des Weiteren cT = mg l.

Leiten Sie fur die Annahme kleiner Auslenkungen ϕ≪ 1 die Bewegungs-Differentialgleichungdes Systems bezuglich des Drehwinkels ϕ her.

Nennen Sie die systemspezifische Bedingung fur die Dampferkonstante d, so dass sich furF (t) ≡ 0 und ϕ(t0) 6= 0 eine schwach gedampfte Schwingung ergeben wurde.

d

Geben Sie fur die Vorgaben F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion ϕ(t) fur den einge-schwungenen Zustand an. Nennen Sie zunachst die allgemeine Losung und spezifizierenSie dann die darin enthaltenen Konstanten.

ϕ(t) =

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Fruhjahr 2012


Das dargestellte System besteht aus homoge-nen, starren Korpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander ver-bunden sind und sich im Schwerefeld der Er-de (Erdbeschleunigung g) befinden. Die je-weiligen Massen und Abmessungen der Kor-per sind der Zeichnung zu entnehmen. Dieabgesetze Rolle 3 weist eine Unwucht (Ex-zentrizitat e, Masse me) auf, deren Lage imAusgangszustand durch ϕ3 = 0 gegeben ist.Die Walze 4 rollt schlupffrei auf einer rauhenEbene ab und wird dabei von dem konstan-ten Drehmoment M0 angetrieben.

g

x1

x2 x4

ϕ2

ϕ3

ϕ4

M0

m1

m2

m3

e me

m4

r1

r2

r3

R3

r4

1

23

4

a)Erganzen Sie die hier dargestellten Teilkorper des Systems zu vollstandigen Freikorper-bildern.

S1

S2 S3

S3

S4

S4

S1m

m1

m4

M

N

me

H

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b)Geben Sie den Impulssatz (Kraftesatz) der Rolle 1 bezuglich der x1-Koordinate an.

Geben Sie den Impulssatz (Kraftesatz) der Rolle 2 bezuglich der x2-Koordinate an.

Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an.

Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich des Drehzentrums undder ϕ3-Koordinate an.

Geben Sie den Impulssatz (Kraftesatz) der Walze 4 bezuglich der x4-Koordinate an.

Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Walze 4 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ4-Koordinate an.

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Fruhjahr 2012


c)Geben Sie ϕ2, x2, ϕ3, ϕ4 und x4 in Abhangigkeit von x1 an.

ϕ2(x1) =

x2(x1) =

ϕ3(x1) =

ϕ4(x1) =

x4(x1) =

d)Betrachten Sie nun die rechts dargestellteWalze (Masse m, Radius r) auf einer um denWinkel α geneigten Ebene. Sie befindet sichim Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigungg), wird von dem konstanten DrehmomentM0 angetrieben und rollt schlupffrei auf derrauhen Ebene ab.

gx

α

ϕ

M0

m

r

Die Walze bewege sich mit x(t = 0) = 2√r g fort und es gelte x(t = 0) = − r. Wie groß

muss M0 sein, so dass zum Zeitpunkt t∗ die Zusammenhange x(t∗) = 0 und x4(t∗) = 3 r

gelten?

M0 =

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Fruhjahr 2012


Eine punktformige Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus eine rauhe,schiefe Ebene (Neigungswinkel α, Lange l, Gleitreibungskoeffizient µ) herunterzugleiten.Im Punkt A geht die schiefe Ebene tangential in eine glatte Kreisbahn uber (µ = 0).Diese mundet im Punkt B tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β,Lange l, Gleitreibungskoeffizient µ). Im Punkt C geht die schiefe Ebene in eine glatteBahn uber, die im Punkt D tangential in eine glatte, schiefe Ebene (Neigungswinkel γ,Lange a, µ = 0) ubergeht. Am Ende dieser schiefen Ebene ist eine Feder (Federkonstantec, ungespannte Lange a/6) befestigt. Das System befindet sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g).

g

α

β

γ

ϕ

x1

x2

x3

N.N.

m

A

B

C D

O

c

l

la

a/6

r

h

µ

µ

µ = 0

µ = 0

a)Geben Sie die potentielle Energie EO

pot im Punkt O bezuglich des vorgegebenen NullniveausN.N. an.

EOpot =

Berechnen Sie den Betrag |vA| der Geschwindigkeit im Punkt A.

|vA| =

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Fruhjahr 2012


b)Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt A sei nun als |vA| = vA gegeben. (Hinweis:Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!)

Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse auf der Bahn zwischen denPunkten A und B in Abhangigkeit von ϕ an.

|v|(ϕ) =

Wie groß darf vA maximal sein, so dass die Punktmasse nicht von der Kreisbahn abhebt?

vA ≤

c)Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt B sei nun als |vB| = vB gegeben. (Hinweis:Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!)

Bestimmen Sie die Gesamtenergie des Massepunktes bei x2 = l/2.

Eges(x2 = l/2) =

Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D.

|vD| =

d)Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D sei nun als |vD| = vD =

√5/3 g a sin(γ)

vorgegeben. (Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrech-nen! Die gegebene Geschwindigkeit ergibt sich nicht aus dem System!)

Um welchen Betrag ∆a wird die Feder gestaucht?

∆a =

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