Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11 1 · PDF...

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11 1

Elementi analitičke mehanike Generalisane koordinate Ako se posmatra sistem od n materijalnih tačaka, čiji položaj je određen sa 3n Dekartovih koordinata , i (i=1,2,...,n) i ako na sistem deluje k holonomnih, nestacionarnih, zadržavajućih veza

ix iy iz0),,,( =tzyxf iiiα , (α =1,2,...,k), tada je položaj

sistema određen sa nezavisnih koordinata. Nezavisni parametri koji u potpunosti određuju položaj materijalnog sistema u prostoru nazivaju se generalisane koordinate, a njihov broj jednak je broju stepeni slobode sistema. Generalisane koordinate obeležavaju se sa (j=1,2,...,s). Njihove dimenzije mogu biti različite: dužina, ugao, površina,... Postoje jednoznačne veze između generalisanih koordinata i nekih drugih, npr. Dekartovih:

kns −= 3

jq

( ) ( )tqrtqqqrr jisii ,,,...,, 21rrr

== (i=1,2,...,n) (j=1,2,...,s), tj. ( )tqxx jii ,= , ( )tqyy jii ,= , ( )tqzz jii ,= . Zamenom prethodnih jednačina u jednačine veza moraju se dobiti identiteti, tj. ( ) ( ) ( ) 0),,,,,,( ≡ttqztqytqxf jijijiα , (α =1,2,...,k). Ukoliko se ne bi dobili identiteti, to bi značilo da generalisane koordinate - (j=1,2,...,s) nisu međusobno nezavisne. jqGeneralisane brzine Pod konfiguracijom materijalnog sistema podrazumeva se ukupnost položaja i oblika koje materijalni sistem zauzima u prostoru tokom kretanja. Neka je konfiguracija materijalnog sistema određena generalisanim koordinatama (j=1,2,...,s). Kretanje tog sistema određeno je jednačinama kretanja

jq)(11 tqq = , )(22 tqq = ,..., .

Pod generalisanom brzinom podrazumeva se izvod generalisane koordinate po

vremenu, tj.

)(tqq ss =

dtdq

q jj =& .

Ako je materijalni sistem izložen dejstvu holonomnih nestacionarnih veza, tada je brzina i-te tačke određena sa

trq

qr

trq

qrq

qrq

qrrV i

s

jj

j

iis

s

iiiii ∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

== ∑=

r&

rr&

r

L&r

&r

&rr

12

21

1

,

a odgovarajuće projekcije na ose Dekartovog sistema su npr. txq

qxx i

s

jj

j

ii ∂

∂+

∂∂

=∑=1

&& . U

slučaju holonomnih stacionarnih veza izraz za brzinu tačke je ∑= ∂∂

=s

jj

j

ii q

qrV

1

&rr

. Izvod

brzine, po generalisanoj brzini, na osnovu prethodnih izraza, jednak je izvodu vektora položaja po generalisanoj koordinati, tj.

j

i

j

i

qr

qV

∂∂

=∂∂

r

&

r

.

Izvod brzine po generalisanoj koordinati je iVr

jq

j

is

js

i

j

i

j

ii

jj

i

qtrq

qqrq

qqrq

qqr

dtrd

qqV

∂∂∂

+∂∂

∂++

∂∂∂

+∂∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

r&

r

L&r

&rrr

22

22

2

11

2

.


Sa druge strane, parcijalni izvod j

i

qr

∂∂r

zavisi od generalisanih koordinata i vremena, tj.

( tqqqfqr

sij

i ,,...,, 21 )rr

=∂∂

, tako da sledi

j

is

js

i

j

i

j

i

j

i

qtrq

qqrq

qqrq

qqr

qr

dtd

∂∂∂

+∂∂

∂++

∂∂∂

+∂∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

r&

r

L&r

&rr 22

22

2

11

2

,

odakle sledi zaključak o komutativnosti operatora dtd i

jq∂∂ , tj.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

j

ii

jj

i

qr

dtd

dtrd

qqV rrr

.

Varijacija koordinata Neka je data funkcija . Ako se formira funkcija )(tqq = )()()( ttqtq εη+= , gde je ε -

proizvoljno mala veličina, a )(tη diferencijabilna funkcija, tada razlika )()( tqtq − predstavlja promenu oblika funkcije

nezavisnu od vremena i naziva se varijacija funkcije , označava se sa

)(tq)(tq qδ , tj.

)()( ttq)(tqq εηδ =−= . Iz prethodne definicije uočava se da se vreme ne menja, tj.

0=tδ , zbog čega se ove varijacije nazivaju izohrone (sinhrone). Na osnovu prethodnog sledi da je )()( tqtqq &&& −=δ . Imajući u vidu da je

)()( tqtqqdtd

&& −=δ , sledi zaključak o komutativnosti diferenciranja i variranja, tj.

( )qdtdq

dtdq δδδ ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

& .

Ako se pri promeni funkcije vrši i promena argumenta t funkcije, takva varijacija se naziva ukupna ili asinhrona i označava se sa . Kada se nezavisno promenljiva t promeni za

)(tqq*δ

tδ , funkcija dobija priraštaj )(tq tqδ& , a ukupna varijacija je tada tqqq δδδ &+=* ,

i za nju ne važi komutativnost variranja i diferenciranja

( )qdtd

dtdq ** δδ ≠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Virtualna pomeranja holonomnog sistema Stvarno pomeranje materijalnog sistema predstavlja promenu koordinata sistema po stvarnim putanjama zavisno od dejstva aktivnih sila i veza kojima je podvrgnut

sistem. Ova pomeranja određena su diferencijalima koordinata irdr . Moguće ili virtualno pomeranje materijalnog sistema je svako zamišljeno beskonačno malo pomeranje njegovih tačaka, koje u datom trenutku dopuštaju veze. Ako se tačka kreće po holonomnoj, stacionarnoj,

zadržavajućoj vezi 0),,( =zyxf , virtualnih pomeranja rrδ tačke, u trenutku t, ima ∞ mnogo i sva ta pomeranja pripadaju tangetnoj ravni na tu površ. Samo jedno od njih


će biti i stvarno pomeranje rdr . Ako se tačka kreće po holonomnoj, nestacionarnoj, zadržavajućoj vezi 0),,,( =tzyxf , virtualno pomeranje rrδ , koje se određuje pri zaustavljanju vremena, i dalje pripada tangencijalnoj ravni, a stvarno pomeranje rdr

poklapa se ni sa jednim od virtualnih pomeranja rne rδ . Ako je kretanje tačke zadato u vektorskom obliku )(trr rr

= , tada pri stvarnom pomeranju tačke, vektor pomeranja rdr je diferencijal funkcije (trr )rr

= , tj. kdzjrd dyidxrrrr

+= . Varijacija pomeranja rr

+δ je varijacija funkcije rr )(trr

= , tj. elementarna promena oblika funkcije pri argumenta t. Analogno sa prehodnim je kixr

rrkonstantnoj vrednosti

rzjyr δ+

ko se tački zada virtualno pomeranje tada i u položaju

δδδ += . Neka se tačka M u nekom trenutku t nalazi u položaju ),,( zyxM , na vezi

0),,( =zyxf . A će se ona nać),,( zzyyxxM δδδ +++ na vezi, tj. 0),,( =+++ zzyyxxf δδδ . Razvijanjem ove

jlorov red i zadržavajući se na linearnim članovima varijacija, dobija se funkcije u Te

0),,( =∂∂

+∂

+∂

+ zzfy

yx

xzyxf δδδ , ∂∂ ff 0=

∂∂

+∂∂

+∂∂ z

zy

yx

xδδδ , 0=⋅ rgradf

fff rδ .

Za istu vezu, i stvarno pomeranje, je

0),,( =∂

+∂

+∂

+ dzz

dyy

dxx

zyxf ∂∂∂ fff , 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ dz

zfdy

yfdx

xf , 0=⋅ rdgradf r .

Ponavljajući prethodni postupak za nestacionarnu vezu ,,( =yxf , dobija se ), tz 0

0=∂

+∂

+∂

zz

yy

xx

δδδ i 0∂∂∂ fff

=⋅ rgradf rδ , tj. nestacionarno e na uslove

e v lučaj stvarnog pomeranja, koordinate tačke

st veze ne utič

koji moraju da zadovoljmoraju da zadovolje relaciju

arijacije. Za s0),,,( =++++ dttdzzdyydxxf , tj.

0=∂∂

+∂

dtt

dzz

, ∂+

∂∂

+∂∂ ffdy

yfdx

xf dt

tf∂

rdgradf ∂−

r=⋅ ,

odakle se zaključuje da stvarno pomeranje rdr nije u tangencijalnoj ravni i ne poklapa se sa virtualnim pomeranjima.

mvektor položaja i-te materijalne tačke sistema je

Virtualno pomeranje materijalnog sistema ože biti izraženo i preko generalisanih koordinata. U tom slučaju,

( ) ( )tqrtqqqrr jisii ,,,...,, 21rrr

== (i=1,2,...,n) (j=1,2,...,s). Tada je

dtrdqqr i

si

∂∂

+∂∂

tdq

qrdq

qrrd

s

iii ++

∂∂

+∂∂

=rr

L

rrr

, ss

iiii

rrqqrr δδ

∂∂∂

+∂∂

= qq

qq

δδ∂

++r

L

rrr

1 221

, 22

11

∑= ∂∂

=s

jj

j

ii q

qrr

1δδ

rr

,

a odgovarajuće projekcije na ose npr. Dekartovog sistema su

∑=

∂s x∂

=j

jj

ii q

qx

1δδ , ∑

=

∂s y∂

=j

jj

ii q

qy

1δδ , ∑

= ∂∂s

jj

i qqz

1δ .

Rad sila na virtualnom pomeranju sistema Neka je rezultanta svih sila koje deluju na i-tu tačku materijalnog sistema. Rad te

=j

izδ

i

sile na virtualnom pomeranju rrFr

iδ tačke u određenom položaju sistema, koji zauzima u posmatranom trenutku, je

rFA iiirr

δδ ⋅= . Rad svih sila, koje deluju na n tačaka materijalnog sistema, na virtualnom pomeranju sistema je


∑∑nn

rFAA rrδδδ .

==

⋅==i

iii

i11

Idealne veze Veze kod kojih je zbira radova reakcija veza na virtualnom pomeranju jednak nuli,

alne veze. Ako su Fnazivaju se ide iN

r reakcije veza koje deluju na i-tu tačku sistema, a

irrδ odgovarajuća virtualna pomeranja, tada važi

0=⋅∑n

iN rFi

rrδ

1=i.

Ako se tačka nalazi na realnoj vezi tada je ukupna reakcija veze μFFF NW

rrr+= , pa je

iiiNiWi rFrFrFrFA rrrrrrrrδδδδδ μμ ⋅=⋅+⋅=⋅= .

Generalisane sile Posmatra se materijalni sistem od n tačaka koji je podvrgnut dejstvu k idealnih,

omnih, zadržavajućih veza. Ovaj sistem ima stepeni stacionarnih, holon kns −= 3

slobode. Rad sila na virtualnom pomeranju, korišćenjem izraza ∑= ∂∂

=s

ji

i qrrδj jq1

δr

r, je

j

s nn si

nn r ⎜⎛∂

j i j

ii

i jj

ji

iii

ii q

qrFq

qFrFAA δδδδδ ∑ ∑∑ ∑∑∑

= == ===⎟⎟⎠

⎞⎜⎝ ∂

∂⋅=

∂⋅=⋅==

1 11 111

rrrrr r

.

Uvođenjem oznake ∑= ∂

∂⋅=

n

i j

iij q

rFQ1

rr, virtualni rad je

δδ +==∑=

L22111

,

a koeficijenti ( ) uz varijacije generalisanih koordinata nazivaju se

ss

s

jjj qQqQqQqQA δδδ ++

jQ sj ,,2,1 K=

generalisane sile. U odnosu na Dekartov koordinatni sistem, izraz kojim se definiše generalisana sila, ima oblik

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎛ ∂∂∂n

iiij

zyxQ ⎜⎝ ∂

+∂

+∂

=i j

ij

ij

i qZ

qY

qX

1

.

Generalisane sile moguće je odrediti na više načina.

1. Direktnom primenom izraza ∑∑==

=∂⋅= i

ij qrFQ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂∂ n

i j

ii

j

ii

j

ii

n

i j qzZ

qyY

qxX

11

rr.

va virtualna pomeranja pri čemu su varijacije svih koordinata, osim jedne, jednake nuli. Neka je npr. 2. Ako se sistemu zadaju tak

, === 03201 ≠qδ = sqqqδ δ δL . Tada je 11 qQA δδ = , odakle se dobija generalisana sila Q . Na isti način određuju se i ostale generalisane sile. 3. Ako n deluju konzervativne sile tada je izraz za potencijalnu energiju sistema ( )zyxE ,, (i=

1

a sistem 1,2,...,n), tj. qqqEqE Kiiip 21 sPjp ),,,()( = . Kako je pEA δδ −= ,

tada je

ss

ppps

pE

jj

j

qqE

qqE

qqE

qq

A δδδδδ∂

−∂

∂ ∂−−

∂

∂−=

∂−= ∑

=

L22

111

,

pa je

∂

j

pj q

EQ

∂

∂−= .


LagranžDef. A

ev princip virtualnih pomeranja. Opšta jednačina statike ko se materijalni sistem, izložen dejstvu idealnih, holonomnih i stacionarnih

a jednak veza nalazi u ravnoteži, rad svih aktivnih sila na virtualnom pomeranju sistemn r

je nuli, tj. 01

=⋅∑=

Potrebnost: Neka su sve tačke sistema u ravnoteži. Na i-tu tačku sistema deluje a i reakcija idealne veze

ii

ai rF rδ .

aktivna sil aiFr

iNr

, a važi 0=+ ia

i NFrr

. Rad ovih sila na

virtualnom pomeranju je 0=⋅+⋅ iiia

i rNrF rrrrδδ . S obzirom prethodna relacija treba da

važi za sve ta a, tada je 1

+∑=

n

iii

na NF

rrrajući u vidu da za

idealne veze važi da je 01

=⋅∑

čke sistem =⋅⋅∑=i

ii rr rδδ . Im01

=

rr, dobija se

od ⋅∑=

n

i

aiFr

a pokazati je ispunjen uslov

arr

i

n

iii rN δ .

Dovoljnost: Polazeći 0=irrδ , treb da

01

=⋅∑=

n

ii

ai rF rr

δ

1

0ii NF . Ako se uvede suprotna pretpostavka, tj. da za samo jednu tačku sistema

važi 0≠+a NFrr

, pa je tada 0≠

=+

i += ia

iii NFamrrr . To znači da će sistem iz stanja

reći u kretanje. U ovom slučaju veze su stacionarne pa će se stvarno pome iti sa jednim o kretanja u smeru rezultante sila a

iFmirovanja p

ranje poklop d virtualnih. Zbog r

i iNr

, ove sile će izvršiti pozitivan rad, tj. ( ) 01

>⋅+∑=

n

iii

ai rNF rrr

δ . Kako su veze idealne,

tada je 01

>⋅∑=

rr

tj. za svaku tačku sistema mora da važi a NF

n

ii

ai rF δ , što je suprotno pola pretpostavka pogrešna,

ii

znom uslovu, pa je

0=+r r

. ncip može seOvaj pri izraziti i u generalisanim koordinatama. S obzirom da za sistem

sa s stepeni slobode važi ∑=s

jQAδ=

qδ , onda je uslov ravnoteže =∑j 1 1

j 0=

s

jaj qQ δ .

Varijacije generalisanih kordinata j

jqδ međusobno su nezavisne, pa da bi bila

cija mora bit s konzervativnzadovoljena prethodna rela i 0=== aaa QQQ L . Za i

sistem uslovi ravnoteže su

21

021

=∂

∂==

∂

∂=

∂

∂ ppp Eqq

EL . Ovaj princip može se

Def. Zbir virtualnih radova svih aktivnih sila koje deluju na mehanički si

sqE

primeniti i kada materijalni sistem čiji je broj stepeni slobode jednak nuli.

Lagranž-Dalamberov princip. Opšta jednačina dinamike stem i svih

slovno pridodatih sila inercije jednak je nuli. erovog principa, važi

uZa i-tu tačku materijalnog sistema, primenom Dalamb

0=++ inii

ai FNF

rrr. Saopštavajući sistemu virtualno pomeranje i koristeći Lagranžev

princip, dobija se

( ) 0=⋅++∑n

iin

iia

i rFNF rrrrδ .

1=i


, a veze idealne, tj. , tada je 01

=⋅∑=

n

iii rN rr

δ ( ) 01

=⋅−∑=

n

iiii

ai ramF rrr

δiiin

i amF rr−=Kako je .

a ima oblik Ovaj princip, izražen u Dekartovim koordinatam

( ) ( ) ( )[ ] 01

=−+−+−∑=

n

ii zzmZyymYxxmX δδδ &&&&&& ,

a u generalisanim koordinatama, koristeći

iiiiiiiiiii

aaa

∑= ∂∂

=s

jj

j

ii q

qrr

1δδ

rr

, je

( ) 0=∂

⋅+∑ ∑n s

jiin

ia

i qrFF δ1 1 ∂= =i j jq

rrr, 0

1 11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅+∂∂

⋅∑s n

iniF∑∑

= ==j

j i j

in

i j

iai q

qr

qrF δr rrr

.

Ako se uvedu oznake ∑=n

= ∂∂

⋅i j

iai

aj q

rFQ1

r

∑= ∂

∂⋅=

n

i j

iini

inj q

rFQ1

rrr, , tada je

=j, (j=1,2,...,s)

Lagranževe jednačine I vrste

Kinetička energija materijalnog sistema je

( ) 0=+∑s

jinj

aj qQQ δ , tj. + in

jaj QQ .

I1

0=

( )tqqEVVmE jjK

n

iiiiK ,,

21

1

&rr=⋅= ∑

=

, pa je

∑ ∂∂⋅=

∂∂ n

iii

K

qVVm

qE

r

=i jj 1 &

r. Kako je

& j

ii

qr

qV

∂∂

=∂∂r

j

r

, sledi ∑= ∂

∂⋅=

∂∂ n

i j

iii

j

K

qrVm

qE

1

rr

&&.

Diferenciranjem pret aza po vre obija se hodnog izr menu, d

∑∑==

⋅+∂⋅=⎟

⎠⎜⎝ ∂ i

iii j

ij dt

Vmqdt

mqdt 11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂⎟⎜

n

j

in

iiK

qrdVdd ∂⎞⎛ ∂ rE

rrr r

&.

Osnovna jednačina kretanja tačke je ia

ii

i NFdtVdm

rrr

+= , a već je pokazano da važi

j

ii

qV

qr

dtd

∂∂

=⎟⎟

⎜⎜∂∂

r

j ⎠

⎞

⎝

⎛ r

, pa je

( ) ∑∑== ∂

∂⋅+

∂∂

⋅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛d

⎝ ∂∂ n

i j

iii

n

i j

ii

ai

j

K

qV

Vmqr

NFqE

dt 11

rr rrr

&.

Prvi član na desnoj strani prethodnog izraza predstavlja zbir odgovarajućih generalisanih sila

Nj

aj

ni

i

nia

i QQrNrF +=∂

⋅+∂

⋅ ∑∑rr

i ji j qq ∂∂ == 11

rr,

a drugi član je parcijalni izvod kinetičke energije po generalisanoj koordinati, tj.

∑=

∂∂ niK VE

∂⋅=

∂ i jii

j qVm

q 1

rr

, pa je sada j

jjj q

QQqdt ∂

++=⎟⎠

⎜⎝ ∂ &

. U slučaju stacionarnih KNaK EEd ∂⎟⎞

⎜⎛ ∂

idealnih veza je 011

=∂∂⋅=

∂∂

⋅= ∑s

iNj N ∑

==

s

j j

ii

j j

i

qVN

qrQ

&

rrrr

e pravac vektora , jer jj

iVr

q&∂

ektora , pri čemu je

∂

određen pravcem v iVr

ii NVrr

⊥ . T e IIvrste

ada su Lagranževe jednačin


aKEd−⎟

⎞⎜⎛ ∂ . j

j

K

j

QqE

qdt=

∂∂

⎟⎠

⎜⎝ ∂ &

Za sisteme koji su izloženi dejstvu konzervativnih sila je j

pj q

EQ

∂

∂−= , pa prethodna

jednačina postaje

j

p

j

K

j

K

qE

qE

qE

dtd

∂

∂−=

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂&

.

U slučaju stacionarnih konzervativnih sistema važi da je , pa se dobija )( jpp qEE =

( ) ( )0=

∂−⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂ j

pK

j

pK

qqdt &,

−∂⎞⎛ −∂ EEEEd 0⎜⎜⎝ ∂dt

, =∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎛ ∂

jj qL

qLd&

gde je - Lagranževa funkcija ili kinAko Lagranževa funkcija

etički potencijal. pK EEL −=

pK EEL −= ne zavisi od neke od generalisanih koordinata,

jenpr. od koordinate rq , tada 0=∂∂ rqdt &

KEd , pa je

.conr = stCqE

r

K =∂∂&

,

što predstavlja prvi integral jedne od diferencijalnih jednačina kretanja i naziva se ciklični integral. U tom slučaju generalisana koordinata naziva se ciklična rqkoordinata. Kinetička energija sistema izražena u generalisanim koordinatama Kako je

( )tqqEVVmE jjK

n

iiiK ,,1&

rr=⋅= ∑ ,

i2 1=

trq

qr

trq

qrq

qrq

qrrV i

s

jj

j

iis

s

iiiii ∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

== ∑=

r&

rr&

r

L&r

&r

&rr

12

21

1

,

tada je

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

== ∑∑==

2

12

21

11

2

21

21 n

i

is

s

iiii

n

iiiK t

rq

qr

qqr

qqr

mVmEr

&r

L&r

&r

∑=

−−⎢

⎢⎣

⎡+

∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂n

iss

s

i

s

iiis

s

iii qq

qr

qrqq

qr

qrq

qrq

qrm

11

121

21

22

11

2221

&&rr

L&&rr

&r

L&r

⎥⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

∂∂

++∂∂

∂∂ 2

11

22tr

qtr

qr

qtr

qr i

si

s

iiir

&rr

L&rr

.

Uvođenjem oznaka, za j=1,2,...,s i k=1,2,...,s,

k

in

i jikjjk qq

maa∂∂

== ∑ i rr ∂∂

=

rr

1,

tr

qrmb

ik =∑ i

n

k

ii ∂

∂∂∂

=

r

1

r

, ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=n

i

ii t

rmc

1

2

0

r

izraz za kinetičku energiju može se napisati kao

∑∑∑== = kj k

kjjkK qqaE1 12

&& ++=s

kk

s s

cqb1

021

& . 1


Koeficijenti kjjk aa = nazivaju se inercioni koeficijenti (koeficijenti metričkog tenzora).

U slučaju stacionarnog sistema je ∂∂ 0=

trir

, odakle sledi da je 0=kb i 00 =c . Tada je

kinetička energija određena sa

∑∑= =

=s

j

s

kkjjkK qqaE

1 121

&& .

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11 1 · PDF...

Documents

Transcript of Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 – Predavanje 10 i 11 1 · PDF...