1Lista de exercícios

Eletrostática

Dados: kvácuo = ko = 1/4πεo = 1 din.cm2/(StatC)2 ≅ 8,99x109 N.m2/C2 εo = 8,85418x10-12 C2/N.m2

LEI DE COULOMB - CAMPO ELÉTRICO

1) Princípio da superposição: 3 cargas puntiformes positivas (q1, q2 e q3) situam-se sobre os vértices de um

triângulo eqüilátero de a metros de lado. Calcular a força resultante sobre a carga q1.

R) módulo:

2

221

21

2

221

2231

311 r

60senq4q

r60cosq

rq

4q

F

πε+

+

πε= direção:

60cosqqq

arctag23

2

+=α

2) Comparar a força gravitacional com a força elétrica entre o elétron e o próton no átomo de Hidrogênio.

Dados: raio da órbita do elétron = 5,3x10-11 m; carga do elétron = 1,6x10-19 C; massa do elétron = 9,1x10-31 Kg; massa do próton = 1,7x10-27 Kg; Constante de gravitação universal = 6,7x10-11 N.m2/Kg2; Constante eletrostática = 9,0x109 N.m2/C2. Resposta: Fe/Fg = 2,2x1039

3) À partir da lei de Coulomb: rrqQ

Fr

341πε

= , determine o campo elétrico de uma carga puntiforme Q. .

Resposta: rrQ

E34

1πε

=

4) O conjunto das 4 cargas elétricas produz no ponto P um campo elétrico nulo. Retirando-se a carga elétrica positiva (2), como será representado o campo elétrico neste ponto P?

5) À partir do campo elétrico de uma carga puntiforme, determine o campo elétrico devido a um dipolo de

cargas (dipolo = conjunto de 2 cargas elétricas q, iguais em módulo e de sinais contrários, distantes entre si de 2a) num ponto sobre a mediatriz do segmento que une as cargas. Mostre que, se r >> a, esse campo

decresce com r3. E que, se r = 0, 2a2

qE

πε= .Resp.:

( ) 23

22 ra2

qaE

+πε= , paralelo à linha que une as cargas.

6) À partir do campo elétrico de uma carga puntiforme, determine o campo elétrico de uma linha muito longa

carregada uniformemente com uma densidade linear de cargas λλλλ. Resp.: r2

Eπελ

= , perpendicular à linha.

7) À partir do campo elétrico de uma carga puntiforme, determine o campo elétrico no ponto P gerado pela linha finita carregada uniformemente com uma densidade linear de cargas λλλλ, para as seguintes situações:

a. z1 = z2 = a (a = constante)

b. z1 = a e z2 = b (a, b constantes)

Respostas: a) ; b) 8) À partir do campo elétrico de uma linha infinita, determine o campo

elétrico gerado por uma tira de largura b, comprimento infinito e espessura desprezível, carregada uniformemente com uma densidade superficial de cargas σσσσ, num ponto P situado no plano da tira, a uma distância d de sua extremidade, nas seguintes situações:

a. P está fora da distribuição de cargas; b. P esta no interior da distribuição de cargas.

P . (E=0)

1

3

2

4

Resposta:

E

P r

z1

z2

λλλλ

2

P P

d d

D

σσσσ R

9) À partir do campo elétrico de uma carga puntiforme, determine o campo elétrico de 1 espira circular de raio

R, com uma carga elétrica distribuída homogeneamente com densidade linear λλλλ, num ponto do eixo da espira. Mostre que, se r >> R (r é a distância do ponto sobre o eixo da espira ao seu centro), esse campo decai com 1/r2, ou seja, esse campo passa a ser o de uma carga puntiforme concentrada no centro da espira.

Resposta: ( ) 2

322

O rR2

RrE

+ε

λ= , direção: eixo da espira

10) À partir do campo elétrico de uma espira circular, determine o campo elétrico gerado por um plano infinito,

carregado com uma densidade superficial homogênea de cargas σσσσ. Resp: ε

σ=2

E , perpendicular ao plano.

11) À partir do campo elétrico de uma espira circular, determine o campo elétrico gerado por um disco de raio interno a e raio externo b, carregado com uma densidade superficial homogênea de cargas σσσσ, num ponto do eixo do disco. Resposta:

12) À partir do campo elétrico de uma espira circular, determine o campo elétrico gerado por uma casca cilíndrica de raio R e comprimento D, carregada com uma densidade superficial de cargas σσσσ, num ponto P do eixo da casca cilíndrica que se encontra:

a. fora da casca, a uma distância d da extremidade mais próxima:

b. dentro da casca, a uma distância d de uma das extremidades. Respostas: a) b) 13) À partir do campo elétrico de uma espira circular, determine o campo elétrico de um disco de raio R,

carregado com uma densidade superficial homogênea de cargas σσσσ, num ponto no eixo do disco (vide problema 11). Posteriormente, com esse resultado determine o campo elétrico gerado por um cilindro maciço de raio R e comprimento D, carregado com uma densidade volumétrica de cargas ρρρρ, num ponto P

do eixo do cilindro que se encontra (vide figura do problema anterior):

+−=

22

112 rRrr

Eo

disco εσ

a. fora do cilindro, a uma distância d da extremidade mais próxima; Respostas: a) Efora = b. dentro do cilindro, a uma distância d de uma das extremidades. b) Edentro=

14) Uma haste fina, não condutora é encurvada de modo a formar um arco de circunferência de raio a, subentendendo um ângulo central θθθθo. Distribui-se uniformemente em toda a sua extensão uma carga total q. Determine a intensidade do campo elétrico no centro da circunferência, em função de a, q, θθθθo, εεεεo.

θθθθo a

q Resposta:

( )oo

o

aqsen

Eθπε

θ222

=

d d P P

b

σσσσ Respostas:

a)

+πεσ

=db

1ln2

E fora

b)

−πεσ

=db

1ln2

E eriorint

3

a σσσσ

15) Uma taça hemisférica não condutora, de raio interno a, acha-se uniformemente carregada em sua superfície interna com uma densidade superficial de cargas σσσσ. Determinar o campo elétrico no seu centro de curvatura.

FLUXO ELÉTRICO - LEI DE GAUSS

16) À partir da definição de que a densidade de linhas de força (número de linhas de força por unidade de área)

que atravessam uma superfície perpendicular à direção do campo elétrico é, em cada ponto, numericamente igual à intensidade do campo elétrico, determine o número de linhas de força (ou linhas de campo elétrico)

geradas por uma carga puntiforme q. Resposta: 9

o

1036q

N π=ε

=

17) Calcule o valor do fluxo elétrico de um campo elétrico uniforme E, através de uma superfície semi-esférica de raio R, cujo eixo é paralelo ao campo. Resposta: Φ = πR2E

18) Uma superfície plana de área A, está inclinada de tal maneira que sua normal forma um ângulo θθθθ com um campo elétrico uniforme E. Calcule o valor do fluxo elétrico através desta superfície. R) Φ = EAcosθ

19) Uma carga puntiforme q está colocada no centro de um cubo de aresta a. Qual o valor do fluxo elétrico para cada um dos lados do cubo? Resposta: Φ = q/6ε

20) Uma carga puntiforme q está colocada no centro geométrico de um cilindro de altura h e bases cilíndricas de raios R. Calcule o fluxo do campo elétrico produzido pela carga q através: Respostas:

a. De uma das bases do cilindro; a) b. Da superfície lateral do cilindro. b)

21) As componentes do campo elétrico, na figura, são: Ex = bx1/2; Ey = Ez = 0, com b = 800 N/(C.m1/2). Det.: a. O fluxo elétrico através do cubo de lado a = 10 cm, da figura; b. A carga elétrica no interior do cubo.

Respostas: a) ( ) C/Nm1,112ba 225

≅−=Φ ; b) εoφ = 9,9x10-12 C 22) A superfície gaussiana A da figura envolve as cargas q1 e q2. E1, E2 e E3 são os vetores campos elétricos

das cargas q1, q2 e q3, respectivamente, e E é o campo elétrico resultante. Determine:

a. ∫ •A

AdE1 d. ∫ •+A

AdEE )( 21

b. ∫ •A

AdE 2 e. ∫ •A

AdE

c. ∫ •A

AdE 3

23) Calcule o fluxo do campo elétrico, através da área lateral da superfície cilíndrica, gerado pelo: a. fio semi-infinito; b. fio finito; c. fio infinito, utilizando os resultados dos itens a) e b); d. Mostre que esse resultado (item c) é idêntico ao obtido pela lei de Gauss: oint

ciltotal.Sup

/qSdE ε=•∫

Respostas: a) ( )[ ]22

2HRHR

o

+−+ελ

; b) [ ]RHRo

−+ 2222ελ

; c) o

Hελ

24) Agora utilizando a lei de Gauss, determine novamente o campo elétrico de: a. Uma carga puntiforme q;

Resposta:

εσ

=4

E , no eixo da semi-esfera

q3

q1 q2

A Respostas: a) q1/εo b) q2/εo c) 0 d) (q1+q2)/εo e) (q1+q2)/εo

x

z

y a a

a a

4

θθθθ R

b. Uma linha infinita de cargas, carregada com densidade λλλλ; c. Um plano infinito carregado com uma densidade superficial σσσσ;

25) Utilize a lei de Gauss para demonstrar que toda a carga elétrica em um condutor em equilíbrio eletrostático se encontra na superfície do condutor.

26) Utilize a lei de Gauss para demonstrar que o campo elétrico nas proximidades de um condutor em equilíbrio eletrostático é o dobro do campo elétrico nas proximidades de um plano infinito carregado com a mesma densidade superficial de cargas.

27) Qual deve ser a densidade superficial e o sinal da carga elétrica distribuída uniformemente numa superfície esférica de raio R para que o campo elétrico seja nulo em todo ponto de uma casca esférica de raio r (r>R), concêntrica à de raio R, estando situado no centro comum das cascas esféricas uma carga q pontual? .

Resposta: 2R4

qπ

=σ , de sinal contrário ao da carga q pontual

28) Tem-se uma distribuição de cargas com densidade volumétrica uniforme ρρρρ, numa região esférica de raio interno a e raio externo b. Determine o campo elétrico: Respostas:

a. Fora desta distribuição de cargas (r>b); a) b. No interior desta distribuição de cargas (a<r<b); b) c. Dentro desta distribuição (r<a). c) zero.

29) Um cilindro condutor longo, portando uma carga total +q por unidade de comprimento, é circundado por uma casca condutora cilíndrica, coaxial, de carga total –2q por unidade de comprimento.

Determine o campo elétrico: Respostas: a. Fora da casca condutora: a) b. Entre a casca e o cilindro; b) c. Dentro do cilindro. c) zero.

30) O fio semi-circular de raio R, contém uma distribuição linear de cargas λλλλ. Determine a carga total no fio e o campo elétrico no centro do circulo (x=0; y=0), para as seguintes situações:

a. λ = a/x (a > 0, constante); b. λ = a/y (y ≠ 0); c. λ = a.cosθ; d. λ = a.senθ;

31) Determine a carga elétrica total da distribuição esférica

volumétrica de cargas da figura, nas seguintes situações: a. ρ = a.r (a > 0, constante) Respostas: a) b. ρ = a/senθ ; (θinicial = 0) b) c. ρ = a.cosθ ; (θinicial = 0) c)

32) Considerando o cilindro longo, determine: a. a carga elétrica por unidade de comprimento (λ = Q/h) da distribuição

volumétrica cilíndrica da figura com ρ = a.r (a > 0, constante); b. o campo elétrico, dentro e fora desta distribuição de cargas.

33) À partir da lei de Gauss, obtenha a lei de Coulomb. 34) Modelo atômico de Thompson: A carga positiva dos átomos estava distribuída por todo o volume do átomo

(pudim de ameixas ou geléia de passas). Se o raio do átomo é de 1,0x10-10 m, calcule o valor do campo elétrico na superfície de um átomo de ouro (Z=79), com base nesta hipótese (incorreta), desprezando o efeito dos elétrons. Faça o gráfico do campo elétrico em função da distância ao centro do átomo. Resposta: 1,1x1013 N/C

Respostas:

a) ∫

π

π−

θθ−=2

2

dsecaQ )i(R4

aE

20

rr−

ε=

b) Q = 0 )j(R4

aE

20

rr−

ε=

c) d)

R

ρρρρ Respostas: a) 3aR32

hQ

π=

b) 0

2

dentro 3ra

Eε

= r3

RaE

0

3

fora ε=

Dica: em coordenadas cilíndricas: dV = r dr dθ dz

x

y

θθθθ

R

λλλλ

535) Átomo de Rutherford (átomo com núcleo): Para o ouro, o raio do núcleo é aproximadamente 6,9x10-15

m. calcule o valor do campo elétrico na superfície do núcleo e compare-o com o do modelo de Thompson. . Resposta: 2,4x1021 N/C

POTENCIAL ELÉTRICO

36) Uma carga q se desloca, sem aceleração, do ponto A até o ponto B, seguindo o caminho indicado na figura. calcule a d.d.p. entre os pontos A e B. Resposta: VB – VA = Ed

37) Determine o potencial gerado por: a. uma carga puntiforme q, em todo ponto do espaço; b. duas cargas puntiformes q1 e q2, num ponto do espaço que dista

r1 da carga q1 e r2 da carga q2; c. um conjunto discreto de n cargas puntiformes, num ponto

qualquer do espaço. .................................................................... .

Respostas: a)rq

K)r(V = ; b)

+=

2

2

1

1

rq

rq

KV ; c) ∑==

n

1i iir

qKV

38) Determine a d.d.p. entre os pontos A e B devido a uma linha infinita carregada com uma densidade linear λλλλ, o ponto A dista rA e o ponto B dista rB da linha (rA > rB). Verifique se o potencial referência pode ser

tomado sobre a linha, ou no infinito. Resposta: B

A

oAB r

rVV ln

2πελ

=−

39) Determine o potencial elétrico devido a uma espira circular de raio R, contendo uma carga elétrica distribuída uniformemente com densidade linear λλλλ, num ponto situado:

a. no eixo da espira a uma distância r do seu centro; b. no centro da espira; c. num ponto muito longe do centro (r>>R).

40) À partir do potencial da espira circular, determine o potencial para os pontos do eixo de um disco de raio R, com densidade superficial de cargas σσσσ; com um furo de raio a no centro. Analise as situações em que o disco não esteja furado; o ponto se encontra muito longe do centro do disco, e se é possível tomar como referência do potencial o

centro do disco. Resposta: ( )2222

2rarRVdisco +−+=

εσ

41) Determine o potencial elétrico num ponto P, distante a do centro de uma esfera metálica de raio R, carregada uniformemente com uma carga q, para:

a. pontos dentro da esfera (a<R); b. pontos fora da esfera (a>R); c. pontos na superfície da esfera (a=R). d. Esboce um gráfico deste campo elétrico em toda região.

42) Determine a energia potencial elétrica de um sistema de: a. 2 cargas elétricas q1 e q2, separadas por uma distância r; b. 3 cargas elétricas, q1 = -4q, q2 = +q e q3 = +2q, dispostas nos vértices de

um triângulo eqüilátero de lado a. 43) Desenhe as superfícies equipotenciais de:

a. cargas puntiformes; b. 2 cargas puntiformes de mesmo módulo, de sinais iguais e de sinais contrários; c. uma linha infinita de cargas; d. um plano infinito de cargas; e. dois planos finitos e paralelos, carregados com a mesma densidade de cargas, de sinais contrários; f. de um condutor com formato qualquer, carregado com uma determinada carga.

44) À partir do potencial elétrico de uma carga puntiforme (V=Kq/r), calcule o campo elétrico desta carga.

.

A

B

45o

q

.

E d

Respostas: a)22 rR2

R)r(V

+ε

λ=

b)V(r=0)=ε

λ2

c)V(r>>R)=r2

R

ε

λ=

rQ

41 ernaint

oπε

Respostas: a) V(a<R) = Kq/R b) V(a>R) = Kq/a c) V(a=R) = Kq/R

Respostas: a) U = Kq1q2/r b) U = -10Kq2/a

6

y

x r

p θθθθ

Q

x

y

45) À partir do potencial elétrico de uma linha infinita de carga ( Cterln2

V +πελ

−= ), calcule o campo elétrico

desta linha. 46) O ponto Q da figura está muito afastado de um dipolo de momento

p. O potencial elétrico deste dipolo é 2r4

cospV

πε

θ= . Determine o

campo elétrico deste dipolo em função da posição do ponto Q.

Resposta: ( ) ( )

j

yx

y2x4p

i

yx4

pxy3E

25

22

22

25

22 +

−πε

−

+πε

=

47) Carregam-se duas esferas condutoras de raios R1 e R2, com cargas elétricas q1 e q2, respectivamente, de forma a que ambas atinjam o mesmo potencial elétrico nas superfícies das esferas. Ligando-as, agora, por um fio de resistência desprezível, determine a relação entre as densidades superficiais dessas esferas (σσσσ1/σσσσ2).

Resposta:1

2

2

1

RR

=σσ

48) Um espira de raio R está carregada elétricamente com uma densidade linear de carga λλλλ = Csenϕϕϕϕ, onde C é uma constante e ϕϕϕϕ é o ângulo central. Dado [sen2θ = ½(θ – senθ cos θ)], determine:

a. a intensidade do campo elétrico nos pontos do eixo do anel à distância z do seu centro;

b. O potencial nos mesmo pontos para V(infinito) = 0; c. A d.d.p. entre dois pontos no eixo da espira.

Respostas: a) ( )

j

zR4

CRE

23

22

2

+ε

−= ; b) V = 0; c) 0.

49) Se a densidade de carga de uma superfície plana for σσσσ = 1,0x10-7 C/m2, qual será a separação entre 2 superfícies equipotenciais correspondentes a uma d.d.p. de 5 V? Resposta: ∆l = 0,89 mm

50) Uma carga puntual +q é envolvida por uma casca esférica metálica de raios a e b, carregada com uma carga elétrica +2q. Calcule e esboce o gráfico da distribuição do campo elétrico e o do potencial elétrico, segundo uma direção radial a partir do centro. Como está distribuída a carga na casca esférica? (Fixe em zero o

potencial no infinito). Respostas: 2

o)ar(

r4

qE

πε=< ; 0E )bra( =<< ;

2)( 43rq

Eo

br πε=> ;

+−

+πε

=< b3

a1

r1

4q

Vo

)ar( ; R4

q3V

o)bra( πε

=<< ; r4

q3V

o)br( πε

=>

CAPACITORES E DIELÉTRICOS 51) Determine a capacitância de um capacitor:

a. de placas planas e paralelas, de área A e distância d entre elas; b. esférico, constituído de 2 esferas metálicas concêntricas de raios rA e rB (rA > rB); c. cilíndrico, constituído por 2 cilindros coaxiais de comprimentos l e raios rA e rB (rA > rB).

Respostas: a) dA

C o.par.pl.pl ε= ; b) BA

BAoesférico rr

rr4C

−πε= ; c)

B

A

ocilindrico

rr

ln

l2C

πε=

52) Determine a energia acumulada num capacitor em função: a. da capacitância C, da carga Q e da d.d.p. V deste capacitor; b. do campo elétrico E neste capacitor, de sua área A e distância d entre as placas.

Respostas: a) 222

22 QVCVCQ

U === ; b) AdE21

U 2oε=

R

y

x

z

ϕϕϕϕ

753) Aproveite o exercício anterior para determinar a densidade de energia (energia por unidade de volume)

acumulada num capacitor qualquer. Resposta: µ = εoE2/2 54) Seja um condutor esférico isolado, de raio R, com carga Q. Det. a energia acumulada em todo o espaço:

a. utilizando a expressão do item a do problema 52; b. utilizando a expressão do item b do problema 52; c. deduzindo diretamente este resultado mediante o trabalho realizado para

trazer a carga do infinito e colocá-la no condutor. 55) Um capacitor esférico tem a esfera interna de raio R1 com a carga +Q e a esfera externa, concêntrica, com

raio R2 e carga –Q. a. Calcule o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto do espaço; b. Qual a energia no volume duma camada esférica, entre os 2 condutores, com raio r e espessura dr? c. Calcule a energia total no capacitor, integrando a expressão obtida em b) e compare o resultado com

o que se obtém por U=QV/2; d. Qual o raio de uma superfície esférica, concêntrica ao condutor, que armazena metade dessa

energia?

Respostas: a) 2

oentre

r4

QE

πε= ,

4o

2

2

r32

Q

επ=µ ; b)

2o

2

r8

drQdU

πε= ; c)

−

πε=

21o

2

R1

R1

8Q

U ; d) R1/2 =

56) Considere o capacitor de placas planas e paralelas, com área A e distância d entre elas, com os dielétricos de constantes dielétricas k1, k2 e k3, conforme figura. Ele é ligado à fonte que fornece um potencial Vo. Nesta situação (capacitor ligado à fonte) determine

a. a capacitância do capacitor; b. a carga no capacitor.

Desliga-se o capacitor da fonte. E, depois, retira-se o dielétrico k2. Nesta nova situação determine:

c. a nova capacitância do capacitor; d. a nova carga elétrica do capacitor; e. a nova d.d.p. entre as placas do capacitor; f. a energia potencial elétrica armazenada no capacitor. g. a carga elétrica e a d.d.p. em cada um dos 3 capacitores (q1, q2, q3, V1, V2, V3).

Respostas: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 57) Repita o problema anterior, só que ao invés de retirar o dielétrico k2 com a fonte desligada, primeiro retire o

dielétrico k2, para depois desligar a fonte. Respostas: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g)

58) Coloca-se um capacitor de capacitância C em cada uma das arestas de um cubo. Determine a capacitância resultante desta associação de capacitores, entre dois pontos:

a. da diagonal do cubo; b. da aresta do cubo, sendo que todas as capacitâncias são iguais à C.

59) Circuito RC: A figura representa um circuito contendo um capacitor C e um resistor R ligados em série. Ao se ligar o circuito à fonte que fornece um potencial Vo, carrega-se o capacitor. Colocando-se em curto as extremidades do circuito, o capacitor se descarrega. Considerando Qo como a máxima carga no capacitor, Io como a máxima corrente no circuito, determine as expressões em função do tempo t (e faça gráficos delas) para a carga q no capacitor, para a d.d.p. VC no capacitor e no resistor VR, para a corrente I no circuito, nas situações de carga e de descarga do capacitor.

Respostas: Carga: q(t) = Qo(1-e-t/RC), i(t) = Io e-t/RC, VC(t) = Vo(1-e-t/RC), VR(t) = Vo e-t/RC Descarga: q(t) = Qoe-t/RC, i(t) = -Io e-t/RC, VC(t) = Voe-t/RC, VR(t) = -Vo e-t/RC

Resultados:

a) = b) = c) = R8

Q

o

2

πε

/\/\/\/\/\ R C

Vo

k2

k1

k3

2A/3 2d/3

Resultados: a) b)

Al

Cu

Lista de exercícios ELETRODINÂMICA

60) Considerando que o material de densidade ρρρρ (massa/volume) e mol M fornece apenas 1 elétron de condução por átomo, determine:

a. a densidade de elétrons de condução n (número de elétrons de condução / unidade de volume). Seja No o número de Avogadro;

b. a velocidade de arrastamento dos portadores vd nesse material, sendo j a densidade de corrente (corrente / unidade área).

61) Um fio de alumínio de 0,25 cm de diâmetro tem seus extremos soldados

num fio de cobre cujo diâmetro é igual a 0,16 cm. Por este fio composto passa uma corrente de 10 A. Determine:

a. o valor da densidade de corrente em cada fio; b. o valor da velocidade de arrastamento (vd) para o fio de cobre,

sendo ρCu = 9,0g/cm3, massa atômica do Cu = 64g/mol e cada átomo de cobre liberando 1 elétron de condução.

Respostas: a) jAl = 204 A/cm2; jCu = 500 A/cm2; b) 3,75x10-2 cm/s 62) Um gerador de f.e.m. εεεε, e resistência interna r é ligado aos terminais de um rádio. Determine:

a. A corrente elétrica no rádio, quando nele é aplicado a máxima potência útil; b. A máxima potência útil que esse gerador pode liberar para o rádio; c. A d.d.p. aplicada ao rádio quando o gerador estiver na situação de máxima Potência útil; d. O rendimento do gerador nesta situação (potência máxima).

Sugestão: Faça o gráfico de ixPútil .

Respostas: a) r2i ε= ; b) r4P2máxima

útilε= ; c) 2V ε= ; d) η = 50%

63) Determine a intensidade e o sentido da corrente elétrica em todos

os elementos do circuito da figura. 64) Um gerador de f.e.m. εεεε = 40V e resistência interna r = 3 ΩΩΩΩ está

ligado a um fio de resistividade ρρρρ = 10x10-5 ΩΩΩΩ.m, e área de secção transversal A = 2x10-4 m2. Para se medir a corrente elétrica, foi acoplado ao circuito um amperímetro de resistência RA = 1 Ω Ω Ω Ω e com fundo de escala de 10 A (máxima corrente pelo amperímetro). Determine:

a. Quanto marca o amperímetro quando d = 2m; b. A potência dissipada no comprimento d do fio quando a

densidade de corrente for 2x104 A/m2; c. O rendimento do gerador quando a corrente no

amperímetro é máxima. Respostas: a) i = 8 A; b) Pd = 96 W; c) η= 25

65) Um certo número de lâmpadas, cada uma de resistência R = 40 ΩΩΩΩ, são conectadas em paralelo a um gerador

de f.e.m. εεεεg = 20 V e resistência interna rg = 4 ΩΩΩΩ, que também fornece energia ao motor de f.c.e.m. εεεεM = 4 V e resistência interna rM = 2 ΩΩΩΩ. Pelo gerador passa a corrente i1 = 3 A. Calcule:

a. O número de lâmpadas; b. O rendimento do motor; c. A potência dissipada em cada

lâmpada. Respostas: a) 5 lâmpadas; b) η = 50%; c) Pd = 1,6 W.

Respostas: a. n = ρ No / M; b. vd = j / (ne)

/\/\/

+

-

r2

εεεε2

/\/\/

+

-

r1

εεεε1

/\/\/\

/\ R

/\/\/\

d

/\/\/\

RA

A εεεε r

/\/\/\

/\/\/\

εεεεg rg

rM

εεεεM

i1 X R X R X R X R . . . .

66) No circuito representado abaixo, a fonte ideal de f.e.m. εεεε fornece energia elétrica a 3 fios (A, B e C) de materiais diferentes, conectados em série. Os comprimentos, áreas de secções transversais e resistividades dos fios estão listados na tabela abaixo. Sendo o campo elétrico no interior do fio A igual a 4 V/m, calcule:

a. A resistência elétrica equivalente da associação de fios; b. A corrente elétrica em cada segmento do fio; c. A f.e.m. da fonte ideal d. O campo elétrico no interior do fio B.

A B C L (m) 1 2 3 A (mm2) 2 4 5 ρρρρ (10-6 ΩΩΩΩ.m) 1,0 3,0 5,0

Respostas: a) Req = 5 Ω; b) i = 8 A; c) ε = 40 V d)

67) No circuito da figura, ε1 = 23 V; ε2 = 10 V; r1 = 1 Ω; r2 = 2 Ω; R1 = 2 Ω e R2 = 14 Ω. Determine:

a. A corrente que atravessa cada resistor; b. A d.d.p. entre os pontos A e B; c. O rendimento do gerador de f.e.m. ε1.

Respostas: a) i1 = 3 A; i2 = 2 A; i3 = 1 A; b) zero; c) η = 86,9 %

68) Ogerador do circuito alimenta o motor M e uma lâmpada RL. As características são:

Gerador: εg = 250 V; rg = 4 Ω; ig = 10 A. Motor: rM = 4 Ω; Ptotal = 1680 W; máxima d.d.p. suportada = 215 V.

Determine: a. A corrente no motor; b. A resistência da lâmpada; c. O rendimento do motor; d. Verifique se o motor será danificado caso

ocorra a queima da lâmpada (ruptura do filamento).

Respostas: a) i = 8 A; b) RL = 105 Ω; c)ηM = 85 %; d) V = 214 V (não será danificado) 69) No circuito esquematizado são dados:

• Leitura no voltimetro ideal: V = 32 V; • Leitura no amperimetro ideal: A = 4 A; • R1 = 2 Ω; • R2 = 25 Ω; • rM = 5 Ω; • i3 = 2 A.

Sendo VB > VA, determine: a. a d.d.p. no resistor R1; b. a d.d.p. aplicada ao motor; c. a f.c.e.m. (εM) do motor; d. a energia dissipada no resistor R2 por efeito Joule em 4 segundos; e. a constante dielétrica do capacitor C, sabendo-se que a carga elétrica armazenada neste capacitor

(com este dielétrico) é o quintuplo da carga armazenada nele sem o dielétrico. Respostas: a) V1 = 8V; b) VM = 40 V; c)εM = 30 V; d) Vd = 1600 J; e) k = 5.

A B

C

εεεε

/\/\/

+ -

rg

εεεεg

/\/\/\/\ RL

/\/\/ rM

ΜΜΜΜ ig

/\/\/

+ -

r1

εεεε1

/\/\/\/\ R1 rM

i3

/\/\/

+

-

r2

εεεε2 C

/\/\/\

i1

A

/\/\/\/\ R2

εεεεM

/\/\/\

R3

V

. . A B

/\/\/\/\

/\/\/

+ -

r1

εεεε1

/\/\/\/\ R1 R2

/\/\/

+ -

r2

εεεε2

A

B

.

.

i i

a a

3a

Região I

Região II Região III

A

C

D F

v

2v

BIII X

ELETROMAGNETISMO

CAMPO MAGNÉTICO 70) A indução magnética da Terra tem a grandeza de 0,6 G, e é dirigida, num certo ponto da Terra, para baixo,

fazendo um ângulo de 70o com a horizontal. (No Brasil a direção do campo magnético da Terra é para Norte e para cima, com um ângulo da ordem de uns 15o com a horizontal). Um próton se move horizontalmente para o Norte com velocidade de 107 m/s. Calcule a força sobre o próton.

Resposta: 9,02x10-17 N; perpendicular ao plano formado por v e B; de Leste para Oeste. 71) Uma indução magnética B, de módulo igual a 1,5 Weber/m2, aponta horizontalmente do Sul para o Norte.

Qual o valor da força que atuará sobre um próton de 5 MeV que atravessa este campo movendo-se verticalmente de cima para baixo? (mp = 1,7x10-27 Kg).

Resposta: 7,4x10-12 N; perpendicular ao plano formado por v e B; de Oeste para Leste. 72) A figura representa a trajetória de uma partícula de massa m e carga elétrica q (negativa). AC e CD

correspondem respectivamente a arcos de circunferências de raios indicados na figura. A partícula penetra com velocidade v na região I e emerge pelo orifício F com velocidade 2v. Em cada uma das regiões existem campos magnéticos uniformes, perpendiculares ao plano da figura, sendo que na região III o campo magnético está entrando no plano do papel e possui intensidade BIII . Determine: a) o módulo, direção e sentido do campo magnético

na região I. Explique; b) a relação entre as intensidades dos campos magnéticos nas

regiões I e II (BII / BI); c) a relação entre as freqüências da partícula nas duas regiões (fII/f I); d) a velocidade da partícula ao penetrar na região III. Explique; e) Esboce o campo elétrico na região III. Explique. Respostas: a) b) c) d) e)

73) Uma partícula de massa m, carregada eletricamente com uma carga elétrica +Q,se encontra numa região de

campo magnético uniforme B . Essa partícula, no instante t0, está com uma velocidade 0v , perpendicular

ao campo magnético. À medida que ela se desloca, atrita-se com o ar da região, de forma que sua velocidade vai se reduzindo de acordo com a expressão: v = v0 – kt (k = constante).

a. Esboce a trajetória que esta partícula percorrerá a partir do instante inicial t0; b. Qual o raio dessa trajetória para o instante t´?; c. Que freqüência terá este movimento?; d. Em que instante esta partícula parará (t(v=0))?; e. Quantas voltas ela percorrerá até parar?; f. O que acontecerá (que trajetória descreverá?) com esta partícula após o instante do item d (t(v=0))?.

74) Um fio dobrado conforme a figura, percorrido por uma corrente i, é colocado num campo magnético

definido por uma indução uniforme B, perpendicular ao plano da figura e saindo do papel. Determine a força magnética sobre este fio, e a compare com a força magnética que apareceria no fio caso ele fosse retilíneo de comprimento (2l+2R). Resposta: 2iB(l +R); para baixo, no plano que contém o fio.

X X X X X X X X X X X X X X X X

. Q

v0 Respostas:

a) b) ( ),0 ktv

QB

mR −= c)

m

QBf

π2=

d) ( ) k

vt ov

0== e) mk

QBvN

π20= f) ficará parada

R N

i

m

llll

θθθθ

75) Um fio de metal de massa m pode deslizar sobre dois trilhos separados por uma distância d, percorridos por uma corrente i (mantida pelo gerador G), colocados horizontalmente num campo magnético vertical de indução B, e sendo µµµµ os coeficientes de atrito entre o fio e os trilhos. Determine a velocidade do fio em função do tempo, supondo que ele esteja em repouso no instante t = 0.

76) Efeito Hall : Uma tira de cobre de d = 2,0 cm de largura e llll = 1,0 mm de espessura é colocada num campo

magnético B = 1,5 W/m2, perpendicular ao plano da tira. Qual o valor da d.d.p. do efeito Hall quando a tira é percorrida por uma corrente i = 200 A? Respostas: nCu = 8,4x1028 m-3; VH = 22 µV

TORQUE 77) A figura mostra uma espira quadrada de lado a e massa

desprezível, podendo girar livremente em torno do eixo x. Nesta região existe um campo magnético uniforme de intensidade B, na direção e sentido do eixo z. O plano da espira forma um ângulo θθθθ com o plano xz, e no centro do lado CD da espira é colocada uma massa m. Determine

a) o módulo e sentido da corrente elétlrica que deve percorrer a espira para que ela fique em equilíbrio na posição mostrada na figura. Justifique;

b) o vetor torque magnético (mód., dir., sent.) na condição do ítem a.

78) A figura mostra um cilindro de madeira de massa m, raio R e

comprimento llll, ao longo do qual foram dadas N = 10 voltas com um fio condutor de modo a fazer uma bobina retangular cujo plano contém o eixo do cilindro. O cilindro é colocado sobre um plano inclinado de um ângulo θθθθ em relação à horizontal, de modo que o plano da bobina seja paralelo a este plano inclinado. Qual será o menor valor da corrente i capaz de impedir o cilindro de rolar, na presença de uma indução magnética vertical B?

Resposta: BN2

mgi

l=

A LEI DE BIOT-SAVART 79) Determine o campo magnético nas proximidades de um fio longo,

percorrido por uma corrente i, utilizando a lei de Biot-Savart.

Resposta: d2

iB o

πµ

= ; direção: de cascas cilíndricas com centro no fio;

sentido: colocando-se o dedão da mão direita no sentido da corrente, os outros dedos indicarão, em cada ponto, o sentido da corrente.

G

i

i

m d B Resposta: tg

m

iBdv

µ−= ;

paralela aos trilhos; da direita para a esquerda na figura.

m

a

a

x

z

y

B

A

B

C

D

θθθθ

I I

b

c

80) Determine a interação (força por unidade de comprimento) entre dois condutores retilíneos, paralelos, muito longos, separados por uma distância d, nos quais passam as correntes i1 e i2, ambas de mesmo sentido. . . . .

. . Respostas: Atraem-se mutuamente com d2

iiF 21o

πµ

=l

81) Determine o campo magnético de uma corrente i, que circula por uma espira de raio R:

a. no centro desta espira. Resposta: R2

iB oµ

= ; paralelo ao eixo da espira.

b.num ponto do eixo da espira, distando d do centro da espira.

( ) 23

22

2o

dR2

iRB

+

µ= ; paralelo ao eixo.

82) Um disco de plástico de raio R possui uma carga total q distribuída uniformemente em sua superfície. Se o disco gira em torno do seu eixo com uma velocidade angular ωωωω:

a) mostre que a indução magnética no centro do disco é R2

qB o

πωµ

= . Sugestão: O disco em rotação é

equivalente a um conjunto de espiras de correntes, cujos raios variam de 0 a R. b) Determine a indução magnética num ponto no eixo do disco a uma distância r do centro. R)

83) Determine o campo magnético de uma espira quadrada de lado a, percorrida por uma corrente i:

a. no centro da espira; R) a)

πµ

= 22a

iB o

total ;

b. num ponto no eixo da espira a uma distância r do centro. b)

84) Determine o campo magnético de um solenóide de comprimento llll, contendo N espiras, percorrido por uma corrente i, num ponto do eixo do solenóide:

a. no interior do solenóide; b. na extremidade do solenóide.

85) Um solenóide tem um comprimento de 1,0 m e um diâmetro médio de 3,0 cm. Ele é composto de um enrolamento de 5 camadas superpostas de 850 espiras cada uma, percorridas por uma corrente de 5 A. Det.

a. o valor de B no centro do solenóide; b. o valor do fluxo magnético para uma secção reta localizada no centro do solenóide. Respostas: a) B = 2,7x10-2 W/m2; φ = 1,9x10-5 W.

86) Um tubo de comprimento d, muito fino, é colocado ao longo de um eixo y, com uma das suas extremidades na origem deste eixo, conforme figura. Através do tubo passa um gás que vai se ionizando por atritar-se com as paredes deste tubo. O atrito é de tal forma que se pode considerar o fenômeno como se pelo tubo passasse uma corrente elétrica i que variasse da forma i = a.y. Determine o campo magnético (módulo, direção e sentido que essa corrente gera no ponto P da figura.

Resposta: ( ) ( )[ ]

−+−

+=

21

2221

22

0 11

4 cdbcb

abB

πµ

; entrando na página.

LEI DE ÂMPERE 87) Agora, utilizando a lei de Âmpere, determine novamente o campo magnético nas proximidades de um fio

longo, percorrido por uma corrente i. Resposta: d2

iB o

πµ

=

88) Determine o campo magnético no interior de um toróide com N espiras percorridas por uma corrente I .

Resposta: r2

INB o

πµ

=

89) Determine o campo magnético, em todo o espaço, de uma linha de transmissão coaxial, conforme figura, com uma corrente I , uniforme, percorrendo o condutor central (de raio a) e uma corrente –I percorrendo o condutor externo (com raios b e c).

Respostas: (n = N/l) a) Binterior = µoni b) Bextremidade = µoni/2

c

b

gás 0

d

y

i = a.y

P

Respostas: ra2

IB

2o

arπ

µ=≤ ;

r2

IB o

bra πµ

=≤≤ ;

−−

πµ

=≤≤ 22

22o

crbbc

rc

r2

IB ; Br≥c = 0.

90) Utilizando a lei de Âmpere, determine o campo magnético gerado por um plano em que flui uma corrente de densidade constante k (k é igual à razão da corrente pela largura da faixa em que flui essa corrente).

Resposta: B = µok/2; paralelo ao plano e ortogonal à direção da corrente. A LEI DE FARADAY - LENZ

91) A espira retangular de resistência elétrica R, comprimento a, e largura l, é puxada com velocidade constante v através de uma região do espaço de comprimento d, onde existe um campo magnético de indução uniforme B, conforme figura. Construa os gráficos do fluxo magnético, da f.e.m., da potência dissipada pelo efeito Joule, e da corrente elétrica através da espira, em função da posição x da espira.

92) Determine a f.e.m. que aparece entre os extremos de uma haste de comprimento llll movimentando-se com velocidade constante v, perpendicularmente a um campo magnético B. Resposta: ε = Blv

93) Determine a f.e.m. que aparece entre os extremos de uma haste de comprimento llll girando com velocidade angular constante ωωωω num campo magnético B, perpendicular ao plano de giro. Resposta: ε = Bωl2/2

94) Disco de Faraday: Um disco metálico de raio R, gira sobre seu eixo com velocidade angular ωωωω, num campo magnético B, perpendicular ao plano do disco. Determine a f.e.m. entre os pontos A e B (rA e rB, em relação ao centro do disco). Resposta: ε = Bω(rB

2-rA2)/2

95) Transformador : Qual a relação entre as f.e.m. dos enrolamentos primários e secundários de um

transformador, com relação aos números de espiras de seus enrolamentos? Respostas:2

1

2

1

N

N=

εε

96) A figura mostra 4 hastes metálicas muito finas (1, 2, 3 e 4) dispostas de maneira a formar a espira retangular com as dimensões representadas na figura. As hastes têm resistências desprezíveis, com exceção da haste 3 que apresenta uma resistência R no seu centro. O plano dessa espira contém os 2 fios muito longos, percorridos por correntes elétricas de intensidade i, de sentidos contrários. A distância entre os fios é d. Determine:

a) o fluxo magnético através da espira na posição representada na figura; b) o sentido da corrente induzida na espira, se as hastes 3 e 4 estiverem fixas e as hastes 1 e 2 afastarem-se

uma da outra. Justifique; c) a intensidade da corrente induzida na espira, se as hastes 1 e 2 permanecerem fixas e as hastes 3 e 4 d) aproximarem-se com velocidade relativa v; e) o torque magnético (mód., dir., sent.) sobre a espira nas condições do item c; f) explique, qualitativamente, como se pode conseguir, movimentando as hastes, que não apareça corrente

induzida resultante na espira ao se aumentar continuamente a corrente nos fios.

v

d

a

llll

x

B

i

/\/\

R

i

y

x

a

a

1

2

3 4

d

97) Um solenóide percorrido por uma corrente elétrica move-se sobre o eixo de uma espira condutora, conforme figura. Qual é o sentido do percurso da corrente elétrica induzida na espira (visto pelo observador da figura) quando:

a. o sentido da corrente (visto pelo observador) no solenóide é anti-horária e ele (solenóide) aproxima-se da espira?

b. o sentido da corrente no solenóide é anti-horária e ele (solenóide) afasta-se da espira? c. o sentido da corrente no solenóide é horária e ele (solenóide) aproxima-se da espira? d. o sentido da corrente no solenóide é horária e ele (solenóide) afasta-se da espira? e. o sentido da corrente no solenóide é horária e ele permanece fixo em relação à espira? Explique.

Respostas: a) horário b) anti-hor. c) anti-hor. d) horário e) zero. Não há variação de fluxo

INDUTÂNCIA 98) Um solenóide longo, de comprimento l e secção reta A tem N1 espiras. No meio do solenóide foi enrolada

uma pequena bobina com N2 espiras, conforme figura. a. Determine a indutância mútua entre os dois circuitos; b. Qual a f.e.m. induzida no circuito 2 quando a corrente no circuito 1 varia de I Âmperes p/ segundo?

Respostas: a) M = µoN1N2A/ l; b) IANN 21o

2l

µ−=ε

99) a. Determine a auto-indutância de um solenóide de comprimento llll = 10 cm, área de secção reta A = 5 cm2,

e de N = 100 espiras. a. Qual deve ser a taxa de variação da corrente no solenóide para que a f.e.m. seja εεεε = 20 V? b. Qual o sentido da f.e.m. auto induzida quando a corrente na bobina está aumentando?

Respostas: a) L=µoN2A/l=2πx10-5 henry; b) di/dt=-ε/L=-3,18x105 A/s; c)oposto ao da corrente.

100) O toróide da figura possui N espiras e é percorrido por uma corrente io. Determine, do toróide: a. O campo magnético no interior; b. O fluxo magnético através da secção reta; c. a auto-indutância.

Respostas: a) r2

iNB oo

πµ

= ; b)a

bln

2

iNh ooB π

µ=φ ; c)

a

bln

2

hNL o

2

πµ

=

101) Determine a indutância mútua entre um fio comprido e uma espira retangular no mesmo plano que cont ém o fio. Resposta:

a

bln

2

cM o

πµ

=

102) Dois fios iguais e paralelos, cujos centros estão separados por uma distância d, são percorridos por correntes iguais em sentidos opostos. Mostre que, desprezando o fluxo existente dentro dos próprios fios, a indutância

relativa a um comprimento l deste par de fios é dada por a

adlnL o −

πµ

=l

,

onde a é o raio dos fios.

Núcleo de ferro

N1

N2

llll A

a

b

c io

fonte

solenóide

espira Observador

ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 103) Sejam as bobinas de auto-indutância L 1 e L 2 e de indutância mútua M . Associando-as em série,

determine a auto indutância equivalente nas situações em que os fluxos através destes solenóides têm: a. o mesmo sentido; b. sentidos opostos.

104) Determine a auto indutância equivalente da associação das bobinas do exercício anterior em paralelo.

. Resposta: 2L

1

L

1

L

1

1+=

Respostas: a) L = L1+L2+2M; b)L = L1+L2-2M