Departamento de Física Aplicada III

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Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingenieros Ingeniería de Telecomunicación Campos Electromagnéticos Campos Electromagn ´ eticos. Bolet´ ın 1. Septiembre de 2009 1.1. Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cil´ ındricas y esf´ ericas (a) φ =(x 2 + y 2 + z 2 )/2 (b) φ = (2z 2 x 2 y 2 )/2 (c) φ =(z cos ϕ)(d) φ = cotg θ tg θ 1.2. Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cil´ ındricas y esf´ ericas: (a) A = r (b) B = y x 2 + y 2 u x + x x 2 + y 2 u y (c) C =2ρzu ρ (ρ 2 z 2 )u z (d) D = r tg θ u θ 1.3. Dados los vectores A = u ρ u z B =5u r + 12u θ evaluados en el punto de coordenadas cartesianas x =3, y =4, z = 12, calcule (a) A + B (b) A·B (c) A × B 1.4. Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares (a) φ = A·r (b) φ = r 2 (c) φ = A·r + r 2 d) φ = r 2 /(A·r) donde A es un vector constante y r es el vector de posici´ on. 1.5. Describa gr´ aficamente las superficies equiescalares de los campos (a) φ = x 2 + y 2 (b) φ = arctg x 2 + y 2 z (c) φ = x x 2 + y 2 1.6. Para los campos escalares (a) φ =(x 2 + y 2 + z 2 )/2 (b) φ = (2z 2 x 2 y 2 )/2 calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cil´ ındricas y esf´ ericas. 1.7. Si φ = φ(u), con u = u(r), demuestre que φ = dφ du u Encuentre φ si (a) φ = ln |r|, (b) φ = r n , (c) φ =1/|r r 0 |. 1.8. Halle el valor de la integral AdS con A = cotg θu r u θ y la superficie de integraci´ on una esfera de radio R centrada en el origen.

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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 1. Septiembre de 20091.1. Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2(c) φ = (z cos ϕ)/ρ (d) φ = cotg θ − tg θ

1.2. Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

(a) A = r (b) B = − y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

(c) C = 2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz (d) D = r tg θ uθ

1.3. Dados los vectoresA = uρ − uz B = 5ur + 12uθ

evaluados en el punto de coordenadas cartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule

(a) A + B

(b) A·B(c) A× B

1.4. Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

(a) φ = A·r (b) φ = r2 (c) φ = A·r + r2 d) φ = r2/(A·r)donde A es un vector constante y r es el vector de posicion.

1.5. Describa graficamente las superficies equiescalares de los campos

(a) φ = x2 + y2 (b) φ = arctg

(√x2 + y2

z

)(c) φ =

x√x2 + y2

1.6. Para los campos escalares

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

1.7. Si φ = φ(u), con u = u(r), demuestre que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentre ∇φ si (a) φ = ln |r|, (b) φ = rn, (c) φ = 1/|r − r0|.1.8. Halle el valor de la integral ∮

AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

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Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.2

1.9. Para los campos vectoriales

(a) A = r (b) B = −yux + xuy

(c) C = −xux − yuy + 2zuz (d) D = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilındricasy esfericas. ¿Cuales son irrotacionales y cuales solenoidales?

1.10. Para el campo vectorialA = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz

calcule su flujo a traves de las siguientes superficies cerradas:

(a) Un cubo de arista a, con un vertice en el origen y aristas aux, auy y auz.

(b) Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0y z = h.

(c) Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

Halle el flujo por integracion directa y por aplicacion del teorema de Gauss.

1.11. Para el campo vectorialA = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz

calcule su circulacion a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

(a) Un cuadrado de lado 2a, con vertices ±aux ± auy.

(b) Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas.

(c) Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas.

Halle la circulacion por integracion directa y por aplicacion del teorema de Stokes.

1.12. Demuestre que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B·∇)r = B (B ×∇)·r = 0 (B ×∇) × r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestre que

∇(B·r) = B ∇·(B × r) = 0 ∇× (B × r) = 2B

1.13. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r �= 0)∫

δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebe que:

a) ∇·(

rr3

)= 4πδ(r) b) ∇2

(1

|r − r0|)

= −4πδ(r − r0)

1.14. Calcule el laplaciano de los campos escalares

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2(c) φ = ρ3 cos ϕ (d) φ = r3 sen θ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

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Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.3

1.15. Halle el laplaciano del campo vectorialA = rnr

1.16. Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY , se cumple que∣∣∣∣12∮Γr × dr

∣∣∣∣ = S

donde r es el vector de posicion y S el area encerrada por Γ.

A partir de aquı, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

12

∮r× dr = S

donde S es un vector cuyas componentes son las areas de las proyecciones de la curva sobre losplanos coordenados.

1.17. De las siguientes expresiones

(a) ∇(∇·φ) (b) ∇× (∇φ) (c) ∇·(∇·φ) (d) ∇× (∇× φ)(e) ∇·(∇×A) (f) ∇× (∇·A) (g) ∇× (∇× A) (h) ∇·(∇·A)(i) ∇·(∇φ) (j) ∇(∇·A) (k) (∇·∇)A (l) (A·∇)φ

(m) (φ∇)·A (n) (A·∇) × A (o) (A·∇)A (p) (A×∇) × A

(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indique cuales son absurdas. De las quetienen sentido, senale las que son identicamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valorpara los campos

φ = xyz A = x2ux + xzuy − xyuz

1.18. De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuales son irrotacionales y cuales armonicos

(a) A = yzux + xzuy + xyuz (b) B = ρuϕ

(c) C = rur − ρuρ (d) D = 2r2 − 3ρ2

(e) E = z/ cos θ (f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 2. Octubre de 20092.1. Supongamos un proton y un electron situados a una distancia de un radio de Bohr

(a) Calcule la fuerza electrica entre las dos partıculas.

(b) Halle la fuerza gravitatoria entre ellas.

(c) Calcule el cociente entre las fuerza electrica y la gravitatoria.

(d) Suponga que en lugar a una distancia de un radio de Bohr el proton se encuentra en el centrode la Tierra y el electron en el centro de la Luna (a 384000 km), ¿como cambian las fuerzaselectrica y gravitatoria? ¿Y el cociente entre ellas? De acuerdo con este resultado, ¿como seexplica que la fuerza dominante en el sistema Tierra-Luna sea la gravedad?

2.2. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Halle la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

Suponga que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden es20 cm. Admita asimismo que los angulos de desviacion pueden medirse como mucho con unaprecision de 1◦. ¿Cual es la carga mınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la cargamaxima?

2.3. Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vertices de un triangulo equilatero de lado a =1 cm.Determine la fuerza sobre cada carga cuando:

(a) q1 = q2 = q3 = 1μC.

(b) q1 = q2 = q3 = −1μC.

(c) q1 = q2 = 1μC, q3 = −1μC.

(d) q1 = q2 = 1μC, q3 = −2μC.

2.4. Una carga puntual q1 = 108nC se encuentra situada en el origen de coordenadas. En x = 25mm,y = z = 0 se halla una segunda carga q2. En x = 16mm, y = 12mm se encuentra una terceracarga q3.

Calcule el valor que deben tener q2 y q3 si, ocupando las posiciones indicadas, se desea que seanula la fuerza sobre una carga q4 = 10nC situada en x = 9mm, y = −12mm, z = 0.

Q/2 Q/2

mg

l�

•P

D

L

+Q -Q

Problema 2.2 Problema 2.5

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2.5. Dos varillas rectilıneas de longitud L estan situadas paralelamente a una distancia D. Las varillasposeen cargas ±Q distribuidas uniformemente.

(a) Halle aproximadamente el campo electrico en un punto P equidistante de ambas varillas, parael caso D � L.

(b) Calcule, tambien de forma aproximada, el valor del campo en el mismo punto P , para el casoD � L.

(c) Calcule el valor exacto del campo electrico en dicho punto P , para un valor arbitrario de D.

(d) Compare los valores exactos y aproximados para el caso Q = 1mC, L = 2cm, y

• D = 2mm• D = 40 cm

2.6. Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes L1 y L2, que almacenan respectiva-mente cargas Q1 y Q2, cuando sus extremos mas proximos distan una cantidad a.

2.7. Halle el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considere en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

2.8. Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados unadistancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2 posee una distribucion de carga uniforme σ0,mientras que la del otro es −σ0. Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

2.9. Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su superficie

(a) Calcule el campo electrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule el potencial electrico en el centro de la esfera.

(c) Halle el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

Calcule igualmente el campo y el potencial si en lugar de estar sobre la superficie, la carga estadistribuida uniformemente en el volumen de la esfera.

L1

L2

a

Q2

Q1 R1

R2

Q

Z•P

Problema 2.6 Problema 2.7 Problema 2.11

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2.10. Halle el flujo del campo electrico debido a una carga puntual q a traves de un disco cuyo eje pasapor el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio R y la distancia de la carga al plano del disco es h.

(a) Utilizando coordenadas cilındricas

(b) Usando coordenadas esfericas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie queabarque el mismo angulo solido).

2.11. En un volumen en forma de esfera (de radio 3R) en la que se han hecho dos huecos (tambienesfericos, uno de radio 2R y otro de radio R) se distribuye uniformemente una carga Q.

(a) Calcule el campo electrico en el punto P , de tangencia de los dos huecos.

(b) Halle el potencial electrico en el mismo punto P .

(c) Calcule los dos primeros momentos multipolares del sistema, tomando como origen de coor-denadas el centro de la esfera grande.

2.12. En el plano xy se encuentra una distribucion de carga lineal, formando un anillo, de radio R y conuna distribucion de carga no uniforme dada, en coordenadas cilındricas, por

λ = λ0 cos ϕ′ ϕ′ ∈ (−π, π]

(a) Halle el potencial electrico producido por el anillo en los puntos del eje Z.

(b) Calcule el campo electrico producido por el anillo en el mismo eje.

(c) Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cualserıa el valor y la orientacion de dicho dipolo?

2.13. Halle el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demues-tre que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2.14. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyende manera uniforme cargas de +1nC y −1 nC respectivamente. Estos discos se disponen paralela-mente en z = ±a/2. Determine

(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1m.

(c) Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a.Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es aproximadamente el error cometidoen el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2.15. Determine el potencial electrico creado en todos los puntos del espacio por una lınea recta infinita,cargada con una densidad uniforme λ0, estando el origen de potencial situado a una distancia a dela lınea. ¿Por que no puede tomarse el infinito como origen de potencial?

A partir de este resultado, calcule el potencial creado por dos lıneas infinitas de carga, con densi-dades uniformes +λ0 y −λ0, situadas paralelamente a una distancia 2a, tomando como origen depotencial un punto equidistante de ambas lıneas.

2.16. Calcule la energıa electrostatica almacenada en cada una de las cuatro configuraciones del proble-ma 2.3.

2.17. Para la configuracion del problema 2.4, calcule el trabajo necesario para llevar la carga q4 desde elinfinito hasta su posicion final.

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2.18. Cuatro cargas puntuales se situan en los vertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadasen vertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.

Calcule el trabajo para reunir esta distribucion de cargas.

Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vertice opues-to, ¿que trabajo hay que realizar para esta operacion?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vertice vecino, ¿cual sera en este caso,el trabajo realizado?

2.19. Un cilindro de radio a y longitud indefinida, mucho mayor que el radio, esta relleno de sendasdistribuciones de carga electrica de signo opuesto y densidades volumetricas constantes ρ0 y −ρ0,segun se muestra en la figura. Ademas, en la superficie de separacion entre ambas distribuciones,ρ = a/2, existe una distribucion superficial uniforme de carga.

(a) Calcule el valor de dicha densidad superficial de carga si el campo electrico es nulo en lospuntos exteriores al cilindro

(b) Obtenga la expresion del campo electrico en todo el espacio

(c) Calcule la diferencia de potencial entre el centro de la distribucion y la superficie exterior.

(d) Halle la densidad de energıa electrostatica en cualquier punto del espacio, ası como la energıaalmacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

2.20. En el espacio vacıo se ha detectado un campo electrostatico con simetrıa esferica respecto de unpunto fijo O, cuya funcion de campo viene dada por la expresion E(r) = E(r)ur, con

E(r) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E0r

a0 ≤ r < a

E0 a < r < b

E0

(a

r

)2

b < r

siendo r la distancia desde O al punto donde se evalua el campo y E0, a y b son constantesconocidas.

(a) Determine como es la distribucion de carga electrica que da lugar al campo descrito.

(b) Calcule la carga total de dicha distribucion.

(c) Obtenga el valor del potencial electrico en O (r = 0).

(d) ¿Cuanto vale la energıa electrostatica del sistema?

a/2

a

ρ0

σs

−ρ0

a

O

Z ��

�Q

Q

2a

B

AProblema 2.19 Problema 2.25

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2.21. El potencial electrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuacion

φ = V0e−k|y| cos(kx)

con k y V0 constantes.

(a) Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule la densidad de carga que crea este campo electrico.

2.22. Calcule la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

(c) ¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpretaeste resultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

2.23. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se colocaun segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientacion, en el punto auz.

(a) Halle la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este esta orientadocomo p2 = puz.

(b) Calcule el valor numerico de esta fuerza si los dos dipolos son moleculas de agua (p = 6.14 ×10−30C·m) situadas a una distancia de 1 nm.

(c) Repita el calculo si p2 = pux.

2.24. Halle los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Describael campo y el potencial electrico a gran distancia de ellas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ0.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σs = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

2.25. Una carga electrica Q esta uniformemente distribuida a lo largo de un segmento rectilıneo de longi-tud 2a. A una distancia a del punto medio de dicho segmento y en direccion perpendicular a este,se halla una carga puntual −Q.

(a) Calcule el flujo del campo electrico a traves de una superficie esferica de radio a/2 centradaen el punto medio del segmento cargado (punto O).

(b) Obtenga la fuerza que actua sobre la carga puntual.

(c) Calcule los momentos monopolar y dipolar de la distribucion de carga descrita. Propongaexpresiones aproximadas para el potencial y el campo electrico en puntos suficientementealejados de la distribucion.

(d) ¿Que trabajo habrıa que realizar para mover la carga puntual entre los puntos A al B? (verfigura)

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Campos Electromagneticos. Boletın 3. Diciembre de 20093.1. Una esfera metalica de radio a se encuentra a potencial V0 respecto al infinito. No hay mas con-

ductores en el sistema. Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos del espacio,ası como la carga almacenada en la esfera conductora.

3.2. Se tiene un sistema de dos conductores. Uno de ellos es una esfera metalica maciza de radio a.El otro es una fina corteza esferica metalica, de radio b, concentrica con la anterior. Calcule elpotencial en todos los puntos del espacio en los casos siguientes.

(a) La esfera interior se encuentra a potencial V1 y la exterior a potencial V2.

(b) La esfera interior almacena una carga Q1 y la exterior una carga Q2.

(c) La esfera interior almacenada una carga Q1 y la exterior se encuentra a un potencial V2.

Calcule asimismo la energıa almacenada en el sistema de dos esferas, para las tres situacionesindicadas.

3.3. Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios R1 y R2 (R1 < R2), muy alejadas entresı (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cableconductor ideal. El conductor almacena una carga Q.

(a) ¿Cuanta carga se va a cada esfera? ¿En cual de las dos es mayor la carga almacenada?

(b) ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo electrico en lasuperficie?

3.4. Un cilindro macizo de gran longitud L y radio a se encuentra rodeado de una corteza cilındricaconcentrica, la misma longitud L, radio interior b y exterior c, tambien metalica.

La corteza exterior se encuentra permanentemente a tierra.

Determine la distribucion de potencial y de campo electrico entre los dos cilindros cuando el cilindrointerior se encuentra a potencial V1. Calcule la carga almacenada en el cilindro interior.

Desprecie los efectos de borde.

3.5. Dos placas conductoras cuadradas de lado L se situan paralelamente a una distancia a la una dela otra (a � L). Los potenciales de ambas placas son V1 y V2, respectivamente. Calcule el valoraproximado de

(a) El potencial en los puntos entre ambas placas.

(b) El campo electrico en el espacio intermedio.

ba

V1 V2

abc

V0

V1V2

L

a

Problema 3.2 Problema 3.4 Problema 3.5

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(c) La carga almacenada en la caras de las placas enfrentadas a la otra placa.

Desprecie los efectos de borde.

3.6. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga encada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energıa almacenada en el sistema.

3.7. Se tiene un sistema de cuatro conductores tal como se indica en la figura. Uno de ellos (conductor“4”) es un prisma cuadrado hueco de lado 43 mm y longitud 50 mm. Este conductor se encuentrasiempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores. El conductor “1” es un paralelepıpedo de lados41 mm, 20 mm y 50 mm. Los conductores “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado 20 mmy altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

(a) Teniendo en cuenta la pequenez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamen-te, las cargas que almacenan los conductores 1, 2 y 3, cuando sus tensiones son V1 = 10V,V2 = 20V y V3 = −10V.

(b) Para la configuracion anterior, calcule la energıa electrostatica almacenada en el sistema.(c) Si el conductor 1 se encuentra a tension V0 = 100 V, el 2 aislado y descargado y el 3 a tierra,

¿cuales son las cargas y los potenciales de los tres conductores? ¿Y la energıa electrostaticaalmacenada en el sistema?

(d) Si, en el estado del apartado anterior, se desconecta el conductor 3 de tierra y se conecta alconductor 2, ¿como cambia la energıa almacenada?

3.8. Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y de lado L,situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a(a � L).

Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.

(a) Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera esta aislada ydescargada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, ası como la carga quealmacena cada una.

(b) Para el caso anterior, determine el campo electrico en todos los puntos entre las placas.

V0

20mm1mm

20mm

41m

m

43mm

Pro

fundid

ad:

50m

m

1

4

2

3

a 2a3a

Q

1 2 3 4

Problema 3.6 Problema 3.7 Problema 3.8

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(c) Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿como cambian las cargas y los potencialesde las distintas placas? ¿Y los campos electricos entre las placas?

(d) Determine la variacion de energıa entre el estado anterior y el posterior a la conexion.

3.9. Cinco placas cuadradas de lado L, conductoras, se encuentran en la disposicion indicada en lafigura. La distancia entre cada par de placas paralelas es a (a � L).

Las dos placas exteriores se encuentran permanentemente a tierra, de forma que funcionan comoreferencia de potencial.

En todo momento, la segunda placa se encuentra puesta a potencial V0 mientras que la cuartaalmacena una carga Q0. La placa central se encuentra aislada y descargada.

(a) Considerando el sistema de 3 conductores formado por las tres placas intermedias, halle lamatriz de coeficientes de capacidad,

(b) Halle la carga almacenada en cada una de las cinco placas cuadradas, ası como la tension decada una.

(c) Calcule la energıa electrostatica del sistema.

(d) Calcule el valor del campo electrico en cada uno de los condensadores que se forman.

(e) Si la placa central se conecta a tierra, ¿como cambian las cargas, los voltajes y la energıaalmacenada?

Desprecie los efectos de borde.

3.10. Se tiene un sistema de dos conductores formado cada uno de ellos por una esfera de radio a y unacorteza esferica de radio 2a, de espesor despreciable, unidas por un cable muy largo. Cada cortezarecubre concentricamente a la esfera del otro conductor. Los dos subsistemas estan muy alejados,de forma que el campo de cada uno de ellos produce una influencia despreciable en el otro.

(a) Determine la matriz de coeficientes de capacidad del sistema, ası como las capacidades yautocapacidades del circuito equivalente.

(b) Si el conductor 1 se encuentra a potencial V0 y el 2 esta aislado pero almacena una carga Q0,¿que carga almacena el conductor 1? ¿A que potencial se encuentra el conductor 2?

(c) Determine la energıa almacenada en el sistema para el caso anterior.

(d) Suponga que el conductor 2 se conecta a tierra, ¿como cambian las cargas y potenciales delos dos conductores? ¿Cuanto varıa la energıa almacenada en el sistema? ¿En que caso laenergıa no cambia?

a

a

a

aQ0

V0

1

2

3

V0

Q0

Problema 3.9 Problema 3.10

Univer

sidad

de Se

villa

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Page 14: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 3.4

3.11. Una esfera de radio R posee una carga Q1 distribuida en su volumen de modo que la densidadvolumetrica es ρ(r) = Ar. A su alrededor se dispone una corteza esferica metalica concentrica, deradio interior R y exterior 2R. Esta corteza esta aislada y descargada.

(a) Calcule la constante A en funcion de la carga de la esfera y de su radio.(b) Calcule el campo electrico en todo el espacio y el potencial al que se encuentra el conductor.(c) Halle la energıa electrostatica almacenada en el sistema.(d) Se conecta la corteza conductora a una fuente de tension V0. ¿Como es la nueva distribucion

de campo en todo el espacio? ¿Cuanto vale la nueva energıa almacenada?

3.12. Se tienen tres superficies esfericas conductoras concentricas, de radios R, 2R y 4R. La superficieintermedia y la exterior estan descargadas, mientras que la interior almacena una carga Q.

(a) Halle la distribucion de potencial electrico en todo el espacio.(b) Calcule la energıa de la distribucion.(c) Se conectan entre sı las superficies interior y exterior. ¿Cual es la carga y el potencial de cada

esfera tras la conexion? ¿Y el nuevo valor de la energıa?(d) Se desconectan bruscamente las esferas y se conecta la exterior a tierra. ¿Cual es el nuevo

valor de las cargas, los potenciales y la energıa almacenada? ¿Se conserva la energıa en estosprocesos?

3.13. Se tiene un sistema formado por dos conductores hemisfericos de radio R. Estas dos semiesferasestan separadas una pequena distancia 2a (a � R). En el espacio entre las dos semiesferas seencuentra una fina chapa circular de radio R y separada una distancia a de cada hemisferio.

Las dos semiesferas estan conectadas por un hilo conductor en todo momento.

(a) Suponga que la chapa se encuentra a una tension V0 mientras que el conjunto de las dossemiesferas esta aislado y descargado. ¿Cuanto valen la cargas almacenadas y las tensionesde cada conductor?

(b) Para el caso anterior de las expresiones aproximadas para el campo entre la chapa y loshemisferios, y en el exterior de estos.

(c) Calcule la energıa electrostatica almacenada en este sistema.(d) Suponga que se desconecta la fuente V0 y, acto seguido, se ponen los hemisferios a tierra.

¿Cuales son las nuevas cargas, tensiones y energıa almacenada?

Desprecie los efectos de borde.

2R

R

V0

ρ

Q

R 2R4R

V0

Problema 3.11 Problema 3.12 Problema 3.13

Univer

sidad

de Se

villa

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Page 15: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 4. Febrero de 20104.1. El estudio de las propiedades dielectricas de los gases puede servir para medir el tamano de los

atomos.

Para ello, suponga que se modela un atomo de numero atomico Z como compuesto de una cargapuntual Ze (el nucleo) y una nube esferica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un atomode este tipo se le aplica un campo externo uniforme E0, ¿cuanto vale el momento dipolar inducidoen el atomo por la separacion de los centros de carga?

Para un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos por unidad de volumen,¿cuanto valdra la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividadrelativa εr = 1.000065, mientras que para el neon εr = 1.000123, y para el argon εr = 1.0051659.Segun esto, ¿cual es el tamano de un atomo de cada uno de estos gases nobles?

4.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte.

(a) Halle por integracion directa el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

(b) ¿Cuales son los valores de E, D y P dentro y fuera de la esfera?

(c) ¿Cuanto valen las densidades de carga equivalentes a la polarizacion?

4.3. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tra un dielectrico que presenta polarizacion remanente, de forma que en el

P = P0

siendo P0 un vector uniforme, en la direccion perpendicular a las placas. El dielectrico es perfecta-mente aislante.

(a) Inicialmente las placas estan descargadas. Si se conectan mediante un voltımetro, ¿cuantomedira este?

(b) Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuanta carga se alma-cena en cada placa metalica?

4.4. Calcule como cambian los resultados del problema 4.3 si la polarizacion del dielectrico no es cons-tante, sino que depende del campo como

P = P0 + ε0χeE

4.5. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polariza-cion radial

P = P0ur

(a) Calcule la distribucion de cargas equivalente a esta polarizacion.

(b) Determine los campos D y E en todo el espacio.

4.6. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Halle la capacidad de este condensador y construya el circuito equivalente.

Page 16: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 4.2

4.7. Repita el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendiculara las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

4.8. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Halle:

(a) La permitividad relativa del medio.

(b) El modulo del campo en el interior del material.

(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.

(d) El salto en la componente tangencial de D.

4.9. Una corteza esferica de radio interior a y exterior b esta hecha de dielectrico polarizado segun la ley

P =k

rur

No hay mas cargas en el sistema

(a) Calcule las densidades de carga de polarizacion en el sistema. ¿Cuanto vale la carga total depolarizacion?

(b) Halle los campos D y E en todo el espacio.

(c) Determine el valor del potencial electrico en todo el espacio.

4.10. Sobre una placa metalica plana, de seccion S (que supondremos en z = 0), se coloca una capade dielectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se situa una lamina metalica, deseccion S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segundacapa de dielectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por ultimo, el sistema se cierra con una segundalamina metalica de seccion S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3,¿Cuanto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos deborde (suponiendo E = Euz) y los posibles campos exteriores al sistema.

4.11. Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de estetipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. Lapermitividad del material varıa de ε1 a ε2 en la forma

a

V0

��

�� b

a

V0

�� ��a

V0

�� ��

�� �� b

Problema 4.6 Problema 4.7

Page 17: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 4.3

ε(z) =ε1ε2a

ε1z + ε2(a − z)

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

(a) ¿Cuanto valen los campos D, E y P en todos los puntos del material?(b) ¿Cual es la densidad de carga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?(c) Halle la energıa almacenada en el sistema

Desprecie los efectos de borde.

4.12. El espacio entre dos placas metalicas circulares de 26 cm de diametro, situadas paralelamente a unadistancia 2 mm esta vacıo.

Entre las placas se establece una diferencia de potencial de 20 V

(a) ¿Cuanto vale la energıa almacenada en el sistema?(b) Suponga que, una vez cargado el condensador se desconecta la fuente y se introduce entre las

placas una lamina de metacrilato (εr = 3.3) de 2 mm de espesor. ¿Cuanto cambia la energıaalmacenada en el sistema? ¿Como se explica la diferencia?

(c) Suponiendo que el proceso anterior se hubiera efectuado sin desconectar la fuente, ¿cual serıaen ese caso la variacion en la energıa? ¿Cuanto trabajo realizarıa la fuente de tension?

4.13. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90◦ alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Como varıa la energıa almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

4.14. La ruptura dielectrica condiciona la tension maxima que se puede establecer entre las placas deun condensador. Si el campo mınimo entre las placas supera un valor crıtico (llamado campo deruptura), salta una chispa que “perfora” el condensador.

Supongamos el caso de un cable coaxial RG-58/U de radio interior a = 0.9mm y exterior b =3.8mm, entre las cuales hay polietileno con permitividad εr = 2.3 y campo de ruptura Ec =0.5 kV/mm,

��

���

E=100 V/m

a

b

S0

S

��

��

a

V0

�( )z

Problema 4.8 Problema 4.10 Problema 4.11

Page 18: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 4.4

(a) ¿Cual es la mayor diferencia de potencial que se puede establecer entre el nucleo y el conduc-tor exterior?

(b) Si tenemos 2 m de cable RG-58/U ¿cuanto vale la carga maxima que se almacena en estecondensador?

(c) ¿Cuanto vale la energıa maxima almacenada en estos 2 metros de cable?

4.15. Supongase que se tiene una esfera de radio R de un material dielectrico (de permitividad ε) alrede-dor de la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Halle el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplique el resulta-do del problema 4.2.

4.16. Una esfera metalica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuen-tra en el vacıo.

(a) Indique la energıa almacenada en el sistema(b) Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de un

dielectrico de permitividad ε. Determine la nueva energıa almacenada en el sistema. ¿Comose explica el cambio en la energıa?

(c) Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generadorque fija su potencial en un valor V0, ¿cual es la energıa antes y despues del recubrimiento?¿Como se interpreta el cambio en este caso?

4.17. Entre dos placas metalicas, planas y paralelas de seccion S y separadas una distancia 3a se encuen-tran tres capas de dielectrico, de espesor a cada una. Las capas poseen permitividades ε1, ε2 y ε3.Las dos capas adyacentes a las placas son dielectricos ideales, mientras que la capa central poseeuna conductividad σ.

Se establece bruscamente una diferencia de potencial V0 entre las placas conductoras

(a) Determine la distribucion del campo electrico en todos los puntos entre las placas, en losinstantes inmediatamente posteriores a la conexion.

(b) Calcule la energıa electrostatica almacenada en el sistema en estos instantes iniciales.(c) Pasado un tiempo largo tras la conexion, ¿cual es la distribucion de campos en el sistema?

¿Cuanto vale la energıa almacenada?(d) ¿Cuanto valen las cargas almacenadas en las placas inmediatamente despues de la conexion

y mucho tiempo despues de ella? ¿Que trabajo ha realizado el generador en el periodo tran-sitorio?

(e) Sin resolver la evolucion temporal de los campos en el sistema, ¿cuanto vale la energıa disipa-da durante el periodo transitorio?

Desprecie los efectos de borde.

ε1

a

a

a

V0

ε σ2.

ε3

Problema 4.17

Page 19: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 5. Febrero de 20105.1. Por el interior de una tuberıa cilındrica de radio a fluye un lıquido con una velocidad, dependiente

de la distancia al eje, ρ, como

v = v0

(1 − ρ2

a2

)uz

El lıquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente esJ = ρ0v. En el exterior del tubo no hay corriente.

(a) Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una seccion por la tuberıa.

(b) Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial K, de forma que lacorriente total sea nula, ¿cuanto debe valer K?

5.2. Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm2 de seccion por elcual circula una corriente de 100 mA.

5.3. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.Calcule el campo electrico en todos los puntos del espacio.

5.4. Sea un tubo cilındrico, de radio interior a y exterior b, y longitud L, de un material de conductividadσ. Calcule la resistencia electrica

(a) Entre las dos bases.

(b) Entre la cara interior y la exterior.

5.5. Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestidode cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado poruna capa de cobre, de radio exterior b (sea b = 3mm).

(a) Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud L = 10km.

(b) Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencialV0 = 100V al cable anterior.

ab

L

ab

L

A

V0

a

Problema 5.4 Problema 5.5 Problema 5.6

Page 20: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 5.2

5.6. Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados entierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

(a) Suponga en primer lugar solo un electrodo hemisferico de radio a, perfectamente conduc-tor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario,determınese la distribucion de potencial en el suelo. Admıtase que el potencial depende ex-clusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calculese laresistencia entre el electrodo y el infinito. Supongase que el suelo posee conductividad igualen todos sus puntos.

(b) Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sı. Sise conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tension V0, ¿quecorriente circula de un electrodo al otro?

(c) Si para una tension de 100V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de0.63A, ¿cuanto vale la conductividad del suelo?

5.7. Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad r1) de seccion S y gran longitud, se procedea unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de oxido laresistividad del cable aumenta hasta un valor r2 en una region alrededor del punto de contacto,pudiendose describir matematicamente segun la ley

r(x) = r1 +r2 − r1

1 + (x/a)2

(a) Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplıquese al caso S = 1mm2, r1 =1.7 × 10−8 Ω·m, r2 = 1.1 × 10−6 Ω·m, a = 2mm.

(b) Si la potencia maxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es p =700W/m3, determine la intensidad de corriente maxima que puede circular por el cable antesde la soldadura y despues de ella.

5.8. Para construir un fusible se intercala un hilo de plomo (σ = 4.84 × 105 S/m) en el camino de unhilo de cobre de 0.5 mm de radio. La pieza de plomo esta formado por un hilo de 0.1 mm deradio y 1 cm de longitud, unido al cobre por dos troncos de cono, tambien de plomo, de 0.5 cm delongitud.

(a) La condicion de fusion la da el que en un intervalo de tiempo de 1 s, en la pieza de plomo sedisipe una energıa de 700 mJ/mm3. Calcule la intensidad maxima que puede circular por elhilo de cobre para que no se alcance este lımite.

(b) Calcule la resistencia de la pieza de plomo, admitiendo que el sistema se comporta como unconductor filiforme de seccion variable.

a=0.1mm

b=0.5mm

L=1cm

h=0.5cm

1

2

3

0

1

2

3

2a

a

b

b

Problema 5.8 Problema 5.9 Problema 5.10

Page 21: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 5.3

5.9. Una interseccion de dos pistas en un circuito integrado se puede modelar como una cruz con brazosde igual longitud a la cual estan conectados tres electrodos “activos” (“1” a “3”) y uno de tierra(“0”), segun se indica en la figura. Se sabe que cuando el electrodo 1 se encuentra a una tensionde +12V y el resto a tierra, por el electrodo 1 entra una corriente de +7.04 mA, mientras que porel conductor 2 entra (segun el criterio usual de signos) una de −2.63 mA.

(a) Determine la corriente que entra (siguiendo el mismo criterio) por el electrodo 3 en la situacionanterior.

(b) Halle la matriz de coeficientes de conductancia del sistema de tres electrodos activos.

(c) Construya un circuito equivalente para el sistema de electrodos, que no emplee nodos inter-medios. Halle los valores de las resistencias de este circuito.

(d) Si el electrodo 1 se deja a +12 V y el 3 a tierra, pero el 2 se pone a −5 V. ¿Cuanta corrienteentrara por cada electrodo activo?

(e) Para el caso original y para el del apartado anterior, ¿cuanta potencia se disipa en el sistema?

5.10. Se tiene un circuito impreso en forma de “H” de un material de conductividad σ, con cuatroterminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y eltabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a � b) mientras que eltramo central posee anchura 2a, segun indica la figura. El espesor de toda la pista es c.

(a) Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij , correspondiente a los tres termi-nales libres. Desprecie la pequena contribucion de las esquinas donde confluyen los brazos.

(b) A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias Gij y elabore un circuito equivalenteal sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.

(c) Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial V0

y los otros a tierra.

(d) En la configuracion anterior se corta la conexion a tierra del electrodo 2. En el nuevo estadoestacionario, ¿se consume mas o menos potencia que antes de la desconexion? ¿Cuanto?

5.11. Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio a de conductivi-dad σ1 se encuentra inmersa en un medio de conductividad σ2 que se extiende hasta el infinito. Enel interior de la esfera actua una fuerza no electrostatica por unidad de carga E′ = E′

0uz, constantey uniforme.

(a) Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y elpotencial electrico en todo el espacio.

(b) Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma

φ1 = Ar cos θ (r < a)

y en el exterior de ella

φ1 =B

r2cos θ (r > a)

calcule las constantes A y B.

(c) Halle la potencia desarrollada por el campo electrico en el interior y el exterior de la esfera.

(d) Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (z = 0, r < a)determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.

(e) ¿A que tienden los resultados cuando σ1 � σ2? ¿Y cuando σ1 � σ2?

5.12. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

Page 22: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 5.4

(a) Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası como laenergıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determine la evolucion de la carga en las placas a partirde ese momento.

(c) Halle la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.

(d) Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

5.13. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε y conductividad σ. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b vacıa.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?

(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?

(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

5.14. Dos esferas metalicas, perfectamente conductoras, de radio a, se encuentran muy alejadas la una dela otra (de forma que no se influyen entre sı). Las dos esferas se encuentran conectadas medianteun cable de resistencia R. Una de las esferas se encuentra conectada a un generador de tension V0,a traves de un interruptor que inicialmente se encuentra abierto. Ambas esferas estan inicialmentedescargadas.

(a) Suponga que el interruptor se cierra durante un periodo de tiempo muy corto (el imprescin-dible para que se cargue la esfera conectada a el) y se vuelve a abrir. Justo tras este intervalo¿como es la distribucion de cargas y potenciales en las esferas? ¿Cuanto vale la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema?

(b) Si se deja transcurrir un periodo de tiempo largo, ¿como queda la distribucion de cargas ypotenciales? ¿Cual es la energıa electrostatica almacenada en el sistema en el estado final?

(c) Determine la evolucion en el tiempo de las cargas y potenciales en cada esfera, ası como lacorriente que circula por el cable.

(d) Halle la energıa disipada en el cable durante el periodo transitorio y verifique que se satisfaceel balance energetico.

(e) Suponga ahora que, en el proceso anterior, el generador no se desconecta, sino que se dejapermanentemente conectado a la primera esfera. En ese caso, ¿como varıa la carga en cadaesfera? ¿Y la corriente por el cable? ¿Y la energıa disipada y la energıa almacenada?

5.15. Se tiene un condensador con perdidas formado por dos placas cuadradas de lado L = 20 cm, situa-das paralelamente a una distancia a = 5mm. Entre ellas se encuentra un material de permitividadrelativa εr = 2.6 y conductividad σ = 3.4 × 10−4 S/m.

Una placa se encuentra permanentemente a tierra, mientras que la otra experimenta un pulso detension de forma gaussiana

V (t) = V0e−t2/T 2(−∞ < t < ∞)

con V0 = 5V y T = 3 s.

Para cualquier instante de tiempo, calcule. . .

(a) la distribucion de campo electrico y de corriente entre las placas. Desprecie los efectos deborde.

(b) la carga en cada una de las placas y la corriente que llega a cada una.

Page 23: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 5.5

(c) la energıa electrostatica almacenada, la potencia disipada en el medio, y la potencia desarro-llada por el generador.

(d) Calcule igualmente la energıa total disipada a lo largo del tiempo, ası como el trabajo totalrealizado por el generador.

Halle el valor numerico de los resultado solo para el ultimo apartado.

Dato:

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π

5.16. Una esfera de radio a se despolariza segun la ley

P(r, t) = ke−λtrur

Determine las densidades de carga de polarizacion, ası como la densidad de corriente de polariza-cion. ¿Se verifica la ley de conservacion de la carga para ρp y σp?

5.17. Suponga que se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conduc-tividad σ. Si se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega auno de ellos vale I0. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

5.18. Suponga que en los problemas 5.12, 5.13 y Helado? y 5.14, en lugar de una senal escalonaplicamos una tension alterna V = V0 cos(ωt).

Para cada una de estas configuraciones:

(a) ¿Cuanto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cual es la impedancia del sistema? ¿Y elcircuito equivalente?

(b) ¿Cuanto vale la energıa aportada por el generador en un periodo? ¿En que se emplea estaenergıa?

���

�������

V0

a

b

RV

0

aa

Problema 5.13 Problema 5.14

Page 24: Departamento de Física Aplicada III
Page 25: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 6. Abril de 20106.1. Dos cargas puntuales iguales +q se mueven con la misma celeridad v de forma que en un instante

se encuentran situadas en r1 = 0 y r2 = aux, respectivamente.

Si las dos cargas se mueven con velocidades pequenas v = vuz , calcule el valor aproximado de lafuerza electrica y de la fuerza magnetica que ejerce cada carga sobre la otra. ¿Cual es la proporcionentre estas dos fuerzas?

¿Como cambian estas fuerzas si se cambia el signo de una de las cargas, el sentido de una de lasvelocidades, o ambas cosas a la vez?

Calcule el valor de estas fuerzas si v1 = vuz, v = vux. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

6.2. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campomagnetico uniforme B (en la figura el campo ocupa la region sombreada y apunta perpendicular-mente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebe que la fuerza magneticaneta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalice este resultado para el caso de que la forma de la region ocupada por el campo magneticosea tambien irregular. ¿En que direccion apunta la fuerza?

6.3. Calcule el campo magnetico creado en todos los puntos del espacio por un segmento de longitudL por el cual circula una corriente continua I.

(a) A partir del resultado anterior, calcule el campo magnetico debido a un hilo rectilıneo delongitud infinita por el cual circula una corriente I.

(b) Por la espira de forma irregular de la figura circula una corriente I. Halle el valor del campoen el punto P .

(c) Calcule el campo en el origen de coordenadas para la espira tridimensional descrita en elproblema 6.12.

6.4. Suponga una espira rectangular de lados a y b, por la cual circula una corriente continua I.

(a) Halle el campo magnetico en el centro de la espira. ¿A que se reduce el resultado si a = b? ¿Ysi a � b?

Para el caso de una espira de lados a = 3cm, b = 4cm por la que circula una corriente I0 = 100mA

(b) Halle el campo exacto en el centro de la espira.(c) Empleando la aproximacion dipolar, calcule el campo a una distancia de 40 cm del centro, en

el eje de la espira.(d) A una distancia de 40 cm del centro, a lo largo de una diagonal de la espira.

q q

v v

a

s

I

�B

a

b

β•P

I

Problema 6.1 Problema 6.2 Problema 6.3

Page 26: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 6.2

6.5. Una lınea bifilar esta formado por dos hilos rectilıneos de longitud indefinida situados paralelamentea una distancia 2a.

(a) Suponiendo que por los hilos circulan corrientes I1 e I2 halle el campo magnetico en todoslos puntos del espacio.

(b) En particular, ¿como queda el campo magnetico en el plano de los dos hilos en los casosI1 = I2 e I1 = −I2? ¿Se anula el campo en un punto medio entre los dos hilos?

(c) Calcule la fuerza que uno de los hilos produce sobre un tramo de longitud L del otro.

(d) Halle la fuerza sobre un dipolo magnetico m situado en un punto equidistante entre los doshilos.

6.6. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1, es coplanaria con un conductorrectilıneo, por el que circula una corriente I2. La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hallela fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

6.7. Halle el campo magnetico en todos los puntos del eje de una espira circular de radio a por la cualcircula una corriente continua I.

6.8. En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concentricos, de radios a y b (b > a). Porel anillo interior circula una corriente I0.

(a) Halle la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnetico enel centro de los anillos se anule.

(b) Calcule el campo magnetico en todos los puntos del eje del sistema.

(c) Halle el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.

(d) Suponga que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cual es el error relativocometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximacion dipolar?

6.9. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por unadistribucion de corriente superficial sobre un cilindro.

(a) Halle el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.

(b) Empleando la ley de Ampere, calcule el campo producido por el solenoide, si h → ∞.

(c) Mediante integracion directa, halle el campo magnetico en los puntos del eje del cilindro si hes finito. Estudie el lımite h � a

6.10. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniformeK. Halle el campo magnetico en todos los puntos del espacio.

I2

I1

a

b

z

Ih

a

Problema 6.6 Problema 6.8 Problema 6.9

Page 27: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 6.3

6.11. Por el interior de una tuberıa cilındrica de radio a fluye un lıquido con una velocidad, dependientede la distancia al eje, ρ, como

v = v0

(1 − ρ2

a2

)uz

El lıquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente esJ = ρ0v. En el exterior del tubo no hay corriente.

(a) Halle el campo magnetico que se produce tanto en el interior de la tuberıa como en el exteriorde ella.

(b) Calcule la fuerza que el campo magnetico ejerce sobre una carga q que se mueve con ellıquido, a una distancia a/2 del eje.

6.12. Calcule el momento magnetico de la espira en forma de cuadrilatero del problema 6.3 y de laespira tridimensional de la figura , formada por seis aristas de un cubo.

6.13. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeno iman (equivalente aun dipolo magnetico m), de peso Mg, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo punto desujecion se encuentra a una distancia a del cable. El iman esta sujeto por su punto central, de formaque puede orientarse libremente. ¿En que direccion apuntara el iman? Calcule la fuerza magneticasobre el iman, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Halle la ecuacion para el anguloque el hilo forma con la vertical.

6.14. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brujulas (equivalentes a dipolos magneticos) iguales,de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brujulas pueden girar en el plano hori-zontal. Considerando que la interaccion brujula-brujula es mucho mayor que la accion del campomagnetico terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energıa.¿Como se orientaran las brujulas?

6.15. Se tiene un pequeno iman, modelable como un dipolo magnetico puntual de momento magneticom0 = m0 uz, situado a una cierta altura z sobre el eje de una espira circular de radio a por la quecircula una corriente electrica continua de intensidad I0.

Calcule la fuerza que la espira ejerce sobre el dipolo, y la que el dipolo produce sobre la espira. ¿Severifica la tercera ley de Newton?

I

a

l

m

(a) (b)

(c) (d)

Problema 6.12 Problema 6.13 Problema 6.14

Page 28: Departamento de Física Aplicada III
Page 29: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 7. Abril de 20107.1. El momento dipolar magnetico de un atomo de hierro es aproximadamente

m � 2.22eh

2me

¿Cual es el valor maximo que puede tener la magnetizacion de un trozo de hierro?

Suponga que se tiene un iman cilındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje. Sa-biendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B � μ0M/2, calcule el campoque producira este iman. Estime el valor de las corrientes de magnetizacion equivalentes a estaimanacion.

7.2. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado segun la ley

M = Ayux

estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente conel del iman.

Halle las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetizacion. Calcule tambien la distribucion defuentes escalares equivalente.

7.3. Se dispone de una esfera de radio R con una imanacion permanente M = M0uz.

(a) Determine la expresion integral del potencial vector magnetico. Calcule el valor de la integral.Hallese, a partir de A, el valor de B y de H en todos los puntos del espacio.

(b) Describa cualitativamente la forma de B, H y M

(c) Calcule las corrientes de magnetizacion equivalentes, las ecuaciones y las condiciones de con-torno para B.

(d) Halle la distribucion de cargas magneticas equivalentes y el problema de ecuaciones y condi-ciones de contorno para H.

7.4. Se construye un iman cilındrico de radio R = 1cm y longitud L, con una magnetizacion uniformey paralela a su eje M0 = 105 A/m.

(a) Determine aproximadamente los campos H y B cuando L = 1mm, en el centro del iman yen un punto ligeramente por encima de su base superior.

• A partir de las corrientes de magnetizacion.• A partir de las cargas magneticas.

(b) Estime H y B cuando L = 1m en los mismos puntos y con los mismos metodos

(c) Determine exactamente H y B en todos los puntos del eje del iman, tanto dentro como fuerade el. Compare con los resultados anteriores

7.5. Se tiene un tubo cilındrico imanado longitudinalmente con una magnetizacion uniforme M0 =104 A/m. El tubo posee una longitud h = 24mm, un radio interior a = 9mm y uno exteriorb = 16mm

(a) Calcule las corrientes de imanacion equivalentes a este iman.

Page 30: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 7.2

(b) Halle las cargas de imanacion equivalentes.

(c) Calcule el valor exacto del campo magnetico en el centro del tubo.

(d) Halle el momento dipolar del iman y calcule el valor aproximado del campo magnetico en unpunto situado a 10 cm en la direccion del eje.

7.6. Cuando se tiene un cilindro de un material magnetico recorrido por corrientes longitudinales elcampo magnetico y la imanacion van en la direccion acimutal, expresable en cilındricas o cartesia-nas como

M = Cρuϕ = C(−yux + xuy)

Supongamos un cilindro de radio R y longitud L imanado de esta forma.

(a) Calcule las corrientes de imanacion equivalentes a esta magnetizacion.

(b) Halle las cargas magneticas equivalentes a esta barra.

(c) Determine los campos magnetico H y B en este sistema.

7.7. Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestidode cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado poruna capa de cobre, de radio exterior b (sea b = 3mm).

Halle el campo magnetico producido por el cable, tanto en su interior como su exterior, cuando porel circula una corriente I = 100A. ¿Cual es el valor maximo del campo magnetico? ¿Donde sealcanza?

7.8. Suponga que se tiene una esfera de radio R un material magnetico lineal (de permeabilidad μ)alrededor de la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magneticouniforme B0.

(a) Sabiendo que la magnetizacion que aparece en la esfera es uniforme, halle el valor de dichamagnetizacion, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magnetico en todoslos puntos del espacio.

(b) ¿En que se diferencia el resultado para un material diamagnetico (μ < μ0) de uno para-magnetico? ¿A que se reducen los resultados en los casos de un paramagnetico ideal (μ → ∞)y un superconductor (μ = 0)?

(c) Halle las corrientes de magnetizacion que aparecen en la esfera.

(d) Calcule los valores numericos para los apartados anteriores con un campo externo B0 =10mT aplicado sobre una esfera de radio 1 cm para los siguientes materiales: oro, aluminio,hierro y un superconductor.

M0 L

R

M0

B0

mm0

Problema 7.3 Problema 7.4 Problema 7.8

Page 31: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 8. Mayo de 20108.1. Una barra metalica de longitud a = 10 cm se mueve en el interior de un campo magnetico uniforme

B0 (B0 = 10mT) con velocidad constante v, siendo v perpendicular tanto al eje de la varilla comoal campo magnetico y de modulo v = 1m/s.

(a) Calcule la fuerza magnetica sobre una carga q de la varilla. ¿Hacia donde se mueven lascargas positivas y negativas de la varilla?

(b) La separacion de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza electrica debido a dicha separa-cion compensa exactamente la fuerza magnetica. Usando esto, halle el campo electrico en elinterior de la varilla.

(c) Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.

(d) Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formadapor la varilla y un cierre por el exterior del campo magnetico. Compruebe que coincide con elvoltaje calculado en el apartado anterior.

8.2. Una espira cuadrada de lado a = 2cm, de hilo de cobre de seccion A = 0.5mm2 gira con frecuenciaf = 400Hz en el interior de un campo magnetico uniforme de modulo B0 = 200mT. El eje degiro es perpendicular al campo magnetico.

(a) Determine la corriente que se induce en la espira.

(b) Calcule la potencia instantanea disipada en la espira y la energıa total disipada en un periodode giro.

8.3. Se tienen dos raıles paralelos, perfectamente conductores, de longitud 2L separados una distanciaa, tal como se indica en la figura. Los extremos de los raıles estan conectados por sendas resistenciasR1 y R2. Sobre ellos se desliza una barra tambien perfectamente conductora de longitud b. La barrase desplaza con velocidad constante v = V ux. En el espacio entre los raıles hay aplicado un campomagnetico uniforme perpendicular al plano de los raıles, B = B0uz.

(a) Calcule la corriente que circula por la barra.

(b) Calcule la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnetico.

(c) Halle la potencia disipada por efecto Joule.

av

B

B0

R1

R2

a

2L

vB

x

b

Problema 8.1 Problema 8.2 Problema 8.3

Page 32: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 8.2

8.4. En el exterior de un solenoide cilındrico largo, de radio a se encuentra una espira circular, de radiob, perpendicular al eje del solenoide. La espira posee resistencia R y autoinduccion despreciable.

Por la bobina circula un pulso gaussiano de corriente con ecuacion

I = I0e−t2/T 2 −∞ < t < ∞(a) Calcule la corriente que circula por la espira pequena como funcion del tiempo. Haga un

esbozo de la grafica I(t).

(b) Halle la carga total que pasa por un punto de la espira en los intervalo [0,∞) y (−∞,∞)

(c) Calcule la potencia instantanea disipada en la espira y la energıa total disipada en ella.

8.5. Una espira cuadrada de lado a = 10 cm, hecha de un hilo de cobre de seccion A = 1mm2

penetra en un campo magnetico uniforme perpendicular al plano de la espira y de modulo B0 =30mT. La espira se mueve inicialmente con velocidad v0 = 0.5m/s tangente a uno de sus lados yperpendicular al campo magnetico. En t = 0 la espira entra en el campo.

(a) Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia xy se esta moviendo con velocidad v.

(b) Halle la fuerza que el campo magnetico ejerce con la espira.

(c) Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira porefecto Joule. ¿De donde proviene la energıa disipada?

(d) Si se deja que la espira frene por accion del campo magnetico, determine la evolucion en eltiempo de la velocidad, ası como la energıa total disipada por efecto Joule.

8.6. Se tiene un solenoide largo de seccion S, por el cual circula una corriente variable en el tiempoK0(t). Dos voltımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de uncircuito formado por dos resistencias R1 y R2, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de losvoltımetros. ¿Coincidiran estas? ¿Por que?

8.7. Una espira circular de radio a, con autoinduccion L y resistencia R, se encuentra sometida a uncampo magnetico uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular alplano de la espira

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnetico varıa en el tiempo, durante unlargo intervalo, como

(a) B(t) = Atuz

(b) B(t) = At2uz

(c) B(t) = A sen(ωt)uz

a

a

x

v

B

V1 V2

R1 R2K0( )t

�A

�B

Problema 8.5 Problema 8.6

Page 33: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 8.3

8.8. Se tienen dos anillos metalicos. Ambos anillos estan centrados en el origen de coordenadas. Unode ellos posee radio b y esta situado en el plano xy. El otro, de radio a, esta inclinado, de formaque su normal forma un angulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.

(a) Determine el coeficiente de induccion mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campodel anillo exterior a traves del anillo interior (tenga en cuenta que este es muy pequeno),cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.

(b) Halle el coeficiente de induccion mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que espracticamente un dipolo) a traves del anillo exterior cuando por el anillo interior circula unacorriente I2. ¿Son iguales los dos coeficientes?

8.9. Suponga la misma configuracion geometrica del problema 8.8. Por el anillo exterior se hace circularuna corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diametro comun, de formaque el angulo θ varıa con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinduccion,halle la corriente que circula por el anillo interior.

Calcule la energıa disipada en este anillo durante un periodo de revolucion.

8.10. Dos solenoides cilındricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen lamisma longitud h y numero de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales estan arrolladas en elmismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).

(a) Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.

(b) Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.

(c) Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior dela exterior. ¿Cual es la autoinduccion equivalente de la asociacion?

(d) Suponga que se conectan en paralelo, ¿cual es la autoinduccion equivalente de la asociacion?

(a) ¿Que tension medira un voltımetro situado entre los extremos de la bobina 2

n

uz

b

a

ab

h

Problemas 8.8 y 8.9 Problema 8.10

Page 34: Departamento de Física Aplicada III
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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 9. Mayo de 20109.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separa-

das una distancia a (a � b); entre ellas hay vacıo. Entre los centros de las placas se establece unatension V0 cos ωt.

(a) Halle, en primera aproximacion, el campo electrico que se establece entre las placas.

(b) Determine el campo magnetico inducido en el espacio entre las placas, segun la ley deAmpere-Maxwell.

(c) Calcule, la primera correccion en el campo electrico obtenido en (a), de acuerdo con la leyde Faraday. ¿Para que valor del radio empieza a ser importante esta correccion (esto es,comparable al campo estatico)?

(d) Indique como serıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B.

9.2. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponer que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo electrico en los puntos del espacio y, a partir de este, la corriente de desplaza-miento. ¿Cuanto vale la densidad de corriente total?

¿Habra campo magnetico en el sistema?

Nota: La mayor parte de este problema ya aparece en el boletın 5.

9.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen-tra lleno de un material ohmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magneticaμ0. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a � b). La placa superior estapermanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tension V (t).

(a) Despreciando los efectos de borde y la induccion electromagnetica, halle el campo electricoentre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.

(b) Calcule el campo magnetico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.

(c) Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası como su flujo a traves de unasuperficie cilındrica de radio b y altura a, concentrica con el sistema.

(d) ¿A que equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En que caso es nulo? ¿Que representa estecaso?

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Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 9.2

9.4. Un cable coaxial ideal esta formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor,y una superficie cilındrica exterior, de radio b, tambien perfectamente conductora. Los cilindros seextienden indefinidamente a lo largo de su eje.

El cilindro interior se encuentra a una tension V0, mientras que la superficie exterior se encuentraa tierra. Simultaneamente, por la superficie del nucleo fluye una corriente I0 en la direccion deleje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que haydistribuida uniformemente una corriente −I0.

(a) Halle los campos electrico y magnetico en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule las densidades de energıa electrica y magnetica por unidad de volumen, ası como laenergıa total almacenada en una porcion de longitud h del cable coaxial.

(c) Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En que direccion fluye laenergıa? Halle el flujo de energıa a traves de una seccion del cable coaxial.

9.5. En una region del espacio tenemos un par de campos dados por las expresiones, en coordenadascilındricas,

E ={−Aρt(a2 − ρ2)uϕ ρ < a

0 ρ > aB =

{At2(a2 − 2ρ2)uz ρ < a0 ρ > a

siendo A una constante

(a) Compruebe que se trata de un posible campo electromagnetico.

(b) Calcule las fuentes de este campo.

(c) Determine las densidades volumetricas de energıa electrica, magnetica, electromagnetica y depotencia desarrollada por el campo.

(d) Halle la fuerza sobre una carga puntual q que en el instante t = a/c se encuentra situada en elpunto r = (a/2)ux y se mueve con una velocidad v = −(3c/4)ux (siendo c la velocidad dela luz).

������

a

b

V t( )

V0

I0

Problema 9.3 Problema 9.4

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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos.Primer Parcial, Enero de 2010.

El tiempo disponible para la realizacion de esta parte es de 2 horas.

Optica

O.1. (1.0 puntos) Explique los fenomenos de profundidad aparente.

O.2. (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos

(a) Hipermetropıa y su correccion

(b) Numero de Abbe

(c) Aberracion cromatica

(d) Rango infrarrojo del espectro optico

(e) Diafragma de apertura

O.3. (0.5 puntos) Se dispone de una lupa de 10×. Determine su distancia focal. Si se situa un objeto de 3 mmde tamano a 5 mm de distancia, ¿cuales son la posicion, orientacion y tamano de la imagen formada?Haga un esquema del diagrama de rayos.

O.4. (0.5 puntos) Unos binoculares indican en su carcasa los valores siguientes 10×23 5◦. Identifique lasmagnitudes correspondientes. Calcule la pupila de salida, el ındice de brillo relativo, el campo de vision a1000 m y la distancia equivalente. Explique para que uso son mas adecuados.

Teorıa

(0.5 puntos) Ley de Gauss: Enunciados e interpretacion; deduccion a partir de los principios de la electrostatica;equivalencia entre las formas diferencial e integral de la ley.

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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos.Primer Parcial, Enero de 2010.

El tiempo disponible para la realizacion de esta parte es de 2 horas.

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Dos anillos iguales de radio R y grosor despreciable estan cargados electricamente consendas distribuciones lineales y uniformes +λ0 y −λ0. Los anillos se encuentran en planos paralelosseparados una distancia R, pero con sus centros situados sobre el mismo eje. Tomese este eje como Z, ycomo origen de coordenadas O el punto medio entre los anillos.

(a) Obtenga la expresion del potencial electrostatico creado por estas distri-buciones en los puntos del eje Z. Calcule el valor del potencial en unpunto arbitrario del plano XY .

(b) Obtenga la expresion del campo electrico para los puntos del eje Z.¿Cuanto vale la fuerza que actua sobre una carga puntual q situada enO? ¿Que trabajo se ha realizado para traer esta carga desde el infinitohasta este punto?

(c) Suponga que, en lugar de la carga puntual, se situa un dipolo electricode momento dipolar p = puz, en el centro del anillo de carga positiva.Obtenga la expresion de la energıa potencial del dipolo y la fuerza queactua sobre el.

(d) Obtenga los momentos monopolar y dipolar del sistema de dos anillosy proporcione expresiones aproximadas para el potencial electrico y elcampo electrico en puntos alejados del sistema

+λ0

−λ0

R

X

Y

Z

O Rq

p

P.2. (2.5 puntos) Se tiene un sistema de tres conductores. Dos de ellos son esferas identicas (“1” y “2”),de radio 1 cm cuyos centros distan una distancia de 3 cm. Estas dos esferas se encuentran situadassimetricamente en el hueco de una fina corteza esferica (“3”), de radio 4 cm. No hay mas conductores enel sistema.

Experimentalmente se encuentra que cuando una de las dos esferas interiores se encuentra a potencialde 1 V y la otra y la corteza estan a tierra, la carga en la esfera a potencial 1 V es de 1.632 pC, mientrasque la de la esfera a tierra es de −0.256 pC.

(a) Determine la matriz de coeficientes de capacidad e induccion delsistema de conductores, ası como las capacidades de los conden-sadores del circuito equivalente.

(b) Si la esferas interior “1” se encuentra a 10 V, mientras que la “2”y la corteza exterior estan aisladas y descargadas ¿cuanto vale lacarga y el potencial de cada conductor? ¿Y la energıa electrostaticaalmacenada?

(c) Suponga que, en la situacion anterior, primero se desconecta laesfera 1 de la fuente, y a continuacion se conecta la esfera “2” atierra. ¿En cuanto disminuye la energıa almacenada?

1

2

3

Page 39: Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de Ingeniería

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Segundo Parcial, Junio de 2010

Optica

O.1. (1.0 puntos) Criterios y niveles de clasificacion de los laseres segun su potencial de riesgo.

O.2. (0.5 puntos) Definicion de los principales tipos de filtros opticos.

O.3. (0.5 puntos) Una bombilla de 60 W de potencia electrica tiene una eficacia luminosa del 1.5%. Supo-niendo que emita luz de 440 nm, de forma isotropa, calcule la iluminancia sobre una superficie situadaa 8 m de distancia. Si esta superficie es lambertiana con reflectividad ρ = 0.6, calcule su brillo. Dato:V(440) = 0.023.

O.4. (0.5 puntos) Un puntero laser de 630 nm y 5 mW forma un punto de 5 mm de diametro sobre unapantalla. Determine la irradiancia y el numero de fotones emitidos en 1 minuto.

Teorıa

(0.5 puntos) Cables. Para un conductor filiforme, explique desarrolladamente:

• concepto

• ley de Ohm

• ley de Joule

• campo magnetico debido a un hilo rectilıneo infinito.

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Segundo Parcial, Junio de 2010

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Una esfera conductora de radio a se encuentra conectada a una fuente de tension de valorV0. La esfera se encuentra semisumergida en un lıquido dielectrico ideal de permitividad ε.

(a) Obtenga la expresion del potencial electrostatico y del campo electrico en todo el espacio. Supongaque el potencial solo depende de la distancia al centro de la esfera.

(b) Obtenga la expresion del vector desplazamiento en todo el espacio. Calcule la cantidad de cargalibre en la esfera conductora.

(c) Determine las distribuciones de carga libre y de polarizacion que hay en el sistema descrito.

(d) Calcule la energıa electrostatica almacenada en el sistema.

(e) Si, sin desconectar la fuente, se retira el lıquido dielectrico, ¿cuanto cambia la energıa almacenada?¿Cuanto trabajo realiza el generador?

P.2. (2.5 puntos) En una region del espacio existe un campo magnetico

B = 2Cxzux + C(x2 − z2)uz

Una espira cuadrada de lado a y resistencia R se encuentra situada en el plano z = 0 con sus ladosparalelos a los ejes. La espira se mueve de forma que su extremo trasero se encuentra en la posicionx = v0t.

(a) Calcule la corriente que circula por la espira.

(b) Halle la fuerza que el campo magnetico ejerce sobre la espira.

(c) Calcule la potencia disipada en la espira y la energıa total disipada durante un tiempo T .

V0

ε0

ε

a

av t0

v

B

X

Y

Z

Problema P.1 Problema P.2

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Examen Final, Junio de 2010• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4 y T.1.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8 y T.2

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.1, O.3, O.6, O.8,y T.1.

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Optica

O.1. [1P-T] (1 punto) Explique los parametros principales de un sistema de lentes

O.2. [1P] (0.5 puntos) Defina la dispersion en un prisma y las magnitudes que la caracterizan.

O.3. [1P-T] (0.5 puntos) Una lente para una camara fotografica tiene un diametro de 77 mm e indica en susespecificaciones 70-200 mm y f/2.8-f/22. Determine su distancia focal, numero de diafragma, pupila deentrada, lımite de resolucion y capacidad de captacion de luz. ¿Para que uso es adecuada?

O.4. [1P] (0.5 puntos) El espejo retrovisor exterior de un automovil es un espejo esferico de radio R = 210 cm.Justifique si debe ser concavo o convexo y trace el diagrama de rayos correspondiente. ¿Como sera la imagende un objeto situado a una distancia de 30 m?

Teorıa

T.1 [1P-T] (0.5 puntos) Explique desarrolladamente el siguiente enunciado:Condensadores: concepto de condensador; capacidad de un condensador; energıa almacenada en un conden-

sador; construccion de un circuito de condensadores equivalente a un sistema de conductores.

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Examen Final, Junio de 2010• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4 y T.1.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8 y T.2

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.1, O.3, O.6, O.8,y T.1.

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Optica

O.5. [2P] (1 punto) Explique los fundamentos de los sistemas opticos de almacenamiento de informacion (gra-bacion y lectura de CD).

O.6. [2P-T] (0.5 puntos) Defina la temperatura de color de una fuente luminosa y sus unidades.

O.7. [2P] (0.5 puntos) Sobre un sensor optico de area A = 8 mm2 y detectividad especıfica D∗ = 107 cm√

Hz/Wincide una senal luminosa con una potencia de ruido equivalente NEP = 1.3 × 10−5 W produciendo unarelacion senal-ruido SNR = 1100. Calcule el ancho de banda y la irradiancia de la senal incidente.

O.8. [2P-T] (0.5 puntos) Una fuente puntual isotropa emite un flujo luminoso de 1800 lm, con λ = 550 nm.Obtenga la amplitud de los campos electrico y magnetico a una distancia r = 7 m.

Teorıa

T.2 [2P] (0.5 puntos) Explique desarrolladamente el siguiente enunciado:Tipos de materiales magneticos y propiedades caracterısticas de cada tipo.

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Examen Final, Junio de 2010• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.1 y P.3.

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Problemas

P.1. [1P-T] (2.5 puntos) Un modelo simple de la molecula de hidrogeno es el siguiente: tenemos dos cargaspuntuales (los nucleos) de valor +e inmersas en una nube esferica de radio a, con carga −2e distribuidauniformemente.

(a) Determine la posicion de equilibrio entre las dos cargas puntuales, suponiendo que se encuentran situa-das simetricamente respecto al centro de la nube.

(b) Calcule el potencial y el campo electrico en todos los puntos del espacio en la situacion anterior.

(c) Suponga que las dos cargas positivas se desplazan una cantidad c = a/4 a lo largo de la recta que lasune, manteniendo la distancia entre ellas. En este caso, ¿que campo se ve en el exterior de la molecula?¿cuales son los dos primeros momentos del desarrollo multipolar del potencial electrico?

(d) Calcule el trabajo necesario para realizar el desplazamiento del apartado anterior.

P.2. [1P] (2.5 puntos) Un disco y un semidisco, ambos conductores y de igual radio b –que denominaremosconductores “0” y “1”, respectivamente– se hallan en sendos planos paralelos separados una distancia a.Un segundo semidisco –conductor “2”–, tambien de radio b se encuentra entre los conductores anteriores, aigual distancia a/2 de estos. Los semidiscos no estan alineados, sino que sus diametros forman un anguloα = 60◦ (vease la figura). Las dimensiones son tales que b � a de manera que, cuando el sistema secarga electricamente, las superficies conductoras enfrentadas pueden considerarse en influencia total, despre-ciandose los efectos de borde.

(a) Teniendo en cuenta esta aproximacion, determine las capacidades electricas de los distintos condensa-dores que forman el sistema de conductores descrito.

(b) Tomando el disco completo como conductor de referencia (siempre conectado a tierra), obtenga elcircuito equivalente y calcule la matriz de coeficientes de capacidad e induccion electrica del sistema.

(c) Con el conductor “0” conectado a tierra y el “2” descargado y aislado, se conecta el conductor “1” auna fuente de potencial V0. Calcule la carga electrica en el conductor “1” y el potencial en el conductor“2”.

(d) Halle la energıa electrostatica del sistema en la configuracion anterior.

−2e

+e +e

a

a/2 a

b

��°

V0

1

2

0

Problema P.1 Problema P.2

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Examen Final, Junio de 2010• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.1 y P.3.

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Problemas

P.3. [2P-T] (2.5 puntos) Se tiene un cable coaxial rectilıneo de longitud L = 20 m formado por un nucleocilındrico de cobre de radio a = 4 mm, rodeado de una capa de dielectrico ideal de radio exterior b = 7 mm.Por fuera del dielectrico se encuentra una corona, tambien de cobre, de radio exterior c = 9 mm. El cableesta terminado en un cortocircuito que conecta el nucleo interior con la corona exterior. En el extremo inicialdel cable se establece una diferencia de potencial V0 = 3 mV.

(a) Calcule la intensidad de corriente que circula por el nucleo de cobre, ası como la densidad de corrientey el campo electrico en todos los puntos del cobre.

(b) Calcule el valor aproximado del campo magnetico B en todos los puntos del espacio. Suponga queμ = μ0 en todos los materiales. Desprecie los efectos de borde, considerando, para el calculo de B, elcable como de longitud infinita.

P.4. [2P](2.5 puntos) Se tiene un sistema de tres solenoides formado por una bobina de radio 4a, gran longitudh y N vueltas. En el interior de esta bobina se encuentran, separadas, dos bobinas de radio a, misma longitudy mismo numero de vueltas. Las ejes de las dos bobinas interiores se encuentran a una distancia 2a del de lagrande. Las tres bobinas estan arrolladas en el mismo sentido.

(a) Halle la matriz de coeficientes de autoinduccion y de induccion mutua en este sistema. Desprecie losefectos de borde.

(b) Suponga que se conectan en serie las tres bobinas, de forma que por la bobina exterior circula unacorriente +I y por las dos interiores una corriente −I. Exprese el campo magnetico en todos los puntosdel espacio para esta configuracion

(c) Para el caso anterior, halle la energıa magnetica almacenada en el sistema. ¿Cuanto vale la autoinduc-cion equivalente de la asociacion?

a

bc

L

a

h N,

4a

Problema P.3 Problema P.4

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

2a Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2010

Optica

O.1. (1.0 puntos) Explique las aberraciones de las lentes y sus mecanismos de correccion.

O.2. (0.5 puntos) Defina las principales propiedades de la luz laser.

O.3. (0.5 puntos) Se tiene una fibra optica salto de ındice con nucleo de 30 μm de diametro e ındice n =1.459 y Δ = 0.015 por la que se transmite una λ = 1400 nm. Determine la apertura numerica, cono deaceptacion, frecuencia normalizada, y numero de modos posibles. Si la longitud total de la fibra es de1.5 km, determinar la frecuencia maxima de transmision.

O.4. (0.5 puntos) Un diodo de alta potencia emite un flujo luminoso de 12 lm, con λ = 690 nm. Determinela potencia emitida. Suponiendo emision puntual isotropa, obtenga la amplitud de los campos electricoy magnetico a una distancia r = 3 m (dato: V(690)=0.0082).

Teorıa

(0.5 puntos) Desarrollo multipolar electrico: concepto; aspectos principales del desarrollo matematico; primerosmomentos multipolares. Descrıbase detalladamente un ejemplo en el que los dos primeros momentos no seannulos.

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2a Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2010

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Una superficie esferica conductora ideal de pequeno espesor y radio 2a esta rellena de unmedio dielectrico ideal homogeneo de permitividad ε = 5ε0/2, en cuyo centro hay un hueco de radioa. Estando la superficie conductora conectada a un potencial V0, el hueco es llenado con una nube deelectrones cuya carga total es −Q0. Suponiendo que esta carga se distribuye uniformemente en el huecoy que en el medio dielectrico no hay carga libre, resuelva las siguientes cuestiones:

(a) Determine los campos E, D y P, tanto en el interior como en el exterior de la esfera, antes y despuesde introducir la carga electrica en el hueco.

(b) Halle la densidad de carga libre y la total en la interfaz r = a y en la cara interior y la exterior de lasuperficie conductora, antes y despues de llenar el hueco.

(c) Calcule la energıa electrostatica almacenada en el sistema, antes y despues de llenar el hueco.

P.2. (2.5 puntos) Por un hilo rectilıneo de gran longitud y resistencia electrica R1 circula una corriente variableen el tiempo, tal que su valor es

I1(t) ={

I0t(T − t)/T 2 0 < t < T0 t < 0 o t > T

(a) Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre t → −∞ y t → ∞.

(b) Calcule la energıa disipada en el cable en el mismo tiempo.

(c) Junto al cable y coplanaria con el se encuentra una pequena espira cuadrada de lado a con sucentro situado a una distancia b (b � a) del hilo. Esta espira posee resistencia R2 y autoinducciondespreciable. Calcule la corriente inducida en esta espira como funcion del tiempo.

(d) Halle la carga que pasa por un punto de la espira entre t → −∞ y t → ∞.

(e) Calcule la energıa disipada en la espira en el mismo tiempo.

V0

−Q0

ε0

ε

a 2a

I t1( )

b

a

R1

R2

Problema P.1 Problema P.2

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Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

3a Convocatoria ordinaria, Noviembre de 2009

Optica

O.1. (1.0 puntos) Explique los distintos tipos de camaras digitales (CCD) y sus caracterısticas (las de cada tipo).

O.2. (0.5 puntos) Defina los siguientes conceptos:

(a) Aberracion cromatica

(b) Pupila de salida

(c) Luminancia y sus unidades

(d) Filtros polarizadores

(e) Funcion de Transferencia de Modulacion (MTF)

O.3. (0.5 puntos) Obtenga el angulo crıtico para una interfase aire-hielo (n = 1.32). ¿A que distancia (profun-didad) se verıa un objeto situado en el interior de un bloque de hielo, a 20 cm de la superficie? Trace eldiagrama de rayos correspondiente.

O.4. (0.5 puntos) Una bombilla emite un flujo radiante de P = 7mW de luz monocromatica (λ = 650nm).Admitiendo la isotropıa de la emision, ¿cual es la irradiancia sobre una superficie situada a d = 4m?Obtenga la amplitud instantanea del campo electrico a esa distancia.

Teorıa

(0.5 puntos) Explique desarrolladamente el concepto de dielectrico lineal, las propiedades que caracterizanestos medios, ası como la energıa electrostatica en dielectricos lineales. Incluya ejemplos reales.

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3a Convocatoria ordinaria, Noviembre de 2009

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Dos superficies conductoras ideales, esfericas y concentricas de radios a y 2a y espesordespreciable, estan cargadas electricamente de manera uniforme, siendo −σ0 y +σ0 los valores netos delas respectivas densidades superficiales de carga.

(a) Obtenga las expresiones del campo electrico en las regiones interior, intermedia y exterior a las dosesferas. Determine como son las densidades superficiales de carga electrica en las caras interior yexterior de cada una de las superficies conductoras.

(b) Calcule el valor del potencial electrico en dichas superficies, ası como la energıa electrostatica alma-cenada por el sistema.

(c) Suponga que se conectan las superficies por un fino hilo conductor. En la nueva situacion deequilibrio, ¿cuanto valen el campo electrico y el potencial en todo el espacio?

(d) Calcule la variacion en la energıa electrostatica almacenada, como consecuencia de la conexionanterior. ¿Como se explica este cambio en la energıa?

P.2. (2.5 puntos) Por un hilo rectilıneo cilındrico de radio a y gran longitud circula una corriente alterna debaja frecuencia J = J0 cos(ωt)uz .

(a) Halle el campo magnetico producido por este hilo, tanto en su interior como en su exterior, supo-niendo que la corriente es casi estacionaria.

(b) Halle el campo electrico inducido por este campo magnetico tanto en el interior del cable como ensu exterior, suponiendo que E = E(ρ, t)uz y que en el eje del cilindro el campo electrico es nulo.

(c) Calcule la densidad de corriente de desplazamiento en el interior y el exterior del hilo.

+σ0

−σ0

a 2a

aJ

Problema P.1 Problema P.2