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ISEL/DEC Física Aplicada à Engenharia Civil I

Alexandra Afilhado e Pedro Silva 1 Folhas de apoio - versão 03-2003

Física Aplicada à Engenharia Civil I

Introdução

Grandezas Físicas

Existem cinco grandezas fundamentais no Sistema Internacional (SI):

• comprimento (L) • massa (M) • tempo (T) • corrente eléctrica (I) • temperatura (Θ)

Sistemas de unidades

• Sistema Internacional de Unidades - SI (o mais usado em física): o Comprimento: metro (m) o massa: quilograma (kg) o tempo: segundo (s) o Temperatura: Kelvin (K) o Corrente Eléctrica: Ampere (A)

Este sistema é também conhecido por sistema mks devido a meter-kilogram-second.

• Sistema Gaussiano (usado principalmente em química): o comprimento: centimetro (cm) o massa: grama (g) o tempo: segundo (s)

Este sistema é frequentemente referido como sistema cgs devido a centimeter-gram-second.

• Sistema Britânico de Engenharia: o Comprimento: pé (ft) o massa: slug o tempo: segundo (s)

Notação Científica Por vezes é conveniente expressar números pequenos ou grandes em notação científica. Por exemplo: 5,000 = 5 x 103 e 0.0004 = 4 x 10- 4.

Os prefixos comuns mais usados são apresentados como potências de 10 e estão apresentados na tabela seguinte.



Tabela. Prefixos usados com o sistema métrico de unidades.

Potência Prefixo Abreviatura

10- 9 nano N

10- 6 micro

10- 3 milli M

10- 2 centi C

10- 1 deci D

103 kilo K

106 Mega M

Por exemplo:

a) 60.000 m = 6,0000 x 104 m = 60,000 km b) 0,003 s = 3 x 10- 3 s = 3 ms

Análise dimensional

A análise dimensional refere-se à natureza qualitativa da quantidade física (comprimento, massa, tempo). Os parentesis rectos denotam a dimensão ou unidades de uma quantidade física (verificar tabela seguinte):

Tabela: Dimensões

Quantidade dimensão Unidades SI

Área [A] = L 2 m 2

Volume [V]=L 3 m 3

Velocidade [v] = L/T m/s

Aceleração [a] = L/T2 m/s 2

Massa [m] = M kg

Observação: A análise dimensional pode ser usada para a obtenção ou verificação de fórmulas usando as dimensões como quantidades algébricas. Apenas se podem somar ou subtrair quantidades que possuam a mesma dimensão. As quantidades em dois membros de uma equação terão de ter a mesma dimensão.

Nota: A análise dimensional não fornece factores numéricos. Por exemplo: a distância (x) percorrida por um carro num determinado tempo (t), partindo do repouso com aceleração constante (a) é dado por: x = (1/2)at 2. Esta equação pode ser verificada através de análise dimensional:



m.e. [x] = L

m.d. (1/2)at2 = (1/2) [a][t 2] = (L/T2) T 2 = L.

Desde que a dimensão do membro esquerdo (m.e.) da equação seja a mesma que a apresentada no membro direito (m.d.) da equação, a equação é dita, dimensionalmente homogénea.

Conversão de Unidades

Observação: As unidades podem ser utilizadas como quantidades algébricas. Por exemplo, podemos utilizar o factor de conversão 1 in = 2.54 cm para reescrever 15 polegadas em centimetros.

15 in = 15 in (2.54 cm / 1 in) = 38.1 cm

Notação Matemática 1. - proporcional a 2. < ou > - menor ou maior que 3. << ou >> - muito menor ou muito maior que 4. - aproximadamenrte igual a 5. - definido como 6. x – variação da quantidade x 7. - somatório 8. |x| - valor absoluto de x 9. ∃ - Existe 10. ⇒ - implica que 11. ⇔ - equivalente a 12. = - igual a



P(xo,y0)

Y

Y0

X X0 0

P(r,θ)

Y

X 0

r

θ

Sistemas de Coordenadas

A localização de um ponto numa linha pode ser descrito por uma coordenada; um ponto num plano pode ser descrito por duas coordenadas; um ponto num volume tridimensional pode ser descrito por três coordenadas. Em geral o número de coordenadas iguala o número de dimensões do espaço. Um sistema de coordenadas consiste em:

1. um ponto de referência fixo (origem) 2. uma série de eixos com direcções e escalas especificadas 3. instruções que especifiquem como caracterizar um ponto no espaço relativo à

origem e eixos.

Sistemas de coordenadas no plano

1 – cartesianas (sistema de coordenadas rectangular): (x, y)

Com x e y ∈ ℜ

2 – polares: (r,θ)

Com r ∈ [0, + ∞] e θ ∈ [0, 2π[



P(x,y,z)

P’(x,y,0)

P’ (r, θ, 0)

P(r, θ, z)

As coordenadas cilindricas (r, θ) de um ponto (x,y), são definidas por, x = r cos θ y = r sen θ

e com relações inversas dadas por,

r = (x2 + y2)1/2 θ = arctg (y/x)

Sistemas de coordenadas no espaço

§ Sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z).

P’ é a projecção de P no plano XOY

kzjyixOPOPrrr

++=−= Com x, y e z ∈ ℜ

§ Sistema de coordenadas cilindricas: (r, θθ , z)

kzerOP r

rr+=

Com r ∈ [0, + ∞[, θ ∈ [0, 2π[ e z ∈ ℜ

y

x

z

O

ir

kr

jr

y

x

z

O

kr

rer

èer

r θ



As coordenadas cilindricas (r, θ, z) de um ponto (x,y,z), são definidas por,

x = r cos θ y = r sin θ z = z

e inversamente,

r = (x2 + y2)1/2 θ = arctg (y/x)

z = z

§ Sistema de coordenadas esféricas: (r, θθ , ϕϕ )

rerOPr

=

Com r ∈ [0, + ∞[, θ ∈ [0, 2π[ e ϕ ∈ [0, π] As coordenadas esféricas (r, θ, ϕ) de um ponto (x,y,z), são definidas por,

x = r cos θ sin ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos ϕ

e inversamente,

r = (x2 + y2+z2)1/2 θ = arctg (y/x)

ϕ = arcos (z/r)

Definição: O vector posição r, em qualquer sistema de coordenadas, especifica a posição de um dado ponto relativamente à origem do sistema de eixos utilizado.

P(r,θ,ϕ)

y

x

z

O

P’(rsinϕ,θ,π/2)

r

θ

ϕ ϕer

èerre

r



Conceitos matemáticos necessários

1. Operações com vectores

a) Adição de vectores CBArrr

+=

Notação: 333222111 e)C(Be)C(Be)C(BArrrr

+++++= Exemplo: calculo da força resultante

b) Produto de um vector por um escalar: BbArr

=

Notação: 332211 ebAebAebAArrrr

++=

Exemplo: cálculo da força efectiva, quantidade de movimento

c) Produto interno: C|Barr

=

Notação: 332211 CBCBCBa ++=

Exemplo: determinação da componente de uma força numa dada direcção, cálculo do trabalho

d) Produto externo: CBArrr

∧=

Notação:

321

321

321

CCC

BBB

eee

A

rrrr

=

Exemplo: cálculo do momento de uma força, cálculo do momento ângular, cálculo da força magnética

e) Cálculo de determinantes 3x3 Notação:



)()()(

CCC

BBB

AAA

122133113223321

321

321

321

CBCBACBCBACBCBA −+−+−=

Exemplo: cálculo de momentos e rotacionais

Cálculo diferencial

a) Derivada e diferencial duma função

Notação: dxdx

dfdff(x)f =⇒=

Exemplo: determinação da velocidade conhecida a posição em função do tempo

b) Derivada da função composta

Notação: [ ]dt

dx

dx

df

dt

dfx(t)ff =⇒=

Exemplo: determinação da velocidade em função do tempo, de um corpo ligado a uma mola ou ligado a um dispositivo de amortecimento viscoso

c) Derivada parcial x∂

∂ e gradiente de um campo escalar V(P)

Notação: xV

V(P)x ∂

∂=∂∂

kz

Vj

y

Vi

x

VgradV

rrr∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Exemplo: relação entre um campo de força conservativo e a respectiva energia potencial, determinação do trabalho de uma força conservativa

d) Rotacional de um campo vectorial (P)Fr

Notação:

zyx FFFzyx

kji

Frot∂∂

∂∂

∂∂=

rrrr



Exemplo: verificação de que um campo de força é conservativo

Cálculo integral

a) Primitivas e integrais simples

Notação: cteF(x)f(x)dxdFf(x)dxdx

dFf(x) +=⇔=⇔= ∫

12

x

x

F

F

x

x

FFf(x)dxdFf(x)dxdFf(x)dxdx

dFf(x)

2

1

2

1

2

1

−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫

Exemplo: determinação da velocidade e/ou posição de um corpo, conhecidas as forças que sobre ele actuam

b) Integrais de linha de campos vectoriais

Notação: ∫=⇔=ã

dP|FW dP|FäWrr

, em que γ representa um caminho

Exemplo: cálculo do trabalho de uma força



'rr

rr

rr∆sr∆

vr

Cinemática dos Corpos Rígidos

Introdução Estudo das relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido.

Vector posição, velocidade e aceleração A posição de uma particula ou ponto material (PM) num dado intante t pode definir-se pela utilização de um vector r, traçado num sistema de referência fixo OXYZ. Este vector caracteriza-se pela sua:

a) Intensidade b) Direcção c) Sentido

Assim, define-se de um modo completo a posição de um PM em relação ao sistema de eixos. Considere a figura seguinte em que o representa um ponto fixo no espaço.

O vector posição do PM num determinado instante t em relação a 0 é definido como o

vector POr

, tal que,

rr = POr

(m) Considere-se agora a posição P’ do PM no instante t + ∆t, caracterizado pelo vector rr ’. O vector ∆ rr , que une P a P’, traduz a variação do vector posição durante ∆t, em termos

P(x,y,z)

y

x

z

O ir

kr

jr

P’(x’,y’,z’)



de direcção e intensidade. Deste modo temos a velocidade média do PM, definida como: v

rm = ∆ rr / ∆t

Escolhendo-se intervalos de tempo cada vez menores e por conseguinte, vectores ∆r cada vez menores, obtemos a velocidade instantânea:

vr

= lim|∆t -> 0 (∆ rr / ∆t) ≡ d rr / dt (m/s) A intensidades v do vector vr , designa-se velocidade do PM ou intensidade da velocidade. À medida que ∆t se torna menor, o comprimento aproxima-se do comprimento do arco PP’, sendo v dado por:

v = lim|∆t -> 0 (PP’ / ∆t) = lim|∆t -> 0 (∆∆ s / ∆t) ≡ ds / dt (m/s) Pode-se assim obter a velocidade v, derivando em ordem a t o comprmento s do arco descrito pelo PM. De modo análogo se obtém a aceleração média do PM, como, a

rm = ∆ v

r / ∆t

De salientar que a variação da velocidade se dá em direcção e intensidade. A aceleração instantânea, a qual corresponde à taxa de variação da velocidade no tempo, é representada pelo vector a dado por, ar = lim|∆t -> 0 (∆ vr / ∆t) ≡ dvr / dt = drr 2 / dt2 (m/s2) De salientar ainda que, geralmente o vector aceleração não é tangente à trajectória descrita pelo PM. A trajectória é a curva definida pelas sucessivas posições do PM. Em geral a posição, velocidade e aceleração do PM dependem do tempo, ou seja, rr = rr (t)

vr = vr (t) ar = ar (t)



A

A’

B

B’

A

A’

B

B’

Translacção O movimento de um corpo rígido (CR) diz-se de translacção quando qualquer recta definida por dois pontos genéricos no CR conserva a mesma direcção durante o movimento. Todas as particulas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectórias paralelas.

a) Translacção rectilínea Quando as trajectórias são linhas paralelas

b) Translacção curvilínea

Quando as trajectórias são linhas curvas

Rotação em torno de um eixo fixo Neste tipo de movimento de um CR, as partículas movem-se em planos paralelos e segundo circuinferências em torno do mesmo eixo fixo. Se o eixo de rotação intersectar o corpo rígido, as partículas localizadas sobre ele terão velocidades e aceleração nulas. Observação: Translacção curvilínea Rotação

A B



Movimento rectílineo variado O movimento de um corpo diz-se rectilíneo quando a respectiva trajectória é uma recta. Para o movimento rectilíneo temos, r // v

r // a, e pode estudar-se o movimento apenas

com as seguintes expressões, rr = x i

r

vr = vx i

r = v i

r, com v = dx/dt

ar = ax i

r = a i

r , com a = dv/dt

O movimento diz-se variado quando a aceleração não é constante. Quando a aceleração é constante o movimento diz-se uniformemente variado. Dada a posição em função do tempo, a determinação de v

r e a

r é obtida directamente

por derivação. Contudo, quando se pretende determinar vr

e rr , dada a aceleração tem que se efectuar a integração das equações do movimento.

Aceleração como função do tempo: a = a(t)

Sabendo-se que, a(t) = dv/dt obtém-se,

∫+=t

tdt)t(avv

00

ou seja, dada a função a(t) e a velocidade num instante inicial t0 é possível determinar a velocidade em função do tempo. Para se obter a posição efectua-se o mesmo tipo de raciocinio, ou seja, sendo v = v(t) e sabendo-se que, v(t) = dx/dt obtém-se

∫+=t

t

dt)t(vxx0

0

Então, dada a velocidade v(t) e a posição num instante t0 é possível determinar a posição em função do tempo.

Aceleração como função da velocidade: a = a(v)

Quando a aceleração é dada em função da velocidade a = a(v), tem de se efectuar alguma manipulação das expressões antes de se integrar. Então de,



a(v) = dv/dt ⇔ dt = dv/a(v) obtém-se

∫=−v

v

dv)v(a

tt0

10

conhecida a expressão a(v) e a velocidade no instante t0, pode determinar-se a velocidade em função do tempo. Pode ainda determinar-se x directamente da a = a(v). Ou seja, sendo, a=a(v), então, a(v) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx obtendo-se

∫+=v

v

dv)v(a

vxx0

0

Logo, obtém-se a posição em função da velocidade.

Aceleração como função da posição: a = a(x) Seguindo o mesmo tipo de raciocínio, temos então, a(x) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v (dv/dx) obtendo-se

∫+=x

x

dx)x(avv0

0222

ou seja, para determinar a velocidade basta conhecer a(x), e a posição e velocidade num instante t0.

Casos Particulares 1 – Movimento rectilíneo uniforme Sendo, v = dx/dt = cte, logo da expressão anterior,

∫+=v

v

dv)v(a

vxx0

0

obtemos,



x = x0 + v(t-t0) 2 – Movimento rectilíneo uniformemente acelerado Para este tipo de movimento, temos, a = dv/dt = cte

Considerando a expressão, ∫+=t

tdt)t(avv

00 , obtém-se,

v = v0 + at assumindo que t0 = 0. Considerando agora esta nova equação, e sabendo-se que: v = dx/dt = v0 + at obtém-se

2

2

00attvxx ++=

Considerando agora a expressão,

∫+=x

x

dx)x(avv0

0222

então para o tipo de movimento em questão obtemos,

)xx(avv 022 20

−+=



Componente tangencial e normal da aceleração Como já se verificou, a velocidade de um corpo é um vector tangente à sua trajectória, mas, em geral a aceleração não o é. Torna-se por conseguinte, conveniente decompor a aceleração em componentes, dirigidas segundo a tangente e a normal à trajectória do corpo. Sendo a velocidade da particula tangente à trajectória, podemos expressá-la pelo

produto do escalar v pelo versor ter

, ou seja,

vr

= v ter

Para obter a aceleração do corpo, devemos derivar esta equação em ordem a t, ou seja,

dt

edve

dt

dv)ev(

dt

d

dt

vda t

tt

rrrrr+===

Desenvolvimento de: dted t

r

Projectando as componentes normal ( ner

) e tangencial ( ter

) no sistema de eixos cartesianos, temos, te

r = cosθi + senθj

ne

r = -senθi + cosθj

Então, x

y

θ

θ

i

j terne

r

Trajectória

dθ

P

P’

ter

– versôr tangente à

trajectória em P

ter

’ – versôr tangente à

trajectória em P’

ner

– versôr normal à

trajectória em P

ner

’ – versôr normal à

trajectória em P

ρ - raio da curvatura

C – centro da curvatura



j)e(dt

di)e(

dt

d

dt

edytxt

trrr

+=

)jcosisen(dt

djcos

dt

di)sen(

dt

djsen

dt

dicos

dt

d

dt

ed trrrrrrr

θ+θ−θ

=θθ

+θ−θ

=θ+θ=

nt e

dtd

dted rr

θ=

Sabendo-se que,

v1

dt

ds

ds

d

dt

d

ρ=

θ=

θ

porque,

vdt

ds e

1

ds

d=

ρ=

θ

onde ρ corresponde ao raio de curvatura. Então,

ρ

=θ v

dt

d

logo,

nt e

vdted rr

ρ=

então,

n

2

t ev

edt

dv

dt

vda

rrrrρ

+==

sendo,

i) dt

dvaT = , a componente tangencial da aceleração. Taxa de varição do

módulo da velocidade

ii) ρ=

2

nv

a , a componente normal da aceleração. Relaciona-se com a taxa

de variação da direcção da velocidade e é sempre ≥ 0, logo o vector da aceleração aponta sempre para a parte concava da trajéctória.

dθ dS =ρ dθ

ρ



O módulo da aceleração vem então dado por,

2

422n

2T

vdtdv

aaaρ

+

=+=

Casos particulares 1)

movimento existe Não 0v ii)

uniforme rectilíneo Movimento ctev

)i

ou

0v

0v

a

ctev0dt

dva

2

n

T

⇒=

⇒

∞=ρ=

∞=ρ

=⇒=

ρ=

=⇒==

2)

uniformecircular Movimento ctecte

va

ctev0dt

dva

2

n

T

⇒

=ρ⇒=ρ

=

=⇒==

3) Sempre que aT = 0 ⇔ dv/dt = 0 ⇒ v = cte, logo o movimento é uniforme. 4) Sempre que aT = cte ⇔ dv/dt = cte ⇒ v ∝ t, e o movimento é uniformemente

variado. 5) Sempre que an = 0 ⇔ v2/ρ = 0, então v = 0 e não existe movimento, ou, ρ = ∞ e

o movimento é rectilíneo.

P aT eT

en

an a



Componentes radial e transversal da velocidade e aceleração Em alguns problemas do movimento plano, a posição de um corpo define-se através das suas coordenadas polares r e θ. Torna-se então necessário decompor a velocidade e aceleração do corpo segundo duas direcções, uma paralela e outra perpendicular à linha OP, as quais se designam por componente radial e transversal, respectivamente. Sendo,

θ=θ

eded r rr

e reded rr

−=θ

θ

e como, rerr

rr=

então,

dted

rerdted

redtdr

)er(dtd

dtrd

v rr

rrr

rr&rrrrr

+=+===

aplicando a regra da diferenciação em cadeia,

θθ

θ= θ

&rrre

dtd

ded

dted rr

Então substituindo em vr

, temos,

θθ+= ererv r

r&r&r

onde:

1) rvr&= , representa a componente radial da velocidade

e

2) θ=θ&rv , representa a componente transversal da velocidade

Diferenciando novamente em ordem a t, obtemos a aceleração, ou seja,

dted

rererdted

rerdtvd

a rr

θθθ θ+θ+θ++==

r&r&&r&&

r&r&&

rr

Sabendo-se que,

x

θ

O

y

P r

rer

θer

ir

jv



θθ= edted r r&r

e aplicando agora a regra da diferenciação em cadeia a dted θ

r, temos,

θ−=θ

θ= θθ &rrr

redtd

ded

dted

Substituindo agora na expressão da aceleração, obtemos,

( ) r

2

r erererererdtvd

ar&r&&r&&r&&r&&

rrθ−θ+θ+θ+== θθθ

( ) θθ+θ+θ−= e)r2r(e)rr(a r

2 r&&&&r&&&r

com:

1) ( )2

r rra θ−= &&& , representando a componente radial aceleração e

2) θ+θ=θ&&&& r2ra , representando a componente transversal aceleração.

Caso Particular – Movimento Circular Para este tipo de movimento temos, 0==⇒= rrcter &&& Logo,

θ=θ−=

θ==

θ

θ

&&&

&

rara

e

rv

v

r

r

2

0



Movimento curvilíneo variado Quando o movimento é variado, a aceleração não é constante e a determinação da velocidade e posição em função do tempo a partir da aceleração envolve integração das equações do movimento. Seja,

)(tr r e )t(vv ),t(aa 00rrrrrr

=== 00 então,

∫∫∫ +=⇔=⇔=⇔=t

t

t

t

v

vdtavvdtavddtavd

dtvda

000

0

rrrrrrrrr r

r

e

∫∫∫ +=⇔=⇔=⇔=t

t

t

t

r

rdtvrrdtvrddtvrd

dtrdv

000

0

rrrrrrrrr r

r

Em coordenadas cartesianas estas equações vectoriais passam à forma:

∫+=t

txxx dtavv

0

0

∫+=t

tYYY dtavv

0

0

∫+=t

tZZZ dtavv

0

0

e

∫+=t

txdtvxx

0

0

∫+=t

tydtvyy

0

0

∫+=t

tzdtvzz

0

0



Quando se conhecem as componentes tangencial e normal da aceleração pode proceder-se à integração das equações do movimento como se descreveu para o movimento rectilíneo, tendo em conta que se deve substituir a aceleração por aceleração tangencial, ou seja, Se aT =aT(t), pode usar-se a relação desta com v para determinar v(t):

∫∫∫ +=⇔=⇔=⇔=t

tT

t

tT

v

vTT dtavvdtavddtadv

dtdva

000

0

Se aT =aT(s) ou aT =aT(v), efectuam-se as mudanças de variável necessárias e obtêm-se expressões análogas às obtidas no caso do movimento rectilíneo.



Rotação em Torno de um eixo fixo

O movimento de um corpo rígido (CR, não deformável), diz-se de rotação em torno de um eixo fixo quando todas os ponto do corpo se deslocam em trajectórias circulares paralelas e centradas na mesma recta fixa, designada por eixo de rotação.

Deslocamento, velocidade e aceleração angular Seja um corpo rígido plano, confinado ao plano xy, e considere-se uma das suas partículas inicialmente sobre o eixo OX. Durante o movimento da partícula, desde o eixo OX (θ = 0) até ao ponto P, ela descreve um arco de circunferência de comprimento S, que se relaciona com a posição angular θ, através da expressão, s = rθ ou θ = s/r Sendo θ a razão entre o comprimento de arco e o raio da circunferência, então θ corresponde a um número puro. Contudo atribui-se a θ a unidade artificial, radiano (rad), para a qual: 1 rad ≡ ângulo compreendido por um comprimento de arco igual ao raio do arco. Com o movimento da partícula em questão, de P para Q, num determinado ∆t, o raio vector desloca-se, ∆θ = θf - θi (deslocamento angular) Definindo-se então a velocidade angular média como:

A B

x

y P

r S θ

O



ttt if

if

∆θ∆=

−θ−θ

=ω

e a velocidade angular instântanea, como,

(rad/s) dtd

tlimt

θ=∆

θ∆=ω→∆ 0

A velocidade angular, ω, é positiva quando θ aumenta (movimento no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio) e negativo quando θ diminui (sentido dos ponteiros do relógio). A aceleração angular média, α , de um objecto em rotação é definida como:

ttt if

if

∆ω∆=

−ω−ω=α

e a aceleração instântanea, como,

)(rad/s dtd

dtd

t2

tlim 2

2

0

θ=

ω=

∆ω∆

=α→∆

α é positivo quando a taxa de rotação aumenta no sentido contrário ao dos ponteiros dos relógio, ou quando a taxa de rotação decresce no sentido contrário dos ponteiros do relógio. Aquando da rotação em torno de um eixo fixo, qualquer que seja a partícula de um objecto rígido, roda o mesmo ângulo e tem a mesma velocidade e aceleração angular que o corpo. Isto é, as quantidades, θ, ω e α de um determinado ponto material do corpo caracterizam o movimento rotacional de todo esse corpo rígido.

x

y

P, ti r θ f

O

r

θ i

Q, tf

x

y

A rB

θ B

O

rA

θ A

B



Direcção de ωω e αα Para a rotação em torno de um eixo fixo, a única direcção que específica o movimento rotacional é a direcção ao longo do eixo de rotação. Portanto as direcções de ω e α são ao longo deste eixo. A direcção de ω

r segue a

convenção da regra da mão direita, isto é, A direcção de α

r segue a definição de dω

r/dt. Possui a mesma direcção de ω

r, se a

velocidade angular aumenta com o tempo e é antiparalela a ωr

se a velocidade angular decresce com o tempo.

Componentes radial e transversal Sabendo-se que o vector posição, velocidade e aceleração, em coordenadas radial e transversal são dadas por:

rr re zk= +rr r

θθ+= ererv r

r&r&r

( ) θθ+θ+θ−= e)r2r(e)rr(a r

2 r&&&&r&&&r

então para o movimento de rotação em torno de um eixo fixo, temos para cada partícula desse mesmo corpo, r = cte e z = cte. Então resulta,

0

0

r rz z

= == =

& &&& &&

resumindo as expressões gerais a:

rr re zk= +rr r

v r e r eθ θθ ω= =r r r&

( )2 2r ra r e r e r e r eθ θθ θ ω α= − + = − +r r r r r& &&

ωr

vr

vr

ωr

vr

y

x

z

O

kr

rer

èer

r θ



De salientar que a coordenada angular θ define completamente a posição do corpo rígido.

Relações entre as variáveis lineares e angulares (forma escalar) Uma partícula move-se uma distância s ao longo de um arco quando o corpo gira um ângulo θ. Portanto: s = r × θ Diferenciando ambos os membros em ordem ao tempo, temos,

sendo r = ctedS drdt dt

θ=

Como a velocidade linear é dada por, v = dSdt

, e a velocidade angular por, ω = ddtθ

,

então é válida a seguinte relação, v = ω × r o que nos permite relacionar os módulos da velocidade linear tangencial e da velocidade angular. Diferenciando esta última equação em ordem ao tempo, temos

sendo r = ctedv drdt dt

ω=

Como, a aceleração tangencial é dada por,

Tdv adt

=

e a aceleração angular por,

ddtω

α=

então, temos a relação entre os módulos da aceleração tangencial e angular dada por, aT = α × r Sabendo-se que a aceleração normal é dada por,

2

nvar

=

e utilizando agora a expressão que relaciona os módulos das velocidades temos, 2

na rω= ×



Propriedades

Na rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, tém-se,

i) vr é sempre transversal e exprime-se como v = ω × r ii) sendo para este tipo de movimento, r = cte, então ar tem componentes radial e transversal que coincidem com as componentes normal e tangencial, respectivamente, ou seja, an = r ω2 = r × (θ& )2 = ar e aT = r × α = r × θ&& = - aθ

podendo o módulo da aceleração ser dado por,

2 2 2 4 2 2 2 2ra a a r r rθ ω α α ω= + = + = +

iii) As equações que definem a rotaçao de um corpo rígido em torno de um eixo fixo são:

a) 0

0( ) ( )t

t

dt t dtdtθ

ω θ θ ω= ⇒ = + ∫

b) 0

2

02( ) ( )

t

t

d dt t dtdt dtω θ

α ω ω α= = ⇒ = + ∫

c) 0

0

2 2( ) ( )d d d d ddt d dt d

θ

θ

ω ω θ ωα θ ω ω ω α θ θ

θ θ= = = ⇒ = + ∫

iv) Casos particulares a) movimento de rotação uniforme

para este tipo de movimento temos: α = 0 ⇒ aT = 0

ω = cte ⇒ an = cte e v = cte θ = θ0 + ωt, assumindo t0 = 0



b) movimento de rotação uniformemente acelerado

Para este tipo de movimento temos, α = cte ⇒ aT = cte

ω = ω0 + αt ⇒ an = f(t) e v = f(t), assumindo t0 = 0 θ = θ0 + ω0t + (1/2)αt2 , assumindo t0 = 0



Operadores Diferenciais

Os campos podem ser classificados tanto como escalares ou vectoriais.

Um campo escalar é uma função singular do espaço e tempo, onde para cada ponto do espaço P(x, y, z) está associado um escalar (o qual é independente do sistema de coordenadas escolhidas). A temperatura de um volume de gás, a altitude e a densidade de um volume de rocha são exemplos de campos escalares.

Exemplos:

1 – Temperatura T = T(x, y, z)

Ao ponto P do espaço 3D corresponde um valor de temperatura, ou seja, T é uma função de (x, y, z).

2 – Altitude h = h(x,y)

Ao ponto P de uma superfície corresponde um cota ou altitude, que é a coordenada z do ponto.

Um campo vectorial, tal como o fluxo de calor, velocidade de um fluido e a atracção gravitacional, deve ser caracterizada por três funções do espaço e tempo, nomeadamente, as componentes do campo em três direcções ortogonais.

Um campo vectorial pode ser caracterizado pelas suas linhas de campo (também conhecidas como linhas de fluxo ou linhas de força), linhas essas, que são tangentes em todos os pontos ao campo vectorial.

Portanto, para um campo vectorial, a cada ponto do espaço P(x, y, z) está associado um vector.

Z

Y x

P(x,y,z)

Z

Y x

P(x,y,z)

h



Exemplo: Velocidade de escoamento numa contuda

Para qualquer ponto P(x, y, z) há uma velocidade de escoamento, em que ( , , )v v x y z=r r

Exemplo: Velocidade de qualquer ponto de um corpo rígido em rotação, onde ( )v v r=r r , sendo r a distância de cada ponto ao eixo de rotação.

Exemplo: Campo gravitacional ( )G G r=r r

, sendo r a distância a O.

X

Y

3( )v v r=r r

2( )v v r=r r

1( )v v r=r r

O



Gradiente

O gradiente de um campo escalar num ponto é um vector que aponta no sentido da maior variação de intensidade do campo escalar e cujo módulo é a derivada direccional do campo escalar.

Matematicamente o gradiente de uma função escalar f em coordenadas cartesianas escreve-se como:

x y z

f f fgrad(f) f e e e

x y z

∂ ∂ ∂= ∇ = + +

∂ ∂ ∂

rr r r r

sendo ∇r

o operador nabla, o qual é dado em coordenadas cartesianas por,

x y ze e ex y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

r r r r

Sendo u(x, y, z) = u0 uma função escalar representativa de uma superfície em ℜ3 de valor constante u0, então para qualquer ponto sobre esta superfície tem-se a diferencial exacta

u u udu dx dy dz 0

x y z

∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂

visto que u = u0 = cte. Então

( )x y z x y z

u u udu u |dP e e e | dxe dye dze 0

x y z

∂ ∂ ∂= ∇ = + + + + = ∂ ∂ ∂

r r r r r r r r

ou seja, ∇r

u ⊥ dPr

, em que dPr

é um vector elementar sobre a superfície. Então daqui

verifica-se que ∇r

u para qualquer ponto da superfície u(x, y, z) = u0 = cte é

perpendicular à mesma (verifique exemplo apresentado na figura). Mais ainda, o ∇r

u aponta no sentido crescente da maior variação de u.

Superfície u (x, y, z)=u0 ∇r

u

∇r

u ∇r

u

dPr

dPr

dPr

A

B

C



Exemplo: Seja a função escalar u = 3x2 + 5y3. O seu gradiente é então dado por:

2u 6xi 15y j 0k∇ = + +r r rr

em que para o ponto P(1,1), temos o gradiente dado por,

u 6i 15j∇ = +r rr

correspondendo a componente do ∇r

u numa dada direcção à taxa de variação do campo escalar definido pela função u nessa direcção:

P(1,1) P(1,1)

u u6 e 15

x y

∂ ∂ = = ∂ ∂

Circulação e Rotacional de um campo vectorial A circulação de um campo vectorial α

r é definido por:

C |dPγ

= α∫rrÑ

correspondendo por conseguinte à soma da componente tangencial de α

r ao longo do caminho fechado γ.

No exemplo da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo OZ, temos a circulação máxima da velocidade quando escolhemos um circunferência paralela à superfície OXY centrada em OZ. Seja então γ uma circunferência de raio r = r0 (como se apresenta na figura adjacente). Logo a circulação do campo vectorial de velocidade vem dado por,

0

0

r r

C v|dP vds v ds v2 rγ γ =

= = = = π∫ ∫ ∫rrÑ Ñ Ñ

tendo em consideração que Tv ve=rr

com v constante em γ e em qualquer instante, e que

TdP dse=r r

Como se pode depreender, a circulação de v

r

corresponde ao produto do módulo da velocidade pelo perímetro de γ, mas pode também ser escrita em função da velocidade angular ω e da área (A): V = ω r0 ⇒ C = 2πv r0 = 2πω(r0)2 = 2ωA

ωr

X

Y

Z

O

γγ

γγ

αr

dPr



ωr

X

Y

Z

O

γγ

Se escolhermos uma circunferência de igual raio mas paralela a OXZ ou a OYZ, então a circulação de v

r será nula,

C v |dP 0γ

= =∫rrÑ

visto que vr

está restringido ao plano OXY enquanto que as trajectórias se enquandram em

planos perpendiculares a este, ou seja, vr

⊥ dPr

.

Rotacional O rotacional de um campo vectorial α

r num determinado ponto P corresponde a um

vector cuja direcção indica a orientação da curva fechada para a qual a circulação do campo é máxima, e de módulo igual à circulação por unidade de área, ou seja,

A 0

|rot | lim|dP

A→

α = γα∫r

rrÑ

Em coordenadas cartesianas, sendo o campo vectorial αr

, dado por:

x y zi j kα = α + α + αr r rr

então

y yz x z x

x y z

î j k

rot i j kx y z y z z x x y

∂α ∂α ∂ ∂ ∂ ∂α ∂α ∂α ∂α α = ∇ ∧ α = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α α α

r rrr r rrr r

em que ∧ representa o produto vectorial (ou externo). Exemplo: Considere-se a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo OZ. Então, sabendo-se que o vector velocidade linear é dado pelo produto externo entre a velocidade angular e o raio da trajectória, temos,

ωr

X

Y

Z

rr

P(x, y, z)

A

P

γ

rotαr



î j k

v r 0 0 yi xj

x y z

= ω ∧ = ω = −ω + ω

r rrr rr rr

então o rotacional de v

r, vem dado por,

î j k

rotv k k 2 kx y z

y x 0

∂ ∂ ∂= ∇ ∧ α = = ω + ω = ω

∂ ∂ ∂−ω ω

r rrr r rr rr

Logo verifica-se que para a rotação de um corpo rígido, o rotacional do campo vectorial das velocidades é um campo vectorial cujo valor é o mesmo em qualquer ponto e está direccionado ao longo do eixo de rotação com o dobro da magnitude da velocidade angular. Tal resultado pode ainda ser verificado a partir da definição do módulo do rotacional, ou seja, sendo C = 2ωA, obtém-se,

A 0

|rotv| limA 0

v|dP 2 Alim 2

A A→

=→

ω∫ = = ωr

rrÑ

como seria de esperar. Observação: Um campo vectorial α

r é conservativo sse o rotα

r = 0 e neste caso existe um campo

escalar u tal que αr

= ∇r

u. Para verificar se um campo α

r é conservativo, basta verificar se todas as componentes

de rotαr

se anulam, ou seja, verificar se,

y yz x z x0 e 0 e 0y z z x x y

∂α ∂α ∂α ∂α ∂α ∂α − = − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ou seja, para que α

r seja conservativo deve ter-se:

y yz x z x, e y z z x x y

∂α ∂α∂α ∂α ∂α ∂α= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ou seja, verificar se as derivadas cruzadas são nulas. Exemplos: 1 – Verificar que o campo de velocidades de um corpo rígido em rotação em torno do eixo OZ não é conservativo.



Como já se verificou,

v yi xj= − ω + ωr rr

resultando

y

x

v

xv

y

∂= ω

∂∂

=−ω∂

logo não se verifica a igualdade para estas derivadas cruzadas, pelo que o campo de velocidades não é conservativo. 2 – Verificar que o campo gravítico à superfície terrestre é conservativo

Pr

Sendo o peso à superfície (Pr

) dado por: P mg mgj= = −

rr r

então, verifica-se que,

y yz x z x0, 0 e 0y z z x x y

∂α ∂α∂α ∂α ∂α ∂α= = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

pelo que se conclui que o campo gravítico à superfície terrestre é conservativo.

Integral de Linha

Para o cálculo do integral de linha, ou seja, o integral ao longo de uma trajectória, dado por, F|dP

γ∫

r rÑ tem que se conhecer a expressão de Fr

=Fr

(x, y, z) e determinar a respectiva

componente tangencial ao longo do caminho γ:

T x y z x y zF ds F|dP (F i F j Fk) | (dxi dyj dzk) F dx F dy Fdz= = + + + + = + +r r r r r rr r

.

Exemplo: Seja F 2i 4 j 5zk= + +r r rr

e a trajectória dada pelo gráfico, ou seja, dP dyj=rr

X

Z

Y

Pr

X

Z

Y

A B

Y B

Y A

Z = Z A B



Então de A para B, temos,

AF|dP (2i 4 j 5z k)|(dyj) 4dy= + + =r r r rr r

integrando, obtemos,

( )B

A

Y

B A

Y

F|dP 4dy 4 y yγ

= = −∫ ∫r r

Quando o trajecto γ é constituido por vários segmentos como se apresenta na figura, então podemos escrever,

A B B C C D

F|dP F|dP F|dP F|dPγ → → →

= + +∫ ∫ ∫ ∫r r r r r r r r

Se o campo Fr

é conservativo deve ter-se Fr

= ∇r

u, logo,

B

A

u

B Au

F|dP u |dP du u uγ γ

= ∇ = = −∫ ∫ ∫r r r r

X

Z

Y

C

B A

D



Dinâmica

Ao estudo da relação entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento, chama-se dinâmica. Pela experiência diária sabemos que o movimento de um corpo é um resultado directo da sua interacção com outros corpos que o cercam. As interacções são convenientemente descritas por um conceito matemático denominado força. O estudo da dinâmica é basicamente a análise da relação entre a força e as variações do estado de movimento de um corpo. Neste capítulo será introduzido o conceito de força. Serão discutidas as leis de Newton, as quais descrevem o modo de como um corpo responde a um conjunto de forças. Serão também apresentadas as forças de atrito e o modo de como podem ser matematicamente representadas.

Observações

1 - A força é a causa do movimento na mecânica clássica. A mecânica clássica trabalha com sistemas de dimensão >> 10-10m (dimensões atómicas) e velocidades << 3.0 × 108 m/s (aproximadamente a velocidade da luz). 2 – A força é um vector 3 – Existem dois tipos de forças: a) Forças de contacto. As quais envolvem o contacto físico entre objectos. A compressão de uma bola, o puxar de uma porta, são exemplos deste tipo de força. b) Campos de forças. As quais não implicam contacto físico entre objectos. O campo gravitacional e o campo electromagnético são exemplos deste tipo de forças.

Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia Enunciado: um objecto que se encontre em repouso ficará em repouso e um objecto que se encontre em movimento manterá o seu movimento a velocidade constante, se não existir qualquer tipo força externa entre o objecto e o ambiente que o rodeia. De salientar no entanto, que tal comportamento não existe no universo, uma vez que toda a partícula está sujeita a interacções com o resto do universo físico. Um corpo que não está sujeito à interacção é dito livre. A expressão matemática que traduz a Primeira Lei de Newton, está de acordo com,

0 0F a= ⇒ =∑r r



Segunda Lei de Newton ou Lei fundamental da dinâmica Antes de se considerar a 2ª Lei, propriamente dita, tem de se ter em consideração:

i) a quantidade de movimento e

ii) o princípio da conservação da quantidade de movimento A quantidade de movimento, também denominado de momento cinético, ou simplesmente momento de um partícula, é definido como o produto da sua massa pela sua velocidade. Designado por,

P mv=r r

Pode-se agora dar outro enunciado à Lei de Inércia, dizendo-se que, Uma partícula livre move-se sempre com quantidade de movimento constante. O princípio da conservação diz-nos que a quantidade de movimento total de um sistema de partículas isolado é constante, ou seja,

1 2 3 ...i ni

P P P P P P cte= = + + + + =∑r

À variação temporal da quantidade de movimento de uma partícula dá-se o nome força (resultante), ou seja,

dPFdt

=rr

Então, a massa constante, temos,

( ) 0d dm dvF mv v m madt dt dt

= = + = +rr r r r

dvF m madt

= =rr r

⇐⇐ 2ª Lei de Newton

Observações

• quando Fr

é constante e ar

é inversamente proporcional à massa. Tal significa, que para a mesma força, uma massa mais pequena terá uma maior aceleração.

• A 2ª Lei de Newton é uma quantidade vectorial que compreende três equações

escalares (em três dimensões): , , x x y y z zF ma F ma F ma= = =∑ ∑ ∑

• A 1ª Lei de Newton é um caso especial da 2ª Lei de newton.



• A unidade de força no Sistema Internacional (SI) é o Newton (N). 1 Newton é a força que produz uma aceleração de 1m/s2 quando actua sobre uma massa de 1kg.

Equilíbrio dinâmico

Tendo em consideração a 2ª Lei de Newton, na forma,

0F ma− =r r

a qual pode ser interpretada como uma adição do vector ma−

r ao conjunto das forças

actuantes sobre partículas cujo resultado é um sistema de vectores equivalente a zero. Se tivermos,

( )F ma=∑r r

então para o sistema se encontrar em equilíbrio dinâmico teremos de ter,

( 0)F ma− =∑r r

em que ma−

r corresponde à força de inércia.

Definição: a) Inércia, é a tendência que um objecto tem em resistir a qualquer tentativa de

alteração do seu estado de movimento.

Por exemplo, se considerarmos as componentes normal e tangencial da aceleração, teremos o vector inércia segundo essas duas componentes, -man e –mat, em que,

i) a componente tangencial traduz a resistência que o corpo oferece a uma

mudança da intensidade da sua velocidade.

ii) a componente normal (ou força centrifuga), representa a tendência do corpo para deixar a trajectória curva.

1Fr

2Fr

m mar

1Fr

2Fr

m - ma

r



As forças de inércia, como por exemplo, dvmdt

− e 2vmr

− , surgem como uma

resistência à variação do estado de movimento dos corpos. No caso de um elevador, dvmdt

− , é a oposição à variação de v. No caso de um automóvel a efectuar uma

curva, 2vmr

− , corresponde à oposição à mudança de direcção de v.

b) Massa (m), é a força necessária por unidade de aceleração produzida e é uma

medida da inércia. A massa é uma quantidade escalar e tem como unidades no sistema internacional (SI) o quilograma (kg).

Por exemplo, se uma bola de “bowling” e uma bola de golfe forem projectadas, verificar-se-à que será mais difícil de obter movimento para a bola de “bowling”, uma vez que possui mais massa e por conseguinte uma maior inércia.

c) Peso ( pr ), é a força exercida num objecto pelo campo gravitacional. Da segunda lei

de Newton, vem,

p mg=r r

De salientar que: O peso é um vector dirigido para o centro de Terra, ou perpendicular à superfície da Terra. O peso de um objecto é diferente na Terra e na Lua, uma vez que a intensidade do campo gravitacional é diferente (gTerra ≠ gLua). O valor de g varia com a distância ao centro da Terra. Como consequência,

i) como o planeta Terra não é uma esfera perfeita, o peso de um corpo varia ligeiramente de lugar para lugar na superfície terrestre.

ii) o peso de um corpo varia ligeiramente com a altitude acima da superfície

terrestre.

iii) Assume-se que na superfície terrestre, o valor de g é aproximadamente constante e dado por 9.8m/s2.

Em comparação, a massa é uma quantidade escalar com valor independente da localização. De salientar no entanto, assumindo-se que g é aproximadamente constante, a massa é proporcional à magnitude do peso e as duas quantidades podem ser mutuamente usadas. A tal correlação chama-se, princípio da equivalência.



Terceira Lei de Newton Enunciado: As forças na natureza existem sempre aos pares. A Terceira Lei de Newton diz-nos que, para cada acção, existe uma reacção de intensidade igual e sentido oposto. Quando dois corpos interagem 12 21F F= −

r r, ou seja a força exercida pelo corpo 1 no

corpo 2, é de intensidade igual e sinal contrário à força exercida pelo corpo 2 no corpo 1, ou seja a reacção. Por exemplo, quando um objecto está em queda devido à acção da gravidade, a Terra exerce uma força sobre ele que provoca a sua aceleração na direcção do centro da Terra. De acordo com a 3ª Lei de Newton, o objecto exerce uma força na Terra, assim como, a Terra acelera na direcção do objecto. Então agora questiona-se o porquê de não sentirmos a aceleração da Terra? Da 2ª Lei de Newton sabemos que,

objectonaTerra Terra TerraF m a=r r

e da 3ª Lei de Newton que,

objectonaTerra TerranoobjectoF F p= − ≡ −r r r

logo,

TerraTerra

objectoTerra

Terra

pam

ma g g

m

= − ⇔

⇔ =

rr

r =

concluindo-se assim, que a aceleração da Terra é demasiadamente baixa para se detectar, porque a massa da Terra é muito maior que a do objecto.



Atrito O atrito surge das forças entre átomos e moléculas aquando do contacto entre superficies. Por exemplo, o atrito surge quando um corpo se move sobre uma superfície ou através de um meio fluido (água, ar, ...). Existem dois tipos de forças de atrito seco (ou de Coulomb):

1. força de atrito estático ( fs ), é a força entre dois objectos quando não

existe movimento. 2. força de atrito cinética ( fk ), é a força de atrito entre dois objectos

quando dois objectos estão em movimento Considere um bloco sobre um superfície rugosa horizontal. Aplique uma força externa Fext ao bloco, paralelamente à superfície de contacto:

• Se Fext < fs(max) o bloco não se move. • Com o aumento de Fext, a fs aumentará até atingir um valor máximo. Quando,

Fext = fs(max) o bloco iniciará o movimento (obtém-se assim o ponto de deslizamento eminente).

• Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito será dada por fk .

Factos experimentais sobre o atrito 1 – fs ≤≤ µµ s ×× N onde µs é o coeficiente de atrito estático e N a magnitude da força normal.

A igualdade é obtida quando o objecto se encontra na situação de deslizamento eminente, fs(max) = µs×N.

2 – fk = µµ k ×× N onde µk é o coeficiente de atrito cinético e é aproximadamente constante

para qualquer par de materiais 3 – os valores de µk e µs dependem da natureza das superfícies de contacto. Usualmente

µk < µs. 4 – o sentido da força de atrito é oposto ao sentido de movimento do objecto. 5 – os valores de µk e µs são aproximadamente independentes da área de contacto entre

as duas superfícies. 6 – µk é aproximadamente independente da velocidade do objecto considerado.



Estratégia na resolução de problemas

• Desenhar a situação e o diagrama de forças (ou de corpo livre) de todas as forças para cada corpo.

o No diagrama de forças para cada objecto, inclua apenas as forças que actuam nesse objecto.

o A força exercida por um cabo é denominada de tensão e denota-se

usualmente por Tr

. o A força de contacto exercida por uma superfície tem duas componentes:

a reacção normal, que actua sempre perpendicularmente à superfície e a força de atrito, tangente à superfície.

• Esboce um sistema de coordenadas e aplique a 2ª Lei de Newton. Se tivermos movimento no plano, então:

∑ ∑∑

==

⇔=yy

xx

maFmaF

amFrr

• Se necessário use as equações da cinemática do movimento para a resolução das quantidades desejadas.



Trabalho e Enegia

Trabalho

O trabalho realizado por um agente que exerce uma força constante Fr

no deslocamento elementar drr de A para B, define-se como o produto interno F

r|drr , ou seja,

dW = F

r|drr

Pode-se ainda escrever, cosTdW F ds Fds θ= = sabendo ds =|drr | e que FT=Fcosθ é a componente tangencial da força. Em coordenadas cartesianas pode-se também ter,

x y zdW F dx F dy F dz= + +

O trabalho realizado pela força Fr

ao longo de um deslocamento finito da partícula de A para B, é obtido pela integração ao longo da trajectória descrita pela partícula, ou seja,

( )( , , )

( , , )

| cosB B B B

A A A A

x y z SB

A B x y zA x y z S

W F dr F dx F dy F dz F dsθ→ = = + + =∫ ∫ ∫r r

sendo s a variável de integração que mede a distância percorrida pela partícula ao longo da trajectória.

Observações:

• Se rr = 0 ⇒ W = 0, isto é, não é realizado trabalho quando se segura uma caixa pesada ou se empurra contra uma parede.

• W = 0 se Fr

⊥ drr , isto é, não é realizado trabalho ao se transportar qualquer peso horizontalmente.

• O sinal do trabalho depende da direcção de Fr

relativamente a drr . Se:

A

B Fr

drr



i) θ < 90, então dW > 0 ii) θ > 90, então dW < 0

O sinal é dado automaticamente considerando θ como o ângulo entre Fr

e drr e escrever-se dW = Fdscosθ

• Se Fr

actua ao longo da direcção da trajectória dsr , então dW = Fds, visto que, cosθ=cos0=1.

• O trabalho é um escalar, quando depende do caminho entre o ponto inicial e o ponto final.

• A unidade do trabalho no sistema internacional é o Joule (J; 1J = 1Nm=kgm2s-2).

Princípio do Trabalho e da Energia A força é um vector, o trabalho e a energia são escalares, sendo frequentemente mais fácil a resolução de problemas usando considerações da energia em vez de usar as leis de Newton (os escalares são de mais fácil manipulação do que os vectores).

Considere-se uma partícula de massa m sujeita à acção de uma força Fr

e que se desloca ao longo de uma trajectória curva ou rectilínea. Tendo em conta a 2ª Lei de Newton em função da sua componente tangencial, FT = maT = m dv/dt sabendo que v = ds/dt, e aplicando a regra da derivação em cadeia, resulta,

TF = m =mvdv ds dvds dt ds

então, FT ds = m vdv/ds integrando,

2 21( )

2

B B

A A

s v

T A B B As v

F ds mvdv W m v v→= ⇔ = −∫ ∫

definindo a energia cinética de uma massa em movimento como,

21

2CE mv=

então podemos escrever o trabalho como,

A B C CW = E (B) - E (A)→

Fn

FT

Frm

A

B



Esta última equação traduz o princípio do trabalho e energia: o trabalho realizado num objecto pela força resultante, entre duas posições A e B é igual à variação da energia cinética entre essas duas posições. Observação:

• Se a velocidade do objecto aumenta (vf > vi ) ⇒ W > 0. • Se W < 0 então o objecto está a realizar trabalho no agente que exerce o

conjunto de forças • Pode-se interpretar a energia cinética da última equação como o trabalho que um

objecto pode efectuar para obter o repouso. • A energia cinética é um campo escalar. • As unidades da energia cinética são as mesmas do trabalho (isto é, Joules, J).

Energia Potencial e trabalho A energia potencial (EP) corresponde à energia armazenada num sistema em consequência da posição e orientação das sua partes constituintes. A energia potencial ou função potencial de F

r é apenas definida para forças

conservativas. O trabalho de forças conservativas pode ser dado em função da energia potencial, correspondendo neste caso à variação da energia potencial, ou seja, WA→B=EP(A) – EP(B) = -∆EP em que EP(A) = EP(xA, yA, zA) e EP(B) = EP(xB, yB, zB). De salientar que o trabalho calculado deste modo, não vai depender da trajectória mas apenas da diferença de energia potencial. Se F

r é conservativa tem-se,

| 0F dr =∫

r rÑ

ou seja, se fizermos A coincidir com B ao longo de uma trajectória fechada, o seu trabalho é nulo. Se considerarmos dois pontos vizinhos A(x, y, z) e A’(x+dx, y+dy, z+dz), para os quais é válida a equação WA→A’=EP(A) – EP(A’), então o trabalho elementar dW, o qual corresponde ao deslocamento dr de A para A’, é: dW = EP(x, y, z) – EP(x+dx, y+dy, z+dz) ou dW = -dEP(x, y, z)



daqui verifica-se que o trabalho elementar realizado por uma força conservativa é uma diferencial exacta. No caso unidimensional tem-se

PP

EdE dxx

∂=

∂

logo, comparando com dW = Fr

|drr = Fxdx, resulta que,

Px

EFx

∂= −

∂

e no caso tridimensional,

dW = Fr

|drr = Fxdx + Fydy + Fzdz ⇔

⇔ dW = ( ) ( )P P PP P

E E Edx dy dz grad E Ex y z

∂ ∂ ∂− + + = − =−∇

∂ ∂ ∂

rr

Escolha do sistema de coordenanadas Aquando da resolução de problemas com energia potencial, a escolha da origem do sistema de eixos é equivalente a escolher o lugar onde a energia potencial é nula. Sabe-se que a física deve ser independente da escolha do sistema de eixos coordenados, logo o valor da energia potencial num dado lugar não tem significado físico. A quantidade que possui significado físico é a variação de energia potencial de uma posição para outra.

Conservação da Energia Existem muitas formas de energia – mecânica, química, electroestática, calorifica, nuclear. Num qualquer sistema isolado, a energia pode ser transformada de um tipo para outro tipo de energia, mas a quantidade total de energia é constante, ou seja, conserva-se. Exemplos, i) uma bateria contém energia química que pode ser utilizada para produzir energia mecânica, ii) quando um bloco escorrega sobre uma superfície rugosa, a força de atrito dá origem ao aquecimento do bloco e da superfície. Como resultado, a energia mecânica é transformada em energia térmica, mas a quantidade total de energia conserva-se. Nesta secção estamos interessados em dois tipos de energia mecânica:

• Energia cinética (EC ) (energia do movimento) • Energia potencial ( EP ) (energia da posição)

Forças Conservativas e Não Conservativas

Nem sempre é verdade que o trabalho realizado por uma força externa é armazenado como uma forma de energia potencial. Tal é apenas verdade se a força fôr conservativa, onde é válida a relação:



| ( ) ( )B

P PA

W F dr E A E B= = −∫r r

Definição: o trabalho que uma força conservativa realiza num objecto que se move de A para B, é independente do caminho – apenas depende dos pontos extremos do movimento. Para uma força não conservativa (ou dissipativa), o trabalho realizado no movimento de A para B depende do cominho efectuado (a força de atrito e a resistência do ar são alguns exemplos).

A conservação da energia mecânica

Já verificamos que o trabalho realizado por uma força conservativa pode ser expresso como uma variação da energia potencial. Quando um objecto se desloca sob a acção de força conservativas, o princípio do trabalho e da energia pode ser escrito como EP(A) - EP(B) = EC(B) - EC(A) ⇔ EP(A) + Ec(A) = EP(B) + EC(B) Tal significa que quando um objecto se desloca sob a acção de forças conservativas, a soma da sua energia cinética e da sua energia potencial se mantém constante. Quando todas as forças que actuam num corpo são conservativas, a quantidade, Em = Ec + EP conserva-se durante o movimento e designa-se por energia mecânica.

Forças não conservativas e o princípio do trabalho e da energia

Se existem forças não conservativas então a energia mecânica não se conserva, e escreve-se, W = Wnc + Wc = Ec(f) – Ec(i) Em que Wnc representa o trabalho das forças não conservativas e Wc o trabalho das forças conservativas. Sendo,

Wc = EP(i)-EP(f) Temos, Wnc = (Ec(f) – Ec(i)) + (EP(f)-EP(i)) = ∆EC + ∆EP = ∆(EC + EP) = ∆Em

Ou seja, o trabalho realizado por uma força não conservativa é igual à variação de energia mecânica.



Potência e rendimento mecânico

Potência (P) A potência é o trabalho realizado por unidade de tempo, ou a quantidade de trabalho realizado por segundo, ou seja,

dW

Pdt

= (Watt – W, 1W = 1J/s=Nm/s)

Sabendo-se que, dW F|dr=r r

, então,

dW F |d r dr

P F | F | vdt dt dt

= = = =r r rr r r

para Fr

constante.

Rendimento Mecânico (ηη) O rendimento mecânico é dado pela razão entre o trabalho realizado e o absorvido, ou seja,

realizado

absorvido

W1

Wη = <

sendo o rendimento sempre inferior à unidade. Este assunto será mais desenvolvido aquando do capítulo dedicado à termodinâmica. Esta definição pressupõe que o trabalho seja realizado a uma razão constante. Se o rendimento mecânico é dado pela razão apresentada, logo também será igual à razão entre as suas taxas de variação temporal, isto é,

realizado

absorvido

P1

Pη = <



Quantidade de Movimento

A quantidade de movimento é definida como:

P mv=r r

[kgm/s] Tendo em consideração a 2ª Lei de newton,

F ma=∑r r

pode-se escrever,

dv d dPF m (mv)

dt dt dt

dPF

dt

= = =

⇔ =

∑

∑

rrr rrr

isto é, a força resultante é igual à taxa de variação da quantidade de movimento. Graficamente, temos,

Princípio da conservação da quantidade de movimento O princípio diz-nos que perante a ausência de forças externas aplicadas às massas, ou seja, se a a soma das forças externas fôr nula, a quantidade de movimento permanece constante. Então temos,

F 0 P cte= ⇒ =∑r r

vr

Pr

m



Impulso de uma força

Define-se o impulso resultante RIr

da aplicação de uma ou várias forças durante um intervalo de tempo como,

f

i

T

R

T

I Fdt= ∫r r

[Ns]

Princípio do impulso e da quantidade de movimento Expressando a 2ª Lei de Newton na forma,

dF (mv)

dt=∑

r r

então, Fdt d(mv) Fdt mdv= ⇔ =

r rr r

integrando os dois membros da equação,

f f f f

i f i i

T v T T

f i i f

T v T T

Fdt mdv Fdt m(v v ) mv Fdt mv= ⇔ = − ⇔ + =∫ ∫ ∫ ∫r r rr r r r r

⇔

⇔ f

i

T

i f

T

P Fdt P+ =∫r r r

ou seja, podemos escrever,

i R fP I P+ =r r r

o que indica que a quantidade de movimento final fPr

de uma massa pode ser obtida pela

soma vectorial da sua quantidade de movimento inicial iPr

com o impulso resultante

RIr

exercido pela força Fr

durante o intervalo de tempo considerado, ou ainda,

RP I∆ =r r

ou seja, a variação da quantidade de movimento de um corpo é igual ao impulso da força resultante no mesmo intervalo de tempo.

iPr

RIr

+ = fP

r



Considerando o princípio da quantidade de movimento em coordenadas cartesianas, componente a componente, temos,

f

i

f

i

f

i

T

xi x xf

T

T

yi y yf

T

T

zi z zf

T

mv F dt mv

mv F dt mv

mv F dt mv

+ =

+ =

+ =

∫

∫

∫

Quando o F 0=∑r

, resulta RIr

=0, logo a quantidade de movimento conserva-se, ou

seja, de, i R fP I P+ =r r r

, com RIr

=0, resulta, i fP P=

r r

Se um sistema envolve duas ou mais partículas, deve considerar-se a soma vectorial das respectivas quantidades de movimento e impulso. Contudo, tendo em conta que as forças de acção – reacção exercidas pelas partículas entre si formam pares de forças iguais e de sentidos opostos, levando a que os impulsos exercidos por estas forças se cancelem entre si, restam apenas os impulsos originados pelas forças externas, ou seja,

i R externas fP I P−+ =∑ ∑ ∑r r r

o qual se reduz a:

i fP P=∑ ∑r r

para um sistema isolado (ou seja, sistema para o qual não existe interacções com forças exteriores). Esta última equação traduz a conservação da quantidade de movimento total das partículas.

Movimento Impulsivo Def: Movimento sob a acção de forças impulsivas que têm uma elevada intensidade, embora actuem num intervalo de tempo muito curto.

I F t ( F cte)∆∑ ∑r r

; ;

Os impulsos de forças não impulsivas podem em geral ser desprezados no movimento impulsivo, como exemplos, o peso do corpo, força exercida por uma mola,... Aquando do movimento impulsivo, podemos escrever o princípio do impulso e da quantidade de movimento, como,



i fP F t P+ ∆ =∑r r r

Problema: Considere-se o embate entre um taco e uma bola de basebol, em que a bola com uma massa de 113 g é lançada inicialmente com uma velocidade de 24.4m/s em direcção a um taco. Após a pancada do taco a velocidade passa a ser de 36.6m/s na direcção que se apresenta na figura seguinte. Se o taco e a bola estiverem em contacto durante 0,015s, determine a força impulsiva média exercida sobre a bola durante o choque. Esquematicamente temos, Então,

i x f x

y f y

-mv + F t = mv cos40 F 395Nx :

0 + F t = mv cos40 F 177Ny :

∆ ⇔ = ∆ ⇔ =

pelo que a intensidade da força resulta em F = 433N e o ângulo com a horizontal β = arctg(Fy/ Fx) = 24.2º.

40º

24.4m/s

36.6m/s

+ =

Quantidade de movimento inicial

Forças impulsivas

P∆∆ t=0 F∆∆ t

40º

Quantidade de movimento final

mvi mvf

X

Y



Choques ou Colisões

Utiliza-se o termo choque para representar a colisão entre dois corpos num intervalo de tempo muito curto. Aquando do choque os corpos produzem forças impulsivas em cada um. Estas forças assumem-se como muito mais elevadas do que qualquer outra força externa. As forças internas ao sistema de duas partículas são forças impulsivas enquanto que as forças externas não o são, logo estamos em condições de conservação da quantidade de movimento, ou seja (verifique figura),

antes do choque depois do choque

´ ´a a b b a a b b

P P

ou

P P '

ou

m v m v m v m v

=

=

+ = +

∑ ∑

∑ ∑

r r

r r

r r r r

Observação: Aquando da resolução de problemas relativos a colisões, usa-se para simplificação da resolução um sistema de eixos ortogonais (nc, tc), como se apresenta na figura ao lado, onde, nc – corresponde ao eixo normal comum às superfícies dos dois corpos, e tc – corresponde ao eixo tangente comum às superfícies de contacto.

Colisões centrais Diz-se que estamos perante um choque ou colisão central quando os centros de massa dos corpos que colidem estão alinhados segundo a normal de choque (nc). As colisões podem ainda ser divididas em colisão central directa e colisão central obliqua, consoante as velocidades das duas partículas que colidem se encontram ou não alinhadas com a nc.

Colisão central directa Define-se colisão central directa quando os centros de massa e as velocidades dos dois corpos que colidem estão alinhadas segundo a nc.

ma

va vb

mb

va’ vb’

nc

tc

nc vb va

va // vb // nc



Aquando do choque de partículas , estas inicialmente deformam-se, ao que se seguirá um período de restituição, no fim do qual, e dependendo da intensidade das forças de choque e dos materiais em jogo, as duas partículas recuperarão a sua forma original ou permanecerão deformadas. Esquematicamente, temos, De modo a se conhecer as velociaddes '

avr

e 'bv

r , considere-se agora o movimento da

partícula A durante o período de deformação e aplique-se o princípio do impulso e da quantidade de movimento, ou seja, Em componentes escalares podemos traduzir matematicamente o período de deformação como,

nc bvr

avr

nc

ur

nc 'bv

r'av

r

a) antes do choque as velocidades são av

r e bvr

b) Aquando do choque temos deformação das duas partículas e a velocidade é a mesma para as duas massas, sendo u

r .

c) depois do choque cada partícula adquire velocidades '

avr

e 'bv

r diferentes das iniciais

nc Ddt∫

+ nc ma av

r = nc

ma ur

Força impulsiva que actua em A durante este período, correspondendo à força D (de deformação) exercida

por B sobre A



a a am v Ddt m u− =∫

Considere-se agora o movimento de A durante o período de restituição, Em componentes escalares podemos traduzir matematicamente o período de restituição como, '

a a am u Rdt m v− =∫

Em geral os impulsos das forças de deformação são mais elevados que os impulsos das forças de restituição, ou seja, Rdt Ddt≤∫ ∫

definindo-se o coeficiente de restituição como a razão entre estes impulsos, ou seja,

Rdt

e , com 0 e 1Ddt

= ≤ ≤∫∫

em que o valor de 1 está de acordo com uma restituição completa da deformação prévia. Resolvendo em ordem aos integrais podemos ainda escrever o coeficiente de restituição, como,

'a

a

Rdt u ve , com 0 e 1

v uDdt

−= = ≤ ≤

−∫∫

seguindo o mesmo raciocinio para a partícla B, teremos,

'b

b

Rdt u ve , com 0 e 1

v uDdt

−= = ≤ ≤

−∫∫

nc Rdt∫

+ nc ma u

r

= nc ma

'av

r

Força exercida por B sobre A durante este período.



sendo os coeficientes de restituição para A e B iguais também o serão os quociente da adição, ou seja,

( ) ( )( ) ( )

' ' ' 'a b b a

a b a b

u v v u v ve =

v u u v v v

− + − −= ⇔

− + − −

⇔ ' 'b a a bv v e(v v )− = −

ou seja, a velocidade relativa das duas partículas depois do choque pode ser obtida pela multiplicação da velocidade relativa antes do choque pelo coeficiente de restituição. Casos particulares 1 – Choque perfeitamente plástico (e = 0) Para um choque deste tipo não existe período de restituição, pelo que, considerando a última equação se verifica que as partículas depois do choque mantêm-se juntas, ou seja, e = 0 ⇒ va’ = vb’ = v’ Substituindo esta igualdade na equação que traduz a conservação da quantidade de movimento total das partículas, escrevemos, P = cte ⇔ mava + mbvb = (ma + mb)v’ 2 – choque perfeitamente elástico (e = 1) Para este tipo de condição verifica-se através das equação que define o coeficiente de restituição que os impulsos de deformação e restituiçao são iguais. Neste caso, depois do choque os corpos afastam-se com a mesma velocidade relativa que tinham antes do choque, ou seja, para e = 1, temos,

va - vb = vb’ - va’ ⇔ va + va’ = vb’ + vb (*) É importante salientar que para um choque perfeitamente elástico, não só se conserva,

i) a quantidade de movimento total das duas partículas (como já se verificou para um choque perfeitamente plástico).

mas também ii) a energia total das partículas.

Sendo a quantidade de movimento (P) constante, então podemos escrever,



mava + mbvb = mava’+ mbvb’ ⇔ ma(va - va’) = mb(vb’ - vb) multiplicando membro a membro a equação anterior com a equação (*), temos,

ma(va - va’) × (va + va’) = mb(vb’ - vb) × (vb’ + vb) ⇔ ⇔ mava

2 - ma(va’)2 = mb(vb’)

2 - mbvb2

reordenando os membros da equação e multiplicando por ½, vem,

2 2 ' 2 ' 2a a b b a a b b

1 1 1 1m v + m v = m (v ) + m (v )

2 2 2 2

equação esta que traduz a conservação da energia cinética total das partículas para um choque perfeitamente elástico. Observação: No caso geral do choque, isto é, quando e ≠ 1, a energia total das partículas não se conserva. A energia cinética perdida é em parte transformada em calor e em parte gasta na criação de ondas elásticas que se propoagam no interior dos corpos em colisão.

Colisão central oblíqua (partículas em movimento livre) Define-se colisão central oblíqua quando os centros de massa e as velocidades dos dois corpos que colidem não estão alinhados segundo a nc, como se pode observar através da figura que se apresenta ao lado. Admitindo que as superfícies são lisas e sem atrito as únicas forças impulsivas que ocorrem durante o choque são as forças internas dirigidas segundo a normal de choque (nc), como ilustrado na figura imediatamente abaixo.

ma

va vb

mb

va’ vb’ nc

tc

+ = nc

ma avr

tc

mb bvr

nc

tc

F t∆r

- F t∆r

nc

ma'av

r

tc

mb'bv

r



Então perante as condições da colisão temos,

i) não existindo qualquer tipo de atrito e sabendo que as forças impulsivas estão dirigidas segunda a nc, então existe conservação da quantidade de movimento ao longo do eixo tc para cada partícula isoladamente. Logo,

(va)tc = (va’)tc porque (Pa)tc = cte (vb)tc = (vb’)tc porque (Pb)tc = cte

ii) conservação da quantidade de movimento total (para as duas partículas) ao

longo da nc

ma(va)nc + mb(vb)nc = ma(va’)nc + mb(vb’)nc porque (Pa)nc + (Pb)nc = cte

iii) Da relação já verificada anteriormente para o coeficiente de restituição, temos também válida a equação,

' 'b nc a nc a nc b nc(v ) (v ) e[(v ) (v ) ]− = −

Colisão central oblíqua (corpos com movimento condicionado) Considere-se o seguinte exemplo em que uma bola (corpo A) com movimento livre embate de encontra um bloco (corpo B) com movimento condicionado à horizontal, como se apresenta na figura seguinte, Não existindo atrito entre a bola e o bloco, nem entre o bloco e a superfície, então os impulsos exercidos sobre o sistema são originados por:

i) acção das forças internas F e –F exercidas segundo a normal de choque. ii) acção da força externa Fext, exercida pela superfície sobre o bloco A e

segundo a vertical.

A B

tc

nc

Va

Va’

Vb’

Vb



Pelas considerações supracitadas e com a ajuda da figura podemos deduzir que:

i) a componente da quantidade de movimento de B, ao longo do eixo tc, mantém-se constante, ou seja,

(vb)tc = (vb’)tc

ii) a componente da quantidade de movimento de A e B, ao longo do eixo x

mantém-se constante. Então,

mava + mb(vb)x = mava’ + mb(vb’)x

iii) A componente das velocidades de A e B depois do choque, segundo nc, pode ser dada por,

(vb’)nc – (va’)nc = e [(va)nc – (vb)nc]

Para a determinação do coeficiente de restituição do bloco A quando sujeito ao impulso exercido pela superfície horizontal, considere-se a componente horizontal do princípio do impulso e da quantidade de movimento de A durante o período de deformação, ou seja,

A B

tc

nc

mava

mbvb

X

Y

θθ AB

tc

nc

X

Y

Fext∆∆ t

F∆∆ t

-F∆∆ t

+

AB

tc

nc

mava’

mbvb’

X

Y =

Amava +

A

tc

extD dt∫

Ddt∫ θ

Amau

=



Pela análise do esquema gráfico temos para o período de deformação,

( )a a am v Ddt cos m u− θ =∫

e para o período de restituição,

( ) 'a a am u Rdt cos m v− θ =∫

resultando por conseguinte o coeficiente de restituição em,

'a

a

Rdt u ve

v uDdt

−= =

−∫∫

ou multiplicando todas as velocidades por cos(θ) de modo a se obter a sua componente segundo projectada ao longo de nc, temos,

( )

( )'

nc a nc

a ncnc

u ve

v u

−=

−



Momento de uma força em relação a um ponto

Qual a razão das fechaduras e dobradiças se encontrarem em arestas opostas de uma porta? Quando uma força é aplicada num corpo rígido assente sobre um eixo, o objecto tende a rodar sobre esse mesmo eixo. A tendência de uma força para fazer rodar um objecto sobre um eixo é medido pela quantidade vectorial denominada de Momento da Força

( 0Mr

) ou Torque (τr

). Em que

0M r F, (Nm)= ∧r rr

verificando-se através desta expressão que,

i) 0Mr

é perpendicular ao plano definido por rr

e Fr

ii) o módulo de M0 = rFsinθ M0 – representa a tendência para a força F

r provocar movimento de rotação em torno do

eixo paralelo a 0Mr

que passa em O.

d – representa a distância de O à linha de acção de Fr

, também conhecida por momento do braço (ou braço de alavanca) de F

r, em que d = rsinθ

Portanto podemos ter,

0M = Fd

Fr

d

θθ

θθ

rr0M

r



No caso bidimensional, se definirmos o sentido positivo da rotação como, então o momento da força será dado por:

Momento angular de uma partícula

Imagine-se um patinador em movimento de translacção que se aproxima de uma vara fixa ao solo e que a agarra. Ao agarrar a vara o patinador inicia imediatamente um movimento de rotação em torno desta. Do mesmo modo que o momento linear (ou conservação da quantidade de movimento) nos ajuda na análize do movimento de translacção, o momento angular, ajuda-nos a descrever o movimento de corpo sujeito à rotação.

O momento angular instantâneo Lr

de uma partícula relativamente à origem O é definido como o produto vectorial do vector posição instantâneo rr da partícula e a sua quantidade de movimento P

r, ou seja,

L r P= ∧r rr

vindo a unidade expressa em [kgm2/s].

Considerando a figura e sabendo que L r P= ∧r rr

, então sabe-se que:

X

Y

Fr

d

Fr

d

M0 = d×× F M0 = - d×× F

m

Y O

P mv=r r

θθ

L r P= ∧r rr

Z

X



i) o momento angular Lr

é perpendicular ao plano definido pelos vectores

rr e Pr

. ii) O módulo do momento angular L, vem dado por, L = rPsinθ = rmvsinθ,

onde θ é o ângulo entre rr e Pr

Aquando do estudo do movimento de translacção verificou-se que o confunto de forças aplicadas a uma partícula era igual à taxa de variação do momento linear. Pretende-se agora transpor a mesma ideia para a taxa de variação do momento angular. Pretendendo-se então avaliar a variação temporal do momento angular, temos,

0( )dL d dP drr P r P r F v P Mdt dt dt dt

= ∧ = ∧ + ∧ = ∧ + ∧ =r r rr r r r rr r r r

já que,

dPF madt

= =rr r

, 0M r F= ∧r rr

e vr // Pr

Então verifica-se que a soma dos momentos das forças que actuam numa partícula é igual à taxa de variação temporal do momento angular da partícula, ou seja,

0

dLMdt

=∑rr

De salientar que esta equação só é válida se 0M∑r

e Lr

são medidos em torno da

mesmo ponto fixo. Se o momento das forças é nulo, então verifica-se a conservação do momento angular, ou seja,

0 0 0dLM L ctedt

= ⇒ = ⇒ =∑rr r



Sistema de partículas

Considere-se um sistema de n partículas designada por i= 1, 2, ... As grandezas físicas referentes a cada partícula são afectadas de um índice corresponde à designação de partículas. As grandezas referentes ao sistema que são proporcionais à quantidade de matéria que o constitui (grandezas extensivas são obtidas por somatório em todas as partículas). Então temos,

a) massa: ii

m m= ∑

b) Quantidade de movimento:

ii

P p= ∑r r

c) Momento angular: 0 0ii

L L= ∑r r

d) Energia cinética: C Cii

E E= ∑

Para estudar o movimento do sistema podemos considerar separadamente o movimento de um ponto representativo do sistema e considerar o movimento das diversas partículas do sistema a esse ponto. O ponto representativo do movimento do sistema denomina-se de centro de massa (CM), no qual se fixa um sistema de eixos OX’Y’Z’. Por conseguinte os vectores posição, velociadde e aceleração para um determinado ponto do sistema referentemente ao sistema OXYZ serão fornecidos por (verifique figura anexa),

i CM i

i CM i

i CM i

r r r '

v v v '

a a a '

= += += +

r r rr r rr r r

O centro de massa do sistema corresponde ao centro do sistema de forças paralelas constituído pelos pesos das partículas, ou seja,

i i i i i ii i i

CM

i ii i

m g r m r m rr

m g m m= = =

∑ ∑ ∑∑ ∑

r r rr

O

Z

Y

X

irr

iar iPr

ivr m

oiL

r

O

CM

Z

YX

m

irr

'irr

CMrr



As componentes cartesianas vêm dadas por,

i i i i i ii i i

CM CM CM

m x m y m zx ; y ; z

m m m= = =

∑ ∑ ∑

A velocidade do CM é obtida por derivação, ou seja,

i iCM i

CM

m vdr

vdt m

= =∑ rrr

⇒ CMP mv=r r

Do mesmo modo, a aceleração do centro de massa vem dada por,

i i

CM iCM

m adv

adt m

= =∑ rrr

Segunda Lei de Newton de um sistema de partículas

Designemos por extiF

ra resultante das forças externas sobre a partícula i e ijF

ra força de

interacção com a partícula j. Somando as equações fundamentais da dinâmica de todas as n partículas que actuam sobre a partícula i obtém-se a equação da dinâmica para i dado por,

n

exti ij i i

j

F F m a+ =∑r r r

Consequentemente, considerando agora, não apenas a equação da dinâmica para uma determinada partícula i mas sim para as n partículas do nosso sistema, temos,

n n n n

exti ij i i

i i j i

F F m a+ =∑ ∑∑ ∑r r r

Mas sendo, como já se verificou, CM i i

i

ma m a= ∑r r

e

n n

iji j

F 0=∑∑r

, porque ij jiF F= −r r

(princípio da acção reacção)



resulta,

n

exti CM

i

F ma=∑r r

Verificando-se através desta expressão que o centro de massa move-se como se toda a massa do sistema aí estivesse concentrada e sujeito à força resultante do sistema de forças externas aplicadas às diversas partículas.

Princípio da conservação da quantidade de movimento de um sistema de partículas Sabendo-se que para um sistema de partículas,

i i i CMP P m v mv= = =∑ ∑r r r r

então,

n

exti

i

dPF

dt=∑

rr

Se,

nexti

i

F 0=∑r

,

então,

dP0

dt=

r

e P

r= cte

Se além disso m = cte, também CMv cte=

r, o que traduz a princípio de conservação da

quantidade de movimento do sistema.

Princípio da conservação do momento angular de um sistema de partículas Do mesmo modo se obtém a lei fundamental da dinâmica de rotação para o sistema de partículas. Para duas partículas 1 e 2, tem-se,

01 0101 012 1 1 1 12

02 0202 021 2 2 2 21

ext ext

ext ext

dL dLM M r F r Fdt dt

dL dLM M r F r Fdt dt

+ = ⇔ ∧ + ∧ =

+ = ⇔ ∧ + ∧ =

r rr r r rr rr rr r r rr r



em que 01extM

r corresponde ao momento angular da partícula 1 em torno de O, originado

pelas forças externas e 012Mr

o momento angular originado pela força de interacção entre a partícula 1 e 2 do sistema. Somando as duas espressões anteriores, resulta,

1 1 2 2 1 2 12 01 02( ) ( )ext ext dr F r F r r F L Ldt

∧ + ∧ + − ∧ = +r r r r rr r r r

sendo, 1 2 12( ) 0r r F− ∧ =

rr r, já que, 1 2 12( )//r r F−

rr r conforme se pode observar através da

figura, então,

01 02 01 02( )ext ext dM M L Ldt

+ = +r r r r

Generalizando para um qualquer número de partículas, temos,

00exti

i

dLMdt

=∑rr

Assim verifica-se que a taxa de variação do momento angular do sistema relativamente

a O é igual ao momento resultante das extiF

r, relativamente ao mesmo ponto.

Quando 0 0ext

ii

M =∑r

, então, 0L cte=r

, o que traduz a princípio da conservação do

momento angular do sistema.

Momento angular do sistema relativamente ao Centro de Massa Perante determinadas condições torna-se conveniente considerar o movimento das partículas do sistema em relação a um sistema de eixos baricênctricos, ou seja, a um sistema de eixos centrado no centro de massa CMX’Y’Z’, em translacção relativamente a um referencial Newtoniano OXYZ. Seja o momento angular de uma partícula i relativamente ao centro de massa, dado por,

' ' ' 'CM i i i i iL r P m r v= ∧ = ∧∑ ∑

r rr r

12Fr

1rr

2rr

1 2r r−r r

21Fr

O

O

CM

Z

Y’

Y

X’

X

Z’

i

irr

'irr

CMrr



Considerando a figura, verifica-se que, '

i i CMr r r= −r r r (*)

e claro que, '

i i CMv v v= −r r r (**)

Substituindo a equação (*) na do momento angular temos,

' ' ' ' '( )CM i i i i i i CM i i i i i CML m r v m r v v m r v m r v= ∧ = ∧ − = ∧ − ∧∑ ∑ ∑ ∑r r r r r r r r r

considerando agora a equaçao (**), vem,

' ( )CM i i i i i i CM CML m r v m r m r v= ∧ − − ∧∑ ∑ ∑r r r r r r

sendo, a soma das distâncias ao centro de massa de cada ponto de massa mi nula, ou seja,

0i i i CMm r m r− =∑ ∑r r

resulta,

'CM i i iL m r v= ∧∑

r r r

concluindo-se que o CMLr

pode ser calculado com ivr , ou seja, com a velocidade absoluta da partícula (velocidade realtiva ao sistema de eixos newtoniano). A lei fundamental da dinâmica de rotação, usando o Centro de Massa, é então dada por,

ext CMCMi

dLMdt

=rr

o que nos diz que o momento resultante das forças relativo ao centro de massa é igual à taxa de variação do momento angular do sistema relativo ao centro de massa, em que o momento angular pode ser dado em função das velocidades relativas ao centro de massa ou das velocidades absolutas.



Trabalho realizado pelas forças exteriores e interiores ao sistema

Quando um sistema passa de uma configuração A para uma outra B, o trabalho realizado pelas forças exteriores vem dado por,

|ext extAB i i

i AB

W F dr= ∑ ∫r r

Do mesmo modo, as forças internas realizam trabalho dado por,

int |AB ij ii j AB

W F dr= ∑∑ ∫r r

Prova-se que a soma intext

AB ABW W+ dá a variação de energia cinética do sistema, o que traduz o princípio do trabalho e energia para o sistema, ou seja,

int ( ) ( )extAB AB AB C CW W W E B E A= + = −

As forças internas são frequentemente conservativas e centrais (gravidade, electroestática, elasticidade). Neste caso, o trabalho das forças internas pode ser expresso como a variação da energia potencial interna, ou seja,

int int( ) ( )AB P P PW E A E B E= − = −∆ Em que a energia potencial interna representa fisicamente o trabalho que é necessário realizar entre as intF

rpara todas as partículas em interacção, a partir de uma situação em

que não existia interacção. O princípio do trabalho e da energia pode ser expresso como,

int int

int

ext extAB AB AB AB P C

extAB C P

W W W W E E

W E E U

= + = − ∆ = ∆ ⇔

⇔ = ∆ + ∆ = ∆

com, int

c PU E E= + em que U representa a energia própria do sistema. Se as forças externas também forem conservativas, podemos dizer que ext ext

AB PW E=−∆ e temos por conseguinte, 0ext ext

P PU E U E∆ = −∆ ⇔ ∆ + ∆ = ou seja,



ext

PU E cte+ = quantidade esta que se designa por Energia total do sistema, ou seja,

int extTotal c P PE E E E= + +

a qual se conserva quando as forças são conservativas. A energia cinética pode ser expressa pela soma da energia cinética do CM ( CM

CE ), com

a energia cinética relativa ao CM, designada por energia cinética interna, ( intCE ). Então

seja,

2 '2 2

'2 2

int

1 1( )

2 21 1

2 2

c i i i i CM

c i i i CM

CMC C C

E m v m v v

E m v m v

E E E

= = + ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = +

∑ ∑

∑ ∑

Então a energia total do sistema é,

int int ext CMTotal c P P CE E E E E= + + +

Definindo a energia interna do sistema como, int int

int C PU E E= + resulta a energia total do sistema dada por,

intext CM

Total P CE U E E= + + com,

21

2CMC CME mv=



Equações do movimento para um corpo rígido

Considere-se um CR de massa total m sujeito à acção de forças externas 1 2, ,F Fr r

... Admitindo que o corpo é constituído por várias partículas contiguas de unidade de

massa elementar dm, de tal modo que m dm= ∫ , podem aplicar-se as equações

determinadas para um sistema de partículas, em que o movimento do centro de massa é dado pela equação,

i CMF ma=∑r r

e o movimento en torno do centro de massa dado por,

CMCM

dLMdt

=∑rr

O sistema de forças externas é equipolente e também equivalente ao sistema formado

pelo vector mar aplicado no CM e pelo binário de momento, CMdLdt

r.

O

CM

Z Y’

Y

X’

X

Z’

'rr dm

1Fr

3F

r

2Fr

CM

1Fr

3F

r

2Fr

CM

≡

CMmar

CMdLdt

r



Movimento plano Um corpo rígido tem um movimento plano quando cada ponto do campo permanece a uma dada distância constante de um plano de referência fixo.

Momento angular de um corpo rígido em movimento plano Neste subcapítulo ir-se-à prestar atenção ao estudo do movimento de placas planas ou corpo simétricos em relação a um plano de referência. Considere-se por conseguinte uma placa plana em movimento plano. Tenha-se um corpo rígido para o qual r’ = cte e ' 'v r⊥

r r. A velocidade relativa ao CM só tem

componente transversal, isto é, '' ' 'v v r rθ θ ω= = =& O momento angular de dm relativo ao CM é perpendicular ao plano e vem dado por, 2( ')CMdL r dmω= O momento angular do CR em relação ao CM é dado por:

2 2´ ´CM CML dL r dm r dmω ω= = =∫ ∫ ∫

sendo a velocidade angular constante para qualquer ponto do CR. Definindo-se o momento de inércia da placa em torno do eixo perpendicular à placa e que passa no CM como: 2'CMI r dm= ∫

Obtém-se assim: LCM = ICMω Resultando a taxa de variação do momento angular em relação ao centro de massa, como,

CMCM

dL Idt

α=

Este resultado é válido para placas em movimento plano ou para corpos rígidos em movimento plano e simétricos em relação a um plano de referência. Não são válidos para movimentos tridimensionais ou para corpos assimétricos.

O

Y

X

d

m '

irr

CM

X’

Y’ 'vr

θθ



Movimento plano de um corpo rígido. Princípio de D’Alembert O movimento plano do CR fica completamente definido pela resultante e pelo momento resultante em torno do CM das forças externas que sobre ele actuam, ou seja,

x CMxF ma=∑ , y CMyF ma=∑ e CM CMM I α=∑ Princípio de D’Alembert – as forças externas que actuam num CR são equivalentes às forças efectivas das várias partículas que formam o corpo.

Casos partículares: Translacção (ωω = 0)

Rotação em torno do CM ( 0CMa =rr

)

CM

1Fr

3F

r

2Fr

CM

≡ CMmar

Icmα

CM

1Fr

3F

r

2Fr

CM

≡ CMmar

CM

1Fr

3F

r

2Fr

CM

≡ Icmα



Movimento plano geral – pode ser sempre obtido pela sobreposição de uma rotação em torno do CM com translacção do CM. O CM de um CR em movimento plano desloca-se como se a massa total do corpo aí estivesse concentrado e como se todas as forças externas aí actuassem. Um CR em movimento plano roda em torno do seu CM como se este ponto fosse fixo.

Rotação em torno de um eixo fixo Quando um corpo roda em torno de um eixo fixo, o CM do corpo descreve uma circunferêmcia centrada no eixo de rotação. Sendo ω a velocidade angular do CM relativamente a O e α a sua aceleração angular, tem-se: (acm)t = rcmα e (acm)n = rcmω2 α é também a aceleração angular do movimento de rotação do corpo em torno do CM. Se calcularmos os momentos relativamente a O das forças e binários representados acima tem-se (com rcm=OCM):

2

0

20 0( )

CM cm cmt CM CM

CM CM

M I r ma I mr

M I mr I

α α α

α α

= + = + ⇔

⇔ = + =∑

∑

sendo I0 o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa em O. Esta relação, 2

0 CM CMI I mr= + traduz o Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos. Quando um corpo tem movimento de rotação em torno de um eixo fixo, a sua velocidade e aceleração angulares de rotação em torno do CM são iguais às velocidade e aceleração angular do CM em torno do eixo fixo e a equação fundamental da dinâmica de rotação para este caso pode escrever-se: 0 oM I α=∑

Movimento de rolamento Rolamento sem escorregamento: a s cmF N a rµ α≤ ⇒ = Rolamento com escorregamento iminente: a s cmF N a rµ α= ⇒ = Rotação com escorregamento: e a c cmF N a rµ α= ⇒ são independentes.



Deslizamento e Tombamento

Diz-se que o deslizamento está iminente quando um corpo inicialmente em repouso num referencial inercial, está na eminência de iniciar um movimento de translacção. Considere-se um corpo simplesmente apoiado numa superfície horizontal. Na ausência de forças exteriores

aplicadas, o corpo está em repouso e a linha de acção de Nr

passa no CM do corpo, por forma a verificar 0CMM =∑ .

Se aplicarmos uma força vertical F

r, a linha de acção de

Nr

desloca-se por forma a manter 0CMM =∑ . Como se

pode observar pela figura não há tendência para iniciar qualquer movimento.

Se a linha de acção de F

r fôr obliqua, para não

existir movimento tem que existir atrito entre as superfícies. Então pela 2ª Lei de Newton, temos,

0a x

y

F FF

N F mg=

= ⇔ = +∑

r

em que Fa < µsN ⇒ não existe movimento.

Se a componente horizontal de Fr

aumentar, pode atingir o valor máximo de Fa = µsN e diz-se que o deslizamento está iminente.

0a x

y

F FF

N F mg=

= ⇔ = +∑

r

em que Fa = µsN ⇒ deslizamento iminente.

Nr

mgr CM

Nr

mgr CM

Fr

Nr

mgr CM

Fr

Y

X

Nr

mgr CM

Fr

Y

X



Se aumentarmos mais a componente horizontal

de Fr

, de tal modo que Fx>µsN, passamos a ter movimento de translacção.

x a

y

F F maF ma

N F mg− =

= ⇔ = +∑

r r

em que Fx = µcN (µc – atrito cinético) existindo movimento Define-se ângulo de atrito como o ângulo cuja tangente é numericamente igual ao coeficiente de atrito. Diz-se que o tombamento está iminente quando o corpo está na eminência de tombar, ou seja, está na eminência de iniciar um movimento de rotação em torno de um ponto de contacto com a superfície.

Nos exemplos anteriores supôs-se que Nr

podia ser aplicada sempre por forma a verificar 0CMM =∑ .

Quando Nr

está aplicada numa das extremidades da superfície de contacto, o tombamento está iminente.

Quando não existem forças aplicadas,

a linha de acção de Nr

passa pelo CM e tem-se 0CMM =∑ . Se

aplicarmos uma força horizontal Fr

na extremidade A do corpo, a linha

de acção de Nr

desloca-se para a direita de modo a manter o equilibrio

0CMM =∑ .

O corpo tem tendência a tombar para a direita, mas Nr

pode ser aplicada de modo a

equilibrar os momentos de Fr

e aFr

:

0 02 2

CM ah hM Nx F F= ⇔ − − =∑

Nr

mgr CM

Fr

Y

X

Nr

mgr CM

Fr

Nr

mgr

CM

H/2

X

Y

X

+



Quando Nr

está aplicado na extremidade B, então o tombamento está iminente, uma vez que o seu momento relativo ao CM não pode aumentar mais visto que o braço (x) toma o seu valor máximo: x = b/2

0 02 2 2

CM ab h hM N F F= ⇔ − − =∑

00

0x a x aF F F F

FN mg N mg

− = = = ⇔ ⇔ − = =

∑r

O deslizamento e o tombamento podem ocorrer também quando a fundação tem movimento. Um exemplo disso é o movimento do solo devido a um sismo. Neste caso o deslizamento iminente ocorre quando Fa = µsN e a aceleração do corpo ainda é igual à aceleração do solo, ou seja, a = asolo (o corpo move-se com a fundação sem deslizamento). Considere-se um corpo de secção rectangular, de altura h e base b, simplesmente apoiado numa superfície horizontal com atrito de coeficiente µs. Se a fundação tiver aceleração tem-se o diagrama de corpo livre dado por,

As equações do movimento escrevem-se,

0

aF maF ma

N mg=

= ⇔ − =∑

r r

e

0 02

CM ahM F xN= ⇔ − =∑

ou seja, tem-se,

a (1) determina o valor de F

(2) determina o valor de N

(3) determina o ponto de aplicaçao de N2

a

a

F maN mg

FhxN

= →

= → = →

Fr

Nr

mgr

CM

H/2

B/2

Y

X

+

marCM

x

aFr

Nr

mgr CM

H

Y

X

+ asolo

≡



Quando o deslizamento está iminente então Fa = µsN e de (2) vem Fa = µsmg e o valor de aceleração do solo que torna o deslizamento iminente é,

a ss

F mga gm m

µµ= = =

Para determinar o valor de a que torna o tombamento iminente, considere-se x = b/2 e da equação (3) resulta,

2 2

aFb h bhma bmg a gN h

= ⇔ = ⇔ =

Habitualmente designa-se por PGA (Peak Ground Aceleration) o valor mais elevado da aceleração do solo registada num determinado local, assim tem-se: Deslizamento iminente ⇒ PGA = µsg Tombamento iminente ⇒ PGA = (b/h)g Bibliografia

Beer & Johnston, Mecânica Vectorial para Engenheiros, McGraw Hill, 6ª ed. 1997.

Meriam & Kraige, Engineering Mechanics, Jonh Willey and Sons, 4th ed., 1998.

Halliday, Resnick & Walker, Fundamentos de Física, LTC, 4ª ed., 1996.

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