Física 3-02
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1
l
+q
Prof. A.F.Guimarães Física 3 – Questões 2
Questão 1
Um elétron se desloca entre duas placas carregadas, onde existe um campo elétrico uniforme E. Num certo instante, os componentes do vetor velocidade do elétron são dados por:
e . O campo elétrico entre as placas é dado por:
. (a) Calcule a aceleração do elétron. (b) A partir do instante mencionado, o elétron se desloca para um outro ponto a uma distância do ponto original; ache a velocidade do elétron neste ponto. Resolução:
a) A aceleração será dada por:
(1-1)
b) Na direção do eixo x, o elétron, ao percorrer os 2 cm, levará um intervalo de tempo dado por:
(1-2) Utilizando os resultados de (1-1) e (1-2), teremos:
(1-3)
Questão 2
Estabelece-se um campo uniforme, vertical, E, no espaço existente entre duas placas paralelas. Suspende-se, nesse campo, uma pequena esfera condutora de massa m, presa a um cordel de comprimento l. Determine o período deste pêndulo, quando a esfera está carregada com
uma carga +q, se a placa inferior estiver positiva-mente carregada; repetir o cálculo para a placa inferior carregada negativamente. Resolução:
Considere a figura abaixo, como uma representação do problema em questão.
figura 2-1
O período de um pêndulo é dado pela seguinte relação:
(2-1) Para a placa inferior com carga positiva, teremos um campo elétrico orientado para cima, de tal forma que a esfera será submetida a uma aceleração adicional também para cima, conforme a relação:
(2-2) Logo, para a esfera, a gravidade terá seu valor reduzido de:
(2-3)
Assim, tomando (2-1), (2-2) e (2-3), teremos:
(2-4)
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2
+q
+Q - Q
a a
a
+q
+Q - Q
a a
a
°
Em (2-4), .
Se a placa inferior estiver carregada negativamente, para a esfera a gravidade tem seu valor aumentado de:
(2-5)
Logo, utilizando (2-1), (2-2) e (2-5), teremos para o período:
(2-6)
Questão 3
Três cargas estão dispostas nos vértices de um triângulo conforme mostra a figura. Qual é a direção e o sentido da força que age sobre a carga +q?
Resolução:
As forças F1 e F2, são dadas por:
(3-1) Pela simetria do nosso problema, observamos que o triângulo formado pelos vetores também será equilátero. Logo:
(3-2)
Questão 4
Duas partículas carregadas estão separadas por uma distância d, conforme indicado na figura abaixo. Considere um eixo Ox com origem O no ponto onde se encontra a carga q1.
Determine o ponto (ou os pontos) do eixo 0x para os quais o módulo do campo elétrico assume um valor máximo. Exclua os pontos x = 0 e x = d. Resolução:
No ponto P o campo elétrico resultante é dado por:
(4-1)
Em módulo:
(4-2)
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y
q q d d
y
x 0
r r
Agora tomando a derivada da expressão dada por (4-2), com relação a variável x, teremos:
(4-3)
Para obtermos o valor máximo para o campo elétrico resultante, toma-se o valor nulo para a expressão dada por (4-3). Assim, teremos:
(4-4)
Questão 5
Considere duas cargas iguais e de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Um sistema de coordenadas 0xy possui origem em 0 no centro da distância entre as cargas; o eixo 0x é a reta que une as duas cargas e o eixo 0y é ortogonal a esta reta. (a) Determine os pontos ao longo do eixo 0y para os quais o campo elétrico assume seu valor máximo. (b) Determine o módulo do campo elétrico máximo. Resolução:
figura 5-1
Da figura 5-1 podemos observar que o campo
elétrico resultante só possui componente vertical, isto é, na direção 0y. Assim, teremos:
(5-1)
Em que
(5-2) Da figura 5-1 temos:
(5-3) Agora, utilizando (5-2) e (5-3) em (5-1), teremos:
(5-4) Agora, de forma semelhante ao que foi feito em (4-4), teremos:
(5-5) Agora, substituindo o resultado de (5-5) em (5-4), teremos:
(5-6) Tanto no sentido positivo como no sentido negativo de 0y.
Questão 6
Na figura a seguir, suponha que ambas as cargas sejam positivas. (a) Supondo também
, demonstrar que , no ponto P, é dado por:
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q
q
r
a
a
+ +
+
-
- -
R
P
+ +
+ R
(b) Qual a direção e o sentido de E? (c) É razoável que E varie, neste caso, proporcionalmente a , enquanto que para o dipolo para essa mesma figura, varia proporcionalmente a ? Resolução:
O campo elétrico resultante é semelhante aquele dado pela expressão (5-4). Logo, teremos:
(6-1) A expressão (6-1) pode se escrita da seguinte forma:
(6-2) Levando em consideração que , a expressão entre parênteses pode ser expandida. Seja a seguinte expansão:
(6-3) Desprezando os termos de potência de a, em (6-3), e substituindo em (6-2), teremos:
(6-4)
Orientado na direção perpendicular ao eixo que liga as cargas no sentido de afastamento das
mesmas (caso as cargas sejam negativas, o sentido seria de aproximação das cargas). Para distâncias muito grandes com relação à distância de separação das cargas, tomamos a carga total (no caso 2q) e utilizamos a relação do inverso do quadrado da distância. Como era de se esperar.
Questão 7
Um bastão fino de vidro é encurvado de modo a formar um semicírculo de raio R. Uma carga +Q está uniformemente distribuída ao longo da metade superior, e uma carga –Q ao longo da inferior, como mostra a figura abaixo. Determinar o campo elétrico E no centro P, do semicírculo. Resolução:
Tomando a parte positiva:
figura 7-1
A densidade linear de carga, referente a ¼ de circunferência, vale:
(7-1) Logo, para o elemento de carga, teremos:
(7-2)
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
l
y
P
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
l
y
P
x
r
dq
dx
A expressão do campo elétrico dE referente ao elemento de carga dq será:
(7-3) Utilizando (7-2) em (7-3), teremos:
(7-4)
Pela simetria, observa-se que a parte negativa do bastão, contribuirá com um campo elétrico, cujo componente na direção de 0x, anulará o componente 0x da contribuição da parte positiva do bastão. Logo, o campo elétrico resultante das duas partes estará na direção de 0y. Logo, teremos:
(7-5) Em que:
(7-6)
Utilizando (7-6) em (7-5) para os limites de 0 até
, teremos:
(7-7) Utilizando (7-1) no resultado de (7-7), teremos:
(7-8)
Questão 8 Uma barra fina (de comprimento finito l e de
material não condutor) acha-se carregada uniformemente, com uma carga total q. Demonstrar que o valor de E, no ponto P da sua mediatriz, representado na figura abaixo, é dado por:
Demonstrar que, quando , esta expressão tende para:
Resolução:
figura 8-1
Observando a figura 8-1, podemos concluir
que as contribuições para o campo na direção 0x dos dois lados da mediatriz, se anulam mutuamente. Assim, o campo elétrico resultante em P será orientado na direção de 0y. O campo
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elétrico em P devido ao elemento de carga dq vale:
(8-1) Em que o elemento de carga é dado por:
(8-2) E a distância r é dada por:
(8-3)
Utilizando (8-2) e (8-3) em (8-1), teremos:
(8-4) O componente na direção de 0y será:
(8-5) Existe um vínculo entre a variável x e o ângulo . Vejamos:
(8-6) Desta forma teremos:
(8-7) Utilizando (8-6) e (8-7) em (8-5), teremos:
(8-8)
Em que . Agora, integrando (8-8), teremos:
(8-9) Em que é tal que:
(8-10) Agora substituindo (8-10) em (8-9), e utilizando (8-2), teremos:
(8-11) Tomando a expressão (8-11), temos ainda:
(8-12)
Questão 9
Um elétron tem seu movimento restrito ao eixo do anel de cargas mostrado na figura a seguir. Demonstrar que o elétron pode oscilar com uma frequência dada por:
.
Em que x << a.
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2a
r
+q -q P
Resolução:
O campo elétrico no ponto P devido ao elemento de carga dq é dado por:
(9-1) Nesse caso, devido à simetria, o campo resultante será orientado na direção de 0x. Assim, teremos:
(9-2) Em que . Assim, integrando (9-2)
teremos:
(9-3) Em que . Assim, um elétron que é colocado em P, fica sujeito a uma força que será dada por:
(9-4) No entanto, para x << a, A expressão (9-4) será dada por:
(9-5) Sendo m a massa do elétron, teremos para (9-5):
(9-6) O que caracteriza um M.H.S. é o fato da aceleração ser diretamente proporcional ao oposto do deslocamento, ou seja:
(9-7) Em que é uma constante, ou seja, é a frequência angular do movimento. A expressão (9-6) é uma equação da forma dada por (9-7). Comparando as duas, teremos:
(9-8)
Questão 10
Campo axial produzido por um dipolo elétrico. Na figura a seguir, considerar um ponto à distância r do centro do dipolo e situado sobre a reta que une as cargas. (a) Demonstrar que, para valores grandes de r, o campo elétrico nesse ponto é igual a:
(b) Qual a direção de E? Resolução:
O campo elétrico resultante no ponto P será dado por:
(10-1)
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dq
r
x
d
a
Expandindo a expressão (10-1), teremos:
(10-2) Em que . A direção e o sentido do campo elétrico resultante são dados por .
Questão 11
Demonstrar, para o anel de cargas da questão 9, que o valor máximo de E ocorre quando:
Resolução:
Vamos tomar a derivada da expressão dada em (9-3):
(11-1) Agora, para determinar o ponto de máximo, vamos tomar o valor nulo da expressão (11-1). Assim,
(11-2)
Questão 12
Considerar o anel de cargas da questão 9. Supor, agora, que a carga q não esteja mais uniformemente distribuída no anel; mas sim, que haja uma carga q1 distribuída uniformemente em
uma das metades, e uma carga q2, também distribuída uniformemente, na outra metade do anel. Supor: q1 + q2 = q. (a) Determinar a componente do campo elétrico, num ponto do eixo e paralela a este, comparando-a com o caso uniforme da questão 9. (b) Repetir o cálculo para a componente perpendicular ao eixo, num ponto do mesmo, comparando-a novamente com o caso da questão 9. Resolução:
Cada metade do anel contribui com um campo dado por:
(12-1) Logo, na direção 0x, temos:
(12-2) Agora, na direção do eixo 0y teremos a seguinte disposição:
figura 12-1
Observando a figura 12-1 temos:
(12-3)
Em que dE é dado por (9-1).
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a
a
Y
+q
-q
x
y
X
P
b
Assim, utilizando as expressões (9-1) e (12-3), teremos:
(12-4) Em que . Resolvendo para a metade de superior:
(12-5) Em que . A metade inferior contribui com
um campo dado por:
(12-6) Porém com sentido oposto ao originado pela metade superior. Assim, o campo resultante na direção de 0y, utilizando (12-5) e (12-6) será:
(12-7)
Questão 13
Campo elétrico devido a um dipolo elétrico. Demonstrar que as componentes de E produzidas por um dipolo em pontos distantes, são dadas por:
.
Em que x e y são as coordenadas do ponto,
conforme mostra a figura a seguir.
Resolução:
No ponto P teremos:
(13-1) Devido às cargas positiva e negativa respectivamente. Da figura temos ainda:
(13-2) E
(13-3) Para a direção de 0x, teremos:
(13-4)
Em que:
. (13-5)
Assim, utilizando as relações (13-1), (13-2) e (13-3) e (13-5) em (13-4), teremos:
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R
P
+ + + + + + + +
(13-6) Manipulando a expressão entre colchetes de (13-6), e expandindo as potências, teremos:
(13-7) Em que . Substituindo o resultado de (13-7) em (13-6), teremos:
(13-8) Em que . Agora na direção de 0y, temos:
(13-9)
Em que:
(13-10)
Utilizando as relações (13-1), (13-2), (13-3) e (13-10) em (13-9), teremos:
(13-11) Semelhante ao que foi efetuado anteriormente,
vamos manipular a expressão entre colchetes de (13-11) e expandir as potências. Assim, teremos:
(13-12) Substituindo o resultado de (13-12) em (13-11), teremos:
(13-13)
Questão 14
Uma haste isolante “semi-infinita” (figura a
seguir) é portadora de uma carga constante, por unidade de comprimento, . Mostrar que o campo elétrico no ponto P forma um ângulo de 45
Resolução:
A resolução desta questão é semelhante à resolução da questão 8. Sendo que nesse caso, o componente 0x do campo não será nulo. Da equação (8-8), teremos:
(14-1) E de forma semelhante, teremos para o componente 0x, a expressão dada por:
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(14-2) Integrando as equações (14-1) e (14-2), teremos:
(14-3)
(14-4) Seja o ângulo entre e . Então:
(14-5)
Questão 15 (a) Determinar o módulo do campo elétrico no ponto P mencionado na questão anterior. (b) Suponha que a densidade de carga (carga por unidade de comprimento) seja variável; suponha que , onde A é uma constante dimensionalmente homogênea e x é a distância contada a partir da extremidade da haste próxima do ponto P. Determine . Resolução:
(a) Utilizando os resultados de (14-3) e (14-4), teremos:
(15-1) (b) Utilizando as relações (14-1) e (14-2), teremos:
(15-2)
(15-3) Em que e . Assim, teremos de (15-2), para o campo na direção 0x:
(15-4) Integrando até um valor x, teremos:
(15-5) Em que:
Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas
Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973
E para a o campo na direção de 0y, teremos, de (15-3):
(15-6) Em que:
Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas
Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973
Assim, o campo resultante será:
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a
a
dq
C
Questão 16
Uma taça hemisférica não condutora, de raio interno a, acha-se uniformemente carregada em sua superfície interna com uma carga q. Determinar o valor do campo elétrico no seu centro de curvatura. Resolução:
igura 16-1
A igura 16-1 mostra uma taça hemisférica
carregada. Tomamos um elemento de carga circular semelhante a um anel carregado com uma carga dq. Esse elemento de carga gera um campo dE que está orientado na direção de 0z, que de acordo com a equação (9-3) pode ser expresso por:
(16-1) Em que . Ainda da figura podemos concluir:
(16-2) Assim, a equação (16-1) fica:
(16-3) Agora integrando a equação (16-3) partindo de
até , teremos:
(16-4) Em que: (densidade superficial de
cargas). Assim, teremos:
(16-5)
Questão 17
Uma haste fina, não condutora, é curvada de modo a formar um arco de circunferência de raio a, subtendendo um ângulo central . Distribui-se uniformemente, em toda a sua extensão, uma carga total q. Determinar a intensidade do campo elétrico, no centro da circunferência, em função de a, q e . Resolução:
figura 17-1
A figura 17-1 representa a configuração do nosso problema. O elemento de carga dq gera um campo elétrico no ponto C dado por:
(17-1) Em que: . Pela simetria da distribuição das cargas na haste, podemos
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r
a x
P
dq
r
a
a
P
+q
+q
-2q
concluir que a componente do campo na direção 0x será nulo. Assim, só teremos componente na direção 0y. Da (17-1), teremos:
(17-2) Assim integrando a equação (17-2) de até
e tomando o dobro, teremos:
(17-3) Em que (densidade linear de carga).
Questão 18
Um disco (fino, circular, de raio a) acha-se carregado uniformemente, com uma densidade superficial de carga . Determinar o campo elétrico num ponto do eixo do disco, situado a uma distância r do mesmo. Resolução:
figura 18-1
A figura 18-1 representa a configuração do nosso problema. O elemento de carga é representado por uma distribuição de cargas circular (o anel carregado da questão 9). O campo produzido em P pelo elemento de carga é dado por:
(18-1)
Em que: . Assim, integrando a equação (18-1), teremos:
(18-2)
Questão 19
Quadrupolo elétrico. A figura 19-1 representa um quadrupolo elétrico típico. É constituído por dois dipolos cujos efeitos em pontos distantes não chegam a se anular completamente. Demonstrar que o valor de E no eixo do quadrupolo, para pontos situados a uma distância (r >> a) do seu centro, é dado por:
onde Q (igual a ) é chamado momento de quadrupolo da distribuição de cargas.
figura 19-1
Vamos utilizar o resultado da questão 10 dado pela equação (10-2). Assim, no ponto P, teremos:
(19-1)
Em que:
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2a
-q
+q -q
+q
R P
(19-2) Agora substituindo em (19-1) e expandido as potências para r >> a, teremos:
(19-3) Como nesse caso , teremos então:
(19-4)
Questão 20
Um tipo de “quadrupolo elétrico” é formado
por quatro cargas situadas nos vértices de um quadrado de lado 2a. Um ponto P está a uma distância R do centro do quadrupolo sobre uma reta paralela a dois dos lados do quadrado, como mostra a figura 20-1. Mostrar que, para R >> a, o campo elétrico em P é dado, aproximadamente por:
figura 20-1
Resolução:
A estratégia a ser utilizada é a mesma da questão anterior. O campo gerado por um dipolo
em um ponto que se encontra a uma distância R perpendicular ao seu eixo é dado por:
(20-1) Logo, teremos:
(20-2) Agora expandindo as potências para R >> a, teremos:
(20-3) Obs.: Foi mantida a forma original da questão. Acredito que na ocasião da edição, a equação, alvo de demonstração, foi escrita de forma errada. Penso que a forma correta a ser escrita e editada deveria ser:
Questão 21
Um elétron é projetado, como na figura 21-1, com uma velocidade de , segundo um ângulo de 450. (apontando de baixo para cima), e
. (a) Atingirá o elétron uma das duas placas? (b) Se atingir, em que ponto isso ocorrerá?
figura 21-1
Resolução:
Previamente vamos determinar os componentes da velocidade nas direções 0x e 0y:
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(21-1) O campo elétrico fornecerá uma aceleração para o elétron que aponta na direção de 0y para baixo, dada por:
(21-2) O elétron deve percorrer a distância entre as placas e atingirá a altura de 2,0 cm com uma velocidade dada por:
(21-3) O intervalo de tempo gasto para o elétron adquirir essa velocidade na direção de 0y vale:
(21-4) Nesse intervalo de tempo, o elétron percorrerá na direção 0x:
(21-5)
Questão 22
Determinar a frequência de oscilação de um dipolo elétrico, de momento p e momento de inércia I, para pequenas amplitudes de oscilação em torno de sua posição de equilíbrio, num campo elétrico uniforme de intensidade E. Resolução:
O torque no dipolo é dado por:
(22-1)
O torque, por sua vez, é dado por:
(22-2) Para um M.H.S., o torque deve ser proporcional ao oposto do deslocamento angular. Assim:
(22-3)
Da equação (22-1), para pequenas oscilações:
(22-4)
Assim, utilizando (22-2) e (22-4):
(22-5) Como um M.H.S. é caracterizado por , teremos:
(22-6)
Questão 23
Dipolo num campo não uniforme. (a) Deduzir a expressão para num ponto situado a meia distância entre duas cargas positivas iguais, sendo z a distância a partir de uma delas, medida sobre o segmento de reta por elas definido. (b) Ficará um pequeno dipolo, colocado nesse ponto com seu eixo coincidente com o eixo dos z, sujeito à ação de alguma força? Lembrar que, nesse ponto E = 0. Resolução:
Seja uma cargas positivas colocadas em 0. Assim, em um ponto que se localiza em z, o campo elétrico é dado por:
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(23-1) Utilizando a expressão (23-1), teremos:
(23-2)
Para , teremos:
(23-3) Estando o dipolo com seu eixo coincidente ao eixo das cargas e com seu centro coincidente com o centro das cargas, existirá uma força atuando no dipolo.
Questão 24
Duas barras delgadas de comprimento L estão sobre o eixo 0x, uma delas entre os pontos
e e a outra entre os pontos e
. Cada barra possui uma carga Q
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. (a) Calcule o campo elétrico produzido pela segunda barra nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo 0x. (b) Mostre que o módulo da força que uma barra exerce sobre a outra é dado por:
(c) mostre que, quando a >> L, o módulo dessa força se reduz a:
Resolução:
Considere a figura a seguir como a representação do nosso problema.
O elemento de carga em dx, gera um campo elétrico num ponto que dista r dado por:
(24-1) Em que . Assim, integrando a equação (24-1) de 0 até L, teremos:
(24-2)
Em que . Agora, cada elemento de carga na
barra da direita de 0, experimentará uma força dada por (utilizando (24-2)):
(24-3) Integrando (24-3) de a até L + a, teremos:
(24-4) Agora para a >> L, teremos:
L L
x
dx
r
b
0
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(24-5) Expandindo o logaritmo, teremos:
(24-6) Substituindo em (24-4), teremos:
(24-7)
Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas
Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973